TOMO 2

En esta Guía Didáctica del Docente, encontrarán orientaciones de uso para los recursos del Plan Sumo Primero. Los planes de clases detallan la implementación articulada del Texto del Estudiante con los demás recursos, Cuaderno de Actividades; Tickets de salida; Evaluaciones y Material recortable.

Autor
Masami Isoda, Universidad de Tsukuba, Japón.
Editorial Gakko Tosho Co, LTD.
Traducción y Adaptación
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación.
Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMMedu)
Universidad de Chile.
Proyecto Basal AFB170001.
Grupo Estudio de Clases
Instituto de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

Guía Didáctica del Docente Tomo 2
ISBN 978-956-292-837-3
Primera Edición
Diciembre 2020
Impreso en Chile
6 982 ejemplares

En este texto se utilizan de manera inclusiva los términos como
“los estudiantes”, “los niños”, “los padres”, “los hijos”, “los apoderados”,
“los profesores” y otros que refieren a hombres y mujeres.

¡Bienvenidos!

Presentación del Texto del Estudiante	 5
Fundamentación didáctica	 7
Niños y símbolos 	 8
Obejtivos de Aprendizaje 	 9
Planificaciones 	 10
Planificación Anual 	11
Planificación Semestral	12
Planificación Detallada	13
Planes de clases 	15
Capítulo 11: Multiplicación y división	16
Capítulo 12: Volumen	26
Capítulo 13: Fracciones	36
Capítulo 14: Números decimales	48
Capítulo 15: Ecuaciones e inecuaciones	57
Capítulo 16: Simetría	66
Capítulo 17: Datos	74
Capítulo 18: Transformaciones isométricas	81
Capítulo 19: Azar	91
Capítulo 20: Vistas de figuras 3D	98
Capítulo 21: Aventura Matemática	104

Índice

Cuaderno de Actividades y sus respuestas 	 107
Anexos 	 147
Anexo 1: Evaluaciones 	 149
Evaluación 4	150
Tabla de especificaciones Evaluación 4	152
Rúbrica Evaluación 4.	153
Evaluación 5	154
Tabla de especificaciones Evaluación 5	156
Rúbrica Evaluación 5	157
Evaluación 6	158
Tabla de especificaciones Evaluación 6	160
Rúbrica Evaluación 6	161
Evaluación adicional 	162
Tabla de especificaciones Evaluación adicional	164
Rúbrica Evaluación adicional	165
Anexo 2: Tickets de salida y sus respuestas	 167
Anexo 3: Repaso Texto del Estudiante	 191
Anexo 4: Material didáctico recortable	 195
Bibliografía y webgrafía 	 199

Esta Guía Didáctica del Docente es reutilizable, por lo que te recordamos no rayarla.

Presentación del Texto del Estudiante
Características y propósitos
El Texto del Estudiante Sumo Primero de cuarto básico busca contribuir a la formación matemática de los estudiantes a través de secuencias didácticas bien articuladas y orientadas al enfoque de enseñanza basado en resolución de problemas.
El texto tiene como propósitos:
1. Promover el desarrollo de habilidades superiores.
2. Desarrollar el pensamiento matemático.
3. Promover la comprensión de conceptos y procedimientos fundamentales de la matemática escolar.
Los Textos del Plan Sumo Primero corresponden a una traducción y adaptación de textos japoneses de la editorial Gakko Tosho Co, cuya propuesta fue adaptada y complementada para alinearse al currículum nacional en la asignatura de Matemática.
Estructura del Texto
El Texto del Estudiante está compuesto de dos tomos, uno para cada semestre del año escolar. Cada tomo contiene capítulos organizados en dos unidades, y cada capítulo está compuesto por uno o más temas.
El texto dispone de diferentes secciones para ayudar al docente en la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Al finalizar los capítulos se presentan ejercicios para afianzar el dominio de los temas estudiados.

Al finalizar los capítulos se presentan problemas que permiten poner en juego los conocimientos y habilidades adquiridos.

Actividades que permiten repasar y evaluar el dominio de conceptos y procedimientos aprendidos.

Problemas no rutinarios en contextos relevantes que permiten aplicar conocimientos aprendidos.

Presentación del Texto del Estudiante

Uso del Texto
En cada capítulo se plantean situaciones desafiantes mediante preguntas o imágenes, las que permiten a los estudiantes elaborar estrategias y proponer soluciones que luego serán compartidas por toda la clase. El docente promueve un debate acerca de las estrategias utilizadas, en las que se pone de manifiesto el pensamiento matemático de los alumnos. Finalmente, se recurre al Texto del Estudiante para comparar, verificar y sistematizar las ideas propuestas por los niños.  Este proceso se puede resumir en los siguientes momentos:
• Situación o problema desafiante.
• Trabajo en grupo para la búsqueda de soluciones.
• Presentación de las respuestas, discusión en torno a las estrategias utilizadas.
• Comparación con lo que propone el texto, debate y verificación para sistematizar.
• Uso del texto para realizar actividades de ejercitación y afianzar la comprensión matemática alcanzada en el debate.
Una característica importante del Texto del Estudiante Sumo Primero es que está diseñado para ser reutilizado varias veces. En algunas actividades del texto, se invita a los estudiantes a dirigirse a una página del Cuaderno de Actividades para responder. Es importante que el docente enfatice y reitere que el Texto del Estudiante no se debe rayar, para que pueda ser utilizado por otro estudiante el siguiente año.
Recursos asociados
Además del Texto del Estudiante, cada alumno dispone de un Cuaderno de Actividades que le permite ejercitar lo aprendido en distintos momentos del estudio de un capítulo. También dispone de un talonario con Tickets de Salida, que son preguntas breves para responder al finalizar cada clase. Estas respuestas constituyen evidencias de los aprendizajes logrados y pueden ayudar a los docentes a tomar decisiones sobre el proceso de enseñanza.
El docente cuenta con la Guía Didáctica que incluye planes detallados de clase y otros recursos para apoyar su gestión. Para el uso efectivo de las actividades propuestas en el texto se aconseja revisar detalladamente la gestión propuesta en esta guía. Finalmente, el docente cuenta con un Cuadernillo de Evaluaciones, que permite evaluar aprendizajes al inicio, durante y al final de cada semestre.

La Guía Didáctica del Docente, el Texto del Estudiante, el Cuaderno de Actividades y el Talonario de Tickets de Salida están organizados en dos tomos: el tomo 1 asociado al primer semestre y el tomo 2, al segundo semestre. Aunque los recursos se planificaron para distribuir los temas de forma semestral, es indispensable terminar la revisión de un tomo para comenzar el siguiente. Por lo tanto, si al terminar un semestre, usted aún no ha podido terminar el tomo 1, le recomendamos terminar su revisión, antes de continuar con el siguiente tomo.

Yo soy el Zorro culpeo, acompaño a los estudiantes en su esfuerzo por elaborar estrategias y destaco las ideas matemáticas importantes.

Fundamentación Didáctica

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) ha sido elaborada a partir del modelo de gestión de clases basado en el enfoque de resolución de problemas. Su propósito es brindar orientaciones al docente respecto del uso del Texto del Estudiante (TE) y Cuaderno de Actividades (CA) Sumo Primero de cuarto básico, específicamente en aspectos relativos a la organización de la enseñanza, gestión de aula, uso de los tiempos, selección de objetivos de aprendizaje (OA), consideraciones didácticas-matemáticas, uso de materiales y evaluación.
La organización de los capítulos y sus respectivas clases fueron construidas considerando procesos de estudio articulados y secuenciados, por esto, se recomienda estudiar los capítulos en el orden propuesto.
Cada capítulo del TE posee una descripción para la gestión docente en la GDD, que incluye una visión general, los OA asociados, el tiempo de dedicación en horas pedagógicas, los aprendizajes previos requeridos y las actitudes que se promoverán con mayor énfasis a lo largo del proceso.
Además, para cada página del TE hay una gestión sugerida en la GDD, que incluye los recursos que se deberán usar, el  tiempo aproximado, el propósito específico de las actividades propuestas y las habilidades que se abordarán con mayor predominancia. La GDD presenta orientaciones y sugerencias para que el docente gestione las actividades flexiblemente, adaptándolas a sus necesidades, pero resguardando las condiciones didácticas y la secuencia planteada.
La enseñanza con enfoque en la resolución de problemas implica considerar situaciones abiertas que resulten nuevas y desafiantes, pero accesibles para los estudiantes, de tal manera que las estrategias de resolución sean construidas por ellos mismos.
Este enfoque requiere que los docentes conozcan y comprendan el estado actual del pensamiento matemático de sus estudiantes, para así ayudarlos a avanzar a un siguiente nivel de desempeño. Para eso, en la gestión de clases de la GDD se sugieren una serie de preguntas que ayuden a los profesores a indagar y utilizar pensamiento de los estudiantes para generar nuevos aprendizajes.
Para que el aprendizaje a través de esta propuesta sea efectivo, es importante que el docente promueva discusiones en la que sus estudiantes realicen preguntas, hagan observaciones, propongan explicaciones, argumenten sus ideas, construyan ejemplos y contraejemplos, entre otras acciones. De este modo, los estudiantes podrán reconstruir, conectar y dar sentido a los conocimientos que van adquiriendo. La gestión de clases de la GDD presenta orientaciones para generar y conducir este tipo de discusiones.
En general, una clase basada en la resolución de problemas sigue la siguiente estructura:
1. 	Presentación. Presentación y comprensión individual del problema. Puede generar una breve discusión con los compañeros para aclarar algunos puntos, pero es importante que cada estudiante intente comprender por sí mismo en qué consiste el problema y proponer sus ideas.
2. 	Exploración. Los estudiantes abordan el problema y elaboran una solución personal o colectiva. La labor docente en ese momento consiste en monitorear el trabajo de los estudiantes, haciendo preguntas inductivas y/o comentarios aclarativos, y brindando orientaciones más específicas a los estudiantes que presenten dificultades en el proceso. El docente también anima a aquellos estudiantes que terminan más rápidamente a encontrar explicaciones o soluciones alternativas.
3. 	Exposición. El docente selecciona estudiantes que han resuelto el problema de maneras diferentes, y los motiva a explicar su solución al resto de la clase. Tras escuchar las explicaciones, los estudiantes comparten sus opiniones acerca de las ventajas y desventajas de una estrategia en relación con otra, comparan las maneras de abordar el problema e identifican similitudes y diferencias.
4. 	Conclusión. El profesor, a partir de las propias ideas de los estudiantes, presenta un resumen con los puntos clave surgidos en la actividad, consolidando las ideas más importantes y formalizando lo aprendido. En este tiempo también pueden realizarse actividades de extensión o conexión, mostrando cómo se puede aplicar la estrategia óptima en la resolución de problemas similares.
Le recomendamos seguir esta estructura de clase especialmente en aquellas en las que se desea enfatizar el enfoque de enseñanza basada en la resolución de problemas, como las que suelen presentarse al inicio de cada capítulo o tema en el TE.

Amigos que aprenden juntos

Sofía

Matías

Ema

Juan

Sami

Gaspar

Simbología

Puntos importantes

Atención

Cuaderno de Actividades

Practica

Ticket de Salida

Completa en tu  Cuaderno de Actividades

Objetivos de Aprendizaje Matemática 4° básico

Los estudiantes serán capaces de:
Números y operaciones
1.	Representar y describir números del 0 al 10 000:
• contándolos de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000;
• leyéndolos y escribiéndolos;
• representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica;
• comparándolos y ordenándolos en la recta numérica o la tabla posicional;
• identificando el valor posicional de los dígitos hasta la decena de mil;
• componiendo y descomponiendo números naturales hasta 10 000 en forma aditiva, de acuerdo a su valor posicional.
2.	Describir y aplicar estrategias de cálculo mental: conteo hacia delante y atrás; doblar y dividir por 2; por descomposición; usar el doble del doble para determinar las multiplicaciones hasta 10 x10 y sus divisiones correspondientes.
3.	Demostrar que comprenden la adición y la sustracción de números hasta 1 000:
• usando estrategias personales para realizar estas operaciones;
• descomponiendo los números involucrados;
• estimando sumas y diferencias; resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que incluyan adiciones y sustracciones;
• aplicando los algoritmos en la adición de hasta cuatro sumandos y en la sustracción de hasta un sustraendo.
4.	Fundamentar y aplicar las propiedades del 0 y del 1 para la multiplicación y la propiedad del 1 para la división.
5.	Demostrar que comprenden la multiplicación de números de tres dígitos por números de un dígito:
• usando estrategias con o sin material concreto;
• utilizando las tablas de multiplicación;
• estimando productos;
• usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma;
• aplicando el algoritmo de la multiplicación;
• resolviendo problemas rutinarios.
6.	Demostrar que comprenden la división con dividendos de dos dígitos y divisores de un dígito:
• usando estrategias para dividir, con o sin material concreto;
• utilizando la relación que existe entre la división y la multiplicación;
• estimando el cociente;
• aplicando la estrategia por descomposición del dividendo;
• aplicando el algoritmo de la división.
7.	Resolver problemas rutinarios y no rutinarios en contextos cotidianos que incluyen dinero, seleccionando y utilizando la operación apropiada.
8.	Demostrar que comprende las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:
• explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica;
• describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones;
• mostrando que una fracción puede tener representaciones diferentes;
• comparando y ordenando fracciones (por ejemplo: 1/100, 1/8, 1/5, 1/4, 1/2) con material concreto y pictórico
9.	Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de manera concreta y pictórica en el contexto de la resolución de problemas.
10.	Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el 5 de manera concreta, pictórica y simbólica, en el contexto de la resolución de problemas.
11.	Describir y representar decimales (décimos y centésimos):
• representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo;
• comparándolos y ordenándolos hasta la centésima.
12.	Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la centésima en el contexto de la resolución de problemas.
Patrones y álgebra
13.	Identificar y describir patrones numéricos en tablas que involucren una operación, de manera manual y/o usando software educativo.
14.	Resolver ecuaciones e inecuaciones de un paso que involucren adiciones y sustracciones, comprobando los resultados en forma pictórica y simbólica del 0 al 100 y aplicando las relaciones inversas entre la adición y la sustracción.
Geometría
15.	Describir la localización absoluta de un objeto en un mapa simple con coordenadas informales (por ejemplo con letras y números), y la localización relativa en relación a otros objetos.
16.	Determinar las vistas de figuras 3D, desde el frente, desde el lado y desde arriba.
17.	Demostrar que comprenden una línea de simetría: identificando figuras simétricas 2D; creando figuras simétricas 2D; dibujando una o más líneas de simetría en figuras 2D; usando software geométrico.
18.	Trasladar, rotar y reflejar figuras 2D.
19.	Construir ángulos con el transportador y compararlos.
Medición
20.	Leer y registrar diversas mediciones del tiempo en relojes análogos y digitales, usando los conceptos A.M., P.M. y 24 horas.
21.	Realizar conversiones entre unidades de tiempo en el contexto de la resolución de problemas: el número de segundos en un minuto, el número de minutos en una hora, el número de días en un mes y el número de meses en un año.
22.	Medir longitudes con unidades estandarizadas (m, cm) y realizar transformaciones entre estas unidades (m a cm y viceversa) en el contexto de la resolución de problemas.
23.	Demostrar que comprenden el concepto de área de un rectángulo y de un cuadrado: reconociendo que el área de una superficie se mide en unidades cuadradas; seleccionando y justificando la elección de la unidad estandarizada (cm² y m²); determinando y registrando el área en cm² y m² en contextos cercanos; construyendo diferentes rectángulos para un área dada (cm² y m²) para mostrar que distintos rectángulos pueden tener la misma área; usando software geométrico.
24.	Demostrar que comprenden el concepto de volumen de un cuerpo: seleccionando una unidad no estandarizada para medir el volumen de un cuerpo; reconociendo que el volumen se mide en unidades de cubo; midiendo y registrando el volumen en unidades de cubo; usando software geométrico.
Datos y probabilidades
25.	Realizar encuestas, analizar los datos, comparar con los resultados de muestras aleatorias, usando tablas y gráficos.
26.	Realizar experimentos aleatorios lúdicos y cotidianos, y tabular y representar mediante gráficos de manera manual y/o con software educativo.
27.	Leer e interpretar pictogramas y gráficos de barra simple con escala, y comunicar sus conclusiones.

Objetivos de Aprendizaje

Planificaciones

Planificación Anual
Primer Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
1 | Números y operaciones | Números hasta 10 000 | 11
| Números y operaciones | Sumas y restas hasta 1 000 | 17
| Medición | Longitud | 13
| Números y operaciones | Multiplicación | 10
| Medición | Tiempo | 7
2 | Números y operaciones | División | 13
| Medición | Área | 13
| Geometría | Construcción de ángulos | 9
| Geometría | Localización | 6
| Patrones y álgebra | Patrones | 6
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
3 | Números y operaciones | Multiplicación y división | 11
| Medición | Volumen | 10
| Números y operaciones | Fracciones | 11
| Números y operaciones | Números decimales | 11
| Patrones y álgebra | Ecuaciones e inecuaciones | 10
4 | Geometría | Simetría | 6
| Datos y probabilidades | Datos | 8
| Geometría | Transformaciones isométricas | 9
| Datos y probabilidades | Azar | 7
| Geometría | Vistas de figuras 3D | 7
| Números y operaciones y Datos y probabilidades | Aventura Matemática | 2

Planificación Anual

Planificación Semestral
Primer Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
1 | Números y operaciones | 1 | Números hasta 10 000 | 345 | 150
| Números y operaciones | 3 y 7 | Sumas y restas hasta 1 000 | 540 | 225
| Medición | 22 | Longitud | 405 | 180
| Números y operaciones | 2, 4 y 5 | Multiplicación | 315 | 135
| Medición | 20 y 21 | Tiempo | 225 | 90
2 | Números y operaciones | 4 y 6 | División | 405 | 180
| Medición | 23 | Área | 405 | 180
| Geometría | 19 | Construcción de ángulos | 270 | 135
| Geometría | 15 | Localización | 180 | 90
| Patrones y álgebra | 13 | Patrones | 225 | 45
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
3 | Números y operaciones | 5 y 6 | Multiplicación y división | 360 | 135
| Medición | 24 | Volumen | 315 | 135
| Números y operaciones | 8, 9 y 10 | Fracciones | 360 | 135
| Números y operaciones | 11 y 12 | Números decimales | 360 | 135
| Patrones y álgebra | 14 | Ecuaciones e inecuaciones | 315 | 135
4 | Geometría | 17 | Simetría | 225 | 45
| Datos y probabilidades | 25 y 27 | Datos | 270 | 90
| Geometría | 18 | Transformaciones isométricas | 315 | 90
| Datos y probabilidades | 26 | Azar | 225 | 90
| Geometría | 16 | Vistas de figuras 3D | 225 | 90
| Números y operaciones y Datos y probabilidades | 1, 5, 6, 8 y 27 | Aventura Matemática | 90 | -

Planificación Detallada Unidad 3
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
11 | Multiplicación y división | Números y operaciones | 6 -15 | Cálculo de multiplicaciones usando el algoritmo | 205 | 5 | • |  |  | • | F | 4 - 6
|  |  |  | Cálculo de divisiones usando el algoritmo | 195 | 6 |  |  | • | • |  | 7 - 9
|  |  |  | Ejercicios | 50 | 5 y 6 | • |  |  | • |  | 10
|  |  |  | Problemas | 45 | 5 y 6 |  |  |  | • |  | 11
12 | Volumen | Medición | 16 - 25 | Comparando cantidades | 280 | 24 | • | • | • | • | E | 12 - 16
|  |  |  | Volúmenes de formas irregulares | 45 | 24 |  | • |  | • |  | 17
|  |  |  | Ejercicios | 125 | 23 |  | • | • | • |  | 18 - 19
13 | Fracciones | Números y operaciones | 26 - 37 | Representación de fracciones | 165 | 8 | • |  |  | • | D | 20 - 22
|  |  |  | Comparación de fracciones | 45 | 8 | • |  |  | • |  | 23
|  |  |  | Suma y resta de fracciones con igual denominador | 120 | 9 | • |  | • | • |  | 24 - 25
|  |  |  | Fracciones y números mixtos | 75 | 10 |  |  | • | • |  | 26
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 8, 9 y 10 | • |  |  | • |  | 27
|  |  |  | Problemas | 45 | 8, 9 y 10 |  |  |  | • |  | 28
14 | Números decimales | Números y operaciones | 38 - 46 | Representación de números decimales | 195 | 11 | • |  |  | • | F | 29 - 32
|  |  |  | Comparación y orden de números decimales | 60 | 11 | • |  |  |  |  | 33
|  |  |  | Suma y resta de números decimales | 120 | 12 |  |  | • |  |  | 34 - 35
|  |  |  | Ejercicios | 60 | 11 y 12 | • |  |  | • |  | 36
|  |  |  | Problemas | 60 | 11 y 12 |  |  |  | • |  | 37
15 | Ecuaciones e inecuaciones | Patrones y álgebra | 47 - 55 | Números desconocidos en expresiones matemáticas | 90 | 14 | • | • |  |  | C | 38 - 39
|  |  |  | Equilibrio en la balanza | 90 | 14 |  | • | • |  |  | 40 - 41
|  |  |  | Desequilibrio en la balanza | 90 | 14 |  | • | • |  |  | 42
|  |  |  | Equilibrio y desequilibrio en la balanza | 90 | 14 |  | • | • |  |  | 43 - 44
|  |  |  | Ejercicios | 90 | 14 |  |  | • | • |  | 45

Planificación Detallada

Planificación Detallada Unidad 4
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
16 | Simetría | Geometria | 56 - 63 | Formas y figuras simétricas | 180 | 17 | • | • |  | • | B | 46 - 49
|  |  |  | Figuras simétricas recortando papel | 45 | 17 |  |  |  | • |  | -
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 17 | • |  |  | • |  | 50
17 | Datos | Datos y probabilidades | 64 - 70 | Encuestas | 100 | 25 | • |  |  | • | D | 51
|  |  |  | Pictogramas y gráficos de barras | 150 | 27 | • | • |  | • |  | 52 - 55
|  |  |  | Ejercicios | 65 | 25 y 27 |  |  |  | • |  | 56
|  |  |  | Problemas | 45 | 25 y 27 |  |  |  | • |  | -
18 | Transformaciones isométricas | Geometría | 71 - 80 | Traslación | 90 | 18 | • | • | • |  | D | 57
|  |  |  | Reflexión | 120 | 18 |  | • | • |  |  | 58
|  |  |  | Rotación | 105 | 18 | • | • | • |  |  | 60 - 62
|  |  |  | Ejercicios | 30 | 18 |  | • | • |  |  | -
|  |  |  | Problemas | 60 | 18 |  | • | • | • |  | 63 - 65
19 | Azar | Datos y probabilidades | 81 - 87 | Juegos aleatorios | 90 | 26 |  | • |  |  | A | 66 - 67
|  |  |  | Registro de resultados de juegos aleatorios | 180 | 26 | • | • |  | • |  | 68 - 70
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 26 |  | • |  | • |  | 71
20 | Vistas de figuras 3D | Geometría | 88 - 93 | Identificando vistas de figuras 3D | 240 | 16 | • | • |  |  | E | 72 - 76
|  |  |  | Ejercicios | 30 | 16 | • | • |  |  |  | -
|  |  |  | Problemas | 45 | 16 | • | • |  | • |  | -
21 | Aventura Matemática | Núemros y operaciones y Datos y Probabilidades | 94 - 96 |  | 90 | 5, 6, 8 y 27 | • | • |  | • | C | -

Planes de clases

Íconos
Ticket de salida
Cuaderno de Actividades

Capítulo 11

Multiplicación y división

11 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza en el concepto de multiplicación y división, focalizando el estudio en problemas y cálculos a través del algoritmo convencional y la estimación de productos. Interesa que los estudiantes comprendan el funcionamiento y eficacia de dicha técnica, estableciendo relaciones con las no convencionales que se abordaron en los capítulos de Multiplicación y División del Tomo 1.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA5: Demostrar que comprenden la multiplicación de números de tres dígitos por números de un dígito:
Usando estrategias con o sin material concreto.
Utilizando las tablas de multiplicación.
Estimando productos.
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Aplicando el algoritmo de la multiplicación.
Resolviendo problemas rutinarios.
OA6: Demostrar que comprenden la división con dividendos de dos dígitos y divisores de un dígito:
Usando estrategias para dividir, con o sin material concreto.
Utilizando la relación que existe entre la división y la multiplicación.
Estimando el cociente.
Aplicando la estrategia por descomposición del dividendo.
Aplicando el algoritmo de la división.
Aprendizajes previos
Calculan multiplicaciones de números de 3 dígitos por 1 dígito a través de la técnica de descomposición.
Calculan divisiones de números de 2 dígitos por 1 dígito mediante técnicas no convencionales.
Actitud
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

11

P. 6

TE

Planificación

45 minutos

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran una multiplicación entre un número de 2 dígitos y un número de 1 dígito a través de técnicas no convencionales.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Actividad 1 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente a los estudiantes el capítulo señalando que abordarán nuevas técnicas de cálculo de multiplicaciones y divisiones. Para comenzar, pida que lean la Actividad 1 y asegúrese de que todos la comprendan. Luego, dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Se espera que los estudiantes reconozcan que el problema se resuelve con la multiplicación 3 • 21. Antes que realicen el cálculo, incentívelos a anticipar un resultado aproximado, preguntando: sin hacer el cálculo exacto, aproximadamente, ¿cuál es el costo total? Destaque que, para saber un valor aproximado, no es necesario hacer el cálculo exacto, sino que hacer uno fácil que permita saber más o menos cuánto será el resultado. Pregunte: ¿qué número terminado en cero está más cerca de 21? (20) ¿Es fácil calcular 3 • 20? (Sí, porque se multiplica 3 • 2 y al resultado se le agrega un cero) ¿Cuánto es 3 • 20? (60) Entonces, aproximadamente, ¿cuánto es el costo total? ($60). Enfatice que anticipar el resultado es útil para determinar si el resultado exacto del cálculo es razonable.
Una vez que hayan realizado el cálculo y socializado las técnicas utilizadas, invítelos a analizar y explicar el funcionamiento de la técnica de descomposición que se presenta en el Texto del Estudiante.

