Sumo Primero

Guía Didáctica del Docente

TOMO 2

6°
básico

En esta Guía Didáctica del Docente, encontrarán orientaciones de uso para los recursos del Plan Sumo Primero. Los planes de clases detallan la implementación articulada del Texto del Estudiante con los demás recursos, Cuaderno de Actividades; Tickets de salida; Evaluaciones y Material recortable.

Autor
Masami Isoda, Universidad de Tsukuba, Japón.
Editorial Gakko Tosho Co, LTD.
Traducción y Adaptación
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación.
Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMMedu)
Universidad de Chile.
Proyecto Basal AFB170001.

Guía Didáctica del Docente Tomo 2
ISBN 978-956-292-842-7
Primera Edición
Diciembre 2020
Impreso en Chile
5 792 ejemplares
En este texto se utilizan de manera inclusiva los términos como  “los estudiantes”, “los niños”, “los padres”, “los hijos”, “los apoderados”,  “los profesores” y otros que refieren a hombres y mujeres.

¡Bienvenidos!

Presentación del Texto del Estudiante	5
Fundamentación didáctica	7
Niños y símbolos	8
Objetivos de Aprendizaje	9
Planificaciones	11
Planificación Anual	12
Planificación Semestral	13
Planificación Detallada	14
Planes de clases	17
Capítulo 11: Lenguaje algebraico y ecuaciones	18
Capítulo 12: Multiplicación y división de números decimales 2	33
Capítulo 13: Área de cubos y paralelepípedos	52
Capítulo 14: Datos	62
Repaso 3	73
Capítulo 15: Volumen de cubos y paralelepípedos	74
Capítulo 16: Experimentos aleatorios	91
Capítulo 17: Aventura Matemática	103
Repaso 4	106
Capítulo 18: Sistemas de unidades de medición	107

Índice

Cuaderno de Actividades y sus respuestas	116
Anexos	144
Anexo 1: Evaluaciones	145
Evaluación 4	146
Tabla de especificaciones Evaluación 4	149
Rúbrica Evaluación 4	150
Evaluación 5	151
Tabla de especificaciones Evaluación 5	154
Rúbrica Evaluación 5	155
Evaluación 6	156
Tabla de especificaciones Evaluación 6	159
Rúbrica Evaluación 6	160
Evaluación adicional	161
Tabla de especificaciones Evaluación adicional	164
Rúbrica Evaluación adicional	165
Anexo 2: Tickets de salida y sus respuestas	166
Anexo 3: Material didáctico recortable	191
Anexo 4: Índice temático del Texto del Estudiante	198
Bibliografía y webgrafía	199

Esta Guía Didáctica del Docente es reutilizable, por lo que te recordamos no rayarla.

Matemática    Tomo 2

Presentación del Texto del Estudiante
Características y propósitos
El Texto del Estudiante Sumo Primero de sexto básico busca contribuir a la formación matemática de los estudiantes a través de secuencias didácticas bien articuladas y orientadas al enfoque de enseñanza basado en resolución de problemas.
El texto tiene como propósitos:
1. Promover el desarrollo de habilidades superiores.
2. Desarrollar el pensamiento matemático.
3. Promover la comprensión de conceptos y procedimientos fundamentales de la matemática escolar.
Los Textos del Plan Sumo Primero corresponden a una traducción y adaptación de textos japoneses de la editorial Gakko Tosho Co, cuya propuesta fue adaptada y complementada para alinearse al currículum nacional en la asignatura de Matemática.
Estructura del Texto
El Texto del Estudiante está compuesto de dos tomos, uno para cada semestre del año escolar. Cada tomo contiene capítulos organizados en dos unidades, y cada capítulo está compuesto por uno o más temas.
El texto dispone de diferentes secciones para ayudar al docente en la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Al finalizar los capítulos se presentan ejercicios para afianzar el dominio de los temas estudiados.

Al finalizar los capítulos se presentan problemas que permiten poner en juego los conocimientos y habilidades adquiridos.

Actividades que permiten repasar y evaluar el dominio de conceptos y procedimientos aprendidos.

Problemas no rutinarios en contextos relevantes que permiten aplicar conocimientos aprendidos.

Presentación del Texto del Estudiante

Uso del Texto
En cada capítulo se plantean situaciones desafiantes mediante preguntas o imágenes, las que permiten a los estudiantes elaborar estrategias y proponer soluciones que luego serán compartidas por toda la clase. El docente promueve un debate acerca de las estrategias utilizadas, en las que se pone de manifiesto el pensamiento matemático de los alumnos. Finalmente, se recurre al Texto del Estudiante para comparar, verificar y sistematizar las ideas propuestas por los niños.  Este proceso se puede resumir en los siguientes momentos:
• Situación o problema desafiante.
• Trabajo en grupo para la búsqueda de soluciones.
• Presentación de las respuestas, discusión en torno a las estrategias utilizadas.
• Comparación con lo que propone el texto, debate y verificación para sistematizar.
• Uso del texto para realizar actividades de ejercitación y afianzar la comprensión matemática alcanzada en el debate.
Una característica importante del Texto del Estudiante Sumo Primero es que está diseñado para ser reutilizado varias veces. En algunas actividades del texto, se invita a los estudiantes a dirigirse a una página del Cuaderno de Actividades para responder. Es importante que el docente enfatice y reitere que el Texto del Estudiante no se debe rayar, para que pueda ser utilizado por otro estudiante el siguiente año.
Recursos asociados
Además del Texto del Estudiante, cada alumno dispone de un Cuaderno de Actividades que le permite ejercitar lo aprendido en distintos momentos del estudio de un capítulo. También dispone de un talonario con Tickets de Salida, que son preguntas breves para responder al finalizar cada clase. Estas respuestas constituyen evidencias de los aprendizajes logrados y pueden ayudar a los docentes a tomar decisiones sobre el proceso de enseñanza.
El docente cuenta con la Guía Didáctica que incluye planes detallados de clase y otros recursos para apoyar su gestión. Para el uso efectivo de las actividades propuestas en el texto se aconseja revisar detalladamente la gestión propuesta en esta guía. Finalmente, el docente cuenta con un Cuadernillo de Evaluaciones, que permite evaluar aprendizajes al inicio, durante y al final de cada semestre.

La Guía Didáctica del Docente, el Texto del Estudiante, el Cuaderno de Actividades y el Talonario de Tickets de Salida están organizados en dos tomos: el tomo 1 asociado al primer semestre y el tomo 2, al segundo semestre. Aunque los recursos se planificaron para distribuir los temas de forma semestral, es indispensable terminar la revisión de un tomo para comenzar el siguiente. Por lo tanto, si al terminar un semestre, usted aún no ha podido terminar el tomo 1, le recomendamos terminar su revisión, antes de continuar con el siguiente tomo.

Yo soy el monito del monte, acompaño a los estudiantes en su esfuerzo por elaborar estrategias y destaco las ideas matemáticas importantes.

Fundamentación Didáctica

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) ha sido elaborada a partir del modelo de gestión de clases basado en el enfoque de resolución de problemas. Su propósito es brindar orientaciones al docente respecto del uso del Texto del Estudiante (TE) y Cuaderno de Actividades (CA) Sumo Primero de sexto básico, específicamente en aspectos relativos a la organización de la enseñanza, gestión de aula, uso de los tiempos, selección de objetivos de aprendizaje (OA), consideraciones didácticas-matemáticas, uso de materiales y evaluación.
La organización de los capítulos y sus respectivas clases fueron construidas considerando procesos de estudio articulados y secuenciados, por esto, se recomienda estudiar los capítulos en el orden propuesto.
Cada capítulo del TE posee una descripción para la gestión docente en la GDD, que incluye una visión general, los OA asociados, el tiempo de dedicación en horas pedagógicas, los aprendizajes previos requeridos y las actitudes que se promoverán con mayor énfasis a lo largo del proceso.
Además, para cada página del TE hay una gestión sugerida en la GDD, que incluye los recursos que se deberán usar, el tiempo aproximado, el propósito específico de las actividades propuestas y las habilidades que se abordarán con mayor predominancia. La GDD presenta orientaciones y sugerencias para que el docente gestione las actividades flexiblemente, adaptándolas a sus necesidades, pero resguardando las condiciones didácticas y la secuencia planteada.
La enseñanza con enfoque en la resolución de problemas implica considerar situaciones abiertas que resulten nuevas y desafiantes, pero accesibles para los estudiantes, de tal manera que las estrategias de resolución sean construidas por ellos mismos.
Este enfoque requiere que los docentes conozcan y comprendan el estado actual del pensamiento matemático de sus estudiantes, para así ayudarlos a avanzar a un siguiente nivel de desempeño. Para eso, en la gestión de clases de la GDD se sugieren una serie de preguntas que ayuden a los profesores a indagar y utilizar pensamiento de los estudiantes para generar nuevos aprendizajes.
Para que el aprendizaje a través de esta propuesta sea efectivo, es importante que el docente promueva discusiones en la que sus estudiantes realicen preguntas, hagan observaciones, propongan explicaciones, argumenten sus ideas, construyan ejemplos y contraejemplos, entre otras acciones. De este modo, los estudiantes podrán reconstruir, conectar y dar sentido a los conocimientos que van adquiriendo. La gestión de clases de la GDD presenta orientaciones para generar y conducir este tipo de discusiones.
En general, una clase basada en la resolución de problemas sigue la siguiente estructura:
1.	Presentación. Presentación y comprensión individual del problema. Puede generar una breve discusión con los compañeros para aclarar algunos puntos, pero es importante que cada estudiante intente comprender por sí mismo en qué consiste el problema y proponer sus ideas.
2.	Exploración. Los estudiantes abordan el problema y elaboran una solución personal o colectiva. La labor docente en ese momento consiste en monitorear el trabajo de los estudiantes, haciendo preguntas inductivas y/o comentarios aclarativos, y brindando orientaciones más específicas a los estudiantes que presenten dificultades en el proceso. El docente también anima a aquellos estudiantes que terminan más rápidamente a encontrar explicaciones o soluciones alternativas.
3.	Exposición. El docente selecciona estudiantes que han resuelto el problema de maneras diferentes, y los motiva a explicar su solución al resto de la clase. Tras escuchar las explicaciones, los estudiantes comparten sus opiniones acerca de las ventajas y desventajas de una estrategia en relación con otra, comparan las maneras de abordar el problema e identifican similitudes y diferencias.
4.	Conclusión. El profesor, a partir de las propias ideas de los estudiantes, presenta un resumen con los puntos clave surgidos en la actividad, consolidando las ideas más importantes y formalizando lo aprendido. En este tiempo también pueden realizarse actividades de extensión o conexión, mostrando cómo se puede aplicar la estrategia óptima en la resolución de problemas similares.
Le recomendamos seguir esta estructura de clase especialmente en aquellas en las que se desea enfatizar el enfoque de enseñanza basada en la resolución de problemas, como las que suelen presentarse al inicio de cada capítulo o tema en el TE.

Amigos que aprenden juntos

Sofía

Matías

Ema

Juan

Sami

Gaspar

Simbología

Puntos importantes

Cuaderno de Actividades

Practica

Ejercita

Focaliza tus ideas

Ticket de Salida

Exploremos:

Explora tu entorno

Manos a la obra

Profundiza

Completa en tu  Cuaderno de Actividades

Objetivos de Aprendizaje Matemática 6º básico
Los estudiantes serán capaces de:

Números y operaciones
1. Demostrar que comprenden los factores y los múltiplos:
• determinando los múltiplos y los factores de números naturales menores de 100
• identificando números primos y compuestos
• resolviendo problemas que involucran múltiplos
1. Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones en el contexto de la resolución de problemas, utilizando la calculadora en ámbitos superiores a 10 000.
2. Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando software educativo.
3. Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo.
4. Demostrar que comprenden las fracciones y los números mixtos:
• identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, usando material concreto y representaciones pictóricas de manera manual y/o con software educativo
• representando estos números en la recta numérica
1. Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dígitos.
2. Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.
3. Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
Patrones y álgebra
1. Demostrar que comprenden la relación entre los valor de una tabla y aplicarla en la resolución de problemas sencillos:
• identificando patrones entre los valores de la tabla
• formulando una regla con lenguaje matemático
1. Representar generalizaciones de relaciones entre números naturales, usando expresiones con letras y ecuaciones.
2. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando estrategias como:
• usar una balanza
• usar la descomposición y la correspondencia 1 a 1 entre los términos en cada lado de la ecuación y aplicando procedimientos formales de resolución
Geometría
1. Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y/o sus ángulos con instrumentos geométricos o software geométrico.
2. Demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos, calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas.
3. Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones, reflexiones y rotaciones.
4. Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos con instrumentos geométricos o software geométrico.
5. Identificar los ángulos que se forman entre dos rectas que se cortan (pares de ángulos opuestos por el vértice y pares de ángulos complementarios).
6. Demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y de un cuadrilátero es 360°.
Medición
1. Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm² y m².
2. Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm³, m³ y mm³.
3. Estimar y medir ángulos, usando el transportador y expresando las mediciones en grados.
4. Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal y en triángulos.
Datos y probabilidades
1. Comparar distribuciones de dos grupos, provenientes de muestras aleatorias, usando diagramas de puntos y de tallo y hojas.
2. Conjeturar acerca de la tendencia de resultado obtenidos en repeticiones de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera manual y/o usando software educativo.
3. Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus conclusiones.

Objetivos de Aprendizaje

Planificaciones

Planificación Anual
Primer Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
1 | Números y operaciones | Operatoria combinada | 8
| Números y operaciones | Múltiplos y divisores | 17
| Números y operaciones | Suma y resta de decimales | 6
| Geometría | Ángulos | 10
| Números y operaciones | Fracciones y números mixtos | 12
2 | Números y operaciones | Multiplicación y división de decimales 1 | 13
| Números y operaciones | Razones | 14
| Geometría | Ángulos en triángulos y cuadriláteros | 12
| Números y operaciones | Porcentajes | 9
| Números y operaciones | Aventura Matemática | 2
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
3 | Patrones y álgebra | Lenguaje algebraico y ecuaciones | 19
| Números y operaciones | Multiplicación y división de decimales 2 | 13
| Geometría y Medición | Área de cubos y paralelepípedos | 10
| Datos y probabilidades | Datos | 14
4 | Medición | Volumen de cubos y paralelepípedos | 14
| Datos y probabilidades | Experimentos aleatorios | 12
| Números y operaciones, Geometría, Medición y Datos y probabilidades | Aventura Matemática | 2
| Medición | Sistemas de unidades de medición | 7

Planificación Semestral
Primer Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
1 | Números y operaciones | 2 | Operatoria combinada | 270 | 90
| Números y operaciones | 1 | Múltiplos y divisores | 615 | 150
| Números y operaciones | 8 | Suma y resta de decimales | 215 | 55
| Geometría | 15, 16 y 20 | Ángulos | 370 | 80
| Números y operaciones | 5 y 18 | Fracciones y números mixtos | 420 | 120
2 | Números y operaciones | 7 | Multiplicación y división de decimales 1 | 420 | 165
| Números y operaciones | 3 | Razones | 440 | 190
| Geometría | 12, 14, 17 y 21 | Ángulos en triángulos y cuadriláteros | 365 | 175
| Números y operaciones | 3 | Porcentajes | 310 | 95
| Números y operaciones | 3 y 4 | Aventura Matemática | 90 | -
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
3 | Patrones y álgebra | 9, 10 y 11 | Lenguaje algebraico y ecuaciones | 560 | 295
| Números y operaciones | 7 | Multiplicación y división de decimales 2 | 450 | 135
| Geometría y Medición | 13 y 18 | Área de cubos y paralelepípedos | 360 | 90
| Datos y probabilidades | 22 y 24 | Datos | 420 | 210
4 | Medición | 19 | Volumen de cubos y paralelepípedos | 555 | 75
| Datos y probabilidades | 23 | Experimentos aleatorios | 420 | 120
| Números y operaciones, Geometría, Medición y Datos y probabilidades | 3, 4, 13, 18, 19 y 24 | Aventura Matemática | 90 | -
| Medición | 18 y 19 | Sistemas de unidades de medición | 255 | 60

Planificación Semestral

Planificación Detallada Unidad 3
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
11 | Lenguaje algebraico y ecuaciones | Patrones y álgebra | 8-22 | Expresiones algebraicas | 225 | 10 | • |  | • |  | A | 4
|  |  |  | Patrones | 180 | 9 |  |  | • | • |  | 5-6
|  |  |  | Ecuaciones | 195 | 11 |  |  | • | • |  | 7-8
|  |  |  | Ecuaciones de restas | 105 | 11 |  |  | • | • |  | 9
|  |  |  | Ecuaciones en una balanza | 45 | 11 |  |  | • | • |  | 10
|  |  |  | Ejercicios | 75 | 9, 10 y 11 |  |  | • | • |  | 11-12
|  |  |  | Problemas | 30 | 9, 10 y 11 |  |  | • | • |  | -
12 | Multiplicación y división de decimales 2 | Números y operaciones | 23-41 | Multiplicación entre números decimales y números naturales | 135 | 7 |  | • | • | • | C | 13
|  |  |  | Multiplicación entre números decimales | 135 | 7 |  | • | • |  |  | 14-15
|  |  |  | Propiedades de las operaciones | 90 | 7 |  | • | • |  |  | 16
|  |  |  | División entre números decimales | 90 | 7 |  |  | • | • |  | 17-18
|  |  |  | Resolviendo problemas | 60 | 7 |  |  |  | • |  | 19
|  |  |  | Ejercicios | 30 | 7 |  |  |  | • |  | 20
|  |  |  | Problemas | 45 | 7 |  |  |  | • |  | 21
13 | Área de cubos y paralelepípedos | Geometría y Medición | 42-51 | Redes de paralelepípedos | 180 | 13 y 18 | • | • |  | • | A F | 22-23
|  |  |  | Área de cubos | 90 | 13 y 18 | • | • |  | • |  | 24
|  |  |  | Cálculo del área de cubos y paralelepípedos | 90 | 13 y 18 | • | • |  | • |  | 25-26
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 13 y 18 | • | • |  |  |  | -
|  |  |  | Problemas | 45 | 13 y 18 | • | • |  | • |  | -
14 | Datos | Datos y probabilidades | 52-62 | Diagrama de puntos | 90 | 22 | • | • |  |  | A | 28
|  |  |  | Diagrama de tallo y hojas | 180 | 22 | • | • |  |  |  | 30
|  |  |  | Gráfico de barras dobles | 90 | 24 | • | • |  |  |  | 32
|  |  |  | Gráfico circular | 90 | 24 | • | • |  |  |  | 33
|  |  |  | Ejercicios | 135 | 24 |  | • |  |  |  | 35-37
|  |  |  | Problemas | 45 | 22 | • | • |  |  |  | -

Planificación Detallada Unidad 4
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
15 | Volumen de cubos y paralelepípedos | Medición | 64-80 | Volumen | 135 | 19 | • | • |  | • | A B F | 38
|  |  |  | Cálculo del volumen | 180 | 19 | • | • |  | • |  | 39-40
|  |  |  | Cálculo del volumen componiendo y descomponiendo figuras 3D | 45 | 19 | • | • |  | • |  | 41
|  |  |  | Medición de volumen con metros y milímetros cúbicos | 90 | 19 | • | • |  |  |  | -
|  |  |  | Volumen y capacidad | 90 | 19 | • | • |  |  |  | 42
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 19 | • | • |  |  |  | 43
|  |  |  | Problemas | 45 | 19 | • | • |  | • |  | -
16 | Experimentos aleatorios | Datos y probabilidades | 81-92 | Tendencia de resultados en experimentos aleatorios | 270 | 23 | • | • |  | • | C | 48-49
|  |  |  | Resultados posibles de un experimento aleatorio | 180 | 23 | • | • |  |  |  | 51-52
|  |  |  | Ejercicios | 60 | 23 |  | • |  |  |  | 53
|  |  |  | Problemas | 30 | 23 |  | • |  |  |  | -
17 | Aventura matemática | Números y operaciones, Geometría, Medición y Datos y probabilidades | 93-95 |  | 90 | 3, 4, 13, 18, 19 y 24 |  | • |  | • |  | -
18 | Sistemas de unidades de medición | Medición | 97-105 | Cantidades | 45 | - |  | • |  |  | A C | -
|  |  |  | Unidades de longitud | 45 | - | • | • |  | • |  | 55
|  |  |  | Unidades de área | 45 | 18 | • | • |  | • |  | -
|  |  |  | Unidades de volumen | 45 | 19 | • | • |  | • |  | 56
|  |  |  | Unidades de masa | 45 | - | • | • |  | • |  | -
|  |  |  | Sistema métrico | 45 | - | • | • |  |  |  | 57

Planificación Detallada

Planes de clases

Íconos
Ticket de salida
Cuaderno de Actividades

Capítulo 11

Lenguaje algebraico y ecuaciones

19 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se retoma el estudio de los patrones de 5°, pero esta vez se utiliza el lenguaje algebraico para describir y usar las reglas o fórmulas. Asimismo, se avanza en el estudio de las ecuaciones; esta vez, modelando problemas de dos pasos.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA9: Demostrar que comprenden la relación entre los valores de una tabla y aplicarla en la resolución de problemas sencillos:
identificando patrones entre los valores de la tabla;  formulando una regla con lenguaje matemático.
OA10: Representar generalizaciones de relaciones entre números naturales, usando expresiones con letras y ecuaciones.
OA11: Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando estrategias como:
usar una balanza;  usar la descomposición y la correspondencia 1 a 1 entre los términos en cada lado de la ecuación y aplicando procedimientos formales de resolución.
Aprendizajes previos
Resuelven problemas de adición y sustracción de un paso con ecuaciones.
Resuelven ecuaciones de adición y sustracción de un paso.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado  y metódico.

11

P. 8

TE

Planificación

45 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan la noción de expresión algebraica para representar cantidades y números.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de la feria.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 incentivando que expliquen el diálogo entre los estudiantes y el vendedor. Pregunte: ¿qué hace el vendedor para saber el precio que le deben pagar por 4 manzanas? (Multiplica 4 por 200) ¿Y para saber el precio de 5 manzanas? (Multiplica 5 por 200).
Invite a los estudiantes a construir una tabla para registrar el cálculo y el precio total que se debe pagar por distintas cantidades de manzanas. Pídales que observen en la tabla la columna con los cálculos y pregunte: ¿qué es lo que varía? (El número de la izquierda) ¿Qué representan esos números? (La cantidad de manzanas) ¿Cómo podemos representar el dinero que se debe pagar por una cantidad cualquiera de manzanas? (x ∙ 200).
Finalmente, destaque que:
La letra x representa una cantidad cualquiera de manzanas.
x ∙ 200 es una expresión algebraica que representa el dinero que se pagará por x manzanas.
En vez de construir una tabla, conviene usar una expresión algebraica.

P. 9

Propósito
Que los estudiantes interpreten el significado de expresiones algebraicas en situaciones contextualizadas.
Habilidad
Modelar / Representar.
Recursos
Imagen de las hortalizas y sus precios.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3 incentivando que analicen la información que se presenta. Después, pídales que analicen las expresiones algebraicas del recuadro y pregunte: ¿qué representan las expresiones? Dé un tiempo para que los estudiantes las analicen y escriban en su cuaderno lo que representan. Luego, haga una puesta en común para compartir las respuestas y justificaciones.
En  x + 250 representa el dinero que se debe pagar por una zanahoria y un pimentón.
En  7 ∙ x representa el dinero que se debe pagar por 7 zanahorias.
En  5 ∙ x + 400 representa el dinero que se debe pagar por 5 zanahorias y un pepino.
En  4 ∙ x + 4 ∙ 250 representa el dinero que se debe pagar por 4 zanahorias y 4 pimentones.
En  2 ∙ 400 + x representa el dinero que se debe pagar por 2 pepinos y una zanahoria.
Para profundizar en el significado de las expresiones algebraicas, se sugiere preguntar: ¿en qué casos se ha comprado solo un tipo de hortaliza? En ese caso, ¿qué característica tiene la expresión algebraica asociada? Se espera que reconozcan que 7 ∙ x representa el dinero que se debe pagar por la compra de zanahorias. En el resto de las expresiones algebraicas, se compran dos tipos de hortalizas y se caracterizan, ya que contienen el signo “más”.
Luego, presente la Actividad 4, similar a la anterior, incentivando que los estudiantes analicen las expresiones algebraicas y el significado de la letra x en el contexto de cada situación.
En , x representa una cierta cantidad de plumones por comprar y, por tanto, la expresión algebraica  x ∙ 350 representa el precio total que se debe pagar por x plumones.
En , x representa una cantidad de jugo de cada caja expresada en mL y, por tanto, la expresión algebraica 3 ∙ x + 750 representa la cantidad total de jugo que contienen todas las cajas.
Consideraciones didácticas
Podemos representar una cantidad o un número con la letra x. En la situación de la compra de manzanas de la página anterior, x representa una cierta cantidad de manzanas (4, 6, 2, etc.), en cambio, en la situación de las hortalizas de esta página, x representa un cierto precio de las zanahorias ($180, $100, $200, etc.). Así, en x ∙ 200, que representa el dinero que se debe pagar por una cierta cantidad de manzanas, x representa la cantidad de veces que se debe sumar 200 (x veces 200). En cambio,  200 ∙ x representaría que se está iterando 200 veces una cantidad (200 veces x), situación que no tiene significado en la situación de la compra de manzanas.
Las expresiones algebraicas x ∙ 200 y 200 ∙ x permiten obtener el dinero que se debe pagar por x manzanas, sin embargo, la expresión x ∙ 200 es la que representa (modela) la situación.

Ticket de salida página 9 · Tomo 2

Capítulo 11    Lenguaje algebraico y ecuaciones

P. 10

Propósito
Que los estudiantes usen expresiones algebraicas para comprender y generalizar propiedades de las operaciones.
Habilidad
Representar / Modelar.
Gestión
Presente la Actividad 5 requiriendo a los estudiantes que analicen la información que se presenta. Luego de dar un tiempo, pregunte: ¿cómo se calcula el perímetro del cuadrado que tiene un lado que mide 3 cm? ¿Por qué se multiplica 4 por 3? Si el lado del cuadrado mide x cm, ¿cómo se representa el perímetro? (4 ∙ x). Si un cuadrado tiene un lado de 5 cm, ¿cuánto mide su perímetro? (20 cm).
Gestione la Actividad 6 de la misma forma. Pregunte: ¿cómo podemos calcular el perímetro del rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm? ¿Por qué se puede sumar la medida de los dos lados, y luego el resultado se multiplica por 2? Si el lado del rectángulo mide x cm de ancho e y cm de largo, ¿cómo se representa su perímetro?  (2 ∙ (x + y)). Si un rectángulo mide 5 cm de largo y 3 cm de ancho, ¿cuánto mide su perímetro? (2 ∙ (5 + 3) = 2 ∙ 15 = 30. Es decir, 30 cm).
Al finalizar las dos actividades destaque que:
• 4 ∙ x permite encontrar el perímetro de un cuadrado para cualquier medida de su lado.
• 2 ∙ x + 2 ∙ y = 2 ∙ (x + y ) se llama propiedad distributiva.
Consideraciones didácticas
Al igual que en la situación de las zanahorias, en el caso del perímetro de un cuadrado de lado x, 4 ∙ x es la expresión algebraica que lo representa y no x ∙ 4, aun cuando ambas expresiones dan el mismo resultado.
En el caso del perímetro del rectángulo, se deduce la propiedad distributiva, que en términos generales se puede enunciar como: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c.

P. 11

90 minutos

CA

Propósito
Que los estudiantes usen expresiones algebraicas para comprender y generalizar propiedades de las operaciones.
Habilidad
Representar / Modelar.
Gestión
Presente la Actividad 7 solicitando a los estudiantes que analicen la información que se presenta. Luego de dar un tiempo, pregunte: ¿cómo se calcula el área del rectángulo que tiene un lado que mide 2 m y otro de 3 m? ¿Por qué se multiplica 2 por 3? ¿Se puede multiplicar 3 por 2? ¿Por qué? Si los lados de un rectángulo miden x e y metros, ¿cómo se representa su área? (x ∙ y o y ∙ x).
Presente la Actividad 8 pidiendo a los estudiantes que analicen la información que se presenta. Luego de dar un tiempo, pregunte: ¿cuántos metros recorre de ida al colegio? (200) ¿Qué cálculo se debe hacer? (80 + 120) ¿Cuántos metros recorre de vuelta del colegio hacia su casa? (200) ¿Qué cálculo hacen? (120 + 80) ¿Por qué se obtiene el mismo resultado?
Al finalizar las dos actividades, destaque que:
• x ∙ y = y ∙ x se denomina propiedad conmutativa para la multiplicación.
• x + y = y + x se denomina propiedad conmutativa para la adición.
Consideraciones didácticas
En el caso del área del rectángulo, se deduce la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en términos generales se puede enunciar como x ∙ y = y ∙ x. En este caso, como el área se interpreta como el producto de medidas, da lo mismo el orden en que se escriban los números.
En el caso de las distancias recorridas, se deduce la propiedad conmutativa de la adición, que en términos generales se puede enunciar como: x + y =  y + x.
Para enunciar cada propiedad, el álgebra ayuda a enunciarlas de manera general, es decir, son válidas para cualquier valor de x e y.
Se debe hacer notar que, en todos estos casos, el signo igual denota la equivalencia entre las expresiones algebraicas.

