Contenido 1: Conceptos básicos
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Video “Desplazamientos en el plano”
En este video se presenta una situación en la que un dron se mueve por la ciudad realizando entregas de distintos productos. La necesidad de describir los desplazamientos del dron, permite introducir el concepto de vector.
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Igualdad de vectores
Este recurso GeoGebra permite arrastrar dos vectores, posicionarlos sobre un mismo punto y observar que ambos corresponden al mismo vector de traslación. Es decir, que dos vectores son iguales si trasladan un mismo punto a la misma imagen.
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Características principales de un vector
Este recurso GeoGebra muestra de forma gráfica las características principales de un vector que traslada un paralelogramo ABCD al paralelogramo EFGH.
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Coordenadas de un vector
Este recurso GeoGebra permite observar cómo cambia la magnitud, dirección y sentido de un vector al modificar sus coordenadas.
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Apunte “Conceptos básicos de vectores”
En este documento se detallan y resumen definiciones y conceptos básicos asociados a vectores, tales como: - El uso de vectores para describir desplazamientos en el plano. - El uso de vectores para representar traslaciones de puntos en el plano. - Representación cartesiana de un vector.
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Contenido 2: Suma y resta de vectores
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Video “Viajes del dron”
En este video se presentan distintos viajes de un dron desde un mismo punto inicial a un punto final. Estos viajes permiten introducir la suma de vectores como desplazamientos sucesivos, es decir, como una composición de traslaciones.
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Video "Retorno automático"
Este video muestra como un dron viaja desde un punto a otro y se devuelve inmediatamente. Esta situación permite introducir la noción de inverso de un vector y la idea de que la suma de un vector con su inverso resulta en un desplazamiento nulo.
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Suma y Resta de vectores (gráfica)
Este recurso GeoGebra permite modificar las posiciones finales de dos vectores y observar de forma gráfica como cambian los vectores suma y resta al hacerlo.
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Suma y Resta de vectores (coordenadas)
Este recurso GeoGebra permite modificar las posiciones finales de dos vectores y observar de forma gráfica y algebraica como cambian los vectores suma y resta al hacerlo.
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Apunte “Suma y Resta de Vectores”
En este documento se detallan y resumen los principales conceptos asociados a la suma y resta de vectores, tales como: - Definición de la suma de vectores - Vector Cero. - Inverso aditivo de un vector. - Definición de la resta de vectores. - Propiedades de la suma de vectores (conmutatividad, asociatividad, existencia de neutro, existencia de inverso).
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Contenido 3: Producto por escalar y sus propiedades
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Homotecias
Este recurso GeoGebra permite generar imágenes homotéticas cambiando el valor del factor de homotecia k. Además, muestra como cambian los vectores que describen un mismo punto en la imagen homotética y la original.
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Homotecias II
Este recurso GeoGebra es similar al anterior, pero en esta ocasión se muestra cómo cambian las coordenadas de dos puntos en la imagen homotética al variar el factor de homotecia k.
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Pantógrafo
Este recurso GeoGebra simula el funcionamiento de un pantógrafo. Un instrumento creado para reproducir de forma manueal dibujos a distintas escalas.
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Producto por escalar
Este recurso GeoGebra muestra visualmente como cambia el producto por escalar de un vector al variar el valor del escalar.
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Video "Cámara Oscura"
En este video se introduce brevemente la cámara oscura y sus principales características.
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Simulación Cámara Oscura
Este recurso GeoGebra simula el funcionamiento de una cámara oscura en tres dimensiones. Este recurso puede ser utilizado para explicar que, si bien la imagen que se obtiene en la pantalla de la cámara oscura es similar a la que se obtenedría si se realiza una homotecia de factor negativo, dicha imagen está en un plano diferente al de la imagen original.
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Cámara Oscura
Este recurso GeoGebra simula el funcionamiento de una cámara oscura en dos dimensiones. El recurso muestra además como cambian distintos vectores que describen las posiciones de distintos puntos de la imagen real, al acercar esta a la cámara.
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Apunte "Producto por escalar y sus propiedades"
En este documento se da una definición del producto por escalar, el cuál se utiliza a su vez para dar una definición vectorial de las homotecias. Además, se resumen las propiedades de esta operación. Por último, se explica la relación entre la cámara óscura y las homotecias.
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Contenido 4: GeoGebra y vectores
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Video “Ingresa a GeoGebra”
En este video se explica cómo acceder a GeoGebra y se muestran algunos de sus elementos.
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Video "Crea tu cuenta en GeoGebra"
En este video se explica paso a paso cómo crear una cuenta en GeoGebra.
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Video "Guardar un trabajo en Geogebra y compartirlo"
En este video se explica paso a paso cómo guardar un trabajo realizado en GeoGebra y cómo compartirlo.
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Apunte "Introducción a GeoGebra"
En este documento se resumen ideas asociadas a la utilización de GeoGebra: - Acceso a GeoGebra - Cómo acceder a GeoGebra - Guarda tu trabajo - Creación de tu cuenta GeoGebra - Cómo ingresa a tu cuenta GeoGebra - Cómo guardar y compartir tu trabajo - Cómo impotar un trabajo
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Contenido 1: Ecuación vectorial de la recta
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Ecuación vectorial de la recta
Este recurso Geogebra permite modificar el parámetro (t) de una recta y observar como se obtienen las posiciones de los distintos puntos (x,y) que pertenecen a ella.
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¿Cómo saber si un punto pertenece a una recta?
En el siguiente video se explica cómo determinar si un punto cualquiera pertenece a una recta, a partir de la ecuación vectorial de esta.
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Misma recta, diferente vector posición
Este recurso GeoGebra muestra como una misma recta (de vector director <3,2>) puede ser descrita usando cualquier punto que pertenezca a ella como vector posición. El recurso permite observar como se obtienen los distintos puntos (x,y) al variar los parámetros de dos ecuaciones vectoriales que describen a la recta pero que usan posiciones distintas como vector posición.
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Rectas paralelas
Este recurso GeoGebra permite modificar la posición de una recta (moviendo el punto P′ de color naranja) y observar como cambia su ecuación vectorial. Lo anterior sirve para evidenciar que rectas paralelas tienen el mismo vector director.
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Apunte "Ecuación vectorial de la recta"
En este documento se resumen las principales características de la ecuación vectorial de la recta. Además, se explicitan distintas maneras de escribir la ecuación vectorial de una recta y se describe la relación entre la ecuación cartesiana y vectorial de una recta.
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Contenido 2: Intersecciones de rectas
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Intersección de rectas
Este recurso GeoGebra permite modificar los parámetros k y t de las ecuaciones vectoriales de dos rectas, y encontrar de forma manual el punto de intersección entre ambas. Este recurso puede ser utilziado además, para ayudar a las y los estudiantes a visualizar el trabajo algebraico involucrado al encontrar el punto de intersección de dos rectas, por medio de sus ecuaciones vectoriales.
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Rectas paralelas
El siguiente recurso GeoGebra muestra de forma gráfica el hecho de que en la intersección de dos rectas distintas y paralelas entre sí, descritas por ecuaciones vectoriales de parámetros r y s, no existen valores de r y s tales que exista dicha intersección, pues las rectas son paralelas.
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Misma recta diferente parámetro
Si consideramos una misma recta descrita por dos ecuaciones vectoriales distintas, de párametros u y v, al intersecar estas rectas, se obtiene un sistema de ecuaciones que tiene infinitas soluciones. El siguiente recurso GeoGebra muesta que en términos geométricos, lo anterior significa que para cualquier punto de la recta al que se llegue variando el parámetro v, hay un valor del parámetro u que permite obtener el mismo punto de la recta. Es decir, la intersección de ambas rectas tiene infinitos puntos.
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Contenido 1: Velocidad de un móvil
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Simulación Movimiento Rectilíneo Uniforme (2D)
El siguiente recurso GeoGebra simula el movimiento rectilíneo uniforme de un auto, en dos dimensiones. El recurso permite modificar el tiempo y observar como cambia el vector posición del vehículo, así como también el vector desplazamiento (d).
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Componentes del vector desplazamiento
Este recurso GeoGebra simula el movimiento rectílineo uniforme de un móvil (punto naranjo) en dos dimensiones. El recurso permite modificar el tiempo y observar como cambia el vector posición del móvil, y en particular, las componentes del vector desplazamiento.
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Cinta transportadora
Este recurso GeoGebra simula el movimiento de dos personas en una cinta transportadora. El objetivo del recurso es mostrar que la posición relativa de la persona B respecto de la persona A no cambia en todo el recorrido.
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Cinta transportadora (movimiento relativo)
Este recurso GeoGebra simula el movimiento de dos personas en una cinta transportadora. A diferencia del recurso anterior, la posición relativa de la persona B cambia respecto de la persona A. El recurso puede ser utilizado para ayudar a las y los estudiantes a comprender mejor el concepto de movimiento relativo.
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Cinta transportadora (mov. relativo) y deslizador de tiempo
Este recurso Geogebra es similar al anterior, pero en este caso el recurso permite modificar el tiempo y observar como cambia la posición de las personas ubicadas en los puntos A y B. De esta forma, el recurso puede ser utilizado para ayudar a las y los estudiantes a comprender la expresión para la velocidad de la persona B (respecto del punto fijo O), como la velocidad de la persona A (respecto de O) más la velocidad relativa de la persona B respecto del observador móvil A.
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Nadador
Este recurso GeoGebra simula la situación de un nadador que quiere cruzar un río llendo desde un punto A hasta otro B, y sin embargo termina en un punto C. El recurso permite modificar el ángulo de la velocidad del río, con el objetivo de determinar cuál era la dirección de la velocidad del río que obligó al nadador a llegar al punto C.
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Apunte "Velocidad de un móvil"
En este documento se aborda el concepto de velocidad de un móvil de manera intuitiva hasta su formulación vectorial. Además, se detallan las expresiones para la velocidad de un móvil que se mueve en relación a otro que ya está en movimiento (velocidad relativa).
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Contenido 1: Vectores en 3D
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Puntos en 3 dimensiones
Esta animación muestra como dos puntos que en 2 dimensiones parecen tener ser el mismo, se ubican en posiciones distintas en el espacio, relevando la importancia del eje Z al describir los puntos en 3 dimensiones
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Coordenadas de un vector en el espacio II
Este recurso GeoGebra permite modificar las coordenadas de un vector en el espacio, y observar como cambia su representación gráfica al hacerlo.
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Magnitud de un vector
Este video se deduce la fórmula para la magnitud de un vector en 3 dimensiones.
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Suma de vectores en 3D
Este recurso permite visualizar gráficamente la suma de dos vectores en el espacio cartesiano. Por medio del deslizador es posible trasladar el inicio del vector v al punto final del vector u. Además, el botón "Mostrar Plano" permite visualizar el único plano definido por el origen y por los puntos que se obtienen al trasladar el origen de acuerdo a los vectores u y v.
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Vector y puntos en 3D
Mediante deslizadores, este recurso GeoGebra permite mover un vector v en el espacio y reconocer que puntos se obtienen al trasladar otros puntos mediante el vector v.
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Apunte Vectores en 3D
En este documento se abordan los principales aspectos de vectores en 3 dimensiones, tales como su representación cartesiana, magnitud y suma de vectores en el espacio.
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Contenido 1: Rectas en el espacio
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Recta en el espacio
Este recurso muestra diferentes puntos de una recta en el espacio, para diferentes valores del parámetro "lambda" de la ecuación vectorial de la recta, cuyo vector director es d. Además, el botón "Mostrar vector" muestra gráficamente el vector posición de los distintos puntos.
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Trasladar recta en 3D
Este recurso permite trasladar una recta L, que contiene a la arista HG de un prisma, en una dirección determinada. Lo anterior ayuda a visualizar gráficamente la noción de que, en el espacio, dos rectas paralelas entre sí se encuentran en un mismo plano.
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Apunte Vectores en 3D
En este documento se explica la ecuación vectorial de una recta en el espacio y se aborda el hecho de que su estructura es la misma que la utilizada para describir una recta en el plano. Además, se explicitan las distintas posiciones relativas que pueden surgir entre dos rectas en el espacio.
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Contenido 2: Planos en el espacio
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Plano que pasa por una recta y un punto
El siguiente recurso permite rotar un plano en torno a una recta para ilustrar la noción de que en el espacio hay una infinidad de planos que pasan por una recta. El plano se "enciende" cuando interseca un punto exterior a la recta, lo que ayuda a visualizar que dada una recta y un punto exterior a ella, existe un único plano que los contiene.
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Generando los puntos de un plano
Este recurso permite visualizar los puntos resultantes de la traslación del origen por un vector de la forma "lambda*d1 + mu*d2", en donde d1 y d2 son vectores no paralelos. Para ello, el recurso permite modificar los parámeros "lambda" y "mu" que acompañan a los vectores directores d1 y d2, y observar cómo se generan distintos puntos que pertenecen a mismo plano "pi".
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Ecuación cartesiana de un plano a partir de sus ecuaciones paramétricas
El siguiente recurso GeoGebra permite transformar las ecuaciones paramétricas de un plano en su ecuación cartesiana. Para ello, solo basta completar las casillas de cada ecuación paramétrica con sus valores correspondientes.
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Plano que no pasa por el origen
Este recurso GeoGebra muestra que un plano que no pasa por el origen (plano "gamma") puede ser descrito usando los mismos vectores directores de un plano paralelo a este que sí contiene al origen (plano "pi").
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Ecuación vectorial de un plano que no pasa por el origen
Esta animación muestra que todos los puntos del plano "gamma" del recurso anterior corresponden a todos los puntos del plano "pi" trasladados en un vector E. Lo anterior permite introducir la ecuación vectorial de un plano que no pasa por el origen.
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Planos paralelos
El siguiente recurso muestra dos planos paralelos en el espacio. El recurso permite modificar el parámetro "d" de la ecuación cartesiana de uno de los plano ("beta") y visualizar como este cambia cuando cambia el valor de "d".
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Apunte Planos en el espacio
El siguiente documento aborda las distintas maneras de determinar un plano en el espacio, y las ecuaciones vectorial, cartesiana y paramétricas de un plano.