P. 7

30 minutos

CA

15 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento del algoritmo convencional para calcular multiplicaciones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito con y sin reagrupamiento.
Habilidad
Representar.
Gestión
A continuación, presente simultáneamente en la pizarra la técnica que se propone al inicio de esta página y la técnica de descomposición de la página anterior, de tal manera de mostrar una transición entre la técnica de descomposición y el algoritmo convencional:
Formule preguntas que permitan a los estudiantes comprender el funcionamiento del algoritmo convencional, como: ¿qué representa el 3 que está debajo del 1? (El resultado de 3 • 1) ¿Por qué creen que se anota debajo del 1? (Porque el 1 en el 21 representa a las unidades y el 3 corresponden a 3 unidades) ¿Qué representa el 60? (El resultado de 3 • 20) ¿Por qué creen que se anota el 6 en la misma columna que el 2? (Para alinear las decenas y luego, sumar ambos resultados). Pida a los estudiantes que analicen la imagen de su texto y que expliquen la relación que existe entre los cubos y los cálculos.
A continuación, presente el recuadro denominado Usando el algoritmo y solicite que analicen cada uno de los pasos que se muestran. Pregunte: ¿en qué consiste esta técnica? ¿En qué se parece esta técnica con la que se analizó recientemente? ¿En qué se diferencian? Se espera que los estudiantes reconozcan que ambas técnicas se realizan cálculos parciales, es decir, que se multiplican las unidades y luego las decenas, pero que, en el caso del algoritmo, se anotan los dígitos de las decenas inmediatamente, por lo que se ahorra el paso de la suma de los productos parciales.
Presente la Actividad 2 y pida que analicen cada uno de los pasos que se muestran, planteando preguntas como: ¿qué se hace primero? (Calcular 3 • 5) ¿Cuál es el resultado? (15) ¿Cuántas decenas y unidades hay en 15? (1 decena y 5 unidades). Solicite que pongan atención en dónde se registran la decena y las unidades. Se espera que reconozcan que el 5 se anota debajo de la unidad de 95 y que el 1 que representa a una decena se registra sobre las decenas del 95. Continúe preguntando: ¿qué se hace a continuación? (Se multiplica 3 • 9 decenas) ¿Cuál es el resultado? (27 decenas). Destaque que el 27 se ha registrado con un color gris porque es un número que se debe retener antes de registrar el resultado definitivo, ya que se le debe sumar la decena que quedó reservada cuando se multiplicaron las unidades, por lo tanto, el resultado será 27 + 1, que corresponde a 28 decenas. Finalmente, el resultado será 285.
Adicionalmente, antes de continuar con la sección Ejercita puede plantear otras multiplicaciones para afianzar los pasos del algoritmo.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

3   21

•

3      1 = 3

3   20 = 60

Total

63

21  3

3

60

Cuaderno de Actividades página 4 • Tomo 2
Ticket de salida página 7 • Tomo 2

P. 8

Propósito
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento del algoritmo convencional para calcular multiplicaciones de números de 3 dígitos por números de 1 dígito, sin reagrupamiento.
Habilidad
Representar.
Recursos
Actividad 3 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente el problema de la Actividad 3 y asegúrese de que todos lo comprendan y que reconozcan que el problema se resuelve con la multiplicación 3 • 213. Antes que realicen el cálculo, incentívelos a anticipar un resultado aproximado, preguntando: sin hacer el cálculo exacto, aproximadamente, ¿cuántos metros recorrió? Recuérdeles que para saber un valor aproximado no es necesario hacer el cálculo exacto, sino que hacer uno más fácil que permita saber más o menos cuál será el resultado. Pregunte: ¿qué número terminado en ceros está más cerca de 213? (200) ¿Es fácil calcular 3 • 200? (Sí, porque se multiplica 3 • 2 y al resultado se le agregan dos ceros) ¿Cuánto es 3 • 200? (600) Entonces, aproximadamente, ¿cuántos metros recorrió? (600). Enfatice que anticipar el resultado aproximado les permite saber si el resultado exacto del cálculo es razonable.
Luego, dé un tiempo para que lo resuelvan de manera autónoma. Desafíelos a calcular la multiplicación utilizando dos técnicas, el algoritmo y otra técnica no convencional. Una vez que hayan realizado el cálculo, permita que socialicen las técnicas utilizadas y los resultados obtenidos.
Para sistematizar la actividad invítelos a abrir el Texto del Estudiante. Pídales que analicen y expliquen el funcionamiento de la técnica de descomposición y del algoritmo. Enfatice que tanto el algoritmo como la técnica de descomposición se puede aplicar a números de más de 3 cifras. Sin embargo, el algoritmo, al ser más resumido que la técnica de descomposición, es más eficaz para multiplicar números de varias cifras. Destaque que el algoritmo tiene una serie de pasos que siempre se deben repetir en el mismo orden, en cambio, en la técnica de descomposición se puede decidir el orden al hacer los cálculos.
Finalmente, pida a los estudiantes desarrollar los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
En el Capítulo 4 del Tomo 1 se abordaron varias técnicas de cálculo no convencionales que se retoman en este capítulo y que permiten comprender el funcionamiento del algoritmo convencional de la multiplicación. Además, esas técnicas favorecen que los estudiantes tengan mayor control sobre el cálculo y, por lo tanto, puedan sobreponerse a posibles errores. Si bien el algoritmo proporciona el resultado de manera automática a partir de un repertorio limitado y prefijado de pasos, estos deben ser memorizados para su correcto uso, lo que puede ser un obstáculo si no se propicia la comprensión del funcionamiento del algoritmo.

P. 9

70 minutos

40 minutos

Propósitos
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento del algoritmo convencional para calcular multiplicaciones de números de 3 dígitos por números de 1 dígito, con reagrupamiento.
Que los estudiantes estimen el producto de una multiplicación entre un número de 3 dígitos y uno de 1 dígito.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Presente la Actividad 4 y pida que analicen cada uno de los pasos que se muestran en la Actividad 4 a), planteando preguntas como: ¿qué se hace primero? (Calcular 3 • 1) ¿Cuál es el resultado? (3). Solicite que pongan atención en dónde se registra el 3. Se espera que reconozcan que el 3 se anota  debajo del 1 porque es la unidad de 461. Continúe preguntando: ¿qué se hace a continuación? (Se multiplica 3 • 6 decenas) ¿Cuál es el resultado? (18 decenas) ¿Cómo se registra el 18? Se espera que los estudiantes extiendan el mecanismo de la multiplicación por números de 2 dígitos, es decir, reservar la decena registrándose sobre el 4 que es la centena del 461. Siga preguntando: ¿qué se hace a continuación? (Se multiplica 3 • 4 centenas) ¿Cuál es el resultado? (12 centenas) ¿Cómo se registra el 12? Destaque que el 12 se ha registrado con un color gris, porque es un número que se debe retener antes de registrar el resultado definitivo, ya que se debe sumar la centena que quedó reservada cuando se multiplicaron las decenas, por lo tanto, el resultado será 12 + 1 que corresponden a 13 centenas. Finalmente, el resultado será 1383. Para la Actividad 4 b) realice la misma gestión de la Actividad 4 a).
Destaque que el algoritmo convencional funciona independientemente de la cantidad de cifras que tengan los números.
Presente la Actividad 5 y pida a los estudiantes que analicen cada una de las multiplicaciones y que pongan atención a la idea de la mascota. Destaque que es importante recordar que cualquier número multiplicado por cero es cero y, por lo tanto, el cero se debe registrar en la posición correspondiente.
En la Actividad 6 se propone que los estudiantes utilicen la estimación para anticipar el resultado aproximado. Se espera que en la Actividad 6 a) reconozcan que 512 es cercano a 500, por lo tanto, para hacer un cálculo aproximado pueden multiplicar 500 por 9. Destaque que el resultado obtenido es una cantidad aproximada o una estimación del resultado y que para estimar es necesario buscar un número cercano a 512 que termine en ceros, porque multiplicar por números terminados en ceros es más fácil.
En la Actividad 6 b), enfatice que para saber la cantidad exacta de pelotas no es posible estimar, sino que se debe hacer el cálculo de la multiplicación 512 • 9. Destaque que la estimación es útil para saber anticipadamente más o menos cuál será el resultado o, una vez realizado el cálculo, para evaluar su pertinencia, incluso cuando se usa calculadora.
Finalmente, pida a los estudiantes desarrollar los ejercicios de la sección Practica y del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 5 y 6 • Tomo 2
Ticket de salida página 9 • Tomo 2

P. 10

Propósito
Que los estudiantes calculen divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito usando diversas estrategias.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1. Pregúnteles: ¿cuál operación matemática se relaciona con el problema? (División) ¿Qué información hay que encontrar? (La cantidad de hojas que recibirá cada niño) ¿Qué datos conocen? (La cantidad total de hojas y la cantidad de niños). Invite a los estudiantes a plantear la operación que representa al problema y que permite resolverlo (69 : 3) y a explicar cómo resolverían esta operación. Motívelos a usar las estrategias aprendidas y a aplicar las distintas reglas que pueden facilitarles el cálculo.
Luego, invítelos a estimar cuántos papeles podría recibir cada niño, para esto deben aplicar sus conocimientos respecto de la división de decenas. Puede preguntarles: ¿recibirá más de 20 papeles cada niño? Se espera que los estudiantes estimen que cada niño recibirá más de 20 papeles, ya que 60 : 3 = 20.
Pida a los estudiantes responder la pregunta 1 c) a partir de la representación en la tabla posicional de la cantidad de hojas de papel y apoyado en el cálculo de la división utilizando la descomposición. Pregúnteles: ¿se parece a alguna de las estrategias estudiadas? Los estudiantes podrían mencionar la idea de Gaspar, pero enfatice en que esta vez se descompuso el dividendo según el valor posicional de los dígitos.
Presénteles la Actividad 2. Invite a los estudiantes a plantear la expresión matemática que lo representa y permite resolverlo, a partir del reconocimiento de los datos con los que se cuenta y de aquellos que se deben encontrar. Luego, invítelos a explicar la forma de calcular la división planteada (72 : 3). Se espera que los estudiantes se den cuenta de que, al descomponer el dividendo según el valor posicional de los dígitos, estas divisiones parciales no facilitan el cálculo, por lo que se deben buscar otras formas de calcular.
Es importante que los estudiantes noten por sí mismos que las dos hojas sueltas no se pueden dividir en 3. Para ello le recomendamos anotar el problema en la pizarra para que los estudiantes intenten resolverlo antes de observar la propuesta del Texto del Estudiante. Al finalizar la discusión grupal no dé la respuesta, pues será abordada en la página siguiente.

P. 11

Propósito
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento del algoritmo convencional para calcular divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Hojas de papel (72 por pareja de estudiantes).
Gestión
Invite a los estudiantes a trabajar en parejas y entrégueles a cada una 72 papeles de colores para que puedan ir representando y visualizando los pasos para realizar el cálculo de la división de 72 en 3. Asegúrese de que los estudiantes hayan intentado desarrollar alguna estrategia para dividir antes de revisar la propuesta del Texto del Estudiante.
Para el primer punto, oriente el análisis preguntando: ¿cuántos grupos de 10 papeles le corresponden a cada niño? (2) ¿Quedan grupos de 10 sin repartir? (Sí). Hágales ver que al repartir uno a uno los paquetes de 10 hojas, queda un paquete de 10 sin repartir.
En el segundo punto, resalte el hecho de que las hojas que sobraron no pueden quedar sin repartir. Para guiar la comprensión, puede preguntar: ¿cuántos grupos de 10 hojas sobraron? (1) ¿Cuántas hojas son? (10) ¿Qué podemos hacer para dividir las hojas que quedaron? Usando la ilustración, comente que el paquete de 10 hojas se abrió para visualizar todas las hojas una a una. Se espera que los estudiantes adviertan que 12 se puede dividir por 3, pues 3 • 4 = 12.
Para analizar el pensamiento del personaje del texto, retome las divisiones realizadas por partes, preguntando: ¿cuántas hojas se reparten primero a cada niño?   (2 grupos de 10, es decir 20) ¿Y cuántas hojas se reparten después? (4) Entonces, ¿cuántas hojas le corresponden en total a cada niño? (24). Favorezca la verificación con base en el conteo a partir del uso de la ilustración o del material concreto (hojas de papel que dispongan).
Antes de pasar a la resolución de manera simbólica, sistematice el procedimiento. Resalte que los paquetes de 10 representan a las decenas y se pueden dividir o repartir al igual que las hojas sueltas. Solicite a los estudiantes que expliquen con sus propias palabras el procedimiento y que comenten en orden los pasos que se requieren seguir. Anote estos pasos en la pizarra junto con el diagrama de división por descomposición. Invítelos a registrar estas ideas en sus cuadernos.

P. 12

Propósito
Que los estudiantes calculen divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito usando el algoritmo.
Habilidad
Modelar.
Gestión
En esta página se presenta la resolución de una división de un número de dos dígitos por un número de un dígito utilizando el algoritmo tradicional. Es importante que sea trabajado con profundidad, aclarando paso a paso los detalles que se deben considerar, con el fin de no acarrear dificultades cuando se calculen divisiones de números de más cifras. Anime a sus estudiantes a seguir el procedimiento en sus cuadernos, siguiendo un orden que les permita visualizar la resolución. Para esto invítelos a usar las cuadrículas del cuaderno y pregúnteles: ¿podemos usar la cuadrícula del cuaderno como guía para anotar los pasos? ¿Cómo? Hágales ver que es importante usar un cuadro del cuaderno para anotar cada número y seguir el diagrama tal como se propone en el Texto del Estudiante.
Para cada paso realice preguntas que permitan conectar el cálculo simbólico con el significado en el contexto del reparto. Para el primer paso (divide): ¿qué representa el 7? (7 decenas o 7 paquetes de 10 hojas). En el segundo paso (multiplica): ¿por qué se multiplica 2 por 3? (Para saber cuánto se ha dividido o contar el total de hojas repartidas hasta ese momento). En el tercer paso (resta): ¿por qué debemos calcular 70 – 60? (Para determinar cuánto queda o cuántos paquetes de 10 hojas han quedado sin repartir). En el cuarto paso (baja): ¿qué representa el 12? (Lo que queda por repartir o el número de hojas que falta repartir). En el quinto paso (divide): ¿por qué debemos seguir dividiendo 12 en 3? (Para calcular lo que falta repartir o terminar de repartir las hojas que quedaron sueltas). En el sexto paso (multiplica): ¿para qué multiplicamos 3 por 4? (Para verificar que 12 es igual a 3 por 4 o que 4 hojas le corresponden a cada uno de los tres niños). En el séptimo paso (resta): ¿qué significa que la última resta sea 0? (Que no queda para repartir o que no quedan hojas por repartir).
Enfatice en que los pasos divide - multiplica - resta - baja, se repiten indefinidamente hasta considerar todos los dígitos del dividendo. Si es necesario puede apoyar esta resolución simbólica utilizando los papeles de colores de la página anterior.
Consideraciones didácticas
Dado que el algoritmo es un método de cálculo paso por paso que sigue un proceso fijo, al comienzo de su aprendizaje es indispensable explicitar cada paso y cada condición que determina la continuación del siguiente. En el caso del algoritmo tradicional para la división, es muy importante que el procedimiento de multiplicación, que verifica el número de veces que está contenido el divisor en el dividendo, se realice en una sección aparte, de modo que se entienda como un procedimiento auxiliar, el cual eventualmente podría realizarse de forma mental. Del mismo modo es conveniente que las sustracciones queden registradas como parte explícita del algoritmo, pues determinan una condición o señal para advertir si es posible y/o necesario continuar dividiendo. Si el resto o diferencia es mayor que el divisor es posible seguir aplicando el procedimiento de la misma forma. En caso contrario, el procedimiento termina.

P. 13

75 minutos

Propósito
Que los estudiantes calculen divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito usando el algoritmo.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3. Invítelos ahora a ellos a explicar paso a paso la resolución de las divisiones de un número de dos dígitos por un dígito, considerando los pasos divide - multiplica - resta - baja, las veces que sea necesario.
Puede guiar esta resolución preguntándoles: ¿qué deben hacer primero? (Dividir las decenas del dividendo por el divisor) ¿Y luego? (Multiplicar el dígito del resultado por el divisor y restárselo al dividendo).
Luego, enfatice, apoyado en el recuadro del profesor, que siempre se debe comenzar dividiendo la cifra de mayor valor posicional del dividendo.
Invite a sus estudiantes a analizar la Actividad 4. Esta actividad le permitirá verificar el grado de comprensión de sus estudiantes acerca del algoritmo tradicional de la división, ya que, si son capaces de explicar el error, es porque comprendieron su funcionamiento.
Sistematice la importancia de que lo que queda luego de multiplicar debe ser menor que el divisor, para que el uso del algoritmo sea efectivo en la resolución de divisiones.
Luego, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Ejercita. Si observa dificultades puede proponer representar con material concreto las divisiones. Se sugiere invitar a los estudiantes a registrar paso a paso sus cálculos en sus cuadernos, siguiendo un orden guiado por las cuadrículas de estos. Luego organice una puesta en común para que un par de estudiantes expliquen el procedimiento paso a paso asociado a cada ejercicio. Ayúdeles siempre haciendo preguntas o dando orientaciones directas para favorecer la comunicación al resto de la clase.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 7, 8 y 9 • Tomo 2
Ticket de salida página 13 • Tomo 2

P. 14

50 minutos

20 minutos

Propósito
Que los estudiantes ejerciten la resolución de problemas y el cálculo de multiplicaciones y divisiones.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1, los estudiantes deben explicar cómo aplicar la estrategia de descomposición para calcular una multiplicación de 3 dígitos. Se espera que reconozcan que deben descomponer 384 como 300 + 80 + 4, para calcular  7 • 300,  7 • 80 y  7 • 4, y luego, sumar los productos parciales.
En el Ejercicio 2, los estudiantes deben explicar cómo aplicar la estrategia de descomposición para una división de 2 dígitos. Se espera que reconozcan que deben descomponer 84 como 70 + 14, así es posible calcular 70 : 7 y 14 : 7, y luego, sumar los cocientes parciales.
En el Ejercicio 3, los estudiantes deben calcular multiplicaciones de números de hasta de 3 dígitos por números de 1 dígito y divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito. Ponga atención cuando los estudiantes usen el algoritmo, pues es habitual que tengan dificultades con las reservas. Si esto ocurre, puede recurrir al uso de material concreto.
En el Ejercicio 4, los estudiantes deben resolver un problema con una multiplicación. Es importante que comiencen por la comprensión del problema para que planteen correctamente la expresión matemática que lo representa y permite resolverlo.
En el Ejercicio 5, los estudiantes deben resolver un problema de agrupamiento. Se espera que reconozcan que se resuelve con una división. Permítales decidir la técnica de cálculo.
En el Ejercicio 6, los estudiantes deben resolver un problema de iteración de una medida. Se espera que reconozcan que se resuelve con una multiplicación. Permítales decidir la técnica de cálculo.
En el Ejercicio 7, los estudiantes deben realizar todos los cálculos de las multiplicaciones y luego, ordenar los resultados de menor a mayor para identificar la frase que se forma al asociar las letras (Tú puedes).
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 10 • Tomo 2
Ticket de salida página 14 • Tomo 2

7

P. 102

Área

P. 15

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de multiplicaciones y divisiones.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1, deben estimar el producto de multiplicaciones de números de 3 dígitos por 1 dígito. Observe si los estudiantes identifican el número más cercano terminado en ceros de cada uno de los factores de 3 cifras.
En el Problema 2, los estudiantes deben calcular multiplicaciones de números de hasta de 3 dígitos por números de 1 dígito y divisiones de números de 2 dígitos por números de 1 dígito. Ponga atención cuando los estudiantes usen el algoritmo.
En el Problema 3 deben identificar el error en cada cálculo de multiplicación. En el ítem a) el error es no reservar la decena al multiplicar 3 por 5. En el ítem b) no se consideró la reserva en la centena. En el ítem c) no se consideró la multiplicación por cero.
El Problema 4 es un problema no rutinario en donde los estudiantes deben poner en juego todos sus conocimientos acerca de la multiplicación.
En ítem a) deben plantear una multiplicación entre números de dos dígitos y un dígito, organizando los dígitos de las tarjetas dadas, sin repetirlos, de tal manera que se obtenga el producto mayor. Guíe a sus estudiantes a inferir que el mayor resultado posible se obtiene multiplicando los números mayores que se puedan formar utilizando los dígitos 7, 8 y 9 (87 • 9).
En ítem b) implica un mayor desafío, ya que tiene la restricción de que el resultado tenga dos cifras. Se espera que los estudiantes piensen en cuál podría ser el mayor resultado posible de 2 cifras y luego, intentar formar una multiplicación que permita obtenerlo. Por ejemplo, podrían pensar en cómo obtener una multiplicación que tenga 99 como resultado, con las tarjetas dadas. Mediante el ensayo y error o recurriendo a la división podrían reconocer que no es posible formarla. Por tanto, se debe intentar formar una multiplicación que dé como resultado 98, obteniendo así la multiplicación 14 • 7.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 11 • Tomo 2
Ticket de salida página 15 • Tomo 2

Capítulo 12

Volumen

10 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se inicia el aprendizaje del concepto de volumen como medida del espacio que ocupa una figura 3D. Los estudiantes seleccionan una unidad no estandarizada como estrategia para comparar volúmenes entre objetos. Además, reconocen que el volumen de una figura 3D se puede medir en unidades de cubo. Finalmente, usan esta medida para calcular el volumen de figuras 3D.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA24: Demostrar que comprenden el concepto de volumen de un cuerpo: seleccionando una unidad no estandarizada para medir el volumen de un cuerpo; reconociendo que el volumen se mide en unidades de cubos; midiendo y registrando el volumen en unidades de cubo; usando Software geométrico.
Aprendizajes previos
Reconocen las características principales de cubos y paralelepípedos (aristas, vértices, caras)
Reconocen largo, ancho y alto en un cubo o paralelepípedo.
Multiplican 2 o más números de 1 dígito, aplicando las tablas de multiplicar.
Miden y calculan longitudes.
Actitud
Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.

12

P. 16

Propósito
Que los estudiantes comparen las capacidades de dos botellas e identifiquen la necesidad de utilizar una misma unidad de medida arbitraria.
Habilidad
Resolver Problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1 y pregunte: ¿qué están comparando Sami y Matías? ¿Qué procedimiento utilizaron para comparar las cantidades? ¿Qué están utilizando para comparar? ¿Cómo compararías la cantidad de agua en las botellas? Se espera que sus estudiantes mencionen que están comparando la cantidad de agua contenida en las botellas, que el procedimiento que están realizando es iterar la cantidad de agua utilizando como referente un vaso. Luego, pregunte: ¿por qué crees que la botella de [Nombrar a Sami o Matías] contiene más agua? ¿Cómo son los tamaños de los vasos de Sami y Matías? ¿Cuál vaso contiene más agua? ¿Podrías comparar la cantidad de agua de las botellas con distintos tipos de vasos? ¿Por qué? Modere una conversación para discutir cuál de las botellas contiene más agua, las razones que los hacen pensar que Sami tiene más agua y que harían para decidir qué botella contiene más agua. Concluya con ellos la necesidad de utilizar la misma unidad de medida para comparar la capacidad de las botellas.

P. 17

Propósitos
Que los estudiantes comprendan la necesidad de utilizar una misma unidad de medida para comparar la capacidad de dos botellas.
Que los estudiantes elaboren estrategias para comparar el tamaño de paralelepípedos.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience recordando la estrategia que utilizaron para saber qué botella contiene más agua. Presente la Actividad 1 c) y pregunte: ¿por qué es importante utilizar el mismo vaso para comparar? Haga notar que al utilizar el mismo vaso, es posible comparar con mayor precisión y así determinar qué botella posee mayor cantidad de agua.
Presente la Actividad 2 y pregunte: ¿qué queremos comparar? ¿Qué forma tienen, en la ilustración, los dulces de membrillo? ¿Qué figura 3D mejor los representa?  Puede ocurrir que los estudiantes no recuerden los nombres de las figuras 3D, si es así ayúdelos describiendo las características principales del cubo y del paralelepípedo. Luego, plantee la pregunta del texto y promueva una discusión en torno a las diversas estrategias que pueden surgir para saber quién compró más dulce de membrillos. Si sus estudiantes proponen como estrategia cortar uno de los dulces de membrillos, pregunte: ¿qué tipo de corte realizarías? ¿Qué figura 3D podría tener este corte? ¿Cuál figura 3D es más conveniente utilizar un cubo o un paralelepípedo? ¿por qué? Oriéntelos. para que comprendan que necesitan contar con un referente para determinar quién compró más dulce de membrillo y que este debe tener ciertas características. Para ello, pregunte: ¿qué característica debe tener el cubo que nos ayude a comparar? ¿Cuáles podrían ser las medidas de sus aristas? ¿Por qué piensas que podría ayudar considerar un cubo con arista de 1 cm? Asegúrese de que noten que pueden cortar el dulce de membrillo en cubos de arista 1 cm para poder compararlos.
Consideraciones didácticas
En la actividad anterior los estudiantes pudieron notar que para poder comparar es necesario considerar una misma unidad de medida. En esta actividad sus estudiantes deberán encontrar un referente que permita comparar los dulces de membrillos. Oriéntelos para que descubran la figura 3D más apropiada, que en este caso es el cubo de arista 1 cm.

Ticket de salida página 17 • Tomo 2

P. 18

60 minutos

Propósitos
Que los estudiantes comparen el tamaño de paralelepípedos usando cubos de 1 cm de arista.
Que los estudiantes comprendan la noción de volumen de una figura 3D.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience recordando que en la última actividad decidieron utilizar un cubo con arista de 1 cm como referente para comparar los dulces de membrillo. Coménteles que ahora responderán a la pregunta de quién compró más dulces de membrillo, y para ello deberán encontrar un procedimiento que los lleve a responder dicha pregunta. Pregunte: ahora que los dulces de membrillos se encuentran cortados en cubos con arista de 1 cm, ¿cómo podemos saber la cantidad de cubos que contiene? Genere una conversación para que comuniquen sus estrategias acerca de cómo saber la cantidad de cubos que contienen los dulces de membrillos.
A continuación, pídales que comparen sus estrategias con las que plantean Juan y Gaspar. Pregunte: ¿quién pensó como [nombrar a Juan o Gaspar] ¿Qué realizó Juan para saber cuántos cubos contiene el dulce de membrillo? ¿Qué estrategia utilizó Gaspar? Se espera que sus estudiantes mencionen que, en ambos casos, calcularon la cantidad de cubos de cada capa y luego multiplicaron por la cantidad de capas de cada dulce de membrillo. Dé un tiempo para que realicen el cálculo del número de cubos y pídales que respondan a la pregunta de quién compró más.
Para formalizar el concepto volumen, pregunte: ¿cómo se determina el volumen de una figura 3D? Señale que la medida del espacio que ocupa una figura 3D se denomina volumen y que este se mide en unidades con cubo de arista 1 cm.
Invite a sus estudiantes a desarrollar el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
En esta actividad sus estudiantes asocian el volumen con una unidad de medida específica, que resumen las tres longitudes espaciales (largo, ancho y alto) bajo la misma medida (1 cm). Es recomendable no introducir aún la multiplicación de las tres medidas de longitud para la obtención del volumen, ya que se abordará en la siguiente actividad. En este parte, es importante que los estudiantes se enfoquen en el uso del cubo de arista 1 cm, que constituye una unidad de medida tridimensional unitaria que permite operacionalizar el conteo de 1 en 1 en relación con el espacio ocupado.

Cuaderno de Actividades páginas 12 y 13 • Tomo 2
Ticket de salida página 18 • Tomo 2

P. 19

Propósito
Que los estudiantes determinen el volumen de figuras 3D.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Para comenzar, recuerde las estrategias surgidas en la clase anterior.
Presente la Actividad 3 y pregunte: ¿cómo podemos calcular el volumen de estas figuras 3D? Sin realizar el conteo de 1 en 1, ¿cómo podemos determinar la cantidad de cubitos de arista 1 cm que caben en cada figura 3D? Se espera que los estudiantes consideren la estrategia estudiada en la página anterior. Para el ítem d) se espera que sus estudiantes logren identificar la cantidad de cubos que componen la figura 3D, ya que aparece solo insinuado. Dé un tiempo para que desarrollen la actividad. Inste a sus estudiantes a encontrar una estrategia más directa, basada en la multiplicación entre sí de las tres medidas de longitud (largo, ancho y alto). Pregunte: ¿cuántos cubos hay en la base? ¿Y en alto? ¿Y en el ancho? Si se sabe la cantidad de cubos en la base, en el ancho y en el alto, ¿cómo podrían encontrar el volumen?
Para la Actividad 4 pídales que observen la red que dibujaron Gaspar y Sofía, pregunte: a partir de la red dibujada por Gaspar, ¿cómo podemos saber el número de cubos que caben en la caja? ¿Cuántos cubos hay en la base de la caja? ¿Cuál es el alto de la caja en la red? ¿Cuál es el volumen de la caja de Gaspar? Se espera que sus estudiantes establezcan como estrategia multiplicar el número de cubos con arista 1 cm que se encuentran en la base de la figura 3D por el número de cubos que corresponden a la altura de la caja. Dé un tiempo para que encuentren el volumen de la caja de Sofía y realice una puesta en común para que sus estudiantes comuniquen el procedimiento realizado.
Invite a sus estudiantes a desarrollar el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Las actividades propuestas tienen el propósito de que los estudiantes elaboren estrategias que les permitan calcular el volumen de un paralelepípedo de manera directa, sin tener que contar 1 a 1 los cubos que componen la figura.

Cuaderno de Actividades páginas 14 y 15 • Tomo 2
Tickets de salida página 19 • Tomo 2

P. 20

Propósito
Que los estudiantes conozcan la unidad de litro y la usen para expresar el volumen de figuras 3D.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience señalando que el litro es una unidad de volumen que equivale a 1 000 cubos de arista de 1 cm.
En la Actividad 5 los estudiantes deben expresar el volumen de distintos paralelepípedos en litros. Dé tiempo para completar la información faltante. Promueva una discusión en torno a las respuestas de sus estudiantes. Para ello, pregunte: ¿cuántos litros equivalen a 2 000 cubos de 1 cm? (2 L) Si se tienen 3 litros, ¿a cuántos cubos de 1 cm equivalen? (3 000 cubos). Puede escribir en la pizarra las siguientes relaciones:
1 000 cubos de arista 1 cm equivale a 1 L
2 000 cubos de arista 1 cm equivale a 2 L
3 000 cubos de arista 1 cm equivale a 3 L
Para responder los ítems b), c) y d) se espera que los estudiantes planteen la estrategia de que si 1 L equivale a 1 000 cubos, entonces ½ L corresponde a 500 cubos de arista 1 cm, ya que corresponde a la mitad de cubos. Del mismo modo, deduzcan que 250 cubos de 1 cm de arista equivalen a 1/4 L. Complete la información de la pizarra con:
1 L equivale a 1 000 cubos con arista de 1 cm
½ L equivale a 500 cubos con arista de 1 cm
¾ L equivale a 750 cubos con arista de 1 cm

Consideraciones didácticas
En esta actividad se introduce la unidad de medida de litro, un concepto que es familiar para sus estudiantes, ya que ellos están acostumbrados a observar esta unidad de medida, por ejemplo, en jugos y bebidas.