Cuaderno de Actividades página 4 · Tomo 2
Ticket de salida página 11 · Tomo 2

P. 12

Propósito
Que los estudiantes encuentren y utilicen reglas en patrones y las describan con expresiones algebraicas de la forma a ∙ x  y a ∙ x + b.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, en la cual se les solicita que establezcan la relación entre el número de clases y el valor que se debe pagar por ellas en ese gimnasio. Pídales que construyan una tabla monitoreando que en la columna de los cálculos escriban multiplicaciones en que el primer número sea la cantidad de clases y el segundo, el valor que se debe pagar por esa cantidad de clases. Luego, pregunte: ¿qué debemos hacer para saber el valor que se debe pagar por una cierta cantidad de clases? (El número de clases se multiplica por 5 000) ¿Y cómo podemos expresar algebraicamente esa regla? (x ∙ 5 000) Si se toman 30 clases, ¿cuánto habría que pagar? (30 ∙ 5 000 = 150 000, es decir, habría que pagar $150 000).
Presente la Actividad 2 y gestiónela de la misma forma. En este caso, se solicita que establezcan la relación entre el número de clases y el valor que se debe pagar por ellas en otro gimnasio, que, a diferencia del anterior, cobra una cuota de incorporación. Pídales que construyan una tabla monitoreando que en la columna de los cálculos escriban expresiones aritméticas que contengan el número 10 mil, correspondiente a la cuota de incorporación, sumado con el valor que se debe pagar por las clases que se toman.
Luego, pregunte: ¿qué debemos hacer para encontrar el valor que se debe pagar por una cierta cantidad de clases en este gimnasio? (A 10 mil se suma el valor que se debe pagar por una cierta cantidad de clases) ¿Y cómo podemos expresar algebraicamente esa regla? (10 000 + x ∙ 4 000) Si se toman 30 clases, ¿cuánto habría que pagar?
(10 000 + 30 ∙ 4 000, es decir, habría que pagar $130 000).
Continúe, motivando que los niños analicen las expresiones algebraicas encontradas:
Gimnasio 1  x ∙ 5 000
Gimnasio 2  10 000 + x ∙ 4 000
Pregunte: ¿en qué se parecen las expresiones? (En ambas la x se multiplica por un número) ¿En qué se diferencian? (En el gimnasio 2, al valor por las clases se suma un valor fijo; en cambio, en el gimnasio 1 no.) Si se toman solo 10 clases, ¿en qué gimnasio es menor el costo? (Es el mismo costo. En cada gimnasio se pagarían $50 000).
Consideraciones didácticas
Las expresiones algebraicas que modelan los patrones estudiados en el capítulo tienen la forma a ∙ x  y a ∙ x + b. Los problemas o situaciones de patrones que son modelados con estas expresiones facilitan que los estudiantes logren obtenerlas.

Ticket de salida página 12 · Tomo 2

P. 13

135 minutos

Propósito
Que los estudiantes encuentren y utilicen reglas en patrones y las describan con expresiones algebraicas de la forma: a ∙ x y a ∙ x + b.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Comience la clase haciendo preguntas para que recuerden los temas estudiados anteriormente: ¿para qué nos sirvieron las expresiones algebraicas? ¿Cómo son las expresiones algebraicas que descubrimos?
Destaque la utilidad de usar expresiones algebraicas para resolver problemas, por ejemplo, en la situación de las clases en los gimnasios, en vez de recurrir a la construcción de tablas. Una expresión algebraica es una fórmula que nos ayuda a resolver problemas.
Presente a los estudiantes la Actividad 3, en la cual se les solicita que establezcan la relación entre la cantidad de dinero ahorrado y la cantidad de meses. Pídales que construyan una tabla monitoreando que en la columna de los cálculos escriban expresiones aritméticas que contengan al número 10 mil, correspondiente al dinero inicial, sumado con la cantidad de dinero ahorrada al cabo de una cierta cantidad de meses.
Invítelos a escribir una expresión algebraica que permita calcular el dinero ahorrado al cabo de x meses, y luego que la usen para encontrar el dinero ahorrado al cabo de un año. Finalmente, ante la pregunta: ¿es posible que haya ahorrado $157 000?, se espera que los estudiantes respondan que no, ya que cada mes se ahorran 5 mil pesos, por tanto, las cantidades de dinero que quedan en el chanchito deben ser múltiplos de $5 000.
Para terminar, solicite a los estudiantes que resuelvan el problema de patrones de la sección Practica. Considere que en este caso se da la expresión algebraica que modela la situación y lo que se pide es interpretarla y usarla para obtener nueva información.
Finalmente, solicite que desarrollen el Cuaderno  de Actividades.
Consideraciones didácticas
Disponer del lenguaje algebraico facilita la manera como describimos las reglas de formación de los problemas con patrones.
Para encontrar las expresiones algebraicas que modelan situaciones con patrones, es importante identificar la variable. Para ello, se recomienda que los estudiantes construyan tablas y escriban las expresiones aritméticas asociadas.

Cuaderno de Actividades páginas 5 y 6 · Tomo 2
Tickets de salida página 13 · Tomo 2

P. 14

Propósitos
Que los estudiantes modelen y resuelvan problemas usando ecuaciones de la forma a ∙ x + b = c.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma a ∙ x + b = c comunicando y explicando diversas estrategias.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Recursos
Imagen de cajas y botellas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad describiendo el contexto de la situación. Pregunte: ¿es posible saber la cantidad de botellas que hay en total? (No, ya que no se sabe la cantidad que hay en cada caja) ¿Cómo podemos representar la cantidad de botellas que hay en las cajas si x es la cantidad de botellas que hay en cada una? (5 ∙ x) ¿Y cómo representamos entonces el total de botellas? (5 ∙ x + 4).
Luego, pida a los estudiantes que construyan una tabla para encontrar el total de botellas suponiendo cualquier cantidad de botellas en cada caja.
Si se sabe que en total se compraron 124 botellas para los asistentes al evento de atletismo, ¿cuál ecuación permite encontrar la cantidad de botellas que hay en cada caja? ¿Cómo se resuelve la ecuación?
Dé un tiempo para que los estudiantes piensen en cómo encontrar una ecuación. Luego, haga una puesta en común para compartir las respuestas.
En la página siguiente se analizan las estrategias que pueden surgir, tanto para formar la ecuación como para resolverlas.
Consideraciones didácticas
En esta parte del capítulo se inicia el estudio de las ecuaciones que tienen más de un paso, es decir, que involucran más de una operación para obtener la solución. Las ecuaciones que se estudian son del tipo  a ∙ x + b = c. Se debe considerar que b > c. Si no, la ecuación no tendrá solución en el conjunto de los racionales positivos.
Resolver una ecuación consiste en encontrar, de entre todos los posibles valores de x, aquel que satisface la igualdad, es decir, que la hace verdadera. En el contexto del problema, se debe hallar una cantidad tal de botellas en cada caja, de forma que 5 veces esa cantidad más las 4 botellas sueltas resulte 124.
Para despejar x en ecuaciones de este tipo, se tendrá que hacer una resta y luego una división. Para que los estudiantes comprendan el porqué deben hacer estos cálculos, se sugiere apoyarse en el modelo de barras que representa el problema. Una vez que comprendan el porqué de estos cálculos, pueden manipular la ecuación sin necesidad de estar justificando cada paso.
Se espera que los estudiantes reconozcan la utilidad de la ecuación, ya que de otra forma habría que estar completando la tabla e ir verificando que se cumple igualdad. Al resolver la ecuación, se obtiene directamente la solución al problema.

P. 15

Propósitos
Que los estudiantes modelen y resuelvan problemas usando ecuaciones de la forma a ∙ x + b = c.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma  a ∙ x + b = c comunicando y explicando diversas estrategias.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Los procedimientos que pueden surgir para encontrar la ecuación del problema de la página anterior pueden ser:
Uso de modelos de barras (Idea de Gaspar).
Pregunte: ¿por qué todas las barras con x tienen el mismo tamaño? (Porque hay la misma cantidad en cada caja) ¿Podría ser más grande la barra del 4 que las barras con x? (No, como en total hay 124 botellas, seguro que en cada caja hay más de 4 botellas) ¿Por qué se juntan todas las barras? (Porque hay que sumar el total de botellas).
Uso de expresiones aritméticas (Idea de Ema).
Pregunte: ¿qué es lo que varía en cada expresión? (La cantidad de botellas en cada caja) ¿Qué se mantiene fijo en cada expresión? (La cantidad de cajas y las 4 botellas sueltas) ¿Cómo se forma le ecuación? (A 5 veces una cantidad x de botellas, se le suman 4 y debe resultar 124).
Los procedimientos que pueden surgir para resolver la ecuación pueden ser:
Igualar expresiones (Idea de Matías). Pregunte: ¿por qué descompone 124 de esa manera? (Para que las expresiones tengan la misma forma) ¿Por qué tarja los números? (Porque son los elementos de cada expresión que están igualados. Así x debe ser 24 para que las expresiones sean iguales).
Pensar las expresiones (Idea de Sami). Pregunte: ¿por qué tapa 5 ∙ x ? (Busca un número que sumado con 4 dé 124) ¿Por qué tapa x? (Busca un número que al ser multiplicado por 5 dé 120).
Despejar x (Idea de Juan).
Pregunte: ¿en qué consiste la estrategia de Juan? (Despeja la x) ¿Por qué a 124 le resta 4? (Al total de botellas le resta las 4 sueltas y se obtiene 120) ¿Por qué divide 120 por 5? (Porque 120 botellas las debe repartir en forma equitativa entre 5 cajas).
Una vez que los estudiantes han comprendido las estrategias, invítelos a que las comparen y que evalúen cuál les convendría para resolver ecuaciones.
Destaque las principales ideas surgidas:
5 ∙ x + 4 = 124 es una ecuación en la que x representa la cantidad de botellas en cada caja.
Para resolver la ecuación, nos preguntamos: ¿5 veces qué número más 4 da 124?
Despejamos x realizando cada paso en forma ordenada. Primero restamos (operación inversa de la suma), y luego dividimos (operación inversa de a multiplicación).

P. 16

30 minutos

Propósitos
Que los estudiantes modelen y resuelvan problemas usando ecuaciones de la forma a ∙ x + b = c  y c = a ∙ x + b
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones interpretando las soluciones en el contexto de los problemas.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Comience la clase haciendo preguntas para que recuerden los temas estudiados: ¿qué significa resolver una ecuación? ¿Cómo podemos encontrar una ecuación que resuelve un problema? ¿Cómo resolvemos las ecuaciones?, etc.
Sistematice la idea que señala la profesora en el Texto del Estudiante asegurando que los estudiantes comprendan la noción de ecuación y manejen justificadamente la técnica de despejar x.
Invite a los estudiantes a realizar la Actividad 2, que consiste en resolver dos problemas usando ecuaciones. Motívelos para que usen modelos de barras para representar los problemas y así encontrar las ecuaciones.
En a) oriente a los niños a que realicen modelos de barras para representar la situación y para apoyarse en la formulación de una ecuación. En b) es posible que la mayoría de los estudiantes modelen el problema con la ecuación 4 ∙ x + 24 = 354, sin embargo, es posible que algún niño también lo haga con la ecuación  354 = 4 ∙ x + 24. En tal caso, permita que validen si las dos ecuaciones permiten obtener la respuesta al problema. El contexto puede ayudar a ello. En la primera ecuación, se interpreta que el largo de 4 guardapolvos más 24 cm da el largo de la pared. En la segunda ecuación, el ancho de la pared se forma con 4 guardapolvos y una medida de 24 cm. Ambas interpretaciones son correctas.
Concluya junto con los estudiantes que, en una ecuación la x puede estar en cualquier lado de la igualdad y, por tanto, se puede despejar desde la izquierda o desde la derecha.
En el proceso de resolución de la ecuación permita que los niños utilicen la calculadora para obtener el resultado de 330 : 4. Al obtener 82,5 pregunte: ¿qué significa este número? Concluya con ellos que este número corresponde a la medida en centímetros del pedazo que faltó para cubrir el largo de la pared con guardapolvo.
Consideraciones didácticas
4 ∙ x + 24 = 354 y 354 = 4 ∙ x + 24 son equivalentes. En ellas, las expresiones de cada lado de la igualdad están intercambiadas. Esto se sustenta en la propiedad refleja de la igualdad: a = b   b = a. De cara a la resolución de la ecuación, para evitar despejar x desde la derecha, se pueden intercambiar las expresiones de la igualdad y así despejar x siempre desde la izquierda.
Las soluciones de una ecuación dependen del conjunto numérico en que se plantean, algunas veces determinado por el contexto del problema. En el problema del guardapolvo, la solución es un número decimal que corresponde a una medida de longitud continua.

Ticket de salida página 16 · Tomo 2

P. 17

75 minutos

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la resolución de ecuaciones (inventando ecuaciones que tengan como solución un número dado, identificando errores en el proceso de resolución, etc.)
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3, en la cual se ha iniciado el proceso de resolución de dos ecuaciones usando la estrategia de “despejar x”. Pídales que completen el proceso de resolución para encontrar la solución de cada ecuación. Considere que en un caso la x está al lado izquierdo de la igualdad, y en el otro, al lado derecho, lo que podría obstaculizar la resolución.
Prosiga con la Actividad 4, en la cual se desafía a los estudiantes a encontrar las soluciones de las ecuaciones en forma mental. Para ello se espera que usen la estrategia de “tapar con la mano” de Sami. Haga una puesta en común para que los estudiantes expliquen cómo encuentran las soluciones.
Presente a los estudiantes la Actividad 5, en la cual, en la parte a), deben inventar ecuaciones que tengan como solución el número 5. La idea es que las escriban en una pizarra individual o en una cartulina, y luego las expongan a sus compañeros justificando que su solución efectivamente es 5. La actividad se puede plantear en forma grupal y pedir a cada grupo que inventen ecuaciones con sumas. En la puesta en común se sugiere preguntar: ¿cómo inventaron las ecuaciones? ¿En qué se fijaron?
En la parte b) deben inventar ecuaciones que no tengan solución. Es posible que las ecuaciones que inventen tengan como solución una fracción o un decimal. En tal caso, permita que se cuestionen sobre su solución. Así, se espera que las ecuaciones que inventen tengan solución en los números enteros, pero no en los naturales: por ejemplo, la ecuación 3 ∙ x + 5 = 2.
Al finalizar la actividad, destaque las siguientes ideas:
Un número puede ser solución de varias ecuaciones.
Una ecuación puede no tener solución. Por ejemplo, 3 ∙ x + 6 = 4 no tiene solución, ya que no hay ningún número que sumado con 6 dé 4.
Luego, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios de la sección Practica.
En el ejercicio 1 se solicita que resuelvan ecuaciones con sumas en que la x está al lado derecho o izquierdo de la igualdad.
En el ejercicio 2 se solicita que identifiquen los errores que se cometen en tres procesos de resolución de ecuaciones. En la ecuación  se comete el error de sumar 3 ∙ x con 2 obteniendo 5 ∙ x. En la ecuación  se comete el error de pasar al otro lado de la igualdad 4 restando cuando debe pasar dividiendo. En la ecuación  se comete el error de pasar dividiendo el 4 cuando se debe pasar restando el 2.
Una vez que hayan detectado los errores, pídales que resuelvan cada ecuación.
Finalmente, solicite que desarrollen el Cuaderno  de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 7 y 8 · Tomo 2
Tickets de salida página 17 · Tomo 2

P. 18

Propósitos
Que los estudiantes modelen y resuelvan problemas usando ecuaciones de la forma a ∙ x − b = c.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma a ∙ x − b = c comunicando y justificando la estrategia utilizada.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 describiendo el contexto de la situación. Para orientar su comprensión y ayudar a que encuentren una ecuación, se sugiere realizar algunas de las siguientes preguntas: si x es la cantidad de huevos de cada bandeja, ¿cómo se representa el total de huevos que se compraron? (5 ∙ x) ¿Cómo se representa el total de huevos que se usaron? (5 ∙ x − 8).
Luego, pregunte: ¿qué ecuación permitiría encontrar la capacidad de cada bandeja de huevos?
Los procedimientos que pueden surgir para encontrar la ecuación del problema pueden ser:
Traduciendo directamente desde el enunciado del problema. (Idea de Juan).
Uso de modelos de barras. (Idea de Sofía).
Pregunte: ¿por qué todas las barras con x tienen el mismo tamaño? (Porque hay la misma cantidad de huevos en cada bandeja) ¿Por qué una barra tiene el número 8? (Porque puede ser que de una bandeja se hayan quebrado 8 huevos y se deben quitar de la bandeja) ¿Por qué se juntan todas las barras?
Una vez que todos los estudiantes han comprendido cómo encontrar la ecuación que resuelve el problema, pídales que la resuelvan usando la estrategia que estimen conveniente.
Dé un tiempo para que los estudiantes exploren cómo “despejar x” y así responder al problema.
Consideraciones didácticas
En esta sección se estudian ecuaciones de la forma a ∙ x − b = c, a las que llamamos ecuaciones con resta. Ellas también requieren de dos pasos para encontrar su solución.
Para representar los datos e incógnita del problema se recomienda que los estudiantes realicen modelos de barras. Esta herramienta les será de utilidad para comprender la relación entre los datos y la incógnita y, por tanto, para formar la ecuación. Se debe hacer notar que en el modelo que hace Sofía hay 5 barras, que cada una de ellas representa la cantidad de huevos que hay en cada bandeja y que de una de ellas se sacan 8 huevos.
Representar problemas con modelos de barra será de gran ayuda para comprender también el porqué de los cálculos que hay que realizar para despejar x en el proceso de resolución.

P. 19

Propósitos
Que los estudiantes modelen y resuelvan problemas usando ecuaciones de la forma a ∙ x − b = c  y c  = a ∙ x − b.
Que los estudiantes resuelvan ecuaciones de la forma  a ∙ x − b = c  y c = a ∙ x − b comunicando y justificando la estrategia utilizada.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Pida a los estudiantes que analicen la estrategia de Gaspar para resolver la ecuación del problema de la página anterior. Solicíteles que justifiquen cada uno de los pasos para despejar x. Para ello, pueden apoyarse en el modelo de barras realizado por Sofía o también en las estrategias aprendidas anteriormente. Pregunte: ¿por qué a 92 le suma 8? (Los 92 huevos usados más los 8 que se quebraron dan el total de huevos que había en las bandejas; si el 8 está restado a un lado, pasa al otro lado sumando) ¿Por qué el 5 que multiplica a x a un lado, pasa al otro lado dividiendo? (Se deben repartir 120 huevos entre 5 cajas, por tanto, para saber lo que hay en cada caja se debe dividir por 5; si el 5 está multiplicado a un lado, pasa al otro lado dividiendo).
Finalmente, pida a los estudiantes que den respuesta al problema y que analicen las bandejas con huevos que se compraron a la luz del análisis realizado.
Luego, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios de la sección Practica.
En el ejercicio 1 deben plantear una ecuación para resolver el problema. Se espera que no tengan dificultades hacerlo, y que para hallar la solución de la ecuación se espera que utilicen la estrategia de despejar la x.
En el ejercicio 2 se solicita a los estudiantes que resuelvan diversas ecuaciones del tipo de las estudiadas. Note que en algunos casos los estudiantes pueden encontrar la solución mentalmente sin necesidad de usar otras estrategias, en particular la de despejar x. Por ejemplo, en 4 ∙ x = 40 se obtiene 10 inmediatamente. En el caso de la ecuación 48 = 4 ∙ x − 12 es más complejo encontrar la solución mentalmente, por tanto, convendría usar la técnica de despejar x.
Por último, solicite que desarrollen el Cuaderno  de Actividades.
Consideraciones didácticas
Para despejar x en ecuaciones de este tipo, se tendrá que hacer una suma, y luego una división. Al igual que en las ecuaciones con suma, también se sugiere apoyarse en el modelo de barras que representa el problema para justificar estos cálculos. Una vez que comprendan el porqué de ellos, pueden manipular la ecuación sin necesidad de estar justificando cada paso.
Se debe considerar que para resolver este tipo de ecuaciones no se puede aplicar la estrategia de sumar un mismo número a ambos lados de la igualdad. Esto ya que los estudiantes no manejan la suma de números enteros.

Cuaderno de Actividades página 9 · Tomo 2
Tickets de salida página 19 · Tomo 2

P. 20

20 minutos

25 minutos

Propósitos
Que los estudiantes modelen con ecuaciones situaciones de equilibrio en una balanza.
Que los estudiantes comprendan que hay ecuaciones que no tienen solución en el contexto de problemas.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Recursos
Balanza numérica o imagen de las balanzas del texto.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, que consiste en equilibrar una balanza numérica. Se sugiere disponer de una balanza para presentar la situación a todo el grupo curso.
Asegúrese de que los estudiantes comprendan la situación y las instrucciones del desafío:
Se deben poner solo dos placas.
Las dos placas se deben poner en un mismo número.
Se sugiere dar un tiempo para que los estudiantes piensen su respuesta. Luego, invite a alguno a poner las placas en la balanza (o que dé su respuesta y la justifique). Se verifica si la balanza se equilibra y se pide al estudiante justificar cómo encontró la solución.
Pregunte: ¿por qué se deben poner las placas en el número 7? (En un lado hay 15, en el otro hay 1, por tanto, faltan 14 para formar 15. Así, dos veces 7 da 14) ¿Por qué se equilibra la balanza? (Se forma el 15 en cada lado: en un lado 10 + 5, y en el otro, 2 ∙ 7 + 1).
Luego, invite a los estudiantes a que planteen una ecuación asociada al desafío. Dé un tiempo para que la encuentren, y luego compartan y analicen las estrategias.
Algunas ecuaciones que modelan la situación pueden ser: 15 = 1 + 2 ∙ x ;  1 + 2 ∙ x = 15;  15 = 2 ∙ x + 1.
Concuerde con los estudiantes la equivalencia de las ecuaciones para encontrar la respuesta al problema.
Solicite a un estudiante que resuelva una de ellas con la estrategia de despejar x para obtener la solución 7.
Gestione la Actividad 2 de la misma manera. En este caso, los estudiantes concluyen que no es posible poner dos placas en un mismo número para equilibrarla. Pregunte: ¿por qué no se puede equilibrar la balanza poniendo dos placas en un mismo número? (En un lado hay 16, en el otro hay 3, por tanto, faltan 13 para formar 16. Así, no hay ningún número tal qué dos veces ese número dé 13).
Al plantear una ecuación que modela el problema, por ejemplo, 16 = 3 + 2 ∙ x, los estudiantes concluyen que la solución es 6,5; sin embargo, que no hay solución al problema, ya que las placas deben colocarse en números naturales.
Consideraciones didácticas
Siempre es importante evaluar la pertinencia de las soluciones de una ecuación en el contexto del problema. Así, una ecuación puede tener solución en un conjunto numérico, pero no ser solución del problema. Es lo que sucede en la actividad 2, en la que 6,5 es la solución de la ecuación, pero en la balanza no se pueden dejar dos placas entre 6 y 7.

Cuaderno de Actividades página 10 · Tomo 2
Tickets de salida página 20 · Tomo 2

P. 21

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con el lenguaje algebraico y las ecuaciones.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1 se les solicita que representen situaciones aritméticas y geométricas usando expresiones algebraicas. Considere que en a) la expresión 3 ∙ x es la que representa el perímetro del triángulo equilátero, dado que lo que varía es la medida del lado, es decir, 3 veces la medida del lado. La expresión x ∙ 3 también permite encontrar el perímetro del triángulo, pero no es la expresión que representa la situación (x veces la medida 3).
Haga una puesta en común en la que compartan las respuestas con sus compañeros. Pida a los estudiantes que presenten sus dudas y errores al curso para analizarlos y corregirlos entre todos.
En el Ejercicio 2 se presenta un problema no rutinario en que deben aplicar lo aprendido en relación con las expresiones algebraicas y su significado. Pedro gasta  5 ∙ x + 600, en cambio, Laura gasta 3 ∙ x + 500. Así, Pedro gasta más dinero, ya que, independiente del precio de cada lápiz, compra más lápices que Laura y además compra una goma de borrar más cara que la que compra Laura.
Enel Ejercicio 3 deben resolver ecuaciones con sumas y restas en que la x está en cualquier lado de la igualdad.
Enel Ejercicio 4 se presenta un problema de patrones en que deben expresar la regla con una expresión algebraica. En c) se espera que interpreten la expresión algebraica. La puedan usar para formar una ecuación y así determinar al cabo de cuántos meses Boris ha ahorrado $85 000.
En el Ejercicio 5 se presentan dos problemas y se les solicita que los resuelvan usando ecuaciones. Se sugiere que usen modelos de barras para así facilitar su formulación. Considere que pueden formar diversas ecuaciones que podrían resolver los problemas, por ejemplo, en a) algunas de las ecuaciones pueden ser:
3 + 4 ∙ x = 19         4 ∙ x + 3 = 19         19 = 4 ∙ x + 3

Cuaderno de Actividades página 11 y 12 · Tomo 2
Tickets de salida página 21 · Tomo 2

P. 22

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con el lenguaje algebraico y las ecuaciones.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los problemas, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras resuelven los problemas, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Problema 1 se solicita a los estudiantes que resuelvan 3 problemas usando ecuaciones. Pídales que justifiquen cómo encuentran la ecuación, cómo la resuelven y que den la respuesta al problema. Se sugiere incentivar el uso de modelos de barras para que apoyen el planteamiento de las ecuaciones.
En el problema a) el modelo y ecuación pueden ser:
x
10 000
4 • x + 1 200 = 10 000
vuelto
1 200
Tijeras
En el problema b) el modelo y ecuación pueden ser:
Naranjas sueltas
4
Naranjas en bolsas
136
3 • x + 4 = 136
En el problema c) la representación y ecuación pueden ser:
16 + 4 • x = 22
16 m2
4 • x
En el Problema 2 deben encontrar las expresiones algebraicas que representen la medida de la suma de todas las aristas y la medida de la suma de todas las caras del cubo de lado x. Así:
a) 12 ∙  x representa la suma de las medidas de todas las aristas del cubo (en cm).
b) 6 ∙ x ∙ x representa la suma de las áreas de todas las caras del cubo (en cm2).
Consideraciones didácticas
En el Problema 2 como aún no se estudia la multiplicación de expresiones algebraicas, es posible que los estudiantes expresen el área de cada cara como x ∙ x y no como x2.

Capítulo 12

Multiplicación y división de números decimales 2

13 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo los estudiantes comenzarán el estudio de multiplicaciones y divisiones con números decimales aplicando diversas estrategias en el contexto de la resolución de problemas.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA7:  Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.
Aprendizajes previos
Comprenden la formación de los números decimales.
Calculan multiplicaciones y divisiones de números naturales usando el algoritmo.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de   las matemáticas.

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Propósitos
Que los estudiantes busquen estrategias para resolver multiplicaciones entre números naturales múltiplos de 10 y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (2 barras rectangulares largas de cartulina).
Gestión
Presente el capítulo a los estudiantes en el que se presentarán nuevas situaciones que involucran multiplicaciones y divisiones de números decimales.
Para activar sus conocimientos con respecto a la multiplicación, escriba en la pizarra la multiplicación 3,4 • 6 y pregúnteles: ¿cómo la calcularían? Se espera que mencionen el uso de las técnicas que se abordaron en el Capítulo 6, como, por ejemplo, las que se basan en la descomposición y el algoritmo convencional.
Para continuar, presente la Actividad 1 a) e invítelos a comprender el problema. Para esto pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (El valor de 2 m y de 3 m de cinta) ¿Qué datos tienen? (El valor de 1 m de cinta). Organice esta información en uno de los modelos de barra en la pizarra. Luego, pídales plantear las expresiones matemáticas según lo propuesto en la Actividad 1 b) y pregúnteles: ¿qué técnica facilita el cálculo de este tipo de operaciones? (Operar sin considerar el cero y agregarlo en el resultado).
Invite a los estudiantes a realizar la Actividad 1 c) y pregúnteles: ¿en qué se parece esta expresión (2,4  •  80) a la planteada en la Actividad 1 b)? (Que ambas son multiplicaciones) ¿Y en qué se diferencian? (En que una involucra solo números naturales y la otra números naturales y decimales) ¿En qué se parece esta expresión a 3,4  •  6? (En que ambas involucran un número natural y un número decimal) ¿Y en qué se diferencian? (En que el número natural tiene diferente cantidad de cifras).

