Desplegar Pestaña

Se quiere demostrar que que todos los puntos que equidistan de los extremos de un segmento pertenecen a la simetral de dicho segmento.

Recordemos que definimos la simetral de un segmento como la única recta perpendicular que pasa por su punto medio.

Primero vamos a probar que si un punto está en la simetral de un segmento, entonces dicho punto es equidistante a los extremos del segmento:

Sean \(A\) y \(B\) dos puntos, si \(P \in \ell\) simetral de \(\overline{AB}\), se quiere demostrar que la distancia entre \(A\) y \(P\) debe ser igual a la distancia entre \(B\) y \(P\).
Para probar esto, notemos que si consideramos \(\ell\) recta de reflexión, y denotamos \(A’\) la reflexión de \(A\) con respecto a \(\ell\), entonces \(A’=B\) y \(B’=A\).

Como \(P \in \ell\) la reflexión de \(P\) con respecto a \(\ell\) es \(P\).

Como la reflexión preserva distancias, la distancia entre \(A\) y \(P\), será igual a la distancia entre \(A’\) y \(P’\), y por lo tanto, igual a la distancia entre \(B\) y \(P\), ya que \(A’=B\) y \(P’=P\).

Con eso queda demostrado que \(P\) es un punto de la simetral del segmento \(\overline{AB}\) es equidistante a sus extremos \(A\) y \(B\).

Ahora vamos a probar el recíproco, es decir, que si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces se encuentra en su simetral:

Dado un segmento \(\overline{AB}\) y un punto \(P\) equidistante de los vértices \(A\) y \(B\), se construye el triángulo \(\triangle{ABP}\).

En este triángulo se sabe que \(\overline{AP} \cong \overline{BP}\), \(\angle{APB} \cong \angle{APB}\) y \(\overline{BP} \cong \overline{AP}\). Entonces, por criterio \(LAL\) se concluye que el triángulo \(\triangle{APB}\) es congruente con \(\triangle{BPA}\).

Esto implica que \(\angle{PAB} \cong \angle{ABP}\).
Ahora, sea \(M\) el punto medio de \(\overline{AB}\), usamos nuevamente el criterio \(LAL\), de modo que \(\triangle{PAM} \cong \triangle{PBM}\).

Por lo tanto, los ángulos \(\angle{AMP} \cong \angle{BMP}\) y como suman 180° son ángulos rectos.

Así, \(P\) se encuentra en la recta que es perpendicular a \(\overline{AB}\) y que pasa por su punto medio. Por propiedades vistas anteriormente, la simetral es única, por lo tanto, \(P\) se encuentra en la simetral de \(\overline{AB}\).

Con esto se ha demostrado que los puntos que equidistan de los extremos de un segmento, pertenecen a su simetral.