Ticket de salida página 20 • Tomo 2

P. 21

Propósito
Que los estudiantes conozcan la unidad de cubo de arista 1 m y la usen para estimar el volumen de objetos grandes.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Solicite a sus estudiantes que piensen en cómo calcular el volumen de la sala y pregunte: ¿qué estrategia utilizarías para encontrar el volumen? Conduzca la conversación para que mencionen que utilizarían como referencia un cubo para determinar el volumen. Para profundizar en dicha idea pregunte: ¿qué características tendría este cubo? ¿Qué unidad de medida utilizarías para el cubo? Concluya con sus estudiantes que para determinar el volumen de la sala de clases es necesario utilizar como referente el cubo con arista de 1 m.
Para la Actividad 6 se espera que los estudiantes estimen el volumen de objetos más grande donde se debe utilizar la unidad de cubo de arista 1 m. Dé un tiempo para que trabajen, realice una puesta en común con las estimaciones y los procedimientos que realizaron para encontrar el volumen.
Presente Actividad 7 y pregunte: para estimar el volumen de [nombre cada objeto], ¿Qué cubos usarías: de arista 1 cm o de 1 m? Permita que sus estudiantes expongan sus argumentos sobre qué medida de cubo utilizar. Haga notar que aunque se puede usar como referente un cubo de arista 1 cm para medir objetos grandes, es conveniente considerar arista 1 m para realizar medidas más apropiadas.
Invite a sus estudiantes a desarrollar el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
En esta clase se presenta a los estudiantes distintos contextos donde deberán discriminar sobre cuándo es más conveniente utilizar el cubo de arista 1 m o 1 cm, basándose en la percepción del tamaño de volumen.

Cuaderno de Actividades páginas 16 • Tomo 2
Ticket de salida página 21 • Tomo 2

P. 22

Propósito
Que los estudiantes estimen el volumen de objetos irregulares
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comente a sus estudiantes que hasta ahora han calculado el volumen de figuras 3D de formas regulares, pero no todas las figuras son así. Proponga a sus estudiantes pensar en una estrategia para obtener el volumen de una papa. Para ello, pregunte: ¿cómo podemos encontrar el volumen de una papa? ¿Podemos utilizar la estrategia de formar cubos con arista de 1 cm? Genere una conversación para que comuniquen sus ideas con respecto a cómo ellos podrían calcular el volumen.
Luego, pídales que analicen lo que dice Ema y pregunte: ¿quién pensó como Ema? ¿En qué consiste la estrategia usada por Ema? ¿Cómo Ema sabe que el volumen de la papa es de 200 unidades de cubo de 1 cm? Asegúrese de que sus estudiantes comprendan que para obtener el volumen de la papa es necesario determinar la diferencia entre el volumen que marca el recipiente con la papa sumergida y el volumen inicial de agua en el recipiente. Posteriormente, pregunte: ¿creen que esta estrategia servirá para estimar el volumen de una piedra? ¿Qué ocurre si colocamos objetos pequeños o grandes? Invítelos a pensar si es pertinente utilizar la misma estrategia para encontrar el volumen de la piedra, qué ocurre si los objetos son pequeños, debemos cambiar la estrategia o nos ayuda esta misma.
Consideraciones didácticas
Si tiene la posibilidad, se sugiere realizar el experimento propuesto en esta actividad con sus estudiantes. Para ello, pídales un recipiente graduado, una papa y piedras de tamaño mediano. Invítelos a llenar el recipiente con líquido registrando la medida inicial, y luego solicíteles introducir una papa. Pregunte: ¿qué ocurre? ¿Cómo podemos saber el volumen de la papa? Oriéntelos a observar el cambio de volumen cuando la papa está sumergida en el recipiente y cuando no. Posteriormente, motívelos a realizar el mismo procedimiento para una piedra. Una vez finalizado el experimento continúe con el Texto del Estudiante. Con el propósito de reforzar sus estrategias pídales que analicen lo que dice Ema.

Cuaderno de Actividades páginas 17 • Tomo 2
Ticket de salida página 22 • Tomo 2

P. 23

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con el volumen de figuras 3D.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Para esta actividad retome el concepto de volumen utilizando medidas no estandarizadas. Para ello, pregunte: ¿cómo podemos medir el volumen de envases y figuras 3D? ¿Qué es importante tener en cuenta al momento de medir y comparar volúmenes? Enfatice en la idea de volumen como el espacio que ocupa un recipiente o figura 3D.
Presente los ejercicios y realice preguntas para asegurarse de que comprenden lo que deben hacer en cada caso. Monitoree el trabajo realizado y haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
Para el Ejercicio 1 pregunte a sus estudiantes si los recipientes son iguales o no en forma y tamaño. Luego, pregunte por la cantidad de vasos y botellas que se usan en cada caso. Se espera que sus estudiantes refuercen la importancia de usar una misma unidad de medida para comparar y que propongan varias estrategias, por ejemplo, pueden mencionar que usarán el mismo vaso o la misma botella para determinar el volumen.
En el Ejercicio 2 motive a sus estudiantes a determinar cuál de los recipientes tiene mayor volumen, pregunte: ¿podemos medir y comparar adecuadamente el volumen? ¿Por qué? Se espera que los estudiantes reconozcan que efectivamente se ha usado la misma unidad de medida en cada caso y logren cuantificar a partir de esta el volumen de cada recipiente.
En el Ejercicio 3 los estudiantes pueden utilizar la estrategia de contar 1 a 1 los cubos que contiene la figura 3D. Ínstelos a reconocer que en figuras construidas por pocos cubos es fácil utilizar la estrategia de contar 1 a 1 los cubos, pero en figuras de mayor volumen puede ser complejo. Además, haga notar que las figuras que se presentan no están compuestas.
En el Ejercicios 4 motive a sus estudiantes a explicar el procedimiento que realizó Matías para contar la cantidad de unidades de cubo que caben en la figura 3D, pregunte específicamente por la forma en la que este procedimiento facilita el conteo. Se espera que refuercen la idea de relacionar los arreglos de columnas y filas con lo que saben sobre multiplicación.

P. 24

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con el volumen de figuras 3D.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente los ejercicios y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Solicite que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo formulando preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
Para el Ejercicio 5 anime a sus estudiantes a realizar conjeturas para cada figura 3D compuesta de cubos unitarios, respecto de si tienen o no el mismo volumen. Indíqueles que registren en su cuaderno su estimación y luego invítelos a realizar el cálculo de volumen para cada figura 3D. Durante el monitoreo identifique qué estudiante operacionalizan el cálculo del volumen multiplicando la longitud del largo, ancho y alto. Observe también si surge la estrategia de comparar volúmenes que no involucren el cálculo. Por ejemplo, en a) y b), las figuras 3D comparten dos de las medidas de longitud, en este caso la comparación puede realizarse por simple inspección, identificando el exceso que se produce en la longitud que no tienen en común. Si aparecen estas estrategias utilícelas para la puesta en común. Haga notar que si una figura 3D está contenido en otra tendrá menor volumen.
En el Ejercicio 6 se espera que sus estudiantes utilicen la estrategia de multiplicar las longitudes de largo, ancho y alto para cada figura 3D. En la puesta en común muestre las figuras 3D de los ítems a) y f) e ínstelos a observar las medidas de sus aristas, y así poder saber  qué figura posee un mayor volumen. Concluya con ellos que otra estrategia que nos puede ayudar a ordenar las figuras 3D es realizando una comparación entre las medidas.
En el Ejercicios 7 se espera que sus estudiantes consideren el cubo con arista de 1 m y estimen el volumen del gimnasio municipal.

Ticket de salida página 24 • Tomo 2

P. 25

65 minutos

35 minutos

Propósito
Que los estudiantes ejerciten lo aprendido sobre el cálculo del volumen de figuras 3D.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente el Ejercicio 8 y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Solicite que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
Antes de presentar el Ejercicio 9 promueva una discusión en torno a cómo estimar el volumen de una mano. Para ello, pregunte: ¿cómo podemos estimar el volumen de la mano? Puede que mencionen la estrategia de introducir un objeto en un recipiente con agua. Para profundizar en esta idea, pregunte: ¿podemos introducir la mano en un recipiente pequeño? Genere una conversación para que observen que no es factible realizar dicho procedimiento, pero que necesitan el recipiente con graduación para observar la diferencia de volumen. A continuación, presente el Ejercicio 9 se espera que sus estudiantes expliquen el procedimiento para estimar el volumen de una mano que se sumerge en un recipiente.
Invite a sus estudiantes a desarrollar el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 18 y 19 • Tomo 2
Ticket de salida página 25 • Tomo 2

Capítulo 13

Fracciones

Visión general
En este capítulo se profundiza en el concepto de número a través del estudio de las fracciones en torno a la resolución de problemas y cálculos aditivos con fracciones de igual denominador.
Interesa que los estudiantes amplíen su comprensión sobre las fracciones en el contexto de la medición de magnitudes como la longitud y el volumen, representándolas como parte de un todo, como un punto en la recta numérica y como parte de un grupo de objetos, y a partir de estos modelos inicien el estudio de problemas y cálculos aditivos.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA8: Demostrar que comprende las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:
•	Explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica.
•	Describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones.
•	Mostrando que una fracción puede tener representaciones diferentes.
•	Comparando y ordenando fracciones (Ejemplo: , , , , ) con material concreto y pictórico.
1
100
1
8
1
5
1
4
1
2
OA9: Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de manera concreta y pictórica en el contexto de la resolución de problemas.
OA10: Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el 5 de manera concreta, pictórica y simbólica, en el contexto de la resolución de problemas.
Aprendizajes previos
•	Usan fracciones para representar partes de un todo.
•	Leen y escriben fracciones de uso común.
•	Comparan fracciones de igual denominador.
Actitud
Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.

13

P. 26

Propósito
Que los estudiantes usen las fracciones para representar partes de un todo.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Cinta de 1 m y trozo de cinta de  m para cada grupo de estudiantes.
1
3
Gestión
Inicie la clase entregando los recursos a cada grupo de estudiantes para realizar la Actividad 1. Indíqueles que la cinta larga mide 1 m, pero que no se sabe la medida del trozo de cinta más pequeño. Desafíelos a determinar la medida del trozo de cinta, con preguntas como, por ejemplo: ¿cómo podemos saber la medida del trozo de cinta si solo se sabe la medida de la cinta larga? ¿Será posible que la cinta pequeña quepa una cierta cantidad de veces en la cinta larga? ¿Cómo podrían escribir esa medida? Permita que exploren y discutan una solución en grupos. Se espera que los estudiantes reconozcan que la cinta pequeña cabe 3 veces en la cinta larga y que, por lo tanto, la cinta pequeña es la tercera parte de la larga.
A continuación, pida que abran en Texto del Estudiante y que lean y analicen las ideas que se presentan en el recuadro de la mascota para recordar la escritura de las fracciones. Ponga énfasis en que las fracciones se usan para representar medidas o cantidades no enteras.
A continuación, invítelos a resolver las Actividades 2 y 3 de manera individual.

P. 27

Propósito
Que los estudiantes usen las fracciones para representar un punto en la recta numérica.
Habilidad
Representar.
Recursos
5 trozos de cinta de  m y una recta numérica como la que se muestra en el texto, para cada grupo de estudiantes.
Gestión
Para la Actividad 4 organice a los estudiantes en grupos. Entrégueles un trozo de cinta, indíqueles que mide  m. Enfatice en recordar la lectura y escritura de dicha fracción en la pizarra. Luego, entrégueles dos trozos más de cinta, y pregunte: si  pusieran una cinta a continuación de otra, sin que se  superpongan,  ¿cuánto mediría el total de la cinta? Permita que los estudiantes unan las cintas con cinta adhesiva y piensen en la respuesta. Se espera que, a partir de la actividad anterior, reconozcan que hay 3 veces  m por lo tanto, la medida total será  m. En seguida entrégueles un trozo más y pregunte: con 4 trozos, ¿cuántos quintos de metro mide la cinta? ¿Cuánto falta para completar 1 m? Para responder esta pregunta entregue la recta numérica a cada grupo de estudiantes y pídales que pongan sobre la recta la cinta que acaban de construir. Pídales que noten que la cinta que mide  m coincide con el punto de la recta en que se ubica el . A través de esto, se espera que los estudiantes reconozcan que a la cinta que mide  le faltan  m para completar 1 m y que 5 quintos ( m) es equivalente a 1 m.
3
5
4
5
5
5
Ponga énfasis en que los estudiantes visualicen, a través de la cinta construida y de la recta numérica, que una fracción unitaria (las que tienen 1 como numerador) está contenida una cierta cantidad de veces en otra fracción. Por ejemplo, 4 veces  es  o que  se forma con 4 veces .
Presente la Actividad 5 y pregunte: ¿por qué en la marca que está después del cero está el ? Se espera que los estudiantes reconozcan que la recta numérica está graduada en sextos, es decir, entre dos marcas consecutivas hay  y, por lo tanto, en la flecha se ubica  L. Pídales que avancen de  en  hasta llegar al , y luego, continúen hasta llegar a 1 L. Una vez que reconozcan que en la flecha se ubica  L, se espera que reconozcan que  L se ubica en la marca que está justo antes.
1
6
4
6
3
6
Finalmente, pídales que desarrollen los ejercicios de la sección Practica y los del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
El uso de los diagramas y rectas numéricas facilita la comprensión de las fracciones. Para visualizar medidas de volumen en fracciones es más pertinente utilizar diagramas, mientras que la longitud se aprecia mejor en los modelos de barras o rectas numéricas. Considere crear actividades con rectas numéricas considerando actividades en las que:
a) Se presente un intervalo con dos números enteros y se debe determinar la graduación.
b) Se presenta la graduación y se deben ubicar otras fracciones en la recta.

Cuaderno de Actividades páginas 20 y 21 • Tomo 2
Tickets de salida página 27 • Tomo 2

P. 28

Propósito
Que los estudiantes usen las fracciones para representar una parte de un conjunto de objetos.
Habilidad
Representar.
Recursos
8 manzanas rojas y 8 manzanas verdes para presentar al curso (pueden ser reemplazadas por pelotas). Imagen de la bandeja de huevos de la Actividad 7.
Gestión
Para la Actividad 6 ponga las 16 manzanas mezcladas en un cajón en un lugar visible por todos los estudiantes. Indique que en el cajón hay 16 manzanas y que un medio de las manzanas son rojas, anote en la pizarra:  del total son rojas. Pregunte: ¿cuántas manzanas son rojas? Dé un tiempo para que los estudiantes piensen en una respuesta. Mientras trabajan, apóyelos con preguntas como: ¿qué significa un medio? (Una parte de 2) ¿Cómo se podría separar el total de manzanas en dos partes? Invítelos a separar las manzanas en dos grupos siguiendo el criterio de color. ¿Cuántas manzanas son rojas? (8) ¿Cuántas manzanas son verdes? (8) ¿En cuántas partes separaron las manzanas? (En 2) ¿Cuántas partes de las manzanas son rojas? (Una) Enfatice que las fracciones también se usan para representar una parte de un grupo de objetos. En este caso, una parte de las manzanas son rojas y, como el grupo de manzanas se separó en 2 partes iguales, las manzanas rojas representan  del total, por lo tanto, las manzanas verdes también representan  del total, porque en un entero hay 2 medios. Destaque que si hay  de manzanas verdes y  de manzanas rojas entonces hay la misma cantidad de cada color.
Para sistematizar la actividad pida que abran el Texto del Estudiante y que visualicen en el modelo de barras y las representaciones pictóricas el significado de  de 16.
Para la Actividad 7, presente la bandeja de huevos en la pizarra y pregunte: ¿hay más huevos blancos o cafés? (Cafés) ¿Podrían ser los huevos blancos  del total? (No, porque no hay la misma cantidad de huevos cafés y blancos) Si se quieren hacer grupos con la misma cantidad de huevos y además que tengan el mismo color, ¿cuántos grupos se pueden (5 grupos) ¿Cuántos grupos son de color blanco? (1 grupo) ¿Cómo creen que se puede representar con una fracción la parte que corresponde a los huevos blancos? Dé un tiempo para que los estudiantes exploren, discutan y busquen una respuesta. No apruebe ni desapruebe sus respuestas en este momento. Una vez que representan la cantidad de huevos blancos, desafíelos a encontrar una fracción que represente la cantidad de huevos cafés.

P. 29

Propósito
Que los estudiantes usen las fracciones para representar una parte de un conjunto de objetos.
Habilidad
Representar.
Gestión
Continúe invitando a los estudiantes a analizar las ideas de Matías y Ema, lo que favorecerá la sistematización de la Actividad 7 que resolvieron en la página anterior. Pida que expliquen con sus propias palabras cada idea apoyándose de los modelos de barras que se presentan. Es importante que los estudiantes comprendan que, en este caso, cada parte está compuesta por un grupo de objetos y que la suma de todos los grupos forma el todo o total.
Presente la Actividad 8 y dé un tiempo para que los estudiantes discutan en parejas. Se espera que reconozcan que hay la misma cantidad de manzanas rojas y verdes y que, independientes de la cantidad total de manzanas, las manzanas verdes son  del total. Para favorecer esto, puede plantear preguntas como: ¿hay más manzanas rojas o verdes? (Hay la misma cantidad) ¿En cuántas partes separarían el total de manzanas? (En dos partes) ¿Cuántas partes son verdes? (1 de 2 partes) ¿Cómo se representa esta relación con las fracciones? ( del total).
Presente la Actividad 9 y dé un tiempo para que la resuelvan de manera autónoma. Durante el trabajo plantee preguntas que permitan a los estudiantes identificar la relación entre las partes y el todo, como: ¿cuántas ovejas hay en total? (12) ¿Se pueden formar grupos con la misma cantidad de ovejas? (Sí) ¿De cuánto conviene hacer los grupos? Se espera que los estudiantes reconozcan que conviene hacerlos de 3 ovejas, porque hay 3 ovejas blancas, así las ovejas blancas serán 1 parte, entonces, con 12 ovejas se pueden formar 4 grupos de 3, es decir, 4 partes. Una vez que reconozcan que 1 de 4 partes corresponden a las ovejas blancas pregunte: ¿cómo podrían representar esta relación usando las fracciones? Se espera que reconozcan que  del total corresponden a las ovejas blancas y como a  le falta  para completar un entero, entonces  del total corresponden a las ovejas negras. Considere que es posible que algunos estudiantes identifiquen a una oveja como una parte y establezcan la relación  , porque 3 de 12 partes corresponden a ovejas blancas. En tal caso, muéstreles que ambas son equivalentes y válidas.
3
4
3
12
Invite a los estudiantes a realizar las actividades de la sección Ejercita. Observe que identifican a una parte como un grupo de 2 lápices, así 1 de 4 partes son negros, es decir,  del total y por tanto,   del total son blancos. Finalmente, pídales que desarrollen los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 22 • Tomo 2
Ticket de salida página 29 • Tomo 2

P. 30

Propósito
Que los estudiantes comparen fracciones de igual denominador.
Habilidad
Representar.
Recursos
•	Modelo de barras de la Actividad 1 para presentar en pizarra.
•	Diagrama de la Actividad 2 para presentar en pizarra.
Gestión
Inicie la clase presentando el modelo de la Actividad 1 en la pizarra e invitando a los estudiantes a analizarlo. Indíqueles que una cinta mide  m y la otra mide  m y pregunte: ¿cuál es la cinta que mide  m? Permita que los estudiantes exploren y determinen la medida de cada cinta. Se espera que reconozcan que la recta numérica está graduada en décimos, pues entre 0 y 1 hay 10 partes que miden  m. Así la cinta celeste mide   m y la cinta rosada mide  menos, es decir,  m. Pregunte: ¿cuál cinta es más larga? (La cinta celeste) ¿Qué es mayor,  o ?  ) Enfatice que  se forma con 7 veces , por esto es mayor que  o 6 veces .
7
10
6
10
1
10
Para la Actividad 2 presente el diagrama que representa el tarro de pintura de Ema y pregunte: si Juan tiene un tarro con  L, ¿quién tiene más pintura? Permita que los estudiantes exploren de manera individual para encontrar una respuesta. Es posible que algunos estudiantes necesiten dibujar ambos diagramas en sus cuadernos y a partir de ellos comparar ambas cantidades. En cambio, otros, reconocerán que el tarro de pintura contiene  L de pintura y que si se compara con      L es mayor la cantidad que contiene el tarro de Juan. Destaque que  L se forma con 6 veces  L y que  L se forma con 4 veces  L, por ello,  L es mayor que  L.
6
7
4
7
1
7
Para sistematizar las actividades anteriores, pida a los estudiantes que analicen las ideas que se presentan en el recuadro de la mascota.
Presente la Actividad 3, y pida que analicen el diálogo entre Sami y Matías. Permita que los estudiantes discutan sobre quién tiene la razón. Esta actividad tiene como propósito que reconozcan que cuando se comparan dos o más fracciones es importante determinar el entero que se está considerando. En este caso ambos niños tienen tarros de pintura con una capacidad considerablemente distinta. Así la mitad del tarro de Sami puede contener menos cantidad que la mitad del tarro de Matías. Pregunte, si ambos tarros de pintura tuvieran la misma capacidad (o mismo tamaño), ¿podríamos decir que ambos tienen la misma cantidad de pintura? Se espera que los estudiantes indiquen que al ser ambos envases con la misma capacidad si se puede decir que tienen la misma cantidad de pintura. Adicionalmente, puede dar otros ejemplos donde es importante indicar cuál es el entero que se está considerando: Cuando se indica que dos personas tomaron  de vaso de jugo, donde es importante asegurarse que ambos vasos tienen el mismo tamaño o capacidad, o si se comieron  de un queque, se debe indicar si ambos queques son iguales.
Invite a los estudiantes a realizar las actividades del Ejercita y luego los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 23 • Tomo 2
Ticket de salida página 30 • Tomo 2

P. 31

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas y calculen sumas de fracciones de igual denominador.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Imágenes de la Actividad 1 y de la Actividad 2 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 1 en la pizarra. Favorezca la lectura colectiva del problema y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo, apoyándolos con preguntas como: ¿cuántos litros de leche bebió ayer? (  L, un quinto de litro) ¿Cuántos bebió hoy? ( L, dos quintos de litro) ¿Qué operación permite calcular el total? (Suma) ¿Cuál es la expresión matemática? ( + ). Luego, guíe la discusión en cómo se debe calcular una suma de fracciones con igual denominador. Para esto pregunte: ¿cómo creen que se deben sumar dos fracciones? ¿Qué pasará con los numeradores? ¿Y con los denominadores? Oriéntelos a descubrir que para calcular la suma de fracciones con igual denominador se deben sumar los numeradores y se mantiene el denominador, a partir del reconocimiento de la cantidad de veces que se repite . Es posible que los estudiantes mencionen que se deben sumar los numeradores y luego los denominadores para obtener la fracción que corresponde al resultado. Frente a esto, presente los diagramas de tal manera que noten que se están sumando quintos de litros, por lo tanto, el resultado también debe expresarse en quintos.
2
5
Invite a los estudiantes a comprender la Actividad 2 de manera individual. Para esto dé unos minutos y luego pregúnteles: ¿qué deben buscar? (La cantidad de metros de cinta que hay en total) ¿Qué datos tienen para hacerlo? (La cantidad de metros de cinta roja y la de cinta verde) ¿Qué operación matemática te permite calcular lo que buscas? (Suma). Ahora, pídales plantear la expresión matemática ( + ) y explicar el modelo de barras presentado en la pizarra. Se espera que los estudiantes expliquen que la primera barra corresponde a los  de cinta roja y la que está a continuación a los  de la cinta verde, por lo que la medida de  corresponde a la medida total de cinta que se tiene.
3
8
2
8
?
Sistematice la suma de fracciones de igual numerador analizando con los estudiantes el recuadro de la mascota presentado en el Texto del Estudiante. Enfatice en la importancia de mantener el denominador y no sumarlos.

P. 32

Propósito
Que los estudiantes calculen restas de fracciones de igual denominador.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Imágenes de la Actividad 3 y de la Actividad 4 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 3 en la pizarra. Favorezca la lectura colectiva del problema y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo, apoyándolos con preguntas como: ¿qué deben buscar? (La cantidad de litros de agua que quedan) ¿Qué datos tienen para hacerlo? (La cantidad de litros de agua que había y la que se ocupó) ¿Qué operación matemática te permite calcular lo que buscas? (Resta) ¿Cuántos litros de agua había? ( L, cuatro quintos de litro) ¿Cuántos litros se ocuparon? ( L, un quinto de litro) ¿Cuál sería la expresión matemática? ( - ) Luego, guíe la discusión sobre cómo se debe calcular una resta de fracciones con igual denominador. Para esto pregunte: ¿cómo creen que se debe restar una fracción a otra? ¿Qué pasará con los numeradores? ¿Y con los denominadores? Oriéntelos a descubrir que para calcular la resta de fracciones con igual denominador se deben restar los numeradores y mantener el denominador, al igual que en la suma. Es posible que los estudiantes mencionen que se deben restar los numeradores y los denominadores para obtener la fracción que corresponde al resultado. Frente a esto, presente los diagramas de tal manera que noten que se están restando quintos de litros, por lo tanto, el resultado también debe expresarse en quintos.
Invite a los estudiantes a comprender la Actividad 2 de manera individual. Para esto dé unos minutos y luego pregúnteles: ¿qué deben buscar? (La cantidad de metros de cinta que quedan) ¿Qué datos tienen para hacerlo? (La cantidad de metros de cinta que se tenía y la que se cortó) ¿Qué operación matemática te permite calcular lo que buscas? (Resta). Ahora, pídales plantear la expresión matemática ( - ) y explicar el modelo de barras presentado en la pizarra. Se espera que los  estudiantes expliquen que la barra completa corresponde al total de cinta ( m) y que la primera parte corresponde a lo que se cortó ( m), por lo que la segunda parte de la barra corresponde a lo que quedó de cinta.
7
8
5
8
Sistematice la resta de fracciones de igual denominador analizando con los estudiantes el recuadro de la mascota presentado en el Texto del Estudiante. Enfatice en la importancia de mantener el denominador y no restarlos.

P. 33

Propósito
Que los estudiantes analicen situaciones que involucran el cálculo de sumas y restas de fracciones de igual denominador.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Imagen de la Actividad 5 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 5 en la pizarra. Lea de manera colectiva el problema y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Luego, pregunte: ¿qué operación permite saber la respuesta? (Resta) ¿Cuál es la expresión matemática? Permita que escriban la resta en sus cuadernos. Guíe a los estudiantes a que recuerden que se debe restar el número menor al número mayor e invítelos a comparar las fracciones para identificar cuál es mayor, preguntándoles: ¿cuál es la fracción mayor? () Entonces, ¿cuál ocupará el primer término de la resta o minuendo? () ¿Y cuál será el segundo término o sustraendo? (). Luego, pídales escribir la expresión que representa el problema y permite resolverlo  ( - ) y que calculen el resultado, considerando las condiciones para calcular una resta entre fracciones de igual denominador.
2
6
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la Actividad 6. Pregunte a sus estudiantes: ¿cómo podemos calcular esta resta? Se espera que comprendan que se debe expresar el entero como una fracción que tenga el mismo denominador que el segundo término de la resta (). Para esto pregunte: ¿cuántas veces  es 1? (7) Entonces, ¿qué fracción con denominador 7 equivale a 1? (). Pídales calcular la resta y comprobar sus cálculos representando con dibujos las fracciones.
7
7
Pida a los estudiantes desarrollar la Actividad 7. Esta actividad le permitirá evaluar la comprensión alcanzada por sus estudiantes respecto de la suma y resta de fracciones de igual denominador. En a) se deben dar cuenta que se sumaron los numeradores y los denominadores; en b) se mantuvo el numerador (que eran iguales) y se sumaron los denominadores; en c) que se restaron los numeradores y los denominadores; y en d) que se sumaron en vez de restarse los numeradores y se mantuvo el denominador.
Invite a los estudiantes a realizar las actividades del Ejercita. Monitoree que en la Actividad 1 al sumar o restar se mantengan los denominadores y se operen los numeradores; en la Actividad 2 que planteen una suma de fracciones con igual denominador y en la Actividad 3 una resta de fracciones con igual denominador.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 24 y 25 • Tomo 2
Tickets de salida página 33 • Tomo 2

P. 34

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de los números mixtos.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Imagen de la Actividad 1 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 1 en la pizarra. Invite a los estudiantes a resolverla en parejas. Para esto, dé unos minutos de reflexión para luego compartir las distintas respuestas. Monitoree este trabajo preguntándoles: ¿en cuántas partes iguales están divididos los recipientes? (4) ¿Qué fracción se relaciona con cada recipiente? (en los tres primeros recipientes y  en el cuarto recipiente) Entonces, ¿cuántos enteros hay? (3) ¿Y cuántos cuartos más hay? (Hay  más).
4
4
Luego, pídales responder las preguntas a), b) y c), considerando en c) la cantidad de recipientes completos y el que tiene una fracción de este. Así, se espera que los estudiantes planteen el número mixto 3  (tres enteros y un cuatro).
Sistematice la construcción de un número mixto apoyado en la información que se entrega en el recuadro de la mascota.
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la Actividad 2 de manera independiente. Dé tiempo para esto. Se espera que los estudiantes sean capaces de identificar rápidamente la cantidad de enteros y luego la parte fraccionaria. Si hay dificultades puede guiarlos con preguntas como: ¿cuántos enteros hay? ¿En cuántas partes iguales están divididas las medidas que no están completas? ¿Cuántas de esas partes están consideradas?
Consideraciones didácticas
Si bien el trabajo de números mixtos tiene directa relación con las fracciones mayores que 1 o fracciones impropias, en este nivel solo se abordará completando enteros. Así, si se completa un entero, se debe comenzar a completar otro y no a escribir la fracción impropia relacionada.