Capítulo 12    Multiplicación y división de números decimales 2

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Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para resolver multiplicaciones entre números naturales múltiplos de 10 y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (6 barras rectangulares iguales).
Gestión
Continúe el trabajo de la página anterior y presente en la pizarra el mismo esquema del Texto del Estudiante. Invite a los estudiantes a explicar el esquema paso a paso. Es importante que estas explicaciones incluyan que primero se considera el valor de 1 m de cinta, que luego se considera el valor de 2 m de cinta y, finalmente, se considera el valor para 3 m de cinta. Luego pregúnteles: ¿por qué se consideraron 3 m de cinta? (Porque 2,4 es mayor que 2, pero menor que 3) Entonces, ¿dónde se ubica el 2,4? Pídales marcar este dato en el modelo de barras donde aproximadamente va.
Plantee la pregunta de la Actividad 1 d) y pídales comunicar las posibles respuestas. Pregúnteles: ¿cómo encontraron el valor aproximado? ¿En qué se fijaron? Luego, invítelos a revisar las estrategias planteadas por los niños en el texto y pregúnteles: ¿a cuál se parece tu estrategia? Si pudieras cambiar tu estrategia, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? Destaque que la primera estrategia, presentada por la niña, considera los datos del modelo de barra para dar un valor aproximado. En tanto, el niño calcula el valor del doble de la longitud de la cinta, que es un número natural, y luego calcula el valor aproximado que se debe pagar calculando la mitad. Y la estrategia de la tercera niña presenta un rango dentro del cual debería estar el valor que se debe pagar.
Invite a sus estudiantes a revisar la información que presenta el monito del monte y pregúnteles: ¿por qué es correcto lo que dice el monito? Se espera que los estudiantes argumenten que la estructura de los números naturales y decimales es la misma.
Luego de que los estudiantes recordaron lo aprendido en el Capítulo 6: Multiplicación y división de números decimales 1, plantee la pregunta de la Actividad 1 e). Es posible que los estudiantes indiquen el algoritmo como estrategia de cálculo, no obstante podrían mencionar estrategias como la descomposición y la aplicación de distintas técnicas de división.

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Propósito
Que los estudiantes analicen estrategias para resolver multiplicaciones entre números naturales múltiplos de 10 y números decimales.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Invite a los estudiantes a analizar las ideas de Sofía y de Gaspar. Puede preguntarles:
Idea de Sofía: ¿por qué calculó el precio para 0,1 m? (Porque así utiliza números naturales) ¿Qué representaciones utilizó? (Modelo de barras y tabla de relaciones) ¿Por qué en la tabla se divide por 10 y se multiplica por 24? (Para operar con números naturales).
Idea de Gaspar: en una multiplicación, si se multiplica por un número uno de los factores, ¿cómo se obtiene el resultado de la multiplicación original? (Dividiendo por el mismo número que se multiplicó el resultado obtenido en la segunda multiplicación) ¿Qué pasa si se multiplica por 10 un número decimal? (El patrón numérico se desplaza a la izquierda) ¿Qué pasa si se divide por 10 un número decimal? (El patrón numérico se desplaza a la derecha)
10 | 1
| 2 | 4
2 | 4
1
10
• 10
¿Cuál sería tu respuesta a la pregunta del monito del monte? Se espera que los estudiantes, que ya saben multiplicar números decimales por números naturales de un dígito, extiendan este conocimiento y respondan que es posible calcular y luego agregar el cero al resultado.
Presente a los estudiantes la pregunta de la Actividad 1 f). Se espera que las explicaciones consideren que al multiplicar 2,4 por 10 se obtiene una nueva multiplicación: 24 • 80 cuyo resultado será 10 veces mayor que el resultado de 2,4 • 80. Por esto, al obtener 24 • 80 = 1 920, será necesario dividir 1 920 por 10 para obtener el resultado de 2,4 • 80.

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Propósito
Que los estudiantes comprendan el uso del algoritmo como estrategia para resolver multiplicaciones entre números naturales múltiplos de 10 y números decimales.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Analice con sus estudiantes el recuadro en el que se presenta la aplicación del algoritmo para resolver una multiplicación que involucra un número decimal y un número natural de 2 dígitos múltiplo de 10. Invítelos a comparar con lo aprendido al respecto en el Capítulo 6 y pregúnteles: ¿el cálculo con números naturales es distinto? (No, solo se debe registrar la coma en el producto dependiendo de donde la tenga el factor decimal) ¿Se diferencia en algo cuando se aplica el algoritmo si el número natural tiene 2 dígitos? (No). Pídales explicar cómo se realizó el cálculo verbalizando cada uno de los pasos y argumentando por qué el cero se escribió debajo del 4. En este caso, como queda un cero en la posición de los décimos, no tiene sentido registrar la coma y el cero, pues el resultado es un número natural.
Presente la Actividad 2 y pregunte a sus estudiantes: ¿qué se quiere encontrar? (El área de la piscina) ¿Qué datos conoces? (Que tiene forma rectangular y las medidas del largo y del ancho) ¿Son datos suficientes para calcular el área? Se espera que los estudiantes respondan que sí, ya que deberían aplicar la fórmula del área de un rectángulo, largo por ancho (20 • 7,5 o 7,5 • 20).
Para calcular el área, solo basta con aplicar la estrategia de dobles y agregar el cero al producto, ya que uno de los factores es 20. Se espera que en la pregunta 2 c) los estudiantes utilicen el algoritmo y comparen este resultado con el obtenido mediante el uso de la técnica de dobles, validando así el uso del algoritmo. Puede preguntar a los estudiantes acerca de la pertinencia del resultado: si 2 • 7 = 14, ¿es razonable que 2 • 7,5 = 15?
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en el cálculo de cada multiplicación, pero en especial en las que consideran un número natural de 2 dígitos múltiplo de 10, monitoreando si los estudiantes escriben el 0 en el resultado o no, ya que si lo hacen, deben registrar la coma. Sin embargo, otros estudiantes pueden darse cuenta que cuando uno de los factores es múltiplo de 10 y el otro factor es un número decimal hasta los décimos, entonces en el producto no es necesario escribir el 0 ni registrar la coma, ya que se obtiene un número natural.

Tickets de salida página 26 • Tomo 2

P. 27

15 minutos

Propósito
Que los estudiantes usen el algoritmo como estrategia para resolver multiplicaciones entre números naturales de 2 dígitos y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (1 barra rectangular larga, opcional).
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3 y pregúnteles: ¿en qué se parecen estas multiplicaciones con las trabajadas en páginas anteriores? (En que involucran el cálculo de un número decimal por uno natural) ¿Y en qué se diferencian? (En que el número natural tiene 2 dígitos, pero no es múltiplo de 10). Luego, invítelos a analizar cómo fueron resueltas y que lo expliquen. Es importante que en la explicación mencionen que las multiplicaciones fueron resueltas mediante la aplicación del algoritmo tradicional de la multiplicación, en que se comienza multiplicando la cifra menor (unidades) del número natural por el número decimal de derecha a izquierda y luego se multiplica por la cifra de la posición inmediata a la menor (decenas) del número natural, igual que en el paso anterior. La diferencia está en que este resultado parcial se comienza a escribir abajo del otro, pero una posición más a la izquierda que el otro, es decir, en la posición de las decenas, ya que es por esta cifra por la cual se está multiplicando. Para finalizar el cálculo, se suman los resultados parciales, el obtenido al multiplicar por la cifra de unidades y el obtenido al multiplicar por la cifra de las decenas, y se obtiene el resultado o producto de la multiplicación.
Continúe con la Actividad 4. Invite a los estudiantes a comprender el problema presentado con el apoyo de un modelo de barras o de una tabla de relaciones. Pídales organizar y relacionar los datos para plantear la expresión matemática que lo representa y permite resolverlo. Pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de jugo que hay en total) ¿Qué datos conoces? (La cantidad de botellas y la cantidad de jugo que hay en cada una) ¿Son suficientes para resolver el problema? (Sí) Ahora pídales responder la pregunta 4 a) y pregúnteles: ¿cómo son los números involucrados? (Número decimal y número natural de dos cifras). Para responder la pregunta 4 b), se espera que consideren lo mencionado para la Actividad 3.  Esta vez puede ser considerando los elementos (cantidad de botella y de litros de jugo) que están involucrados en el problema.
Invite a los estudiantes a realizar la Actividad 5 y verifique la comprensión acerca de la aplicación del algoritmo tradicional de la multiplicación. Puede pedirles a los estudiantes que se coevalúen preguntándoles: ¿está bien la explicación de tu compañero? ¿La entiendes? ¿Qué le faltó? ¿Qué le sobró? ¿Se podría decir de otra manera?
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en la ubicación de la coma en el resultado final y en la posición en que se registran los cálculos parciales. Si observa dificultades, puede proponer que escriban un cero en la posición de las unidades.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 13 • Tomo 2
Ticket de salida página 27 • Tomo 2

P. 28

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para calcular multiplicaciones entre números decimales.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (1 barra rectangular larga).
Gestión
Presente a sus estudiantes la Actividad 1. Invítelos a comprender el problema presentado preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (El área que se puede pintar con una cantidad de pintura) ¿Qué datos conoces? (El área que se puede pintar con cierta cantidad de pintura) ¿Son suficientes para resolver el problema? (Sí). Luego, pídales organizar los datos en un modelo de barras y responder la pregunta 1 a). Pregúnteles: ¿cuáles datos se organizaron? (El área en metros cuadrados y la cantidad de pintura en litros) ¿Qué tipo de números están involucrados? (Números naturales y números decimales).
Continúe con la Actividad 1 b) y pregúnteles: ¿qué número va en  en la tabla de relaciones? (2,3) ¿Cómo lo supieron? Se espera que los estudiantes reconozcan que 1 L de pintura rinde 2,1 m2, entonces para saber cuánto rinde 2,3 veces se debe multiplicar por 2,3. Ahora invítelos a plantear la expresión matemática que representa el problema y permite resolverlo y pregúnteles: ¿qué tipo de números están involucrados? (Números decimales) ¿Habían calculado multiplicaciones entre números decimales antes? (No).
Luego, invítelos a analizar y explicar las ideas de Juan y Sami. Puede preguntarles:
Idea de Juan: ¿qué hizo Juan? (Usó técnicas de multiplicación) ¿Cómo las uso? (Multiplicó por 10 el segundo factor y dividió por 10 el resultado obtenido, para así obtener el resultado de la multiplicación original) ¿Qué números involucra la nueva operación de Juan? (Un número natural y un número decimal) ¿Por qué creen que solo transformó un número decimal a número natural? Se espera que los estudiantes mencionen que lo más probable es que Juan solo transformó un número decimal a natural  porque la multiplicación entre un número decimal y uno natural la aprendieron en capítulos anteriores.
Idea de Sami: ¿qué hizo Sami? (Transformó a números naturales usando las técnicas de multiplicación) ¿Cómo las usó? (Multiplicó por 10 ambos factores, por lo que tuvo que dividir por 100 (10 • 10) el resultado obtenido, para así obtener el resultado de la multiplicación original) ¿Qué números involucra la nueva operación de Sami? (Dos números naturales).
Contraste las ideas invitando a los estudiantes a establecer las ventajas de cada una. Por ejemplo, que en la idea de Juan solo se transforma uno de los factores a número natural, pero también después solo se divide por 10, a diferencia de Sami, que transforma ambos números, pero después tiene que dividir por 100.

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Propósito
Que los estudiantes usen el algoritmo como estrategia para resolver multiplicaciones entre números decimales.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Diagrama de área (imagen de la Actividad 2) para presentar en la pizarra.
Gestión
Presente a los estudiantes la pregunta de la Actividad 1 d). Se espera que las explicaciones consideren el desplazamiento del patrón numérico al multiplicar un número decimal por 10, y como en este caso se multiplican ambos factores por 10, el resultado tendrá que dividirse por 100. También que al multiplicar por la cifra de las decenas, el resultado parcial se comienza a escribir bajo esa posición de derecha a izquierda.
Invite a los estudiantes a resolver la Actividad 2. Con el fin de verificar la comprensión del problema, pregúnteles: ¿qué se quiere encontrar? (El área del jardín de flores) ¿Qué datos conoces? (La medida del largo y la del ancho) ¿Es posible calcular el área con estos datos? (Sí). Luego, presénteles el diagrama de área y pídales mostrar los datos con los que se cuenta. Para la resolución de este problema, se espera que los estudiantes utilicen la fórmula de área, largo por ancho. De este modo la expresión matemática corresponde a una multiplicación entre dos números decimales, que se puede resolver aplicando el algoritmo, como se ha explicado en las actividades anteriores.
Si quiere profundizar en la comprensión de la multiplicación entre números decimales, pida a los estudiantes poner atención a la descomposición de la superficie del rectángulo comparando las áreas pintadas de rosado fuerte: 0,1 m2, 0,01 m2 y 1 m2 y reconociendo cómo se obtiene cada una. Pregúnteles:  en el caso de 0,01 = 0,1 • 0,1, ¿por qué el área es menor que sus lados? ¿Ocurriría lo mismo si las medidas fueran números naturales?
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención al cálculo de cada multiplicación y a ubicación del resultado parcial al multiplicar por las decenas y de la coma en el resultado final.
Consideraciones didácticas
Es importante tener siempre presente que como los números decimales se rigen por un sistema de numeración decimal posicional igual que los números naturales, los algoritmos convencionales de las cuatro operaciones no varían y pueden aplicarse como en los números naturales, teniendo en consideración la ubicación de la coma en el resultado. En el caso de la multiplicación, considerando la cantidad total de dígitos que hay después de la coma en ambos factores.

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Propósito
Que los estudiantes usen el algoritmo como estrategia para resolver multiplicaciones entre números decimales.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente a los estudiantes la pregunta de la Actividad 3. Se espera que las explicaciones consideren el desplazamiento del patrón numérico al multiplicar un número decimal por 10 o por 100 y, como 10 • 100 es 1 000, el resultado tendrá que dividirse por 1 000. También que al multiplicar por la cifra de las decenas, en el caso de la segunda multiplicación cuando los números son transformados en naturales, el resultado parcial se comienza a escribir bajo esa posición de derecha a izquierda.
Destaque la información que se entrega en el recuadro del monito del monte, en donde se explica que se deben considerar la suma de todas las cifras que están a la derecha de la coma en cada factor.
Invite a los estudiantes a explicar la resolución de la Actividad 4. Es importante que reconozcan que, al igual que en la Actividad 3, la cantidad total de cifras a la derecha de la coma son 3, lo cual debe considerarse en el resultado final. No obstante, en este caso el dígito de los centésimos y el de los milésimos es cero, por lo que es posible no escribirlos, ya que no afecta en el número obtenido.
La Actividad 5 permite evaluar la comprensión de lo presentado por el monito del monte, ya que se debe indicar dónde se ubica la coma, marcando así la unidad de cada número. Hay que recordar que la cantidad de cifras a la derecha de la coma está dada por la suma de cifras a la derecha de la coma de cada uno de los factores.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención al cálculo de cada multiplicación y a la ubicación de la coma en el resultado final.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 14 • Tomo 2
Tickets de salida página 30 • Tomo 2

P. 31

Propósito
Que los estudiantes comprendan que al multiplicar un número decimal por otro número decimal menor que 1, el resultado es menor que el otro factor decimal.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (1 barra rectangular larga).
Gestión
Presente a los estudiantes la pregunta de la Actividad 6. Invítelos, en primera instancia, a comprender el problema que incluye dos preguntas. Para esto, pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (El peso de 1,2 m de barra de metal y el peso de 0,8 m de esta misma barra) ¿Qué datos conocen? (El peso de un metro de barra de metal) ¿Se necesita conocer más datos para resolver el problema? (No).
Ahora, invítelos a organizar y observar la información en el modelo de barras y en la tabla de relaciones y pregúnteles: ¿cuál expresión matemática permite responder el ítem 6 a)? (1,2 • 3,1) ¿Este producto será mayor o menor que 3,1? (Mayor, porque 1,2 m es más de 1 m, por lo tanto, pesará más de 3,1 kg) ¿Cómo lo supiste? Se espera que los estudiantes sepan esto, ya que al observar tanto en el modelo de barras como en la tabla de relaciones, es posible visualizarlo. Haga las misma preguntas para el ítem 6 b): ¿cuál es la expresión matemática? (0,8 • 3,1) ¿Este producto será mayor o menor que 3,1? (Menor, porque 0,8 m es menor que 1 m, por lo tanto, pesará menos de 3,1 kg) ¿Cómo lo supiste?
Sistematice lo estudiado apoyándose en el recuadro del monito del monte. Puede invitar a los estudiantes a comprobar esta regla invitándolos a calcular otras multiplicaciones que incluyan números decimales menores que 1, como por ejemplo: 4,5 • 0,3 y 0,5 • 6,1.
Continúe presentando la Actividad 7. En esta, los estudiantes deberán aplicar sus conocimientos respecto de la multiplicación entre números decimales para ubicar en la posición correcta la coma del resultado, y también la comparación entre números decimales para poder corroborar la regla que dice que si se multiplica por un número decimal menor que 1, el resultado es menor que el otro factor. Es importante que los estudiantes recuerden que para comparar dos números decimales, al igual que con los naturales, deben hacerlo con los dígitos que ocupan la misma posición en los números. Si observa dificultades para comparar números decimales, puede invitarlos a utilizar una tabla de valor posicional para realizar la actividad.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. En la Actividad 1, no deben calcular las multiplicaciones, sino que aplicar la regla, identificando si alguno de los factores es menor que 1. En la Actividad 2, comprobarán las respuestas de la Actividad 1.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 15 • Tomo 2
Ticket de salida página 31 • Tomo 2

P. 32

Propósito
Que los estudiantes comprendan que las propiedades conmutativa y asociativa de la adición y de la multiplicación entre números naturales también se aplican a los números decimales.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Presente a los estudiantes el nuevo tema que se trabajará. Para activar sus conocimientos, pregúnteles: ¿cuáles propiedades se cumplen para la adición y la multiplicación entre números naturales? (Conmutatividad, asociatividad y distributividad de la multiplicación respecto de la suma y de la resta) ¿De qué trata cada una? (Conmutativa: no importa el orden al multiplicar; Asociativa: no importa cómo se agrupen si hay tres términos; Distributiva: si hay una multiplicación de un número por una suma o una resta de otros dos, es lo mismo que si se multiplica el factor por cada uno de los términos de la suma o de la resta y se suman o restan estos resultados).
Luego, presente la Actividad 1. Invite a los estudiantes a calcular las multiplicaciones planteadas por Gaspar y por Ema y pregúnteles: ¿son números naturales los que se están multiplicando? (No, son números decimales) ¿Cómo son los factores de cada operación? (Iguales) ¿En qué se diferencian las multiplicaciones? (En el orden de los factores) ¿Cómo son los resultados? (Iguales) ¿Qué podrían concluir de esta información? Se espera que los estudiantes confirmen que al igual que en la multiplicación entre números naturales, en los números decimales la conmutatividad también es válida. Esto se podría visualizar tomando el área del rectángulo y señalando que, independiente de su orientación o cuál lado se considere como largo o ancho, el área es la misma.
Pida a los estudiantes calcular las operaciones de la Actividad 2 y verificar si tienen el mismo resultado en ambos lados de la flecha. Luego, pregúnteles: ¿obtuvieron el mismo resultado al calcular en otro orden? (Sí) En a) ¿cuál cálculo les resultó más fácil? ¿Por qué? Guíelos a identificar que la operación después de la flecha resulta más fácil de resolver ya que, al sumar primero los números que están entre paréntesis, resulta un número natural (5). Haga la misma pregunta para b). En este caso, también debieran identificar que la operación después de la flecha es más fácil de resolver, ya que es una multiplicación usada frecuentemente que resulta 10.
Es importante que en esta actividad destaque que la utilidad de las propiedades radica en que pueden facilitar los cálculos, ya que, por ejemplo, en la Actividad 2 b) es más fácil calcular 2,5 • 4 que 1,8 • 2,5.
Sistematice las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y de la multiplicación invitando a los estudiantes a reemplazar por los números que quieran las figuras geométricas presentadas en el texto. Es importante que comprendan que se debe ubicar el mismo número en cada figura igual y que el uso de esta simbología es solo para facilitar la comprensión de las propiedades y no representa necesariamente un lenguaje matemático.

P. 33

Propósito
Que los estudiantes comprendan que la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y de la resta entre números naturales también se aplica a los números decimales.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Modelo de barras para la pizarra sin números (1 barra rectangular larga).
Gestión
Presente la Actividad 3 a los estudiantes mostrando en la pizarra la representación del rectángulo y las partes en que se divide para facilitar los cálculos. Para esto, primero muestre el rectángulo completo de largo 3 y ancho 1,4 y pregunte: ¿cuál es la expresión que permite obtener el área de este rectángulo? (1,4 • 3). Luego, pídales determinar las expresiones que permiten calcular el área parcial de los rectángulos rosado claro y rosado oscuro (1 • 3 y 0,4  •  3). Invítelos a calcular las expresiones y a darse cuenta de que al sumar las áreas parciales, se obtiene el área total. Ahora, invítelos a explicar cómo calcularon cada área y que relacionen estas expresiones con lo que se plantea en el Texto del Estudiante. En la explicación también podrían decir que primero se descompuso el primer factor de acuerdo a los valores posicionales de sus dígitos y después se multiplicó cada uno de estos valores por el segundo factor y se sumaron estos resultados. En consecuencia, el cálculo corresponde a la suma del área de un rectángulo de lados 1 y 3 con uno de lados 0,4 y 3.
Es importante que destaque la prioridad del cálculo de las operaciones al realizar ejercicios combinados, que son las mismas que se aplican en la operatoria combinada entre números naturales.
Invite a los estudiantes a analizar la Actividad 4. Pregúnteles: ¿qué se hizo con el primer factor en este caso? (Guíelos a comprender que es más fácil calcular 3 • 2, pero que después se debe restar lo que se agregó a 1,8, que es 3 • 0,2. Por tanto, 3 • 2 – 3 • 0,2 es equivalente a expresar 3 • (2 – 0,2)) ¿Cómo continúa el cálculo? (Igual que el anterior, multiplicando cada valor por el segundo factor, pero restando estos productos). Utilice la representación del rectángulo para que puedan comprender que en este caso se representó un rectángulo más grande de lados 2 y 3 y se calculó su área. Luego, se calculó el área de un rectángulo de lados 3 y 0,2, que es la diferencia con el rectángulo original, y esta medida se restó a la obtenida en el cálculo anterior.
Para continuar, invítelos a calcular 1,8  •  3 y 2  •  3 – 0,2 • 3, de manera que los estudiantes puedan verificar que ambos resultados son iguales, también respetando las prioridades del cálculo en la operatoria combinada.
Destaque nuevamente que la utilidad de las propiedades radica en que pueden facilitar los cálculos.
Sistematice la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma y de la resta invitando a los estudiantes a reemplazar por los números que quieran las figuras geométricas presentadas en el texto. Es importante que comprendan que se debe ubicar el mismo número en cada figura igual y que el uso de esta simbología es solo para facilitar la comprensión de las propiedades y no representa necesariamente un lenguaje matemático.

P. 34

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de las propiedades de la multiplicación entre números decimales comprendiendo que su uso facilita los cálculos.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Representaciones iguales a las de las Actividades 5 a) y 5 b) para presentar en la pizarra (con cortes).
Gestión
Presente la Actividad 5 a los estudiantes con el apoyo de las representaciones en la pizarra.
Para el desarrollo de la Actividad 5 a) pregúnteles: ¿qué indican los paréntesis? (En la operatoria combinada, significa que se debe comenzar calculando las operaciones que están entre estos) ¿Qué números deben ir en  ? (2,5 y 4) ¿Por qué creen que se pusieron estos números entre paréntesis? Se espera que los estudiantes indiquen que este cálculo es más fácil que 3,6 • 2,5 y que  3,6 • 4.
Para el desarrollo de la Actividad 5 b) pregúnteles: ¿qué indican los paréntesis? (En la operatoria combinada, significa que se debe comenzar calculando las operaciones que están entre estos) ¿Qué números deben ir en  ? (3,5 y 6,5) ¿Por qué creen que se pusieron estos números entre paréntesis? Se espera que los estudiantes reconozcan que al tener la suma de dos multiplicaciones con un factor común (7,2), pueden aplicar la distributividad y así obtener el cálculo de un número decimal por un número natural múltiplo de 10 (3,5 + 6,5 = 10). Esta manipulación es compleja, por lo que es fundamental que se apoyen en el modelo de áreas que se presenta en el Texto del Estudiante para comprenderla.
Luego de los análisis, invite a los estudiantes a reconocer la propiedad aplicada en cada caso, ya sea por su nombre o por lo que significa.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Lo importante en este momento es que sepan aplicar las propiedades con el fin de facilitar los  cálculos. Monitoree este trabajo aclarando las dudas que puedan surgir. Observe si, para facilitar los cálculos, aplican la propiedad asociativa en las Actividades 1 a) y 1 b) y distributiva en  1 c) y 1 d). Si presentan dificultades en estas dos últimas, puede apoyarlos dibujando un rectángulo de lados 3,8 y 4,8 + 5,2.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno  de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 16 • Tomo 2
Tickets de salida página 34 • Tomo 2

P. 35

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para calcular divisiones entre números decimales.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Modelo de barras para presentar en la pizarra sin números  (1 barra rectangular larga).
Gestión
Presente a sus estudiantes la Actividad 1. Invítelos a comprender el problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (El peso de 1 m de cable) ¿Qué datos conoces? (El peso de 0,8 m del mismo cable) ¿Son suficientes para resolver el problema? (Sí).
Luego, pídales organizar los datos en un modelo de barras y responder la pregunta 1 a). Pregúnteles: ¿cuáles datos se organizaron? (El peso del cable en gramos y la longitud del cable en metros) ¿Qué tipo de números están involucrados? (Números naturales y números decimales).
Continúe con la Actividad 1 b) y pregúnteles: mirando el modelo, ¿qué pasa con el peso cuando aumenta la longitud? (Aumenta) ¿Cómo es posible saber cuánto pesa 0,1 m? (Dividiendo el tramo entre 0 y 0,8 en 8 partes iguales y calculando 9,6 : 8 = 1,2) Si cada 0,1 m pesa 1,2 g, ¿cuánto pesa 1 m? (12 g). Luego, invítelos a ver la relación con la tabla y a reconocer la relación entre los datos. Se espera que los estudiantes expliquen que al estar representado en el modelo de barras es fácil de reconocerlo. Ahora invítelos a plantear la expresión matemática que representa el problema y permite resolverlo y pregúnteles: ¿qué tipo de números están involucrados? (Números decimales) ¿Habían calculado divisiones entre números decimales antes?  (No).
Luego, invítelos a analizar y a explicar las ideas de Juan y Sami. Puede preguntarles:
Idea de Juan: ¿qué hizo Juan? (Usó técnicas de división) ¿Cómo las usó? (Multiplicó por 10 el divisor y multiplicó por 10 el resultado obtenido, para así obtener el resultado de la división original) ¿Qué números involucra la nueva operación de Juan? (Un número decimal y un número natural) ¿Por qué creen que solo transformó un número decimal a número natural? Se espera que los estudiantes mencionen que lo más probable es que Juan solo transformó un número decimal a natural porque la división entre un número decimal y uno natural la aprendieron en capítulos anteriores.
Idea de Sami: ¿qué hizo Sami? (Transformó a números naturales usando las técnicas de división) ¿Cómo las usó? (Multiplicó por 10 el dividendo y el divisor, por lo que el cociente de esta nueva división es el mismo que el de la división original) ¿Qué números involucra la nueva operación de Sami? (Dos números naturales).
Contraste las ideas invitando a los estudiantes a establecer las ventajas de cada una. Por ejemplo, que en la idea de Juan solo se transforma el divisor a número natural multiplicando por 10, por lo tanto, el cociente que se obtiene se debe multiplicar por 10 para encontrar el original. En cambio Sami transforma el dividendo y el divisor a número natural, por lo que el cociente es el mismo.

