6

Multiplicación y división de números decimales 1

Multiplicación entre números naturales y números decimales

Se tienen 3 botellas. Cada una contiene una cierta cantidad de litros de jugo. ¿Cómo se puede calcular la cantidad total de jugo?
1

Cantidad de jugo

0

Número  de botellas

2

?

(L)

3

(botellas)

a)

¿Cuántos litros de jugo podría tener cada botella?  ¿Cuántos litros en total habría en cada caso?

Si pongo:
2 L     3 • 2 = 6 L
3 L     3 • 3 = 9 L

b)

¿Cuál sería la expresión matemática si cada botella tiene 1,2 L?

• 3

Se debe multiplicar la cantidad botellas por la cantidad de jugo en cada una.

Cantidad de jugo | 1,2 | ?
Número de botellas | 1 | 3

c)

¿Cómo calcularías la cantidad total de jugo para el caso anterior? Explica.

L

5

4

Si medimos la cantidad, obtenemos fácilmente la respuesta. Pero ¿cómo podemos encontrarla calculando?

Idea de Sofía

Si expreso L en dL, obtengo 1,2 L = 12 dL.
3 • 12 = 36
36 dL = 3,6 L

1 dL es la décima parte de 1 L.

12

36

(dL)

Idea de Gaspar

Si considero 0,1 como unidad, 1,2 es 12 veces 0,1.
3 • 12 = 36
36 veces 0,1 es 3,6.

3 •

=

Idea de Ema

¿Cuál técnica de multiplicación usó Ema?

Usé la idea de grupos de 10 y
las técnicas  de multiplicación.

3      •      1,2        =        3,6

· 10

: 10

3      •       12       =        36

Los cálculos se hicieron considerando los decimales como números naturales.

d)

Si cada una de las 3 botellas tuviera 1,5 L de jugo, ¿cuántos litros hay en total?

Ticket de salida página 71 • Tomo 1

• 4

Un cable de 1 m pesa 2,3 g.
¿Cuántos gramos pesan 4 m de este cable?

Peso | 2,3 | ?
Longitud | 1 | 4

Peso

Longitud

2,3

(g)

(m)

¿Cuál es la expresión matemática?
Aproximadamente, ¿cuántos gramos pesa?
¿Cómo calcularías la multiplicación? Explica.

Podemos pensar cuántas veces se repite 0,1.

Podemos usar las técnicas de multiplicación.

¿Podríamos usar el algoritmo de la multiplicación para calcular el resultado de esta expresión? ¿Cómo lo harías?

4  •  2,3

Podemos calcular la multiplicación como si fueran números naturales. Pero ¿dónde ponemos la coma en el resultado?

Recuerda que para la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa.

Pensemos en cómo multiplicar números decimales por números naturales usando el algoritmo.

Cómo multiplicar 2,3 • 4 usando el algoritmo

•

9

Se multiplica de la misma manera que en la multiplicación de números naturales.

9,2

Se ubica la coma del producto en el mismo lugar que en el factor decimal.

Hay una cifra a la derecha de la coma en el factor y en el producto.

¿Cuál es la superficie de una jardinera de 2,6 m de ancho y 3 m de largo expresada en m2?

2,6

0,1 m2

0,6 •

1 m2

2 •

¿Cuál es la expresión matemática?
Calcula usando el algoritmo.

Practica

Calcula usando el algoritmo.

3,2 • 3

2,4 • 4

3,2 • 6

e)

f)

3,3 • 3

4,3 • 6

0,8 • 7

g)

h)

i)

1,8 • 2

0,7 • 6

2,7 • 4

j)

k)

l)

1,4 • 3

0,8 • 4

5,8 • 5

Cuaderno de Actividades página 41 • Tomo 1
Ticket de salida página 73 • Tomo 1

Hay un camino de 2,35 km de largo alrededor de un parque. Si das 3 vueltas al parque en bicicleta, ¿cuántos kilómetros has recorrido en total?

¿Cuál es la expresión matemática?
¿Cómo se puede usar el algoritmo en este caso?
Calcula usando el algoritmo.

Si los números tienen centésimas, también podemos multiplicar usando el algoritmo.

1,87 • 2

0,12 • 7

0,63 • 5

0,08 • 5

0,23 • 4

0,15 • 6

0,24 • 4

0,04 • 5

Hay una barra de 1 m que pesa 1,25 kg.
¿Cuántos kilogramos pesan 4 m de esta barra?

Cuaderno de Actividades página 42 • Tomo 1
Ticket de salida página 74 •  Tomo 1

División entre números decimales y números naturales

Si repartimos litros de jugo en 3 botellas por igual, ¿cómo se puede calcular la cantidad de jugo en cada botella?

¿Cuántos litros de jugo se podrían repartir?

Si hay 6 L, en cada botella ponemos
6 : 3 = 2 L.

Pero si hay 5,4 L, ¿cómo calculamos la respuesta?

¿Cuál sería la expresión matemática si hay 5,4 L de jugo?

Para calcular la cantidad de jugo en cada botella, se debe dividir el total de jugo por la cantidad de botellas.

¿Cómo calcularías usando lo que hemos aprendido? Explica.

: 3

Cantidad de jugos | ? | 5,4
Número de botellas | 1 | 3

¿Cómo calculamos si convertimos L en dL?

¿Puedo calcular la división como si fueran números naturales?

Recuerda que
1 dL es la décima parte de 1 L.

5,4 L = 54 dL
54 : 3 = 18
18 dL = 1,8 L

18

54

5,4 es 54 veces 0,1.
54 : 3 = 18
18 veces 0,1 es

5,4 : 3

54 : 3

Usé la idea de grupos de 10 y
las técnicas  de división.

5,4        :        3      =

54        :         3      =       18

¿Cuál técnica  de división  usó Ema?

¿Puedes explicar las ideas?

Si hay 5,1 L de jugo, ¿cuántos litros tendrá cada una de las 3 botellas?

Ticket de salida página 76 • Tomo 1

Si cortamos una cinta de 5,7 m en partes iguales para dar a 3 niños, ¿cuántos metros recibirá cada uno?

Número de niños

5,7

(niños)

¿Cuál es la expresión matemática?
¿Aproximadamente cuántos metros recibirá cada niño?
¿Cómo calcularías la división? Explica.

Longitud | ? | 5,7
Número de niños | 1 | 3

Podemos pensar cuántas veces 0,1 es 5,7.

Considero 5,7 m como 6 m y ...

Podemos usar las técnicas de división que hemos estudiado.

¿Cómo se puede usar el algoritmo de la división en este caso?

Podemos calcular la división como si fueran números naturales.

Pero, ¿dónde ponemos la coma en el resultado?

Pensemos en cómo dividir decimales por números naturales usando el algoritmo.

Cómo calcular 5,7 : 3 usando el algoritmo

U d

5,7 : 3 =   ,

5,7 : 3 = 1,

5,7 : 3 = 1,9

¿A qué corresponde 27?

–3

27

–27

Se ubica la coma del cociente en el mismo lugar que en el dividendo.

Al dividir 5 en 3, el resultado se escribe en las unidades.

Se continúa la  división como si fueran números naturales.

Encontremos el ancho del rectángulo de área 25,6 cm2 y largo 8 cm.

cm

1 cm2

0,1 cm2

25,6 cm2

8 cm

7,5 : 5

6,4 : 4

6,8 : 2

51,9 : 3

61,6 : 8

46,8 : 4

Cuaderno de Actividades páginas 43 y 44 • Tomo 1
Tickets de salida página 78 • Tomo 1

0 en las unidades del cociente

Si repartimos en partes iguales una cinta de 4,5 m entre 9 niños, ¿cuántos metros recibirá cada uno?

4,5  :  9

1º

2º

3º

Se ubica la coma del cociente en el mismo lugar que en el dividendo.
4 es menor que 9. Entonces, se escribe 0 en las unidades del cociente.
Dado que 4,5 es 45 décimos, podemos calcular de la misma manera que con números naturales.

4,5 : 9 =

4,5 : 9 =   ,

4,5 : 9 = 0,

4,5 : 9 = 0,5

45

–45

¿Cómo se calculó 1,61 : 7? Explica.

1,61 : 7 = 0,

1,61 : 7 = 0,2

-14

1,61 : 7 = 0,23

21

-21

3,5 : 5

4,8 : 6

5,4 : 9

1,62 : 3

2,45 : 5

3,96 : 4

Extendiendo la división

Cuando dividimos una cinta de 7,3 m en 5 partes iguales, ¿cuántos metros medirá cada parte?

7,3 : 5

7,3 : 5 = 1,4

-5

23

-20

Esto significa que queda 3 veces 0,1.

Podemos considerar esto como  30 veces 0,01.

7,30 : 5 = 1,46

30

-30

Algunas veces puedes seguir dividiendo hasta que el resto sea 0.

7

¿Cómo calcularías 6 : 8? Explica.

Considera que puedes expresar 6 como 60 décimos.

9,4 : 4

8,6 : 5

7 : 5

5 : 8

Cuaderno de Actividades página 45 • Tomo 1
Tickets de salida página 80 • Tomo 1

Resolviendo problemas

Sofía tiene una cinta de 13,5 m. Ella hace un adorno floral usando 2 m. ¿Cuántos adornos florales puede hacer con la cinta que tiene?, ¿cuántos metros le quedarán?

13,5 m

2 m

¿Cuál es la expresión matemática?

Longitud de la cinta | 2 | 13,5
Cantidad de adornos | 1 | ?

: 2

Según el siguiente cálculo, ¿cuántos metros sobran?

13,5 : 2 = 6

1 5

¿Qué representa “15”?
¿Cómo se debe expresar el resto para comprobar la división?
Dividendo = Cociente • Divisor + Resto

13,5 = 2 • 6 +

La coma del resto se pone en el mismo lugar que en  el dividendo.

-12

1,5

Hay una cinta de 47,6 m. Si la cortamos en trozos de 3 m, ¿cuántos trozos tendremos?

¿Hasta qué posición tiene sentido  seguir dividiendo?, ¿por qué?

Cuaderno de Actividades página 46 • Tomo 1
Ticket de salida página 81 • Tomo 1

Se repartieron 2,3 L de jugo en partes iguales entre 6 niños. ¿Cuántos litros recibe cada uno?

Si seguimos dividiendo, ¿cuál será la respuesta? Explica.

: 6

Cantidad de jugo | ? | 2,3
Número de niños | 1 | 6

2,3 : 6 = 0,383

50

48

20

Hay 3 botellas de jugo y cada una contiene 1,5 L de jugo. ¿Cuántos litros hay en total?

Cantidad de jugo en una botella

El total

Cantidad de jugo | 1,5 | ?
Número de botellas | 1 | 3

Número de botellas

Hay 6 placas de metal con el mismo peso.
El peso total es de 5,1 kg.
¿Cuántos kilos pesa cada placa?

¿Qué sabemos?
¿Qué es lo que se quiere saber?