P. 35

Propósito
Que los estudiantes comprendan los números mixtos.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Imágenes de la Actividad 3 para presentar en la pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 3 a), solo la imagen de los recipientes, sin las fracciones asociadas. Dé un tiempo de trabajo individual y luego pregúnteles: ¿cuánto líquido hay en cada recipiente? () ¿Cuántas veces  equivale a 1? (3) ¿Se alcanzan a completar 2 enteros? (No) ¿Cuántos litros enteros se pueden formar? (1) ¿Cuánto líquido queda? ( L). Puede pedirles que en paralelo vayan representando con dibujos el número mixto que corresponde a la cantidad de litros de agua.
2
3
Continúe presentando la Actividad 3 b), al igual que la a), solo la imagen de los recipientes, sin las fracciones asociadas. Motive el análisis y la reflexión en parejas y luego motive la discusión. En este caso, se completan enteros y no hay parte fraccionaria. Guíe este trabajo preguntándoles: ¿cuánto líquido hay en cada recipiente? () ¿Cuántas veces  equivale a 1? (2) ¿Se alcanzan a completar 2 enteros? (Sí). Puede pedirles que en paralelo vayan representando con dibujos el número mixto que representa la cantidad de litros de agua.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a realizar las actividades de la sección Ejercita. Monitoree que en ambos ejercicios vayan completando enteros y lo que les queda es la parte fraccionaria. Para esto, pídales identificar la cantidad de partes iguales en que está dividido cada entero.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 26 • Tomo 2
Ticket de salida página 35 • Tomo 2

P. 36

Propósito
Que los estudiantes ejerciten la representación, la comparación y el cálculo de sumas y restas de fracciones de igual denominador.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1 los estudiantes deben reconocer la fracción que representa la parte pintada del metro. Para esto, se espera que identifiquen la cantidad de partes iguales en que fue dividido para así determinar el denominador y luego la cantidad de partes pintadas, que corresponde al numerador.
En el Ejercicio 2 los estudiantes deben identificar todas las fracciones que hay en la recta numérica. Para esto, se espera que identifiquen la cantidad de partes iguales en que fue dividida (9), antes de comenzar a reconocer cada fracción.
En el Ejercicio 3 los estudiantes deben identificar la fracción que representa a cada grupo: a los peces pequeños y a los grandes.
En el Ejercicio 4 los estudiantes deben comparar las fracciones para ordenarlas de menor a mayor. Como son fracciones de igual denominador, solo deben comparar los numeradores.
En el Ejercicio 5 los estudiantes deben calcular sumas y restas de fracciones de igual denominador. Para hacerlo, deben mantener el denominador y sumar o restar los numeradores. En los ejercicios j) y l), deben expresar el entero como una fracción que tenga el mismo denominador que el segundo término o sustraendo.
En el Ejercicio 6 los estudiantes deben expresar como número mixto cada medida. En b) se espera que vayan completando enteros.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 27 • Tomo 2
Ticket de salida página 36 • Tomo 2

P. 37

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de las fracciones y números mixtos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 deben determinar la medida de líquido que contienen los envases graduados. Se espera que reconozcan que el envase A está graduado en  L, el B en  L y el C en  L, por lo tanto, el envase A es de Matías, el B de Juan y el C de Sami.
En el Problema 2 los estudiantes deben determinar qué fracción representa a una parte del total de objetos. Se espera que reconozcan que hay la misma cantidad de cada color, por lo tanto, se puede separar el total en 3 partes, así 1 de 3 partes son de color verde, es decir,  del total son verdes.
En el Problema 3 deben identificar y argumentar las condiciones sobre las cuáles es necesario comparar dos cantidades fraccionarias. En este este caso, se espera que reconozcan que es necesario indicar que el queque es del mismo tamaño.
En el Problema 4 dada la suma, indican los posibles sumandos. Observe que reconocen que ambos sumandos deben tener el mismo denominador. Permita que compartan sus respuestas, de tal manera que noten que existen distintas soluciones.
En el Problema 5 dada la resta, indican los posibles minuendos y sustraendos. Observe que reconocen que ambos términos deben tener el mismo denominador y que el primero debe ser mayor que el segundo. Permita que compartan sus respuestas, de tal manera que noten que existen distintas soluciones.
El Problema 6 deben presentar cada fracción utilizando diagramas. Es posible que utilicen diagramas que representan el volumen de líquidos o barras que representen longitudes.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 28 • Tomo 2
Tickets de salida página 37 • Tomo 2

Capítulo 14

Números decimales

Visión general
En este capítulo se inicia el estudio de los números decimales en el contexto de la medición de longitudes no enteras. Interesa que los estudiantes utilicen el conocimiento que poseen de las fracciones para comprender la representación de los números decimales y comparar y calcular sumas y restas de decimales, en contextos de resolución de problemas.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA11: Describir y representar decimales (décimos y centésimos):
Representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo.
Comparándolos y ordenándolos hasta la centésima.
OA12: Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la centésima en el contexto de la resolución de problemas.
Aprendizajes previos
Comprender el significado de las fracciones como parte de un todo y como puntos de la recta numérica.
Representar fracciones propias y números mixtos con denominadores 10 y 100.
Comparar fracciones con denominadores 10 y 100.
Sumar y restar números naturales usando el algoritmo convencional.
Actitud
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

14

P. 38

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado y uso de los números decimales en el contexto de la medición de longitudes.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Cinta de 2 m que esté graduada en décimos de metro (cada metro dividido en 10 partes, como se muestra en la imagen), cinta de regalo de 1,20 m para cada grupo de estudiantes. Tabla de la Actividad 1 b) para presentar en pizarra.
Gestión
Organice a los estudiantes en grupos y entrégueles ambas cintas. Desafíelos a explorar y averiguar la medida de la cinta de regalo utilizando la cinta graduada. Monitoree el trabajo planteando preguntas como: ¿la cinta mide más o menos de 1 m? (Más de 1 m) ¿Qué números se usan para representar medidas no enteras? (Las fracciones) ¿Cómo se puede saber la medida del trozo de cinta que sobrepasa el metro? ¿En cuántas partes está dividido cada metro en la cinta graduada? (En 10 partes) Entonces, ¿cuánto representa cada parte del metro? (Una décima parte de 1 m o  m) Si hay dos veces  m,   ¿cuántos décimos mide el trozo de cinta que sobrepasa el metro? ( m) Se espera que los estudiantes reconozcan que la cinta mide 1 m completo y  m más, es decir, 1m.
2
10
Explique a los estudiantes que existen otros números que, al igual que las fracciones, se usan para representar medidas no enteras, y que se denominan números decimales. Pegue la tabla de la Actividad 1 b) en la pizarra e invítelos a escribir las cantidades que en ella se indican. Destaque que la coma se usa para poder identificar donde se ubica la unidad, ya que se registra siempre a la derecha de la unidad, que, en este caso, es el metro.
Para sistematizar la actividad, pídales que analicen y lean las ideas que se presentan en el Texto del Estudiante.

P. 39

Propósitos
Que los estudiantes expresen una medida no entera como número decimal.
Que los estudiantes ubiquen un número decimal en una recta numérica hasta los décimos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Cinta de 2 m que esté graduada en décimos de metro (cada metro dividido en 10 partes, como se muestra en la imagen), cinta de regalo de 1,90 m para cada grupo de estudiantes. Recta numérica de la Actividad 4 para presentar en pizarra.
Gestión
Para profundizar en el significado de los números decimales, continúe con el trabajo en grupos y entrégueles ambas cintas para realizar la Actividad 2 a). Desafíelos nuevamente a explorar y averiguar la medida de la cinta de regalo utilizando la cinta graduada, pero esta vez pídales que expresen la medida en decímetros (décima parte de un metro). Monitoree el trabajo planteando preguntas como: ¿la cinta mide más o menos de 2 m? (Menos de 2 m) ¿En cuántas partes está dividido cada metro en la cinta graduada? (En 10 partes) ¿Cuántos décimos más que 1 m tiene? (9 décimos de metro) Entonces, ¿cuánto representa cada parte del metro? (La décima parte de 1 m o 0,1 m) ¿Cuántas partes hay en total? (19 partes) ¿Cuánto es 19 veces 0,1 m? (19 décimos de metro o 19 decímetros).
Pida a los estudiantes que abran el Texto del Estudiante para que sistematicen la Actividad 2 a) y realicen la Actividad 2 b), reconociendo a través de la imagen que la cinta mide 1,9 m o 9 decímetros más que 1 m y que en la Actividad 2 c) a la cinta le falta 0,1 m o 1 decímetro para completar 2 m.
En la Actividad 4, presente la recta numérica en la pizarra y, simultáneamente, pida a los estudiantes que observen la del Texto del Estudiante y pregunte: ¿qué número se ubica en la marca que está después del cero en esta recta numérica? (0,1) ¿Cuántas marcas hay entre 0 y 1? (10) ¿Hay la misma cantidad de marcas entre 1 y 2 que entre 2 y 3? (Sí) Destaque que la graduación se repite entre los demás intervalos, por lo tanto, entre dos marcas consecutivas se aumenta (o disminuye) en 0,1. Adicionalmente, puede formular preguntas que permitan a los estudiantes ubicar otros números sin recurrir al conteo de 0,1 en 0,1, como: ¿qué número está en la marca que está justo antes del 3? (2,9) ¿Cómo lo supieron? (Porque a 2,9 le falta 0,1 para llegar a 3).
Invite a los estudiantes a realizar los ejercicios del Ejercita. Si los estudiantes presentan dificultades para realizar el Ejercicio 1, puede pedirles que se apoyen en la tabla de valor posicional.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 29 y 30 • Tomo 2
Ticket de salida página 39 • Tomo 2

P. 40

Propósito
Que los estudiantes expresen una medida no entera como número decimal hasta la centésima.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Cinta de 1 m que esté graduada en decímetros y centímetros (como se muestra en la imagen) y cinta de regalo de 65 cm para cada grupo de estudiantes. Tabla de valor posicional con 3 posiciones desde la unidad hasta los centésimos para presentar en pizarra.
Gestión
Inicie la clase presentando la Actividad 5. Desafíelos a explorar y averiguar la medida de la cinta de regalo utilizando la cinta graduada que disponen, pero esta vez que expresen la medida en centésimos de metro o centímetros (centésima parte de un metro). Monitoree el trabajo planteando preguntas como: ¿la cinta mide más o menos de 1 m? (Menos de 1 m) ¿Cuántos décimos de metro hay entre 0 y 1? (10 décimos de metros o decímetros) ¿En cuántas partes está dividido 1 decímetro? (En 10 partes) ¿Cuánto mide cada parte? (Para responder pida que cuenten en cuántas partes pequeñas está dividido 1 m, 100 partes) ¿Cuánto es 1 parte de 100? ( o un centésimo) ¿Entre 0 y 0,6 cuántos centésimos hay? (60 centésimos) ¿Cuántos centésimos más que 0,6 mide? (5 centésimos más). Se espera que los estudiantes reconozcan que la cinta mide 65 centésimos de metro.
Pegue la tabla de valor posicional en la pizarra y pregunte: ¿cómo se escribe 65 centésimos? ¿Cuántos décimos completos mide la cinta? (6) ¿Cómo se anota en la tabla? (Anotando un 6 en la posición de los décimos) ¿Cuántos centésimos más mide la cinta? (5) ¿Cómo se escribe en la tabla de valor posicional? (Anotando un 5 en la posición de los centésimos). Se espera que los estudiantes reconozcan que como la cinta mide menos de 1 m, en la posición de la unidad se anota un cero.
Pida a los estudiantes que abran el Texto del Estudiante para que sistematicen la Actividad 5 y que analicen la imagen de la Actividad 6, cuyo propósito es que visualicen que:
Al dividir una unidad en 10 partes iguales, cada parte representa 0,1.
Al dividir una unidad en 100 partes iguales, cada parte representa 0,01.
Al dividir un décimo en 10 partes iguales, cada parte representa 0,01.
Destaque que, al igual como ocurre con los números naturales, los números decimales también tienen una estructura de agrupaciones de 10. Cada 10 unidades de un determinado orden, se obtiene una unidad de orden superior. Así, si se tienen 10 décimos, se obtiene una unidad, o si se tienen 10 centésimos se obtiene un décimo. Destaque que en los números decimales la coma se registra a la derecha de la unidad y cumple la función de indicar dónde se ubica la unidad, así las posiciones a su derecha tienen un valor menor que 1.

P. 41

Propósito
Que los estudiantes expresen una medida no entera como número decimal hasta la centésima.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional con 3 posiciones desde la unidad hasta los centésimos para presentar en pizarra.
Gestión
Presente la Actividad 7. Pídales que analicen el número 2,38. Para ello, plantee preguntas a los estudiantes que le permitan evaluar su comprensión sobre la escritura de los números decimales, como: ¿qué dígito está en la posición de la unidad? (El 2) ¿Cómo lo saben? (Porque la coma está a la derecha del 2) ¿Qué valores tienen las posiciones que están a la derecha de la unidad? (0,1 y 0,01) ¿Cuál es el valor posicional del 3? (0,3) ¿Cuál es el valor posicional del 8? (0,08).
Para sistematizar las Actividades 6 y 7 pida que lean y analicen las ideas que se describen en el recuadro de la mascota en cuanto a los valores posicionales de las cifras que representan las subdivisiones de la unidad en grupos de 10. Señale que la lectura del número 2,38 es 2 enteros y 38 centésimos o 238 centésimos.
Una vez que los estudiantes comprendieron la Actividad 7, invítelos a realizar la Actividad 8 de manera autónoma. Procure que en la Actividad 8 a) reconozcan las posiciones teniendo como referencia que la coma está a la derecha de la unidad y que las posiciones que están a la derecha de la unidad son las que representan valores menores que 1, es decir, décimos y centésimos. En la Actividad 8 b) ponga atención a si registran la coma a la derecha del dígito que representa a la unidad.
Antes de continuar con la actividad siguiente, escriba un número en la pizarra y pídales que lo descompongan según el valor posicional. Por ejemplo, 345 = 300 + 40 + 5. Luego, plantee un número decimal, por ejemplo, 3,54 y desafíelos a descomponerlo según el valor posicional de sus dígitos (3 + 0,5 + 0,04).
A continuación, presente la Actividad 9 y pídales que escriban el número que se forma con cada una de las descomposiciones propuestas. Si los estudiantes presentan dificultad, oriéntelos a usar una tabla de valor posicional.
Invite a los estudiantes a realizar los ejercicios del Ejercita. Se espera que no recurran a la tabla de valor posicional para resolverlos. Sin embargo, si presentan dificultades puede pedirles que continúen apoyándose en ella.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 31 y 32 • Tomo 2
Ticket de salida página 41 • Tomo 2

P. 42

Propósito
Que los estudiantes comparen y ordenen números decimales hasta la centésima.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de cintas y tabla de valor posicional de la Actividad 1, para presentar en la pizarra o proyectar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1. Dé un tiempo para que lo comprendan de manera individual y pregúnteles: ¿qué se debe hacer para encontrar la solución de este problema? Se espera que reconozcan que se deben comparar las medidas de las cintas dadas en números decimales para determinar cuál es el trozo más largo.
Para activar los conocimientos de los estudiantes con respecto a la comparación de números naturales pregúnteles: ¿cómo se comparan números? (Comparando primero los dígitos con mayor valor posicional y luego los que siguen hasta comparar todos los dígitos que forman el número). Teniendo esto claro, invítelos a observar las cintas presentadas en la pizarra e indicar la medida de cada una. Podrán observar claramente que 0,5 es mayor que 0,4.
Invite a los estudiantes a leer y comprender de manera individual la Actividad 2. En este caso, se utiliza la recta numérica para comparar los números que están formados por 1 entero y 3 décimos, y 1 entero y 5 décimos, respectivamente. Recuerde junto con sus estudiantes características de la recta numérica, como por ejemplo que los números ubicados a la derecha de otro son mayores y que los ubicados a la izquierda de otro, son menores.
Presente a sus estudiantes la Actividad 3. Dé un tiempo para que la resuelvan en parejas, monitoreando sus análisis. Luego, pregúnteles: ¿cuál número es mayor? (0,3) ¿Cómo lo supieron? Se espera que los estudiantes reconozcan que al comparar los dígitos que ocupan la misma posición, en este caso los décimos, 3 es mayor que 2. Continúe preguntándoles: en el caso de los números decimales, ¿fijarse en la cantidad de dígitos que forman un número permite saber cuál es mayor o menor? Se espera que indiquen que en los números decimales este criterio no aplica, ya que después de la coma puede haber infinitos dígitos, no obstante, si el primero es menor que el de la misma posición de otro número, este número será menor. Puede presentarle los números 0,3456789 y 0,5, para ejemplificar esta situación.
Sistematice con sus estudiantes la importancia de que al comparar dos o más números se haga entre los dígitos que ocupan la misma posición en los números comparados.
Invite a los estudiantes a realizar los ejercicios de la sección Ejercita, monitoreando que al comparar números lo hagan de acuerdo con la posición que ocupan los dígitos y no con respecto a la cantidad de dígitos que forman los números.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 33 • Tomo 2
Ticket de salida página 42 • Tomo 2

P. 43

Propósito
Que los estudiantes calculen sumas de números decimales hasta la centésima con distinta cantidad de dígitos usando el algoritmo tradicional.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 en la pizarra y pregúnteles: ¿cómo se leen estas medidas? (2 enteros y 5 décimos o 25 décimos y 1 entero y 25 centésimos o 125 centésimos) ¿Qué número es mayor? (2,5) ¿Qué operación permite saber la cantidad de litros? (Suma). Dé un tiempo para que los estudiantes lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo poniendo atención en si alinean correctamente los dígitos de los números al sumarlos. Posteriormente, invítelos a socializar sus respuestas y procedimientos. Es posible que surja el uso del algoritmo o de alguna técnica no convencional, como la descomposición, incluso algunos estudiantes podrían hacer un cálculo mental.
La problemática de este cálculo está en que los números tienen distinta cantidad de dígitos. Si alinean bien los números, es posible que los estudiantes no tengan problema para calcular las unidades y los décimos, pero puede que no comprendan cómo continuar el cálculo, independiente de la técnica a la que recurran. Frente a esto, puede preguntarles: ¿qué valor hay en la posición de las centésimas en 2,5? (Ninguno) ¿Qué número usamos para indicar que no hay agrupación en una posición? (El cero) Entonces, ¿podemos poner un cero en la posición de los centésimos? (Sí). Destaque que 2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000. Así, los estudiantes podrían registrar los ceros si les facilita el cálculo.
Por otra parte, es posible que los estudiantes cometan un error al alinear a la derecha los dígitos, asociándolo al tipo de alineación que se realiza cuando se suman números naturales. Frente a ello, puede preguntarles: ¿cómo alineamos los dígitos cuando sumamos 25 y 125? (Según el valor posicional de los dígitos). Destaque que cuando sumamos decimales también se sigue ese principio. Luego, pregunte: ¿cuál es el rol de la coma en un número decimal? (Marcar la unidad) ¿Cuál es la unidad en 2,5? (El 2) ¿Cuál es la unidad en 1,25? (El 1) ¿Están alineadas las unidades de ambos números? (No). Permítales volver a alinear los dígitos. Presente la suma en una tabla de valor posicional para visualizar que, al estar los dígitos alineados por su valor posicional, las comas también se alinean, por lo que es útil alinear los números según la coma.
Sistematice invitándolos a analizar el recuadro que se presenta en el Texto del Estudiante.
Pídales resolver la Actividad 2, prestando atención que en a) se considera la reserva de los décimos en las unidades; en b), que al haber ceros después de la coma, se considera solo el entero; y en c), que, si les facilita el cálculo, registren los ceros después de la coma para alinear los números de manera correcta.
Invite a los estudiantes a realizar los ejercicios del Ejercita, monitoreando que al sumar los números decimales consideren los valores posicionales para alinearlos.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 34 • Tomo 2
Ticket de salida página 43 • Tomo 2

P. 44

Propósito
Que los estudiantes calculen restas de números decimales hasta la centésima con distinta cantidad de dígitos usando el algoritmo tradicional.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver la Actividad 3, leyéndolo en conjunto y dando un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Monitoréelos apoyándolos con preguntas como: ¿qué operación permite calcular lo que queda del total si se quita una parte? (Resta) En una resta, ¿cuál número ocupa el primer término (Minuendo)? (El número mayor) ¿Cuál es el mayor? ¿Por qué? (2,75 porque tiene 2 unidades, en cambio el otro número tiene 1 unidad).
A continuación, permita que los estudiantes socialicen sus respuestas y argumentos. Se espera que reconozcan que, al igual que en la suma de decimales, en la resta de decimales se aplica el algoritmo como si fueran números naturales, alineando los números de acuerdo con el valor posicional de sus dígitos.
En este caso, los números involucrados en el cálculo también están formados por distinta cantidad de dígitos, por lo que la complejidad está en que alineen correctamente los números para calcular.
Para sistematizar la actividad invite a los estudiantes a abrir el Texto del Estudiante y analizar las ideas que ahí se presentan, enfatizando en lo que se destaca en el recuadro Cómo restar 2,75 y 1,5 usando el algoritmo.
En la Actividad 4 se consideran distintos casos. En a) se debe desagrupar la unidad del minuendo para poder restar. En b) y c) se presentan restas en que el minuendo tiene menos cifras que el sustraendo, por lo que se espera que los estudiantes registren un cero en los décimos y en los centésimos, respectivamente, igual como lo hicieron para la suma. Destaque que registrar el cero les permite visualizar que se requerirá hacer un reagrupamiento, pues el dígito del minuendo es menor que el del sustraendo.
Invite a los estudiantes a realizar los ejercicios del Ejercita, monitoreando que al restar los números decimales consideren el valor posicional de los dígitos.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 35 • Tomo 2
Ticket de salida página 44 • Tomo 2

P. 45

Propósito
Que los estudiantes ejerciten la representación, la comparación y el cálculo de sumas y restas de números decimales hasta la centésima.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego, en una plenaria revisar y aclarar dudas o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1, los estudiantes deben expresar con dígitos los números decimales a partir de su lectura.
En el Ejercicio 2, los estudiantes deben responder preguntas asociadas a la comprensión de la formación de números decimales. Es importante la consideración del valor posicional de los dígitos que forman un número decimal.
En el Ejercicio 3, los estudiantes deben seguir la secuencia de números decimales que consideran hasta la décima.
En el Ejercicio 4, los estudiantes deben reconocer los números decimales ubicados en la recta numérica. Se espera que los estudiantes identifiquen cuál es la graduación de la unidad en la recta para así identificar que los números consideran hasta la décima.
En el Ejercicio 5, los estudiantes deben comparar parejas de números para identificar el mayor. Es importante que para realizar esta tarea comparen los dígitos que ocupan la misma posición.
En el Ejercicio 6, los estudiantes deben calcular sumas y restas de números decimales. Para esto, deben alinear considerando el valor posicional de los dígitos que forman cada número, considerar reagrupaciones (sumas) o desagrupar (restas) y escribir los ceros en caso de que se requiera para facilitar los cálculos.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 36 • Tomo 2

P. 46

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de la representación, la comparación y el cálculo de sumas y restas de números decimales hasta la centésima.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego, en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 deben responder preguntas relacionadas a la comprensión de la formación de los números decimales.
En el Problema 2, los estudiantes deben comparar tríos de números para luego ordenarlos de mayor a menor. Para esto es importante que comparen los dígitos que ocupan la misma posición en los números y considerar que en los números decimales no es mayor el número que está formado por más dígitos.
En el Problema 3, los estudiantes deben calcular sumas y restas de números decimales. Para esto es importante que alineen los números considerando el valor posicional de los dígitos que lo forman, considerar reagrupaciones (sumas) o desagrupar (restas) y escribir los ceros en caso de que se requiera para facilitar los cálculos.
En el Problema 4, los estudiantes deben resolver dos problemas aditivos que consideran cálculos con números decimales. En a) deben plantear una suma y en b) una resta. En ambos casos deben considerar alinear los números de acuerdo con el valor posicional de sus dígitos.
En el Problema 5 se espera que los estudiantes apliquen la comprensión adquirida sobre números decimales para reconocer que 3,6 + 1,4 corresponde a sumar 36 décimos y 14 décimos, que es igual a 50 décimos o 5 unidades.
El Problema 6, es no rutinario y los estudiantes deben aplicar todos sus conocimientos respecto de los números decimales, en especial de la suma y de la resta. En a) al menos uno de los sumandos debe tener centésimas. Para b), si se consideran centésimas, estas deben ser iguales, así el resultado de esta posición será cero. Para c) se pueden considerar uno o ambos números hasta la centésimas, pero deben sumar decenas con el fin de registrar ceros en las posiciones decimales. En d) se puede dar el mismo caso de las centésimas que en b).
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 37 • Tomo 2
Ticket de salida página 46 • Tomo 2

Aprendizajes previos
Resuelven problemas simples de adición y sustracción.
Comparan cantidades y establecen relaciones de orden de números utilizando una balanza.
Representan problemas simples con modelos de barras.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas

Capítulo 15

Ecuaciones e inecuaciones

Visión general
En este capítulo se realiza un estudio de las ecuaciones e inecuaciones que viene desarrollándose desde 3° básico. Las ecuaciones e inecuaciones se vinculan a expresiones matemáticas con números desconocidos. Interesa que los estudiantes se enfrenten a situaciones desafiantes donde estas nociones aparecen como medios para su abordaje. Las estrategias para resolver las ecuaciones e inecuaciones favorecen la comprensión de las expresiones matemáticas y no se recurre a técnicas formales.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA14: Resolver ecuaciones e inecuaciones de un paso que involucren adiciones y sustracciones, comprobando los resultados en forma pictórica y simbólica del 0 al 100 y aplicando las relaciones inversas entre la adición y la sustracción.

15

P. 47

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucren ecuaciones de un paso.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Presente a los estudiantes el Actividad 1 que involucra un problema aditivo simple. Pregunte: ¿cuáles son los datos? ¿Cuál es la cantidad desconocida? ¿Qué operación permite resolver el problema? ¿La palabra “más” se asocia a una suma? Dé tiempo para que aborden el problema, y luego haga una puesta en común para que comuniquen sus respuestas y las justifiquen.
Se espera que los estudiantes no tengan dificultades en reconocer que el cálculo 53 – 35 permite obtener la respuesta al problema.
Una vez que expongan sus respuestas y estrategias, pídales que analicen las que se muestran en el Texto del Estudiante:
Matías plantea una expresión matemática con un símbolo. Y para encontrar el número desconocido, va probando con varios números hasta encontrar el que sirve.
Ema realiza un modelo de barra de comparación de dos cantidades que le permite decidir que la resta es la operación que resuelve el problema.