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Contenido 3: Posiciones relativas entre rectas y planos en el espacio
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Recta perpendicular a un plano II
Este recurso GeoGebra ilustra el hecho de que una recta es perpendicular a un plano si ella es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección entre dicha recta y el plano. Para apoyar visualmente esta idea, el recurso permite mover el punto P y con ello la recta perpendicular al plano. Además, es posible mover las 3 rectas que están sobre el plano y que pasan por la intersección, moviendo los respectivos puntos azules que están en el plano.
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Plano dado un vector normal
Este recurso GeoGebra muestra como cambia la dirección de un plano, cuando cambia la dirección de su vector normal.
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Apunte Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio
En este documento se abordan las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio, así como también entre dos planos en el espacio. Estos casos a su vez, son descritos en términos de la perpendicularidad o paralelismo entre el vector director de la recta y los vectores normales de los planos.
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Contenido 1: Distancias en el espacio
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Distancia de un punto a una recta
Este recurso Geogebra permite por medio de un deslizador, mover un punto Q de una recta L, y observar como cambia la distancia de dicho punto Q a un punto P en el espacio. Esto ayuda a visualizar que la distancia mínima de P a la recta L, ocurre cuando el vector PQ es perpendicular a dicha recta.
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Distancia entre rectas paralelas
El siguiente recurso GeoGebra muestra que la distancia entre dos rectas paralelas en el espacio se puede calcular como la distancia entre un punto de una de ellas y la otra. Dicha distancia es independiente del punto que se tome en la primera recta. Para ilustrar esta idea, el recurso permite mover el punto D sobre la recta L1 y observar que la distancia a la recta L2 es siempre la misma.
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Distancia de un punto a un plano
Este recurso GeoGebra permite modificar la posición de un punto P de un plano, y observar como cambia la distancia del origen al punto P. Lo anterior permite introducir la noción de que la distancia de un punto, en este caso el origen, a un plano, es la distancia más pequeña de dicho punto a un punto del plano.
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Distancia entre planos (paralelos)
El siguiente recurso GeoGebra muestra que la distancia entre dos planos paralelos, se puede determinar calculando la distancia de cualquier punto del plano al otro. Para ilustrar esta idea, el recurso permite mover el punto P sobre uno de los planos y observar que la distancia de P al otro plano no cambia.
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Apunte Distancias en el espacio
En el siguiente documento se abordan las maneras de obtener las distancias entre distintos objetos geométricos en el espacio.
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Contenido 1: Cuerpos geométricos obtenidos por rotación de figuras planas
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El torno
En este video se introduce la historia y el funcionamiento del torno, instrumento que mediante la remoción de material de una pieza que gira en torno a un eje, permite manufacturar distintas piezas y herramientas
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Revolución de rectángulo
El siguiente recurso GeoGebra permite rotar un rectángulo en torno a un eje que pasa por una de sus diagonales y observar el cuerpo geométrico que se obtiene al hacerlo.
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Revolución de triángulo rectángulo
El siguiente recurso GeoGebra permite rotar un triángulo rectángulo en torno a un eje que pasa por uno de sus catetos y observar el cuerpo geométrico que se obtiene al hacerlo.
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Revolución de un triángulo en torno a un eje I
Esta animación muestra el cuerpo geométrico que se obtiene al rotar un triangulo en torno a un eje que pasa por uno de sus lados.
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Revolución de un triángulo en torno a un eje II
Esta animación muestra el cuerpo geométrico que se obtiene al rotar un triangulo en torno a un eje que no coincide con ninguno de sus lados.
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Sólidos de Revolución en software de diseño 3D
Este gif muestra como en un software de diseño 3D es posible crear sólidos de revolución usando la herramienta "Revolución", en la cual debe seleccionarse la figura plana a revolucionar y el eje en torno al cual se hará dicha revolución.
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Apunte Cuerpos geométricos obtenidos por rotación de figuras planas
En este documento se resumen las principales características de los cuerpos geométricos obtenidos por rotación de figuras planas.
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Contenido 2: Cuerpos geométricos obtenidos por traslación de figuras planas
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Cuerpo por traslación de figura plana
El siguiente recurso muestra las distintas figuras que se obtienen al trasladar una figura plana de acuerdo a un vector. El recurso permite visualizar cómo sucesivas traslaciones de la figura plana original, generan un cuerpo tridimensional.
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Cuerpo por traslación de figura plana en software de diseño 3D
Este gif muestra como en un software de diseño 3D es posible crear cuerpos geométricos a partir de la traslación de una figura plana usando la herramienta "Extrusión", en la cual debe seleccionarse la figura plana a trasladar y el vector que indica la dirección de la traslación.
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Prisma y vector de traslación
El siguiente recurso GeoGebra muestra como cambia un cuerpo geométrico que se obtienen por traslación de una figura plana, al cambiar el vector de traslación.
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Cuerpos generados por traslación de distintas figuras planas
Este recurso GeoGebra permite generar distintos cuerpos geométricos por medio de una traslación de una figura plana. El recurso permite cambiar la figura plana (polígono o círculo) así como también modificar las coordenadas del vector de traslación.
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Apunte Cuerpos geométricos obtenidos por traslación de figuras planas
En este documento se abordan los cuerpos obtenidos por traslación de figuras planas y sus principales características.
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Contenido 1: Volumen y Principio de Cavalieri
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Volumen
El siguiente recurso GeoGebra permite variar las medidas de una caja (largo, ancho y alto) y observar como cambia su volumen al hacerlo. El recurso puede ser utilizado para introducir el "principio de escalamiento" del volumen, es decir, que si un cuerpo se escala por un factor k en una dimensión, entonces su volumen se multiplica por k.
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Prisma recto y oblicuo
El siguiente recurso GeoGebra muestra visualmente que un prisma recto y uno oblicuo de igual altura, tienen el mismo volumen. Para ello, el recurso permite descomponer en capas un prisma recto y desplazarlo de forma de hacerlo oblicuo. Como el volumen total de ambos prismas corresponde a la suma de todas sus capas, se infiere que ambos prismas (recto y oblicuo) tienen el mismo volumen
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Área de secciones transversales (Principio de Cavalieri)
El siguiente recurso GeoGebra muestra que el área de la sección transversal de una pirámide y un cono de igual altura e igual área basal, es la misma para cualquier altura que se realice el corte. Dado lo anterior, y de acuerdo al Principio de Cavalieri, es posible concluir que la pirámide y el cono tienen el mismo volumen.
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Apunte Volumen y Principio de Cavalieri
En el siguiente documento se aborda el concepto de volumen y algunas de sus propiedades fundamentales. Además, se presenta una explicación del hecho de que un prisma oblicuo tiene el mismo volumen que un prisma recto de igual altura, y por último, se introduce el principio de Cavalieri.
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Contenido 2: Relación Área Superficial
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Animación Cubo 3x3 (versión 1)
La siguiente animación muestra un cubo de 27 unidades cúbicas. Algunos de los cubos están pintados de color rojo. Esta animación puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que estimen cual será el nuevo volumen del cubo y su nueva área superficial, si se remueven los cubos rojos.
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Animación Cubo 3x3 (versión 2)
La siguiente animación muestra un cubo de 27 unidades cúbicas. Algunos de los cubos están pintados de color rojo. Esta animación puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que estimen cual será el nuevo volumen del cubo y su nueva área superficial, si se remueven los cubos rojos.
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Animación Cubo 3x3 (versión 3)
La siguiente animación muestra un cubo de 27 unidades cúbicas. Algunos de los cubos están pintados de color rojo. Esta animación puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que estimen cual será el nuevo volumen del cubo y su nueva área superficial, si se remueven los cubos rojos.
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Área Superficial - Volumen
El siguiente recurso GeoGebra muestra como cambia la razón "Área superficial - Volumen" para distintos cuerpos geométricos considerando un mismo volumen unitario para todos ellos. El recurso permite concluir por ejemplo, que para una misma capacidad, el cuerpo con menor área superficial es la esfera.
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Área Superficial - Volumen (Cilindro)
El siguiente recurso muestra como cambia la relación área superficial - volumen de un cilindro cuyo volumen se mantiene constante mientras cambia su radio y altura.
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Fundición
En este video se explica brevemente el proceso de fundición para la producción de piezas metálicas. En él, se destaca como el volumen y el área superficial determinan el tiempo que tarde la pieza en solidificarse y como esto tiene implicancias en las características del diseño de los moldes de arena donde se vierte el metal fundido. El video puede ser utilizado para mostrar a las y los estudiantes una aplicación concreta en el ámbito de la ingeniería de los conceptos de volumen y área superficial.
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Patrones Ecólogicos
El siguiente video introduce la Regla de Bergman, que postula que las poblaciones de animales con antepasados comunes que habitan en regiones frías son más grandes y pesados que sus similares que habitan en regiones más cálidas. El video aborda una de las explicaciones de este postulado, que plantea que dichas diferencias en el tamaño se deben a diferencias en la habilidad termoreguladora de los animales, la que a su vez, esta intimamente relacionada con el cociente entre área superficial y volumen de un animal. El video concluye planteando un problema de modelamiento, que puede ser abordado por las y los estudiantes con ayuda de sus profesores.
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Apunte Relación Área Superficial - Volumen
En el siguiente documento se abordan distintas situaciones en las que se describen variaciones de volumen y área superficial de un cubo. A partir de esto se introduce la relación entre área superficial y volumen (SA-V) y se da un ejemplo de su aplicación en las ciencias químicas.
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Contenido 1: Superficies de revolución
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Superficie de Revolución
El siguiente recurso GeoGebra muestra la superficie de revolución que se obtiene al rotar un segmento en torno a un eje.
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Superficie de Revolución (plano XZ)
La siguiente animación muestra el resultado de rotar un segmento, que está contenido en el plano XZ, en torno al eje Y , en particular, la animación permite observar que se obtiene una superficie que también pertenecerá al plano XZ y que corresponde a la superficie entre dos anillos concéntricos.
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Rotación de un segmento en torno a un eje que lo contiene
Esta animación ilustra el hecho de que al revolucionar una línea en torno a un eje, no siempre se obtiene una superficie de revolución. En particular, como muestra la animación, esto ocurrirá siempre y cuando la línea este contenida en el eje de rotación.
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Aproximación de una superficie de revolución mediante conos truncados
El siguiente recurso GeoGebra ilustra el hecho de que cualquier superficie de revolución puede ser aproximada por conos truncados. El recurso permite variar la cantidad de conos truncados con la que se aproxima una superficie y observar como la aproximación es cada vez más precisa a medida que aumenta el número de conos.
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Apunte Apunte Superficies de revolución
En el siguiente documento se abordan las superficies de revolución, sus principales características y sus diferencias con un sólido de revolución. Además, se presenta una clasificación de las dimensiones de los objetos geométricos,
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Contenido 1: Representación del espacio en 2D
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¿Cómo vemos el mundo?
Este video introduce la idea fundamental de que al representar en dos dimensiones la realidad, que es tridimensional, hay características de ella que se pierden y otras que se resaltan, lo que depende del tipo de representación utilizada para llevar lo tridimensional a lo bidimensional.
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Tipos de proyección
El siguiente recurso muestra dos de las maneras más usuales de representar el espacio tridimensional en dos dimensiones: la proyección central y la proyección paralela. El recurso permite observar como, dependiendo del tipo de proyección, un mismo objeto 3D, se representa con diferentes características en dos dimensiones, dependiendo del tipo de proyección.
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Apunte Representación del espacio en 2D
En este documento se introduce la noción de representar la realidad o lo tridimensional en dos dimensiones, y las dificultades inherentes a este proceso. Además, se presentan dos de las formas más usuales de representar objetos tridimensionales en 2D (proyección central y paralela) y sus principales características y diferencias.
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Contenido 2: Proyección Central
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Video "La realidad en perspectiva"
Este video introduce la proyección central y algunas de sus principales características. El video aborda el hecho de que este tipo de representación es similar a cómo vemos el mundo lo que nos hace susceptibles a caer en algunas ilusiones ópticas que se aprovechan de algunas características de la proyección central para confundirnos.
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Proyección central de un segmento de recta
El siguiente recurso GeoGebra muestra la proyección central de un segmento de recta. El recurso permite utilizar deslizadores para acercar o alejar el segmento de recta al plano de proyección. Este recurso puede ser utilizado para inferir en conjunto con las y los estudiantes que aquellas figuras más lejanas al plano de proyección se ven más pequeñas en perspectiva.
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Proyección central de rectas paralelas I
El siguiente recurso GeoGebra permite reconstruir la proyección central de dos pares de rectas paralelas entre sí, y secantes al plano de proyección. Para ello, es posible mover los puntos amarillo y rojo sobre cada recta y observar como se forma la proyección de cada una de ellas. Cuando dicho par de rectas son secantes al plano de proyección, es posible inferir que la proyección de las rectas converge en un punto (punto de fuga). El recurso incluye un botón ("rectas paralelas") que permite cambiar la orientación del par de rectas respecto del plano de proyección, haciéndolas paralelas a él. En este caso, es posible observar que la proyección de las rectas no converge en un punto a diferencia de lo que ocurre cuando el par de rectas es secante al plano de proyección.
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Presentación "Conceptos asociados a la proyección central"
La siguiente presentación explica distintos conceptos asociados con la proyección central, comúnmente utilizados en disciplinas artísticas. En particular, la línea de horizonte, el plano de visión, la línea de tierra y el plano de tierra.
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Proyección central de rectas paralelas II
El siguiente recurso GeoGebra muestra como rectas paralelas entre sí y paralelas al plano de visión, convergen un punto que pertenece a la línea horizonte.
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Proyección central de un cubo
El siguiente recurso GeoGebra muestra la proyección central de un cubo. Mediante un deslizador es posible rotar el cubo y observar como en su proyección aumenta la cantidad de puntos de fuga. El recurso puede ser utilizado para inferir con las y los estudiantes que cuando el cubo no tiene caras paralelas al plano de proyección, su representación tiene dos puntos de fuga.