Peso de una placa

Número de placas

5,1 kg

Peso | ? | 5,1
Número de placas | 1 | 6

Cuaderno de Actividades página 47 • Tomo 1
Ticket de salida página 82 • Tomo 1

5,3 • 7

9,2 • 49

70,5 • 73

6,52 • 4

6,5 : 5

0,26 • 8

12,6 : 7

0,46 • 5

8,1 : 9

49,7 : 7

75,6 : 7

15,36 : 3

Una jardinera rectangular tiene 17,1 m2 de área y su ancho es de  3 m. ¿Cuál es el largo de la jardinera?

3 m

Si 9 L de arroz con leche pesan 8 kg, ¿cuántos kilos pesa 1 L?

Se tienen 5 libros y cada uno pesa 1,4 kg. ¿Cuántos kilogramos hay en total?

Andrés compró estos tarros de pintura:

1,2  L

¿Cuántos litros de pintura compró en total?

Cuaderno de Actividades página 48 • Tomo 1
Ticket de salida página 83 • Tomo 1

Explica.

a) Si 27 • 5 = 135, ¿cuánto es 2,7 • 5?

b) Si 648 : 9 = 72, ¿cuánto es 6,48 : 9?

c) En , ¿qué representa 13?, ¿cómo se lee?
A

9,3 : 4 = 2

8

13

2,4 • 3

7,2 : 4

2,8 • 12

42,6 : 6

0,12 • 5

3,78 : 6

Si una cuerda de 9 m se corta en 5 trozos iguales, ¿cuántos metros tiene cada trozo? ¿Cuál es el esquema que organiza la información?

Sami tiene la siguiente libreta:

9 cm

14,8 cm

¿Cuál es el área de la cubierta de la libreta de Sami, en cm2?

Se tienen 36,5 m de cinta:

a) Si se cortan 5 trozos iguales, ¿cuántos metros mide cada trozo?

b) Si se corta en trozos de 5 m, ¿cuántos metros quedan?

Cuaderno de Actividades página 49 • Tomo 1
Ticket de salida página 84 • Tomo 1

Razones

Comparando con la unidad

¿En cuál situación, ,  o , hay mayor aglomeración?

2 colchonetas, 12 niños.

3 colchonetas, 12 niños.

3 colchonetas, 15 niños.

Pensemos cómo comparar las aglomeraciones.

¿En cuál situación hay más aglomeración?
Compara  con

Cuando hay igual cantidad de colchonetas, la situación en la que hay  cantidad de niños, hay más aglomeración.

Compara  con

Cuando hay igual cantidad de niños, la situación en la que hay    cantidad de colchonetas, hay más aglomeración.

Las cantidades de
colchonetas y de niños
son diferentes.

Si igualamos las cantidades de colchonetas...

Averigüemos cuántos niños hay en cada colchoneta.

Responde en el Cuaderno de Actividades • pág. 50

El área de cada colchoneta es 1 m2. ¿Cuántos niños hay por m2?
12  :  2   =
12  :  3   =
15  :  3   =

Área
(m2)

Número de niños por m2

El nivel de aglomeración considera 2 medidas: el número de personas y el área de una colchoneta. El nivel de aglomeración es un número que indica la cantidad de personas por metro cuadrado.

Hay 10 niños jugando en una caja de arena de 8 m2. En otra caja, de 10 m2, hay 13 niños jugando. ¿En cuál caja de arena hay más aglomeración?
En un tren de 7 vagones viajan 1260 pasajeros, y en otro de 10 vagones, viajan 1850 pasajeros. ¿En cuál hay más aglomeración?

Cuaderno de Actividades • página 51 • Tomo 1 Tickets de salida página 87 •  Tomo 1

Un grupo de alumnos cosechó 42 kg de papas en un terreno de 6 m2, y 54 kg en otro  de 9 m2. ¿Cuál terreno es mejor?

Compara usando la cantidad de kilos de papas por m2.

42 (kg)

Área

6 (m2)

Peso (kg) | ? | 42
Área (m2) | 1 | 6

Para transformar 6 en 1, dividimos por 6.

54 (kg)

: 9

Peso (kg) | ? | 54
Área (m2) | 1 | 9

9 (m2)

Se tienen dos ofertas. En la primera, el precio de 10 cuadernos es $12 000. En la segunda, el precio de 8 cuadernos  es $10 400.
¿En cuál pack el cuaderno es más caro?

Precio

Número de cuadernos

12 000 ($)

10 (cuadernos)

Precio ($) | ? | 1 200
Número de cuadernos | 1 | 10

:10

10 400 ($)

8 (cuadernos)

: 8

Precio ($) | ? | 1 040
Número de cuadernos | 1 | 8

Cuaderno de Actividades páginas 52 y 53 • Tomo 1 Tickets de salida página 88 • Tomo 1

Razón como comparación por cociente

Comparemos la efectividad de los tiros al aro.

José | Lorena | Camilo

Número de canastas | 5 | 5 | 6
Número de tiros | 8 | 10 | 10

Compara los desempeños de José y Lorena.
Compara los desempeños de Lorena y Camilo.
Piensa cómo comparar los desempeños de José y Camilo.

¿Cómo se puede expresar en fracción la cantidad de aciertos de José y Camilo?

Idea de Juan

Dibujo barras de la misma longitud.

5
8

José

6
10

Camilo

Expreso las fracciones como números decimales.

5  :  8

0,625

6  :  10

0,6

Idea de Sami

Amplifico las fracciones.

25
40

24
40

Explica las ideas de los tres niños.

Expresa el desempeño de Lorena con números.

Total

Parte

: tiros fallidos : canastas

Desempeño  =  Número de aciertos   :   Total de tiros

Parte del total

Cantidad total

Estos son los tiros de Nicole en dos partidos.

Partido 1 | ○ | ○ | ○ | ○ | ○
Partido 2 | × | × | × | × | × | × | ×

El desempeño siempre es un número entre 0 y 1. ¿Por qué?

¿Cuál avión está más aglomerado?

| Avión pequeño | Avión grande
Número de pasajeros | 117 | 442
Número de asientos | 130 | 520

Avión

Número

Descubramos que tan aglomerado está el avión pequeño.

Cantidad comparada

Cantidad referente

Número de
pasajeros

Nivel de aglomeración

117

130

0,5

117 : 130 =

Número de pasajeros | 130 | 117
Nivel de aglomeración | 1 | ?

:130

Descubramos qué tan aglomerado está el avión grande.

442

520

:   =

Número de pasajeros | 520 | 442
Nivel de aglomeración | 1 | ?

:520

Tickets de salida página 91 • Tomo 1

El número que expresa la cantidad comparada cuando el referente es 1 se llama razón.

Cantidad referente (CR) | Cantidad  comparada
1 | Razón

:CR

La razón se obtiene dividiendo la cantidad comparada  por la cantidad referente.

Razón = cantidad comparada : cantidad referente

Avión pequeño
(Capacidad 130 asientos)

Cantidad de pasajeros | 130 | 117
Razón | 1 | 0,9

Avión grande
(Capacidad 520 asientos)

Cantidad de pasajeros | 520 | 442
Razón | 1 | 0,85

El nivel de aglomeración del avión pequeño es  117 : 130 = 0,9.
Un nivel de aglomeración de 0,9 significa que por cada asiento, la cantidad de pasajeros es 0,9.
1 asiento  0,9 pasajeros

¿0,9 personas?

Encontremos las razones.
La razón de respuestas correctas cuando se contestan correctamente 6 problemas de 10.
La razón de juegos ganados cuando se triunfa en 6 de 6 partidos.
La razón de sorteos ganados cuando alguien juega 7 veces y pierde en todas.
En una fiesta hay 75 niños y 15 son de sexto básico.
Obtengamos la razón entre la cantidad de niños de sexto básico y la cantidad total de niños en la fiesta.

Cuaderno de Actividades página 54 • Tomo 1
Tickets de salida página 92 • Tomo 1

La razón entre 2 cantidades

Podemos expresar la razón entre dos cantidades incluso si una de ellas no es parte de la otra.

En un curso hay 16 niños y 20 niñas. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de niños comparada con la cantidad de niñas?

Niños

Niñas

Razón

16 Niños

20 Niñas

Número de estudiantes | 16 | 20
Razón | ? | 1

:20

16   :   20   =

¿Cuál es la razón entre la cantidad de niñas comparada con la cantidad de niños?

Número de estudiantes | 16 | 20
Razón | 1 | ?

:16

20   :   16   =

La razón cambiará si variamos la cantidad referente. En algunos casos la razón será un número mayor que 1.

Se construyó un edificio de 50 m de altura en la vereda de enfrente de otro edificio de 20 m.

Encuentra la razón entre la altura del edificio de 20 m y la del edificio de 50 m.
Encuentra la razón entre la altura del edificio de 50 m y la del edificio de 20 m.

20m

50m

Cuaderno de Actividades página 55 • Tomo 1
Tickets de salida página 93 • Tomo 1

Expresar comparaciones usando razones

Diego, Antonia y Vicente están preparando ensalada, jugo y arroz.

Diego preparará la ensalada y se pregunta qué aderezo es mejor.

Aderezo japonés

Vinagre ......... 4 cucharaditas
Aceite ......... 6 cucharaditas
Salsa de soya ........ 3 cucharaditas

Aderezo francés

Vinagre ..... 3 cucharaditas
Aceite ........ 6 cucharaditas
Sal ......... 1 cucharadita

3
5

Salsa golf

Mayonesa ............... 42 g
Ketchup .................. 36 g

Se necesita comparar la cantidad de aceite y vinagre del aderezo francés. ¿De qué formas podemos expresar la relación entre las dos cantidades?

Piensa una nueva forma de representar la razón.

En el aderezo francés necesitas el doble de aceite que de vinagre.

Antonia está encargada de preparar el jugo.

Agua ............... 450 ml
Pulpa ............... 50 ml

Vicente preparará el arroz.

Arroz ............... 1 taza
Agua ............... 2 tazas

En el jugo, 50  :  450 = , por lo tanto, la pulpa
1
9
es  del agua.

Al juntar el agua y la pulpa da 500 ml. 450 : 500 = 0,9, lo que significa que en cada ml de jugo hay 0,9 ml de agua.

Diego está preparando aderezo francés.

Cucharaditas

Vinagre
Aceite

Si usa 3 cucharaditas de vinagre y 6 de aceite, ¿cómo se representa la razón entre sus medidas?

La comparación entre la medida de vinagre y la de aceite se representa por
3  :  6
que se lee “tres es a seis”. Esta forma de expresar la comparación entre dos cantidades también se llama razón.

Aceite

Vinagre

Expresa la razón entre la mayonesa y el ketchup de la salsa golf.

Expresa la razón entre las cantidades que se indican en cada caso.

80 ml de agua

40 ml de sopa

10 ml

15 ml

Cuaderno de Actividades página 56 • Tomo 1
Tickets de salida página 96 • Tomo 1

Se tienen dos ofertas de lápices de mina. La primera cuesta $6000 y tiene 12 lápices. La segunda vale $4400 y tiene 8 lápices. ¿En cuál oferta es más barato un lápiz?

Un terreno de 180 m2 produjo 432 kilos de naranjas. ¿Cuántos kilos se cosecharon por m2?

Encontremos las siguientes razones:

Si Loreto tiene 7 respuestas correctas de 10 problemas de una prueba, ¿cuál es la razón de las respuestas correctas?
Un equipo jugó 4 partidos y los ganaron todos. ¿Cuál es la razón de los juegos ganados?