P. 36

Propósito
Que los estudiantes utilicen el algoritmo como estrategia para calcular divisiones entre números decimales.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Presente a sus estudiantes la Actividad 1 d). Puede preguntarles: ¿qué pasa con el dividendo? (Siempre es el mismo) ¿Qué pasa con el divisor? (Cada vez es menor en 1 décima) ¿Y qué pasa con los cocientes? Se espera que los estudiantes reconozcan que cada vez va siendo mayor, porque se está dividiendo en partes más pequeñas cada vez.
Sistematice esta idea con la información del recuadro del monito del monte, en la que se establece que si el divisor es menor que 1, el cociente será mayor que el dividendo, y que mientras más disminuye el divisor, más aumenta el cociente.
Invite a sus estudiantes a realizar la Actividad 2. Para activar sus conocimientos, puede pedirles calcular en sus cuadernos la división 9,68 : 8 usando el algoritmo y explicar el cálculo paso a paso.
Ahora, analice con sus estudiantes el recuadro en donde se presenta la resolución paso a paso usando el algoritmo para resolver una división entre números decimales. Invítelos a comparar con el cálculo de la división entre un número decimal y uno natural, como el que hicieron en sus cuadernos y pregúnteles: ¿es distinto a como se aplica entre números naturales? ¿Se diferencia en algo cuando se aplica el algoritmo entre un número decimal y uno natural? Se espera que los estudiantes comprendan que se multiplicó el divisor por 10 para que se transformara a un número natural y que luego, con el fin de que el cociente se mantuviera, el dividendo se multiplicó por el mismo número. De este modo se obtuvo una división entre un número decimal y uno natural, como los estudiantes ya saben resolver.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Lo importante es que desplacen el patrón numérico de manera que se obtengan divisiones entre un número decimal y uno natural, multiplicando tanto en el divisor como en el dividendo por el mismo número, con el fin de calcular directamente el cociente.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 17 • Tomo 2
Ticket de salida página 36 • Tomo 2

P. 37

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado y uso del resto en divisiones entre números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para presentar en la pizarra sin números (una barra larga que se pueda dividir).
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 3 y verifique la comprensión del problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de botellas que se ocuparon y la cantidad de litros de jugo que sobraron) ¿Cuáles datos conoces? (La cantidad total de jugo y la cantidad de jugo que se vertió en cada botella). A partir de esta información, invite a los estudiantes a organizarla en el modelo de barras y en una tabla de relaciones para luego plantear la expresión matemática (3a) y calcular. Después, pídales que respondan la pregunta 3b). Se espera que los estudiantes reconozcan que dado que para hacer el cálculo con naturales se multiplicó por 10 cada número, para saber el resto real, se debe calcular la décima parte de 1, es decir, 0,1. Es importante destacar que el resto siempre debe ser menor que el divisor.
A continuación, invite a los estudiantes a recordar la fórmula que permite comprobar si el cálculo de una división con resto es correcto:
cociente • divisor  + resto = dividendo
e invítelos a aplicarla para comprobar el resultado obtenido. Para esto, es importante que el resto esté expresado con la coma en la ubicación correcta.
Sistematice lo trabajado explicando que en este problema el resto es 0,1 porque de los 2,5 L se ocuparon 2,4 L. Es posible que algún estudiante mencione que se puede continuar dividiendo utilizando la estrategia de agregar ceros al dividendo. En tal caso pregunte: ¿tiene sentido seguir dividiendo en el contexto de este problema? (No, porque en cada botella se deben verter 0,8 L). Destaque la siguiente idea: el resto se debe analizar en el contexto de cada problema y evaluar si es pertinente o tiene sentido continuar dividiendo.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver el problema de la sección Practica considerando todos los análisis realizados para la Actividad 3.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 18 • Tomo 2
Ticket de salida página 37 • Tomo 2

P. 38

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran multiplicaciones y divisiones entre números decimales y números naturales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para presentar en la pizarra sin números (dos barras largas que se puedan dividir).
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1, que corresponde a un problema que se resuelve con una multiplicación, y pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de dinero que se debe pagar por 2,5 L de agua) ¿Qué datos conoces? (El precio de un litro de agua) ¿Cuál operación se relaciona con el problema? (Multiplicación) Ahora, invítelos a organizar los datos en un modelo de barras o en una tabla de relación y pregúnteles: ¿qué expresión matemática representa el problema y permite resolverlo? (2,5 • 95) ¿Cómo resolverán la expresión? ¿Por qué? Favorezca que cada estudiante analice los números involucrados en la operación y decida cuál es la técnica que más le facilita el cálculo, de tal manera de evitar recurrir siempre y únicamente al algoritmo convencional.
Invite a los estudiantes a resolver el problema de la Actividad 2, que también corresponde a un problema que se resuelve con una multiplicación. Puede guiar la resolución comenzando por la comprensión del problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de dinero que debe pagar Andrés por 2,8 L de pintura) ¿Qué datos conoces? (El precio de un litro de pintura) ¿Cuál operación se relaciona con el problema? (Multiplicación) Ahora, invítelos a organizar los datos en el modelo de barras o en una tabla de relación y pregúnteles: ¿qué expresión matemática representa el problema y permite resolverlo? (2,8 • 930) ¿Cómo resolverán la expresión? ¿Por qué? En este caso, el número natural corresponde a un múltiplo de 10, por lo que es posible que algunos estudiantes apliquen el algoritmo u otra técnica de cálculo sin considerarlo y lo agreguen al resultado.
Continúe presentando la Actividad 3. En este caso, también corresponde a un problema, pero que se resuelve con una división. Comience por la comprensión del problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La medida del ancho del rectángulo) ¿Qué datos conoces? (El área y la medida del largo) ¿Son suficientes estos datos? (Sí) ¿Cuál operación se relaciona con el problema? (División) Se espera que apliquen la fórmula de cálculo de área, largo por ancho, con la que se busca la medida del ancho. Pregúnteles: ¿qué expresión matemática representa el problema y permite resolverlo? (28,7 : 7) ¿Cómo resolverán la expresión? ¿Por qué? Podría utilizar cualquiera de las técnicas de cálculo estudiadas.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 19 • Tomo 2
Ticket de salida página 38 • Tomo 2

P. 39

Propósito
Que los estudiantes decidan qué cálculos requieren del uso de la calculadora y cuáles pueden hacer de manera mental.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Comience invitando a los estudiantes a explorar una calculadora y plantee preguntas: ¿para qué sirve una calculadora? ¿Cómo se utiliza? ¿La han usado anteriormente? ¿Para qué tipo de cálculos?, entre otras.
Luego, invítelos a resolver algunas operaciones entre números naturales que justifiquen el uso la calculadora, como, por ejemplo, adiciones y sustracciones que involucren números de más de 6 dígitos y sin ceros; multiplicaciones entre números de más de 2 dígitos; y divisiones de números de más de 3 dígitos por números de más de 1 dígito.
Continúe invitando a los estudiantes a responder la pregunta de la Actividad 1. Pídales analizar cada una de las operaciones explicando primero aquellos cálculos que no realizarían con calculadora. Por ejemplo, a) 5 • 0,2 y b) 1 : 0,5, ya que se pueden hacer de manera mental y es posible que los estudiantes los sepan de memoria, por lo que no tendría sentido hacerlos con calculadora, ya que más se demorarán en teclear los números, que en realizar el cálculo mentalmente. Luego, la multiplicación propuesta en c) tiene números con mayor cantidad de dígitos y en e) uno de los factores es múltiplo de 10, por lo que c) sería más compleja de calcular y se justificaría el uso de calculadora. En tanto, en las divisiones d) y f) también se podría considerar que f), por la cantidad de dígitos de los números involucrados, es más compleja y el uso de calculadora facilitaría este cálculo, y d) se podría realizar de manera mental.
Ahora, invite a los estudiantes a resolver las operaciones de las actividades c) y f) con sus calculadoras, si es posible. Pregúnteles: ¿en qué orden se deben registrar  en la calculadora los números involucrados en cada operación? Se espera que en este caso se den cuenta de que,  al igual que en un cálculo escrito, en las multiplicaciones no importa el orden, pero en las divisiones sí. Destaque que al teclear cada número decimal, deben marcar la coma o punto según la calculadora que se tenga.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver la sección Practica. Puede invitarlos a escribir los resultados parciales, como si se estuviera aplicando el algoritmo para resolver, ya que de esta manera puede evaluar el aprendizaje de los contenidos de este capítulo.

P. 40

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el cálculo de multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales y entre números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Ejercicio 1 los estudiantes deben calcular multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales y entre números decimales. En estas deben prestar especial atención en la ubicación de la coma en los resultados. Si aún hay dificultades en esta tarea, puede recurrir a la utilización de una estrategia de cálculo distinta con el fin de contrastar los resultados.
En el Ejercicio 2 se espera que los estudiantes apliquen la fórmula de cálculo del área de un rectángulo, largo por ancho, planteando así una multiplicación entre dos números decimales.
En el Ejercicio 3 se debe plantear una división para resolver el problema. En este caso, el divisor es menor que 1, por lo que el resultado será mayor que el dividendo. De manera previa, pida a los estudiantes estimar el resultado considerando esta regla. También puede ser una forma de evaluar si el resultado obtenido se acerca al correcto.
En el Ejercicio 4 también se debe plantear una división para resolver el problema. Pero en este caso, a diferencia del anterior, se debe interpretar el resto. Es importante que los estudiantes comprendan que hay situaciones en que no tiene sentido seguir dividiendo el resto y se debe reconocer cuánto queda. La ubicación de la coma es fundamental en este caso. Para comprobar sus respuestas, puede invitarlos a aplicar la fórmula de comprobación del resultado de una división.
En el Ejercicio 5 no se espera que los estudiantes calculen, ya que el objetivo es que apliquen la regla que dice que si uno de los factores es un número decimal menor que 1, el producto es menor que el otro factor; en cambio, si ninguno de los factores es menor que 1, el producto es mayor que el factor mayor.
En el Ejercicio 6 es importante que los estudiantes creen problemas en que las cantidades involucradas tengan sentido. Por ejemplo:
-	Una botella contiene 2,3 L de aceite, ¿cuántos litros hay en 7 botellas iguales?
-	Se tienen 30 L de aceite y se quieren envasar en botellas de 1,5 L, ¿para cuántas botellas alcanza?
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 20 • Tomo 2
Ticket de salida página 40 • Tomo 2

P. 41

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales y entre números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Problema 1 se debe calcular una multiplicación para obtener el valor para las distintas cantidades de metros de cinta. Es importante que en el cálculo la coma del resultado sea ubicada en la posición que le corresponde.
En el Problema 2 se tienen dos pasos. Primero se debe encontrar “el número” al que Juan le sumó 2,5 por medio de una sustracción. Y luego, se debe calcular el resultado del problema original, que es una multiplicación. Es importante que al calcular la sustracción, las comas se alineen para encontrar el resultado correcto; y que en la multiplicación la coma del resultado se ubique según la suma de la cantidad de cifras a la derecha de la coma de los factores.
En el Problema 3 el objetivo es que la aplicación de las propiedades de la multiplicación facilite el cálculo de las operaciones. Por lo cual en a) se debería aplicar la propiedad asociativa y comenzar calculando 0,5 • 8, que es 4, y luego multiplicar este número por 5,2. De este modo la multiplicación sería entre un número natural y un decimal. En tanto, en b) 2,8 se puede descomponer en  2 + 0,8 y aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
En el Problema 4 se espera que los estudiantes apliquen la regla para ubicar la coma del producto explicando que en el resultado de la multiplicación entre número naturales se debe contar, de derecha a izquierda, tantos dígitos como la suma de los dígitos a la derecha de ambos factores.
El Problema 5 es un problema complejo que se resuelve utilizando la multiplicación y la división con números naturales y decimales y aplicando la fórmula de área,  multiplicar largo por ancho. Se debe comenzar calculando el área total (12 • 9,5) y dividir en 2 esta medida para luego plantear una división entre esta medida y la medida del lado conocido del rectángulo de menor tamaño.
En el Problema 6 asegúrese de que no usen los números repetidos. Es importante que los estudiantes se den cuenta de que mientras más grandes son los números decimales que se multiplican, mayor es el producto y viceversa.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 21 • Tomo 2

Capítulo 13

Área de cubos y paralelepípedos

10 horas pedagógicas

Visión general
Este capítulo se encuentra articulado con el capítulo 7 de 5° básico: “Paralelismo y perpendicularidad en figuras de dos y tres dimensiones”. Se vuelven a estudiar los prismas y los cubos, esta vez relacionando las redes y los cuerpos geométricos. A través de las redes se relaciona el cálculo del área de cuadrados y rectángulos con el área de paralelepípedos y cubos. Estas experiencias permitirán a los estudiantes comprender cómo calcular el área de los prismas a partir de la medida de sus aristas. Durante el desarrollo del capítulo se plantean problemas enfocados en el cálculo del área de los prismas, y posteriormente se plantean problemas en los cuales, una vez conocida el área del cuerpo, se debe deducir la medida de sus caras o aristas.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA13: Demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas.
OA18: Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos expresando el resultado en cm2 y m2.
Aprendizajes
• Cálculo del área de rectángulos y cuadrados.
• Identificar características de las caras y aristas de paralelepípedos y cubos.
• Adición, sustracción y multiplicación con números decimales.
Actitud
• Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
• Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

13

P. 42

Propósitos
• Que los estudiantes comprendan las características de rectángulos y cuadrados que permiten formar un paralelepípedo, distinguiendo figuras planas de las de 3 dimensiones.
• Que los estudiantes apliquen y relacionen el cálculo del área de cuadrados y rectángulos con el cálculo del área de paralelepípedos.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
• 2 cajas con forma de paralelepípedo, una de ella con 2 caras cuadradas.
• Set de rectángulos del Cuaderno de Actividades pág. 77.
• Regla, escuadra, tijeras y cinta adhesiva.
Gestión
Comience la clase mostrando las 2 cajas para que recuerden las características de los paralelepípedos y pregunte: ¿qué forma tienen las caras? ¿Cuántas caras tienen? Explique que van a desarrollar la Actividad 1 que consiste en armar una caja a partir de cuadrados y/o rectángulos.  El desafío es formar el paralelepípedo de mayor área. Explique que deben unir con cinta adhesiva las figuras que recortarán del Cuaderno de Actividades.
Promueva que comparen los prismas que construyeron preguntando: la caja que tiene una de las aristas más corta que las otras, ¿es la que tiene menor área? ¿Por qué?
Sistematice solicitando que lean el recuadro con la definición de paralelepípedo. Luego, compare el área de los prismas y verifique que el verde es el que tiene mayor área, que es 128 cm2.
7 cm
3 cm
2 cm
21 cm2
14 cm2
6 cm2
24 cm2
16 cm2
9 cm2
6 cm
4 cm
Pídales desarrollar la Actividad 2 para que visualicen que al desplegar las caras del cuerpo se forma una figura plana compuesta por rectángulos y/o cuadrados (red), y que al plegarla se vuelve a formar el cuerpo. Solicíteles que peguen una de las caras en el cuaderno para que lo puedan armar cuando lo necesiten.

Ticket de salida página 42 • Tomo 2

P. 43

Propósitos
• Que los estudiantes comprendan el concepto de red y relacionen los lados y vértices de los cuadrados y rectángulos que la forman con las aristas y vértices del paralelepípedo.
• Que los estudiantes apliquen y relacionen el cálculo del área de cuadrados y rectángulos con el cálculo del área de paralelepípedos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Red para recortar de la página 79 del Cuaderno de Actividades.
Gestión
Recuerde la clase anterior preguntando: ¿qué figura armamos? ¿Cuántas caras tiene un paralelepípedo? ¿Qué forma pueden tener las caras? Para formar los prismas rectangulares usaron cuadrados y rectángulos, ¿en qué se fijaron para lograr que se formara un prisma? ¿Cuántas aristas tiene un prisma rectangular?
Pídales que lean el recuadro y que lo interpreten teniendo como referencia la figura que pegaron en el cuaderno en la clase anterior. Plantee preguntas que contribuyan a que comprendan el concepto de red: ¿cómo se forma una red de un prisma rectangular? ¿Cuántos rectángulos o cuadrados tiene la red? ¿Qué hay que hacer para pasar de la red al prisma y del prisma a la red? Si se desarma un prisma rectangular cortando por sus aristas, y luego desplegando las caras ¿las redes que se forman son siempre iguales?
Pídales desarrollar la Actividad 3 y que respondan en el cuaderno. Monitoree observando si encuentran la cara opuesta y los lados y vértices de las figuras que al plegar coinciden con los vértices y aristas del prisma rectangular. Sistematice distinguiendo entre lados y aristas y señalando que los paralelepípedos tienen 3 pares de caras opuestas.
Proponga que desarrollen la Actividad 4 completando, en el Cuaderno de Actividades, la red del paralelepípedo. Indique que la dibujen, la recorten y verifiquen que se forma el cuerpo. Monitoree observando si relacionan la medida de las aristas con la de los lados de los rectángulos de la red. Sistematice destacando que la red tiene dos rectángulos de 6 cm • 5 cm, uno de ellos rodeado por dos tipos de rectángulos, de 2 cm • 5 cm y de 2 cm • 6 cm. Pídales pintar en la red las caras que cree que son opuestas y verificar si lo son al ensamblar el prisma. Pregunte: ¿cuánto mide el área del prisma? Pida que escriban sus cálculos en el cuaderno.
Consideraciones didácticas
En las dos primeras clases de este capítulo el énfasis está en la relación del paralelepípedo y la red. Las actividades promueven que los estudiantes distingan que la red es una representación plana (2D) y que al plegarla se forma el prisma. Para lograr una comprensión profunda de la relación entre red y cuerpo se debe tener en cuenta lo siguiente.
• Que al armar y desplegar paralelepípedos los lados de las figuras planas se convierten en aristas, y viceversa.
• Que un paralelepípedo se puede armar con distintas redes.

Cuaderno de Actividades página 22 • Tomo 2
Ticket de salida pagina 43 • Tomo 2

Capítulo 13    Área de cubos y paralelepípedos

P. 44

Propósitos
• Que los estudiantes comprendan el concepto de red y relacionen los lados y vértices de los cuadrados y rectángulos que la forman con las aristas y vértices del paralelepípedo.
• Que los estudiantes apliquen y relacionen el cálculo del área de cuadrados y rectángulos con el cálculo del área de paralelepípedos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience recordando lo visto en la clase anterior y pregunte: ¿cómo calcularon el área del paralelepípedo que armaron a partir de una red? Registre en la pizarra las respuestas de los estudiantes, y luego proponga que desarrollen la Actividad 4 c) pidiendo que comparen los procedimientos utilizados por ellos con los propuestos en el texto.
Sistematice la comparación de los procedimientos a través de preguntas que permitan relevar que los tres tienen en común la identificación de rectángulos para descomponer la red y calcular el área de cada rectángulo a partir de la medida de sus lados. Las ideas de Sofía y Sami se caracterizan porque los rectángulos considerados corresponden a las caras del prisma rectangular. La idea de Sami se debe destacar preguntando a los estudiantes: ¿por qué calculó el área de solo 3 rectángulos si la red está formada por 6?
Posteriormente, proponga desarrollar la Actividad 5 solicitando que cada estudiante imagine plegar mentalmente cada red y evaluar con cuáles se puede armar el prisma rectangular.
Sugiera que elijan una cara de referencia y mentalmente plieguen las caras adyacentes recurriendo a movimientos de sus manos para simular los dobleces. Si es necesario, proponga que dibujen las redes en papel cuadriculado, las recorten y verifiquen si se logra armar el prisma.
Desafíelos a que desarrollen la Actividad 5 b). Monitoree su trabajo y reproduzca en la pizarra las diferentes redes que hayan encontrado. Para que las comparen, pregunte: ¿qué tienen en común?
Finalmente, solicíteles calcular el área del cuerpo utilizando el procedimiento de Sami para verificar que lo han comprendido.
Consideraciones didácticas
En esta clase se sistematiza el trabajo realizado hasta el momento, enfocado a calcular el área de un prisma rectangular relacionando sus caras con los rectángulos o cuadrados que forman la red. Se debe enfatizar que los paralelepípedos tienen 3 pares de caras iguales, que corresponden a las caras opuestas. Esta propiedad es fundamental para que en las clases siguientes calculen el área del cuerpo sin tener que recurrir a su red.

Ticket de salida página 44 • Tomo 2

P. 45

Propósitos
Que los estudiantes se apropien de una fórmula para calcular el área de un prisma rectangular o paralelepípedo.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Prisma rectangular o caja de leche o similar.
Gestión
Comience recordando lo realizado en la clase anterior y pregunte: ¿cómo calcularon el área del paralelepípedo usando la estrategia de Sami? ¿Por qué calcularon el área solo de 3 rectángulos? ¿Por qué la suma de las áreas de estas caras se multiplica por dos para calcular el área del paralelepípedo?
Proponga que desarrollen la Actividad 5 d) pidiendo que comparen el procedimiento de Sami con los utilizados por Ema y Matías. Una vez que los estudiantes hayan comparado los procedimientos expuestos, promueva que los expliquen utilizando como referencia un prisma rectangular o una caja de leche o algo similar.
Destaque de la idea de Matías que los pares de caras opuestas tienen la misma forma y tamaño, lo que facilita el cálculo del área del prisma.
Pídales leer y escribir en el cuaderno la información del recuadro que sistematiza el cálculo del área de un paralelepípedo. Enfatice la interpretación de la fórmula del área solicitando que expliquen qué significa cada término.
Finalmente, pida que desarrollen las actividades de la  sección Practica, en la que tienen que comparar las áreas de los distintos paralelepípedos que se pueden formar al poner dos paralelepípedos iguales, uno encima del otro. Promueva que los estudiantes identifiquen las medidas de las aristas de los cuerpos que se forman y que las utilicen para calcular el área de cada uno de ellos. Llévelos a reflexionar respecto al efecto del tamaño de la cara por la cual se unen los paralelepípedos sobre el área del cuerpo que se forma. Pregunte: ¿por cuál cara hay que juntar los cuerpos para que se forme el prisma de mayor área? ¿Y el de menor área?
Consideraciones didácticas
En esta clase se introduce la fórmula para calcular el área de un paralelepípedo, lo cual corresponde a la síntesis del proceso desarrollado en las clases anteriores. La generalización que se logra con la fórmula debe estar sustentada en la comprensión de la relación entre las expresiones algebraicas y los elementos  del paralelepídedo:
• a, b y c representan las medidas de las aristas del paralelepípedo.
• a • b, b • c y c • a representan las áreas de las caras distintas.
• 2 • a • b + 2 • b • c + 2 • c • a corresponde al área del paralelepípedo, ya que las caras opuestas son iguales.

Cuaderno de Actividades página 23 • Tomo 2
Ticket de salida pagina 45 • Tomo 2

P. 46

Propósito
Que los estudiantes comprendan que el cubo es un tipo particular de paralelepípedo en el que sus seis caras son iguales.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Hojas de papel o cartulina y tijeras.
Gestión
Comience la clase con la Actividad 1 preguntando: ¿qué tipo de cuerpo se podrá formar con esta red? Si algunos estudiantes responden que será un paralelepípedo, acepte su respuesta, pero advierta que es un paralelepípedo, particular. ¿Qué tiene de especial? Una vez que hayan expresado que todas sus caras, o que todas sus aristas, son iguales y que se llama cubo, pregunte: ¿qué objetos con forma de cubo conocen?
Proyecte o dibuje en la pizarra la red y proponga que se imaginen que la han recortado. Pida que hagan predicciones sobre qué vértices y qué lados se juntarán al armar el cubo.
Pregunte qué pensaron para desarrollar la Actividad 1 b). Si no les resulta fácil explicarlo, pregunte: ¿con qué vértice se juntará el vértice L? ¿Y el vértice K?
Análogamente, en la Actividad 1 c) pregunte: ¿con qué lado se juntará el lado FG para formar una arista? ¿Y el GH? ¿Y el HI?
Organice la Actividad 1 d), la que resultará muy útil para comprobar las respuestas dadas a las preguntas anteriores si designan los vértices como en el modelo. Pueden dibujar la red sobre una hoja cuadriculada contando cuadraditos.
Comente lo que dice el recuadro. Pregunte, por ejemplo: ¿cuáles son las tres dimensiones? Luego, indique que anoten en su cuaderno la información dada en el recuadro.
Insista en el desafío de armar mentalmente una red a propósito de la Actividad 2 a). Sugiera que muevan sus manos para simular los dobleces. Si no logran ponerse de acuerdo sobre alguna de las redes, proponga que la dibujen en papel cuadriculado y la armen.
Finalmente, pida que desarrollen la Actividad 2 b). Monitoree su trabajo y reproduzca en la pizarra las diferentes redes que hayan encontrado. Pregunte: ¿qué tienen en común? para que las comparen.
Consideraciones didácticas
Puesto que todas las caras del cubo son cuadradas y de igual tamaño, este cuerpo se presta especialmente para realizar el tránsito entre: red - armado mental - recorte - armado real. Resulta fácil dibujar la red sobre papel cuadriculado y explorar distintas posibilidades. Si los estudiantes se entusiasman, se podría organizar un taller en el que encontrarán algunas de las siguientes once posibilidades.

Ticket de salida pagina 46 • Tomo 2

P. 47

Propósito
Que los estudiantes se apropien de una fórmula para calcular el área de un cubo.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Figuras página 81 del Cuaderno de Actividades.
Gestión
Inicie la clase preguntando: ¿cómo podemos calcular el área de un cubo si su arista mide 4 cm? ¿Servirá la fórmula que utilizamos para calcular el área del paralelepípedo? Es probable que algunos estudiantes traten de hacerlo, pero rápidamente se darán cuenta de que no es necesaria, porque en el cubo todas las caras son iguales. Proponga que lean la Actividad 3 y el recuadro. Pregunte: ¿qué significa que la arista de un cubo sea “a”? Una vez que muestren haber comprendido el procedimiento para calcular el área de un cubo, pida que lo registren en su cuaderno.
La Actividad 4 plantea un problema cuya solución corresponde a la última de las redes dibujadas en la sección Consideraciones didácticas de la clase anterior. Es poco probable que los estudiantes la encuentren. Acepte las que ellos dibujen y pida que midan la arista y calculen el área del cubo formado. Es muy probable que haya pequeñas variaciones en la medición de la arista (2,5 o 2,6 cm), las que repercutirán en el cálculo del área. Organice una discusión sobre estos resultados preguntando: ¿corresponden a diferencias en la solución del problema o en la precisión de la medida de la arista?
Proyecte o dibuje en la pizarra la red correspondiente a la solución del problema. Pregunte: ¿es posible armar el cubo? Si dibujaran esta red en el papel que tenían disponible, ¿cuánto mediría la arista del cubo? ¿Y el área?
Finalmente, pida que desarrollen las actividades de la  sección Practica.
Consideraciones didácticas
En esta clase se propone un problema que es difícil que los estudiantes resuelvan, aunque no imposible. Es importante que el docente acepte y valore las soluciones encontradas por los estudiantes. Posteriormente, puede mostrar la solución, haciendo ver que no se requieren conocimientos más avanzados que los que ellos utilizaron; consiste solo en disponer las caras de un modo diferente en la red.
Los ejercicios de la sección Practica implican recorrer caminos inversos: dada la arista, calcular el área de un cubo, y dada el área, calcular la arista. Esta exigencia de invertir los procedimientos constituye una forma eficaz de afianzar los conocimientos sobre un tema.

Cuaderno de Actividades página 24 • Tomo 2
Ticket de salida pagina 47 • Tomo 2

P. 48

Propósito
Que los estudiantes apliquen los procedimientos aprendidos para calcular áreas de cubos y paralelepípedos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Proponga que desarrollen las Actividades 1, 2 y 3. Monitoree su trabajo permitiendo interacciones entre los estudiantes. Si observa dificultades para multiplicar números decimales, intervenga preguntando: ¿quién sabe cómo hacerlo? ¿Puedes explicarlo? Cuando terminen, promueva que expliquen y justifiquen sus estrategias. Por ejemplo, en el paralelepípedo calculan el área de las tres caras diferentes y duplican este valor, mientras que en el cubo calculan el área de una cara y multiplican por seis, que es el número de caras iguales.
A continuación, proponga que desarrollen las Actividades 4 y 5. En la Actividad 4 observe si necesitan hacer un dibujo o si hacen el cálculo directamente. En la Actividad 5 observe si primero calculan el área en metros cuadrados y luego la transforman a centímetros o si lo hacen a la inversa. Cuando terminen, pida que compartan sus procedimientos y sus resultados. Pregunte: ¿se dieron cuenta cuando leyeron las preguntas que lo que debían calcular era el área? ¿Necesitaron dibujar la caja en la Actividad 4? ¿Cómo hicieron la transformación entre centímetros y metros en la Actividad 5?
Finalmente, pida que desarrollen la Actividad 6. Pregunte: ¿qué hicieron primero? ¿Y después? Se espera que hayan dividido por 6, y luego hayan encontrado que el número que multiplicado por sí mismo da 64 es 8. Pregunte: ¿cómo pueden comprobar si su respuesta es correcta? ¿Cuál es el área de un cubo cuya arista mide 8 cm?
Consideraciones didácticas
En esta clase los estudiantes aplican sus conocimientos sobre el cálculo de área en paralelepípedos y cubos, debiendo distinguir ambos procedimientos. Algunas medidas están dadas con decimales, lo que complejiza los cálculos.
En la Actividad 5 resulta más simple transformar los 0,8 m a 80 cm, calcular que el área de una cara es 6 400 cm² y multiplicar por 6 para obtener 38 400 cm² como el área del cubo. Luego, dividir por 10 000 para obtener el área en metros, que es 3,84 m². De esta manera se evita multiplicar dos números decimales entre sí.