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Apunte Proyección Central
En el siguiente documento se resumen las principales características de la proyección central. Además, se abordan las distintas condiciones que deben darse para generar uno o más puntos de fuga en una representación 2D generada por proyección central.
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Contenido 3: Vistas de cuerpos geométricos
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Video "Vista Frontal e Inferior I"
La siguiente animación muestra como la vista de "abajo" de un objeto geométrico corresponde (por convención) a aquella que se obtiene a partir de girar el objeto hacia el observador.
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Video "Vista Frontal e Inferior II"
La siguiente animación muestra la vista de frente y la vista de abajo de un objeto geométrico.
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Video "Vistas Principales"
La siguiente animación muestra las tres vistas principales (frente, lateral y superior) de una mesa. Además, el video permite observar las proyecciones paralelas que se realizan para obtener dichas vistas.
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Apunte Vistas de cuerpos geométricos
En este documento se explican las vistas principales de un objeto de acuerdo a la convención americana. Se discuten aspectos tales como la diferencia entre frente de un objeto y "vista de frente" así como también la existencia de otras vistas, además de las 6 principales.
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Contenido 4: Cortes en cuerpos geométricos
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Cortes en un paralelepípedo
El siguiente recurso GeoGebra permite visualizar distintos cortes en un paralelepipedo. El recurso permite mover los puntos A y B para modificar el plano de corte.
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Cortes en un cubo
El siguiente recurso GeoGebra permite visualizar distintos cortes en un cubo. El recurso permite mover 3 puntos que definen el plano de corte y observar como cambia la sección que se obtiene al cortar el cubo de acuerdo a dicho plano.
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Cortes en una pirámide
El siguiente recurso GeoGebra permite visualizar distintos cortes en una pirámide. El recurso permite mover 3 puntos que definen el plano de corte y observar como cambia la sección que se obtiene al cortar la pirámide de acuerdo a dicho plano.
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Secciones Cónicas
El siguiente recurso GeoGebra muestra las distintas secciones cónicas que pueden ser obtenidas al cortar un cono. El recurso permite cambiar la orientación del plano de corte y observar como varían las secciones cónicas al hacerlo.
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Apunte Cortes en cuerpos geométricos
En el siguientes documento se aborda la definición de corte y sección de un cuerpo geométrico. Se detallan aplicaciones de estos conceptos en situaciones tales como curvas de nivel y estructuras de ingeniería, y a su vez, se releva la importancia de involucrar el trabajo con cortes y secciones en cuerpos geométricos.
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Contenido 1: Tipos de gráficos estadísticos
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Video "Explorar y analizar los datos"
En este video se explica la importancia de organizar datos en tablas y gráficos para estudiar un fenómeno (por ej. megasequía), y en particular, las características de los gráficos de barra para organizar e interpretar la información
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Recurso "Gráfico de barras agrupadas"
Este recurso GeoGebra permite modificar el tamaño del intervalo de un gráfico de barras que muestra la distribución de precipitaciones en Santiago en distintos años y observar cómo cambia dicho gráfico al hacerlo.
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Recurso "Graficos de barra y líneas de precipitaciones"
En este recurso GeoGebra es posible visualizar gráficos de barras y de líneas construidos a partir de una misma base de datos (temperatura máxima promedio en distintos años).
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Presentación "Tipos de Gráficos"
En esta presentación se detalla el tipo de variable involucrada y el propósito más adecuadado de distintos tipos de gráficos (circular, barras, líneas e histogramas).
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Video "Construcción de gráficos de barras agrupadas (Excel)"
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras agrupadas para una base de datos asociada a la preferencia del tipo deportes que prefieren realizar hombres y mujeres de un primero medio, usando Excel.
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Video "Construcción de gráficos de barras agrupadas (Sheets)"
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras agrupadas para una base de datos asociada a la preferencia del tipo deportes que prefieren realizar hombres y mujeres de un primero medio, usando Sheets.
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Base de datos "Medallas olímpicas de 4 países de latinoamérica"
Esta base de datos contiene los datos históricos de las medallas olímpicas obtenidas por Chile, Uruguay, Ecuador y Colombia
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Pirámide de Población
Esta presentación explica el propósito de una pirámide poblacional y cómo se construye este tipo de gráficos a partir de histogramas.
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Presentación "Formas de las distribuciones"
Esta presentación muestra las distintas formas que puede tener la distribución de un histograma, en particular, cuando es simétrica, asimétrica hacia la izquierda o derecha o cuando es bimodal.
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Apunte "Tipos de gráficos estadísticos"
Este documento aborda la importancia de la búsqueda de información para estudiar un fenómeno y resume las principales características de distintos tipos de gráficos (circulares, de barras, de líneas e histogramas)
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Contenido 2: Lectura, interpretación y evaluación de gráficos
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Recurso "Gráfico de barras agrupadas"
En este recurso GeoGebra es posible modificar el tamaño del intervalo (años) de un gráfico de barras que muestra la distribución de la temperatura promedio máxima en Santiago en distintos años y observar como este cambia al hacerlo. En este caso, al aumentar el tamaño del intervalo se obtienen, por ejemplo, temperaturas mayores a 100°C para períodos de 4 años, lo que permite cuestionar la utilidad de agrupar los datos de temperatura en intervalos mayores a 1 año.
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Recurso "Gráfico dinámico de histogramas"
Este recurso GeoGebra permite visualizar al mismo tiempo dos histogramas construidos a partir de las notas de dos cursos en una misma asignatura. Además, el recurso permite modificar el tamaño de los intervalos y observar de manera dinámica cómo cambian los histogramas al hacerlo.
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Recurso "Construcción de polígono de frecuencia acumulada absoluta"
Este recurso GeoGebra muestra cómo construir un polígono de frecuencia acumulado a partir de un histograma
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Presentación "Agrupando datos"
En esta presentación se explica la importancia que tiene una correcta elección del largo del intervalo para visualizar los datos en un gráfico de barras agrupadas.
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Apunte "Lectura, interpretación y evaluación de datos"
En este documento, se sistematizan los aspectos principales que se deben tener en consideración al construir histogramas, con el objetivo de permitir una adecuada interpretación de los datos.
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Contenido 1: Construcción de gráficos de barras y de líneas
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Video “Megasequía”
Este video explica la megasequía que ha afectado a la zona central del páis durante la última década y presenta algunos de los principales factores que la han causado.
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Gráfico de barras
En este recurso GeoGebra, los estudiantes pueden completar los valores faltantes en una tabla de datos sobre precipitaciones (en la hoja tipo Excel de la izquierda del recurso) y visualizar como cambia el gráfico de barras asociado al hacerlo.
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Base de datos Precipitaciones en Santiago (1970-2020)
Esta base de datos contiene la información sobre las precipitaciones anuales en mm de la de la ciudad de Santiago obtenidos por la estación meteorológica de Quinta Normal en el período 1970 - 2020
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Tutorial "Construir gráfico de barras con Excel"
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras para los datos de precipitaciones anuales de la estación meteorológica Quinta Normal usando Excel.
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Tutorial "Construir gráfico de barras con Google Sheets"
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras para los datos de precipitaciones anuales de la estación Quinta Normal usando Google Sheets.
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Base de datos del promedio de la temperatura mínima y máxima en Santiago (1970-2019)
Esta base de datos es una planilla de cálculo que contiene datos sobre las precipitaciones anuales en mm de la estación meteorológica Quinta Normal de la ciudad de Santiago.
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Tutorial "Construir gráfico de líneas con Excel"
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras para los datos del promedio de la temperatura mínima en Santiago usando Excel.
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Tutorial “Construir gráfico de líneas con Google Sheets”
Este video tutorial muestra cómo construir un gráfico de barras para los datos del promedio de la temperatura mínima en Santiago usando Excel.
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Apunte “Construcción de gráficos de barras y líneas”
En este documento se resumen los pasos para crear gráficos de barras o líneas en Excel y en Google Sheets, y además se especifican una serie de criterios relevantes al momento de construir gráficos.
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Contenido 2: Construcción de histogramas
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Video "Construcción de histogramas (Excel)"
Este video tutorial muestra cómo construir un histograma, usando Excel.
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Video "Construcción de histogramas (Sheets)"
Este video tutorial muestra cómo construir un histograma, usando Google Sheets.
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Base de datos "defunciones de hombres 2019"
Esta base de datos contiene las defunciones de hombres durante el año 2019, agrupados por edad. Puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que un histograma usando Excel o Google Sheets.
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Video "Construcción de histogramas dinámicos en GeoGebra"
Este video tutorial muestra cómo construir un histograma dinámico, usando GeoGebra. Además en el video se explica como agregar un slider para variar el tamaño de los intervalos del histograma.
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Base de datos "Notas 3° medio A"
Esta base de datos contiene las notas de estudiantes de un curso de 3°Medio. Puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que construyan un histograma usando GeoGebra.
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Base de datos "Tiempos de espera de buses"
Esta es una base de datos que contiene tiempos de espera de buses. Puede ser utilizada para pedir a las y los estudiantes que construyan un histograma usando GeoGebra.
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Polígonos de frecuencia absoluta
Esta presentación explica como construir el polígono de frecuencias absolutas asociado a un histograma.
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Polígonos de frecuencia absoluta acumulada
Esta presentación explica como construir el polígono de frecuencia absoluta acumulada asociado a un histograma.
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Frecuencia relativa acumulada
Esta presentación explica como obtener la frecuencia relativa acumulada asociada a un histograma.
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Polígono de frecuencia relativa acumulada
Esta presentación explica como obtener el polígono de frecuencia relativa acumulada porcentual asociado a un histograma.
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Apunte "Construcción de histogramas"
En este documento se explica como construir histogramas usando distintos softwares. Además, se aborda la construcción de polígonos de frecuencias absolutas y relativas a partir de histogramas
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Contenido 1: Moda, media y mediana
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PPT "Media"
Esta presentación explica, en palabras simples y por medio de un ejemplo gráfico, qué es la media cómo calcularla.
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PPT "Mediana"
Esta presentación explica, en palabras simples y por medio de un ejemplo gráfico qué es la mediana y cómo calcularla.
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Recurso "Forma de la distribución de un histograma"
Este recurso Geogebra permite construir distintas distribuciones, deslizando el punto medio de cada barra para modificar su largo. El recurso muestra de forma inmediata como cambia el valor de la media y la mediana para cada una de las distribuciones que se crean.
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PPT "Moda y mediana en los tipos de histogramas"
Esta presentación explica cómo se visualizan la moda y la mediana en distintos tipos de distribuciones (simétricas, asimétricas, bimodales).
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Apunte "Moda, media y mediana"
Este documento explica las medidas de tendencia central y la relación de estas con distintos tipos de distribuciones.
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Contenido 1: Cuartiles y diagramas de cajón
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PPT "¿Cómo se calculan los cuartiles?"
Presentación que explica mediante un ejemplo numérico cómo calcular los cuartiles de un grupo de datos
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Recurso "Diagrama de cajón"
Este recurso GeoGebra muestra los cuartiles de un grupo de datos (relacionado con los distintos precios de la gasolina en una ciudad) y el diagrama de cajón correspondiente. El recurso también permite desplazarse a lo largo del eje, mostrando el porcentaje de datos de la distribución que es menor y mayor a un punto móvil.
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Video "Construyendo un diagrama de cajón"
Video tutorial que muestra cómo construir un diagrama de cajón
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Recurso "Distribución simulada y diagrama de cajón"
Este recurso GeoGebra permite simular y graficar una distribución de puntos (ingresando la cantidad de observaciones a simular). A partir de la distribución, se puede modificar de manera “manual” donde deberían ir los elementos de un diagrama de cajón. El botón “Corregir” muestra el diagrama de cajón correcto asociado a la distribución de puntos simulada.
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Recurso "Relación entre diagramas de cajón e histogramas"
Este recurso GeoGebra permite modificar la altura de las barras de un histograma (en este caso, asociado con el precio de las bencinas). Al modificar las barras el recurso muestra como cambian los cuartiles y el diagrama de cajón asociado a la distribución.
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Recurso "Cuartiles de una distribución, con y sin dato atípico"
Este recurso GeoGebra presenta una distribución de puntos con un dato atípico. El recurso (mediante botones) calcula los cuartiles y el diagrama de cajón considerando o no este dato atípico.
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Video "Construyendo un diagrama de cajón en Excel"
Este video tutorial explica cómo construir un diagrama de cajón usando Excel
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Base de datos "Puntajes PTU"
Base de datos que contiene los puntajes PTU de dos colegios, en las pruebas de lenguaje y matemáticas. Puede ser utilizada para pedir a los estudiantes grafiquen diagramas de cajón usando Excel.
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Apunte "Cuartiles y diagramas de cajón"
En este apunte, se explica que són los cuartiles, como calcularlos y como representarlos gráficamente usando diagramas de cajón. Además, se detalla la relación de estos últimos con la forma de una distribución.
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Contenido 1: Gráficos de dispersión
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Video "Construyendo un gráfico de dispersión a mano"
Video tutorial que explica cómo construir un gráfico de dispersión usando lápiz y papel.
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Recurso "Gráfico de dispersión en GeoGebra"
Este recurso GeoGebra permite graficar “a mano” un gráfico de dispersión. Para ello, el usuario puede arrastrar distintos pares ordenados que tienen la información de estatura y peso de distintos estudiantes.
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PPT "Gráficos de dispersión"
En esta presentación se explica la utilidad de los gráficos de dispersión para mostrar la relación entre dos variables cuantitativas distintas
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Video "Construyendo un gráfico de dispersión a mano (Sheets)"
Video tutorial que explica cómo construir un gráfico de dispersión usando Google Sheets
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Video "Construyendo un gráfico de dispersión a mano (Excel)"
Video tutorial que explica cómo construir un gráfico de dispersión usando Microsoft Excel
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Base de datos "PIB y esperanza de vida de países"
Base de datos con información sobre la esperanza de vida y el PIB de países de latinoamérica. Puede ser utilizada para pedir a los estudiantes que construyan gráficos de dispersión, usando Excel o Sheets.