Carla tiene 15 m de cinta y Antonio 12 m.

Encontremos la razón entre el largo de la cinta de Antonio comparado con el largo de la cinta de Carla.
Encontremos la razón entre el largo de la cinta de Carla comparado con el largo de la cinta de Antonio.

15 m

Carla

12 m

Antonio

Expresemos con razones.

a) La cantidad de aceite y vinagre.  b) La longitud de AB y AC en la escuadra.

50 ml

16 cm

B

C

Cuaderno de Actividades páginas 57 y 58 • Tomo 1

Una máquina bombea 240 litros de agua en 8 minutos y otra bombea 300 litros en 12 minutos. ¿Cuál de las dos bombea más agua por minuto?

Una cinta de 4 m vale $4800. a) ¿Cuánto cuesta 1 m de cinta?  b) ¿Cuánto valen 5 m de cinta? c) Si gasté $14400 en cinta, ¿cuántos metros compré?

Una impresora puede imprimir 350 hojas en 5 minutos. a) ¿Cuántas hojas puede imprimir en 1 minuto?  b) ¿Cuántas hojas puede imprimir en 8 minutos? c) ¿Cuántos minutos necesita para imprimir 2100 hojas?

En una caja hay bolas blancas y rojas. La razón entre las bolas blancas y rojas es 3 : 4. Si 21 bolas son blancas, ¿cuántas bolas son rojas?

Ángulos en triángulos y cuadriláteros

Construcción de triángulos

Con los siguientes segmentos, dibujen varios triángulos diferentes.
Tomen las medidas con un compás y coloreen los segmentos.

Responde en el Cuaderno de Actividades  •  pág.59

Usé el compás de esta manera para dibujar los triángulos.

Hazlo en un papel en blanco.

Yo hice este triángulo usando 2 segmentos verdes y 1 rojo.

Clasifiquen los triángulos que hicieron formando grupos. Háganlo de distintas maneras. Si lo necesitan, recórtenlos.

Sami hizo un grupo con estos triángulos. ¿Qué tienen en común?

Dos lados de igual medida se marcan así.

¡Son simétricos!

Juan formó un grupo con estos triángulos. ¿Qué tienen en común?

Sofía quiere dibujar un triángulo con 1 segmento azul, 1 rojo y 1 café.

¿Puedes dibujarlo tú?

Sofía trató de hacer un triángulo con un segmento morado y 2 rojos, pero no le resultó. ¿Por qué?

Para que sea posible construir un triángulo, la suma de las medidas de los dos lados menores debe ser mayor que la medida del tercer lado.

Gaspar dibujó un triángulo cuyos lados miden:
AB = 12 cm, BC = 9 cm, CA = 5 cm.

Ordena sus ángulos de mayor a menor. ¿En qué te fijaste para ordenarlos?

Usa el transportador para comprobar si los ordenaste correctamente. ¿Qué puedes concluir?

En un triángulo:
al lado de mayor medida se opone el ángulo de mayor medida.
si dos lados tienen la misma medida, los ángulos opuestos también.

Ticket de salida página 100 • Tomo 1

Ema dibujó un triángulo. Estas son las medidas de sus tres ángulos.

50º

70º

60º

Dibuja un triángulo congruente al de Ema. ¿Cuántos triángulos pueden dibujarse con esas mismas medidas?

Dibuja triángulos con las siguientes medidas. Puedes usar escuadras para dibujar los ángulos.

AB = 5 cm, BC = 8 cm,  CBA = 30°.

Conoces las medidas de dos lados y la del ángulo entre ellos.

CBA = 45°, BC = 6 cm,  ACB = 60°.

Conoces las medidas de dos ángulos y la del lado entre ellos.

Cuaderno de Actividades página 60 • Tomo 1

¿Cómo cambia el triángulo si el  ABC varía según lo indica la flecha?

¿Cómo será el triángulo si el  ABC mide 100°? ¿Y si mide 120°?

10

Matías ordenó los triángulos que dibujó en tres grupos. ¿En qué se habrá fijado para agrupar estos triángulos?

113º

120º

38º

37º

77º

59º

35º

Cuaderno de Actividades página 61 • Tomo 1
Ticket de salida página 102  •  Tomo 1

Ángulos en triángulos

Descubramos cuánto suman los dos ángulos agudos de una escuadra.

¿En cuál escuadra esta suma será mayor?
Midan para verificar su conjetura.
¿Qué concluyeron?

Desplacemos el vértice B acercándonos a C en el siguiente triángulo:

¿Cómo cambia el valor del  CBA?
¿Cómo cambia el valor del  BAC?
¿Hay alguna relación entre los cambios del  CBA y los del  BAC?
Para observar cómo varía la suma de los ángulos CBA y BAC, registra en tu cuaderno ambas medidas en cada desplazamiento del vértice B. Puedes hacer una tabla.

¿Qué descubriste respecto a la suma de los tres ángulos de un triángulo con un ángulo recto?

Exploremos la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo.

Exploremos midiendo con transportador.

Mide los ángulos de este triángulo,  ¿cuánto suman los tres?
Mide los ángulos de tres triángulos distintos, y luego súmalos. ¿Qué puedes concluir?

Responde en el Cuaderno de Actividades  •  pág.62

Exploremos juntando los tres ángulos.

Recorta en el Cuaderno de Actividades  •  pág.99

Recorta los tres ángulos y colócalos sobre una línea, tal como se indica en el dibujo.

Un ángulo extendido mide 180º, ¿cierto?

Los tres ángulos juntos forman una línea recta. ¿Cuánto suman?

Une triángulos que tengan la misma forma y tamaño para armar un patrón continuo sin separación entre ellos.

Los tres ángulos en los vértices A y B forman una línea recta. ¿Cuánto suman?

Dobla un triángulo para que los vértices de los tres ángulos se junten en un punto.

Los tres ángulos forman una línea recta. ¿Cuánto suman?

En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es 180º

Calculemos las medidas de los ángulos desconocidos.

Observa el siguiente triángulo:

¿Cuál es la suma de los ángulos en BAC y en CBA?
¿Cuánto mide el ángulo exterior
marcado en el vértice C?
¿Qué conclusiones sacas sobre las
relaciones entre los ángulos
interiores BAC y CBA y el ángulo
exterior en el vértice C?

Los tres ángulos interiores suman 180º...

Cuaderno de Actividades páginas 63 y 64 • Tomo 1
Ticket de salida página 105 • Tomo 1

Ángulos en cuadriláteros

Construyamos cuadriláteros.
Dibuja distintos cuadriláteros de modo que dos de sus lados queden sobre las líneas paralelas.

Responde en el Cuaderno de Actividades • pág. 65

Utiliza regla, compás o transportador para dibujarlos.

Hice una línea perpendicular a las paralelas, luego medí un ángulo de 45°.

D

E

G

45º

F

Busquen relaciones entre los ángulos de un paralelogramo.

En un cuadrilátero se llaman ángulos consecutivos aquellos que tienen un lado común.

a) Compara los ángulos opuestos.
b) Suma pares de ángulos consecutivos.
c) Suma los 4 ángulos.

Al cortar por la mitad un paralelogramo, y luego juntar los ángulos consecutivos, se forman ángulos extendidos.

Recorta en el Cuaderno de Actividades • pág. 101

En un paralelogramo:
los ángulos opuestos miden lo mismo.
los ángulos consecutivos suman 180º.
la suma de los 4 ángulos interiores es 360º.

¿Cuánto suman los cuatro ángulos de cualquier cuadrilátero?

¿Cómo hicimos la suma de los tres ángulos de los triángulos?

Pensemos cómo descomponer un cuadrilátero en triángulos.

Con un transportador medí los 4 ángulos y comprobé que sumaban 360°.

Junté 4 cuadriláteros y vi que los 4 ángulos forman un  ángulo completo.

Idea de Matías

Dividí con una diagonal. Quedan dos triángulos.
Por lo tanto, la suma de los ángulos es 180º · 2 = 360º.

Lo dividí con diagonales.
Quedan cuatro trángulos,  180º · 4 = 720º.
A este valor le resto los ángulos que quedan en el centro:  720º - 360º = 360º.

En cualquier cuadrilátero, la suma de los 4 ángulos interiores es 360º.

ABC es un triángulo equilátero. Calcula la medida del  ADC.

135º

1O5º

EFGH es un rombo. ¿Cuánto mide el  HGF?

72º

H

ABCD es un paralelogramo. ¿Cuánto mide el  CBD?

130º

40º

Cuaderno de Actividades páginas 66 y 67 • Tomo 1
Ticket de salida página 109 • Tomo 1

Ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal

ABCD es un paralelogramo. Identifica en esta figura todos los ángulos que miden lo mismo que el  DAE.

I

K

J

Sabiendo que T//Q y que  mide 130°, ¿cuál es la medida de los otros ángulos?

T

Q

Cuando hay 2 rectas paralelas cortadas por una transversal, se forman 8 ángulos. Basta conocer la medida de uno de ellos para determinar la del resto.

Si dos rectas paralelas son cortadas por otra llamada transversal, se forman 2 tipos de ángulos: agudos y obtusos.
Los 4 agudos tienen la misma medida y los 4 obtusos también.
Además, un agudo y un obtuso suman 180°, es decir, son suplementarios.

Ticket de salida página 110 • Tomo 1

Copia el ángulo  en el punto A de modo que uno de sus lados quede en L y el otro en una línea que llamaremos R.
¿Qué relación hay entre las líneas M y R?

M

Utiliza regla, compás o transportador para dibujar.

Responde en el Cuaderno de Actividades • pág. 68

Analicen las figuras e indiquen si las rectas L y M son paralelas:
Justifiquen su decisión.

76º

114º

95º

85º

En dos rectas paralelas cortadas por otra llamada transversal, los ángulos que se forman al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal se denominan correspondientes. Por ejemplo,  y  son correspondientes.

Si L // M, entonces  = .
Si  = , entonces L // M.

ABCD es un trapecio en el que AD//BC.
¿Cuánto mide  DCA?

110º

En la figura, EF//HI.
¿Cuánto miden  FEG y  HGI?

64º

Alarga los lados de las figuras para observar los ángulos entre paralelas.

Cuaderno de Actividades página 69 • Tomo 1
Ticket de salida página 111 • Tomo 1

Teselados

Cubre una hoja en blanco con cada una de estas figuras:

Recorta en el Cuaderno de Actividades • pág 103

Teselar un plano con figuras es cubrirlo completamente:
sin dejar espacios entre figuras,
sin superponer figuras.

¿Cómo moviste las figuras para teselar?

Yo trasladé el hexágono y  pude teselar.

Reflejé el hexágono y  me resultó.

Yo fui rotando el hexágono  para cubrir.

Para teselar el plano, realizamos uno o más movimientos isométricos de la figura, es decir, trasladamos, reflejamos y/o rotamos la figura.

Ticket de salida página 112 • Tomo 1

Hagan una teselación con el rombo usando traslaciones. Expliquen cómo movieron la figura para cubrir el plano.

Realiza el teselado en una hoja en blanco.