Cuaderno de Actividades página 25 • Tomo 2
Ticket de salida pagina 48 • Tomo 2

P. 49

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas basándose en sus conocimientos sobre el cálculo del área de paralelepípedos y cubos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
En esta clase, dada la mayor complejidad de las actividades, es conveniente organizar una puesta en común de procedimientos y resultados después de cada una de ellas.
En la Actividad 7, si consideran que el cubo tiene 12 aristas, dividirán por 12 para encontrar que cada una mide 9 cm, multiplicarán 9 • 9 para determinar que el área de una cara es 81 cm² y finalmente multiplicarán por 6 para concluir que el área del cubo es 486 cm².
En la Actividad 8 dividirán 28 por 4 para determinar que el largo del paralelepípedo es 7 cm y con ello dispondrán de las medidas del largo, ancho y alto para aplicar la fórmula que ya conocen.
En la Actividad 9, aplicando la fórmula que conocen, obtendrán las áreas 24 cm2, 96 cm2 y 384 cm2. Sugiérales que hagan una tabla en la que coloquen en la primera columna las medidas de las aristas, en la segunda, las áreas de una cara y en la tercera, las áreas de los cubos. Mediante la exploración de esta tabla podrán concluir que mientras las medidas de las aristas se duplican, las áreas de una cara se cuadruplican y las áreas de los cubos también se cuadruplican.
Consideraciones didácticas
En esta clase los estudiantes continúan aplicando lo que han aprendido sobre el cálculo del área de cubos y paralelepípedos en situaciones en las que deben seleccionar qué relaciones utilizan para responder a lo preguntado.
Es importante destacar que en la Actividad 9 las aristas de los cubos aumentan regularmente, duplicándose cada vez. Esto induce a formular la hipótesis de que las áreas de los cubos también podrían aumentar regularmente. Los estudiantes ordenarán los datos en una tabla y los examinarán, dándose cuenta de que las áreas de una cara se cuadruplican y las áreas de los cubos también. Este análisis contribuirá al progreso de los estudiantes en el campo del pensamiento variacional.

Cuaderno de Actividades página 26 • Tomo 2
Ticket de salida pagina 49 • Tomo 2

P. 50

Propósito
Que los estudiantes pongan en juego los conocimientos sobre área de prismas rectangulares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Organice a los estudiantes para que resuelvan los ejercicios, individualmente o en parejas, y luego realice una puesta en común de procedimientos y resultados.
En el Ejercicio 1 se pone en juego la idea de que un prisma rectangular tiene 3 pares de caras iguales. Como en este caso cuentan con un par de caras de 2 • 1 unidades cuadradas y otro de 2 • 4, se espera que los estudiantes reconozcan que las dos caras que faltan para formar el prisma, corresponden al rectángulo de 1 • 4.
En el Ejercicio 2 pídales que se imaginen que pliegan cada una de las figuras planas para determinar con cuál es posible formar el cuerpo. Si hay estudiantes que no logran imaginar lo que resulta al hacer los dobleces, propóngales que dibujen la red, la recorten, la plieguen y expliquen por qué con una de las figuras es posible armar el cuerpo y con la otra no.
En el Ejercicio 3 deben comparar dos paralelepípedos y anticipar cuál de ellos es el que tiene mayor área. Para comprobar sus estimaciones, calculan las áreas de ambos cuerpos. También pueden considerar que el cubo tiene 6 caras de 4 • 4 cm², mientras que el paralelepípedo tiene 2 caras de 4 • 4, y 4 de  3 • 4. El problema puede reducirse a comparar el área de cuatro caras de 4 • 4 del cubo con el área de las cuatro caras de 3 • 4 del paralelepípedo. Puesto que 4 • 4 • 4 es 64 cm² y 4 • 3 • 4 es 48 cm², podrán concluir que el área del cubo es 16 cm² mayor que la del paralelepípedo.

Ticket de salida pagina 50 • Tomo 2

P. 51

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas en los que deben poner en juego sus conocimientos sobre cálculo de áreas de cubos y paralelepípedos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Organice a los estudiantes para que resuelvan los problemas en sus cuadernos, en forma grupal o individualmente, y luego realice una puesta en común para que expliquen y contrasten sus procedimientos.
En el Problema 1 promueva que los estudiantes busquen diferentes estrategias para resolverlo. Pregunte: ¿cómo interpretan la información que el largo es el doble del ancho y que el área del piso es 32 cm2?
Se espera que busquen factores del 32 hasta encontrar dos tales que uno sea el doble del otro. O bien, si consideran que el largo es el doble del ancho en la figura, podrán visualizar el rectángulo como 2 cuadrados iguales, cada uno de área 16 cm2, por tanto de lado 4 cm.
Encuentran así que la habitación mide 8 m de largo y  4 m de ancho. Como el ancho es el doble del alto, el alto tiene que ser 2 m. Calculan el área de dos murallas de  4 • 2 m² y de otras dos de 8 • 2 m². Suman el área del piso, que es igual a la del cielo, y restan las áreas de la ventana (2 • 1 m²) y de la puerta (1 • 2 m²). Así obtienen la cantidad de metros cuadrados que hay que pintar.
En el Problema 2 pida a los estudiantes que analicen la figura y pregunte: ¿cuál será la mejor estrategia para calcular el área de la figura 3D?
Una vez resuelto el problema, realice una puesta en común promoviendo que expliquen y argumenten sus respuestas. A los estudiantes que abordaron los problemas visualizando dos prismas, pídales que expliquen qué áreas de caras sumaron y cuáles restaron. En forma equivalente a los estudiantes que visualizaron cubos, pregúnteles: ¿cómo determinaron el área? ¿Calcularon el área total y restaron? o ¿Calcularon el área de las caras externas?
En el Problema 3 sugiera que hagan un dibujo en el que representen los datos y la incógnita, y que expliquen la estrategia que utilizaron para determinar la altura. Una estrategia posible es calcular el área de las dos caras basales (2 • (6 • 5) = 60 cm²), por lo que el área de las cuatro caras que quedan es 126 – 60 = 66 cm². Denominando x a la altura, el área de las caras restantes se representa por 2 • 6 • x y 2 • 5 • x, por lo tanto, 22 x = 66. La altura del paralelepídedo es 3 cm.

Ticket de salida pagina 51 • Tomo 2

Capítulo 14

Datos

14 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se aborda el uso de diagramas de puntos y de tallo y hojas para comparar distribuciones de datos usando información contextualizada. Se analizan las ventajas y alcances de este tipo de gráficos. Además, se introducen los gráficos de barras dobles y circulares, enfatizando en su lectura e interpretación.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA22: Comparar distribuciones de dos grupos, provenientes de muestras aleatorias, usando diagramas de puntos y de tallo y hojas.
OA24: Leer e interpretar gráficos de barras dobles y circulares y comunicar sus conclusiones.
Aprendizajes previos
• Construyen, leen e interpretan diagramas de puntos, gráficos de barras simples y diagramas de tallo y hojas.
• Calculan e interpretan el promedio de un conjunto de datos.
• Calculan porcentajes usando fracciones y modelos de barras.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado  y metódico.

14

P. 52

Propósito
Que los estudiantes reconozcan la necesidad de usar gráficos para comparar dos grupos de datos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1 a los estudiantes. Pídales que analicen la información de las tablas y comenten lo que observan. Pregunte: ¿qué información contienen las tablas? (Los puntajes en el torneo de ajedrez de los participantes de dos colegios) ¿Qué se puede decir sobre los puntajes del colegio A? ¿Y sobre los puntajes del colegio B? Anímelos a describir la mayor cantidad de información.
Es probable que mencionen el número de observaciones en cada conjunto, los valores mínimos y máximos, el dato que más se repite y la frecuencia de algunos.
Pregunte: De acuerdo con la información extraída de la tabla, ¿Cuál colegio tuvo mejores resultados? Conduzca una discusión en la que reconozcan la dificultad de comparar los desempeños de los colegios a partir de los datos no organizados. Concuerde con los estudiantes en que usar gráficos podría facilitar la comparación de estos dos grupos de datos. Invítelos a que piensen en un gráfico que les permita comparar. Consulte: ¿qué gráfico nos conviene usar? Se espera que los estudiantes señalen gráficos de barras y diagramas de puntos como algunas de las posibilidades.

P. 53

60 minutos

Propósito
Que los estudiantes usen diagramas de puntos para comparar dos conjuntos de datos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente el gráfico del colegio A y pida a los niños que lo comparen con los que ellos imaginaron. Pregunte: ¿qué representan los números en el eje horizontal? (Los puntajes) ¿Qué representan los círculos azules? (Los estudiantes que obtuvieron esos puntajes) ¿Es apropiado representar los datos en este tipo de gráfico? ¿Por qué? Asegúrese de que reconozcan la utilidad del gráfico para visualizar los datos.
Invite a los estudiantes a completar el gráfico del colegio B en el Cuaderno de Actividades y que luego comparen la información de los dos gráficos indicando sus similitudes y diferencias. A continuación, seleccione a dos estudiantes para que completen los diagramas en la pizarra. Asegúrese de que las graduaciones del eje horizontal estén alineadas para facilitar la comparación.
0
1
2
3
5
6
7
Puntajes colegio A
Puntajes colegio B
Pregunte: ¿cuál es el puntaje que más se repite en cada colegio? (4 puntos en el colegio A y 5 en el colegio B). ¿Cuántos participantes de cada colegio lograron 5 o más puntos? (6 participantes del colegio A y 9 del colegio B). ¿Qué similitudes tienen los gráficos? (La forma es similar, las columnas de puntos crecen, y luego disminuyen) ¿Por qué crees que tienen esta forma? Motívelos a realizar conjeturas sobre el contexto que expliquen la forma del gráfico; (por ejemplo, se puede suponer que la forma del gráfico se debe a que en ambos colegios la preparación de los estudiantes es diversa). ¿Qué diferencias tienen los gráficos? (Los puntos del diagrama del colegio B están más a la derecha que los del colegio A) ¿A qué se puede deber esta diferencia? Motívelos a realizar conjeturas sobre el contexto que expliquen esta diferencia; (por ejemplo, diferencia en la preparación). Al comparar los gráficos, ¿qué colegio dirían que tuvo mejores resultados en el torneo? Se espera que los estudiantes consideren la diferencia descrita anteriormente para argumentar que el colegio B tuvo mejores resultados. Comente con los estudiantes la utilidad que ofrecen los diagramas de puntos para observar y comparar grupos de datos.
Invite a los estudiantes a realizar en su cuaderno los ejercicios de la sección Practica. Asegúrese de que entiendan el contexto del problema y lo que se busca responder. Al finalizar, realice una puesta en común para compartir resultados.
Consideraciones didácticas
Al comparar dos grupos de datos, el análisis se centra en identificar e interpretar las similitudes y diferencias que se observan en sus distribuciones. Los diagramas de puntos son gráficos que, en muchos casos, resultan útiles para explorar y reconocer las similitudes y diferencias en las distribuciones.

Cuaderno de Actividades página 28 • Tomo 2
Tickets de salida página 53 • Tomo 2

Capítulo 14    Datos

P. 54

Propósito
Que los estudiantes evalúen el uso de algunas medidas estadísticas para comparar conjuntos de datos no agrupados.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la situación y pida a los estudiantes que analicen los datos para comparar el desempeño de las participantes de ambos colegios. Dé un tiempo para que piensen y elaboren una respuesta.
Realice una puesta en común y pregunte: ¿Cuál fue el mejor tiempo de cada colegio? (26 min en el colegio A y 25 min en el colegio B) ¿Cuántos minutos de diferencia hay entre ellos? (1 min) ¿Cuál fue el peor tiempo de cada colegio? (55 min en el colegio A y 52 min en el colegio B) ¿Cuántos minutos hay entre el mejor y el menor tiempo en cada colegio? (29 min en el colegio A y 27 min en el colegio B) ¿Es suficiente esta información para concluir cuál colegio tuvo mejor desempeño en la maratón? Asegúrese de que los estudiantes reconozcan que los datos mínimo y máximo de cada grupo no permiten, en este caso, comparar el desempeño de los colegios.
Pregunte: si tuvieran que usar una medida para representar y comparar los tiempos de cada colegio, ¿qué medida ocuparían? Se espera que algunos estudiantes mencionen el tiempo que más se repite en cada colegio y que otros sugieran el promedio. Plantee una discusión sobre la conveniencia de usar una u otra medida. Asegúrese de que noten que, en cada caso, el valor que más se repite solo tiene asociados 3 registros, por lo que no sería un valor representativo de los tiempos de cada colegio.
Concuerde con los estudiantes que el promedio es una medida adecuada para comparar los tiempos de las participantes de los dos colegios, ya que en su  cálculo se consideran todos los datos.
Consideraciones didácticas
Esta actividad es parte de una secuencia que busca que los estudiantes experimenten por primera vez la necesidad de agrupar los datos para comparar dos conjuntos. En esta primera parte, se problematiza el uso de algunas medidas estadísticas para comparar dos conjuntos de datos. El uso de los valores  mínimo y máximo no entrega información que permita establecer diferencias significativas entre ellos, y se plantea el empleo de la media como una opción que tiene la ventaja de considerar todos los datos. Igualmente, se evaluará su utilidad para comparar estos datos en la siguiente actividad.

P. 55

Propósito
Que los estudiantes reconozcan las limitaciones de los diagramas de puntos para comparar conjuntos de datos que tienen un amplio rango de valores.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora (sugerida).
Gestión
Para continuar con la actividad anterior, pida a los estudiantes que calculen los promedios de los tiempos de cada colegio, y luego los comparen. Si disponen de una, sugiérales que usen la calculadora. Realice una puesta en común y pregunte: ¿cuál es el tiempo promedio de las niñas del colegio A? (40 min) ¿Y el tiempo promedio de las del colegio B? (También 40 min) ¿Eso significa que ambos colegios tuvieron el mismo desempeño en la maratón? Guíe una discusión en la que los estudiantes expongan sus argumentos a favor y en contra. Plantee una situación para que los estudiantes reconozcan que dos grupos que se comportan de manera distinta pueden tener el mismo promedio, como en el siguiente caso:
| Número de canastas por partido | Promedio
Belén | 0 0 0 0 7 7 7 | = 3
Ana | 0 1 2 3 4 5 6 | = 3
21
7
Concuerde con los estudiantes que el promedio, en este caso, no permitió establecer las diferencias que pueden existir entre los colegios. Pregunte: ¿de qué otra manera podríamos tratar de identificar diferencias en los resultados de los colegios? Asegúrese de que consideren la opción de comparar sus gráficos. ¿Qué tipo de gráficos pueden ser útiles? Se espera que entre los tipos mencionados estén los diagramas de puntos. Presente los diagramas de puntos de la Actividad 2 y pida que analicen los gráficos y busquen diferencias entre ellos. Luego, pregunte: ¿creen que este tipo de gráficos permite saber qué colegio tuvo mejor desempeño en la maratón? Incentívelos a dar sus argumentos.
Asegúrese de que los estudiantes noten que los datos tienen muchos valores distintos, lo que dificulta establecer diferencias entre ambos gráficos. Concuerde que, en este caso, los diagramas de puntos tienen una utilidad limitada.
Consideraciones didácticas
Esta actividad continúa la secuencia didáctica que busca que los estudiantes evalúen el alcance de algunas herramientas estadísticas para comparar conjuntos de datos. En particular, que reconozcan que la utilidad de los diagramas de puntos para mostrar la forma en que varían los datos, se ve limitada cuando estos toman muchos valores. De esta manera, se pretende establecer la necesidad de agrupar los datos para comparar distribuciones.

Tickets de salida página 55 • Tomo 2

P. 56

Propósito
Que los estudiantes comparen grupos de datos agrupados mediante diagramas de tallo y hojas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 3 y recuerde a los estudiantes cómo construir un diagrama de tallo y hojas tomando como ejemplo el diagrama de los tiempos del colegio A.
Invite a los estudiantes a completar el diagrama de los tiempos del colegio B en el Cuaderno de Actividades:
Hojas
6 8
2 2 3 3 4 6 8 9
1 1 1 3 5 8
1 2 2 5
Tallo
2
3
4
5
Tiempos colegio A
Hojas
5 9
1 1 4 6 8
0 0 0 2 2 3 4 7 7 8
1 2
Tiempos colegio B
A continuación, pida a los estudiantes que interpreten la información contenida en los diagramas. Pregunte: ¿cuántas niñas de cada colegio tuvieron tiempos de entre 30 y 50 minutos? (14 del colegio A y 15 del colegio B) ¿Qué colegio tiene más niñas por debajo del tiempo promedio de su colegio? (El colegio A) Al mirar estos gráficos, ¿qué colegio dirían que tuvo mejor desempeño en la maratón? Se espera que los estudiantes señalen que el colegio A tuvo mejor desempeño en la maratón porque hay más niñas que obtuvieron tiempos por debajo del promedio. ¿En qué parte de los diagramas se puede ver que el desempeño del colegio A es mejor que el del colegio B? (En las dos primeras filas de datos) ¿Qué sugieren esas filas? (Que hay más niñas en el colegio A que tuvieron tiempos menores que 40 min).
Finalmente, pregunte: ¿qué gráfico fue más útil en este caso, el diagrama de tallo y hojas o el diagrama de puntos? Se espera que los estudiantes reconozcan que para este tipo de datos, el diagrama de tallo y hojas permite ver diferencias que en el diagrama de puntos no es posible observar directamente.
Cierre esta actividad mencionando las siguientes ideas:
• En muchas ocasiones para observar diferencias en los datos  provenientes de dos conjuntos es necesario agruparlos.
• Los diagramas de tallo y hojas permiten presentar los datos agrupados; en este caso, en intervalos de 10 minutos.
• Aun cuando los datos están agrupados, el diagrama de tallo y hojas también permite observar cada dato de manera individual.

Cuaderno de Actividades página 30 • Tomo 2
Tickets de salida página 56 • Tomo 2

17

P. 57

Propósito
Que los estudiantes reconozcan la necesidad de usar gráficos de barras dobles para comparar dos grupos de datos.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Presente la situación descrita en el Texto del Estudiante y pregunte: ¿cuál es el problema que desea investigar Nahuel? (Saber si la campaña de prevención de accidentes de su colegio tuvo éxito) ¿De qué datos dispone? (El número de estudiantes que se lesionaron en cada lugar antes y después de la campaña) ¿Cómo crees que obtuvo los datos? (Encuestando a los estudiantes del colegio o preguntando en enfermería) ¿Qué puede hacer Nahuel con estos datos para responder su inquietud? (Compararlos) ¿Cómo puede comparar los datos? (Comparando el número de estudiantes que tuvieron lesiones en cada lugar, antes y después de la campaña) ¿De qué otra manera podría comparar los datos? (A través de gráficos) ¿Qué tipo de gráfico puede ser útil para comparar las frecuencias que aparecen en las tablas? (Gráficos de barras). Concuerde con los estudiantes la pertinencia de usar gráficos de barras para representar y comparar las frecuencias de los tipos de lesiones antes y después de la campaña.
A continuación, pida a los estudiantes que en su cuaderno dibujen gráficos de barras para ambas tablas (Actividad 1) y luego las comparen. Después de un tiempo, dibuje o proyecte en la pizarra los dos gráficos, uno al lado del otro.
(Estudiantes)
Patio
10
Pasillo
Salas
Gimnasio
8
Escaleras
Pregunte: al mirar los dos gráficos, ¿se puede afirmar que la campaña de prevención de accidentes del colegio de Nahuel fue exitosa? Se espera que los estudiantes comparen las alturas de las barras para señalar que en algunos lugares disminuyó el número de accidentes, pero que en otros se mantuvo o aumentó levemente.
Luego, pida a los estudiantes que comenten la idea de Sami, el personaje que aparece en el texto. Pregunte: ¿cómo sería el gráfico que imagina Sami? Anímelos a pensar en distintas formas en que podría construir un gráfico de ese tipo; (por ejemplo, podrían proponer gráficos en que las barras estén juntas o gráficos verticales en los que las barras estén enfrentadas a la izquierda y la otra a la derecha del eje) ¿Qué ventajas podría tener un gráfico así? (Permitiría tener toda la información en un solo gráfico, y sería más fácil comparar las lesiones antes y después de la campaña).

Lesiones antes de la campaña

Lesiones después de la campaña

(Lugares)

P. 58

Propósito
Que los estudiantes construyan, lean e interpreten gráficos de barras dobles.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la actividad de esta página y pida que interpreten la información que aparece en el gráfico. ¿Qué representan las barras de color azul? (El número de estudiantes que se lesionaron en cada lugar antes de la campaña) ¿Qué representan las barras de color rosado? (El número de estudiantes que se lesionaron en cada lugar después de la campaña).
Invite a los estudiantes a completar el gráfico en el Cuaderno de Actividades. Dé un tiempo para que lo completen, y luego dibuje o proyecte el gráfico en la pizarra:
Lesiones antes y después de la campaña
Estudiantes
Antes de la campaña
Después de la campaña
Pregunte: al mirar el gráfico, ¿en qué lugares disminuyeron las lesiones después de la campaña? (En el patio y las escaleras) ¿Cuántas lesiones menos ocurrieron en el patio después de la campaña? (7 lesiones menos) ¿En qué lugares es necesario reforzar los cuidados para prevenir lesiones? (En el gimnasio) ¿De qué manera el gráfico te ayudó a decidirlo? (Mirando las barras que se presentan más altas, antes y después de la campaña) ¿Les resultó más fácil comparar las frecuencias con este gráfico que usando los dos gráficos de barras separados? ¿Por qué? (Es más fácil y rápido poder comparar las frecuencias con un gráfico en que las barras  están juntas).
Concluya la actividad señalando que este tipo de gráficos se llaman gráficos de barras dobles y son útiles para comparar dos grupos de datos. En este caso sirvió para comparar el número de lesiones en cada lugar, antes y después de la campaña.
Invite a los estudiantes a responder las preguntas de la sección Practica. Monitoree el trabajo y haga una breve puesta en común para que compartan las respuestas.
Consideraciones didácticas
En los gráficos de barras dobles intervienen dos variables. En el problema propuesto, una variable es “lugar donde ocurren las lesiones”, cuyas categorías son patio, pasillo, salas, gimnasio y escaleras. La otra variable es “momento en que ocurren las lesiones”, que tiene asociadas las categorías “antes de la campaña” y “después de la campaña”. En este caso, el gráfico describe las frecuencias de las categorías de la primera variable.

Cuaderno de Actividades página 32 • Tomo 2
Tickets de salida página 58 • Tomo 2

P. 59

Propósitos
Que los estudiantes lean e interpreten la información contenida en un gráfico circular.
Que comprendan las características de los gráficos circulares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1 a los estudiantes. Pregunte: ¿a qué tipo de libros corresponden los porcentajes del gráfico? (Novelas, cuentos, cómics y otros) ¿Qué porcentaje de cada tipo hay en la biblioteca? (40 % novelas, 18 % cuentos, 12 % cómics y  30 % otros) ¿Cuánto suman  todos los porcentajes? (100 %) Si hiciéramos el mismo gráfico para los libros de otra biblioteca, ¿los porcentajes sumarían 100 %? ¿Por qué? (Sí, porque el 100 % corresponde al total de libros de la biblioteca). Haga notar a los estudiantes que el gráfico circular, a diferencia de los vistos anteriormente, tiene la particularidad de presentar la frecuencia de los datos de cada categoría en porcentajes.
A continuación, pregunte: al mirar el gráfico, ¿qué tipo de libros hay más en la biblioteca? (Novelas) ¿En qué se fijaron para responder? (En los porcentajes, en el tamaño de cada parte del gráfico). Pida a los estudiantes que ordenen de menor a mayor los tipos de libros, fijándose solo en el tamaño de los sectores circulares.Destaque que los gráficos circulares tienen la ventaja de poder comparar fácilmente las frecuencias de las distintas categorías, comparando visualmente el área de los sectores circulares asociados a ellas.
Luego, solicite a los estudiantes que resuelvan la Actividad 1 c). Asegúrese de que comprendan que deben calcular el 40 % de 3 600. Monitoree el trabajo observando las distintas estrategias utilizadas y apoyándolos en el cálculo. Se espera que los estudiantes asocien el porcentaje a fracciones y/o utilicen modelos de barras:
10 % de 3 600 es la décima parte de 3 600, que es 360. Luego, 40 % de 3 600 es 4 veces 360, esto es 4 • 360 = 1 440.
10 %
?
360
3 600
Realice una puesta en común en la que los estudiantes expongan sus estrategias.
Consideraciones didácticas
Al presentar un nuevo gráfico, es importante que los estudiantes analicen sus ventajas y limitaciones respecto de gráficos conocidos. En el caso del gráfico circular, una ventaja es que permite comparar fácilmente las frecuencias porcentuales de las categorías entre sí y de cada una respecto del total de datos (100 %). Sin embargo, requiere del cálculo de porcentajes para recuperar las frecuencias absolutas de cada categoría.

Cuaderno de Actividades página 33 • Tomo 2

P. 60

Propósito
Que los estudiantes construyan gráficos circulares a partir de un círculo graduado en 100 partes iguales.
Habilidad
Representar.
Recursos
Calculadora, lápices de colores.
Gestión
Presente la Actividad 2 a los estudiantes y pregunte: ¿qué información presenta la tabla? (Tipos de lesiones, el número de estudiantes relacionado a cada lesión y los porcentajes de cada uno respecto del total) ¿Qué es lo primero que debemos hacer para construir el gráfico? (Calcular los porcentajes de datos de cada categoría). Pídales que vayan al Cuaderno de Actividades y completen la tabla con los porcentajes. Recuérdeles cómo calcular un porcentaje usando razones y sugiérales seguir el ejemplo de la mascota y usar calculadora para obtener los resultados. Deles unos minutos para que trabajen en eso, y luego seleccione algunos estudiantes para que completen la tabla en la pizarra.
Tipos | Número de estudiantes | Porcentajes (%)
Cortes | 30 | 12
Moretones | 75 | 30
Rasguños | 60 | 24
Torceduras | 45 | 18
Esguinces | 25 | 10
Otros | 15 | 6
Total | 250 | 100
A continuación, presente el gráfico circular que hay que completar y pregunte: ¿cuál es el título del gráfico? (Tipo de lesiones) ¿Qué representan las marcas en el contorno del gráfico? (Cada marca indica un 1 %) ¿Qué información contiene la leyenda? (El color asociado a cada categoría del gráfico). Concuerde con los estudiantes los colores que van a usar para cada categoría. Haga notar que deben ser colores distintos. Dibuje el sector circular relacionado a la primera categoría en la pizarra y explique cómo se debe continuar en el sentido del reloj. Pida que dibujen y pinten el resto de los sectores circulares y recuérdeles colocar los porcentajes asociados a cada uno sobre el gráfico.
Para finalizar, seleccione algunos estudiantes para que muestren sus gráficos. Destaque que la construcción del gráfico circular es posible gracias a que está previamente graduado en 100 partes iguales.
Consideraciones didácticas
Usar círculos graduados en 100 partes iguales facilita la construcción de gráficos circulares. Cuando no existen estas marcas, los estudiantes deben usar proporciones para determinar el ángulo del centro de cada uno de los sectores circulares y usar un transportador para dibujarlos. Esto complejiza bastante la construcción y además se encuentra más allá de las competencias de los estudiantes de 5º año básico. El uso de círculos graduados es una alternativa sencilla que se ajusta completamente a las posibilidades de los estudiantes de este nivel escolar.

Tickets de salida página 60 • Tomo 2

P. 61

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con gráficos.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente los ejercicios propuestos en el Texto del Estudiante y en la medida que lee las preguntas consulte a los estudiantes qué entienden que deben hacer en cada caso. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les pide realizar. Pida que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Monitoree el trabajo de los estudiantes y realice preguntas que apoyen sus esfuerzos por responder a cada tarea.
En el Ejercicio 1 deben leer e interpretar la información contenida en el gráfico de barras dobles. Pida que señalen en qué se fijaron en el gráfico para responder cada pregunta.
Haga una puesta en común en la que compartan las respuestas con sus compañeros. Pida a los estudiantes que presenten sus dudas y errores al curso para analizarlos y corregirlos entre todos.
En el Ejercicio 2 deben leer e interpretar la información contenida en el gráfico circular y calcular la cantidad de estudiantes correspondientes a los porcentajes de cada categoría.
Pida que se reúnan en parejas para desarrollarlo. Monitoree el trabajo e identifique las dificultades que puedan tener. En particular, ponga atención a las dificultades en el cálculo de porcentaje que puedan presentar. En estos casos, recuérdeles la manera de calcular porcentajes mediante ejemplos.
Haga una puesta en común para revisar las respuestas. Presente los errores o dificultades que pudo observar durante el monitoreo y plantee una discusión en la que los estudiantes los analicen y corrijan.