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Base de datos "Precios de autos y años de antigüedad"
Base de datos con información sobre los precios y años de antigüedad para un determinado modelo de auto.
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Apunte "Gráficos de Dispersión"
En este documento se detallan los gráficos de dispersión, como se construyen y su utilidad.
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Contenido 2: Correlación entre dos variables
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PPT "Relaciones entre variables"
Esta presentación aborda la idea de que en los gráficos de dispersión es posible identificar tendencias, por ejemplo, que una variable aumente cuando la otra también lo hace, que una crezca y la otra disminuya o bien, que no se pueda identificar alguna relación
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PPT "Líneas de tendencia en un gráfico de dispersión"
Esta presentación muestra que es posible, a partir de un gráfico de dispersión, ajustar (o no) líneas de tendencia para describir la relación entre los datos, y que estas pueden ser o no lineales.
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Recurso "Ajustando una recta a los datos" (1)
Este recurso GeoGebra permite modificar los parámetros de una recta de modo que se ajuste a los puntos de un gráfico de dispersión.
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Recurso "Ajustando una recta a los datos" (2)
Este recurso GeoGebra permite modificar los parámetros de una recta de modo que se ajuste a los puntos de un gráfico de dispersión. En este caso, la recta que ajusta los datos tiene pendiente negativa.
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PPT "Recta que modela una relación con tendencia lineal"
En esta presentación se aborda la idea de que cuando los puntos en un gráfico de dispersión muestran una tendencia lineal, es posible ajustar una recta que representa esta tendencia, y que la recta que modela la relación se puede expresar de la forma y=mx+n
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Video "Obteniendo la línea de tendencia en un gráfico de dispersión (Excel)"
Video tutorial que explica como obtener la línea de tendencia a partir de un gráfico de dispersión, usando Excel
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Video "Obteniendo la línea de tendencia en un gráfico de dispersión (Sheets)"
Video tutorial que explica como obtener la línea de tendencia a partir de un gráfico de dispersión, usando Google Sheets
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Base de datos "PIB invertido en salud y esperanza de vida de países"
Base de datos de la esperanza de vida y el PIB per cápita invertido en salud de países latinoamericanos. Puede ser utilizada para que los estudiantes apliquen lo aprendido en los videos tutoriales anterior, es decir, otener líneas de tendencia.
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Apunte "Correlaciones"
En este documento se explican los gráficos de dispersión y como en estos es posible encontrar regularidades que pueden ser descritas por líneas de tendencia. En paticular, se aborda el uso de la ecuación de la recta (y = mx + n) para modelar graficos de dispersión con tendencia lineal
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Contenido 1: Ciclo de investigación
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Video "El ciclo de investigación"
En este video se introduce el ciclo de investigación estadística y se describen a grandes rasgos las etapas que lo componen.
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Video "Elaborando una encuesta"
En este video tutorial se explica como construir una encuesta usando el formulario de Google.
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Video "Ordenando una base de datos"
En este video se abordan las principales consideraciones que deben tenerse en cuenta al momento de construir y ordenar una base de datos para una investigación estadística. Estas explicaciones se realizan a partir de un ejemplo concreto (investigación respecto a altura de padres y madres de los estudiantes de un colegio).
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Base de datos "Estaturas de padres e hijos"
Base de datos que contiene información sobre la estatura de estudiantes y sus padres. Puede ser utilizada para pedir a los estudiantes que construyan gráficos de barra e histogramas que describan la situación, en el contexto de una investigación estadística asociada a estos datos,
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Video "Calculando el promedio entre dos variables"
Video tutorial que explica como calcular el promedio entre dos variables, usando Excel o Google Sheets
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Apunte "Ciclo de investigación"
En este documento se sistematizan los principales aspectos del ciclo de investigación y sus etapas. Además, se abordan aspectos relevantes asociados a él, como por ejemplo, la construcción de bases de datos .
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Contenido 1: Media, desviación media absoluta, varianza y desviación estándar
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Presentación: "Calculando medidas de dispersión"
Esta presentación explica los pasos necesarios para calcular la desviación media absoluta y la varianza usando una hoja de cálculo, ya sea en Google Sheets o Microsoft Excel.
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Recurso: "Medidas de dispersión en una distribución de datos"
Recurso interactivo de GeoGebra que permite situar 5 puntos a lo largo de una recta numérica. En el recurso se muestra cómo cambia la media muestral, la desviación media absoluta, varianza y desviación estándar al modificar estos datos.
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Video : "Calculando medidas de dispersión usando una hoja de cálculo"
Video tutorial donde se muestra cómo calcular las medidas de dispersión que se han visto (desviación media absoluta, varianza muestral y desviación estándar) usando una hoja de cálculo (Microsoft Excel o Google Sheets).
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Base de datos: "Tiempos de entrega de Rippa"
Base de datos descargables con los tiempos de entrega de una empresa de delivery. La base considera dos columnas adicionales que las y los estudiantes deben completar y que les ayudarán a calcular la desviación media absoluta y la varianza muestral.
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Base de datos: "Tiempos de entrega de Verits"
Base de datos descargables con los tiempos de entrega de otra empresa de delivery. La base considera dos columnas adicionales que las y los estudiantes deben completar y que les ayudarán a calcular la desviación media absoluta y la varianza muestral.
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Recurso interactivo: "Medidas de dispersión al modificar datos"
Recurso interactivo de GeoGebra que muestra una distribución de puntos fija y dos puntos (A y B) que se pueden mover a lo largo de la recta numérica. El recurso muestra la media de la distribución original (con los puntos A y B en 5 y 15 respectivamente) y también la nueva media cuando A y B se mueven a lo largo de la recta. El fin del recurso es notar que cuanto los puntos A y B están a la misma distancia de la media (en este caso, 15) se mantiene la media muestral original.
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Base de datos: "Precios de la gasolina en Argentina"
Base de datos con precios de la gasolina de Argentina. Puede ser utilizada para que las y los estudiantes calculen usando hojas de cálculo y comandos predeterminados distintas medidas de dispersión.
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Apunte “Desviación media absoluta, varianza y desviación estándar”
Este documento resume los conceptos de medidas de tendencia central y de dispersión para caracterizar una muestra de datos, además de sistematizar los pasos necesarios para calcular medidas de dispersión usando hojas de cálculo.
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Contenido 2: Medidas de tendencia central y de dispersión en distribuciones simétricas
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Presentación: "Media en distribuciones simétricas"
Presentación que explica que en distribuciones simétricas, el valor de la media y la mediana son iguales. Además se detalla que al trabajar con datos reales es común encontrarse con distribuciones aproximadamente simétricas, donde la media y mediana no necesariamente serán iguales, pero sí muy cercanas.
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Recurso: "Media de una distribución al modificar datos en un histograma"
Recurso interactivo de GeoGebra, que muestra la distribución de edades de una población. El recurso calcula y muestra cómo varía la media muestral a medida que se modifica la frecuencia absoluta de cada intervalo del histograma.
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Presentación: "Desviación estándar en distribuciones simétricas"
Presentación que muestra, como en distintos tipos de distribuciones simétricas aquellas con datos más alejados del centro tienen mayor desviación estándar, la cual representa la dispersión de los datos en relación a la media.
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Apunte “Medidas de dispersión en distribuciones simétricas”
Este documento describe características de las distribuciones simétricas y cómo se ven afecatas las medidas de tendencia central y de dispersión cuando los datos de estas distribuciones son modificados.
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Contenido 3: Propiedades de las medidas de tendencia central y de dispersión
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Recurso: "Media y desviación estándar en datos desplazados en una cantidad"
Recurso interactivo de GeoGebra que muestra como cambian los valores de la media y la desviación estándar de un conjunto de datos al desplazar (incrementar o disminuir) cada uno de ellos en la misma cantidad.
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Video: "Media de datos desplazados en una misma cantidad"
Video que muestra la justificación matemática de por qué si a los datos de una muestra se les suma una misma cantidad "a", la media muestral de los datos desplazados es la media de los datos originales más "a".
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Video: "Desviación estándar de datos desplazados en una misma cantidad"
Video que muestra la justificación matemática de por qué si a los datos de una muestra se les suma una misma cantidad "a", la desviación estándar de los nuevos datos será la misma de la original.
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Recurso interactivo: "Media y desviación estándar en datos multiplicados por una cantidad"
Recurso interactivo de GeoGebra que muestra cómo varía la media y la desviación estándar de un conjunto de datos al multiplicar cada uno de ellos por una cantidad. En particular, el recurso tiene un deslizador que multiplica por 1, 2 o 3 y muestra los datos desplazados.
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Video: "Media de datos multiplicados por una misma cantidad"
Video que muestra la justificación matemática de por qué si a los datos de una muestra se les multiplica por una misma cantidad "a", la media muestral de los nuevos datos será la misma a la original, multiplicada por "a".
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Video: "Desviación estándar de datos multiplicados por una misma cantidad"
Video, que muestra que, si todos los datos de una muestra se multiplican por una misma cantidad "a", la desviación estándar de estos nuevos datos es la de los datos originales multiplicada por a original, multiplicada por "a".
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Recurso Interactivo: "Diferencia de los puntos respecto a la media muestral"
Recurso interactivo de GeoGebra que muestra un gráfico de dispersión, y con líneas punteadas la medía muestral, tanto en el eje X como en el Y. El recurso permite seleccionar cada dato y observar su diferencia respecto a las medias muestrales.
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Apunte “Propiedades de las medidas de tendencia central y de dispersión”
Este documento resume las propiedades que cumplen las medidas de tendencia central y de dipersión de una muestra, cuando estas son multiplicadas por una cantidad fija o se le suma una cantidad fija.
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Contenido 1: Análisis de gráficos de dispersión con tendencia lineal
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Video: "Explorando relaciones en distribuciones con tendencia lineal"
Video que explora relaciones en distribuciones con tendencia lineal, en particular, respecto a la ubicación de los puntos en el gráfico de dispersión y su diferencia respecto de las medias muestrales en ambos ejes. Así, de acuerdo a la posición de cada punto en un cuadrante determinado, la diferencia respecto a la media será positiva o negativa. Lo anterior permite caracterizar gráficos de dispersión con tendencia positiva y negativa, de acuerdo a en qué cuadrante su ubican la mayoría de los puntos de la dispersión.
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Apunte “Análisis de gráficos de dispersión con tendencia lineal”
Documento que resume las distintas tendencias que se pueden observar en un gráfico de dispersión, donde, de acuerdo a la posición de los datos, estos pueden tener diferencias positivas o negativas respecto a la media, lo que permite caracterizar dispersiones con tendencias lineales positivas y negativas.
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Contenido 2: Covarianza
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Video: "Cómo calcular la covarianza entre dos variables usando una hoja de cálculo"
Video tutorial que muestra cómo se calcula la covarianza entredos variables utilizando una hoja de cálculo (Google Sheets o Excel).
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Base de datos: "Consumo semanal de parafina y temperatura semanal"
Base de datos con información del consumo semanal de parafina y temperatura promedio en una ciudad. Esta información puede ser utilizada para quelas y los estudiantes apliquen lo mostrado en el video tutorial anterior y calculen la covarianza entre ambas variables (consumo semanal de parafina y temperatura promedio).
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Video: "Interpretación del signo de la covarianza"
Video que explica como, de acuerdo a la posición de los datos en un gráfico de dispersión, estos pueden tener una tendencia lineal positiva, negativa o no tener. En estos tres casos, la covarianza será positiva, negativa y cercana a 0, respectivamente.
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Base de datos: "Consumo semanal de parafina y ocupación promedio de la vivienda"
Base de datos con información del consumo semanal de parafina y ocupación promedio de la vivienda (en minutos). Esta información puede ser utilizada para quelas y los estudiantes apliquen lo mostrado en el video tutorial anterior y calculen la covarianza entre ambas variables.
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Apunte “Covarianza”
Documento que resume el concepto de covarianza, ademas de la interpretación de su signo, en relación con el tipo de tendencia lineal en un gráfico de dispersión.
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Contenido 3: Coeficiente de correlación
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Base de datos: "Consumo semanal de parafina y temperatura semanal para Tarea"
Base de datos con información del consumo semanal de parafina y temperatura promedio en una ciudad. Esta información puede ser utilizada con la finalidad de que las y los estudiantes calculen la correlación entre ambas variables.
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Recurso: "Coeficiente de correlación en distribuciones simuladas"
Recurso interactivo de GeoGebra que permite explorar el valor del coeficiente de correlación para distintos tipos de relaciones entre dos variables. Mediante un botón se pueden simular distintos conjuntos de datos y observar su coeficiente de correlación.
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Recurso: "Coeficiente de correlación en gráficos de dispersión con datos móviles de manera libre"
Recurso interactivo de GeoGebra similar al anterior. En esta ocasión, el recurso muestra la distribución de datos en un gráfico de dispersión y permite mover los puntos de manera libre y observar como cambia el valor del coeficiente de correlación al hacerlo.
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Base de datos: "Consumo semanal de parafina y precio promedio de la parafina para Tarea"
Base de datos descargables con información del consumo semanal de parafina y precio promedio de la parafina. Esta información puede ser utilizada para que las y los estudiantes calculen la covarianza, la desviación estándar y la correlación entre las variables
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Base de datos: "Estatura de padres, hijos e hijas"
Base de datos descargables con información de la estatura de hijos, estatura de los padres y el promedio de la estatura de ambos padres. Esta información puede ser utilizada para que las y los estudiantes calculencalculen el coeficiente de correlación entre esas variables.
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Base de datos: "Esperanza de vida y PIB per capita invertida en salud de países"
Base de datos descargables con información de la esperanza de vida y el PIB per cápita invertido en salud de países de la OCDE y de Latinoamérica. Esta información puede ser utilizada para que las y los estudiantes calculen el coeficiente de correlación entre ambas variables.
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Apunte “Coeficiente de correlación”
Documento que sistematiza el coeficiente de correlación, la interpretación de su valor y cómo calcularlo.