Gaspar efectuó dos teselaciones diferentes con el rombo. Describe los movimientos que pudo haber hecho para conseguirlas.

Para teselar el plano con una figura, la suma de los ángulos que se juntan en un vértice debe ser 360º.

Busquemos teselados

Cuaderno de Actividades • página 70 • Tomo 1
Ticket de salida página 113 • Tomo 1

Ema intentó hacer un teselado con cada una de estas figuras, pero con una de ellas no le resultó. ¿Cuál habrá sido? ¿Por qué con una de estas figuras no se logra cubrir el plano?

En la figura, ABC es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide  CAD?

25º

En la figura, FG y FH miden lo mismo. GI//FJ y HI  IJ. Calcula el  HFJ.

Porcentaje

Porcentaje como razón

En un bus que tiene 50 asientos van 40 pasajeros.

Encontremos el nivel de aglomeración.
40 : 50  =

Expresemos la razón transformando la cantidad referente en 100.

40 : 50  =   : 100

Cuando en una razón la cantidad referente es 100, a la cantidad comparada la llamamos porcentaje.

Expresemos el nivel de aglomeración en porcentaje.

40

(personas)

Número de pasajeros (personas) | 40 | 50
Razón (número decimal) | ? | 1
Porcentaje (%) | ? | 100

Pasajeros

: 50

100 %

• 100

(40 : 50) • 100  =   (%)

Si la razón se multiplica por 100, obtenemos el porcentaje.

Se hizo un registro de los vehículos que pasan frente a una escuela.

Encontremos el porcentaje de cada tipo de vehículo respecto del total.
¿Cuánto suman todos los porcentajes?

| Número de vehículos | Porcentaje (%)
Autos | 63 | 45
Camiones | 35 | ?
Motocicletas | 21 | ?
Buses | 7 | ?
Otros | 14 | ?
Total | 140 | ?

Cantidades

Vehículos

Expresemos las razones desde números decimales a porcentaje, y viceversa.

0,75

0,8

0,316

16 %

2 %

Porcentajes mayores que 100 %

La capacidad de cada carro es de 120 pasajeros.

108 personas

144 personas

Calcula el nivel de aglomeración del primer carro.
(108 : 120) • 100  =   (%)

Calcula el nivel de aglomeración del segundo carro.
(144 : 120) • 100  =   (%)

Cuando la cantidad de pasajeros supera la capacidad del carro, el porcentaje será mayor que el 100 %.

Ticket de salida página 117 • Tomo 1

Analiza la tabla:

Pasajeros de un bus en un día

| 8 a. m. | 10 a. m. | Tarde
Número de pasajeros | 65 | 18 | 26
Capacidad del bus | 50 | 50 | 50

Hora

Cantidad

Calcula el porcentaje de aglomeración en cada horario.
¿A qué hora hubo más aglomeración en el bus?

De los 4 tiros al arco que realizó Lisette, 1 fue gol.

| Tiros al arco | Goles
Lisette | 4 | 1
Paula | 5 | 2
Kevin | 5 | 5

Tiros

Personas

La razón entre el número de goles y el número de tiros al arco se llama índice de efectividad.

Expresemos el índice de efectividad de Lisette en porcentaje.

Goles

Tiros al arco

Índice de efectividad

(1       :       4)              100       =        %

Expresemos el índice de efectividad de Paula y Kevin en porcentaje.

¿Quién fue más efectivo?

Cuaderno de Actividades páginas 71 y 72 • Tomo 1
Ticket de salida página 118 • Tomo 1

Cálculo de porcentajes usando fracciones

La tabla muestra el número de estudiantes de 2 colegios inscritos para un evento de atletismo. ¿En cuál colegio hay mayor interés por participar?

Colegio | Número de inscritos | Total de estudiantes
Araucaria | 100 | 200
Bucalemu | 150 | 600

Representemos los datos usando fracciones.

Araucaria

Bucalemu

50%

100 | 100

100%

25%

150 | 150 | 150 | 150

100 estudiantes de 200.
100 es la mitad de 200.
200  100 %
100  50 %

150 estudiantes de 600.
150 es la cuarta parte de 600.
600  100 %
150  25 %

Como 50 % > 25 %, en el colegio Araucaria hay mayor interés que en el colegio Bucalemu.

50 %

200 estudiantes

de 200

El 50 % de 200 es 100.

Para encontrar el 50 % de un número calculamos su mitad.

25 %

600 estudiantes

de 600

El 25 % de 600 es 150.

Para encontrar el 25 % de un número calculamos su cuarta parte.

Representa el 10 % de una cantidad usando fracciones.

Calcula usando barras.

El 20 % de 1 200 estudiantes del colegio Cau-Cau se inscribieron en el evento de atletismo.

El 75 % de 4  000 estudiantes del colegio Alerce se inscribieron en el evento de atletismo.

75 %  3 veces 25 %

El 20 % de los estudiantes de un curso de 40 alumnos usa lentes. ¿Cuántos niños usan lentes?

El 25 % de los árboles de un bosque de 1 200 árboles son pinos. ¿Cuántos pinos hay en el bosque?

Cuaderno de Actividades páginas 73 y 74 • Tomo 1
Tickets de salida página 120 • Tomo 1

Calcula en forma mental.

El 10 % de 800

El 60 % de 500   (60 %  6 veces el 10 %)

El 25 % de 40

El 1 % de 300

El 15 % de 600    (15 %  10 % + 5 %)

El 50 % de 1 480

Expresa en porcentaje la relación entre los datos:

De 500 mujeres encuestadas, 400 afirman que les gusta el fútbol.

En un estacionamiento que tiene una capacidad para 450 autos, hay 45 vehículos estacionados.

En un colegio hay 400 niñas de un total de 1600 estudiantes.

Resuelve los siguientes problemas:

Camilo ha leído el 80 % de las 240 páginas de un libro. ¿Cuántas páginas ha avanzado?

De 300 huevos el 4 % está quebrado. ¿Cuántos huevos están quebrados? ¿Cuántos no están quebrados?

En cada caso expresa en porcentaje la parte sombreada del total.

Cuaderno de Actividades página 75 • Tomo 1
Tickets de salida página 121 • Tomo 1

Un libro vale $14000. En la librería A tiene un descuento de $1700 y en la librería B tiene un 12 % de descuento. ¿En cuál tienda está más barato el libro?

Florencia tiene 240 láminas de un álbum. Si regala el 50 % a una amiga y vende un 10 %, ¿con cuántas láminas se queda?

El pantalón café vale $8 800 y tiene un 50 % de descuento, mientras que el pantalón azul, que vale $6 000, tiene un 25 % de descuento. ¿Por cuál pantalón se pagaría menos?

Una niña señala que el 49 % de 3 400 es 170. Sin calcular, ¿es correcto lo que dice la niña?

A un partido de fútbol asistieron 2 148 personas.  Si el estadio tiene una capacidad de 40 200 personas, estima el porcentaje de asistencia  al partido.

A un espectáculo del fin de semana asistieron 180 personas. ¿Cuál es la capacidad del recinto si los asistentes representan el 20 % del total?

El costo de la manguera de goma es de $30 000 por 50 metros.

¿Cuál es el valor de 1 metro?

¿Cuál es el valor de 7 metros?

Consulta el capítulo 7

Una moneda de $500 pesa 6,8 gramos.

¿Cuánto pesan 10 de esas monedas?

¿Cuánto pesan 15 de esas monedas?

Consulta el capítulo 6

Calcula:

3,4 : 1,7

4,4 • 100

8 • 1,7

8,8 : 2,2

3,4 : 2

Encuentra la medida de los ángulos marcados.

Consulta el capítulo 8

55º

Triángulo isósceles

65º

Paralelogramo

Un incendio destruyó el 25 % de los árboles de un bosque. Si el bosque tenía 4 000 árboles, ¿cuántos árboles fueron destruidos?

Consulta el capítulo 9

El 50 % de 200

El 10 % de 500

Repaso 2

Observa tu entorno. Hay muchos datos y cosas interesantes por descubrir... y cuidar.

¿Qué animal tiene el cerebro más pesado?

¿Cuánta agua falta?

En el capítulo 3: Suma y resta de decimales, estudiamos la actividad ¿Cuán pesados son los cerebros?. En esa oportunidad comparamos el peso de los cerebros de distintos animales, incluyendo el del ser humano.

En esta actividad te invitamos a comparar los pesos de los cerebros, teniendo como referencia el peso de cada animal. Para ello, puedes utilizar la noción de razón expresándola como porcentaje.

0,680 kg

0,03 kg

5 kg

1 400 kg

1 200 kg

0,582 kg

4,7 kg

4 000 kg

1,5 kg

300 kg

500 kg

0,008 kg

1,7 kg

170 000 kg

1,4 kg

80 kg

En relación a su peso corporal, ¿cuál tiene el cerebro más pesado?

A mayor peso del animal, ¿mayor es el peso de su cerebro?

¡Qué poco pesa el cerebro del cocodrilo en relación a su peso!

Aventura Matemática

Ningún país en el mundo está exento de quedarse sin agua. Particularmente, Chile está sufriendo la más grande sequía del último siglo. En la zona central y sur de Chile se está viviendo la sequía de mayor extensión territorial y temporal registrada. Según el Centro de Ciencia del Clima y la Resiliencia, parte importante de este problema tiene relación directa con el cambio climático, y al menos el 25% de la mega sequía actual podría explicarse por acción humana.

¿Cuál es la diferencia entre el agua caída en cada ciudad “a la fecha” y “normal a la fecha”?

¿En qué ciudades la diferencia es a favor? ¿En cuáles es en contra?

¿En qué ciudades o zonas de Chile hay más escasez de agua?

Agua caída en mm (Al 29 de octubre del 2020)

Nombre de la estación metereológica y ciudad | A la fecha | Normal a la fecha
Chacalluta, Arica. | 6,3 | 1,5
Diego Aracena, Iquique. | 2,6 | 0,9
El Loa, Calama. | 16,6 | 5,9
Cerro Moreno, Antofagasta. | 3 | 2,4
La Florida, La Serena. | 49,8 | 85,7
Quinta Normal, Santiago | 187,7 | 332,8
General Freire, Curicó. | 432,6 | 640,8
General Bernardo O’Higgins, Chillán. | 569,1 | 1 007,4
Carriel Sur, Concepción. | 801,2 | 1 034,3
Maquehue, Temuco. | 775,9 | 1 040,3
Pichoy, Valdivia. | 1 341,7 | 1 604
Cañal Bajo, Osorno. | 1 044,2 | 1 127,8
El Tepual, Puerto Montt. | 1 199,2 | 1 411,8
Teniente Vida, Coyhaique. | 973,6 | 871,9
Carlos Ibañez, Punta Arenas. | 248,4 | 347,3

Fuente: Dirección Meteorológica de Chile - Servicios Climáticos.

¿En qué afecta que no llueva?

Los ríos llevan poco caudal, no se pueden regar las siembras,  los animales necesitan agua  para sobrevivir.