Cuaderno de Actividades páginas 35, 36 y 37 • Tomo 2
Tickets de salida página 61 • Tomo 2

P. 62

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con gráficos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que lean el problema propuesto en el Texto del Estudiante. Formule algunas preguntas para evaluar la comprensión de la situación planteada: ¿qué información se presenta en la primera tabla? ¿Y en la segunda? ¿Qué es lo que se pide realizar en el problema 1 a)?
A continuación, asegúrese de que recuerdan cómo construir un diagrama de tallo y hojas. Pregunte: ¿qué es lo primero que debemos hacer para construir el diagrama de tallo y hojas? (Ordenar los datos de menor a mayor) ¿Qué representan los números en los tallos? ¿Y en las hojas? (En el tallo están los dos primeros dígitos de las alturas de los jugadores y en las hojas el dígito de la unidad).
Pida que resuelvan el problema en su cuaderno.  Monitoree el trabajo de los estudiantes y realice preguntas que apoyen sus esfuerzos. Identifique dificultades y errores frecuentes para abordarlos en la puesta en común.
Pida a varios estudiantes que pasen a la pizarra a dibujar ambos diagramas.
Hojas
5 6
0 0 0 1 4 5 5 6 7 8 9 9 9 9
0 0 1 2 3 5 5
Tallo
16
17
18
19
Hojas
8 9 0 1 1 4 6 8 8 9 9
0 0 2 4 4 5 5 6 7 8
2 3
Altura selección alemana
Altura selección chilena
Plantee preguntas para que los estudiantes interpreten la información de los gráficos: ¿qué significa el 8 en la primera fila del diagrama de la derecha? (Que la altura de uno de los jugadores de la selección chilena es 168 cm) ¿Qué significa que en la primera fila del diagrama de la izquierda no haya ningún número? (Que no hay jugadores de la selección alemana que midan menos de 170 cm).
¿Cuántos jugadores de cada selección miden 180 cm o más? (21 jugadores de la selección alemana y 12 jugadores de la selección chilena). Si miramos solo el diagrama de las alturas de los jugadores chilenos, ¿podríamos decir que los jugadores son bajos de estatura? ¿Cómo son las estaturas de los jugadores chilenos respecto de la altura de los jugadores de Alemania? Pida que argumenten usando información de los gráficos.
Revise las respuestas de los ítems del problema y concluya pidiendo a los estudiantes que describan lo que aprendieron en las clases relacionadas con gráficos.

Tickets de salida página 62 • Tomo 2

Repaso 3

P. 63

Capítulos 11 - 14

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con lenguaje algebraico y ecuaciones, multiplicación y división de decimales, área de cubos y paralelepípedos y datos.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 14.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 11), determinan la ecuación que modela una situación de iteración de una cantidad, cuya incógnita es la cantidad que se itera.
En la Pregunta 2 (Capítulo 11), resuelven ecuaciones de dos pasos que involucran cálculos aditivos  y multiplicativos.
En la Pregunta 3 (Capítulo 12), resuelven un problema en que deben calcular una multiplicación de dos números decimales.
En la Pregunta 4 (Capítulo 12), calculan multiplicaciones y divisiones de números decimales.
En la Pregunta 5 (Capítulo 13), calculan el área total de:
a) un paralelepípedo.
b) un prisma de base triangular.
En la Pregunta 6 (Capítulo 14), extraen información directa a partir de un gráfico de barras doble, reconociendo la menor y mayor frecuencia de cada variable, y comparando valores absolutos. Se espera que los estudiantes comparen las barras de manera perceptiva y estimen el valor de los datos solicitados.

Capítulo 15

Volumen de cubos y paralelepípedos

Visión general
La noción de volumen se estudia al término de la Educación Básica, por tanto, en este capítulo se inicia el aprendizaje de esta magnitud. La propuesta didáctica plasmada en este capítulo comienza comparando el tamaño de prismas rectangulares con la intención de que a los estudiantes no les baste la percepción y tengan la necesidad de medir para tomar la decisión de cuál objeto tiene mayor tamaño. La medición del volumen se plantea a lo largo del capítulo con diferentes condiciones para que los estudiantes avancen del conteo de cubos al cálculo de arreglos rectangulares, usando la multiplicación, y al cálculo que relacione las medidas de longitud, área y volumen que les permita comprender y utilizar fórmulas. En todo este proceso se utilizan distintos tipos de representaciones que contribuyen a que los estudiantes elaboren conjeturas y las justifiquen. Asimismo, se promueve la comprensión del significado e interrelaciones de unidades de medida de volumen.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA19: Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos expresando el resultado en cm3, m3 y mm3.
Aprendizajes previos
Cálculo del área de rectángulos y cuadrados.
Identificar características de las caras y aristas de paralelepípedos y cubos.
Cálculo del área de paralelepípedos y cubos.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

15

P. 64

Propósito
Que los estudiantes comparen el volumen de dos paralelepípedos poniéndolos juntos.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, tijeras y cinta adhesiva. Paralelepípedos de Matías, Gaspar y Ema elaborados en cartulina, esponja o plumavit. Cuadriculado página 83 del Cuaderno de Actividades.
Gestión
Comience la clase indicando que desarrollarán la Actividad 1, en la cual deberán armar un cubo o un paralelepípedo lo más grande posible, respetando las siguientes condiciones: (a) armar el cuerpo a partir de una red, (b) dibujar la red en el papel cuadriculado (9 cm · 14 cm).
Una vez que hayan armado los cuerpos, pregunte: ¿quién formó el cubo o paralelepípedo de mayor tamaño? ¿En qué se fijan para compararlos? Registre los argumentos planteados por los estudiantes para comparar los cuerpos sin pretender todavía corregirlos o validarlos, ya que estas ideas preliminares se pondrán a prueba en la siguiente actividad.
Pídales que lean la Actividad 2 y explique que, al igual que ellos, Matías, Gaspar y Ema hicieron unos paralelepípedos, y que en las imágenes se aprecia la manera en que los ubicaron para compararlos y decidir cuál era el de mayor tamaño. Pregúnteles: ¿cuál de las tres cajas es la que tiene mayor tamaño? Relacione los argumentos planteados en ambas actividades destacando, por el momento, aquellos relacionados con la comparación directa cuando algunas de sus caras tienen el mismo tamaño y otras solo son más largas, como ocurre con las figuras A y B, y A y C. Ejemplifique utilizando las cajas, comparándolas a través de la unión de sus caras y deduciendo que, en ambos casos, el paralelepípedo de Matías es el más pequeño, ya que se aprecia que los otros paralelepípedos se podrían descomponer en el cuerpo de Matías y otra parte. También lo puede explicar señalando que al juntar los cuerpos por caras distintas pero de igual ancho y alto, se puede ver que hay una parte que sobresale.

P. 65

Propósito
Que los estudiantes comparen el volumen de cubos y paralelepípedos a través de la unión de sus caras, identificando los casos en que pueden asegurar que un cuerpo tiene mayor tamaño que otro.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Paralelepípedos de Matías, Gaspar y Ema elaborados en cartulina, esponja o plumavit.
Gestión
Pida a los estudiantes observar en el texto los paralelepípedos de Matías, Gaspar y Ema destacando que las imágenes tienen señaladas las medidas del largo, ancho y alto. Pregúnteles: ¿cuál de los paralelepípedos tiene la arista más larga? ¿Y cuál tiene la cara de mayor área? ¿Será el de mayor tamaño el paralelepípedo de Ema o el de Gaspar?
Vuelva a comparar los prismas rectangulares de Matías y Gaspar juntando una de las caras, pero agregando al argumento la medida de las aristas. Proyecte una imagen como la siguiente, y pregunte: ¿cuánto mide el ancho y el alto de ambos paralelepípedos? ¿Qué medidas tiene la parte que sobresale del prisma de Gaspar?
Destaque en la imagen que la diferencia de 1 cm en el largo de ambos paralelepípedos determina que la parte que sobresale es un paralelepípedo de ancho 3 cm, alto 2 cm y largo 1 cm.
Largo 3 cm
Largo 4 cm
Altura 2 cm
Ancho 3 cm
Análogamente, compare el paralelepípedo de Matías y el cubo de Ema procurando que los estudiantes reconozcan que estos cuerpos tienen igual el ancho y el largo, pero el cuerpo de Ema tiene 1 cm más de altura, por lo que el cuerpo que sobresale cuando se comparan juntando una de sus caras, es un paralelepípedo de ancho 3 cm, largo 3 cm y alto 1 cm.
Pregunte: ¿cuál figura tiene mayor tamaño, la de Gaspar o la de Ema? Es probable que algunos estudiantes perciban más grande la figura de Ema. En dicho caso, pregunte si alguien percibe que la figura de Gaspar tiene mayor tamaño. Esto, con el fin de que reconozcan que es necesario buscar un procedimiento que permita comprobar, sin ambigüedades, cuál de las figuras tiene mayor tamaño. Pregunte: ¿servirá el procedimiento utilizado anteriormente? ¿Por qué? Es posible que algunos estudiantes logren identificar que las partes que sobresalen de ambos cuerpos son paralelepípedos que tienen algunas aristas de la misma medida.
Lo que sobresale del prisma de Gaspar mide 3 cm, 2 cm y 1 cm, mientras que la parte que sobresale del prisma de Ema mide 3 cm, 3 cm y 1 cm. Si se unen ambos cuerpos por la cara que mide 3 cm por 1 cm, se puede deducir que el prisma de Ema es el de mayor tamaño.
Consideraciones didácticas
El concepto de volumen les resulta complejo de comprender a los estudiantes, ya que tal como se evidencia en las actividades planteadas, pone en juego otras magnitudes, como la longitud y la superficie. En esta clase se enfatiza una idea preliminar del volumen asociada al tamaño de los objetos que se pueden comparar cuando tienen dos de las tres dimensiones de igual medida, lo que posibilita reconocer la diferencia de tamaño como una parte que sobresale de un cuerpo. La importancia de esta primera idea es que permite evidenciar que una diferencia de 1 cm en la longitud de una de las aristas se percibe como una parte que sobresale. Se debe promover que visualicen el cuerpo más grande como dos cuerpos, uno igual al que se compara y otro. La idea es que comiencen a ver el volumen como la parte del espacio que ocupa una figura 3D.
La noción de volumen se irá profundizando gradualmente durante las clases siguientes, manipulando cubos y paralelepípedos, utilizando representaciones que contribuyan a relacionar las magnitudes de longitud y superficie para comprender el volumen, y enfatizando que los estudiantes indaguen y comuniquen sus ideas considerando que el error es parte de la actividad matemática.

Ticket de salida página 65 • Tomo 2

Capítulo 15    Volumen de cubos y paralelepípedos

P. 66

Propósito
Que los estudiantes comprendan la medición del volumen de prismas rectangulares usando como unidad cubos de 1 cm de arista.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Paralelepípedos de Matías, Gaspar y Ema elaborados en cartulina, esponja o plumavit. 51 cubos de 1 cm3.
Gestión
Comience la clase dibujando dos segmentos, un rectángulo y un cuadrado que tengan una pequeña diferencia en sus medidas, y ubicados de tal modo que no sea evidente compararlos perceptivamente, como por ejemplo:
Pregunte: ¿cuál segmento es más largo? ¿Cuál figura tiene mayor área? Asocie la dificultad para comparar estas figuras con lo que ocurrió en la clase anterior cuando compararon los paralelepípedos de Ema y Gaspar. Señale que les ha pedido comparar los segmentos y los cuadriláteros para que piensen usando la longitud y el área, que son dos magnitudes con las que están más familiarizados, para luego volver a la comparación del volumen. Pregunte: ¿qué se les ocurre hacer para saber cuál segmento es el más largo? ¿Podríamos utilizar un instrumento? Destaque que para comparar la longitud pueden utilizar una regla y así determinar cuántos centímetros caben en cada segmento. La medición permite saber con seguridad cuál segmento es el más largo. ¿Qué harían ahora para saber cuál de los dos cuadriláteros tiene mayor área? ¿Podríamos medir o calcular el área? Destaque que para calcular el área multiplican largo por ancho, lo que permite determinar cuántos centímetros cuadrados, caben en cada figura.
Llévelos a pensar en la medición del volumen de los cuerpos de Gaspar y Ema ¿qué unidad se podría utilizar para medir el volumen de los paralelepípedos? Destaque que la unidad utilizada para medir la longitud fue el centímetro que es una longitud. La unidad utilizada para medir el área fue un cuadrado unitario, que es una superficie, entonces, ¿qué característica debería tener la unidad para medir el volumen? Explique que la unidad de medida debe ser de la misma naturaleza que la magnitud, y que para el volumen se usan cubos, ya que permiten medir el espacio que ocupa una figura 3D.
Pídales formar con cubos de 1 cm de arista los prismas rectangulares de Ema y Gaspar tal como se muestra en la imagen del texto. ¿Pueden saber ahora cuál tiene mayor tamaño? ¿Con cuántos cubos formaron cada paralelepípedo? Destaque que la cantidad de cubos corresponde al volumen de los cuerpos, es decir, el cuerpo de Ema se forma con 27 cubos mientras que el de Gaspar se forma con 24 cubos.
Proponga que desarrollen la Actividad 3 y que indiquen el volumen de cada figura 3D. Pídales que intenten imaginar cuántos cubos se necesitan para formar cada paralelepípedo y que luego lo verifiquen usando cubos de 1 cm de arista.
Consideraciones didácticas
En esta clase se aborda el volumen como una magnitud equivalente a la cantidad de cubos que forman un cuerpo o caben en él.
En esta clase se recurrió a problemas análogos con otras magnitudes como estrategia para que los estudiantes reconocieran la necesidad de medir el volumen y comparar las características de las unidades de medición. De esta forma se logra relacionar las magnitudes, así como profundizar en el concepto de medición.

P. 67

35 minutos

10 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado del centímetro cúbico como unidad de volumen.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que lean y expliquen lo indicado en el recuadro sobre la unidad convencional para medir el volumen. Pregunte: ¿qué es 1 cm3? ¿Cómo se lee? ¿Para qué se utiliza? ¿Cómo interpretan 8 cm3?
Destaque que 1 cm3 es una unidad para medir el volumen que corresponde a una cantidad de espacio, que incluso puede tener otra forma. Por ejemplo, si se derrite un cubo de hielo de 1 cm de arista, la cantidad de agua sigue siendo 1 cm3.
Proponga desarrollar la Actividad 4 y monitoree cómo los estudiantes cuantifican la cantidad de cubos de 1 cm3 que forman los cuerpos. Se espera que identifiquen grupos de cubos que forman una hilera, o una cara, y luego cuenten cuántas de ellas forman la figura. Apoye a los estudiantes que tengan dificultades para imaginar todos los cubos que forman un cuerpo proporcionándoles cubos unidad de 1 cm3 para que formen el cuerpo, y luego los cuenten. Destaque que el volumen se debe expresar señalando la unidad de medida. Así, por ejemplo, el volumen de la figura 4 a) es 18 cm3.
Desafíelos a formar diferentes figuras 3D que tengan un volumen de 12 cm3. Pregunte: ¿se pueden formar otras figuras diferentes a las de la imagen? ¿Cuál de estas es la que tiene mayor tamaño? Se espera que expliquen que todos tienen el mismo tamaño a pesar de que tengan diferente forma.
Pídales que desarrollen los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
En esta clase se procura ampliar el concepto de volumen formalizando la unidad de medida 1 cm3, pero sobre todo reconocer que un volumen no está asociado a una forma en particular. Por eso es esencial que los estudiantes tengan la oportunidad de formar figuras 3D usando cubos de 1 cm3 para que reconozcan que el volumen es independiente de la forma, es decir, que se pueden formar distintas figuras que tengan un mismo volumen.

Cuaderno de Actividades página 38 • Tomo 2
Ticket de salida página 67 • Tomo 2

P. 68

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo calcular el volumen de un paralelepípedo a partir de sus medidas lineales (largo, ancho y alto).
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Proponga que observen la figura de la Actividad 1 y que la comparen con las de la página anterior. Pregunte: ¿en qué son diferentes? Oriéntelos para que noten que esta figura no está formada por cubos y que lo que conocemos es la medida de sus aristas. Pregunte: ¿servirá esta información para determinar el volumen del paralelepípedo?
Guíelos para que se imaginen que el paralelepípedo está formado por cubos de 1 cm3. Pregunte: ¿cuántos cubos cubrirán la base del prisma? Esos cubos forman una primera capa. ¿Cuántas capas iguales necesitaremos para llenar el prisma con cubos? En total, ¿cuántos cubos serán?
Promueva la reflexión sobre lo que hicieron para calcular la cantidad total de cubos. Recuerde: primero calcularon cuántos cubos se necesitan para cubrir la base: 3 x 2 = 6 cubos. Luego se dieron cuenta de que necesitaban 4 veces esos 6 cubos para formar el paralelepípedo y multiplicaron 6 x 4 = 24 cubos. Pregunte: si para llenar este cuerpo se necesitan 24 cubos de 1 cm3, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo? ¿Cuál es la unidad de medida? ¿A qué nos referimos cuando decimos que el volumen de este cuerpo es 24 cm3? Se espera que concluyan que esa medida corresponde al espacio ocupado por el paralelepípedo.
Siga la misma pauta para gestionar la Actividad 2. Sugiera que se imaginen cuántos cubos de 1 cm3 son necesarios para cubrir la base de este cuerpo formando una primera capa. Luego, cuántas de estas capas se necesitan para formar el paralelepípedo. Finalmente, que determinen la cantidad total de cubos de 1 cm3 que puede contener el paralelepípedo e interpreten el cm3 como la unidad para expresar el volumen del paralelepípedo.
Consideraciones didácticas
Es posible que algunos estudiantes conozcan la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo: largo por ancho por alto, pero no comprendan su significado. Es importante que, a través del proceso de imaginar al  paralelepípedo formado por cubos unitarios, entiendan cómo se origina la fórmula.

Ticket de salida página 68  •  Tomo 2

P. 69

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo calcular el volumen de un paralelepípedo a partir del área basal y la altura correspondiente.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla graduada en centímetros.
Gestión
Comunique a los estudiantes que en esta clase abordarán otra manera de calcular el volumen de un paralelepípedo.
Pida que observen una hoja de papel: ¿Cuáles son sus medidas? Es muy probable que midan solo dos: largo y ancho. Pregunte: ¿cuál es su grosor? Tal vez digan que no tiene, o que es tan pequeño que no se puede medir. Pregunte: ¿qué sucede si apilamos muchas hojas? ¿Se podrá medir la altura de la pila?
Proponga que observen la figura de la Actividad 3 y respondan las preguntas. En a) se espera que asocien el producto del largo por el ancho al área de la hoja; en b), que relacionen la altura de la pila con la de un paralelepípedo, y en c), que relacionen el producto de sus tres medidas lineales con su volumen.
En la Actividad 4 se espera que, por analogía, asocien el área de la base del prisma al área de la hoja de papel, y la altura del prisma al alto de la pila. Pregunte: ¿cuál es el área de la base? ¿Cuál es la altura? ¿Cuál es el volumen? Deténgase el tiempo que sea necesario para que los estudiantes establezcan claramente las relaciones entre los cálculos realizados a partir de las medidas de la pila de hojas y los que han hecho al considerar las medidas en las tres dimensiones del prisma.
A continuación, lean y expliquen la información contenida en el recuadro. Pregunte: ¿cuál es la base del paralelepípedo? ¿Qué hacemos para calcularla? ¿Y cuál es la altura correspondiente? Entonces, ¿cuál es su volumen?
Finalmente, indique que escriban en su cuaderno la información dada en el recuadro.
Consideraciones didácticas
Concebir el volumen de un paralelepípedo como equivalente a la cantidad de cubos unitarios con los que se puede llenar constituye una primera aproximación al cálculo del volumen. Otra manera de abordar este concepto es considerar que el área de la base, una figura plana (como la representación de una hoja de papel), asciende horizontalmente, rellenando todo el espacio interior del cuerpo, hasta alcanzar la base superior. A este recorrido corresponde la idea de multiplicar la altura del paralelepípedo por el área de su base. No es una idea sencilla, pero la representación de las hojas de papel apiladas puede ayudar bastante a asimilarla.

Cuaderno de Actividades página 39 • Tomo 2
Ticket de salida página 69 • Tomo 2

P. 70

Propósito
Que los estudiantes comprendan la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo y de un cubo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Un paralelepípedo de cualquier material cuyas medidas correspondan a una cantidad entera de centímetros.
Gestión
Pida que revisen lo que anotaron la clase anterior sobre el cálculo del volumen de un paralelepípedo. Pregunte: ¿cuál es la base de un paralelepípedo? ¿Y cuál es su altura? Genere una discusión, a partir de un paralelepípedo concreto, para concluir que la base depende de la posición del cuerpo, que cualquiera de sus caras puede ser considerada como base, y que cada base tiene una altura correspondiente.
Indique que lean la Actividad 5 y pregunte: ¿obtendrán el mismo volumen en los tres cálculos? Pida que los hagan para comprobar su expectativa. Cuando hayan terminado, pregúnteles: ¿por qué creen que obtuvieron el mismo resultado en los tres casos?
En la Actividad 6 proponga que piensen cómo calcular el volumen de un cubo. Sugiérales que se imaginen cuántos cubitos de 1 cm3 necesitan para cubrir la base de ese cubo formando una primera capa. Y luego, con cuántas capas se llenará el cubo. Una vez que hayan calculado el total de cubitos, pregunte: ¿cuál es el volumen del cubo? ¿qué unidad de medida estamos utilizando?
Pida que consideren el proceso y pregunte: para determinar la cantidad de cubos de la primera capa, ¿qué números multiplicaron? ¿Cuántas capas necesitaron? ¿Y cómo determinaron la cantidad total de cubos? Oriéntelos para que comparen el cálculo del volumen en el cubo y en el paralelepípedo. En este último multiplicaron el área de la base (largo por ancho) por el alto. En el caso de este cubo:
• el área de la base es 3 cm · 3 cm = 9 cm2
• el volumen es 9 cm2 · 3 cm = 27 cm3
Concluyan que para calcular el volumen de un cubo basta con multiplicar la medida de su arista por sí misma, una vez para obtener el área de la base y otra vez para obtener el volumen en unidades cúbicas. Pida que lean el recuadro, verifique que hayan comprendido lo que dice e indique que lo anoten en su cuaderno.
Consideraciones didácticas
En el cálculo del volumen del paralelepípedo a partir de distintas áreas basales los estudiantes aplican en forma implícita las propiedades de conmutatividad y de asociatividad de la multiplicación. Por tanto, la igualdad de los resultados puede fundamentarse tanto desde la conceptualización del volumen como desde las relaciones aritméticas puestas en juego.
Resulta interesante notar que la propuesta didáctica consiste en considerar el cálculo del volumen del cubo como un caso particular del cálculo del volumen de un paralelepípedo, en el cual largo, ancho y alto miden lo mismo.

Ticket de salida página 70 • Tomo 2

P. 71

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas asociados al cálculo de volumen.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Papel o cartulina, tijeras, cinta adhesiva.
Gestión
Para que realicen la Actividad 7, proponga a los estudiantes que se imaginen que arman un paralelepípedo con la red dibujada. Pregunte: ¿cuál cara puede ser la base? Si esa es la base, ¿cuál es la altura correspondiente? ¿Cómo calculan el volumen?
Incentívelos para que distintos estudiantes consideren diferentes caras como base, y luego corroboren si obtuvieron el mismo valor para el volumen. ¿Qué números multiplicaron? Procure que se den cuenta de que en todos los cálculos del volumen intervienen los mismos tres factores (2, 5 y 9), aunque en distintos órdenes.
Proponga un nuevo desafío: armar cajas cuyo volumen sea 200 cm3. Pregunte: ¿podrán hacerlo? ¿Qué medidas podrían tomar? ¿Cómo encontrarlas?
Ponga los materiales a su disposición y observe, mientras trabajan, qué dificultades experimentan, qué errores cometen, qué ideas ponen a prueba. Algunos pensarán que necesitan apilar 200 cubos de 1 cm3 para armar la caja pedida, otros propondrán erróneamente dividir 200 por 3 para encontrar la arista de una caja cúbica, y otros querrán armar la caja usando una cartulina de área 200 cm2.
Una vez que hayan logrado armar varias cajas, pida a algunos estudiantes que las presenten y expliquen por qué su volumen es 200 cm3 y cómo encontraron sus medidas.
Estimule la reflexión sobre la variedad de las formas que han obtenido. Han armado cajas con diferentes medidas lineales y con el mismo volumen. ¿Pensaban que esto era posible? Formule otras preguntas, como por ejemplo: si juntamos dos cajas, ¿cuál es el volumen de la figura 3D formada? ¿Podrían armar una caja cuyo volumen sea 400 cm3?
Finalmente, introduzca la Actividad 1. Pregunte: ¿cómo podrían calcular el volumen de esta figura 3D? Permítales expresar sus ideas y anuncie que en la próxima clase continuarán resolviendo este problema.
Consideraciones didácticas
En esta clase se propone una actividad inversa a la que han venido realizando. En vez de pedir calcular el volumen de un paralelepípedo a partir de sus medidas, se pide determinar las medidas lineales a partir de su volumen. En el primer caso el cálculo se reduce a multiplicar tres números naturales. En el segundo se trata de factorizar, de encontrar tres números cuyo producto está dado (200). Al comparar diferentes tríos de factores y de armar las cajas correspondientes, los estudiantes avanzarán en su comprensión del concepto y del cálculo del volumen.
Algunos estudiantes, al no encontrar diversos factores enteros, se darán cuenta de que pueden recurrir a los números decimales. Si usan la calculadora, encontrarán una mayor variedad de paralelepípedos de 200 cm3. También se les puede sugerir que busquen la caja más larga o la más baja posible con el mismo volumen.

Cuaderno de Actividades página 40 • Tomo 2
Ticket de salida página 71 • Tomo 2

P. 72

Propósito
Que los estudiantes comprendan distintas estrategias para calcular el volumen de figuras 3D descomponibles en prismas rectangulares o cubos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Recuerde las ideas que surgieron en la clase anterior para calcular el volumen la figura 3D dibujada. Valore especialmente las que apunten a descomponerla.
Invite a sus estudiantes a examinar en el texto las ideas de Gaspar y Sofía. Pregunte: ¿qué hizo Gaspar? Se espera que observen que dividió la figura en dos paralelepípedos mediante un corte vertical y que luego calculó los volúmenes: 5 · 2 · 8 cm3 y 5 · 5 · 4 cm3 y los sumó, obteniendo 180 cm3. Indague si se les ocurren otras formas de descomponer la figura dada. Por ejemplo, dividirla en dos paralelepípedos mediante un corte horizontal. Los volúmenes son 5 · 2 · 4 cm3 y 7 · 5 · 4 cm3, y la suma de ambos es, igualmente, 180 cm3.
Otra idea puede ser completar un paralelepípedo como el de esta figura, calcular su volumen (7 · 5 · 8 cm3) y restarle el volumen del parelelepípedo agregado (5 · 5 · 4 cm3), con lo cual nuevamente obtienen un resultado de 180 cm3.
La idea de Sofía es más difícil de visualizar. Si no logran descifrarla, sugiérales que recuerden los movimientos que hicieron con las figuras planas cuando teselaron el plano. Diga: si suponemos que este cuerpo es un sillón, ¿cómo podríamos moverlo? Se espera que comprendan que Sofía duplicó la figura y la colocó, invertida, sobre la otra, formando un paralelepípedo. Pregunte: ¿se acuerdan de haber hecho algo parecido cuando estudiábamos cómo calcular el área de las figuras planas? En este caso, el volumen del paralelepípedo formado es 9 · 5 · 8 cm3, lo que corresponde al doble del área buscada. Al dividir por 2, se obtiene nuevamente 180 cm3.
Las dos figuras compuestas comprendidas en la sección Practica, más las del Cuaderno de Actividades, constituyen oportunidades adicionales para aplicar las ideas desarrolladas en la clase.
Consideraciones didácticas
En esta clase se propone una estrategia similar a la que los estudiantes utilizaron para calcular el área de diversos polígonos, esto es, descomponerlos o componerlos para obtener figuras 2D cuyas áreas ya sabían calcular. Ahora, para calcular el volumen de una figura 3D, deben ingeniárselas para imaginarla como una combinación de cubos y paralelepípedos.
Es conveniente incorporar actividades para que los estudiantes piensen en lo que significan las fórmulas, una vez que las exponen y aplican, para incrementar su comprensión.

Cuaderno de Actividades página 41 • Tomo 2
Ticket de salida página 72 • Tomo 2

P. 73

Propósito
Que los estudiantes comprendan la unidad metro cúbico y su relación con un centímetro cúbico y calculen volúmenes de prismas rectangulares cuyas medidas lineales están expresadas en metros y centímetros.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Al comienzo de la clase pida que desarrollen la  Actividad 1. Pregunte: ¿cuántos cubos de 1 m de arista se necesitan para formar el prisma rectangular? Lean colectivamente la información del recuadro, corrobore que comprendieron dicha información y solicite que la copien en sus cuadernos.
En la Actividad 2, para calcular cuántos centímetros cúbicos equivalen a 1 m³, pídales que respondan las preguntas a), b) y c), y luego calculen el volumen de  1 m³ en centímetros cúbicos.
Consideraciones didácticas
En esta clase se aborda la equivalencia entre metros cúbicos y centímetros cúbicos. Para lograr que los estudiantes comprendan la relación entre estas dos unidades de volumen, es fundamental que vayan respondiendo y justificando las preguntas de la Actividad 2. Se debe tener en cuenta que algunos estudiantes podrían presentar algunas dificultades debido a que aún no manejan bien el significado del cálculo del volumen como producto de medidas de longitud.
En dichos casos es conveniente recurrir a la representación de las magnitudes utilizando cubos de  1 cm³ y relacionando las unidades de medida de longitud: 1 m equivale a 100 cm
En la base de un cubo de 1 m caben 100 cubos x 100 cubos, es decir, 10 000 cm3.
Entonces el volumen del cubo es:
10 000 cm3 ∙ 100 = 1 000 000 cm³.