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Contenido 1: Diferencia entre valor observado y estimado
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Presentación: "Definiciones sobre la recta de tendencia"
Presentación en la que se abordan definiciones y conceptos clave previas a definir un procedimiento para encontrar la recta que mejor se ajuste mejor a los datos de un gráfico de dispersión.
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Recurso: "Diferencia entre punto y recta de tendencia"
El siguiente recurso GeoGebra muestra una recta que puede ser modificada mediante deslizadores, que permiten variar su pendiente (m) y coeficiente de posición (b). El recurso además muestra una serie de puntos que se busca ajustar mediante dicha recta. Gracias al recurso, es posible observar cómo varía la diferencia entre el valor observado y el valor estimado por el modelo lineal para cada uno de los puntos.
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Recurso: "Cuadrado de la diferencia entre punto y recta de tendencia"
Recurso interactivo similar al anterior, pero con la diferencia de que en esta ocasión se pueder observar el cuadrado de las diferencias entre el valor observado y el valor estimado y la suma total de los cuadrados de las diferencias para cada modelo lineal.
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Apunte “Diferencia entre valor observado y estimado"
Documento que resume el concepto de error en un ajuste lineal, que se traduce en la diferencia entre el valor observado y el estimado por el modelo. A partir de lo anterior, en el documento se abordan métricas para definir qué tan bien se ajusta una recta de tendencia a los datos de una muestra.
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Contenido 2: Estimación e interpretación de los parámetros del modelo de regresión lineal
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Presentación: "Modelo de regresión lineal"
En esta presentación se define el modelo de regresión lineal, el cual permite modelar la relación entre dos variables.
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Base de datos: "Ingreso por venta de helados y temperatura en la ciudad"
Base de datos con información sobre los ingresos de venta de helado de las sucursales de una heladería y la temperatura que hay en las ciudades donde están esas sucursales. Esta información puede ser útil para que las y los estudiantes construyan el gráfico de dispersión asociado a estas variables y determinen la línea de tendencia asociada.
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Apunte “Estimación e interpretación de los parámetros del modelo de regresión lineal"
Documento que resume cómo obtener, mediante el método de los mínimos cuadrados, los parámetros del modelo de regresión lineal.
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Contenido 1: Conceptos introductorios
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Video : "Experimento aleatorio, espacio muestral y evento"
En este video se explican los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y evento, usando como ejemplo el lanzamiento de dados y monedas.
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Recurso: "Simulando el lanzamiento de un dado"
Este recurso GeoGebra permite simular el lanzamiento de un dado. En el recurso es posible modificar el número de lanzamientos que se quiere simular. Además, se muestra un gráfico de barras con las frecuencias relativas de los resultados obtenidos, el cual cambia de forma dinámica en función del númeor de repeticiones del experimento.
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Recurso: "Simulando la extracción de una bolita de una bolsa"
Recurso GeoGebra que simula el experimento aleatorio de escoger dos bolitas al azar de una bolsa que contiene dos bolitas rojas y una azul, y observar si son de igual o distinto color. Mediante un deslizador, es posible simular diferentes repeticiones del experimento. Además, el botón “Extraer bolitas” permite repetir el experimento una vez. El recurso muestra una tabla dinámica con las frecuencias relativas y absolutas de los resultados obtenidos.
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Apunte “Conceptos introductorios de probabilidad”
Este documento define los conceptos básicos del estudio de la probabilidad, tales como experimento aleatorio, espacio muestral o suceso.
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Contenido 2: Variable aleatoria y función de probabilidad
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Presentación: "Valor esperado de una variable aleatoria"
En esta presentación se aborda el concepto de valor esperado de una variable aleatoria y su diferencia con el promedio muestral.
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Presentación: "Propiedades del valor esperado de una variable aleatoria"
En esta presentación se introducen algunas propiedas del valor esperado. En particular, el valor esperado de una constante, el valor esperado de la suma de variables aleatorias y el valor esperado de combinaciones lineales de dos variables aleatorias.
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Apunte “Variable aleatoria y función de probabilidad”
En este documento se aborda el concepto de variable aleatoria, diferenciando las variables discretas y continuas. También se aborda la función de probabilidad de una variable aleatoria y las propiedades del valor esperado de una variable aleatoria.
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Contenido 1: Coeficiente binomial y Distribución binomial
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Video: "El triángulo de Pascal"
En este video se explica cómo calcular los números combinatoriales del triángulo de Pascal.
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Presentación: "Parámetros de un experimento binomial"
En esta presentación se abordan los principales conceptos que definen un experimento binomial, identificando los parámetros k, n y p. Además, se explica la fórmula asociada a la probabilidad de obtener k éxitos en n repeticiones del experimento.
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Presentación: "Relación entre variables binomiales y de Bernoulli"
En estra presentación se aborda la variable aleatoria de tipo binomial. En particular, se explica como la suma de n variables aleatorias de tipo Bernoulli, independientes entre sí, corresponde a una distribución binomial de parámetros n y p, donde p es la probabilidad de éxito de cada variable de tipo Bernoulli.
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Apunte “Coeficiente binomial y distribución binomial”
Este documento resume distintos conceptos necesarios para comprender la distribución binomial, sus parámetros y cómo calcular el valor esperado y varianza de una variable aleatoria binomial.
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Contenido 2: Función de distribución acumulada
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Recurso: "Calculando los valores de la función de distribución acumulada de una binomial"
Recurso GeoGebra que calcula los valores de la función de distribución acumulada correspondiente a variables que distribuyen como una binomial. El recurso muestra un gráfico de fósforos, el cual se ve modificado en la medida que uno varía los parámetros n, p y k de una distribución binomial, mediante deslizadores. Existen dos botones en este recurso.: el primero nos indica la probabilidad de que la variable X tome el valor K y el segundo botón nos muestra el valor de la función de distribución acumulada.
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Recurso: "Calculando la probabildad a partir de la función de densidad"
Recurso GeoGebra que permite estimar la probabilidad a partir de la función de densidad de esta variable para un intervalo de tiempo entre a y b minutos. En el recurso se muestra la función de densidad, coloreando el área calculada y mostrando el valor de la probabilidad. Los valores a y b se pueden modificar mediante deslizadores
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Recurso: "Calculando la probabildad a partir de la función de densidad (ejemplo 2)"
Recurso GeoGebra que calcula la probabilidad de que la variable aleatoria X esté entre a y b, solo que esta vez la función de densidad es distinta, y el recurso es útil para responder preguntas en un nuevo contexto, que corresponde al tiempo de gestación en semanas.
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Apunte “Función de distribución acumulada”
Este documento define la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta, así como la función de densidad para una variable aleatoia continua, aprendiendo a calcular probabilidades usando estas funciones
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Contenido 1: Distribución normal
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Recurso "Graficando y variando los parámetros de una variable aleatoria normal X"
Recurso GeoGebra que permite variar los parámetros ? (valor esperado) y ? (desviación estándar) de una variable aleatoria X que sigue una distribución normal. El recurso permite observar cómo cambia la curva de la función de densidad de X al modificar dichos parámetros.
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Recurso "Calculando la probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal, modificando sus pará
Recurso GeoGebra que permite estimar la probabilidad de que una variable continua X, que distribuye normal, sea menor que un valor b, mayor que un valor a o que se encuentre entre estos dos valores. Mediante deslizadores, se puede modificar el valor de a y b, y también se pueden modificar los parámetros ? (valor esperado) y ? (desviación estándar) de la distribución.
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Recurso "Calculando la probabilidad acumulada de una variable aleatoria normal estándar, modificando
Recurso GeoGebra que calcula la probabilidad de que una variable aleatoria normal Z, con parámetros ?=0 y ?=1, esté entre dos valores a y b y la probabilidad de que Z sea menor a un valor b. Los valores a y b son modificables a través de deslizadores.
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Apunte “Distribución Normal"
Este documento describe la distribución normal y sus propiedades. Tambíen aborda la interpretacion gráfica de sus parámetros y cómo calcular la probabilidad en variables aleatorias que siguen esta distribución.
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Contenido 1: Aproximación normal de la distribución binomial
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Presentación: "Gráfico de una distribución binomial al variar sus parámetros"
En esta presentación se profundiza en el estudio de la distribución binomial, en particular, analizando qué ocurre con la gráfica de la función de probabilidad cuando modificamos el valor de sus parámetros. En particular, se muestra que al aumentar el número de repeticiones, la gráfica de la distribución se va asemejando a una curva normal
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Recurso: "Ajustando una curva normal a una distribución binomial"
Recurso GeoGebra que permite variar el parámetro n de una distribución binomial con parámetro fijo p=0,25 y observar como cambia la distribución. Además, es posible mostrar una curva normal que se ajusta a la distribución.
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Recurso: "Calculando la probabilidad acumualada para una distribución normal y una binomial"
Recurso GeoGebra que permite calcular la probabilidad acumulada, tanto para una distribución normal como para una distribución binomial. En el recurso se pueden modificar los parámetros n y p de una distribución binomial y el número de éxitos “k”. Mediante botones, se muestra el valor y representación gráfica de la probabilidad acumulada, tanto para la distribución normal como para la binomial.
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Presentación: "Calculando las probabilidades acumuladas para la distribución binomial y normal"
En esta presentación se da una explicación detallada sobre cómo ocupar el recurso Geogebra anterior, por medio de un ejemplo concreto.
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Recurso: "Calculando la probabilidad acumualada para una distribución normal y una binomial, corregi
Recurso GeoGebra que permite calcular la probabilidad acumulada, tanto para una distribución normal y binomial, pero esta vez, el cálculo de distribución normal incluye la corrección por continuidad. Esto permite evidenciar el hecho de que la probabilidad estimada con la distribución normal corregida es mucho más cercana a la que se obtiene con la distribución binomial.
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Apunte “Aproximación normal de la distribución binomial”
Este documento describe cómo calcular probabilidades en distribuciones binomiales aproximandolas mediante la distribución normal, mostrándolo de manera algebraica y gráfica. También se aborda la corrección por continuiddad, que hace más precisa la aproximación normal en los cálculos de probabilidades.
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Contenido 2: Distribución de los promedios muestrales de distintas distribuciones
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Recurso: "Distribución de la media muestral a partir de una población"
Este recurso GeoGebra permite simular distintas muestras de tamaño n, a partir de una distribución de los datos de una población. A su vez, es posible calcular el promedio de cada una de estas muestras, y observar su distribución el lado derecho. Los botones "Simular 20 muestras" y "Simular 50 muestras" automatizan este proceso.
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Presentación: "Cómo usar el recurso "Distribución de la media muestral"
En esta presentación se explica el funcionamiento y características del recurso GeoGebra anterior.
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Recurso: "Simulando la selección de muestras de tamaño n a partir de la distribución de la población
Este recurso GeoGebra es similar al anterior, con la diferencia de que en esta ocasión, la distribución de los datos de la población, a partir de la cual se simulan las distintas muestras, es distinta.
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Recurso: "Simulando la selección de 100 muestras de tamaño n y calculando la media y desviación está
Recurso GeoGebra que permite simular la selección de 100 muestras de tamaño n a partir de la distribución de la población, que está dibujada en color azul. En el recurso aparece el gráfico de la distribución de estos promedios (graficado en puntos verdes), junto a los valores correspondientes a su media y desviación estándar.
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Apunte “Distribución de los promedios muestrales de distintas distribuciones”
Este documento describe la relación entre la distribución de la población y la distribución de una muestra para una variable aleatoria. Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, es posible, mediante el Teorema Central del Límite, encontrar los parámetros de la distribución del promedio muestral y demostrar que sigue una distribución aproximadamente normal
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Contenido 1: Estadísticos y estimadores
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Recurso: "Simulando muestras"
Este recurso GeoGebra permite simular distintas muestras aleatorias, a partir de la distribución de los datos de una población, las cuales se muestran mediante un gráfico de puntos. Para cada muestra es posible calcular el promedio muestral y también es posible variar el tamaño de estas muestras, modificando el valor de n.
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Presentación "Determinando un intervalo para la media poblacional"
En esta presentación se detallan los pasos a seguir para determinar un intervalo de confianza para la media poblacional ?, a partir de la media muestral x.
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Apunte: "Estadístico y estimadores"
En este documento se abordan los conceptos de estadístico y estimador, en relación a las funciones y parámetros que describen una muestra. También se aborda cómo estimar dichos parámetros mediante dos métodos: la estimación puntual y la estimación por intervalos.
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Contenido 2: Intervalos de confianza
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Presentación "Determinando un intervalo de confianza de 95%"
Esta presentación muestra el procedimiento (de manera gráfica y algebraica) para determinar los valores a y b que generan un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional "mu", considerando que el promedio muestral X es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con parámetros "mu" y "sigma"
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Video “Entendiendo los intervalos de confianza”
En este video se aborda la interpretación del intervalo de confianza y como obtener un intervalo de confianza para la media muestral para los datos de una población que siguen una distribución normal.
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Recurso: "Calculando intervalos de confianza"
Recurso GeoGebra que permite calcular y visualizar cómo varía la amplitud de un intervalo de confianza cuando se modifica el nivel de confianza. Los parámetros mu y sigma están fijos, así como el valor de n. Se puede modificar el nivel de confianza mediante un deslizador y el recurso muestra gráficamente el área asociada a esa probabilidad.
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Recurso: "Calculando intervalos de confianza, modificando el promedio muestral"
Recurso GeoGebra que permite visualizar cómo varía la amplitud de un intervalo de confianza para una población con media "mu" , desviación estándar igual a 50 y tamaño de la muestra igual a 100, cuando varía el nivel de confianza . Es muy parecido al recurso anterior, pero esta vez también se puede modificar el promedio muestral.
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Recurso: "Calculando intervalos de confianza, modificando el tamaño de la muestra"
Recurso GeoGebra que permite ver cómo varía la amplitud de un intervalo de confianza para una población con media igual a 500, desviación estándar igual a 50 y un nivel de confianza 90%, cuando varía el tamaño de la muestra. Usando el recurso, se puede evidenciar que a medida que n es más grande, la amplitud del intervalo de confianza es menor.