Capítulo 1: Operatoria Combinada.
Página 8
1 a) Hombres: 750 000.
Mujeres: 750 000 + 29 870.
Total: 750 000 + (750 000 + 29 870)
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Sumar a la cantidad de hombres los
29 870 y así obtener la cantidad de mujeres; luego, sumar la cantidad de hombres y mujeres y obtener el total.
• 	Multiplicar por 2 la cantidad de hombres y luego sumar 		29 870 para obtener el total.
c) 750 000 + (750 000 + 29 870).

Página 9
1 d) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	750 000 + (750 000 + 29 870)
= 750 000 + 779 870
= 1 529 870
• 	750 000 + (750 000 + 29 870)
= (750 000 + 750 000) + 29 870
= 1 500 000 + 29 870
= 1 529 870
• 	750 000 + (750 000 + 29 870)
= 2 ∙ 750 000 + 29 870
= 1 500 000 + 29 870
= 1 529 870
2  a) Sí. 200 000 – (189 000 – 60 000)
b) Al calcular las diferencias de izquierda a derecha, la segunda resta no se podría resolver porque el resultado de la primera es menor a los 60 000 que se deben restar después.

Practica
1 a) 435 789; b) 435 789; c) 50 000; d) 150 000.

Página 10
3 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	50 000 – 29 990 – 15 990
• 	50 000 – (29 990 + 15 990)

3 b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
•	50 000 – 29 990 – 15 990
= 20 010 – 15 990
= 4 020
•	50 000 – (29 990 + 15 990)
= 50 000  –   45 980
= 4 020
4 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	25 000 + 7 000 – 3 990
• 	(25 000 + 7 000) – 3 990
b) En este caso, si usa paréntesis o no, da el mismo resultado.
5 Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Compré un balón en $5 000 y una barra de cereal 			en $180, si tengo en mis ahorros $35 000, después de 		cancelar, ¿cuánto será lo que queda?
• 	Estoy ahorrando para comprar un juego que cuesta
$35 000. Hasta el momento llevo $5 000 en billetes y  		$180 en monedas. ¿Cuánto dinero me falta reunir?

Practica
1 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Para las alianzas del colegio, la alianza azul lleva
3 000 puntos por saludos de famosos y 250 puntos por 		la competencia de fotografías de mascotas; pero la meta 		que nos pusimos fue de 10 000 puntos, ¿cuántos puntos 		nos faltan?
• 	Un envase contiene 10 000 cc de jugo para repartir en 		botellas de distintos tamaños, si llené la botella de
5 000 cc y me tomé un vaso de 180 cc, ¿cuánto jugo     queda en el envase?
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Compré una polera de $10 000 y un bolso de $5 000 		que 	tiene un descuento de $180, ¿cuánto pagué en total?
• 	Ayer tenía 10 000 puntos en un juego; volví a jugar
hoy, llevaba 5 000 puntos y salió una tarjeta que me
quitó 180 puntos. ¿Cuántos puntos tengo en total?

Página 11
6 a) Primero se debe calcular el precio de 3 kg de plátanos y 	       luego sumar el precio de 1 kg de manzanas.
b) No tiene sentido hacer la suma primero porque se estaría 	       sumando el precio de 1 kg de manzanas ($1 690) con la   	       cantidad de kilos de plátanos (3 kg).

Solucionario

7 a) 300 000 – 20 · 12 990.
b) Primero la multiplicación y luego la resta.

Practica
1 a) 29 000; b) 27 800; c) 192 800; d) 121 000.

Página 12
8 a) Idea de Ema: 28 • 120 + 32 • 120.
Idea de Sami: (28 + 32) • 120.
b) Ambas dan el mismo resultado: 7 200.
9 a) (316 – 16) : 25
b) Primero la resta que está en el paréntesis y luego la   	  	       división.

Página 13
10 a) 12 000 + (8 000 − 2 500) : 25
= 12 000 +  5 500 : 25
= 12 000 + 220
= 12 220
b) 8 000 • 14 − (17 000 + 500)
= 112 000 – 17 500
= 94 500
11 Respuestas Variadas. Ejemplos:
•  Se cosecharon 8 000 manzanas, de las cuales 2 500 no sirven; las seleccionadas se ponen en 25 cajas de  igual cantidad cada una. Si tenían 12 000 manzanas ya embaladas, ¿cuántas manzanas tienen en total?
•  14 niños fueron de paseo y cancelaron $8 000, con ese dinero se compraron golosinas por un total de $17 000 y  dejaron una propina de $500. ¿Cuánto dinero les queda aún?

Practica
1 a) 288 000 000;  b) 175 000;
c) 14 190;  d) 240 030 000;  e) 2;  f) 4 488.
2 a)  A cada una le corresponderá 85 hojas.
b)  Alcanzan para 17 estudiantes.

Página 14
Ejercicios
1 a) 181 500;  b) 259 000;  c) 150;  d) 78 584 280;
e) 3 600;  f) 8 000;  g) 46 500;  h) 19 000;  i) 60;
j) 4 280;  k) 3 600;  l) 1 980.
2 a) 15 000 − (4 500 + 6 800).
Me quedan $3 700.
b) (500 + 445) : 15.
Alcanzan para 63 estudiantes.

3 a) 2 · 8 601 989 + 370 025 o
8 601 989 + (8 601 989 + 370 025).
En total hay 17 574 003 personas en Chile.
b) 150 000 – (199 990 – 50 000)
Me dieron de vuelto $10.
c)  40 + 40 ·12.
Tiene 520 lápices en total.

Página 15
Problemas
1 a) 109 050;  b) 220 500;  c) 45 943;  d) 579 835.
2 a) 10 000 : (23 + 17).
Le corresponden 250 hojas a cada uno.
b) 35 · (1 500 + 2 000)
En total se debe reunir $122 500.
3 Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	De un total de 45 personas en un tour, cada 			uno canceló $15 000 por concepto de entradas y
$8 000 por transporte, 	¿cuánto dinero cancelaron en 		total?
• 	En una imprenta, cada mañana llegan 15 000 hojas 			y durante la tarde otras 8 000 hojas, ¿cuántas hojas 			habrán llegado al cabo de 45 días?

Capítulo 2: Múltiplos y divisores
Página 17
1 a)

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50
51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60

11

14

15

16

17

19

22

24

25

26

28

29

31

32

33

34

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49

51

52

53

55

56

57

58

59

60

c) Van de 3 en 3, corresponden a los resultados de la tabla    	      del 3.

Página 18
2  Van de 2 en 2, corresponden a los resultados de la tabla 	    del 2.

Practica
1 a) La altura de las 6 cajas es de 30 cm.
b) La altura siempre será un múltiplo de 5.
2 a) 8, 16, 24, 32, 40
b) 9, 18, 27, 36, 45

Página 19
a)
Patrón múltiplos de 2: Están ordenados en columnas.
b)
Patrón múltiplos de 3: Se ordenan en líneas diagonales.

Múltiplos de 2

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20
21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40
41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50
51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60
61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70
71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80
81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90
91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100

Múltiplos de 3

Página 20
3 a) 6, 12, 18, 24, 30, etc.
b) 6

Página 21
4 Algunos de los múltiplos comunes entre 3 y 4 son: 12, 24, 	   36, 48, 60, etc.

Página 22
5 a) La altura de la pila de cajas de galletas es múltiplo de 6. 		La altura de la pila de cajas de chocolates es múltiplo de 8.
b) La altura que deben tener ambas pilas para ser iguales 		es de 24 cm. La pila de galletas tendría 4 cajas, mientras 		que la pila de chocolates tendría 3 cajas.
c) Los primeros tres números en los que las alturas de 			ambas pilas es la misma son: 24 cm, 48 cm y 72 cm.

Practica
1 a) 10, 20, 30 y 40. El mínimo común múltiplo entre 5 y 2 		es 10.
b) 9, 18, 27 y 36. El mínimo común múltiplo entre 3 y 9 		es 9.
c) 12, 24, 36 y 48. El mínimo común múltiplo entre 4 y 6 		es 12.
2 La altura mínima en la que ambas pilas medirán lo mismo   	   es 18 cm.

Página 23
1 a) El lado de los cuadrados puede medir: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 		4 cm, 6 cm o 12 cm.

Página 24
1 b) 12 : 1 = 12; 12 : 2 = 6; 12 : 3 = 4;
12 : 4 = 3; 12 : 6 = 2; 12 : 12 = 1
c) En los divisores del 12 está el 1 y el mismo 12, además 		de otros números que multiplicados den como resultado 12.
d) El lado de los cuadrados puede medir: 1 cm, 2 cm, 3 cm, 		6 cm, 9 cm o 18 cm.

Página 25
1 e) El lado de los cuadrados puede medir: 1 cm, 2 cm, 3 cm 		o 6 cm.
f) 6

Practica
1	Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
2	Los divisores comunes de 8 y 36 son: 1, 2 y 4.

Página 26
2 a) La idea de Sofía es escribir todos los divisores de 18 y        luego los divisores de 24. Luego encierra todos los 			que se repiten en ambos grupos. Gaspar escribe todos 		los divisores de 18, luego realiza la división 	entre 24 			y todos los divisores de 18 para ver cuáles también 			serían divisores de 24.
b) 6
3 a) Divisores comunes de 8 y 16: 1, 2, 4   y 8. El máximo 		común divisor es el 8.
b) Divisores comunes de 15 y 20: 1 y 5. El máximo común 		divisor es el 5.
c) Divisores comunes de 12 y 42: 1, 2, 3 y 6. El máximo 		común divisor es el 6.
d) Divisor común de 13 y 9: 1. El máximo común divisor es 		el 1.
El 13 y el 9 tienen solo un divisor común.

Practica
1	Los lápices y cuadernos se pueden repartir equitativamente 		entre 1, 2 o 4 niños.

Página 27
4 a)
b) Sí.

2
12
22
32

3
13
23
33

4
14
24
34

5
15
25
35

6
16
26
36

7
17
27
37

8
18
28
38

9
19
29
39

10
20
30
40

11
21
31
41

Página 28
1 a) Los de la fila de arriba van de 2 en 2 a partir del 0, los 		de la fila de abajo van de 2 en 2 a partir del 1.
b) Los números de la fila de arriba se pueden dividir por 		2 de forma exacta, mientras que los de la fila de abajo 		tienen resto 1.
2 a) El 23 pertenece al grupo B (impares). El 98 pertenece al 		grupo A (pares).
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Si se puede dividir el número de forma exacta, es par; si 		tiene resto 1, es impar.
• 	Fijarse en el dígito de las unidades, si es 0, 2, 4, 6 u 8 es 		par, sino es impar.

Página 29
a)	El método consiste en seleccionar el primer número primo 		y tachar todos los múltiplos de él. Luego seleccionar el 			número primo que le sigue y hacer lo mismo. Se 			repite el proceso hasta encontrar todos los primos.

Página 30
Ejercicios
1 a) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 		y 48.
b) 7, 14, 21, 28, 35, 42 y 49.
c) 21 y 42.
d) 1, 2, 4, 7, 14, 28.
e) 1, 2, 4, 8, 16, 32.
f) 1, 2 y 4.
2 a) 6, 12 y 18. El mínimo común múltiplo es el 6.
b) 40, 80 y 120. El mínimo común múltiplo es el 40.
c) 15, 30 y 45. El mínimo común múltiplo es el 15.