P. 48

25 minutos

Propósitos
Que los estudiantes modelen problemas usando ecuaciones.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma a + x = b y x + a = b comprendiendo la expresión matemática involucrada.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Sistematice la noción de ecuación involucrada en el problema de la página anterior, destacando que:
6 +   = 15 es una expresión matemática que tiene un número desconocido que se representa con un símbolo. Puede ser un triángulo, un cuadrado, etc.
A esta expresión también le llamamos ecuación.
Dicha ecuación involucra la pregunta ¿6 más qué número da resultado 15?
Responder esa pregunta involucra averiguar la solución de la ecuación o encontrar el número desconocido de la expresión matemática.
Para resolver la ecuación podemos restar 15 – 6.
Continúe la clase invitando a los estudiantes a realizar la Actividad 2, en la cual deben resolver un problema planteando una ecuación. Gestione de la misma manera que en el problema de la página anterior. Una vez que expongan sus respuestas y estrategias, pídales que analicen el modelo de barras y las ecuaciones que se muestran en la página. Concluya junto con los estudiantes que ambas ecuaciones o expresiones matemáticas representan el problema y permiten encontrar la respuesta.
Invite a los estudiantes a realizar la actividad de la sección Ejercita, en la cual deben resolver ecuaciones como las estudiadas. Observe cómo obtienen la solución a las ecuaciones. En algunos casos pueden encontrar el resultado restando, y en otras identificarlo inmediatamente.
Consideraciones didácticas
En esta parte del capítulo se estudian las ecuaciones del tipo x + a = b y a + x = b, las cuales llamamos ecuaciones de suma. Pertenecen a las denominadas ecuaciones de un paso, ya que involucran sólo una operación, en este caso una suma.
En este nivel, resolver una ecuación consistirá en encontrar, si existe, el número desconocido en la expresión matemática que involucra una igualdad. En 5° y 6° año básico, se realizará un estudio más formal, incorporando la noción de variable y ampliando los tipos de ecuaciones y estrategias para resolverlas.
La principal estrategia para encontrar la solución de ecuaciones se basa en comprender el sentido de la expresión matemática involucrada. Para ello, los estudiantes pueden analizar la expresión y encontrar el número desconocido realizando una resta, si es necesario.
Para justificar por qué se debe restar, se sugiere analizar la relación aditiva que existe entre las cantidades en el modelo de barras.

Cuaderno de Actividades páginas 38 y 39 • Tomo 2
Tickets de salida página 48 • Tomo 2

P. 49

Propósitos
Que los estudiantes modelen situaciones de equilibrio en una balanza usando ecuaciones.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma  a + x = b y a – x = b, comprendiendo la expresión matemática involucrada.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, en la cual deben asociar la situación de la balanza con una ecuación. Idealmente, se sugiere que se disponga de una balanza real para que los estudiantes validen sus respuestas.
Pregunte: ¿por qué la balanza está desequilibrada? (porque en un plato hay más cubos que en el otro) ¿Qué se puede hacer para que se equilibre? (se pueden agregar cubos o sacar cubos).
Para el caso de agregar cubos. Pregunte: si queremos agregar cubos, ¿cuál es la expresión matemática que puede representar la situación? (4 + Δ = 7) ¿Qué signiﬁca esta expresión matemática o ecuación? (¿4 más qué número da 7?). Pida a un estudiante que dé la solución a la ecuación, al problema, y que pase adelante a agregar los cubos para verificar si la balanza se equilibra.
Para el caso de quitar cubos. Pregunte: si queremos sacar cubos, ¿cuál expresión matemática puede representar la situación? (7 – Δ = 4) ¿Qué significa esta expresión matemática o ecuación? (¿7 menos qué número da 4?). Pida a un estudiante que dé la solución a la ecuación, al problema, y que pase adelante a quitar los cubos para verificar si la balanza se equilibra.
Al terminar la actividad, destaque que:
Para equilibrar la balanza podemos agregar o quitar cubos.
Si agregamos cubos, la ecuación es de suma; en cambio, si quitamos cubos, la ecuación es de resta.
Ambas ecuaciones son equivalentes ya que se llega a la misma solución.
Para encontrar el valor desconocido se puede leer comprensivamente el significado de la expresión matemática. El modelo de barras ayuda a visualizar la relación entre los números.
Consideraciones didácticas
En esta parte del capítulo se estudian las ecuaciones como 4 + x = 7 y 7 – x = 4, las cuales son equivalentes, es decir, la pregunta que involucra una ecuación, es equivalente a la pregunta que involucra la otra. Este hecho se visualiza útilmente en la situación presentada con la balanza.
Así, se agrega a las ecuaciones de suma estudiadas en la página anterior, la ecuación a – x = b, que se denomina ecuación de resta, y que también pertenece a las ecuaciones de un paso. Considere que estas serán las únicas ecuaciones de resta que se estudiarán en este capítulo, y la principal estrategia que se utilizará para encontrar las soluciones será la de comprender la expresión aritmética involucrada (que implica necesariamente recurrir a la ecuación de suma asociada). Por ejemplo, en 8 –  = 5, nos preguntamos ¿8 menos qué número da 5? Entonces la respuesta es 3.

P. 50

Propósitos
Que los estudiantes resuelvan y modelen problemas con ecuaciones en contextos de equilibrio en una balanza.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma x + a = b, a + x = b y a – x = b comprendiendo la expresión matemática involucrada.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 2, en la cual se les solicita encontrar la ecuación o expresión matemática que se asocia al problema de equilibrar una balanza. En este caso, el ámbito numérico es mayor al del problema anterior. Dé un tiempo para que los estudiantes exploren la situación y, mientras lo realizan, observe sus estrategias: si representan primero el problema con ecuaciones y luego encuentran la solución a la ecuación y respuesta al problema o, si dan la respuesta al problema y luego lo representan con una ecuación. Ambas estrategias son válidas. Así, las respuestas a estas situaciones son:
Para una ecuación de suma.
Necesitamos agregar cubos.
6 + Δ = 14
¿6 más qué número da 14?
Respuesta: hay que agregar 8 cubos en el plato derecho.
Para una ecuación de resta.
Necesitamos sacar cubos.
14 – Δ  = 6
¿14 menos qué número da 6?
Respuesta: hay que sacar 8 cubos del plato izquierdo.
Continúe la clase invitando a los estudiantes a realizar la sección Ejercita en la cual deben identificar la o las ecuaciones que permiten resolver un problema. Se espera que los estudiantes identifiquen las siguientes ecuaciones:  6 +  = 13 y 13 –  = 6.
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes vinculen el problema de equilibrar la balanza con una ecuación de suma. Por ejemplo, en la situación inicial se necesita encontrar una cantidad de cubos que permita equilibrar la balanza. Es decir, ¿cuántos cubos se deben agregar a los 6, para completar 14? Así, la ecuación involucrada es  6 +  = 14.
De la misma manera, se puede vincular el problema de equilibrar la balanza con una ecuación de resta. En este caso hay que sacar cubos del grupo de 14, para que la balanza se equilibre. Así, la pregunta involucrada es: ¿cuántos cubos se deben sacar de los 14, para obtener 6? Así, la ecuación involucrada es 14 –  = 6.
Se sugiere realizar varias actividades del tipo para afianzar la relación entre las ecuaciones y la situación de agregar o sacar cubos para equilibrar la balanza.

Cuaderno de Actividades páginas 40 y 41 • Tomo 2
Tickets de salida página 50 • Tomo 2

P. 51

Propósito
Que los estudiantes comprendan la noción de inecuación asociándola a una situación de desequilibrio en una balanza.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 2. Pregunte: ¿cuál es caja es la Pedro? (la verde) ¿Por qué? (porque pesa más que la azul que pesa 8 kg) ¿Cuántos paquetes de harina se pueden poner para que la balanza siga inclinada al mismo lado? ¿Qué expresión matemática nos ayuda a representar el problema? Frente a esta pregunta dé un tiempo para que los estudiantes investiguen las posibles repuestas. Luego, realice una puesta en común para compartir las diversas estrategias usadas.
Puede disponer de una balanza de platillos para representar el problema y permitir que los estudiantes vayan probando con cantidades que simulen un kilo para verificar los resultados.
Consideraciones didácticas
El sentido de plantear esta situación a los estudiantes es enfrentarlos a un problema contextualizado que ponga en juego la noción de inecuación, de tal forma que puedan construir su significado. Es decir, los niños pueden abordarla sin necesidad de conocer la noción de inecuación, ni de disponer de técnicas para resolverlas. De hecho, se pueden apoyar en la noción de ecuación, asociada a una situación de equilibrio. Así, se intenta que los estudiantes comprendan el sentido de una inecuación, es decir, de una expresión matemática que tiene un signo mayor o menor. Resolver una inecuación es encontrar, entre todos los posibles valores de x, a aquellos que satisfacen la desigualdad, es decir, que la hacen verdadera.
Es importante que los estudiantes comprendan que una inecuación involucra responder una pregunta. Por ejemplo, en el caso de la situación, la inecuación asociada es 8  +  < 15 e involucra la pregunta ¿8 más qué número da un resultado menor que 15?
A diferencia de las ecuaciones, en las inecuaciones es posible que nos encontremos con muchos números que cumplan la relación (satisfacen la desigualdad). En este caso, los números son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Al igual que en las ecuaciones, las inecuaciones podrían no tener solución. Por ejemplo, en la inecuación 8 +  < 6, la pregunta asociada es ¿8 más qué número da un resultado menor que 6? Como no hay ningún número natural que sumado con 8 sea menor que 6, la inecuación no tiene solución en este conjunto numérico.
Asimismo, es posible encontrar inecuaciones que tengan infinitas soluciones.
Tal como ocurre con las ecuaciones, en las inecuaciones que se estudiarán en este capítulo habrá un símbolo en vez de una letra.

4

P. 52

Propósitos
Que los estudiantes comprendan la noción de inecuación asociándola a una situación de desequilibrio en una balanza.
Que los estudiantes resuelvan inecuaciones de la forma a + x < b y a + x > b, comprendiendo la expresión matemática involucrada.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
En esta página se presentan algunas estrategias que podrían haber usado los estudiantes para resolver el problema de la página anterior. Pídales que las analicen y las comparen con las que realizaron ellos.
Ema piensa en una ecuación, es decir, piensa en que si agrega 7 kg a los 8 kg habría igual cantidad de kilogramos en cada plato, por lo tanto, la balanza se va a equilibrar. Así, concluye que se pueden poner hasta 6 paquetes de harina para que la balanza permanezca inclinada hacia la derecha.
Juan va probando en orden con diversas cantidades de kilogramos que se agregarían al plato de la izquierda. También concluye que se pueden poner hasta 6 paquetes de harina para que la balanza permanezca inclinada hacia la derecha.
Permita que los estudiantes discutan acerca de la eficacia de las estrategias analizadas y concluyan que la usada por Juan es más tediosa, ya que se debe probar con muchos números.
Sistematice las principales ideas asociadas a la actividad desarrollada:
8 +  < 15 es una inecuación y es una expresión matemática que representa el problema.
Involucra la pregunta ¿8 más qué número da un resultado menor que 15?
Responder a la pregunta involucra averiguar las soluciones de la inecuación o encontrar los valores desconocidos de la expresión matemática.
Consideraciones didácticas
Se sugiere estudiar solo las inecuaciones señaladas, que se denominan inecuaciones de suma, que pertenecen a las denominadas inecuaciones de un paso. En cursos superiores, se realizará un estudio más formal, incorporando la noción de variable y ampliando los tipos de inecuaciones y estrategias para resolverlas.
La estrategia para encontrar las soluciones de inecuaciones se basa en comprender el sentido de la expresión matemática involucrada. Para ello, los estudiantes pueden analizar la expresión e ir probando con diversos números para verificar si satisfacen o no la relación de orden (mayor o menor).
Cuando las soluciones son un conjunto finito de números, estos se pueden listar, por ejemplo, en el ítem 2 a) las soluciones son: 0, 1, 2, 3 y 4.
Cuando las soluciones son un conjunto infinito de números se pueden escribir algunos y poner puntos suspensivos para indicar que la lista continúa, por ejemplo, en el ítem 2 b) las soluciones son: 6, 7, 8,…

Cuaderno de Actividades página 42 • Tomo 2
Tickets de salida página 52 • Tomo 2

P. 53

Propósitos
Que los estudiantes asocien ecuaciones e inecuaciones en situaciones de equilibrio en una balanza.
Que los estudiantes resuelvan y modelen problemas con ecuaciones e inecuaciones en contextos de equilibrio en una balanza.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, en la cual se les solicita que resuelvan un problema de equilibrio en la balanza.
En a) deben identificar la cantidad de cubos que hay que agregar a la balanza para que se equilibre. Luego, deben escribir la expresión matemática o ecuación que permite averiguarlo.
Deben establecer que 6 +  = 10 es la ecuación que representa la situación y que la solución es 4. Es decir, se deben agregar 4 cubos al plato de la derecha para que la balanza se equilibre.
En b) deben identificar la cantidad de cubos que hay que agregar a la balanza para que se incline a la derecha. Luego, deben escribir la expresión matemática o inecuación que permite averiguarlo.
Deben establecer que 6 +  >10 es la inecuación que representa la situación y que sus soluciones son todos los números mayores que 4, es decir, 5, 6, 7, etc. Así, se deben agregar 5 o más cubos al plato de la derecha para que la balanza se incline a ese lado.
Al término de la actividad, destaque la relación entre las ecuaciones e inecuaciones en cuanto a sus soluciones y en cómo se relacionan con el equilibrio en la balanza.
En la Actividad 2, se les solicita resolver una situación problemática de equilibrio en una balanza. Deben identificar que la balanza está equilibrada y que se observan torres de cubos en los platos. Deben averiguar la cantidad de cubos que está tapando la mascota. Así, deben establecer la ecuación:
4 +  = 9
Es decir, la mascota está tapando 5 cubos.
En la Actividad 3, similar a la anterior, se les solicita resolver una situación problemática de equilibrio en una balanza. Deben identificar que la balanza está desequilibrada y que se observan torres de cubos en los platos. Deben averiguar la cantidad de cubos que podría estar tapando la mascota. Así, deben establecer la inecuación:
3 +  > 4
Es decir, la mascota puede estar tapando 2 o más cubos.
Consideraciones didácticas
Para que los estudiantes vinculen las ecuaciones e inecuaciones que tienen los mismos números, es decir, que están relacionadas, se sugiere realizar algunas preguntas como: ¿cuál es la solución de la ecuación  + 4 = 9? (5) ¿Cuál es la solución de la inecuación  + 4 < 9? (Los números menores que 5, es decir, 0, 1, 2, 3, y 4). En cada caso, se sugiere ilustrar en forma concreta con una balanza.

P. 54

Propósitos
Que los estudiantes asocien ecuaciones e inecuaciones en situaciones de equilibrio en una balanza.
Que los estudiantes reconozcan que hay ecuaciones que pueden no tener solución.
Que los estudiantes reconozcan que hay inecuaciones que pueden tener infinitas soluciones.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 4, en la cual se les solicita que interpreten el significado de ecuaciones e inecuaciones con relación a una situación de equilibrio en una balanza. Dé tiempo para que los estudiantes elaboren sus respuestas para que luego, en una puesta en común, las comuniquen y justifiquen.
6 +   = 8. ¿Cuántos cubos debemos agregar al plato que tiene 6 cubos para que la balanza se equilibre?  = 2.
A
6 +  < 8. ¿Cuántos cubos debemos agregar al plato que tiene 6 cubos para que la balanza se mantenga inclinada a la derecha?  = 0, 1.
B
6 +  > 8. ¿Cuántos cubos debemos agregar al plato que tiene 6 cubos para que la balanza se incline a la izquierda?  = 3, 4, 5,…
C
Asegúrese de que los estudiantes comprendan la relación entre las ecuaciones e inecuaciones en cuanto a sus soluciones y en cómo se relacionan con el equilibrio de la balanza.
En la Actividad 5, se les solicita analizar una ecuación y reconocer que no tiene solución. Se espera que justifiquen que no existe ningún número que al sumarlo con 5 dé 4. Al sumar un número natural con otro, el resultado no puede ser un número natural menor que alguno de los números.
Esta situación se puede representar de esta forma en una balanza:
Así, la ecuación se interpretaría con la pregunta: ¿cuántos cubos debemos agregar al plato que tiene 5 para que la balanza se equilibre? Como es imposible agregar cubos al plato de la izquierda para que la balanza se equilibre, la situación no tiene solución.
La Actividad 6 está relacionada con la anterior. Se les solicita analizar una inecuación que tiene infinitas soluciones, pues todos los números satisfacen la relación. Al sumar un número con 5, el resultado es siempre un número mayor a 4.  Así, la inecuación se interpretaría con la pregunta: ¿cuántos cubos debemos agregar al plato que tiene 5 para que la balanza se mantenga inclinada a la izquierda? Es decir, si agregamos cualquier cantidad de cubos, la balanza siempre estará inclinada a la izquierda.

Cuaderno de Actividades páginas 43 y 44 • Tomo 2
Tickets de salida página 54 • Tomo 2

P. 55

90 minutos

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con las ecuaciones e inecuaciones.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan los ejercicios, y que luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Ejercicio 1, se les solicita que resuelvan dos problemas planteando una ecuación. En el primer problema pueden plantear un modelo de barras para comprenderlo y plantear la ecuación:
99 metros
Lado 1
36 metros
21 metros
Lado 2
Así, las ecuaciones que pueden plantear son:
36 + 21 + Δ = 99 o 57 + Δ = Δ o  + 57 = 99
En el segundo problema pueden considerar lo siguiente:
Peso de ambos 54 kg
26 kg
Peso de Juan
Peso de Matías
Así, las ecuaciones que pueden plantear son:
26 + Δ = 54 o Δ + 26 = 54
En el Ejercicio 2, se les solicita que resuelvan ecuaciones e inecuaciones. Note que la ecuación del ítem a) y la inecuación del ítem b) están relacionadas. Así, si en a) encuentran que la solución es 3 (un número que sumado con 4 da 7), entonces las soluciones de b) son todos los números mayores que 3 (números que sumados con 4 sean mayores que 7).
En el Ejercicio 3, se les solicita que planteen una ecuación o una inecuación para resolver una situación en una balanza. Las respuestas son:
a) 9 +  = 15.   = 6. Se deben agregar 6 cubos en el plato de la derecha.
b) 9 +  > 15.  = 7, 8, 9,... Se deben agregar 7 o más cubos en el plato de la derecha.

Cuaderno de Actividades página 45 • Tomo 2

Capítulo 16

Simetría

6 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se estudia la noción de simetría de figuras, para ello, interesa que los estudiantes usen los conocimientos informales que disponen para enfrentarse a situaciones de experimentación con figuras, que le permita construir esta noción. Los estudiantes reconocerán la simetría en diversas figuras del entorno y aplicarán algunas de sus propiedades para construir figuras simétricas.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA17: Demostrar que comprenden una línea de simetría:
identificando figuras simétricas 2D.
creando figuras simétricas 2D.
dibujando una o más líneas de simetría en figuras 2D.
usando software geométrico.
Aprendizajes previos
Reconocen figuras 2D de 3 y 4 lados y sus principales características.
Identifican puntos, lados y ángulos en figuras 2D.
Miden longitudes de figuras y las expresan en centímetros.
Estiman y miden ángulos con transportador.
Actitud
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

16

P. 56

Propósito
Que los estudiantes utilicen intuitivamente la noción de simetría para identificar e imaginar la forma de figuras simétricas.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Partes de dibujos del texto de tamaño grande para que todos los estudiantes los observen en la sala.
Gestión
Presente a los estudiantes las imágenes del texto precisando que corresponden a partes de dibujos de objetos. Pregunte, ¿a qué objetos corresponden? ¿Los pueden imaginar? ¿Pueden imaginar la forma exacta del objeto completo? Dé un tiempo para que los estudiantes escriban en sus cuadernos los objetos que creen corresponden a las partes presentadas. Cuide que no digan las respuestas en voz alta. Luego, haga una puesta en común para que expongan sus respuestas y las comparen. Pregunte, ¿por qué imaginaron esos dibujos? ¿En qué se fijaron?  Se espera que los estudiantes expliquen que se fijan que, en los dibujos, salvo el del jarrón, las partes son las mitades de las figuras, por eso es más fácil identificar la otra parte, que es idéntica a la presentada.
Pregunte, ¿cuántas patas debe tener el insecto en total? (6) ¿Cuántas antenas? (2) ¿Cómo debe ser la antena de la parte que falta? Se sugiere proyectar o pegar en la pizarra, las partes de los dibujos en la pizarra, de tal forma que los estudiantes pasen a dibujar las partes que faltan. Por ejemplo, en el caso de la antena del insecto, los estudiantes dibujan la otra que falta, y concuerdan cómo debe ser el tamaño y forma de la antena del insecto (no se trata de hacer un dibujo exhaustivo).

P. 57

Propósito
Que los estudiantes identifiquen figuras simétricas a partir de sus líneas de simetría.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Recortes de dibujos del texto de tamaño grande para que todos los estudiantes los observen en la sala.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 en la cual se les solicita que identifiquen si las figuras presentadas corresponden a las imaginadas en la actividad de la página anterior. Pregunte, ¿qué dibujo fue más difícil de imaginar? Es posible que los estudiantes no hayan tenido dificultades en reconocer ni imaginar ninguno de los dibujos, sin embargo, el frasco pueden haberlo dibujado o imaginado de diferentes formas y tamaño, por ejemplo,
Permita que los estudiantes se cuestionen por qué en el caso del frasco, éste podría tener diversas formas y tamaño. Pregunte, ¿por qué el frasco puede tener diversas formas, en cambio los otros objetos no? Algunas respuestas pueden ser:
Las otras figuras son la mitad del objeto.
Las figuras están formadas por dos partes iguales, pero en el frasco se muestra una parte que no es la mitad.
Todas las figuras tienen una línea que la divide en dos partes iguales.
Sistematice la noción de figuras simétricas destacando que son aquellas que tienen una o más líneas de simetría. La línea de simetría es una recta que divide a la figura en dos partes que tiene la misma forma.
Destaque que:
Todos los objetos de la actividad son simétricos, sin embargo, el frasco es el único cuya parte no fue trazada a partir de su línea de simetría.
El frasco de la actividad es simétrico y ésta es su línea de simetría:
Consideraciones didácticas
Las figuras y formas simétricas están presentes en el arte, en la naturaleza y en diversos artefactos creados por el hombre. Para comprender esta noción, es muy importante que los estudiantes manipulen figuras del plano a través de dobleces con papel lustre. Considere que la simetría se asocia a la estabilidad, el equilibrio y la belleza de las formas.

P. 58

Datos

10 minutos

Propósitos
•	Que los estudiantes identifiquen líneas de simetría en diversas figuras.
•	Que los estudiantes construyan figuras simétricas usando una cuadrícula.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Recortes de dibujos del texto; cuadrícula para construir figuras (sección anexos); regla, tijeras.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3, en la cual deben identificar la o las líneas de simetría de las figuras del texto. Se sugiere entregarles los recortes de las figuras en papel para que puedan investigar las líneas de simetría a través de los dobleces. Pregunte, ¿son simétricas las figuras? ¿Cuántas líneas de simetría tiene cada figura? Dé un tiempo para que exploren, incentivando que intenten encontrar la mayor cantidad de líneas de simetría. Luego, realice una puesta en común para comparar las líneas de simetría encontradas.
En cada caso, pida a los estudiantes que hagan los dobleces para mostrar que una parte de la figura encaja exactamente con la otra.
En la Actividad 4 solicíteles que construyan figuras simétricas usando la cuadrícula, para ello, entrégueles el papel cuadriculado de la sección anexos del Cuaderno de Actividades (p. 91).  Dé un tiempo para que los estudiantes formen las figuras y luego las expongan a sus compañeros. Observe cómo construyen las figuras, ya que se espera que tracen primero una línea de simetría, formen la mitad de la figura y luego construyan la otra parte. Observe si los niños doblan el papel para verificar si la figura es simétrica y compare la complejidad de las figuras formadas.
Al terminar la actividad, destaque que una línea de simetría debe cumplir dos condiciones:
que divida a la figura en dos partes iguales.
y que, al doblar la figura por la línea, ambas partes deben coincidir.
Para finalizar, pida que completen el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Muchos niños pueden asumir que basta con que la línea divida a la figura en dos partes iguales para que sea de simetría. En tal caso, muestre figuras dónde no ocurra eso, por ejemplo:
La línea divide a la figura en dos partes iguales, sin embargo, no es de simetría ya que al doblar una parte no coincide exactamente con la otra. Permita que los estudiantes analicen otros casos, para identificar su error.

Cuaderno de Actividades página 46 • Tomo 2
Tickets de salida página 58 • Tomo 2

P. 59

5 minutos

Propósito
Que los estudiantes verifiquen algunas propiedades de las figuras simétricas en relación con su línea de simetría.
Habilidad
Representar.
Recursos
Recorte de figura de la página.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 5, en la cual deben identificar los puntos, lados y ángulos de coincidencia de las mitades de una figura simétrica. Pida a los estudiantes que observen la figura, que noten que hay letras con las cuales se pueden identificar puntos, lados y ángulos. Realice una a una las preguntas de la página y una vez que las van respondiendo, permita que verifiquen sus respuestas doblando la figura por su línea de simetría.
Así las respuestas son:
•	El punto B coincide con N; El punto K coincide con E.
•	El lado AB coincide con el lado AN; El lado DE coincide con el lado LK.
•	El ángulo en N coincide con el ángulo en B; El ángulo en D coincide con el ángulo en L.
Luego, realice la sistematización de la actividad destacando que los puntos, lados y ángulos de coincidencia se denominan correspondientes.
Prosiga invitando a los estudiantes a realizar la actividad de la sección Ejercita en la cual deben identificar los puntos, lados y ángulos correspondientes en una figura simétrica. Para finalizar, pida que completen el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Notar que, al coincidir los lados y ángulos, éstos tienen igual medida, por tanto, no es necesario medir.
Observar que en las figuras simétricas se da además una propiedad muy importante con relación a la línea de simetría. Esta es, la distancia de un punto cualquiera a la línea de simetría es igual que la distancia del punto correspondiente a la línea de simetría.
Por ejemplo, el trazo BQ mide lo mismo que el trazo QN, es decir, la distancia de B a Q es la misma que la distancia de Q a N.
Esta propiedad será que la que sustentará la formación de una figura simétrica a partir de la línea de simetría más adelante.

Cuaderno de Actividades página 47 • Tomo 2
Tickets de salida página 59 • Tomo 2

P. 60

55 minutos

Propósito
Que los estudiantes dibujen figuras simétricas dada una línea de simetría y su mitad.
Que los estudiantes investiguen las líneas de simetría en algunos cuadriláteros.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Recortes de cuadriláteros del texto; regla.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 6, en la cual deben dibujar una figura simétrica dada la línea de simetría y su mitad. Para ello, deben aplicar las propiedades estudiadas en la actividad de la página anterior. Dé un tiempo para que cada estudiante construya la figura en el cuaderno de actividades y luego haga una puesta en común para que describan cada uno de los pasos en la construcción de la figura. Por ejemplo, a continuación, se describe una secuencia de pasos para la construcción de la figura:
Paso 1. Marcar el punto.
Paso 2. Dibujar el trazo de color rojo.
Paso 3. Dibujar el trazo de color naranjo tantos lugares como indica el trazo correspondiente.
Paso 4. Dibujar el trazo de color verde tantos lugares como indica el trazo correspondiente.
Paso 5. Dibujar el trazo de color azul tantos lugares como indica el trazo correspondiente.
Paso 6. Dibujar el trazo de color violeta uniendo los extremos del trazo verde con el azul.
Luego, en una puesta en común permita que los estudiantes comparen las figuras dibujadas y concuerden si efectivamente es simétrica.
Prosiga la clase, presentando a los estudiantes la Actividad 7, en la cual se les solicita explorar las líneas de simetría en diversos cuadriláteros.

Consideraciones didácticas
Al igual que en el caso de un paralelógramo analizado anteriormente, es posible que los estudiantes crean que la diagonal de un rectángulo es una línea de simetría. Para ello, se sugiere gestionar el error, permitiéndoles que doblen el rectángulo por la diagonal y observen que no encaja exactamente con la otra mitad. Asimismo, puede usar un espejo para verificar que la figura que refleja el triángulo formado por la diagonal no forma el rectángulo.