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Recurso: "Simulando intervalos de confianza"
Recurso GeoGebra que permite simular los intervalos de confianza de 100 muestras de tamaño n y de nivel de confianza (1?"alpha")?100%. Se puede modificar el tamaño de las muestras y el nivel de confianza. Cada vez que se selecciona el botón “Nuevas muestras”, se simulan 100 intervalos de confianza, donde aquellos de color azul contienen a la media "mu" de la población y los de color rojo no la contienen.
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Apunte: "Intervalos de confianza"
En este documento se abordan los intervalos de confianza, interpretando las relaciones que se dan entre cada uno de los factores que lo componen
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Contenido 1: Pruebas de hipótesis
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Recurso: "Simulando un experimento binomial"
En este recurso GeoGebra es posible simular el experimento aleatorio de lanzar 8 monedas y regitrar la cantidad de caras. El botón “Intentar una vez” permite simular el resultado de una realizar una vez el experimento (lanzar 8 monedas), mostrándo el número de aciertos y su frecuencia relativa porcentual. Al seleccionar el botón “Simular intentos”, se simulan de forma indefinida repeticiones del experimento. Debajo del gráfico, se puede ver el porcentaje promedio de aciertos.
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Presentación: "Región de rechazo de una prueba de hipótesis"
En esta presentación se detallan los pasos a seguir para definir la región de rechazo en una prueba de hipótesis unilateral, determinando dos valores, a1 y a2, En las diapositivas se muestra de manera gráfica y algebraica cómo encontrar una expresión para estos valores.
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Apunte: "Estadístico y estimadores"
En este documento se describen qué son las pruebas de hipótesis, los tipos de pruebas y de errores que existen. Además, se establece la relación entre los tipos de errores y el nivel de significancia de una prueba.
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Contenido 1: Ciclo de investigación
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Video: "La consulta escolar sobre características y hábitos de los estudiantes"
Video en el que se contextualiza la consulta escolar que se realizó en 2009 y 2019 para obtener información sobre los hábitos de los estudiantes y cómo han cambiado en el tiempo. También, se muestran estudios que relacionan entre sí las variables que forman parte de esta consulta, tales como la estatura o el peso de las personas y las horas de sueño.
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Base de datos "Consulta escolar 2019"
Base de datos en formato Excel con los datos de estudiantes, registrando su género, edad, estatura, peso, horas de sueño y ejercicio.
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Documento: "Ficha resumen"
Infografía que resume la información recopilada en la consulta escolar de vida saludable realizada en 2009.
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Documento: "Preguntas entregables de la investigación"
Documento en formato PDF que contiene preguntas relacionadas a un proyecto de investigación, con el fin de que sean resueltas en grupos, incluyendo gráficos y realizando análisis inferenciales., a partir de la base de datos anterior.
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Contenido 1: Modelos lineales y afines
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Video “Funciones lineales y afines”
En este video se explica la diferencia entre funciones lineales y afines. Se muestra además que ambas funciones expresan una relación entre dos variables cuya razón de cambio es constante.
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Video “Función lineal y pendiente”
En este video se analiza el comportamiento del gráfico de una función lineal para distintos valores de su pendiente.
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Razón de cambio constante
Este recurso GeoGebra permite visualizar en el gráfico de una función afín que la razón de cambio entre las variables es siempre constante.
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Gráfico función lineal y afín
Este recurso GeoGebra muestra cómo varía el gráfico de una función afín al variar sus parámetros.
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Pendiente de una función lineal
Este recurso GeoGebra permite visualizar la posición del gráfico de una función lineal para distintos rangos de valores de su pendiente.
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Ajustando un modelo
En este video se explica qué significa seleccionar una recta que aproxime bien cierta cantidad de datos. Además, se define y se explica el concepto de extrapolación (utilizando el contexto del caso del globo)
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Apunte “Modelos lineales y afines”
En este documento se resumen ideas asociadas a los modelos lineales y afines: - Razón de cambio constante. - Funciones lineales y afines. - Pendiente de una recta.
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Contenido 2: Modelos cuadráticos
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Video “La distancia de frenado”
En este video se explica el concepto de distancia de frenado de un vehículo, que será utilizado como contexto para estudiar modelos cuadráticos.
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Video “¿Cómo elegir un modelo”
En este video se muestra por qué la distancia de frenado se puede modelar mediante una función cuadrática. Además, se mencionan los requerimientos generales para identificar el modelo matemático que se ajusta a una situación.
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Encontrando la fórmula de una función cuadrática
Este recurso GeoGebra permite explorar los valores de los parámetros de una función cuadrática que pasa por 3 puntos dados.
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Apunte "Modelos cuadráticos"
En este documento se resumen ideas asociadas a los modelos cudráticos: - Modelamiento con funciones - ¿Cómo elegir un modelo? - Funciones cuadráticas - Gráficos y modelamiento
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Contenido 1: Otras funciones
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Video “La boleta del agua”
En este video se explica la información que contiene una boleta de agua. Este contexto se puede utilizar para trabajar funciones definidas por partes.
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Apunte “Otras funciones”
En este documento se resumen ideas asociadas a funciones racionales y definidas por partes: - Funciones por tramo - Graficar funciones por tramo - Asíntotas de una función - Determinar asíntotas en Geogebra - Ceros de una función - Encontrar los ceros de una función con Geogebra - Funciones racionales
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Contenido 1: Dominio, codominio y recorrido de una función
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Video “Dominio natural de una función”
En este video se encuentra el dominio natural de una función raíz cuadrada.
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Video “Dominio natural de algunas funciones”
En este video se analizan las restricciones que se deben considerar para obtener el dominio de funciones raíces de orden par, funciones racionales y funciones logarítmicas.
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Dominio y recorrido de una función por medio de un gráfico
Este recurso GeoGebra permite obtener el dominio y recorrido de una función a partir de su gráfico.
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Apunte “Dominio, codominio y recorrido de una función”
En este documento se resumen los siguientes temas: - Diagramas Sagitales - Dominio y codominio de una composición - Dominio natural - Dominio natural de algunas funciones - Dominio y recorrido a partir de un gráfico
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Contenido 2: Composición de funciones
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Video “¿Cuánto sube el globo?”
En este video se plantea una situación en la que se desea estimar el tiempo de vuelo de un globo de helio desde que se suelta hasta que se revienta. Este contexto permite introducir el estudio de la composición de funciones.
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Video “Composición y máquinas”
En este video se visualiza un ejemplo de composición de funciones representándolas por medio de máquinas.
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Apunte "Composición de funciones"
En este documento se resumen ideas asociadas a composición de funciones: - Composición de funciones - Composición y máquinas - Operaciones con funciones
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Contenido 3: Función inversa
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Video “Datación con carbono 14”
En este video se explica el método de datación por carbono-14, que consiste en medir la cantidad presente en una muestra orgánica. Además, se plantea el problema inverso: determinar el tiempo transcurrido desde la muerte de un ser vivo hasta el momento de la medición. Este contexto sirve para trabajar función inversa.
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Video “Inversa de una función lineal”
En este video se obtiene la función inversa de una función lineal. Además, se visualiza el gráfico de la función inversa como una reflexión del gráfico de la función lineal a través de la recta y = x.
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Video "Inversa de una función y su recorrido"
En este video se explica el procedimiento para obtener la función inversa de una función logarítmo.
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Video "Gráfico de la función inversa"
En este video se explica cómo obtener el gráfico de una función inversa, reflejando puntos del gráfico de la función original a través de la recta y = x.
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Video "¿Cuándo hay inversa?"
En este video se explica cuándo el gráfico que se obtiene al reflejar una función a través de la recta y = x, no corresponde a su función inversa. Además, se explica el concepto de inyectividad gráficamente y por medio de un diagrama sagital.
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Apunte "Función inversa"
En este documento se resumen ideas asociadas a función inversa: - Máquina inversa - Inversa de una función lineal - Modelo exponencial para el decaimiento de C-14 - Inversa de la función exponencial - La función inversa - Gráfico de la función inversa - ¿Cuándo hay inversa? - Restricción del domingo - La raíz cuadrada - Otra posible inversa de y=x^2
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Contenido 1: Introducción a GeoGebra
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Video “Ingresa a GeoGebra”
En este video se explica cómo acceder a GeoGebra y se muestran algunos de sus elementos.
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Video "Crea tu cuenta en GeoGebra"
En este video se explica paso a paso cómo crear una cuenta en GeoGebra.
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Video "Guardar un trabajo en Geogebra y compartirlo"
En este video se explica paso a paso cómo guardar un trabajo realizado en GeoGebra y cómo compartirlo.
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Apunte "Introducción a GeoGebra"
En este documento se resumen ideas asociadas a la utilización de GeoGebra: - Acceso a GeoGebra - Cómo acceder a GeoGebra - Guarda tu trabajo - Creación de tu cuenta GeoGebra - Cómo ingresa a tu cuenta GeoGebra - Cómo guardar y compartir tu trabajo - Cómo impotar un trabajo
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Contenido 2: Análisis de funciones con GeoGebra
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Apunte "Análisis de funciones con GeoGebra"
Este documento resumen los siguientes temas: - Cómo graficar funciones en GeoGebra - Deslizadores - Analizando funciones con GeoGebra - Gráficos de la función potencia
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Contenido 1: El proceso de modelamiento matemático
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Video “Distancia de frenado”
En este video se explica el concepto de distancia de frenado de un vehículo. Esta es la distancia recorrida desde que se inicia el frenado hasta que el vehículo se detiene. En otras palabras: cuántos metros recorrerá un auto mientras frena. Determinar cómo la distancia de detención depende de la velocidad del vehículo es un contexto interesante para el tema de modelamiento matemático.
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Video "¿Cómo elegir un modelo?"
En este video se expone que la función que modela la distancia de frenado de un vehículo es una función cuadrática y se menciona que para modelar matemáticamente un fenómeno se requiere comprenderlo, recolectar datos, y también entender las propiedades de las distintas funciones utilizadas, para así poder plantear modelos coherentes con el fenómeno que se desea estudiar.
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Video "¿Cuántas paltas se deben producir en un año"
En este video se plantea el problema de determinar cuántas paltas conviene producir en el año, analizando que hay múltiples factores que afectan la venta y el consumo de paltas y que una posibilidad para responder esta pregunta es usar modelos matemáticos. Este contexto es utilizado para mostrar el trabajo en cada una de las etapas del ciclo de modelamiento matemático.
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Video "El ciclo del modelamiento"
En este video se describen las etapas del ciclo del modelamiento matemático a partir de la pregunta de cuál es el nivel de producción de paltas más conveniente.
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Video "¿Cómo se calcula el ingreso?"
En este video se explica cómo determinar la función de ingreso que está asociada al problema de deterinar la cantidad de paltas que se conviene producir en un año..
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Video "Síntesis de unidad"
En este video se resume el proceso de modelamiento matemático realizado para dar respuesta a la pregunta de cuántas paltas conviene producir en un año.
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Apunte "El proceso de modelamiento matemático"
En este documento se resumen ideas asociadas al proceso de modelamiento matemático: - Problema que se debe modelar - El ciclo del modelamiento - Entender y simplificar - Validación del modelo matemático - Matematizar - Trabajar matemáticamente - Validación del modelo matemático
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Contenido 1: Límites en el infinito
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Video “El modelo logístico”
En este video se plantea el problema de cómo se modela el crecimiento de una población de bacterias y se presenta el modelo logístico que permite dar respuesta a algunas preguntas relacionadas a este problema. Esta situación puede ser útil para introducir la noción de límite en el infinito.
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Función logística
Este recurso GeoGebra permite explorar cómo cambia el gráfico de la función logística al variar cada uno de sus parámetros: P0 : población inicial de bacterias. r : tasa de reproducción de bacterias. N : máxima cantidad de bacterias que pueden alimentarse con el alimento recibido.
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Función logística con Zoom
Este recurso GeoGebra permite explorar cómo en el modelo logístico la población se acerca a un máximo en la medida que el tiempo crece indefinidamente. Para observar esto, se utiliza el deslizador del tiempo (t) para visualizar que el gráfico se acerca a una asíntota horizontal. Luego, se utiliza el deslizador del Zoom para mostrar que, independientemente de cuánto crezca t, la curva logística se acerca, pero no toca a la asíntota.
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Video "El comportamiento al infinito de una función"
En este video se utiliza el modelo logístico para introducir la noción de comportamiento en el infinito de una función.
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Comportamiento al infinito: una función que converge
Este recurso GeoGebra permite visualizar un tipo de comportamiento en el infinito de una función: una función que se acerca tanto como se quiera a un valor, cuando su variable independiente crece indefinidamente. Esto permite ilustrar la idea intuitiva de una función que converge en el infinito.
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Comportamiento al infinito: función que diverge
Este recurso GeoGebra permite visualizar un tipo de comportamiento en el infinito de una función: la función no parece acercarse a un valor específico cuando su variable independiente crece indefinidamente. Esto permite ilustrar la idea intuitiva de una función que diverge en el infinito.
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Movimiento de un columpio sin fin y su gráfico
En este recurso se muestra el movimiento de un columpio que no se detiene y el gráfico de la función que modela ese movimiento.
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Movimiento de un columpio afectado por el roce
Este recurso GeoGebra permite explorar cómo se comporta la función que modela el movimiento de un columpio que es impulsado solo una vez y que es afectado por el roce. Para esto, se debe recorrer el gráfico hacia la derecha moviendo la vista gráfica.
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Movimiento forzado de un columpio
Este recurso GeoGebra permite explorar cómo se comporta la función que modela el movimiento de un columpio que es impulsado permanentemente y de manera que, en cada oscilación, llega más alto. Para esto, se debe recorrer el gráfico hacia la derecha moviendo la vista gráfica.
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Valores de una función racional cuando x tiende al infinito
Este recurso GeoGebra permite obtener los valores de la función f(x)=x?1/x para x cada vez más grandes. El próposito de este recurso es visualizar que la función se acerca a 1 cuando x tiende al infinito.