3 a) 1, 2, 3 y 6. El máximo común divisor es el 6.
b) 1 y 2. El máximo común divisor es el 2.
c) 1 y 2. El máximo común divisor es el 2.

¿Lo recuerdas?
a)
b)

8
3

2
3

7
5

2
5

Página 31
Problemas
1 a) Múltiplos: 16, 32 y 48.
Divisores: 1, 2, 4, 8 y 16.
b) Múltiplos: 13, 26 y 39.
Divisores: 1 y 13.
c) Múltiplos: 24, 48 y 72.
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
2 a)	Múltiplos comunes: 21, 42 y 63. El mínimo común 			múltiplo es el 21.
b) Múltiplos comunes: 36, 72 y 108. El mínimo común 			múltiplo es el 36.
c) Múltiplos comunes: 20, 40 y 60. El mínimo común 			múltiplo es el 20.
3 a)	Divisores comunes: 1 y 3. El máximo común divisor es el 3.
b) Divisor común: 1. El máximo común divisor es el 1.
c) Divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. El máximo común 		divisor es el 12.
4	Volverán a salir a las 9: 24 a.m.
5 a)	El cuadrado más grande mide 6 cm.
b) Se pueden recortar 10 cuadrados de 6 cm cada uno.
6	El número primo más cercano a 51 es 53.

Página 32
7 a) Sobra 1.
b) Sobran 2, 3 y 4. En total sobran 9 que sí es múltiplo de 9.
c) Al descomponer de manera estándar un número y dividir 		por 9, los restos coinciden con cada dígito del número; 		entonces un número será divisible por 9 si la suma de 		todos sus dígitos se puede dividir por 9 de manera exacta.
8	La niña piensa en dos posibles pares de números: Son  4 y
8;  8 y 16. El niño piensa en el 5 y el 6.

Capítulo 3: Suma y resta de decimales.
Página 33
1 a) (2,25 + 2,75) – (10 • 0,25)
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Sumar primero las unidades y luego los centésimos.       El producto, sumar 10 veces 0,25.
• 	Identificar que al sumar las centésimas se forma 1 unidad
y al sumarla con las otras 4, se obtiene 5.
c) Falta restar 5 – 2,5.

Página 34
1 d) Idea de Juan: Realizó un diagrama de los 5 L de jugo 		y dividió uno de los recuadros de 1 L en dos partes de 		0,5 L. Luego restó la parte correspondiente a 2,5 L.
Idea de Ema: Descompone el 5 en dos sumandos, de 			modo que queda un entero muy cercano al decimal, 			calcula la diferencia y ese resultado se lo agrega al otro 		sumando.
Idea de Sofía: Transforma 5 en 5,0 y adapta el algoritmo 		de la resta de naturales para usarlo en la resta de decimales.
Idea de Gaspar: Calcula la la resta 5 – 2,5 a partir de la 		relación inversa que existe entre la suma y la resta.
e) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	La Idea de Juan ya que con diagramas entiendo mejor.
• 	La Idea de Sofía, porque es el mismo algoritmo que 			usamos para restar números naturales.

Página 35
2 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Se puede saber cuál oferta tiene más cantidad 			sumando la cantidad de jugo que hay en cada botella y 		comparando los resultados.
• 	Se puede saber cuál oferta tiene más cantidad 			comparando la cantidad de jugo entre botellas y 			calculando las diferencias.
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Usando el algoritmo de la suma de forma similar a como 		se hace con números naturales.
• 	Descomponiendo los decimales para obtener sumas más 		sencillas.
c) De la misma forma que para la oferta 1.
d) (2,25 + 0,6 + 0,6) – (1,25 + 1,25 + 0,6).
3	255 g.

Página 36
4	Se pueden sumar las cifras decimales y las cifras enteras 		por separado. Completar enteros, aplicando propiedades.
5 a)	1,978 + 2,087, porque no se completan enteros con las 		cifras decimales.
b) Aplicando estrategias como descomponer, completar 			enteros, o usando propiedades, pero siempre fijándome 		en el valor posicional.

Practica
1 a) 3,5; b) 1; c) 1; d) 3

Página 37
Ejercicios
1 a) 6;  b) 101,335;  c) 7,001;  d) 30;  e) 5,87;  f) 48,966;      	   g) 2,235;  h) 20,06;  i) 30,132;  j) 10.
2 El cajón mide 0,275 m.
3 a) El peso de Pedro.
b) El peso de Carlos y Pedro juntos.
c) No tiene sentido. No se pueden sumar kilos con metros.
d) La diferencia de estatura entre Pedro y Carlos.
e) La suma de las estaturas de Carlos y Pedro.

Página 38
Problemas
1 a) Sami, porque obtuvo 4,7 puntos.
b) Sofía, porque obtuvo 4,115 puntos.
c) 0,585 puntos.
d) 0,45 puntos.
2 a) Se descuenta 0,1 punto por cada ficha que cae fuera del 		tablero.
b)  2,948 puntos.

Página 39
¿Cuán pesados son los cerebros?
• 	El elefante tiene el cerebro más pesado.
• 	Hay 3 kg de diferencia entre los cerebros más pesados.
• 	El delfín tiene el peso de su cerebro muy cercano al peso 		del cerebro de un humano.
• 	Hay 0,022 kg de diferencia entre el peso de los 			cerebros más livianos.

Capítulo 4: Ángulos
Página 40
1 a)
b) Respuestas Variadas.
• 	Aproximadamente 45º.
• 	Aproximadamente la mitad de un ángulo recto.
2 a) Las respuestas dependen del ángulo formado.
b) 180º

Página 41
3 a) Respuestas Variadas.
• 	Idea de Ema: Doblar la esquina de una hoja por la mitad.
• 	Idea de Gaspar: Dibujar las orillas de la escuadra.
b) Respuestas Variadas.
• 	Idea de Ema.
• 	Idea de Gaspar.
• 	Dibujar un cuadrado y trazar un diagonal.
4 a) α = 135º

Página 42
4 b) Con los ángulos que dibujaron de 45º, hágalos calzar 			3 veces para medir los 135º; o un ángulo recto, más el 		ángulo de 45º.
c)
5 a)
b)

90°

180°

120°

105°

15°

Página 43
6 a)	Se revisa cuál de los ángulos es un poco mayor al ángulo 		de 135º que se forma con las escuadras.

b) No, ya que ninguna de las sumas de ángulos de las 			escuadras es igual a 140º.
c) El transportador.

7 a)	Se pueden estimar usando las líneas segmentadas como 		referencia.
b)  AOB = 80º;  AOC = 140º.

Practica
1	Debe pasar por el punto P.

Página 44
8 a) 58º; b) 32º; c) 90º.
9 a) 26º

Página 45
10 a) 50º; b) 130º; c) 180º.
11 a) 67º.

Página 46
1	El primer niño tiene un ángulo de aproximadamente 225º, 		el segundo un ángulo de 270º y  el último uno de 360º.
2 a)	3 veces;  b) 360º.
3 a)	α = 225º.

Página 47
3 b) β = 300º.
4 a)
b)

Página 48
5 a)  AOB = 135º;     BOC = 50º;     COD = 75º;
DOA = 100º.
b) 360º.
6 Respuestas Variadas. Ejemplo:
a)  ARC;   CRD y  DRA.
b) 360º.

R

Practica
1	Debe pasar por el punto F.

Página 49
1	     ROT = 144º.
2	     POR = 35º;      ROQ = 145º y      POQ = 180º.
3	α mide 294º

Página 50
1 a)	Tienen la misma medida.
b) Sí. Al medirlos con el transportador se comprueba que 		ambos miden 30º.

Página 51
1 d) Gaspar y Sofía comprobaron midiendo o copiando 			angulos, mientras que Sami basó su conclusión en un 			razonamiento lógico.
f) δ + α = 180º y γ + α  = 180º. Se concluye que δ = γ.

Página 52
2 a)  HPA y  DPE
b) Tiene la razón Sofía. Dos ángulos son opuestos por 			el vértice si comparten un vértice y sus lados 			están formados por las mismas dos líneas.

Practica
1	Hay 2 pares de ángulos opuestos por el vértice: α y β;
γ y δ. Dos pares.
Hay 4 pares de ángulos suplementarios: α y γ; γ y β;
β y δ; δ y α.

Página 53
Ejercicios
1 a) 65º;  b) 135º;  c) 290º.
2 a) α = 120º  β = 135º;  b)  γ = 90º.
3	     DBP = 60º;      AOC = 125º
4 a)
b)

Página 54
1	4 ángulos miden lo que mide α y los otros 2 ángulos miden 		180º menos 2 veces lo que mide α.

2	α mide 90º. α más los 2 ángulos conocidos suman 180º. 		Como los ángulos dados suman 67º + 23º = 90º, entonces  		α tiene que medir 90º.

Capítulo 5: Fracciones y números mixtos.
Página 56
1 a) Idea de Gaspar: Usar 2 bolsas de 1 kg y 1 de     kg.
Idea de Sofía: Usar 5 bolsas de     kg.
Idea de Matías:  Usar 2 bolsas de 1 kg y 2 bolsas de     		    kg.
Idea de Sami: Usar 10 bolsas de     kg.
b) Debe usar 2 bolsas de 1 kg y 1 de     kg. A mayor 			capacidad, menor cantidad de envases.
c) Debe usar 10 bolsas de     kg. A menor capacidad, 			mayor cantidad de envases.
d) Si se puede, 1 bolsa de kg, 2 bolsas de     kg y 2 bolsas 		    kg.
e) 20 envases de     kg.

1
2

1
4

1
8

Página 58
2	2,5
3	En fracción es     ; en número mixto es 1     y en 			decimal es 1,25.

5
4

Practica
1	Fracción impropia es     ; número mixto es 1     y decimal 		es 1,3.
2	1    ,     y 1,75.
3	Es mayor 3,5.

13
10

3
10

3
4

7
4

3,5

13
4

Página 59
1	Sofía hizo     L y Matías     L.

7
6

Practica
1 a)     ; b) 1    ; c) 1    ; d) 1    ;  e)     ;  f) 1.

1
3

2
7

1
5

Página 60
2	Como el resultado es un entero y una fracción impropia, 		entonces los      se escriben como 1    , al agregar esta 			cantidad a 3 enteros, serían 4    .

3	La respuesta es 4; ya que al sumar las cantidades enteras, 		serían 3 y la suma de fracciones es     que equivale a 1 			entero. Se lo agregamos a los 3 que ya teníamos y en total 		son 4.

7
7

Practica
1 a) 3    ; b) 6    ; c) 4    ; d) 3    ;  e) 4    ;  f) 8    ;
g) 3    ; h) 5    ; i) 6    ;  j) 6    ;  k) 6;  l) 3.

5
6

2
9

5
7

4
5

1
7

7
8

Página 61
4	Al amplificar  por 2, se obtiene ; una fracción 			equivalente, de igual denominador que . Al sumar estas 		dos fracciones se obtiene .
2
6
5 a)	En total hay 3  kg. Primero sumó las cantidades enteras, luego igualó los denominadores, expresando los medios y los tercios en sextos; sumó y obtuvo una fracción impropia, la expresó en número mixto, se agruparon los enteros y se le agregó la fracción.
1
6
b)     +     =     +     =     = 3

3
2

5
3

9
6

10
6

19
6

Practica
1 a) 1    ; b) 3    ; c) 1    ; d) 3    ;  e) 1    ;  f) 4    .