17

P. 61

Propósitos
•	Que los estudiantes verifiquen líneas de simetría de diversos cuadriláteros utilizando un espejo y doblando.
•	Que los estudiantes establecen líneas de simetría en algunos cuadriláteros.
Habilidades
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Recortes de cuadriláteros del texto; espejos pequeños.
Gestión
En esta página se presentan algunas estrategias que podrán haber usado los estudiantes para investigar las líneas de simetría de los cuadriláteros de la página anterior. Pídales que analicen las estrategias de los niños y que las comparen con las que realizaron ellos.
Gaspar dobla las figuras por una de sus diagonales. Verifica que el trapecio no tiene líneas de simetría y que la diagonal del rectángulo no es una línea de simetría.
Ema usa el espejo para verificar las líneas de simetría. Ubica la mitad de la figura pegada al espejo y observa la figura que se forma. Verifica que la diagonal del cuadrado efectivamente es una línea de simetría, sin embargo, no lo es la del rectángulo ya que se forma otro un rectángulo similar.
Sistematice las principales ideas asociadas a la actividad de la página anterior.
El cuadrado y el rectángulo son figuras simétricas.
La diagonal del cuadrado es una línea de simetría, pero no la del rectángulo.
Para finalizar, pida que completen el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Notar que la mitad de la figura que se ubica en el espejo debe colocarse pegada a él, ya que, si se ubica separada, se forma el reflejo de la figura. Este tipo de situaciones se retomarán en un capítulo posterior en el estudio de la reflexión de figuras.  Se sugiere dispone de espejos pequeños y permitir que los estudiantes lo usen libremente para explorar las líneas de simetría de diversas figuras.

Cuaderno de Actividades página 49 • Tomo 2
Tickets de salida página 61 • Tomo 2

P. 62

Propósito
Que los estudiantes apliquen la noción de simetría para construir diversos objetos simétricos recortando papel.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Papel lustre o cuadrados de papel.
Gestión
En este tema, los estudiantes construyen diversos objetos decorativos recortando papel.
En la Actividad 1, el desafío consiste en formar las flores decorativas, el insecto y la letra X cuya forma de recortar se ilustra en la página del texto. Pida a los estudiantes que analicen los objetos a construir y la forma de recortar los cuadrados con papel lustre.
Permita que los estudiantes experimenten recortando los papeles y que asocien la cantidad de dobleces y cortes con las líneas de simetría de la figura formada.
Una vez que los estudiantes hayan construido las figuras puede pedirles que creen otras libremente y luego las expongan al curso.
En la Actividad 2, se presentan figuras simétricas con papel y el desafío consiste en formarlas recortando papel lustre. Los estudiantes deben reconocer los dobleces que se hacen al papel, la cantidad y forma de los cortes. Para ello pueden trazar las líneas de simetría para identificar los dobleces y cortes que deben realizar. A continuación, se muestra una manera de reconocer los cortes que se deben realizar.
Así, hay que doblar dos veces el cuadrado para formar otro pequeño y luego realizar los cortes como se indica en el dibujo.

Ticket de salida página 62 • Tomo 2

P. 63

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con la simetría de figuras.
Habilidades
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Ejercicio 1, se les solicita que identifiquen líneas de simetría en diversas señales de tránsito. Para no rayar el texto, se propone que los estudiantes usen un lápiz para simular las líneas de simetría. Así las respuestas son:
En el Ejercicio 2, se les solicita que identifiquen todas las líneas de simetría que tienen diversos triángulos, saber, un triángulo equilátero, un escaleno y un isósceles. Las respuestas son:
Así, el triángulo equilátero tiene 3 líneas de simetría, el triángulo escaleno no tiene líneas de simetría y el triángulo isósceles tiene 2 líneas de simetría.
En el Ejercicio 3, se les solicita identificar si las líneas marcadas en las figuras son de simetría. Se espera que indiquen que la primera línea de la estrella no lo es, en cambio, la segunda sí. En el caso de la letra M, se espera que indiquen que la primera línea no es de simetría, en cambio, la segunda sí.
En el Ejercicio 4, se les solicita identificar si las líneas marcadas en los rectángulos son de simetría. Se espera que indiquen que la primera línea no lo es, en cambio, la segunda y tercera sí.
Para finalizar, pida que completen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 50 • Tomo 2

Capítulo 17

8 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo los estudiantes continuarán lo aprendido en 3° básico en relación con la representación e interpretación de datos. Interesa que experimenten realizando encuestas y organizando datos, de tal manera que comprendan que la aplicación de encuestas y la representación de sus resultados en tablas y gráficos es un medio que les permite investigar y comprender más sobre un determinado tema.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA25: Realizar encuestas, analizar los datos y comparar con los resultados de muestras aleatorias, usando tablas y gráficos.
OA27: Leer e interpretar pictogramas y gráficos de barra simple con escala y comunicar sus conclusiones.
Aprendizajes previos
Construir, leer e interpretar información presentadas en tablas, pictogramas y gráficos de barra simple.
Actitud
Manifestar una actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.

P. 64

Propósito
Que los estudiantes realicen una encuesta y piensen en una forma de organizar los datos obtenidos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Inicie esta clase preguntando: ¿han pensado cuál es la comida que prefieren en curso? ¿Qué podríamos hacer para averiguarlo? Se espera que propongan preguntar a cada estudiante y anotar las respuestas. Recuérdeles que dicho procedimiento se denomina encuesta. Genere una discusión sobre la mejor manera de preguntar: ¿plantear una pregunta y dar opciones de respuestas, o plantear una pregunta y que la respuesta sea abierta? Enfatice que, en el caso de respuesta abierta, podrían existir tantas respuestas como estudiantes haya en la sala de clases, por lo que, para facilitar el procedimiento, es preferible dar opciones de respuestas.
Posteriormente, pida a los estudiantes que concuerden cuáles serán las preguntas que plantearán en la encuesta, junto con las posibilidades de respuestas y anótelas en la pizarra.
Permita que discutan sobre cuál es la mejor manera de registrar estos resultados y pídales que, en la medida que cada uno de ellos responda la pregunta ¿cuál de estas comidas prefieres?, registren en grupos todas las respuestas, de la manera que prefieran.
Una vez que se haya encuestado a todo el curso, desafíelos a pensar en una forma de organizar y presentar en una puesta en común los resultados obtenidos.

P. 65

Propósito
Que los estudiantes comparen distintas maneras de registrar los datos obtenidos de una encuesta.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de las tablas de conteo de la Actividad 1 para presentar en pizarra, puede ser para proyectar o en cartulina.
Gestión
Pida a los estudiantes que analicen las tablas de conteo que se presentan en la Actividad 1 y pregunte: las tablas de registro que ustedes elaboraron, ¿a cuál se parece, a la de Rocío o Fernando? ¿En qué se parecen las tablas de Fernando y Rocío? (En que ambas registraron cada una de las preferencias con un símbolo, en el caso de Fernando se hizo una línea y en el caso de Rocío se hizo un visto) ¿En qué se diferencian? (En que Fernando creó un símbolo que representa 5 preferencias) ¿En cuál tabla es más fácil contar las preferencias de cada comida? Se espera que los estudiantes reconozcan que en la tabla de Fernando se puede determinar rápidamente la cantidad, ya que se pueden identificar grupos de 5 y de 10, en cambio, en la tabla de Rocío es necesario contar 1 a 1 para saber el total.
Luego, pregunte: en la tabla de Fernando, ¿es posible saber cuál es la comida que tiene una mayor preferencia sin contar? Se espera que los estudiantes noten que la única comida que presenta dos grupos de 5 son las humitas, por lo tanto, son las que tienen una mayor preferencia. Destaque que en la tabla de Rocío también es posible comprar sin contar, dado que los símbolos están ordenados y alineados, pero que, de no ser así, sería necesario contarlos.
A continuación, pregunte: ¿es posible saber a cuántos estudiantes se encuestaron? ¿Cómo? (Contando las preferencias de cada comida y luego, sumando cada una de ellas).
Para sistematizar la actividad invite a los estudiantes a leer y analizar en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro de la mascota, que hacen referencia al propósito de aplicar una encuesta.
En la Actividad 2 se espera que los estudiantes señalen que se podría haber aplicado una pregunta abierta, sin dar opciones de respuesta, y que los datos también se pueden organizar en un gráfico.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes reconozcan que, para tener mayor control sobre el conteo de preferencias, es necesario elaborar simbologías que faciliten el conteo. Por ejemplo, registrar una línea por cada preferencia hasta formar un cuadrado con una diagonal                ..... , la que representará 5 personas, o hacer 4 líneas verticales y la quinta línea hacerla diagonal        .

Cuaderno de Actividades página 51 • Tomo 2
Ticket de salida página 65 • Tomo 2

P. 66

Propósito
Que los estudiantes representen datos obtenidos de una encuesta en un pictograma y en gráfico de barras.
Habilidad
Representar.
Recursos
Gráfico y pictograma de la Actividad 1 para presentar en pizarra, puede ser para proyectar o en cartulina.
Gestión
Presente la Actividad 1 pidiendo a los estudiantes que analicen y describan las gráficas que se elaboraron para representar los datos de la encuesta aplicada anteriormente. Luego, pregunte: ¿qué semejanzas y diferencias observan entre el pictograma y el gráfico? Se espera que los estudiantes reconozcan que en ambos casos se presentaron los datos de la encuesta ubicando las comidas en el eje horizontal y que, en el caso del pictograma, se representa cada respuesta con un plato, así si hay 3 preferencias se dibujan 3 platos, en cambio en el gráfico de barras se representa el total de cada preferencia con una barra, así si hay 3 preferencias, se dibuja una única barra que tenga una longitud de 3 unidades. Frente a esto, pregunte: si se hiciera esta encuesta a todo el colegio, ¿qué usarían: un gráfico o un pictograma? Permita que discutan y concluyan que al tener que representar muchos datos es más rápido dibujar una barra que represente un total.
Continúe preguntando: ¿qué ventajas y desventajas observan en el uso de tablas y gráficos? Se espera que los estudiantes reconozcan que, si se ha calculado y registrado los totales parciales en la tabla, la ventaja que tiene el uso de estas es que se puede saber inmediatamente la cantidad de preferencias de cada comida y el total de encuestados, lo que no es tan inmediato  de saber a través de un gráfico. Pero, si se quiere comparar las preferencias, es más útil el gráfico, ya que se puede saber solo mirando cuál es la barra más larga, lo que no es tan inmediato en una tabla.
Para sistematizar la actividad, pida a los estudiantes que lean y analicen en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro de la mascota, que hace referencia a la construcción de gráficos de barras y pictogramas. Enfatice que el uso de encuestas y la representación de sus resultados, con tablas y gráficos, permiten investigar y tener una mejor comprensión sobre un determinado tema.

Consideraciones didácticas
En un gráfico de barras se representan las frecuencias, generalmente presentadas en tablas, a través de la longitud de una barra para facilitar la comprensión de la relación entre los datos. Cuanto mayor sea el número en los datos mayor será la longitud de la barra y, por lo tanto, surge la necesidad de establecer una escala.
Es importante que los estudiantes reconozcan que, para representar los resultados de una encuesta en un gráfico de barras, es necesario que este contenga ciertos elementos como: título, línea (eje) en donde se registren valores numéricos que representen la cantidad de preferencias o respuestas, línea (eje) en donde se registren los tipos de preferencias o tipo de respuestas, y barras que representen el total de respuestas de cada tipo.

P. 67

Propósito
Que los estudiantes lean e interpreten gráficos de barras simples para responder preguntas.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de los gráficos de barras de la Actividad 2 para presentar en pizarra, puede ser para proyectar o en cartulina.
Gestión
Presente los gráficos de la Actividad 2 en la pizarra y pregunte a sus estudiantes:  ¿qué información se registró? ¿Qué encuesta se habrá hecho? Se espera que los estudiantes reconozcan que se preguntó a los niños y las niñas del 5° A por su fruta favorita. Además, motive a los estudiantes a identificar el título de los gráficos y lo que representa cada barra. Para esto, pregúnteles: ¿cuál es el título de cada gráfico? ¿De cuánto en cuánto van los números del eje vertical? (De 1 en 1) ¿Qué información se indica en este eje? (El número de estudiantes que prefiere cada fruta) ¿Qué información se registra en el eje horizontal? (Los tipos de frutas). Además, se espera que reconozcan que las frutas registradas en ambos gráficos no son las mismas. Luego de que los estudiantes comprendan la información representada en cada gráfico, invítelos a responder las preguntas.
Para guiar a los estudiantes puede preguntarles:
•	Para saber la cantidad total de estudiantes, ¿necesitas ver solo uno de los gráficos o ambos? (Ambos) ¿Y la cantidad de niñas? (En el primero) ¿Y la de niños? (En el segundo) ¿En cuál eje te debes fijar para calcular la cantidad de estudiantes? (En el vertical) ¿Cuáles barras debes considerar? (Todas) ¿Debes realizar algún cálculo? (Sí, sumar la medida de cada barra).
•	¿Cuáles preguntas puedes responder solo observando los gráficos y en cuáles debes realizar algún cálculo? (Las dos primeras y las dos últimas, respectivamente) ¿Cuál barra representa la fruta preferida? (La más larga) ¿Cómo puedes saber la fruta preferida por los estudiantes del 5° A? (Sumando las preferencias de niñas y niños por cada fruta si se repiten en ambos gráficos).
•	Si te hubieran encuestado, ¿está tu fruta preferida entre las opciones de los gráficos? Si no está, ¿qué habrías respondido? Se espera que los estudiantes deduzcan que “otros” se refiere a que puede ser cualquier otra fruta que no está entre las posibles respuestas.
•	¿Cuántas niñas prefieren la manzana? ¿Y cuántos niños? ¿Es la fruta con más preferencias? Se espera que los estudiantes reconozcan que tanto niños como niñas prefieren la manzana y que entregan igual número de preferencias por la frutilla, pero que entre las frutas preferidas por las niñas surgen el durazno y el plátano, y entre los niños el mango y el melón.
•	¿A cuál curso encuestaste? ¿Cuál es la fruta preferida? ¿Se asemejan a los resultados dados en el texto?
A continuación, plantee las preguntas de los niños. Se espera que los estudiantes infieran que lo más probable es que al hacer otra pregunta las respuestas sean diferentes por lo que los resultados serían otros.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 52 y 53 • Tomo 2
Tickets de salida página 67 • Tomo 2

P. 68

Propósito
Que los estudiantes lean e interpreten gráficos de barras simples con escala para responder preguntas.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de los gráficos de barras de la Actividad 3 y de la Actividad 4 para presentar en pizarra, puede ser para proyectar o en cartulina.
Gestión
Presente los gráficos de la Actividad 3 en la pizarra y dé un tiempo para el análisis en pareja. Luego, pregunte a los estudiantes: ¿cuál es el título del gráfico? ¿Qué se registró en el eje horizontal? (Deportes) ¿Qué se registró en el eje vertical? (La cantidad de estudiantes que prefieren cada deporte).
Invítelos a responder las preguntas presentadas. En a) se espera que infieran la pregunta realizada a partir del título del gráfico. En b), guíe el reconocimiento del valor de cada cuadradito identificando la diferencia entre dos marcas consecutivas. Para esto puede permitirles poner todos los números del eje vertical y reconocer que van de 10 en 10. Para calcular el total de estudiantes en c), se espera que sumen las preferencias de cada deporte. Para responder d) solo basta con que reconozcan la barra de mayor longitud y con cuál número del eje vertical coincide. Para responder e), pueden calcular un cociente por diferencia. Para esto deben determinar cuántas veces 30 es 120, dividiendo 120 en 30.
Sistematice el trabajo de gráfico de barras con escala invitando a los estudiantes a revisar y analizar lo que dice el recuadro de la mascota. Destaque que las escalas pueden variar dependiendo de la cantidad de datos que se quieran registrar, ya sea en un gráfico de barras o en un pictograma.
Presente en la pizarra los gráficos de la Actividad 4. Dé tiempo para el análisis en parejas y luego, en una plenaria, invítelos a explicar sus análisis para determinar el valor de cada cuadradito en los gráficos de barras presentados. Para guiar este trabajo pregúnteles: ¿cuál es la diferencia entre cada número registrado en el gráfico? Así, se espera que determinen el número que va en la marca sin identificar, y así, puedan calcular el valor que representa cada cuadradito.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes sepan que, al registrar datos en un pictograma, el símbolo utilizado siempre debe tener el mismo tamaño, no se puede utilizar uno más grande o uno más pequeño o solo la mitad.

Cuaderno de Actividades páginas 54 y 55 • Tomo 2
Tickets de salida página 68 • Tomo 2

P. 69

Propósito
Que los estudiantes analicen resultados de encuestas registrados en tablas y en pictogramas y respondan preguntas.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Imagen de la tabla del Ejercicio 1 y el pictograma del Ejercicio 2 para presentar en pizarra, puede ser para proyectar o en cartulina.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego, en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1, los estudiantes deben analizar los datos registrados en una tabla de conteo para responder preguntas.
•	En a) deben reconocer, a partir de los datos registrados, que se encuestó acerca de los colores. Cualquier pregunta relacionada a esto, sería correcta.
•	En b) se espera que calculen el total de estudiantes sumando las preferencias por cada color o contando de 5 en 5, ya que ese registro lo facilita.
•	En c) se espera que comparen sin registrar la preferencia de cada color, sino que comparando la cantidad de registros de 5 y de 1.
En el Ejercicio 2, los estudiantes deben analizar los datos registrados en un pictograma para responder preguntas.
•	En a) se espera que, solo observando el pictograma, identifiquen los meses con mayor y con menor cantidad de mascotas adoptadas.
•	En b) se espera que identifiquen la cantidad de símbolos que tiene abril y apliquen la escala para calcular el total.
•	En c) se espera que identifiquen en el eje vertical el número 20 y vean que octubre y noviembre tienen símbolos hasta este número.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 56 • Tomo 2
Tickets de salida página 69 • Tomo 2

P. 70

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de la representación e interpretación de datos en tablas y gráficos de barra.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada problema en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 deben interpretar la información que se presenta en un gráfico de barras y responder preguntas directas e indirectas. Ponga atención a si los estudiantes reconocen que los cuadraditos van de 5 en 5. Puede hacerles notar que entre dos números dados hay una diferencia de 10, y como entre ellos hay dos cuadrados, cada uno corresponde a 5 minutos.
En el Problema 2, dada una tabla y un gráfico, deben considerar la representación más útil. Así:
•	En 2 a) se espera que los estudiantes consideren los datos presentados en la tabla y no en el gráfico, ya que es inmediato.
•	En 2 b) se espera que respondan la pregunta mirando el gráfico de barras.
•	En 2 c) se espera que completen la información faltante en el gráfico a partir de los datos presentados en la tabla. Al momento de completar el gráfico, observe que los estudiantes establezcan la correspondencia entre la barra y el tipo de instrumento, a partir de los valores y no por el orden en que se presentan en la tabla.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Capítulo 18

Transformaciones isométricas

9 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se continúa y amplía el aprendizaje de las transformaciones isométricas iniciado en tercero básico. Interesa que los estudiantes reconozcan, caractericen y construyan traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras 2D.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA18: Trasladar, rotar y reflejar figuras 2D.
Aprendizajes previos
Reconocer figuras trasladadas, rotadas y reflejadas.
Reconocer figuras simétricas.
Reconocer y caracterIzar figuras 2D.
Actitud
Manifestar actitud positiva frente a sí mismo y sus capacidades.

18

P. 71

Propósito
Que los estudiantes analicen distintas estrategias para realizar traslaciones de una figura 2D, considerando una cuadrícula.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience proyectando en la pizarra la imagen del triángulo. Se sugiere no mostrar las ideas de Sami, Matías y Sofía. Haga notar que se quiere trasladar el triángulo de la cuadrícula, de manera que el vértice marcado en rojo corresponda al punto azul de la cuadrícula. Pregunte: ¿cómo podrías trasladar el punto rojo al punto azul? ¿En que nos puede ayudar la cuadrícula? ¿Cómo describirías el movimiento basado en la cuadrícula? Promueva una discusión en torno a las distintas estrategias que puedan surgir para poder trasladar el triángulo según las indicaciones. Es importante que no valide ningún procedimiento planteado. Luego, dé un tiempo para que analicen las estrategias propuestas por Sami, Matías y Sofía. Pregunte: ¿quién realizó la estrategia de Sami? ¿De Matías? ¿De Sofía? ¿De qué manera ayudó la cuadrícula? ¿Cuáles son las diferencias entre las estrategias? ¿Cómo trasladaron los otros vértices? ¿El movimiento que se realizó fue igual que el primero o distinto? ¿Qué ocurre si fuera distinto? (la figura sufriría modificación) ¿Creen que es suficiente con trasladar solo los vértices del triángulo? ¿Por qué? ¿La figura sufrió alguna modificación luego de ser trasladada? Se espera que los estudiantes comprendan que existen varias estrategias para trasladar figuras 2D. Además, que es suficiente describir la ubicación de cada vértice, ya que una vez trasladada se puede reconstruir uniendo los vértices resultantes. Haga notar que la figura, luego de ser trasladada, conservó su forma y tamaño.

P. 72

Propósito
Que los estudiantes realicen traslaciones en el plano considerando un sistema de referencia.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Comience recordando que en la clase anterior surgieron varias estrategias para trasladar un triángulo. Para ello, pregunte: ¿qué es trasladar una figura? (Es moverla en el plano la misma distancia y en la misma dirección) ¿Qué ocurre con la forma y tamaño de una figura trasladada? (al trasladar la figura conserva su forma y tamaño).
Posteriormente, presente la Actividad 2 y pregunte: ¿El rectángulo café se trasladó 4 o 6 unidades a la derecha? Se espera que sus estudiantes mencionen que se movió 6 unidades a la derecha. Puede ocurrir que den como respuesta 4 unidades a la derecha, en ese caso pregunte: ¿cuál es el vértice inicial?  ¿Dónde se encuentra el punto luego de ser trasladado? ¿Cuántas unidades se trasladó? Para profundizar en el error pregunte: ¿cuál es el punto de traslado que estabas considerando?
Para la Actividad 3 dé un tiempo a sus estudiantes para que describan el movimiento de la figura ABCD a la posición A’B’C’D’. Monitoree su trabajo. Para la puesta en común puede retomar los errores observados en el monitoreo. Puede comenzar con el error de que los estudiantes describen de manera parcial el movimiento de la figura 2D, si es así, pregunte: ¿es suficiente decir que se mueve 5 cuadrados? ¿Qué información podemos agregar para describir la posición de manera más precisa? Se espera que sus estudiantes mencionen que la figura se traslada 5 cuadrados a la derecha y uno hacia abajo. Haga notar la importancia de ser precisos con la descripción que se realiza al movimiento de la figura.
Presente la Actividad 4 y dé un tiempo para que sus estudiantes indiquen en cuál o cuáles de las figuras se observa que se realizó una traslación. Comience la puesta en común preguntando si la siguiente imagen es una traslación.

Si indican que es una traslación ínstelos a marcar un vértice y a observar donde se encuentra su homólogo.

Cuaderno de Actividades página 57 • Tomo 2
Tickets de salida página 72 • Tomo 2

P. 73

Propósito
Que los estudiantes reconozcan imágenes reflejadas y recuerden las características principales de una reflexión.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience mostrando las imágenes de la Actividad 1 y pregunte: ¿cómo describirías el movimiento de la imagen A?¿Y de la imagen B? ¿Y de C? ¿Y de D? (son reflexiones) Al realizar la reflexión de las figuras, ¿cambian su forma o tamaño?¿Qué características observas de la reflexión? Se espera que los estudiantes reconozcan que el movimiento que realizaron las figuras es una reflexión y que se observa un cambio de orientación en la imagen reflejada. Luego, plantee preguntas para que distingan la diferencia entre la reflexión y la traslación.
A continuación, formalice la noción de reflexión, puede apoyarse usando lo descrito por la mascota.
Antes de realizar la Actividad 1 b) pregunte: ¿qué es el eje de reflexión? ¿Cómo se puede usar para reconocer figuras reflejadas? Se sugiere proyectar las imágenes de los abejorros y, usando una regla grande, que permita indicar el eje de reflexión, pídale a un estudiante que señale el eje de reflexión para el primer abejorro. Luego, pregunte: ¿cómo sabes que este es el eje de reflexión? Centre el análisis en la caracterización de las figuras respecto del eje: invierte su posición u orientación y están a la misma distancia de este. Posteriormente, motívelos a ubicar el eje de reflexión sobre las imágenes del Texto del Estudiante, usando un lápiz como si fuera el eje.
Invite a sus estudiantes a desarrollar la Actividad 1 c), dé un tiempo para ello y monitoree el trabajo. Si observa que tienen dificultades al ubicar el eje de reflexión, oriéntelos a que descubran que una de las características que debe poseer el eje de reflexión es que debe estar a igual distancia de las figuras.
Consideraciones didácticas
Las reflexiones son transformaciones isométricas que están asociadas con las simetrías. Puede ocurrir que los estudiantes identifiquen relaciones entre estas ideas, considere esto como una oportunidad para profundizar y consolidar la noción de eje o línea de simetría. Sin embargo, es importante considerar que la reflexión es una transformación que se aplica sobre una figura cualquiera, mientras que la simetría es una cualidad o característica propia de ciertas figuras. La relación está en que una figura (u objeto) y su reflexión son simétricos y congruentes entre sí.

P. 74

Propósitos
Que los estudiantes deduzcan algunas propiedades relacionadas con el eje de reflexión.
Que los estudiantes construyan figuras reflejadas.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla y transportador.
Gestión
Comience recordando qué ocurre con la figura si se aplica una reflexión y el rol del eje de reflexión.
Presente la Actividad 2 e invite a sus estudiantes a desarrollarla. Para ello, pídales que utilicen la regla y el transportador cuando corresponda. Dé un tiempo y comience la puesta en común preguntando por la medida del ángulo que se forma entre la recta que une A y A’ y el eje de reflexión. Se espera que sus estudiantes mencionen que el ángulo mide 90º. Luego, pregunte: ¿qué relación existe entre la distancia entre el vértice A al eje de reflexión y del vértice A’ al eje? (es la misma distancia) ¿Esta relación se cumple para todos los vértices? (Sí) Concluya con ellos que si el punto reflejado de A es A’ se cumple que:
La distancia entre A y el eje de reflexión es la misma que entre A’ y el eje.
La recta entre A y A’ y el eje de reflexión forman un ángulo recto.
Haga notar que es usual nombrar cada vértice con una letra y utilizar una pequeña rayita superior, llamada prima, para indicar los vértices reflejados.
Posteriormente, invite a sus estudiantes a reflejar el triángulo de la Actividad 3 con respecto al eje marcado. Dé un tiempo para ello y luego pregunte: ¿qué procedimiento utilizaste para reflejar el triángulo con respecto al eje marcado? ¿Cómo podemos verificar que la construcción es correcta? ¿De qué manera las características observadas al reflejar nos ayudan a construir la figura? ¿Podemos utilizar esta estrategia para reflejar otras figuras? Promueva una discusión en torno a las estrategias para reflejar el triángulo, en especial aquellas que hacen mención a utilizar las propiedades para la construcción. Es importante que no valide ninguna estrategia, ya que en la próxima clase se profundizará en la construcción.

Cuaderno de Actividades página 58 • Tomo 2
Tickets de salida página 74 • Tomo 2

P. 75

Propósito
Que los estudiantes construyan una figura reflejada con respecto a un eje de reflexión.
Habilidades
Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla y transportador.
Gestión
Comience recordando que si se aplica la reflexión de un punto A con respecto a un eje de reflexión se obtiene el punto A’ y que este cumple dos propiedades. Plantee preguntas que permitan recordar dichas propiedades. Luego, pregunte: ¿qué procedimiento emplearon para reflejar un triángulo con respecto al eje marcado? Haga que sus estudiantes comenten sus procedimientos.
Presente la Actividad 3 y pídales que comparen su estrategia con el procedimiento que presenta el Texto del Estudiante. Dé un tiempo para ello y pregunte: ¿quién realizó el procedimiento como en la actividad 3? ¿Qué diferencias observas entre tu procedimiento y el que se presenta? ¿Qué procedimiento incluirías en tu propuesta? Promueva una discusión en torno a las diferencias entre los procedimientos que ellos proponen y los del libro. Oriéntelos para que puedan complementar sus estrategias.
Para la Actividad 4 invítelos a desarrollar el Cuaderno de Actividades. Dé un tiempo para ello y monitoree el trabajo. Comience la puesta en común con cualquiera de las siguientes dificultades:
La figura reflejada no mantiene el tamaño ni la forma. Si es así, pregunte: ¿cómo deben ser los tamaños y formas de las figuras inicial y reflejada? (iguales).
La distancia entre la figura reflejada al eje de reflexión es distinta a la distancia entre la figura inicial y el mismo eje. Si es así, oriéntelos a recordar las propiedades y pregunte: ¿cómo deben ser las distancias entre el eje y los respectivos vértices? (iguales).
El movimiento que se realiza para obtener la figura reflejada es una rotación. Si es así, pregunte: ¿cómo es la posición de la figura reflejada respecto de la figura inicial?
Finalice, retomando las dificultades presentadas como consideraciones que deben tener en cuenta al momento de realizar su construcción.