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Interpretación gráfica de la definición de límite en el infinito
Este recurso GeoGebra permite observar la interpretación gráfica de la definición de límite en el infinito. En particular, visualizar que los valores de f(x) se acercan a L tanto como que se quiera, en la medida que x tiende a infinito. Este recurso muestra que, para cualquier valor de d > 0, existe un valor de x a partir del cuál todas las imágenes están en el intervalo ]L-d,L+d[.
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Interpretación gráfica de que un valor dado no es el límite de una función en el infinito
Este recurso GeoGebra permite observar gráfica que un valor L dado no es el límite de una función en el infinito. En particular, visualizar que los valores de f(x) no se acercan a L tanto como que se quiera, en la medida que x tiende a infinito. Este recurso muestra que, existe un valor d > 0, que determina un valor de x, a partir del cuál todas las imágenes no están en el intervalo ]L-d,L+d[.
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El límite de la función no es 1
Este recurso de GeoGebra permite evidenciar que, no basta con observar que los valores de una función se acercan tanto como se quiera a un valor, para afirmar que este es su límite.
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Video "Precisando la definición de límite"
En este video se formaliza el concepto de límite de una función cuando x tiende a infinito, precisando que, no es suficiente decir que f(x) debe acercarse a L tanto como se quiera, sino que debe acercarse tanto como se quiera para cualquier valor de x suficientemente grande. Se apoya esta defiición con su interpretación gráfica.
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Ejemplo de interpretación gráfica del límite en el infinito
Este recurso GeoGebra permite ilustrar gráficamente la idea de limite en el infinito de una función. El recurso muestra que, para cualquier valor de d, existe un x a partir del cual la distancia entre f(x) y el valor del límite L es menor que d.
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Límite al infinito de f(x)=x^n
Este recurso GeoGebra permite observar los gráficos de la función f(x) = x^n, para distintos valores de n, con n en los naturales. Este recurso puede ser usado para mostrar que en todos estos casos la función f(x) = x^n diverge a infinito, cuando x tiende a infinito.
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Límite al infinito de f(x)=1/x^n
Este recurso GeoGebra permite observar los gráficos de la función f(x) = 1/x^n, para disintos valores de n, con n en los naturales. Este recurso puede ser usado para visualizar que en todos los casos la función f(x)=1/x^n converge, cuando a x tiende a infinito.
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Límite al infinito de f(x)=a^x
Este recurso GeoGebra permite observar los gráficos de la función f(x) = a^x, para distinto valores de a, con a real positivo. Este recurso puede ser usado para mostrar que si 0 < a < 1 la función f(x) = a^x converge a 0, cuando x tiende a infinito, mientras que si a >1 la función diverge a infinito, cuando x tiende a infinito.
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Video "Límite para las potencias de una función"
En este video se muestra un ejemplo del cálculo del límite al infinito de la potencia de una función, usando la propiedad del producto.
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Video "Estrategia para unas funciones racionales"
En este video se muestra un ejemplo del cálculo del límite al infinito de una función racional, en donde se utiliza la estrategia de manipular la expresión para obtener, en este caso, una suma cuyas términos son funciones que convergen en el infinito.
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Apunte "Límites en el infinito"
En este documento se resumen ideas asociadas a límites en el infinito: - El modelo logístico - Parámetros de la función logística - Comportamiento de la función logística - GeoGebra como recurso para analizar comportamiento al infinito - Notación de límite - Comportamiento al infinito de funciones potencia - Comportamiento al infinito de funciones oscilatorias - Funciones oscilatorias con máximos cada vez más pequeños - Funciones oscilatorias con máximos cada vez más grandes - Refinando la definición de límite - Precisando la definición de límite en el infinito - Límite para la suma y resta de funciones - Límite del producto y del cociente de funciones - Propiedades de los límites - Límite para las potencias de una función - Límite de funciones racionales
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Contenido 2: Límite en un punto
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Video “El problema de la pendiente de la recta tangente”
En este video se introduce el problema de determinarr la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado, para motivar el estudio de la noción de límite de una función en un punto.
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Relación entre la pendiente de la recta secante y de la recta tangente
Este recurso de GeoGebra permite visualizar que el valor de la pendiente de la recta secante se aproxima cada vez más a la pendiente de la recta tangente, en la medida en que Delta x tiende a 0.
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Función de la pendiente de la recta secante
Este recurso de GeoGebra permite visualizar que el valor de la pendiente de la recta secante se aproxima cada vez más a la pendiente de la recta tangente, en la medida en que Delta x tiende a 0. Además, se muestra la función pendiente de la recta secante.
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Estudiando el comportamiento de la función de la pendiente de la recta secante
Este recurso GeoGebra permite visualizar que, analizar lo que sucede con la pendiente de una recta secante a medida que se aproxima a la recta tangente en un punto dado, corresponde a estudiar el comportamiento de la función pendiente de la recta secante m(x) cuando x se acerca a 1 tanto como queramos.
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Función con salto
En este recurso GeoGebra se muestra un ejemplo de función con salto.
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Análisis de límites laterales
En este recurso GeoGebra se muestra una función definida por ramas que varía de acuerdo a los valores de un parámetro. El recurso puede ser utilizado para anallizar en qué casos el límite de la función en un punto existe, identificando si los límites laterales son o no iguales.
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Comandos para límites laterales en GeoGebra
Este recurso GeoGebra permite determinar límites laterales usando los comandos “LímiteIzquierda(Función, Valor)” y “LímiteDerecha(Función, Valor)". Por ejemplo, - Para obtener limx?-1 de f(x) por la derecha, se ingresa en la línea de entrada el comando: LímiteDerecha(f,-1) - Para obtener limx?1 de f(x) por la izquierda, se ingresa en la línea de entrada el comando: LímiteIzquierda(f,1)
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Comportamiento de una función que oscila: caso en que diverge.
Este recurso GeoGebra permite analizar el comportamiento cuando x tiende a 0 de una función que oscila. En este caso la función sigue oscilando, por lo que diverge.
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Comportamiento de una función que oscila: caso en que converge.
Este recurso GeoGebra permite analizar el comportamiento cuando x tiende a 0 de una función que oscila. En este caso la función converge.
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Límite de la suma de funciones
Este recurso GeoGebra permite conjeturar que el límite de la suma de funciones es igual a la suma de los límites, mostrando una tabla en la que se visualiza que, cuando x se acerca a r por la izquierda y por la derecha, los decimales de la suma de funciones se van fijando.
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Analizando las limitaciones de la idea intuitiva de límite
Este recurso GeoGebra se puede ocupar para que los estudiantes reconozcan que la noción intuitiva de límite, relacionada con la idea de verificar para algunos valores cercanos a 0 que los decimales de f(x) tienden a fijarse, es suficiente para asegurar que el límite existe. En este caso, a partir de x = 0.000000001 se observa que f(x) comienza a crecer indefinidamente. De la misma manera, a partir de x = - 0.00000001, la función comienza a decrecer indefinidamente.
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Modificando la escala de un gráfico
En este recurso GeoGebra se puede visualizar por qué la función anterior tiene el comportamiento divergente cuando x tiende a cero, haciendo zoom en el gráfico.
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Trabajando la definición de límite
Este recurso GeoGebra permite entender la definición de límite a través de su interpretación gráfica. En el recurso se puede visualizar que, dado un valor D>0 cualquiera, existe un valor p>0 tal que la distancia entre la función f(x) y su límite es menor que D, siempre que la distancia entre x y r = 5 sea menor que p.
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Ejemplo de la interpretación gráfica de la definición de límite
En este recurso GeoGebra se muestra un ejemplo en el que se analiza gráficamente que se cumple la definición de límite.
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Otro ejemplo de la interpretación gráfica de la definición de límite
En este recurso GeoGebra se muestra un ejemplo en el que se analiza gráficamente que se cumple la definición de límite.
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Apunte "Límite en un punto"
En este documento se resumen ideas asociadas a límite en un punto: - Pendiente de la recta tangente en un punto - Aproximar la pendiente de la recta tangente a partir de la recta secante - Límite de una función cuando x tiende a un punto - Límites laterales de una función - Límites laterales de una función por partes - Relación entre el límite en torno a un valor y límites laterales - Asíntotas verticales y límites - Propiedades de los límites cuando x tiende a un valor - Estrategia para resolver límites de funciones racionales - ¿Por qué es necesaria una definición formal de límite? - Definición formal de límite
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Contenido 1: Sucesiones
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Video “El problema de Miga la hormiga”
En este video se plantea el problema de Miga una hormiga que debe cargar con una hoja en su espalda desde los pies de un árbol hasta su hormiguero y que avanza siempre recorriendo la mitad de la distancia que le queda, antes de tomar un nuevo descanso. Esta situación puede ser útil para introducir la noción de sucesiones.
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Trabajando el concepto de sucesión
Este recurso GeoGebra puede ser utilizado para mostrar que el límite de la sucesión (1+1/n)^n es el número de euler. Este número es es aproximadamente 2,7182.
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Apunte "Sucesiones"
En este documento se resumen ideas asociadas a sucesiones: - Sucesiones - Presentación gráfica de sucesiones
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Contenido 2: Comportamiento en el infinito de sucesiones
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Ejemplo de una sucesión que no es creciente ni decreciente, pero que converge
El siguiente recurso de GeoGebra muestra los 30 primeros términos de una sucesión que no es creciente ni decreciente, pero que converge. Puede ser utilizada para que los estudiantes analicen este tipo de comportamiento de sucesiones.
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Ejemplo de una sucesión estrictamente creciente que converge
Este recurso GeoGebra permite visualizar en la recta numérica una sucesión estrictamente creciente que converge a 5. Puede ser utilizada para que los estudiantes analicen este tipo de comportamiento de sucesiones.
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Ejemplo de una sucesión estrictamente decreciente que converge
Este recurso GeoGebra permite visualizar en la recta numérica una sucesión estrictamente decreciente que converge a 3. Puede ser utilizada para que los estudiantes analicen este tipo de comportamiento de sucesiones.
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Ejemplo de una sucesión aternada divergente
En este recurso GeoGebra permite obeservar que los signos de la sucesión c_n se van alternando según si el valor de n es par o impar. También se observa que el valor absoluto de cada término c_n es cada vez más grande para valores de n más grandes. Esta corresponde a una sucesión divergente alternada.
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Apunte "Comportamiento en el infinito de sucesiones"
En este documento se resumen ideas asociadas a sucesiones: - Comportamientos de sucesiones
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Contenido 3: Límites de sucesiones
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Ejemplo de sucesión creciente y acotada superiormente
Este GeoGebra permite visualizar las cotas superiores de una sucesión creciente y acotada. Esto puede ser usado para conjeturar que toda sucesión creciente y acotada, converge.
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Construcción de raíz de 2
Este recurso GeoGebra permite ubicar la raíz de 2 en la recta numérica a partir de una construcción geométrica que considera un triángulo rectángulo de catetos de 1 unidad de longitud e hipotenusa de medida raíz de 2.
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Aproximando el valor de la raíz de 2
Este recurso GeoGebra permite visualizar en la recta numérica distintas aproximaciones decimales de la raíz de 2, asociadas a una sucesión cuyos términos corresponden a números decimales que se obtienen al dividir sucesivamente en 10 partes iguales.
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Video "Números reales y sucesiones"
En este video se presenta una estrategia para encontrar el límite de una sucesión. Se muestra que a medida que n tiende a infinito, los valores de 1 partido por 10 elevado a n menos 1 tienden a cero. Es decir, se hacen tan pequeños como se quiera a partir de cierto valor de n. Esto permite concluir que la distancia entre los términos de la sucesión y omega puede hacerse tan pequeña como queramos a partir de cierto valor de n, lo que corresponde justamente a que a sub n converge a omega.
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Relación entre el límite de una sucesión y una función
En este recruso de GeoGebra se muestra gráficamente que el límite de una sucesión corresponde al límite al infinito de la función que extiende su dominio a los reales.
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Ejemplo de la relación entre el límite de una sucesión y una función
En este recurso GeoGebra se puede observar a partir de la gráfica que, el límite en el infinito de f(x) es igual a 0, por lo que se puede conjeturar que el límite en el infinito de la sucesión a_n que toma valores de f(x) restringido al dominio de los naturales, también es 0.
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Interpretación gráfica de la definición de límite de una sucesión
Este recurso GeoGebra permite interpretar gráficamente la definición de límite de una sucesión. La idea es que para la sucesión dada se utilice el deslizador E para fijar un intervalo de ancho 2E centrado en el valor del límite L de la sucesión. Luego, se debe usar el deslizador N para identificar el término a_N de la sucesión a partir del cuál todos los términos que siguen están contenidos en ese intervalo. La definición de límite se cumple si es posible encontrar ese término para cualquier valor de E. El recurso permite modificar la sucesión que se quiere analizar.
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Apunte "Límites de sucesiones"
En este documento se resumen ideas asociadas a límites de sucesiones: - Expansión decimal y números irracionales - Sucesiones acotadas - Una propiedad de convergencia - Encontrando números irracionales - Expansiones decimales equivalentes - Límite de sucesiones - Definición formal de límites
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Contenido 4: Aplicación de límites de sucesiones a los números reales
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Una aproximación por defecto y por exceso de pi
Este recurso GeoGebra permite visualizar la aproximación por defecto y por exceso de pi a partir de sucesiones de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.
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Apunte "Aplicación de límites de sucesiones a los números reales"
En este documento se resumen ideas asociadas a aplicación de límites de sucesiones a los números reales: - Método de Herón - Estimación del número pi - Aproximación por defecto del número pi - Aproximación por exceso del número pi - Cotas del número pi - Convergencia de las aproximaciones del número pi
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Contenido 1: Noción intuitiva de continuidad de funciones
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Gif “Gráfico continuo”
Este gif muestra el gráfico de una función continua. Puede ser utilizado para trabajar la idea intuitiva de continuidad, asociada a la posibilidad de trazar el gráfico de la función sin levantar el lápiz de la hoja.
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Gif “Gráfico discontinuo”
Este gif muestra el gráfico de una función discontinua en un punto. Puede ser utilizado para identificar un tipo de discontinuidad, relacionada a saltos en el gráfico de la función.