3
40

5
12

Página 62
1	Son     L más de jugo de naranja que de frutilla.
2	Se restaron primero las cantidades enteras y luego las 			fraccionarias. El resultado es 2    .

3
8

Practica
1 a)     ; b) 2    ; c)     ; d) 3    ;  e)     ;  f) 7    .

4
7

Página 63
1	El procedimiento consiste en desagrupar 1 entero en 			quintos, para agregarla a la fracción del primer número 			mixto y así poder restar.
2	3 - 1     = 2     - 1     = 1    . Desagrupando un entero en 		cuartos.

4
4

Practica
1 a)     ; b) 1    ; c)     ; d)     ;  e) 5    ;  f) 6    ;
g)     ; h) 2    ; i) 1    .

5
9

4
8

Página 64
5 a)	    . Primero se calcula el mínimo común múltiplo 			entre los denominadores, luego se amplifica 				cada fracción para obtener el denominador 				común, luego restamos los numeradores 				y obtenemos el resultado, conservando el denominador.
b) Primero igualar los denominadores de las fracciones, así 		el 	 , se expresa como    , luego restar los enteros entre 		sí y las fracciones entre sí. El resultado es 1    .
6 a) 2     - 1     .
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Representar los números mixtos como fracciones 			impropias y restarlas: 2     - 1     =      -       =     .
• 	Buscar denominadores iguales y desagrupar enteros para 		poder hacer la resta de las fracciones de los números 			mixtos: 2     - 1     = 2     - 1     = 1     - 1     =     .

17
30

3
6

5
2

11
6

4
6

Página 65
6 c)	Idea de Matías: Cada número mixto lo expresa como 			fracción impropia, iguala los denominadores y calcula la 		fracción irreductible.
Idea de Juan: Iguala los denominadores de las fracciones, 		luego desagrupa un entero para poder restar y calcula la 		resta.

Practica
1 a) 3  ;   b) 2 ;   c) 5 ;   d) 1;    e) 3 ;    f) .
41
56
7
12
4
15

Página 66
Ejercicios
1 a) 1  y 1,75;  b) 3   y 3,5;  c) 1  y 1,8;
d) 1 y 1,5;  e) 3  y 3,2.
2 a)    y 4 ;  b)   y 1 ;  c)      y 2    ;
9
2
d)   y 1;  e)   y 2 .
37
20
17
20
11
5
3	Como número mixto es 4  kg, como fracción impropia es 		    kg y como número decimal es 4,5 kg.
4	1    kg;   1,250 kg;      kg;   1 kg y 250 g.
5 a) 7 ;  b) 2 ;  c) 5 ;  d) 1 ;   e) 3 ;   f) ;
10
21
1
12
4
9
7
9
g) 2;  h) 4;  i) 3;   j)  ;   k) 7 ;   l) 1.
11
35

13
5

6 a)	3     km.
b) Por la tarde corre  km más que por la mañana.
7
20

3
20

Página 61
Problemas
1	15 paquetes de  kg.
2 a)	La cinta roja.
b) La cinta amarilla.
c) Tienen  m de diferencia la cinta amarilla y la verde.
d) 4  m.
3 a) 1 ;   b) ;   c) 3 ;   d) 3 ;    e) 2 ;    f) 4  ;
5
18
g) 6;   h) 2;   i) 1 ;    j) 3  ;    k) 2  ;    l) 1 .
6
7
4 a)	Bebieron en total 2  L.
b) Bebieron 1 L más de leche ayer que hoy.

Repaso 1
Página 68
1	1 grupo de 42 integrantes;
2 grupos de 21 integrantes;
3 grupos de 14 integrantes;
6 grupos de 7 integrantes;
7 grupos de 6 integrantes;
14 grupos de 3 integrantes;
21 grupos de 2 integrantes;
42 grupos de 1 integrante.
2 a)	2,5 mm más.
b) 49,5 mm.
3	Para 19 personas.
4 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	 ABC = 45º
• 	 ABC = 60º
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	 PQR = 100º
• 	 PQR = 110º
5	El valor cancelado por entradas para 2 adultos y 4 niños, 		estudiantes o adultos mayores.
6 a) 16;     b) 21;     c) 24

Página 69
7 a) 8;     b) 1;     c) 6
8 a) 9,95;     b) 1,02
9 a) 3 pizzas;  b) Queda     de pizza.
10 a) 80º;     b) 35º.
11 a) ( 3 · 12 ) : 9
b) Cada uno recibe 4 naranjas.
12 a) 37;     b) 43;     c) 68

Capítulo 6: Multiplicación y división de números decimales 1
Página 70
1 a) Cada botella podría tener 1 L, 2 L, 3 L, etc. La cantidad 		total de jugo se puede obtener multiplicando la cantidad 		de botellas por la cantidad de litros que tiene cada una.
b) 3 · 1,2 L.
c) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Sumar 1,2 + 1,2 + 1,2.
• 	Descomponer el 1,2 en 1 + 0,2 y sumar 3 veces cada 			término.

Página 71
1 d) 4,5 L.

Página 72
2 a) 4 · 2,3
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Considerando que 4 · 2 = 8, entonces la solución será 		mayor que 8.
• 	Considerando que 4 · 3 = 12, entonces la solución sería 		menor que 12.
c) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Puede ser cualquiera de las ideas de los personajes, 			descritas en la página 71.
• 	Podrían sumar reiteradamente 2,3 + 2,3 + 2,3 + 2,3.
d) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Escribir la multiplicación como 2,3 · 4 y usar el algoritmo 		como si fueran dos números naturales. Luego, colocar la 		coma en el lugar que corresponda del resultado.
• 	Calcular 23  · 4 usando el algoritmo y luego ubicar la 		coma en el resultado.

Página 73
3 a) 2,6 · 3.
b)

7,8

Practica
1 a) 9,6;  b) 9,6;  c) 19,2;  d) 9,9;  e) 25,8;  f) 5,6;
g) 3,6;  h) 4,2;  i) 10,8;   j) 4,2;  k) 3,2;  l) 29.

Página 74
4 a) 3 · 2,35.
b) El algoritmo es el mismo.
c) 7,05.

Practica
1 a) 3,74;  b) 0,84;  c) 3,15;  d) 0,4;  e) 0,92;  f) 0,9;
g) 0,96;  h) 0,2.
2	5 kg.

Página 75
1 a) Se podrían repartir 1 L, 2 L, 3 L, etc.
b) 5,4 : 3.
c) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Podrían usar el algoritmo de la división como si se 			tratara de números naturales y luego ubicar la coma en 		el lugar que corresponda.
• 	Podrían descomponer 5,4 en 1,8 + 1,8 + 1,8 = 5,4.

Página 76
1 d) 1,7 L.

Página 77
2 a) 5,7 : 3.
b) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Considerando que hay menos de 6 m y 6 : 3 = 2, por lo 		que se espera que la solución sea un número menor que 2.
• 	Considerando que hay más de 3 m y 3 : 3 = 1, por lo 		que se espera que la solución sea un número mayor que 1.
c) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Usando cualquiera de las estrategias presentadas por los 		personajes en la página 76.
• 	Usando el algoritmo de la división, adaptada para el 			caso de la división de un decimal y un número natural.
d) Comienza a dividir desde la posición mayor del 			dividendo determinando cuántas veces está contenido el 		divisor en el dividendo. Es importante hacer referencia 		al nombre de las posiciones al calcular, porque esto 			se puede utilizar para explicar que con los
números decimales el funcionamiento es el 				mismo, pero con otras posiciones.

Página 78
3 a) 25,6 : 8
b)

25,6  :  8 =    ,

25,6  :  8 = 3 ,

25,6  : 8 = 3,2

–24

–16

Practica
1 a) 1,5;  b) 17,3;  c) 1,6;  d) 7,7;  e) 3,4;  f) 11,7.

Página 79
4	0,5 m.
5	1º Se ubica la coma del cociente en el mismo lugar que en 		el dividendo.
2º Se escribe 0 en las unidades del cociente porque 1 es 			menor que 7.
3º Dado que 1,61 es 161 centésimos, podemos calcular usando    el mismo método que usamos para los números naturales.

Practica
1 a) 0,7;  b) 0,54;  c) 0,8;  d) 0,49;  e) 0,6;  f) 0,99.

Página 80
6	1,46 m.
7

6,00 : 8 = 0,75

-56

-40

Practica
1 a) 2,35;  b) 1,72;  c) 1,4;  d) 0,625.

Página 81
1 a) 13,5 : 2
b) 1,5 m. “15” en el algoritmo representa 15 décimos. 		       13,5 = 2 ·6 + 1,5.

Practica
1	Tendremos 15 trozos.

Página 82
2 a)	2,3 : 6
b) Se seguirán agregando 3 al cociente y 2 al resto.
3	4,5 L.
4	0,85 g.

Página 83
Ejercicios
1 a) 37,1;  b) 26,08;  c) 1,3;  d) 7,1;  e) 450,8;  f) 2,08;
g) 1,8;  h) 10,8;  i) 5146,5;  j) 2,3;  k) 0,9;  l) 5,12.
2	El largo de la jardinera es de 5,7 m.
3	Un litro de arroz con leche pesa 1,125 kg.
4	En total hay 7 kg.
5	Andrés compró 8,4 L.

Página 84
Problemas
1 a) 13,5.
b) 0,72.
c) Es el resto de la división y se lee 13 décimos.
2 a) 7,2;  b) 1,8;  c) 33,6;  d) 7,1;  e) 0,6;  f) 0,63.
3	Cada trozo tiene 1,8 m.
4	El área de la libreta es 133,2 cm2.
5	Cada trozo mide 7,3 m. Si se cortan en trozos de 5 m 			quedan 1,5 m.

1,8

9 metros

Capítulo 7: Razones
Página 86
1 a) Compara  con : Hay más aglomeración en . Cuando 		hay igual cantidad de colchonetas, la situación en la que hay
mayor cantidad de niños, hay más aglomeración.
Hay más aglomeración en .
Compara  y : Cuando hay igual cantidad de 			niños, la situación en la que hay menor cantidad de 		colchonetas, hay más aglomeración.
b)

Página 87
1 c) 	En , 6 niños por m2.
En , 4 niños por m2.
En , 5 niños por m2.

Practica
1	En la caja de 10 m2.
2	En el tren de 10 vagones.

Página 88
1 a) El terreno de 6 m2.
b) En el pack de 8.

Página 89
1 a) José tiene un mejor desempeño que Lorena, ya que tiene 		igual número de canastas en menos tiros.
b) Camilo tiene un mejor desempeño que Lorena, ya que 		con el mismo número de tiros tiene más canastas.
c) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Comparar las fracciones de canastas sobre el total de tiros.
• 	Igualar la cantidad de tiros y comparar sus aciertos.