P. 74

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo calcular el volumen de un paralelepípedo cuyas longitudes están expresadas en metros y centímetros.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Estructura hecha de tubos de pvc de 1 m³.
Gestión
Al inicio de la clase recuerde las equivalencias entre las unidades de volumen (entre 1 cm³ y 1 m³).
A continuación, pida a los estudiantes que resuelvan en sus cuadernos la Actividad 3. Monitoree el trabajo y observe si convierten las medidas a una sola unidad (metro o centímetro) y si expresan el volumen en centímetros cúbicos y metros cúbicos. Constate si se dan cuenta de que el volumen se puede calcular usando la fórmula (3 ∙ 0,5 ∙ 2 m³ o 300 ∙ 50 ∙ 200 cm³) y si, una vez calculado en una de estas unidades, lo pueden convertir en la otra.
Proponga a los estudiantes que desarrollen la sección Practica. En la Actividad 1, se espera que conviertan a centímetros o metros, apliquen la fórmula para obtener el volumen y lo expresen en la unidad cúbica correspondiente (2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 m³ o 200 ∙ 20 ∙ 20 cm³). En la Actividad 2, se espera que obtengan el volumen como  3 ∙ 0,5 ∙ 1 m³, y luego lo conviertan a centímetros cúbicos mediante la operación 1,5 ∙ 1 000 000 = 1 500 000 cm³.
Finalmente, desafíelos a estimar y comprobar cuántos niños caben en 1 m³. Anote las cantidades estimadas y pida a algunos estudiantes que ingresen a la estructura para comprobar.
Consideraciones didácticas
Armar el cubo y experimentar cuántos estudiantes caben dentro busca desarrollar el sentido de la cantidad de la unidad metro cúbico. Es decir, se espera que los estudiantes asocien esta medida al volumen con su propio cuerpo y reflexionen en la importancia de tener referentes para estimar el volumen en situaciones funcionales.

Ticket de salida página 74 • Tomo 2

P. 75

Propósito
Que los estudiantes comprendan la unidad milímetro cúbico y su relación con un centímetro cúbico y calculen volúmenes de prismas rectangulares cuyas medidas están expresadas en milímetros y centímetros.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
En la Actividad 1 recuérdeles que 10 mm corresponden a 1 cm y pregunte: si tuvieras cubos de 1 mm de arista, ¿cuántos de estos necesitarías para formar la caja? Para ayudarlos, complemente con las siguientes preguntas: ¿cuántos cubos pondrías sobre la base? ¿Cuántas capas de estos cubos habría?
Sistematice que 53 · 34 · 14 = 25 228 corresponde a la cantidad de milímetros cúbicos que se necesitan para formar la caja. Por lo tanto, el volumen de la caja es  25 228 mm3.
Lean colectivamente la información del recuadro, corrobore que comprendieron dicha información y solicite que la copien en sus cuadernos.
Desafíe a los estudiantes a interpretar el siguiente procedimiento: “Enrique dispone de una calculadora, calcula el volumen multiplicando 5,3 · 3,4 · 1,4 y obtiene 25,228”, y pregunte: ¿cuál es la unidad de volumen que corresponde a 25,228? ¿Podría Enrique deducir la cantidad de milímetros cúbicos que caben en la caja? ¿Qué cálculo tendría que hacer?
Señale que para responder estas preguntas se necesita transformar de centímetro cúbico a milímetro cúbico. Para ello, proponga que resuelvan la Actividad 2 pidiéndoles que completen las afirmaciones y expliquen por qué 1 cm equivale a 10 mm, 1 cm2 equivale a 100 mm2 y 1 cm3 equivale a 1000 mm3.
Consideraciones didácticas
En esta clase, análogamente a lo realizado en la página anterior, se aborda la equivalencia entre 1 cm³ y 1 mm³. Se debe considerar que esta es una actividad que permitirá consolidar las relaciones entre unidades cúbicas en la que la arista de la unidad mayor es 10 veces la arista de la unidad menor. Para tal efecto se debe promover que los estudiantes comuniquen y fundamenten sus ideas relacionando el significado del producto de las medidas lineales.
1 cm equivale a 10 mm
En la base de un cubo de 1 cm caben 10 cubos · 10 cubos, es decir, 100 mm3.
Entonces el volumen del cubo es:
100 mm3 · 10 = 1 000 mm³.

Ticket de salida página 75 • Tomo 2

P. 76

Propósito
Que los estudiantes comprendan que es posible calcular el volumen de objetos de formas irregulares a partir del aumento en el nivel agua, en recipientes cúbicos o prismas rectangulares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Recipientes con forma de cubo o de prisma rectangular, agua y objetos con formas irregulares, reglas y plumones.
Gestión
Proponga que desarrollen la Actividad 1. Desafíe a los estudiantes para que respondan: ¿cuánta más agua tiene el recipiente B que el A? ¿Qué podrían hacer para calcularlo? Organice un trabajo en parejas, y luego pídales que compartan sus respuestas.
Solicíteles que analicen las ideas de Ema y de Gaspar y las comparen con sus procedimientos. Pregunte: ¿qué hizo Ema? Se espera que digan que Ema calculó primero el volumen de agua en A, 6 • 6 • 3 = 108 cm3, y luego el volumen de agua en B, 6 • 6 • 5 = 180 cm3, y restó 180 - 108 = 72 cm³. ¿Y qué hizo Gaspar? Se espera que observen que Gaspar determinó la diferencia de los niveles de agua mediante la resta 5 - 3 = 2 cm, y luego calculó directamente el volumen solicitado:  6 • 6 • 2 = 72 cm³.
Promueva una discusión en la clase a partir de las siguientes preguntas: ¿cuál estrategia consideran mejor? ¿Por qué? ¿Cuál se parece a la que usaron ellos?
Organice a los estudiantes en parejas o en grupos y motívelos a que experimenten el cálculo del volumen de objetos de formas irregulares a partir del aumento del nivel del agua. Explique que deben marcar el nivel del agua antes y después de introducir el objeto. Realice una puesta en común de la experiencia realizada y sistematice los procedimientos utilizados.
Pida que calculen el volumen de la piedra que se ha sumergido en el cubo con agua de la Actividad 2. Pregunte: ¿cuánto subió el nivel del agua al introducir la piedra? ¿Cuál es el volumen de la piedra que se introdujo en el cubo?
Consideraciones didácticas
Muchos de los objetos de la vida diaria cuyo volumen medimos no tienen una forma regular como la del cubo o el prisma rectangular. En tales casos, resulta muy útil calcularlo a partir del aumento del nivel del agua en que se sumergen. La idea es que también puedan usar este método en la asignatura de Ciencias.
Tenga en cuenta que para realizar este experimento es necesario considerar el tamaño del recipiente y el volumen del objeto, de modo que este quede totalmente sumergido y que el nivel del agua suba en forma apreciable. Pruébelo antes de hacerlo con los estudiantes.

Ticket de salida página 76 • Tomo 2

P. 77

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo calcular las medidas interiores y la capacidad de un recipiente con forma de prisma rectangular.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar
Gestión
Comience la clase preguntando a los estudiantes: ¿qué cálculo debemos hacer para determinar el volumen del envase de la Actividad 3? Se espera que identifiquen que deben multiplicar 7 cm · 7 cm · 5 cm.
Luego pregunte: ¿qué cantidad de agua es necesaria para llenarlo? ¿Qué medidas es necesario conocer para calcular el volumen del agua que permite llenarlo?
El volumen del agua vertida al recipiente puede calcularse igual como hemos hecho hasta ahora, con el largo, ancho y alto. Sin embargo, como el recipiente tiene un espesor y solo conocemos sus medidas externas, necesitamos calcular la longitud de sus medidas interiores. Para calcularlas conviene que anoten las dimensiones en la figura para que se den cuenta de que la profundidad es 1 cm menor que la altura del recipiente y que la longitud del largo y del ancho es 2 cm menor que las correspondientes al recipiente.
Es decir, el volumen de agua que puede contener el envase es 5 · 5 · 4 = 100 cm3. Sistematice que esta medida se conoce como la capacidad del envase e indique que lean el recuadro y lo anoten en el cuaderno.
Solicite que realicen la Actividad 4. En esta actividad se necesita calcular el volumen de una piscina que no tiene forma de prisma rectangular. Pregúnteles: ¿qué forma tiene la piscina? ¿Es un prisma rectangular? ¿Es posible calcular su capacidad en forma aproximada? ¿Cómo? Se espera que calculen la capacidad multiplicando las medidas: 25 m · 10 m · 1 m.
Consideraciones didácticas
En esta clase se introduce la idea de hacer un cálculo aproximado. Es importante que los estudiantes lo entiendan como una estrategia posible cuando la información de que disponen no se adecúa totalmente al modelo matemático que están utilizando.

Cuaderno de Actividades página 42 • Tomo 2
Ticket de salida página 77 • Tomo 2

P. 78

Propósito
Que los estudiantes calculen el volumen de prismas rectangulares y cubos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar
Gestión
Organice a los estudiantes para que resuelvan los ejercicios individualmente, en parejas o en grupos.
En el Ejercicio 1 deben calcular el volumen de un prisma rectangular dadas las medidas del largo, del ancho y del alto, y el volumen de un cubo dada la medida de sus aristas. Compruebe que comprenden el procedimiento para calcular el volumen de cubos y paralelepípedos rectangulares.
En el Ejercicio 2 se tienen que dar cuenta que deben convertir los centímetros a metros y los metros a centímetros para calcular el volumen expresándolo en centímetros cúbicos y metros cúbicos.
En el Ejercicio 3 deben convertir de de metros cúbicos a centímetros cúbicos utilizando la relación entre estas dos unidades de medición de volumen.
En el Ejercicio 4 deben determinar el volumen de un prisma rectangular dadas las medidas del largo, ancho y alto expresadas todas en centímetros. Para determinar el volumen del prisma triangular, se espera que completen el prisma de largo 9 cm, ancho 6 cm y alto 3 cm, calculen su volumen, y luego lo dividan en 2, es decir,  9 · 6 · 3 : 2 = 81 cm³.

Cuaderno de Actividades página 43 • Tomo 2

P. 79

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas asociados al cálculo de volúmenes.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
En el Problema 1 se espera que logren calcular el volumen de figuras (3D) compuestas, apliquen el cálculo de largo • ancho • alto para obtener el volumen de cubos y prismas rectangulares y los expresen en las unidades de medida indicadas. Algunas soluciones posibles:
a)	9 • 5 • 4 + 5 • 3 • 3 = 225 cm3; corte horizontal.
b)	30 • 30 • 20 + 30 • 10 • 20 + 30 • 10 • 10 = 27 000 cm3; corte horizontal.
c)	5 • 5 • 2 - 1 • 1 • 2 = 48 m3.
d)	8 • 5 • 10 - (2 • 2 • 10) : 2 = 380 cm3.
Compruebe que encontraron una estrategia para obtener el volumen, que comprenden el cálculo que deben hacer y que se han fijado en las unidades de medida en que deben expresarlo.
En el Problema 2 se espera que evoquen la forma del prisma rectangular que se obtiene con la red, relacionen las medidas lineales con el largo, el ancho y el alto del prisma y obtengan el volumen como  6,2 • 4,8 • 2,3

P. 80

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo varía la capacidad de un recipiente con forma de prisma rectangular al variar su altura.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Hojas con cuadrícula de 12 por 12 de 1 cm por lado, tijeras, cinta adhesiva.
Gestión
En el Problema 3 deben dibujar en un papel cuadriculado de 12 · 12 cm una red que permita armar una caja sin tapa, cuya profundidad sea de 1 cm, calcular la longitud del largo y el ancho de la caja, y calcular su capacidad. Indíqueles que consideren que como el espesor de la hoja es tan pequeño, el volumen de la caja coincidirá con la capacidad.
En el Problema 3 a) deben dibujar en un papel cuadriculado de 12 · 12 cm una red que permita armar una caja sin tapa, cuya profundidad sea de 3 cm, calcular la longitud del largo y el ancho de la caja, y la capacidad al cambiar la profundidad.
En el Problema 3 b) deben completar una tabla que permite ver cómo varían el largo, el ancho y la capacidad (volumen) de la caja cuando se modifica la profundidad.
Consideraciones didácticas
Relación entre la profundidad y la capacidad de la caja. Si y representa la capacidad de la caja sin tapa y x representa la profundidad, se tiene que:
y = (12 − 2x)(12 − 2x)x = (144 − 48x + 4x²)x
y = 4x³ − 48x² + 144x
Naturalmente, en este nivel no se estudian las funciones cúbicas. Resulta más significativo que experimenten la construcción de redes, a partir de una hoja cuadriculada de 12 por 12 cm, con las que es posible armar cajas que tienen distintas capacidades, dependiendo de la profundidad de la caja, al recortar las cuatro esquinas de la hoja.

Ticket de salida página 80 • Tomo 2

Capítulo 16

Experimentos aleatorios

12 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo, los estudiantes repiten experimentos aleatorios lúdicos para identificar tendencias o regularidades de los resultados que les sirven para comparar sus posibilidades. Además, intentan explicar las tendencias observadas a partir del análisis de los casos posibles usando diversas estrategias.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA23: Conjeturar acerca de la tendencia de resultados obtenidos en repeticiones de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera manual y/o usando software educativo.
Aprendizajes previos
Realizan experimentos aleatorios lúdicos y registran los resultados.
Describen la posibilidad de ocurrencia de un evento usando una escala de grados de posibilidad.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

16

P. 81

Propósito
Que los estudiantes registren los resultados de un experimento aleatorio lúdico.
Habilidad
Representar.
Recursos
Recurso interactivo La carrera de los caballos
https://www.geogebra.org/m/gtzjnjqn
Gestión
Pida a los alumnos que abran el Texto del Estudiante en la página 81. Presente el juego de La carrera de los caballos y explique sus reglas. Haga preguntas para verificar que lo entienden: si en los dados sale 2 y 3, ¿qué caballo debe avanzar y por qué? (El caballo 5, porque 2 + 3 = 5) ¿Cuántas casillas debe avanzar? (Una sola casilla) ¿Quién gana el juego? (Quienes hayan elegido el caballo que llega primero a la meta).
Proyecte el recurso interactivo del juego en pantalla completa seleccionado  . Explique que el recurso simula el lanzamiento de dos dados y el avance de los caballos en el tablero. Invite a los estudiantes a jugar algunas partidas entre todos usando el recurso interactivo. Para ello, deben elegir un caballo y anotar en secreto su número en un papel.
Juegue dos partidas con los estudiantes. Si se repite el caballo ganador, juegue otra partida para tratar de tener distintos ganadores. Al término de cada partida, solicite a los estudiantes que registren en la tabla de la página 45 del Cuaderno de Actividades la cantidad de casillas que avanzó cada caballo.
Si no tiene la posibilidad de proyectar el recurso, forme grupos de 5 estudiantes, entregue 2 dados a cada grupo e invítelos a jugar usando el tablero de la página 44 del Cuaderno de Actividades.

Capítulo 16    Experimentos aleatorios

P. 82

Propósito
Que los estudiantes contrasten su intuición sobre el azar con los resultados obtenidos al repetir un experimento aleatorio.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida que levanten la mano todos los estudiantes que ganaron la primera partida en sus respectivos grupos. Seleccione a alumnos que hayan jugado con distintos caballos y pregúnteles: ¿por qué elegiste ese número  de caballo?
Se espera que varios señalen que da lo mismo cuál elegir, ya que por tratarse de un juego de azar cualquiera puede ganar. Es posible que algunos estudiantes hayan elegido el caballo de su número “preferido”. En estos casos, pregunte: al mirar los resultados de las dos partidas, ¿siguen creyendo que da lo mismo qué caballo elegir? ¿Creen que pueda haber caballos que tengan más posibilidades de ganar? Asegúrese de que noten que, en este juego, no da lo mismo con cuál caballo jugar, ya que hay resultados que parecen repetirse más que otros.
Si algún estudiante describe que seleccionó su caballo basado en las posibilidades de obtener esa suma al lanzar los dados, evite que profundice en ese tipo de análisis, ya que eso es parte de lo que se abordará en actividades que vienen más adelante.
A continuación, pregunte: ¿qué caballo ganó la segunda partida? ¿Fue el mismo que en la primera? Al mirar la tabla con el registro de casillas avanzadas por cada caballo, ¿avanzaron lo mismo en ambas partidas? ¿Qué esperan que suceda al jugar otra partida? (Que los resultados sean distintos) ¿Qué esperan que pase con los caballos de los extremos y los del centro? (Que los de los extremos avancen menos que los del centro).
Concuerde con los estudiantes que entre una partida y otra hay variabilidad en los resultados. Pero que, al mismo tiempo, parece haber cierta regularidad en el comportamiento de las piezas (caballos de los extremos tienden a avanzar menos que los del centro).
Pregunte: ¿qué podríamos hacer para comprobar si ese es un comportamiento más o menos regular o si solo ocurrió en las partidas que jugamos? Se espera que los estudiantes sugieran jugar más partidas y analizar  sus resultados.
Consideraciones didácticas
Un aspecto importante para el desarrollo del pensamiento probabilístico es confrontar las preconcepciones que tienen los estudiantes sobre el azar con los resultados empíricos de repetir un experimento aleatorio. En particular, es clave que reconozcan y superen la creencia errónea de que en toda situación en la que interviene el azar, todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Matemática    Tomo 1

Tickets de salida página 82 • Tomo 2

P. 83

Propósito
Que los estudiantes reconozcan tendencias en los resultados al repetir un experimento aleatorio.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los alumnos que abran el Texto del Estudiante en la página 83 y dediquen un tiempo para analizar los resultados obtenidos en las 4 partidas que se muestran allí.
Pregunte: ¿qué caballos ganaron estas partidas? (Los caballos 5, 7, 8 y 9) ¿Hay caballos que avancen poco? ¿Cuáles? (El caballo 2 fue el que menos avanzó, seguido por el caballo 12). ¿Qué diferencias se observan entre estas partidas? (En todas ganó un caballo distinto; el número de casillas avanzadas por cada caballo varía) ¿Qué similitudes hay entre las partidas? (Los caballos de los extremos tienden a avanzar menos que los del centro) ¿Estas partidas tienen alguna similitud con las que jugaron ustedes? (Los resultados son distintos, pero se mantiene la tendencia de los caballos de los extremos a avanzar menos que los del centro).
A continuación, pregunte: considerando lo que ocurrió en la partida que jugaron antes y lo que sucedió en las 4 partidas que estamos analizando, si tuvieran que jugar de nuevo, ¿qué caballo elegirían y por qué? Se espera que los estudiantes se inclinen por señalar los números centrales del tablero argumentando que en varias partidas son los que más avanzaron.
Prosiga, preguntando: ¿podemos señalar qué caballo ganará la próxima partida? (No) ¿Podemos saber qué caballo avanzará en la siguiente jugada? (No) ¿Por qué no? (Porque es imposible saber qué suma se obtendrá al lanzar los dados). Aunque no podemos decir lo que pasará en la siguiente jugada, ¿podemos decir algo sobre la tendencia de los caballos a avanzar? (Sí, que los caballos del centro tienden a avanzar más que los de los costados) ¿Y eso qué quiere decir respecto de las sumas de los dados? (Que al lanzar los dados y sumar sus caras hay resultados que se repiten más que otros).
¿Cómo se llaman las situaciones en las que no podemos predecir sus resultados? (Experimentos aleatorios). Si no lo recuerdan, mencione que estudiaron ese tipo de situaciones en 5° básico.
Señale que en el juego de los caballos está involucrado el experimento aleatorio de lanzar dos dados y registrar la suma de sus caras superiores. Haga notar que al repetir este experimento, pudieron observar que:
Hay variación en los resultados.
Al repetirlo muchas veces, es posible reconocer ciertas regularidades o tendencias en el comportamiento de los resultados.
Consideraciones didácticas
Es importante enfatizar a los estudiantes que, aunque no es posible predecir el resultado al realizar un experimento aleatorio, al repetirlo muchas veces, si podemos observar ciertas tendencias en las frecuencias, que nos ayudan a hacer conjeturas sobre sus posibilidades.

P. 84

Propósito
Que los estudiantes consideren la tendencia observada al repetir un experimento aleatorio para comparar las posibilidades de sus resultados.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Prosiga el análisis de las partidas preguntado: ¿crees que haya caballos con más posibilidades de ganar que otros? (Sí, los del centro parecen tener más posibilidades de llegar antes a la meta) ¿En qué basan su apreciación sobre las posibilidades de los caballos? (En la cantidad de casillas que avanzaron, comparadas con las casillas que avanzaron los de los extremos) ¿Qué pueden decir sobre los resultados de las sumas de los dados? (Qué al lanzar dos dados y sumar sus caras, los resultados 6, 7 y 8 tienen más posibilidades de ocurrir que los resultados 2 y 12).
Continúe, preguntando: ¿cuál caballo creen que tiene más posibilidades de ganar, el 8 o el 2? (El 8) ¿Qué caballos podrían tener menos posibilidades de ganar? (El 2 y el 12) ¿Creen que sea posible que el caballo 2 gane alguna partida? Se espera que algunos alumnos, basados en los resultados de las partidas analizadas, sugieran que es imposible que gane. También es posible que la mayoría sostenga que sí puede ocurrir, pero que hay muy pocas posibilidades de que suceda.
Aproveche de hacer notar a los estudiantes que las tendencias observadas al repetir un experimento aleatorio no nos dice lo que va a suceder, sino solo nos sugiere qué resultados tienen más posibilidades de ocurrir.
A continuación, pregunte: de los caballos que parecen tener más posibilidades de ganar, ¿habrá alguno que tenga más posibilidades? Se espera que los estudiantes sugieran el caballo 7. ¿Qué podríamos hacer para descubrirlo?
Algunos estudiantes podrían sugerir jugar más partidas y analizar si ese caballo es el que gana más veces. Pregunte: ¿es necesario volver a jugar para saber qué caballo tiene más posibilidades? Asegúrese de que consideren la opción de analizar los resultados de lanzar los dados y ver qué suma se repite más veces sin necesidad de realizar el juego.
Pregunte: ¿qué otra opción tenemos para analizar qué caballo tiene más posibilidades? Asegúrese de que consideren la idea de juntar los resultados de las 4 partidas para revisar cuántas casillas avanzó cada caballo, o, dicho de otro modo, cuántas veces se repitió cada suma de los dados.
Consideraciones didácticas
En este nivel, es recomendable no usar el término probabilidad para referirse a la posibilidad de un suceso, ya que la corresponde a una medida que aún no se ha introducido.

P. 85

Propósito
Que los estudiantes consideren la tendencia observada al repetir un experimento aleatorio para comparar las posibilidades de sus resultados.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Para continuar con la actividad anterior, pregunte: ¿qué es más fácil, lanzar los dados muchas más veces o utilizar los datos que tenemos de las 4 partidas? (Usar los datos de las  4 partidas).
Presente la tabla de la Actividad 4 y pídales que vayan al Cuaderno de Actividades para completarla.
Número de veces que se repitió cada resultado
Resultado | Partida 1 | Partida 2 | Partida 3 | Partida 4 | Total
2 | 0 | 3 | 1 | 2 | 6
3 | 4 | 0 | 4 | 6 | 14
4 | 6 | 4 | 3 | 6 | 19
5 | 10 | 6 | 6 | 5 | 27
6 | 4 | 5 | 8 | 7 | 24
7 | 7 | 10 | 9 | 7 | 33
8 | 7 | 3 | 10 | 6 | 26
9 | 6 | 1 | 3 | 10 | 20
10 | 6 | 6 | 3 | 3 | 18
11 | 3 | 2 | 1 | 4 | 10
12 | 2 | 1 | 4 | 2 | 9
Pregunte: ¿a cuántas repeticiones del experimento de lanzar dos dados y sumar sus caras corresponde la información de la tabla? (A 206 repeticiones) ¿Qué tenemos que hacer para saberlo? (Sumar la columna de los totales) ¿En cuántas de los 206 lanzamientos salió un 5? (27 veces) ¿Cuál es la frecuencia del 12? (9) ¿Cuál resultado presentó la menor frecuencia? (El 2 tiene frecuencia igual a 6) ¿Cuál es la suma que se repitió más veces en los 206 lanzamientos? (El 7 presenta una frecuencia igual a 33).
Continúe preguntando: al mirar la tabla, ¿qué tendencias se pueden observar en los resultados? (La suma que más se repite es el 7; el 2 y el 12 son las sumas que menos aparecen; las frecuencias van disminuyendo a medida que nos acercamos a los resultados de los extremos).
Prosiga: ¿qué podemos sugerir sobre las posibilidades de los caballos después de analizar esta información? (Que el caballo 7 parece ser el que tiene más posibilidades de ganar; qué las posibilidades de los demás caballos van disminuyendo a medida que se acercan a los caballos de los extremos; que los caballos con menos posibilidades de ganar parecen ser el 2 y el 12).
Es importante en este punto hacerles notar que las tendencias observadas en las frecuencias de las 206 repeticiones del experimento aleatorio solo nos sugiere lo que podría suceder con las posibilidades; no permite afirmarlo con seguridad.

Tickets de salida página 85 • Tomo 2

P. 86

Propósito
Que los estudiantes construyan gráficos de barras para analizar tendencias en los resultados al repetir un experimento aleatorio.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 5 y solicite a los estudiantes que vayan al Cuaderno de Actividades y construyan el gráfico de barras asociado a los resultados de las 4 partidas, y luego analicen e interpreten la información contenida en él.
Resultados de las 4 partidas
Frecuencia
Suma de los dados
20
30
40
9
Pregunte: ¿qué pueden decir sobre las posibilidades de ganar de los caballos al mirar el gráfico? Se espera que confirmen las observaciones realizadas hechas al analizar la tabla de frecuencias. ¿En dónde es más fácil observar las tendencias de los resultados, en la tabla o en el gráfico de barras? (En el gráfico es más simple observar las tendencias).
Continúe: ¿qué creen que sucedería con el gráfico si lanzamos muchas veces los dados? Se espera que los estudiantes conjeturen acerca de la forma simétrica que debería alcanzar el gráfico al tener muchas más repeticiones.
Señale la utilidad de utilizar gráficos para analizar las tendencias de las frecuencias de los resultados al repetir un experimento aleatorio muchas veces.

Cuaderno de Actividades páginas 48 y 49 • Tomo 2
Tickets de salida página 86 • Tomo 2

P. 87

Propósito
Que los estudiantes conjeturen acerca de las razones que hacen que un resultado se repita más que otros.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del gráfico de barras.
Gestión
Para comenzar, recuerde a los estudiantes que las clases anteriores usaron los datos de las 4 partidas del juego de los caballos para tratar de determinar si hay uno que tenga más posibilidades de ganar. Presente el gráfico de barras para que recuerden los resultados.
Pregunte: según la información del gráfico, ¿hay algún caballo que parezca tener más posibilidades de ganar que el resto? ¿Cuál? (el caballo 7), ¿Por qué ese caballo? (Porque es el que más avanzó al juntar las 4 partidas; porque el 7 es la suma que más se repitió al lanzar los dados).
Pregunte: que el 7 se repitiera más en estas partidas, ¿es cuestión de suerte o habrá alguna razón? Anime a los estudiantes a buscar si existe una explicación. Se espera que algunos estudiantes señalen que hay varias maneras de obtener un 7 al sumar los dados. En tal caso, pregunte: ¿qué números pueden salir en los dados para que la suma sea 7? No es necesario que indiquen todos, pero sí que se den cuenta que hay varios pares que suman 7, como por ejemplo un 1 con un 6, un 2 con un 5 y un 3 con un 4. Para contrastar con las posibilidades de otro resultado, pregunte: ¿qué números deben salir para obtener un 12? (6 en ambas caras).
Concuerde con los estudiantes que una razón para explicar por qué el 7 se repite más es que hay más pares de números en los dados que suman 7.
Pregunte: ¿cómo podemos estar seguros de que no hay otro número con más casos? Invítelos a pensar en algunas ideas y a compartirlas con el curso.
Se espera que los niños propongan encontrar todas las combinaciones de dados para cada suma y verificar que el 7 tiene más casos asociados.
Consideraciones didácticas
En las actividades anteriores el análisis de las posibilidades se centró en observar tendencias de los resultados al repetir el experimento aleatorio muchas veces. Un aspecto relevante de ese trabajo, consistió en entender que los resultados empíricos solo nos sugiere si puede haber uno que tenga más posibilidades que el resto.
Con esta actividad se busca que los estudiantes transiten al análisis de los casos posibles, como una manera de explicar las frecuencias observadas y de  establecer comparaciones precisas sobre sus posibilidades.