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Apunte "Noción intuitiva de continuidad de funciones"
En este documento se resumen ideas asociadas a la continuidad de funciones: - Funciones continuas - Funciones discontinuas
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Contenido 2: Definición de continuidad de funciones
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Función por ramas
En este recurso GeoGebra se muestra una función con dos ramas que se pueden modificar usando un deslizador. Este recurso puede servir para visualizar que para que la función f sea continua en x = 4, deben existir los límites laterales, ser iguales y además deben coincidir con f(4).
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Apunte "Definición de continuidad"
En este documento se resumen ideas asociadas a definción de funciones: - Definición de continuidad - Operaciones de funciones continuas - Funciones continuas en intervalos o dominio - Continuidad para funciones inversas - Continuidad de composición de funciones
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Apunte "Definición de continuidad de funciones"
En este documento se resumen ideas asociadas a la noción intuitiva de la definción de continuidad de funciones: -
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Contenido 3: Teorema del valor intermedio de Bolzano
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Video “Ley de los gases ideales y no ideales”
En este video se presenta la ley de los gases ideales y no ideales, se describen las variables involucradas y los supuestos que se realizan para establecer su relación.
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Apunte "Teorema del valor intermedio de Bolzano"
En este documento se resumen ideas asociadas al teorema del valor intermedio de Bolzano: - Teorema del valor intermedio de Bolzano - Encontrar soluciones a ecuaciones usando TVI - Otro ejemplo de aplicación del teorema
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Contenido 1: Velocidad instantánea
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Movimiento de una pelota en caída libre
En este recurso GeoGebra se muestra el movimiento de una pelota que es lanzada hacia arriba desde una altura de 1.5 m siguiendo un MRUA en caída libre, es decir, solamente afectado por la gravedad y sin roce. En el eje y se muestra la altura de la pelota, en metros, y en el eje x el tiempo en segundos. Al mover el deslizador se observa cómo cambia la forma del gráfico cuando la velocidad inicial del lanzamiento cambia.
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Recta secante
En este recurso GeoGebra se modela el lanzamiento de la pelota con una velocidad v_0= 4 m/s y con una aceleración de gravedad g= 9,8 m/s^2. El punto B está fijo de manera que su altura es 2 m, pero el punto A es móvil. En este recurso se puede ver la recta secante L_s que pasa por los puntos A y B.
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Apunte "Velocidad instantánea"
En este documento se resumen ideas asociadas a velocidad instantánea: - Velocidad media - Velocidad instantánea
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Contenido 2: Derivada en un punto
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Razón de cambio de la superficie de una esfera
Este recurso GeoGebra permite mostrar el valor de la razón de cambio de la superficie de una esfera para distintos valores de Delta r. Puede ser utilizado para identificar el valor al que tiende la razón de cambio cuando Delta r tiende a cero, es decir, la razón de cambio instantánea.
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Calculando una derivada en un punto
Este recurso GeoGebra permite calcular una derivada en un punto, completando el procedimiento señalado.
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Calculando la razón instantánea de cambio del área de un círculo
Este recurso GeoGebra permite calcular la razón instantánea de cambio del área de un círculo respecto del radio, cuando el radio es igual a 5, completando el procedimiento propuesto.
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Recta tangente a partir de la derivada en un punto
En este recurso GeoGebra se muestra cómo trazar la recta tangente a una curva cuando se conoce el valor de la derivada en un punto.
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Inclinación de la tangente
Este recurso GeoGebra muestra la inclinación de la tangente en distintos lugares del gráfico de la función h(x).
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Apunte "Derivada en un punto"
En este documento se resumen ideas asociadas a la derivada en un punto: - Razón de cambio - Derivada de un punto - Caso en que la derivada no existe
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Contenido 3: Función derivada
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Video "El costo de la energía elétrica"
En este video se presenta el concepto de costo de la energía eléctrica para introducir el costo marginal. Se menciona que en economía, a la derivada de la función costo se le llama función Costo Marginal.
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Función costo eléctrico
En este recurso de Geogebra se presenta un modelo simplificado de una función de costo, que relaciona el precio, en dólares, con la cantidad de energía generada, en megawatt-hora, producida en el Sistema Interconectado de la zona Sur de nuestro país. También muestra el valor de la derivada en distintos puntos. Este recurso puede ser utilizado para explorar la relación entre costos totales y costo marginal.
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Apunte "Función derivada"
En este documento se resumen ideas asociadas a la función derivada: - Función derivada - Relación entre el crecimiento de una función y signo de su derivada - Máximos y mínimos locales
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Contenido 1: Derivadas básicas
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Gráfico de la función derivada
Este recurso de GeoGebra permite visualizar cómo se construye el gráfico de la función derivada a partir de las pendientes de las rectas tangentes al gráfico de la función original. Además muestra la relación del signo de la derivada con las características del gráfico de la función.
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Cálculo de la derivada de una función constante
Este recurso GeoGebra permite calcular la derivada de una función constante.
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Cálculo de la derivada de una función afín
Este recurso GeoGebra permite calcular la derivada de una función afín.
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Pendientes de las rectas tangentes de f(x)=x^2
Este recurso GeoGebra permite observar lo que ocurre con las pendientes de las rectas tangentes en algunos puntos del gráfico de la función f(x) = x^2.
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Gráfico de la derivada de la función f(x) = x^2
Este recurso de GeoGebra permite visualizar cómo se construye el gráfico de la función derivada a partir de las pendientes de las rectas tangentes al gráfico de la función f(x) = x^2 .
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Cálculo de la derivada de una función f(x) = x^2
Este recurso GeoGebra permite calcular la derivada de la función f(x) = x^2.
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Cálculo de la derivada de una función f(x) = 1/x
Este recurso GeoGebra permite calcular la derivada de la función f(x) = 1/x.
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Cálculo de la derivada de una función raíz cuadrada de x
Este recurso GeoGebra permite calcular la derivada de la función raíz cuadrada de x.
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Apunte "Derivadas básicas"
En este documento se resumen ideas asociadas a derivadas básicas: - Fórmulas de derivadas
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Contenido 2: Propiedades de las derivadas
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Regla del producto
En este video se muestra la argumentación geométrica de la derivada de un producto de funciones.
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Apunte "Propiedades de las derivadas"
En este documento se resumen ideas asociadas a las propiedades de las derivadas: - Suma o resta de funciones - Multiplicación por escalar - Ejemplo de aplicación - Regla para el producto - Regla para el cociente - Ejemplo de aplicación
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Contenido 3: Derivadas de funciones compuestas
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Apunte "Derivadas de funciones compuestas"
En este documento se resumen ideas asociadas a las derivadas de funciones compuestas: - Regla de la cadena - Deducción de la fórmula - Ejemplo de aplicación
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Contenido 1: Extremos de función
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Signo de la derivada de una función cuadrática
Este recurso GeoGebra permite observar el cambio del signo de la derivada de una función cuadrática.
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Números críticos de una función
Este recurso GeoGebra permite obtener los número críticos de una función.
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Apunte "Extremos de función"
En este documento se resumen ideas asociadas a extremos de función: - Uso de la derivada para determinar extremos locales - Ejemplo aplicación: Cálculo derivada de una función cúbica - Extremos locales donde la derivada no existe - Geogebra como recurso - Puntos críticos - Extremos globales de una función - Ejemplo de aplicación - Geogebra
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Contenido 2: Concavidad y criterio de la segunda derivada
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Intervalos de concavidad
Este recurso GeoGebra permite observar que, en los intervalos en donde la función es concava hacia abajo, los segmentos que unen dos puntos cualquiera del gráfico quedan por debajo de este, y viceversa para los intervalos donde es concava hacia arriba.
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Tangentes y concavidad
Este recurso GeoGebra permite visualizar que, en los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo, las tangentes están por encima del gráfico, y viceversa para los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba.
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Comportamiento de la derivada y concavidad
Este recurso GeoGebra permite analizar el comportamiento (creciente o decreciente) de la derivada cuando la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
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Ejemplo de comportamiento de la derivada y concavidad de una función
Este recurso GeoGebra muestra un ejemplo gráfico de la relación entre concavidad de una función y el crecimiento o decrecimiento de su función derivada.
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Relación entre concavidad y primera y segunda derivada
Este recurso GeoGebra permite visualizar la relación que existe entre la concavidad de la función, el comportamiento creciente o decreciente de la función derivada y el signo de la segunda derivada.
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Apunte "Concavidad y criterio de la segunda derivada"
En este documento se resumen ideas asociadas a concavidad y criterio de la segunda derivada: - Concavidad de una función y representación geométrica - Relación entre derivada y concavidad de una función - Puntos de inflexión - Determinar puntos de inflexión y concavidad de una función - Concavidad para determinar mínimo y máximos locales de una función
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Contenido 3: Optimización
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Optimización de una hoja de papel
En este video se explica el problema de optimizar una hoja de papel.
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Apunte "Optimización"
En este documento se resumen ideas asociadas a optimización: - Problemas de optimización - Ejemplo de aplicación: Maximizar ingresos de una inmobilaria - Ejemplo de aplicación: Minimizar los costos de construcción de una tubería
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Contenido 1: Derivada de funciones exponenciales
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Apunte "Derivadas de funciones exponenciales"
En este documento se resumen ideas asociadas a derivada de funciones exponenciales: - Una aplicación de la función exponencial - Derivada de la función exponencial - Ejemplo de aplicación - Ejemplo de aplicación - Ejemplo de aplicación
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Contenido 2: Derivada de funciones logarítmicas
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Apunte "Derivada de funciones logarítmicas"
En este documento se resumen ideas asociadas a la derivada de funciones logarítmicas: - Derivada de logarítmo natural - Relación entre las derivadas de la función exponencial y logaritmo natural - Derivada de logaritmo - Derivada de función exponencial con cualquier base - Derivada de composición de exponenciales y logarítmicas con otra función - Ejemplo de aplicación - Aplicación de la derivada del logarítmo
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Contenido 1: Proyecto
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El movimiento según Galileo Galilei
En este video se muestra el experimento de Galileo Galilei. Caída libre de distintos objetos.
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Orientaciones para guiar el proyecto
En este documento se entregan orientaciones para que los docentes puedan guiar el trabajo de los estudiantes en las distintas etapas del proyecto.
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Contenido 1: Relación entre área y distancia recorrida
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Área bajo la curva velocida vs tiempo
El siguiente recurso permite explorar una curva de velocidad vs. tiempo. El recurso permite mover un punto sobre la curva y observar como cambia el área bajo la curva de velocidad al hacerlo, que corresponde a la distancia recorrida.
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Apunte Relación entre área y distancia recorrida
En este documento se muestra como calcular la distancia recorrida por un objeto a partir de su curva velocidad vs. tiempo. A partir de estos cálculos se enfatiza el hecho de que, dado que el área es aditiva, la distancia recorrida por un cuerpo corresponde a la suma de las distancias resultantes al descomponer el movimiento en distintos intervalos de tiempo.
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Contenido 2: Sumas de Riemann e integral definida
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Suma Inferior
El siguiente recurso muestra una manera de acotar inferiormente el área bajo una parábola mediante rectángulos de igual base. En particular, el recurso muestra el valor de la suma inferior del área bajo la parábola, es decir, el área azul de los rectángulos, al dividir el intervalo [0,3] en "n" partes iguales. El recurso permite variar el número "n" de particiones mediante un deslizador.
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Suma Superior
El siguiente recurso muestra una manera de acotar superiormente el área bajo una parábola mediante rectángulos de igual base. En particular, el recurso muestra el valor de la suma superior del área bajo la parábola, es decir, el área azul de los rectángulos, al dividir el intervalo [0,3] en "n" partes iguales. El recurso permite variar el número "n" de particiones mediante un deslizador.
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Apunte Sumas de Riemann e integral definida
En este documento se abordan las sumas de Riemann inferior y superior y como estas permiten aproximar el área bajo la curva de una función. A partir de lo anterior, en el documento se aborda la definición de integral definida y sus características.
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Contenido 1: Antiderivadas y sus propiedades
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Apunte Antiderivadas y sus propiedades
El siguiente documento se introduce la integral como función, y mediante sumas de Riemman se explica como calcular dicha función para distintas curvas f(t). A partir de este trabajo, en el documento se presenta el concepto de antiderivada y se abordan distintas propiedades de ella, por ejemplo, la propiedad de multiplicación por escalar y la propiedad de suma y resta de las antiderivadas.
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Contenido 2: Teorema fundamental del Cálculo
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Apunte Teorema fundamental del cálculo
El siguiente documento se introduce la integral como función, y mediante sumas de Riemman se explica como calcular dicha función para distintas curvas f(t). A partir de este trabajo, en el documento se presenta el concepto de antiderivada y se abordan distintas propiedades de ella, por ejemplo, la propiedad de multiplicación por escalar y la propiedad de suma y resta de las antiderivadas.
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Contenido 1: Interpretación física de la integral
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Apunte Interpretación física de la integral
En el siguiente documento se presenta la interpretación de la integral definida como el cambio neto de la función antiderivada, cuando la función que se integra representa el cambio entre dos variables. En el documento, se desarrollan dos ejemplos de aplicación que permiten ahondar en esta interpretación.
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Contenido 2: Aplicaciones de la integral
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Sólido de revolución I
El siguiente recurso GeoGebra muestra el sólido de revolución que se obtiene al girar una curva en torno al eje X. En particular, se destaca una sección transversal de radio igual a f(x), a partir de la cual se puede encontrar una expresión para el área de la sección transversal y luego una expresión para el volumen del sólido de revolución por medio de integrales.
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Sólido de revolución II
El siguiente recurso GeoGebra muesta el sólido de revolución que se obtiene al girar la curva de la función raíz cuadrada en torno al eje X. Al igual como en el recurso anterior, se destaca una sección transversal de radio igual a f(x).
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Apunte - Aplicaciones de la integral
En el siguiente documento se abordan diferentes aplicaciones de la integral. En particular, se calcula el volumen de diferentes sólidos de revolución usando integrales así como también, se utiliza la integral para resolver problemas en diferentes contextos.
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