Página 90
1 d) La idea de Juan: Representa con barras las fracciones 		que expresan la relación entre la cantidad de canastas 		y tiros. Utiliza una misma barra para representar el 			entero y observa que la fracción     es mayor que     , 		por tanto, José tiene un mejor desempeño que Camilo.
La idea de Sofía:  Expresa las fracciones como decimales.
José:      = 5 : 8 = 0,625
Camila:      = 6 : 10 = 0,6
Comparando los decimales, se reconoce que José tiene un 		mejor desempeño que Camilo.
La idea de Sami: Expresa las fracciones en otras 			equivalentes con igual denominador:
José.      =
Camila.       =
Así, José tiene un mejor desempeño que Camilo.
1 e) El desempeño de Lorena es:  o 0,5.
5
10

Página 91
2	Si Nicole realiza 5 tiros, puede acertar 0, 1, 2, 3, 4 o 5 			tiros. Así, su desempeño puede ser: como mínimo 0 : 5 = 0 		y como máximo 5 : 5 = 1.
3 a)	0,9.
b) 442 : 520 = 0,85

Página 92
Practica
1 a) La razón de respuestas correctas es 6 : 10 = 0,6.
b) La razón de juegos ganados es 6 : 6 = 1.
c) La razón de sorteos ganados es 0 : 7 = 0.
2	15 : 75 = 0,2

Página 93
4	0,8
5	1,25

Practica
1	0,4
2	2,5

Página 94
1 a) Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	La cantidad de cucharaditas de aceite es el doble que las 		de vinagre.
• 	Por cada cucharadita de vinagre se necesitan 2 de aceite.

Página 96
3 a) 3 : 6
b) 42 : 36

Practica
1	En ml es  80 : 40; en tazas es  4 : 2.
2	En ml 10 : 15; en tazas es 2 : 3.

Página 97
Ejercicios
1	En la primera oferta.
2	Se cosecharon 2,4 kilos de naranja por m2.
3 a)	La razón de las respuestas correctas es 0,7.
b) La razón de los juegos ganados es 1.
4 a)	12 : 15 = 0,8
b) 15 : 12 = 1,24
5 a)	En ml es 100 : 50; en partes es 2 : 1.
b) En cm es 8 : 16.

Página 98
Problemas
1	La primera máquina bombea más agua por minuto.
2 a)	$1 200 vale un metro de esa cinta.
b) $6 000 valen 5 metros de esa cinta.
c) Compré 12 metros.
3 a)	Puede imprimir 70 hojas por minuto.
b) Puede imprimir 560 hojas en 8 minutos.
c) Necesita 30 minutos.
4	Hay 28 bolas rojas.

Capítulo 8: Ángulos en triángulos y cuadriláteros.
Página 99
1 Respuestas Variadas. Ejemplos:

2 Respuestas Variadas. Ejemplos:
• 	Clasificar según la cantidad de lados de la misma medida.
• 	Clasificar según sus ángulos: solo agudos, 1 ángulo 			obtuso, 1 ángulo recto.
3	Tienen dos lados de igual medida y también son simétricos.

Página 100
4	Tienen los 3 lados de igual medida.
5 a)
b) Porque los dos segmentos rojos son demasiado cortos          para intersectarse.
6 a)	Ángulos ordenados de mayor a menor medida:
ACB ;  BAC ;  CBA. Se puede reconocer    			comparando la “abertura” del ángulo o comparando la 		longitud de los lados opuestos.
b) Al tomar las medidas con un transportador se 			comprueba el orden.  ACB = 115º;  BAC = 43º y 		 CBA = 22º.

Página 101
7
Se pueden dibujar tantos triángulos congruentes como 			medidas diferentes tomemos.
8 a)	                                   b)

30º

5 cm

6 cm

Página 102
9	Cuando el  ABC crece, el lado AC también crece. 			Cuando  ABC mide 100º, el triángulo es alargado. No 		es posible construir el triángulo ABC con  ABC = 120º.
10 Se agruparon según sus ángulos.

Página 103
1	En ambas escuadras la suma será la misma. Se 			concluye que ambas escuadras tienen la forma de 			un triángulo rectángulo, por tanto la suma de sus ángulos 		agudos es de 90º.

2 a)	El      CBA va creciendo.
b) El      BAC va disminuyendo.
c) A medida que aumenta uno, disminuye el otro. La suma 		de sus medidas es siempre igual a 90º.
d)
3	En un triángulo rectángulo la suma de sus tres ángulos es 180º.
4 a)	CBA = 45º;  ACB = 55º;  BAC = 80º.
b) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo 		es igual a 180º.

CBA | BAC | CBA +      BAC
30º | 60º | 90º
40º | 50º | 90º
50º | 40º | 90º

Página 104
5	En todos los casos los ángulos suman 180º.

Página 105
1 a) 60º;  b) 45º;  c) 60º;  d) 45º;  e) 70º y 40º
2 a)	125º;
b) 125º;
c) El ángulo exterior en el vértice C es igual a la suma de 		los ángulos interiores en los vértices A y B.

Practica
1 a) 60º;   b) 50º;  c) 130º.

Página 106
1
2 a)	En los paralelogramos los ángulos opuestos tienen la 			misma medida.
b) Los ángulos consecutivos (los ángulos que tienen un lado 		común) suman 180º.
c) La suma de los 4 ángulos es igual a 360º.

Página 107
3	La suma de los 4 ángulos es 360º.

Página 109
4	140º;   80º;   165º.
5	La medida del ángulo ADC es 60º.

Practica
1	108º
2	60º

Página 110
1	     LAB;      FDG;      ADC;     DCH;      BCI;      CBA y 		     KBJ. (Todos los ángulos obtusos).
2	α, β, ε, ϕ miden 130º; γ, δ, ω, σ miden 50º.

Página 111
3
Las líneas M y R son paralelas.
4	En la primera figura las rectas L y M no son paralelas, ya 		que 76º y 114º no son suplementarios. En la segunda figura 		L y M son paralelas ya que 95º y 85º son suplementarios.

Practica
1	35º
2	      FEG mide 64º y       HGI mide 21º.

Página 112
1
2	Para teselar, las figuras se pueden mover mediante 			traslaciones, reflexiones o rotaciones.

Página 113
3	Trasladando la figura, hacia, arriba, abajo, derecha e 			izquierda.
4	En la primera figura trasladó y reflejó y en la segunda 			figura reflejó y rotó.

Página 114
Ejercicios
1 a) 70º;  b) 25º;  c) 110º;  d) 80º;  e) 65º;  f) 130º;
g) 80º;  h) 125º.

Página 115
Problemas
1	Con la primera figura se puede teselar:

Con la segunda figura no es posible teselar porque al juntar 		los ángulos de pentágonos en un vértice no suman 360º.
2	El      CAD mide 35º.
3	El      HFJ mide 70º.

Capítulo 9: Porcentajes.
Página 116
1 a) 40 : 50 = 0,8, está bastante aglomerado.
b) 40 : 50 = 80 : 100.
c) 80 %.

Página 117
1 a) Autos: 45 %; Camiones: 25 %; Motocicletas: 15 %;
Buses: 5 %; Otros: 10 %.
b) 100 %

Practica
1 a) 75 %;  b) 80 %;  c) 31,6 %;  d) 0,16  e) 0,02.
3 a) 90 %;  b) 120 %.

Página 118
Practica
1 a) A las  8 a.m. es de un 130 %;  a las  10 a.m. es de un 		36 %; en la tarde es de un 52 %.
b) La mayor aglomeración fue a las 8 a.m.
4 a) 25 %
b) El de Paula es de un 40 % y el de Kevin es de un 100 %.
c) El más efectivo fue Kevin.

Página 119
1	En el colegio Araucaria “hay mayor interés” que en el 			colegio Bucalemu. El 50 % de los alumnos del colegio 			Araucaria están inscritos, mientras que en el colegio 			Bucalemu el porcentaje de inscritos es del 25 %.

Página 120
2	10 % de una cantidad corresponde a  de ella.
1
10
3 a)
El 20 % de 1 200 corresponden a  de 1 200, esto es, 240 	estudiantes del colegio Cau Cau se inscribieron en el evento 	de atletismo.

20 %

de 1 200

1 200 estudiantes

b)
El 75 % de 4 000 corresponde a  de 4 000, esto 			es, 3 000 estudiantes del colegio Alerce se inscribieron en el 		evento de atletismo.

75 %

de 4 000

4 000 estudiantes

Practica
1	8 alumnos usan lentes.
2	Hay 300 pinos en el bosque.

Página 121
Ejercicios
1 a) 80;  b) 10;  c) 300;  d) 3;  e) 90;  f) 740.
2 a) El 80 % de las mujeres afirman que les gusta el fútbol.
b) El 10 % del estacionamiento está ocupado.
c) El 25 % de los estudiantes de un colegio son niñas.
3 a) Ha avanzado 192 páginas.
b) Huevos quebrados: 12
Huevos no quebrados: 288.
4 a) 75 %;  b) 60 %;  c) 50 %.

Página 122
1	En la librería A es más barato.
2	Quedan 96 láminas.
3	Se pagaría menos por el pantalón café.
4	Lo que dice la niña es incorrecto, ya que el 50 % de 3 400 		es 1 700 y el 170 está lejos de ese valor.
5	Un 5 % aproximadamente.
6	Tiene una capacidad para 900 personas.

Repaso 2
Página 123
1 a)	$600 el metro.
b) $4 200 los 7 metros.
2 a) 68 gramos;  b) 102 gramos.
3 a) 2;  b) 13,6;  c) 1,7;  d)  440;  e)  4.
4 a) 100º;  b) 70º;  c) 115º.
5	1 000 árboles fueron destruidos.
6 a) 100;  b) 10;  c) 50.

Ángulos

Ángulo recto

Ángulo cóncavo

Ángulo agudo

Ángulo obtuso

Ángulo completo

Desplazamiento del patrón numérico

1
100

1
1 000

,

• 10

División con
números decimales

Divisores

Multiplicación
de números
decimales

5,4      :      3   =     1,8

54       :      3   =     18

Divisores de 12
1, 2, 3, 4, 6, 12

Divisores de 18
1, 2, 3, 6, 9, 18

Máximo común divisor

3      •      12        =        36

Glosario

Múltiplos

Representación de  números en la recta

Mínimo común múltiplo

Múltiplos de 3     3  6  9  12  15  18  21  24  27  30  33  36  …
Múltiplos de 4     4  8  12  16  20  24  28  32  36  40  …

Suma de ángulos
internos de  un triángulo

Suma de ángulos
internos de
un cuadrilátero

Suma de
fracciones y
números mixtos

+

(agrupa)

Índice Temático

Ángulo agudo
Ángulo completo
Ángulo cóncavo
Ángulo obtuso
Ángulo recto
Ángulos adyacentes
Ángulos complementarios
Ángulos consecutivos
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos suplementarios
Divisores
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
Múltiplos
Número primo
Números compuestos
Números impares
Números pares
Operaciones combinadas
Paralelogramo
Porcentaje
Razón
Teselar

40
46
47
40
40
51
44
106
51
45
24
25
20
18
28
28
28
28
13
107
116
92 - 96
112

Bibliografía

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Webgrafía

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www.smconecta.cl/refip/