P. 76

Propósito
Que los estudiantes reconozcan rotaciones en el entorno y recuerden las principales características de una rotación como transformación isométrica.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Inicie invitando a sus estudiantes a observar las imágenes que se presentan al inicio de la página. Presente la Actividad 1 y pregunte: ¿qué tienen en común las imágenes? ¿Qué movimiento se puede observar que realizan? (Muestran giros o movimientos circulares) ¿Qué características se mantienen con el movimiento? (forma y tamaño) ¿Cuáles son las que cambian? (orientación y posición).
Presente la Actividad 2 y pregunte: ¿qué forma tiene la figura inicial? ¿Qué elementos geométricos hacen posible la rotación? (ángulo y un vértice fijo) ¿Qué rol tiene el vértice rojo en la rotación? Luego, plantee las preguntas del Texto del Estudiante. Promueva una discusión en torno a las razones por las cuáles la respuesta de Juan y Ema son distintas y en qué se debería precisar para que no exista este error. Concluya con sus estudiantes la importancia de indicar el sentido de rotación y que este puede ser en sentido antihorario o horario.
Finalice formalizando el concepto de rotación, para ello pregunte: ¿qué es una rotación? ¿Qué elementos geométricos hacen posible una rotación? ¿En qué se debe ser precisos al momento de rotar una figura?
Consideraciones didácticas
En esta actividad es fundamental que sus estudiantes reconozcan el movimiento de rotación como un giro o una trayectoria circular y la diferencia que existe con respecto a otros movimientos. Para ello, plantee preguntas que los orienten a diferenciar con el movimiento que realiza la traslación y reflexión. También, haga notar la importancia de manipular correctamente el transportador para medir el ángulo y establecer de manera precisa el sentido de la rotación.

P. 77

Propósito
Que los estudiantes realicen rotaciones, reconociendo el centro, el ángulo y el sentido de rotación.
Habilidades
Modelar / Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Transportador.
Gestión
Comience recordando qué es una rotación, cuáles son los elementos implicados en una rotación y las precauciones que se deben tener al momento de realizar la rotación de una figura 2D.
Presente la Actividad 3 y pídales que reconozcan cuál de las figuras giró 30º, 60º y 90º. Se espera que primero reconozcan aquella figura reflejada que giró 90º. Luego, plantee la pregunta que hace referencia a encontrar el punto de rotación. Para ello, dé tiempo para que todos puedan conjeturar y anotar donde se ubica dicho punto. Pregunte: ¿cómo podemos reconocer el punto de rotación al tener varias rotaciones con el mismo centro? (Buscando el punto donde se cortan todas las figuras). Con respecto del sentido del giro, pregunte: ¿en qué sentido se rotó? (sentido horario). Haga notar que la identificación de un ángulo está asociada con el sentido de la rotación.
Para la Actividad 4 dé un tiempo para que respondan. Monitoree el trabajo. Puede ocurrir que tengan dificultades en identificar el sentido del ángulo. Si es así, haga referencia al movimiento de la manecilla del reloj. Comience la puesta en común con las dificultades que observó al momento de realizar la actividad.
Invítelos a desarrollar la sección Ejercita.
Consideraciones didácticas
En esta etapa del proceso de aprendizaje las rotaciones en 90º y 180º no deberían ser difíciles de reconocer o aplicar. Sin embargo, pueden ser difíciles de imaginar si no se cuenta con apoyo de material concreto sobre el cual simular el giro. Para el caso de una rotación en 45º es importante que sus estudiantes reconozcan la relación entre el ángulo de 45º y el ángulo de 90º, de modo que giren la figura justo hasta la mitad del arco que determina un giro en 90º. Apoye esto usando la diagonal de un cuadrado y considerando uno de los vértices en el que incide dicha diagonal como centro de la rotación.

Cuaderno de Actividades página 60 • Tomo 2
Tickets de salida página 77 • Tomo 2

P. 78

Propósito
Que los estudiantes realicen la rotación de una figura 2D.
Habilidad
Modelar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador y regla.
Gestión
Comience recordando qué es una rotación y los elementos geométricos que la componen.
Presente la situación de que se desea rotar el siguiente triángulo en un ángulo de 45º, en sentido horario. Comente que el centro de rotación se marca en rojo.
Dé un tiempo para que piensen una estrategia para rotar el triángulo. Pregunte: ¿qué procedimientos realizarías para rotar el triángulo? Genere una discusión con las distintas ideas que surjan. Luego, presente el recuadro en el que se explica cómo rotar el triángulo y pregunte: ¿quién realizó el procedimiento como aparece en el texto? ¿Cuál procedimiento consideras que complementa tu estrategia? ¿Qué diferencia observas entre tu procedimiento y el que se presenta?¿Qué puntos se consideraron para rotar la figura? Promueva una discusión en torno al procedimiento que se debe realizar para rotar un triángulo. Haga notar la importancia de utilizar de manera precisa el transportador. Finalmente, asegúrese de que comprendan cómo rotar una figura con regla y transportador. Para ello, pregunte: ¿podrías describir el procedimiento para rotar el triángulo? ¿Cuál es el rol del centro de rotación? ¿Cuál es la función del transportador?
Posteriormente, presente la Actividad 5 e invítelos a realizar la rotación de las figuras en el Cuaderno de Actividades.

Consideraciones didácticas
Algunas de las dificultades y errores que pueden aparecer al momento de rotar una figura son:
Se evidencia desconexión entre concepto de rotación y el movimiento circular o de giro.
Asume que la distancia entre el centro de rotación y el punto inicial; y el centro de rotación y su imagen es irrelevante.
Pasa por alto el sentido de rotación al rotar figuras en el plano.
Rota una figura sin tener en cuenta el centro de rotación.

Cuaderno de Actividades página 62 • Tomo 2
Ticket de salida página 78 • Tomo 2

P. 79

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras 2D.
Habilidades
Modelar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla.
Gestión
Presente las actividades y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Solicite que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo formulando preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
Para el Ejercicio 1 se espera que sus estudiantes describan detalladamente la traslación que realizan cada una de las figuras. Si observa durante el monitoreo que existen dificultades, haga notar que para describir el movimiento de traslación es importante ser precisos.
Para el Ejercicio 2 sus estudiantes deben indicar si los pares de triángulos corresponden a una reflexión. Para asegurarse de que comprenden puede preguntar: ¿qué caracteriza a una reflexión? ¿En qué debemos fijarnos para saber si las figuras están reflejadas? ¿Qué nos ayudaría a reconocer que en la figura se aplicó una reflexión?
Para el Ejercicio 3 sus estudiantes deben simular con un lápiz el eje de reflexión y ubicarlos en la imagen, a la vez que reconocen la reflexión. Asegúrese que identifiquen características específicas de la orientación de las figuras respecto del eje, indicándoles algún elemento distintivo de la imagen. Dé comienzo a la puesta en común preguntando quién utilizó las propiedades para verificar si el eje de reflexión estaba correctamente ubicado.

P. 80

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras 2D.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador.
Gestión
Presente las actividades y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Solicite que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo formulando preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
Para el Problema 1 se espera que sus estudiantes identifiquen el ángulo de rotación y su sentido. Puede ocurrir que mencionen distintos ángulos y que esto se deba al sentido de orientación del ángulo, si es así pregunte de manera directa cuál es el sentido de la rotación que está considerando.
Para el Problema 2 se espera que sus estudiantes consoliden los conocimientos con respecto al concepto de rotación y los elementos geométricos que lo componen.
En el Problema 3 deben conjeturar que, si a una figura se aplica dos veces una reflexión con respecto a ejes que tienen igual dirección, el movimiento que se observa que realiza la figura inicial a la final es una traslación.
Para finalizar, invítelos a desarrollar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 63, 64 y 65 • Tomo 2
Ticket de salida página 80 • Tomo 2

Aprendizajes previos
Clasifican y organizan datos obtenidos en tablas y los visualizan en gráficos de barra.
Registran y ordenan datos obtenidos de juegos aleatorios con dados y monedas.
Construyen, leen e interpretan pictogramas y gráficos de barra simple con escala.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.

Capítulo 19

Azar

7 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo continua el estudio de experimentos aleatorios desarrollado en 3° básico. Se presentan situaciones aleatorias que permiten a los niños intuitivamente determinar y comparar la posibilidad de ocurrencia de eventos. Para ello, los estudiantes usan los conocimientos adquiridos anteriormente relacionados con el registro en tablas y la construcción y análisis de gráficos de barras.
Objetivo de Aprendizaje
OA26: Realizar experimentos aleatorios lúdicos y cotidianos, y tabular y representar mediante gráficos de manera manual y/o con software educativo.

19

P. 81

Propósitos
Que los estudiantes determinen intuitivamente la posibilidad de ocurrencia de un evento en un juego en que interviene el azar.
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de eventos en un juego en que interviene el azar.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Mazo de 10 cartas con los dígitos del 0 al 9.
Una matriz con 3 espacios, para que cada jugador ubique sus cartas.
Un biombo para separar a los estudiantes. Puede ser un pedazo de cartón pegado a la pizarra.
Gestión
Presente a los estudiantes el juego de azar propuesto en la Actividad 1. El juego se realiza en parejas y consiste en formar números de tres cifras. El que forme el número mayor, gana.
Reglas del juego:
Un jugador da vuelta una carta del mazo y decide en qué posición de la matriz coloca el dígito.
El otro jugador realiza la misma acción y se repite el proceso hasta que cada jugador forme su número de tres cifras.
Luego, los estudiantes pueden ver los números para verificar quien formó el número mayor.
Permita que varias parejas de estudiantes pasen a la pizarra a jugar y mientras juegan observe junto con los otros estudiantes las decisiones que toman respecto a la posición en que ubican los dígitos de las cartas.
Finalmente, realice una puesta en común para analizar las estrategias usadas para intentar ganar el juego: ¿cuál es la mejor? ¿De qué depende? ¿En qué casos es seguro ganar el juego?

P. 82

Propósitos
Que los estudiantes comprendan la noción de azar.
Que los estudiantes determinen intuitivamente la   posibilidad de ocurrencia de eventos en un juego aleatorio.
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de eventos en un juego aleatorio.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Una vez realizado varias veces el juego de la página anterior, invite a los estudiantes a realizar las actividades de esta página. Luego, realice una puesta en común para compartir las respuestas y argumentos de los estudiantes.
En b) se espera que indiquen que es imposible que Matías pueda ganar el juego, ya que Ema ha puesto el dígito 9 en la posición de las centenas así que no hay otro número de tres cifras que pueda ser mayor.
En c) se espera que indiquen que es posible que Gaspar pueda ganar el juego, ya que Sofía ha puesto el 8 en la posición de las centenas, de esta forma, si Gaspar saca el 9, le ganará. ¿Qué tan posible es que gane Gaspar? Ante esta pregunta permita que los niños analicen las cartas que quedan y verifiquen que una de ellas es el 9. Es decir, deben elegir 1 carta de entre 5.
En d) se espera que los estudiantes analicen los dígitos que se han puesto en cada matriz y así identifiquen los que quedan disponibles. Concluyen que los dígitos disponibles son: 2, 6, 7, 8, 9. Así, argumentan que Sami puede ganar el juego y que tiene muchas posibilidades ya que debe elegir 4 cartas de entre 5.
Al terminar las actividades, destaque que:
En el juego interviene el azar, ya que las cartas no se pueden elegir.
Sin embargo, dependiendo de las cartas que salgan, hay una estrategia que da mayores posibilidades de ganar.
La estrategia consiste en poner los dígitos de mayor valor en la primera posición.
Consideraciones didácticas
Esta actividad pone en juego los conocimientos que los estudiantes disponen del sistema de numeración decimal, en particular, el valor de posición y comparación de números de tres cifras. Cada vez que juegan deben evaluar la mejor opción, por ejemplo, si al dar vuelta la primera carta sale un 8, conviene ponerlo en la posición de las centenas, pero si sale un 2 conviene ponerlo en la posición de las unidades.
Incentive que los estudiantes expliquen el por qué ubican una carta en una determinada posición de la matriz y cuando se esté decidiendo el ganador de un juego, anímelos a que identifiquen intuitivamente si un estudiante tiene pocas o muchas posibilidades de ganar. Asimismo, incentive que los estudiantes identifiquen y argumenten los casos en que es seguro o imposible ganar.
Note que, aunque en el juego interviene el azar, igualmente se puede seguir una estrategia, que no asegura ganar, pero que da más posibilidades de hacerlo.

Cuaderno de Actividades páginas 66 y 67 • Tomo 2
Tickets de salida página 82 • Tomo 2

P. 83

Propósitos
Que los estudiantes registren los resultados de experimentos aleatorios.
Que los estudiantes analicen tendencias en los resultados de experimentos aleatorios.
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Bolsa opaca y cubos de colores.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, en la cual deben anticipar, realizar y registrar los resultados de un experimento aleatorio. Muestre a los estudiantes la bolsa y los cubos. Saque dos cubos y describa su color. Repita el proceso por lo menos dos veces más. Pregunte: si realizamos esta acción varias veces, por ejemplo, 21 veces, ¿qué creen será lo que más se repita, que salgan de igual o que salgan de distinto color?
Se sugiere registrar en la pizarra las opiniones de los estudiantes: los que creen que saldrá más veces cubos de igual color y los que creen saldrá más veces de distinto color.
Solicite a los estudiantes realizar el experimento con las condiciones señaladas. Resguarde que los cubos los saquen al azar de la bolsa, es decir, sin ver lo que sacan. Mientras van sacando los cubos pídales que vayan registrando los resultados en una tabla como la que aparece en el Texto del Estudiante.
Una vez que hayan repetido la acción de sacar 21 veces los cubos, pídales que contabilicen los resultados y los comparen con sus opiniones antes del experimento.
Permita que reflexionen el por qué salen más veces cubos de distinto color que de igual color. Abra un debate para que den sus argumentos.
Consideraciones didácticas
Es posible que los estudiantes se sientan sorprendidos con los resultados del experimento ya que, de 3 cubos dos son de igual color, por tanto, la intuición los puede hacer creer que hay más posibilidades que salgan de igual color que de distinto color. De momento, interesa que los estudiantes realicen experimentos aleatorios, vaticinen lo que creen que resultará, y los realicen, pero no está dentro de los propósitos del capítulo realizar un análisis exhaustivo para determinar todos los casos posibles y menos calcular la probabilidad. Ahora, si los estudiantes justifican los posibles resultados sin necesidad de realizar el experimento, bienvenido sea. En este caso, el argumento puede ser: Que salgan ambos amarillos es un caso, en cambio que salgan de distinto color son dos, cada cubo amarillo con el rojo. Es decir, las posibilidades que salgan de distinto color es el doble que salgan de igual color.

P. 84

Propósitos
Que los estudiantes registren los resultados de experimentos aleatorios e interpreten gráficos asociados.
Que los estudiantes pronostiquen tendencias en los resultados de experimentos aleatorios.
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Sistematice las principales ideas de la actividad anterior, destacando que:
El experimento realizado se llama aleatorio, ya que interviene el azar.
Hay algunos resultados del experimento que se repiten más, en este caso, que los cubos sean de distinto color.
Las tablas nos ayudan a registrar los resultados de un experimento aleatorio.
Los gráficos de barras nos ayudan a comunicar y analizar los resultados de experimentos aleatorios.
Presente a los estudiantes la Actividad 2, que es similar a la anterior y gestiónela de la misma forma.
Consideraciones didácticas
En la Actividad 2, al igual que en la anterior, es posible que los estudiantes se sientan sorprendidos con los resultados del experimento ya que, de 4 cubos hay dos parejas de igual color, por tanto, la intuición los puede hacer creer que hay más posibilidades que salgan de igual color que de distinto color.

Cuaderno de Actividades página 68 • Tomo 2
Tickets de salida página 84 • Tomo 2

P. 85

Propósitos
Que los estudiantes registren los resultados de experimentos aleatorios, construyan e interpreten gráficos asociados.
Que los estudiantes pronostiquen tendencias en los resultados de experimentos aleatorios.
Que los estudiantes resuelvan problemas asociados a la posibilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3, similar a las anteriores, pero esta vez hay 10 pelotas verdes y 2 rojas. Repita la gestión realizada para las actividades anteriores, pero esta vez se espera que los estudiantes puedan anticipar y argumentar correctamente lo que creen ocurrirá al sacar dos pelotas al azar.
Así, se espera que respondan que, si se saca al azar 20 veces 2 pelotas, saldrán más veces pelotas de igual color que de distinto color ya que hay muchas pelotas de color verde, en cambio, solo hay 2 rojas.
Continúe la clase presentando la Actividad 4, en la cual se solicita a los estudiantes resolver un problema no rutinario. Se muestra un gráfico con los resultados de un experimento que consistió en sacar varias veces dos pelotas al azar de una caja. Deben identificar la caja con las pelotas que se usaron para el experimento.
Para ello, se espera que puedan hacer algunas deducciones para ir descartando algunas cajas. Por ejemplo, la cuarta caja no puede ser, ya que tiene muchas pelotas azules y solo una roja por lo que, si se sacan varias veces dos pelotas, será más frecuente obtener dos azules, lo que no corresponde a ninguna barra del gráfico.
Asimismo, la tercera caja tampoco puede ser, ya que contiene muchas pelotas rojas y solo una azul, por lo que, si se sacan varias veces dos pelotas, será más frecuente obtener dos rojas que pelotas de distinto color, situación que en el gráfico es al revés.
La segunda caja se descarta ya que en el gráfico hay una barra que indica las veces en que se obtuvo dos pelotas rojas, situación que no es posible que suceda ya que la caja tiene sólo una pelota roja.
Así, se concluye que la primera caja es la que se usó para el experimento, ya que, efectivamente, hay más posibilidades que salgan dos pelotas de distinto color que de igual color.
Para determinar las veces que se sacaron las pelotas de la caja, se suman las alturas de cada barra, es decir, 20 (13+7).
Consideraciones didácticas
Tanto para la Actividad 3 como para la Actividad 4 se recomienda realizar el experimento aleatorio de forma concreta o con software para verificar si los resultados pronosticados son correctos.

P. 86

Propósitos
Que los estudiantes registren los resultados de experimentos aleatorios, construyan e interpreten gráficos asociados.
Que los estudiantes pronostiquen tendencias en los resultados de experimentos aleatorios.
Que los estudiantes resuelvan problemas asociados a la posibilidad de ocurrencia de eventos en experimentos aleatorios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 5, en la cual se solicita a los estudiantes resolver también un problema no rutinario. En este caso, se describe un experimento que consistió en lanzar 25 veces dos monedas al aire y se les solicita identificar el gráfico que representa los posibles resultados del experimento.
Discuta con los estudiantes los posibles resultados de lanzar dos monedas para que puedan analizar los gráficos. Ayúdelos a notar que al lanzar dos monedas, hay dos formas de obtener una cara y un sello, y sólo una para obtener dos caras o dos sellos. Así, por ejemplo, el tercer gráfico no podría ser, ya que en 25 lanzamientos es poco probable que la frecuencia de monedas con igual cara sea la misma que monedas con distinta cara.
En el segundo gráfico se observa que sale muchas veces el resultado cara-cara, lo que tampoco puede ser. Así, se concluye que el primer gráfico es el que corresponde al experimento, ya que, efectivamente, hay más posibilidades que salgan caras distintas y la frecuencia de los resultados cara-cara y sello-sello es la misma.
En caso de que sea necesario, se sugiere realizar el experimento y así verificar el gráfico que más se acerca a los resultados.
Continúe la clase invitando a los estudiantes a realizar la actividad de la sección Ejercita, en la cual se propone una actividad que tiene el carácter de juego y que se sugiere realizar en parejas. Se propone un experimento que consiste en lanzar 20 veces dos dados y registrar si los números obtenidos son iguales o no. Los niños dan un pronóstico acerca de los resultados esperados. Se espera que no tengan dificultades en reconocer que será más frecuente obtener números distintos que iguales.
El desafío consistirá en aventurar un número en cada caso. Por ejemplo:
Estudiante 1: 12 veces saldrán números iguales y 8 veces serán distintos.
Estudiante 2: 14 veces saldrán números iguales y 6 veces serán distintos.
Luego, cada pareja de estudiantes realiza el experimento y registran los resultados. Gana el juego el estudiante cuyo pronóstico más se acercó a los resultados del experimento.
Consideraciones didácticas
Note que, al lanzar los dados, hay 6 casos en que es posible que los números sean iguales: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, y 6-6. En cambio, los casos posibles en que los números son distintos son 30. Así, la relación entre números iguales y números distintos es 1 : 5.

Cuaderno de Actividades páginas 69 y 70 • Tomo 2
Tickets de salida página 86 • Tomo 2

P. 87

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con el azar.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Ejercicio 1, se les solicita que indiquen cuál ruleta conviene elegir para obtener el color verde al realizar varios lanzamientos. Se espera que indiquen que conviene elegir la ruleta B, ya que tiene una zona de color verde más grande que la ruleta A. Además, la ruleta B tiene 3 colores, en cambio la ruleta A tiene 4.
En el Ejercicio 2, se presentan dos ruletas, cada una dividida en 8 zonas con diversos colores. Se hace una serie de preguntas asociadas a comparar posibilidades de obtener un color determinado.
En a) se espera que indiquen que conviene elegir la ruleta D ya que tiene 6 zonas de color azul, en cambio la ruleta A, tiene solo 4.
En b) se espera que indiquen que da lo mismo cual ruleta elegir ya que ambas tienen solo una zona de color verde.
En c) se espera que indiquen que conviene elegir la ruleta C ya que tiene 3 zonas de color rojo, en cambio la ruleta D, tiene solo 1.
En el Ejercicio 3, se presenta un gráfico con los resultados que se han obtenido al lanzar al aire varias veces dos monedas. Los estudiantes deben inferir la cantidad de veces en que se lanzaron las monedas. Para ello, deben sumar los valores obtenidos en cada barra, esto es, 4 + 6 + 10, es decir, las monedas se lanzaron 20 veces.
El resultado que más veces salió fue cara-sello, es decir, en 10 oportunidades salieron caras distintas. Por otro lado, si se suman los resultados de igual cara  (6 + 4) se obtiene que en 10 oportunidades se obtuvieron monedas de igual cara. Es decir, salieron en igual medida monedas de distinta e igual cara. Una explicación para lo anterior puede ser que el sello de una moneda puede combinar con la cara y el sello de la otra. Serían dos casos: uno en que las caras son distintas y otro en las que son iguales. Asimismo, la cara de una moneda se puede combinar con la cara y el sello de la otra. Serían dos casos más: uno en que las caras son distintas y otro en las que son iguales. En total habría 4 casos, de los cuales hay dos en que las monedas tienen dos caras iguales, y dos en que tienen caras distintas.

Cuaderno de Actividades páginas 71 • Tomo 2

Capítulo 20

Vistas de figuras 3D

Visión general
En este capítulo, los estudiantes ejercitarán la visualización de figuras 3D, identificando un objeto a partir de sus vistas y determinando las vistas de un objeto dado.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA16: Determinar las vistas de figuras 3D, desde el frente, desde el lado y desde arriba.
Aprendizajes previos
•	Construyen una figura 3D a partir de una red plana.
•	Construyen una red plana para una figura 3D.
•	Reconocen y describen cubos, paralelepípedos, esferas, conos, cilindros y pirámides de acuerdo con la forma de sus caras.
Actitud
Demostrar una actitud de esfuerzo y perseverancia.

20

P. 88

Propósito
Que los estudiantes reconozcan que las vistas de un objeto 3D dependen de la posición del observador.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente el capítulo a los estudiantes, enfatizando que harán distintas actividades que les ayudarán a visualizar figuras 3D desde distintas posiciones, de manera mental. Puede partir demostrando con un objeto concreto, como su escritorio, como éste se ve distinto si es que se observa desde distintas posiciones (mirándolo desde arriba hacia abajo, desde el frente, desde atrás, y desde los lados). Enfatice que la idea es poder determinar cómo serán estas distintas vistas del objeto de manera mental, es decir, imaginándolas.
Presente la Actividad 1 propuesta a los estudiantes indicando que se deben imaginar que están en la posición de cada uno de los niños.
Es posible que los estudiantes digan que no pueden saber lo que Ema y Juan están viendo, lo cual es correcto. Puede responderles que tienen que pensar en la forma de lo que Ema y Juan están mirando, y elegir entre las cuatro alternativas, las más probables.

P. 89

Propósito
Que los estudiantes conozcan la convención para referirse a un objeto 3D, y sean capaces de usar esta convención para describir vistas de figuras geométricas.
Habilidad
Representar.
Recursos
Opcional: Cuerpos geométricos como cilindro y pirámide de base cuadrada.
Gestión
Presente a sus estudiantes el recuadro donde se definen las vistas usuales de una figura 3D y se indica su nombre. Invítelos a pensar en el comentario de Juan. Note que en este comentario está implícito la verticalidad de Juan, que define que es arriba y abajo. Puede volver a la página anterior, y pedirles a los estudiantes que se imaginen que están en la posición de Matías, y que determinen quién está a su derecha y quién a su izquierda. Tener seguridad sobre la lateralidad es importante para referirse correctamente a las vistas de un objeto.
Invite a los estudiantes a resolver la Actividad 2, y a compartir sus respuestas. Se recomienda dibujar en la pizarra cada una de las vistas, especialmente la vista desde arriba. Puede mencionar que para determinar la vista de arriba, se deben imaginar que se mueven desde la posición del frente hasta la posición de arriba, sin rotar. Esta convención no se trabajará de forma explícita en el nivel, pero puede surgir como inquietud de sus estudiantes.
Presente la Actividad 3. Una vez que reconocen las distintas vistas solicitadas, puede pedirles que indiquen las vistas laterales (ambas son un rectángulo). Explique que, por convención, en las vistas se marcan las aristas de la figura.
Presente la Actividad 4, e invite a los estudiantes a compartir sus respuestas en la pizarra. Discuta sobre el hecho de que la vista  A  corresponde a la vista de abajo del cono  1  o a las vistas de arriba o abajo del cilindro  2 . Pregunte: ¿En qué se diferenciaría la vista de arriba del cono con su vista de abajo? (la vista de arriba tendría un punto en el centro). Dibuje en la pizarra la vista de arriba del cono, e indíqueles que, al igual que con las aristas, en las vistas los vértices se indican con un punto.
Finalmente, pida a los estudiantes  desarrollar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Una de las dificultades de trabajar con vistas es que las figuras 3D se representan a través de proyecciones. Por ejemplo, en la Actividad 4, las figuras se presentan mediante su proyección central (perspectiva). Sin embargo, las vistas corresponden a una proyección ortogonal, que puede entenderse como que el observador está enfrentado directamente al objeto desde la posición dada y desde muy lejos. Notamos entonces que las vistas no corresponden exactamente a lo que vería un observador, sino que son una representación.

Cuaderno de Actividades página 72 • Tomo 2
Tickets de salida página 89 • Tomo 2

P. 90

Propósito
Que los estudiantes practiquen los conceptos aprendidos, y reconozcan vistas en objetos más complejos.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente la Actividad 5 a los estudiantes. Si es necesario puede indicar que noten las distintas posiciones de las ventanas de las casas. Solicite a los estudiantes que argumenten su respuesta.
Invite a los estudiantes a trabajar en la Actividad 6. En esta situación no se indica el frente de la figura, sino que solo se debe reconocer la vista sin orientación. Indique a los estudiantes que como las figuras están formadas por cubos, las vistas se han dibujado marcando todas las aristas. Solicite a los estudiantes compartir sus respuestas argumentando cómo las determinaron. Note que la vista del ítem d) corresponde a la vista de arriba de las figuras  2  y  4 . Procure que ambas respuestas surjan desde los estudiantes.
En esta actividad, pueden aparecer respuestas incorrectas. Por ejemplo, asociar la vista del ítem b) a las figuras  1  o  4  . Esto es incorrecto, ya que se pregunta por la vista de arriba y no la lateral o de frente. Otra respuesta incorrecta, es asociar la vista del ítem d) a la figura  7 .
En caso de que algunos estudiantes no logren reconocer las figuras a las que corresponden las vistas, puede ser necesario disponer de algunas de ellas de manera concreta.
Invite a los estudiantes a desarrollar el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Al trabajar la visualización de figuras 3D es importante que los estudiantes transiten desde lo concreto a lo abstracto. Si bien al comienzo puede ser necesario que los estudiantes dispongan de las figuras concretas para determinar sus vistas, es importante superar esta etapa de manera temprana. Mantener los objetos concretos puede desalentar el desarrollo de la visualización.

Cuaderno de Actividades páginas 73 y 74 • Tomo 2
Tickets de salida página 90 • Tomo 2

P. 91

Propósito
Que los estudiantes continúen desarrollando la visualización y se familiaricen con la representación de figuras 3D en el plano isométrico.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente a sus estudiantes la Actividad 7, enfatice que las cuatro vistas corresponden todas a una de las dos figuras 3D que se presentan. Indique a los estudiantes que observen con cuidado las figuras 3D y sus potenciales vistas. Indique que el uso de los colores les ayudará a reconocer las distintas vistas. Pregunte por diferencias entre las dos figuras y cómo se corresponde esto con sus vistas. Los estudiantes deben llegar a la conclusión de que solo la vista desde arriba detecta esta diferencia. Pídales que compartan y argumenten su respuesta.
Lea el recuadro de la mascota donde se describe el papel isométrico, enfatizando su uso para representar figuras 3D, particularmente aquellas formadas por cubos.
Invite a los estudiantes a resolver la Actividad 8. En este caso, se debe enfatizar que la flecha azul indica el frente de la figura, por lo que pueden distinguir cuáles son las vistas laterales izquierda y derecha. Indique que en la representación no están marcados los cubos, por lo que en las vistas solo se marcan las aristas.
Esta actividad tiene mayor dificultad que las anteriores, por lo que requiere un mayor tiempo de trabajo autónomo de los estudiantes. No adelante las respuestas, o dé pistas anticipadas que puedan interferir con el trabajo de los estudiantes.
Invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
El papel isométrico permite representar figuras 3D. Técnicamente esta representación corresponde a una proyección ortogonal isométrica. En particular, en esta representación las aristas de un cubo se muestran con igual longitud, lo que explica su nombre.
Esta representación se acerca a cómo se ven las figuras en la realidad, mirándolas desde lejos y en el ángulo indicado. Sin embargo, no corresponde exactamente a lo que el ojo humano percibe. El uso de colores o tonalidades de gris puede ayudar a reconocer las vistas de las figuras representadas.
Una tarea que no es abordada en este capítulo, es dibujar en papel isométrico una figura 3D dadas sus vistas. Esta tarea tiene mayor dificultad. En el Cuaderno de Actividades se propone copiar letras como una manera de andamiar el poder dibujar figuras 3D en el plano isométrico. En la página 93 del Cuaderno de Actividades, los estudiantes cuentan con una hoja de papel isométrico para que dibujen figuras 3D.

Cuaderno de Actividades páginas 75 y 76 • Tomo 2

P. 92

Propósito
Que los estudiantes ejerciten la visualización de figuras 3D.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente el Ejercicio 1 a los estudiantes. Note que deben apelar a sus conocimientos previos para encontrar a qué figura conocida corresponden las vistas. Pida a sus estudiantes que argumenten sus respuestas.
Invite a los estudiantes a hacer el Ejercicio 2. En este ejercicio deben determinar una vista particular. Puede recordar las convenciones que se utilizan para representar aristas y vértices, si es necesario.
El Ejercicio 3 corresponde a una situación ya abordada en el capítulo. Este ejercicio permite evaluar si los estudiantes tienen claridad sobre cómo se representan las aristas en las vistas.
Consideraciones didácticas
Los ejercicios presentados en esta página son de reforzamiento. Solo involucran reconocer vistas o cuerpos. Tareas más complejas, como dibujar las vistas de una figura dada están abordadas en el Cuaderno de Actividades.

Tickets de salida página 92 • Tomo 2

P. 93

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el reconocimiento de vistas de figuras 3D complejas formadas por cubos.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver el Problema 1, de manera individual. Enfatice que se pide distinguir las vistas indicadas para cada figura. Recuerde que es importante que esta tarea se haga sin recurrir a material manipulable, por lo que no se recomienda mostrar las figuras concretas. Dé suficiente tiempo para la realización de este problema ya que tiene una mayor dificultad, por la complejidad de las figuras. Si hay estudiantes que resuelven rápidamente el problema, puede pedirles que dibujen las vistas restantes en su cuaderno.
Presente el Problema 2 a los estudiantes, indicando que al ser un “niño sentado” se supone que estamos mirando el frente del niño. Pregunte a los estudiantes si la vista lateral dada, corresponde a la vista lateral derecha o izquierda, de acuerdo con el observador (corresponde a la vista lateral derecha).

Capítulo 21

Aventura Matemática

Visión general
En este capítulo se abordan actividades no rutinarias que integran distintos aprendizajes y habilidades matemáticas estudiadas durante este año y en años anteriores. Los contextos favorecen la articulación del estudio con otras asignaturas y se espera que ayuden a tomar conciencia de diversas problemáticas medioambientales que nos afectan.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA1: Representar y describir números del 0 al 10 000:       › contándolos de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en              1 000 › leyéndolos y escribiéndolos › representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica › comparándolos y ordenándolos en la recta numérica o la tabla posicional › identificando el valor posicional de los dígitos hasta la decena de mil › componiendo y descomponiendo números naturales hasta 10 000 en forma aditiva, de acuerdo con su valor posicional.
OA5: Demostrar que comprenden la multiplicación de números de tres dígitos por números de un dígito: › usando estrategias con o sin material concreto › utilizando las tablas de multiplicación › estimando productos › usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma › aplicando el algoritmo de la multiplicación › resolviendo problemas rutinarios.
OA6: Demostrar que comprenden la división con dividendos de dos dígitos y divisores de un dígito: › usando estrategias para dividir, con o sin material concreto › utilizando la relación que existe entre la división y la multiplicación › estimando el cociente › aplicando la estrategia por descomposición del dividendo › aplicando el algoritmo de la división.
OA8: Demostrar que comprende las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2: › explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica › describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones › mostrando que una fracción puede tener representaciones diferentes › comparando y ordenando fracciones con material concreto y pictórico.
OA27: Leer e interpretar pictogramas y gráficos de barra simple con escala y comunicar sus conclusiones.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.
Algunos Temas matemáticos involucrados
Actividad 1. La basura que generamos
1. Interpretar información del entorno expresada con números grandes.
2. Leer y escribir números de hasta 10 cifras.
3. Comprender intuitivamente la multiplicación de un natural por un decimal.
4. Comprender intuitivamente la división de un natural por un natural con resultado decimal.
Actividad 2. Biodiversidad en Chile.
5. Leer y escribir números de hasta 5 cifras.
6. Interpretar información numérica en situaciones contextualizadas.
7. Representar fracciones con modelos de barras.
8. Calcular una fracción de un número.

2 horas pedagógicas

21

P. 95

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recurso
Calculadora.
Gestión
Presente la Actividad 1, invitando a los estudiantes a que lean la información que señala la mascota. Genere una conversación para que comuniquen sus impresiones acerca del problema de la basura en Chile y el mundo. Pregunte: ¿Cuánta basura se genera al año en Chile? ¿Se imaginan esa cantidad? ¿La pueden escribir en cifras? ¿Cuántas veces pasa el basurero por tu casa? ¿Cuántos kilogramos de basura botas cada vez? ¿Reciclan en tu casa la basura?  ¿Por qué es importante reciclar la basura?
En la Pregunta a), se solicita que determinen la cantidad de kilogramos de residuos que produce una persona al día. Para ello, deben repartir los 396 kg entre 365 días, por tanto, estiman que, al día, una persona produce 1 kg y “algo más” de residuos. Luego, usan la calculadora para calcular 396 : 365 = 1,08. Es decir, una persona en Chile produce aproximadamente 1,08 kg diarios de residuos.
En la Pregunta b), se solicita que determinen la cantidad de bolsas que produce una persona al día. Para ello, calculan 547 : 365 = 1,49 (aprox.) Este número puede interpretarse como que una persona en Chile usa al día una bolsa y media. Genere una discusión acerca del sentido de este número con relación al perjuicio de las bolsas plásticas que provoca en los océanos. Señale que es probable que este número haya disminuido, ya que esta información es del año 2016, y desde 2018 hay una ley que prohíbe el uso de bolsas plásticas.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad. Modere una conversación para indagar si conocen la diferencia entre residuos y basura, para que expresen sus ideas acerca de cómo reciclar, disminuir la cantidad de basura y eliminar definitivamente el uso de bolsas plásticas.

P. 96

Propósito
Que los estudiantes usen algunos de los conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recurso
Calculadora.
Gestión
Presente la Actividad 2, invitando a los estudiantes a que lean la información que señala la mascota. Genere una conversación para que comuniquen sus impresiones acerca de la diversidad de especies que tiene Chile asociada a la gran cantidad de ecosistemas. Pregunte: ¿Qué significa que una especie sea nativa? ¿Hay especies que no son nativas?
En 1, se solicita que analicen la infografía donde se presenta información relativa a la clasificación de especies. Dé un tiempo para que lean y analicen la información dada. Luego, plantee la Pregunta a), en la cual se solicita que realicen un modelo de barras o esquema que permita visualizar la relación que hay entre las especies nativas y endémicas. Para guiar la comprensión de esta relación, se sugiere preguntar: ¿Las especies endémicas son parte de las nativas? ¿Hay más especies endémicas que nativas?, etc.
Así, se espera que los estudiantes realicen un modelo de barras y establezcan algunas conclusiones:
Para una mayor comprensión de la relación entre especies endémicas y nativas, se recomienda dar algunos ejemplos: el puma es una especia nativa en Chile, pero no endémica ya que se encuentra también en otros países. En cambio, la ranita del Loa es una especie nativa de Chile y a la vez endémica ya que vive exclusivamente en el río Loa, situado en el norte de Chile.
En la Pregunta b), se solicita determinar la cantidad de especies endémicas que hay en Chile. Para ello deben calcular la cuarta parte de 31 000. Para identificar la operación que deben realizar, se pueden apoyar en el modelo de barras:
Así, usan la calculadora para calcular 31 000 : 4 = 7 750. Es decir, hay cerca de 7 750 especies endémicas en Chile.
Luego, invite a los estudiantes a leer la información de la mascota relativa al zorro culpeo, la mascota de nuestro texto. A diferencia de otros animales nativos, esta especie no está en peligro de extinción y se estima que la cantidad de ejemplares es el orden de “decenas de miles”. Se sugiere pedir que interpreten esa cantidad y que den ejemplos en cifras de lo que puede representar. Los estudiantes pueden escribir algunos de los siguientes números: 60 000, 99 000, 10 000, etc.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para discutir acerca de la importancia de conservar y cuidar nuestra flora y fauna. Pregunte: ¿Qué podemos hacer para ayudar a cuidar nuestra naturaleza?

Cuaderno de Actividades
y sus respuestas

Planificación detallada

10 unidades  de cubo.

8 unidades  de cubo.

18 unidades  de cubo.

12 unidades  de cubo.

6 unidades  de cubo.

15 unidades  de cubo.

36 unidades  de cubo.

24 unidades  de cubo.

16 unidades  de cubo.

30 unidades  de cubo.

27 unidades  de cubo.

6

Anexos

Anexo 1
Evaluaciones

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) incluye 4 evaluaciones que esperan complementar y apoyar sus decisiones en el proceso evaluativo.
• Evaluación 4: evaluación inicial, dirigida a identificar los aprendizajes previos requeridos para abordar los temas del tomo 2.
• Evaluación 5: evaluación intermedia, considera los contenidos estudiados en la Unidad 3.
• Evaluación 6: evaluación final, considera los contenidos abordados en la Unidad 4.
• Evaluación adicional: evaluación extra, aborda todos los contenidos vistos en el tomo 2.
Cada evaluación está acompañada de una tabla de especificaciones que indica el capítulo, el Objetivo de Aprendizaje y el tipo de ítem relacionado a cada pregunta. Además, cada instrumento cuenta con una rúbrica para su revisión.

Evaluación 4

Tabla de especificaciones Evaluación 4

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA5 | Capítulo 4: Multiplicación | Selección única | 1 | 1
OA3 | Capítulo 2: Sumas y restas hasta 1 000 | Respuesta extensa | 1 | 2
OA3 | Capítulo 2: Sumas y restas hasta 1 000 | Ejercicios | 3 | 3
OA19 | Capítulo 8: Construcción de ángulos | Construir | 2 | 4
OA5 | Capítulo 4: Multiplicación | Ejercicios | 4 | 5
OA24 | Capítulo 12: Volumen | Completar | 4 | 6
OA10 | Capítulo 13: Fracciones | Respuesta breve | 3 | 7
OA27 | Capítulo 17: Datos | Verdadero o Falso | 4 | 8

Rúbrica Evaluación 4

1.  	Alternativa d).
2.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (20 y 36) e identifica que debe restar. Realiza adecuadamente la resta empleando el algoritmo u otra estrategia. Escribe como respuesta que en la tarde vendió 16 revistas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe restar. Realiza la resta, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe restar. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

3.  	a) 603
b) 516
c) 102
d) 75
4.  	A continuación se muestran ejemplos de respuestas correctas. Hay otras respuestas posibles.

a)

b)

5.  	a) 27		b) 400		c) 8		d) 6
6.  	a) 8		b) 2		c) 4		d) 12

7.  	a) 		b) 		c)
8.  	a) F		b) F		c) V		d) V

Rúbrica    Evaluación 1

Evaluación 5

Tabla de especificaciones Evaluación 5

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA6 | Capítulo 11: Multiplicación y división | Completar | 4 | 1
OA5 | Capítulo 11: Multiplicación y división | Selección única | 1 | 2
OA24 | Capítulo 12: Volumen | Respuesta breve | 3 | 3
OA24 | Capítulo 12: Volumen | Selección única | 1 | 4
OA9 | Capítulo 13: Fracciones | Respuesta breve | 3 | 5
OA11 | Capítulo 14: Números decimales | Identificar | 4 | 6
OA14 | Capítulo 15: Ecuaciones e inecuaciones | Inventar problema | 1 | 7

Rúbrica Evaluación 5

1.  	a) 5
b) 200
c) 50
d) 9
2.  	Alternativa c).
3.	a) 12 cubos.
b) 5 capas.
c) 60 cm3
4.  	Alternativa c).
5.	a) En el recipiente A hay  L y en el recipiente B,  L.
b)  L o 1 L.
c) En el recipiente B hay  L más que en el recipiente A.
6.
7.

0,3              0,11              0,98              0,54

Nivel de logro | Descripción
Logrado | El problema contiene los datos 76, 90 y una incógnita o dato desconocido. La incógnita más 76 dan como resultado 90, coincidiendo con la expresión 76 +       = 90. La pregunta apunta al valor de la incógnita y la respuesta al problema es 14.
Medianamente logrado | El problema contiene los datos 76, 90 y una incógnita o dato desconocido. Identifica que hay una suma, sin embargo, su solución no se ajusta a la expresión 76 +       = 90. La respuesta al problema no es 14.
Incipiente | El problema contiene los datos 76 y 90 pero no contiene una suma. La respuesta al problema no es 14.
No logrado | Plantea un problema sin sentido o no contiene los datos solicitados.

Evaluaciones Rúbrica    Evaluación 5

número de veces

posibles colores

Evaluación 6

Tabla de especificaciones Evaluación 6

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA17 | Capítulo 16: Simetría | Dibujar | 1 | 1
OA27 | Capítulo 17: Datos | Mixto: Selección única y respuesta breve | 2 | 2
OA18 | Capítulo 18: Transformaciones isométricas | Selección única | 1 | 3
OA26 | Capítulo 19: Azar | Selección única | 1 | 4
OA16 | Capítulo 20: Vistas de figuras 3D | Dibujar | 1 | 5

Rúbrica Evaluación 6

1.

2.	a)

¿Qué sabor de jugo prefieres?

2.	b)	• 275
• 275
• 125
• 300
3.	Alternativa d).
4.	Alternativa b).
5.

Rúbrica    Evaluación 6

Evaluación adicional

1

Hay 95 bombones. Se debe poner 5 bombones en cada plato. ¿Cuántos platos se necesitarán?

c)

d)

23

100

475

2

Calcula:

500 • 3 =

90 : 2 =

453 • 6 =

84 : 7 =

Representa con diagramas las fracciones y los números mixtos.

Cada cinta mide 1 m. Escribe el número decimal que representa la medida de la parte pintada.

m

5

Calcula el volumen del contenedor en unidades de cubo de 1 m de arista.

Identifica en cuál figura la línea es de simetría. Enciérrala en un círculo.

En un concurso, ganas si al sacar de la caja una bolita esta es gris. ¿Cuál es la caja que conviene elegir para ganar? Enciérrala en un círculo.

Tabla de especificaciones Evaluación adicional

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA6 | Capítulo 11: Multiplicación y división | Selección unica | 1 | 1
OA5 | Capítulo 11: Multiplicación y división | Ejercicios | 4 | 2
OA10 | Capítulo 13: Fracciones | Dibujar / Representar | 3 | 3
OA11 | Capítulo 14: Números decimales | Respuesta breve | 3 | 4
OA24 | Capítulo 12: Volumen | Respuesta extensa | 1 | 5
OA11 | Capítulo 16: Simetría | Selección única | 2 | 6
OA26 | Capítulo 19: Azar | Selección única | 1 | 7

Rúbrica Evaluación adicional

1.  	Alternativa a).
2.  	a) 1 500 	b) 2 718 	c) 45		d) 12
3.  	Las siguientes son algunas representaciones posibles. Los alumnos pueden representarlas eligiendo otras figuras.

4.  	a) 0,03 m 	b) 0,9 m 	c)  1,5 m

5.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica las medidas (2 m, 2 m y 12 m) e identifica la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular (largo x ancho x alto). Multiplica adecuadamente las medidas y sus unidades. Escribe como respuesta que el volumen es 48 m3  (o alguna expresión equivalente)
Medianamente logrado | Identifica las medidas y conoce la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular. Multiplica las medidas y sus unidades, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o multiplica adecuadamente las medidas, pero no considera las unidades obteniendo 48, 48 m o 48 m2 .
Incipiente | Identifica las medidas, pero no conoce la fórmula para calcular el volumen de un prisma rectangular. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica las medidas ni la fórmula.

6.  	En ambos casos en la segunda figura la línea es de simetría.
7.  	La caja C tiene más posibilidades de ganar.

Anexo 2
Tickets de salida y sus respuestas

En este anexo encontrará los Tickets de salida, contenidos en el talonario Tomo 2. Estos recursos deben aplicarse al final de la lección a fin de hacer seguimiento y monitoreo del logro de aprendizajes de los estudiantes. La GDD ofrece recomendaciones para aplicar los Tickets de salida después de una lección específica, las cuales se expresarán mediante el ícono correspondiente y el respectivo número de página del TE. La relación entre los Tickets de salida y las lecciones del Texto del Estudiante es variable, pero se espera que a lo largo de una semana de clases pueda aplicar entre 3 y 4 Tickets de salida.

Solucionario Tickets de salida

Ticket de salida página 7
Ticket de salida página 7 Expresión: 25 • 7; Respuesta: 175 L
Ticket de salida página 9
Ticket de salida página 9 Expresión: 560 • 6; Respuesta: 3 360
Ticket de salida página 13
Ticket de salida página 13 Expresión: 87 : 3; Respuesta: 29
Ticket de salida página 14
Ticket de salida página 15 En paso 1 se sumaron 2 decenas en lugar de 5 y en paso 3 no se sumaron las 2 decenas. La respuesta correcta es 649 • 6 = 3 894.
Ticket de salida página 15 Debería ser 7 – 4 = 3 en la primera columna.  La respuesta correcta es 76 : 4 = 19.
Ticket de salida página 17 La botella plástica (llena 10 vasos)
Ticket de salida página 18 Fig. 1 tiene 11 cubos; Fig. 2 tiene 12 cubos.
Ticket de salida página 19 a) 4 • 2 • 3 = 24 cm3; b) 6 • 5 • 1 = 30 cm3
Ticket de salida página 19 a) 2 • 5 • 3 = 30 cm3; b) 1 • 3 • 3 = 9 cm3
Ticket de salida página 20 Equivalen a  L
Ticket de salida página 21 Ascensor: cubos de arista 1 m. Caja: cubos de arista 1 cm.
Ticket de salida página 22 Volumen camión: 350 – 200 = 150 cm3
Ticket de salida página 23
Ticket de salida página 24 Volumen contenedor: 2 • 2 • 6 = 24 m3
Ticket de salida página 27  L
Ticket de salida página 27
Ticket de salida página 29 1 de 5 maceteros o  de los maceteros.
Ticket de salida página 30
Ticket de salida página 33 a)  +  = ; b)  +  =
2
7
5
12
8
12
Ticket de salida página 33 a)  −  = ; b)  −  =
8
9
4
9
9
10
3
10
Ticket de salida página 35 Hay 3  L
Ticket de salida página 36 a)  = 1; b)  >  ; c)  >
6
6
10
12
1
12
5
9
2
9
Ticket de salida página 37 a)  +  = ; b)  −  =
4
8
9
12
4
12
Ticket de salida página 37
a) Expresión:  + ; Respuesta:
b) Expresión:  − ; Respuesta:
4
10
5
10
Ticket de salida página 39 El número es 0,8
Ticket de salida página 39
Ticket de salida página 41 a) 1,25 es 1 entero y 25 centésimos. b) 1,25 son 125 centésimos.
Ticket de salida página 42 2,5 > 2,25
Ticket de salida página 42 a) 2,3 > 2,03; b) 3,09 < 5,09; c) 1 > 0,1; d) 3,4 > 3,9; e) 1 = 1,0
Ticket de salida página 43
| 1 | 1, | 3 | 7
+ | 1 | 5, | 3 | 2
| 2 | 5, | 6 | 9
| 1
| 0, | 8 | 7
+ | 0, | 5 | 0
| 1, | 3 | 7
Ticket de salida página 43 Cálculo: 4,5 + 2,25; Respuesta: 6,75 L
Ticket de salida página 44 a) 8,57 − 5,23 = 3,34; b) 1,8 − 0,25 = 1,55
Ticket de salida página 44 Cálculo: 1,5 − 1,25; Respuesta: 0,25 m
Ticket de salida página 46 a) Hay 11 décimos en 1,1. b) Hay 100 centésimos en 1.
Ticket de salida página 48     14 +   = 32
Ticket de salida página 48     21 +   = 45
24
Ticket de salida página 50        4 +   = 10 Hay que agregar 6 cubos en el brazo derecho.
Ticket de salida página 50     10 –   = 4 Hay que quitar 6 cubos del brazo izquierdo.
Ticket de salida página 52     6 +   < 13 Cualquier número menor a 7 serviría.

| 2
| 4 | 5 | • | 5
2 | 2 | 5

| 9 | 3 | • | 3
2 | 7 | 9

| 3 | 5
| 6 | 4 | 7 | • | 8
5 | 1 | 7 | 6

|  | 5
| 2 | 0 | 6 | • | 8
1 | 8 | 5 | 4

| 7 | 6 | : | 4 | = | 1 | 9
– | 4
| 3 | 6
– | 3 | 6
|  | 0

| 9 | 8 | : | 7 | = | 1 | 4
– | 7
| 2 | 8
– | 2 | 8
|  | 0

| 4
| 9 | 7 | • | 6
5 | 8 | 2

| 3 | 8 | : | 2 | = | 1 | 9
– | 2
| 1 | 8
– | 1 | 8
|  | 0

| 1 | 1
| 7 | 4 | 5 | • | 3
2 | 2 | 3 | 5

0

9

10

menor

Ticket de salida página 52  No, debe ser un número mayor a 7. Ejemplo: 13 +  > 20
8
Ticket de salida página 54
Hay dos posibilidades:  (1) Agregar cualquier número de cubos en lado derecho. Ejemplo:
10 < 13 +
(2) Agregar hasta 2 cubos en el lado izquierdo. Ejemplo:
10  +   < 13
Ticket de salida página 54 Agregar a lo menos 5 cubos al lado derecho.
9  <  5  +
Ticket de salida página 58 Objetos (C) y (D) son simétricos.
Ticket de salida página 58
Ticket de salida página 59 Punto B  Punto M; Lado CD  Lado ND ;  Ángulo en C   Ángulo en N.
Ticket de salida página 59
Ticket de salida página 61
Ticket de salida página 61
Si, la línea dibujada es de simetría.
Ticket de salida página 62
La figura tiene 4 líneas de simetría.
Ticket de salida página 65
La mascota preferida es el perro.
Ticket de salida página 67 a) Se hicieron 6 goles en el primer partido. b) En el 2° partido si hicieron más goles.
Ticket de salida página 67
Matías
Ema
Juan
Sofía
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15
Ticket de salida página 68 Un cuadrado representa 10 cm.
Ticket de salida página 68
Biblioteca | Nacional | Alcántara | San Mateo | Austral | Premier
Cantidad de libros | 1 300 | 900 | 800 | 1 000 | 1 100
Ticket de salida página 69 a) 24 niños; b) 4° básico.
Ticket de salida página 69 a) 5° básico; b) 236 niños
Ticket de salida página 72
Ticket de salida página 72 Fig. ABCD se trasladó 4 espacios para abajo y 7 espacios a la derecha.
Ticket de salida página 74
Ticket de salida página 74
Ticket de salida página 77 Centro de rotación es B y sentido antihorario.
Ticket de salida página 77 El ángulo es de 57° aprox.
Ticket de salida página 78
Ticket de salida página 80 a) trasladar a la derecha; b) reflejar con respecto a la línea;  c) rotar con centro O y sentido antihorario.
Ticket de salida página 82 En ambas situaciones hay azar
Ticket de salida página 82 No es posible.
Ticket de salida página 84 El color negro.
Ticket de salida página 84 Es más probable que sean de distinto color.
Ticket de salida página 86
40
30
20
10
0
cara
sello
Ticket de salida página 86 Gráfico 2
Ticket de salida página 89 a) Izquierda; b) frente
Ticket de salida página 89
Ticket de salida página 90 El camión de la izquierda.
Ticket de salida página 90 La figura de la derecha.
Ticket de salida página 92
Ticket de salida página 92

D

E

C´

B´

Mascotas

Perro

Número de estudiantes

Gato

Conejo

29

O

Vista desde la derecha

Vista desde abajo

Vista desde arriba

Frente

Anexo 3
Repaso Texto del Estudiante

Calcula.
30 · 70            307 · 3            90 : 3            72 : 4
a
b
c
d

Consulta al capítulo 11

Observa y responde.
Escribe la fracción que representa cada recipiente.
¿Cuál recipiente contiene más litros?, ¿cuántos litros más?
¿Cuántos litros hay entre los           dos recipientes?

Consulta al capítulo 13

Indica si las siguientes imágenes corresponden a una traslación, reflexión, rotación o a ninguna de estas transformaciones.

Consulta al capítulo 18

Calcula.
7,8 + 6,4         5,07 + 4,1        5,2 – 1,1        3,8 – 2,9

Consulta al capítulo 14

Calcula el volumen en unidades de cubo de 1 m de arista.

Consulta al capítulo 12

Observa la balanza.
¿Cuántos cubos se deben agregar para que se equilibre? Escribe una expresión matemática que represente  el problema.
¿Cuántos cubos se deben agregar para que se incline hacia la derecha? Escribe una expresión matemática que represente el problema.

Consulta al capítulo 15

Indica los colores que pueden tener los sectores de cada ruleta para que al girarla varias veces:
En la ruleta A siempre salga verde.
En la ruleta B sea más frecuente el color azul que el verde.

Consulta al capítulo 19

Ruleta A

Ruleta B

Indica la o las líneas de simetría de las siguientes figuras:

Consulta al capítulo 16

Observa el pictograma y responde.
¿Qué lugar tuvo más preferencias?      ¿Cuántas preferencias tuvo?
¿Cuántos niños en total                                fueron consultados?

Consulta al capítulo 17

Anexo 4
Material didáctico recortable

Bibliografía

• Araneda, A. M., Chandía, E., & Sorto, M. A. (2013). Datos y azar para futuros profesores de Educación Básica.  Santiago de Chile: SM.
• Belmonte, J., & Chamorro, M. (1988). El problema de la medida, didáctica de las magnitudes lineales. Madrid: Síntesis.
• Calvo, X y otros. (2002). La geometría: De las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula. Barcelona: Editorial Graó.
• Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz, V. & Vega E. (2012). Matemáticas para la Educación Normal: Guía para el aprendizaje y enseñanza de la aritmética. México D.F.: Contrapunto.
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