P. 88

Propósito
Que los estudiantes exploren maneras de encontrar los casos posibles de un experimento aleatorio.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Dados de distinto color (un par para cada grupo).
Gestión
Pida a los estudiantes que formen grupos y piensen en maneras de encontrar todos los pares de números que pueden salir en los dados. Para asegurarse de que distingan los dados, entregue dos de distinto color a cada grupo y explique que deben considerar como casos distinto pares con los mismos números, pero con distinto color. Dé ejemplos como el siguiente:
El resultado
es distinto al resultado
Solicite que registren los resultados dibujando los dados de colores distintos.
Monitoree la actividad y observe las estrategias y dificultades que presentan los estudiantes. En particular, identifique a los estudiantes que utilizan procedimientos o esquemas que les permiten listar los casos posibles de manera ordenada y exhaustiva, y a los estudiantes que, por otro lado, no siguen ningún orden y no logran reconocer si encontraron todos los resultados posibles.
Una vez que hayan terminado, pídales abrir el Texto del Estudiante en la página 88 y analizar la estrategia que siguió Ema. Pregunte: ¿Ema encontró todos los resultados posibles al lanzar dos dados? (No) ¿Cuántos encontraron ustedes? Se espera que haya distintas respuestas, dependiendo de qué tan exhaustiva fueron las estrategias utilizadas por los grupos.
Continúe, preguntando: ¿qué opinan de la estrategia que siguió Ema? ¿Qué le sugerirían? Se espera que los niños señalen que Ema no siguió ningún orden y por eso no pudo encontrar todos los casos posibles. La recomendación que pueden dar es seguir alguna de las estrategias que ellos realizaron y que les aseguraron encontrarlos todos, por ejemplo, listar primero todos los casos en que el primer dado es un 1, luego todos los casos con primer dado igual a 2, y así sucesivamente. También puede sugerir algún tipo de tabla, esquema o dibujo que ordene los casos.
Concuerde con los estudiantes la importancia de contar con métodos de búsqueda de casos posibles que sea ordenado y que permita saber en cualquier momento si los encontramos todos o aún faltan algunos.

P. 89

Propósito
Que los estudiantes exploren maneras de encontrar los casos posibles de un experimento aleatorio.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen del arreglo de Matías.
Gestión
Para continuar con las actividades, solicite a estudiantes identificados durante el monitoreo que expongan al curso las estrategias utilizadas en sus grupos. Asegúrese de considerar todas las estrategias que siguen un orden y permiten encontrar todos los resultados posibles.
Después de que hayan expuesto sus ideas, pídales que abran el Texto del Estudiante en la página 89 y comparen las ideas de Matías y Sofía con las que se expusieron en el curso. Pregunte: ¿en qué consiste la idea de Matías? (Ordenar los dados por filas y columnas) ¿En qué consiste la idea de Sofía? (Ella hace un esquema en que asocia la cara del dado blanco las 6 caras del dado rojo).
Indique que la idea de Matías corresponde a elaborar un arreglo (filas y columnas) que permite encontrar fácilmente todos los casos posibles. A continuación, proyecte o dibuje el arreglo de Matías en la pizarra y pida a algunos niños que encierren esos casos.
Luego, pregunte: ¿en cuántos casos la suma de los dados es igual a 7? (6 casos) ¿En cuántos casos la suma es 8? (5 casos).
Siga, preguntando: ¿al mirar el arreglo, podemos afirmar que no hay otra suma que tenga más casos que el 7? ¿Por qué? Asegúrese de que noten que los casos asociados a cada suma se encuentran en diagonales y que la diagonal más larga es la del 7, y, por tanto, no hay otro número que tenga más casos relacionados.
Haga notar a los estudiantes que el análisis de los casos posibles permite reconocer que el caballo que tienen más posibilidades de ganar es el 7.

Tickets de salida página 89 • Tomo 2

P. 90

Propósito
Que los estudiantes exploren maneras de encontrar los casos posibles de un experimento aleatorio.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen del diagrama de Sofía.
Gestión
Proyecte la imagen del diagrama de Sofía en la pizarra y señale que corresponde a un esquema o diagrama.
Pregunte: ¿cuántos casos encontró Sofía? (36 casos) ¿En qué parte de su diagrama podemos ver cada caso? Asegúrese de que los niños reconozcan que a cada cara del dado blanco se le pueden asociar las 6 caras del dado rojo. Sugiera anotar los casos debajo de cada dado rojo, como en el siguiente ejemplo:
A continuación, solicite a los estudiantes que vayan al Cuaderno de Actividades para completar el resto de los casos posibles del esquema y que aprovechen de registrar la suma de los dados en cada caso, como se sugiere en la página.
Luego de que hayan terminado, pídales que registren en la tabla del ítem b) el número de resultados posibles asociados a cada suma.
Suma de los dados | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12
Número de resultados posibles | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1
Pregunte: al observar la tabla, ¿en cuántos casos la suma es igual a 7? (6) ¿En cuántos se obtiene un 6? (5) ¿En cuántos un 8? (5) ¿Qué podemos decir sobre las posibilidades de ganar de los distintos caballos? (Que van disminuyendo a medida que se alejan del 7 hacia los extremos; que las posibilidades del 2 y del 12 son las mismas, y que lo mismo sucede con el 3 y el 11, el 4 y el 10, el 5 y el 9, y el 6 y el 8).
Finalmente, pregunte: si eliges el caballo 7 para jugar, ¿puedes asegurar que ganarás la partida? (No, solo se puede decir que se tienen más posibilidades). Para terminar, pida que resuelvan la actividad de la sección Practica.

Cuaderno de Actividades páginas 51 y 52 • Tomo 2
Tickets de salida página 90 • Tomo 2

S

C

P. 91

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados en el capítulo relacionados con experimentos aleatorios.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente las actividades y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Solicite que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo formulando preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
En el Ejercicio 1 los estudiantes deben repetir el experimento aleatorio de lanzar una moneda y registrar si sale cara o sello. Después de lanzar 20 veces de manera individual, pídales formar grupos para comparar sus resultados y para juntarlos todos y comparar las frecuencias de caras y sellos.
En el Ejercicio 2 deben elaborar un esquema para encontrar los casos posibles del experimento aleatorio dado. Sugiérales fijarse en el diagrama de Sofía y decidir si comenzarán el esquema con el dado o con la moneda. Aclare que da lo mismo con cuál comenzar. Se espera que los estudiantes realicen un esquema como el siguiente:

Cuaderno de Actividades página 53 • Tomo 2

P. 92

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados en el capítulo relacionados con experimentos aleatorios.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente las actividades y haga preguntas para asegurarse de que comprendan cada problema. Monitoree el trabajo y apoye sus esfuerzos mediante preguntas. Haga una puesta en común para analizar las respuestas y estrategias usadas.
En el Problema 1 los estudiantes deben jugar un juego de azar, registrar las veces que se repite cada resultado y conjeturar acerca de sus posibilidades. Luego, deben buscar los casos posibles al lanzar los dados y verificar que el número de casos asociados a cada resultado es el mismo. Finalmente, deben concluir que las posibilidades de avanzar 1, 3 o 5 casillas en cada tiro es la misma.

Tickets de salida página 92 • Tomo 2

Capítulo 17

Aventura Matemática

2 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se abordan actividades no rutinarias que integran distintos aprendizajes y habilidades matemáticas estudiadas durante el año y en años anteriores. Los contextos favorecen la articulación del estudio con otras asignaturas y se espera que ayuden a tomar conciencia de problemáticas medioambientales que nos afectan.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA3: Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando software educativo.
OA4: Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo.
OA13: Demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos, calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas.
OA18: Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm2 y m2.
OA19: Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm3, m3 y mm3.
OA24: Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus conclusiones.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.
Temas matemáticos involucrados
Actividad 1. Animales en peligro en el mundo y en Chile.
1. Interpretar, analizar y deducir información contextualizada presentada en gráficos de barras.
2. Comprender la noción de porcentaje.
3. Medir longitudes usando regla graduada en cm y mm.
4. Estimar sumas de varios números.
5. Estimar longitudes.
Actividad 2. Cuidemos el agua.
1. Interpretar, analizar y deducir información contextualizada presentada en gráficos circulares y de líneas.
2. Comprender las nociones de área y volumen y sus diferencias.
3. Comprender la noción de razón.
4. Comprender intuitivamente la noción de proporcionalidad directa.
5. Calcular y representar porcentajes.

Capítulo 17    Aventura Matemática

P. 94

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1, en la cual se presenta un gráfico con la distribución en porcentaje de los principales factores que causan la pérdida de especies en el planeta. Dé un tiempo para que lo analicen y luego plantee algunas preguntas para asegurar que comprenden la información que contiene. Por ejemplo: ¿cuántos tipos de animales hay? ¿Qué indican los colores del gráfico? ¿Qué indican los números?
Posteriormente, pídales que respondan cada una de las preguntas planteadas en el texto.
En la Pregunta 1 deben identificar el factor principal que causa la pérdida de especies en el planeta. Para ello, aprecian visualmente los colores de las barras que abarcan una mayor longitud. Así, pueden notar que las de color marrón y anaranjado son más largas que las de otros colores. Para determinar cuál es el primer factor que causa la pérdida de especies, pueden recurrir a diversas estrategias, por ejemplo:
1) Copiar las barras y juntarlas para comparar  sus longitudes:
2) Estimar los porcentajes de las barras, sumarlos, y luego comparar los resultados:
Barras marrones               Barras anaranjadas
49 + 48 + 47 + 27           15 + 23 + 37 + 58
171                                      133
Así, concluyen que la degradación del hábitat es la principal causa de pérdida de especies en el planeta. Se sugiere pedirles que investiguen en qué hechos se manifiesta la degradación del hábitat.
En la Pregunta 2 se solicita identificar el tipo de animal que ha sido más afectado por el cambio climático. Se espera que visualmente reconozcan que las aves son la especie que tiene más pérdidas por este factor.
En la Pregunta 3 se solicita determinar aproximadamente el porcentaje de peces con pérdidas por la explotación. Para ello, determinan los porcentajes de la barra anaranjada. Una estrategia consiste en juntar las partes más cortas y sobreponerlas sobre la parte que corresponde al 50 %:
Peces
0 %
25 %
50 %
75 %
100 %
Así, calculan 25 + 25 + 3 = 53. Es decir, cerca de un 53 % de la pérdida de peces se debe a la explotación.
Luego, pídales que lean el texto que señala la profesora e invítelos a observar en la página introductoria algunos animales que están en peligro en Chile.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para discutir acerca de la importancia de conservar y cuidar la fauna de Chile y del planeta.

P. 95

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Presente la Actividad 2 invitándolos a leer la información que señala la profesora en el texto. Genere una conversación para profundizar en la información que se describe planteando preguntas: ¿qué diferencia hay entre la superficie y el volumen de la tierra? ¿Qué significa que el 70 % de la superficie de la tierra esté cubierta de agua?
Posteriormente, pídales que respondan cada una de las actividades planteadas en el texto.
En la Pregunta 1 se solicita analizar un gráfico circular que presenta la distribución de los tipos de agua que cubren la superficie del planeta. En a) se solicita que interpreten la información del gráfico. Se espera que concluyan que del 70 % de agua, solo un 2,5 % es agua dulce.
En b) se les pide que manifiesten su apreciación respecto de la cantidad de agua en el planeta. Modere una discusión favoreciendo que usen los datos analizados.
En c) se les pide que calculen el área de la superficie de la tierra que corresponde a agua. Para ello, calculan el 70 % de 510 072 000 km2, concluyendo que  357 050 400 km2 corresponden a agua.
En la Pregunta 2 se solicita a los estudiantes analizar el gráfico con la evolución del volumen de agua de tres embalses a lo largo de los años. Dé un tiempo para que lo estudien, y luego respondan las preguntas planteadas. En a) se les pide que indiquen la tendencia a lo largo de los años. Se espera que señalen que el volumen de agua de los tres embalses ha ido disminuyendo considerablemente.
En b) se les pide que indiquen el volumen de agua de cada embalse el año 2013 (El embalse la Paloma casi no tuvo agua; el embalse el Yeso, cerca de 200 millones de metros cúbicos; el embalse lago Laja, cerca de 1 000 millones de metros cúbicos).
En la Pregunta 3 se solicita a los estudiantes analizar la cantidad de agua que se pierde cuando una llave gotea. Para responder las preguntas deben establecer un razonamiento proporcional, esto es:
24 h   84 L    12 h  42 L    6 h  21 L
2 h  7 L           1 h   3,5 L  1 día  84 L ;  30 días  30 ∙ 84 = 2 520 L
1 mes  2 520 L ;  12 meses  12 ∙ 2 520 = 30 240 L
Si en un metro cúbico hay 1000 litros, entonces en un año se perderían cerca de 30 m3 de agua.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de las actividades y modere una conversación para discutir acerca de la escasez de agua y lo que está en nuestras manos hacer para cuidar nuestro consumo de agua en el hogar.

Repaso 4

P. 96

Capítulos 15 - 16

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con volumen de cubos y paralelepípedos y experimentos aleatorios.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 16.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 15), determinan el volumen de un paralelepípedos. Para la figura b) pueden:
• descomponerla en dos paralelepípedos.
• completarla para formar un paralelepípedo y luego, restar el volumen que se agregó.
En la Pregunta 2 (Capítulo 15), determinan el volumen de un prisma de base triangular y que está compuesto de cubos de 1 m3. Para ello, pueden usar la técnica de completar el paralelepípedo y luego, calcular la mitad de ese volumen.
En la Pregunta 3 (Capítulo 16), comparan la posibilidad de ocurrencia de resultados de un experimento aleatorio. Se espera que mediante la comparación perceptiva reconozcan de cuál bolsa es más posible obtener una bolita blanca y de cuál una bolita negra.

En la Pregunta 4 (Capítulo 16), dado un experimento aleatorio, determinan los casos favorables a un resultado en particular.  Se espera que los estudiantes realicen un registro estableciendo un orden que les permita identificar todos los casos en que la suma de los dados es igual a 6.

Capítulo 18

Sistemas de unidades de medición

7 horas pedagógicas

Visión general
Este capítulo tiene una orientación diferente a los que le preceden, ya que, además de abordar los OA de 6° básico asociados a área y volumen y sus unidades de medida, incorpora otras magnitudes estudiadas en cursos anteriores. En este capítulo recordarán las características de las magnitudes estudiadas previamente y reflexionarán sobre el carácter decimal de los sistemas de unidades de medida. Se espera que distingan las diversas magnitudes, las unidades más usuales, los instrumentos que se utilizan para medirlas, y que dispongan de un método confiable para transformar medidas de una unidad a otra.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA 18: Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos expresando el resultado en cm2 y m2.
OA 19: Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos expresando el resultado en cm3 , m3 y mm3.
Aprendizajes previos
Identificar longitud, área, masa y volumen de objetos.
Medir longitud, área, masa y volumen de objetos utilizando unidades convencionales.
Realizar transformaciones entre unidades de medida de longitud: km a m, m a cm, cm a mm y viceversa.
Comprender la multiplicación y la división de naturales y decimales por múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

18

P. 97

Propósito
Que los estudiantes comprendan que al cuantificar colecciones o tamaños de objetos, las cantidades pueden ser discretas o continuas. En este segundo caso, que sistematicen sus conocimientos de las unidades de medida actualmente utilizadas.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
20 objetos para contar, cordel, botellas con agua y un libro.
Gestión
Comience la clase presentando a los estudiantes algunas colecciones de objetos, por ejemplo, 20 clips, 8 lápices, un cordel, un libro y una botella. Hágalos pensar, a través de preguntas, para que identifiquen diferentes aspectos cuantitativos de estas colecciones u objetos, por ejemplo: ¿qué podemos medir del libro? ¿Cómo cuantificamos los clips?
Posteriormente, pídales que lean y comenten la primera parte de la página y la tabla. Luego, solicíteles otros ejemplos de cantidades discretas y continuas. Sistematice, destacando las diferencias entre ambos tipos de cantidades.
Finalmente, recuerde el significado de las unidades de medición de longitud. Explique, basándose en la imagen del texto, que 3 cm corresponden a un objeto cuya longitud es 3 veces 1 cm. Esa misma cantidad se puede expresar como 30 mm si utilizamos el milímetro como unidad.
Consideraciones didácticas
En el texto del estudiante se utiliza la palabra cantidad para referirse a magnitud, término de más fácil comprensión.

Capítulo 18    Sistemas de unidades de medición

P. 98

Propósito
Que los estudiantes identifiquen las unidades que corresponde utilizar para expresar la medida de distintas magnitudes.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de los instrumentos de medición que están en la página del Texto del Estudiante para proyectar.
Gestión
Comience recordando la última actividad de la clase anterior, en la que se abordó el significado de las unidades de medición. Plantee preguntas relacionadas con la unidad de medida que conviene utilizar para medir longitudes en la sala de clases. Por ejemplo, si mido el largo de la pizarra y luego les digo “la pizarra mide 3 metros de largo” ¿es correcta esta información? Llévelos a pensar que, al medir, es fundamental elegir una unidad y luego mencionarla al comunicar la medida. Pregúnteles: ¿el largo de la pizarra es 3 cm, 3 m o 3 km? Pida que expliquen por qué eligen una opción y descartan las otras como una estrategia para relevar el significado de la unidad y promover la argumentación.
Indique que trabajen en parejas en la Actividad 1 escribiendo en su cuaderno la unidad que elegirían para medir. Mientras trabajan, observe sus respuestas y verifique si eligen unidades que correspondan a cada magnitud y si manejan una representación aproximada del tamaño de una determinada cantidad de unidades.
Para sistematizar las respuestas de los estudiantes, pida a algunos que expliquen por qué eligieron cierta unidad. Por ejemplo, en la Actividad 1a), pregunte: ¿por qué descartaron los kg y m? Se espera que respondan que estas unidades no miden volumen. Continúe: ¿por qué, si las unidades m3, l y cc miden volumen eligieron una de ellas? Complemente sus respuestas destacando que, al elegir una unidad, se debe tener en cuenta el tamaño del objeto que se medirá y el de la unidad, de modo que el número obtenido como medida no sea ni muy grande ni muy pequeño.
Finalmente, proyecte la imagen de los instrumentos de medición y pregunte para cada uno: ¿qué se puede medir con este instrumento? ¿Qué unidades se utilizan? Escriba las respuestas en la pizarra e indique que lo hagan en sus cuadernos. Por ejemplo, sistematice: la balanza se usa para medir la masa de los objetos y utiliza el kg y el g como unidades.
Consideraciones didácticas
Las cantidades con las que se trabaja en esta clase y en las que se sigue son todas continuas, es decir, corresponden a magnitudes que se caracterizan porque se pueden dividir en cualquier cantidad de partes, y porque entre dos medidas siempre es posible encontrar otra.

Ticket de salida página 98 • Tomo 2

P. 99

Propósito
Que los estudiantes organicen su conocimiento de las unidades para medir longitudes del sistema métrico decimal y que aprendan a convertir medidas de longitud de una unidad a otra.
Habilidades
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Conversor de unidades de medida (Ver modelo en página 85 del Cuaderno de Actividades).
Gestión
Para iniciar la clase anuncie que van a estudiar las unidades de medición de longitudes. Pida que recuerden las que conocen y que den ejemplos de longitudes o distancias que conviene medir con cada una de ellas.
Proponga que observen la lista de unidades y abreviaturas en la parte superior de la página 99 de su texto. ¿Hay algunas que no conocen? Explique que cuando se creó este sistema, con 10 unidades de cada tipo se formaba una nueva. Por ejemplo, con 10 mm se formaba 1 cm. Pero algunas de estas unidades ya no se usan. ¿Cuáles son las que sobrevivieron? Pregunte: ¿cuántos milímetros forman 1 cm? ¿Cuántos centímetros forman 1 m? ¿Cuántos metros forman 1 km?
Proyecte el esquema de la Actividad 1 o pida que lo examinen en sus textos, en parejas, comentando cómo interpretarlo. Luego pregunte: ¿qué entendieron? Promueva distintas formulaciones: ¿cómo lo explicarías tú?
Haga notar que el esquema indica, con flechas hacia la izquierda, cuántas veces mayor es cada unidad respecto a la anterior; es decir, las unidades van aumentando de tamaño. ¿Qué sucede si recorremos este esquema de izquierda a derecha?
A partir de las intervenciones de los estudiantes, concluya que las unidades van disminuyendo de tamaño; el esquema indica cuántas veces menor es cada unidad respecto a la anterior. Así, para convertir kilómetros a metros que multiplicar por 1000, mientras que para convertir metros a kilómetros hay que dividir por 1000.
Desarrollen la Actividad 2. Permita que se ayuden entre ellos y promueva la explicitación de sus razonamientos. Por ejemplo: al convertir centímetros a milímetros obtendremos un número mayor y al convertir centímetros a metros obtendremos un número menor.
Presente el conversor de unidades, herramienta que facilita la conversión de medidas de una unidad a otra. Una vez que coloquen el número de acuerdo a la unidad de la medida original, deben localizar la unidad a la que quieren cambiarla, agregar ceros y, si es necesario, poner la coma decimal.
Consideraciones didácticas
La medición de longitudes es una actividad muy antigua. Han existido diferentes unidades, como leguas, yardas o pulgadas.
Hoy en muchos países se utilizan las unidades asociadas al sistema métrico decimal que fueron definidas a partir del metro, generando unidades diez veces mayores y diez veces menores. Algunas de estas unidades han caído en desuso, por lo que ya no se incluyen en los programas escolares. Sin embargo, es importante que los estudiantes tengan conciencia de la regularidad decimal subyacente.
La comprensión del origen decimal de las unidades que se utilizan actualmente ayudará a los estudiantes a convertir medidas de una unidad a otra. Si cuentan con el “conversor de unidades”, instrumento que cada en columna representa un valor 10 veces superior al de la columna contigua a su derecha, podrán apreciar que las columnas sin nombre corresponden a las unidades que ya no se usan. Si no disponen de este instrumento, podrán apreciar esto mismo basándose en la tabla que se encuentra en la parte inferior de la página 99.
La longitud es la magnitud más fácil de medir. Por lo tanto, esclarecer la estructura de las unidades de longitud es importante para comprender las unidades de área y volumen que se estudiarán más adelante.

Cuaderno de Actividades página 55 • Tomo 2
Ticket de salida página 99 • Tomo 2

P. 100

Propósitos
• Que los estudiantes organicen su conocimiento de las unidades para medir superficie en el sistema métrico decimal y que aprendan a convertir medidas de área de una unidad a otra.
• Que los estudiantes comprendan la relación entre las unidades de medida de área y las de longitud.
Habilidades
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Conversor de unidades de medida.
Gestión
Comience la clase indicando que van a estudiar las unidades de área. Pida que recuerden las que conocen y que den ejemplos de superficies que conviene medir con cada una de ellas.
Observen la lista de unidades y abreviaturas en la parte superior de la página 100 de su texto. Pregunte: ¿hay algunas que no conocen? ¿Qué unidad elegirían para medir la superficie de una cancha de fútbol? ¿En qué unidad medirían la superficie de una hoja de cuaderno?
Complemente sus respuestas destacando que para medir la cancha de fútbol se debe elegir el metro cuadrado y para la superficie del cuaderno el centímetro cuadrado, de modo que el número obtenido como medida no sea muy grande ni muy pequeño.
Proyecte el esquema de la Actividad 1 y la tabla, y pida que lo examinen en sus textos, en parejas, comentando cómo interpretarlo. Luego pida que lo expliquen. Promueva distintas formulaciones.
Haga notar la relación entre la longitud del lado de un cuadrado con las unidades de área. Verifique que comprendan que cuando la longitud del lado de un cuadrado aumenta 100 veces, su área aumenta 10 000 veces. En la relación entre 1 cm2 y 1 m2, que entiendan que si el lado del cuadrado que mide 1 cm se amplía 100 veces, el área se amplía 100 ∙ 100 = 10 000 veces.
Mencione que en el esquema aparece también la hectárea. Pregunte: ¿qué es una hectárea? ¿Cuántos metros cuadrados forman 1 ha? ¿Cuántas hectáreas  forman  1 km2?
Pida que desarrollen la Actividad 2. Promueva que los estudiantes socialicen sus razonamientos. Por ejemplo: para convertir 20 cm2 a metros cuadrados dividí por  10 000 y para convertir 7 km2 a hectáreas multipliqué por 100.
Pida que utilicen el conversor de unidades colocando el número de acuerdo a la unidad de la medida original y localizando la unidad a la que quieren cambiarla. Si no disponen de este instrumento, podrán basarse en la tabla que se encuentra en la parte inferior de la página
Consideraciones didácticas
Tenga presente que la sistematización de las unidades de área tiene una dificultad mayor que la de las unidades de longitud. Es conveniente recurrir a representaciones visuales de modo de relacionar el efecto que tiene el pasar de un modelo lineal a uno de dos dimensiones.
La hectárea, que no corresponde al cuadrado de ninguna de las unidades lineales estudiadas, se ha incorporado debido a la frecuencia de su uso.
Es importante destacar que la superficie corresponde al nombre de la magnitud y el área a su medida.

Ticket de salida página 100 • Tomo 2

P. 101

Propósitos
• Que los estudiantes organicen su conocimiento de las unidades para medir el volumen en el sistema métrico decimal y que aprendan a convertir medidas de volumen de una unidad a otra.
• Que los estudiantes comprendan y relacionen las unidades de volumen basadas en la longitud y las basadas directamente en el volumen.
Recursos
Conversor de unidades de medida.
Habilidades
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience la clase indicando que hoy van a estudiar las unidades de medición de volumen. Proponga que observen la lista de unidades y abreviaturas en la parte superior de la página 104 de su texto. Pregunte: ¿hay algunas que no conocen? ¿Son las únicas unidades para medir el volumen que se utilizan? ¿Conocen otras? ¿Recuerdan el centímetro cúbico y el metro cúbico?
Proyecte el esquema de la Actividad 1 o pida que lo observen en el texto. Haga notar la relación entre las unidades de longitud: 10 cm = 1 dm y 10 dm = 1 m para que identifiquen que dicha relación corresponde a los lados de los cubos del esquema. Pregunte: ¿cuál es la relación entre cm3 y  dm3? ¿Y entre dm3 y  m3?
Sistematice destacando la relación de la longitud de un lado de un cubo con las unidades de medida de volumen. Guíelos para que comprendan que cuando la longitud de un lado de un cubo aumenta diez veces, su volumen aumenta 1000 veces.  En la relación entre 1 m³ y 1 cm³, que comprendan que si un lado del cubo se amplía en 100 veces, el producto 100 ∙ 100 ∙ 100 corresponde a una ampliación de 1 000 000 de veces.
Mencione que en el esquema también aparece el litro. Pregunte: ¿qué es un litro? ¿cuántos decilitros forman 1 L? ¿cuántos litros forman 1 kl?
Desarrollen la Actividad 2. Promueva que los estudiantes  expliciten sus razonamientos. Por ejemplo: para convertir 3 m3 a centímetros cúbicos debemos multiplicar por 1 000 000 y para convertir 15 dl a litros debemos dividir por 10.
Pida que utilicen el conversor de unidades colocando el número de acuerdo a la unidad de la medida original y localizando la unidad a la que quieren cambiarla. Si no disponen de este instrumento, podrán basarse en la tabla que se encuentra en la parte inferior de la página 101.
Consideraciones  didácticas
En las unidades de medida de volumen se ocupan dos sistemas: uno basado en las unidades de longitud (m³, cm³) y otro basado directamente en el volumen (L, dl, entre otros). Es importante que los estudiantes comprendan la relación entre ambos tipos de unidades sin confundirlos. Además, con respecto al orden de enseñanza, primero debe enseñarse el sistema basado en las unidades de longitud y posteriormente el de los litros, decilitros y mililitros.

Cuaderno de Actividades página 56 • Tomo 2
Ticket de salida página 101 • Tomo 2

P. 102

Propósitos
• Que los estudiantes organicen su conocimiento de las unidades para medir masa del sistema métrico decimal y que aprendan a convertir medidas de masa de una unidad a otra.
• Que los estudiantes comprendan la relación entre el volumen y la masa del agua.
Habilidades
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Conversor de unidades de medida.
Gestión
Anuncie que hoy van a estudiar las unidades de medición de masa. Explique que habitualmente decimos peso para referirnos a la masa, pero el peso es la fuerza con que los objetos son atraídos por la Tierra, mientras que la masa es una propiedad de los objetos mismos, como la longitud, el área o el volumen. Pida que recuerden las unidades de masa que conocen y que den ejemplos de objetos que conviene medir con cada una de ellas.
Proponga que observen la lista de unidades y abreviaturas en la parte superior de la página 102 de su texto. Pregunte: ¿hay algunas que no conozcan? ¿Cuántos miligramos forman 1 g? ¿Cuántos gramos forman 1 kg? ¿Cuántos kilogramos forman 1 t?
Pida que desarrollen la Actividad 1  y luego haga preguntas para que establezcan relaciones entre la masa del agua y su volumen. Por ejemplo: si la masa de 1 m³ de agua es 1 t, ¿cuál será la masa de 1 cm³ de agua?
Proyecte el esquema de la Actividad 2 o pida que lo examinen en sus textos, en parejas. Luego pregunte: ¿cuántas veces mayor es cada unidad respecto a la anterior al avanzar de derecha a izquierda? Haga notar que, en este caso, el factor es el mismo, a diferencia de los otros sistemas de unidades de medida que han estudiado.
Replantee el problema de la relación entre la masa del agua y su volumen. A partir de las intervenciones de los estudiantes, sistematice esta relación en una tabla como la siguiente:
1t | 1kg | 1g | 1mg
1m3 | 1000 cm3 | 1cm3 | 1mm3
1kl | 1l | 1 ml
1000
Desarrollen la Actividad 3. Promueva que los estudiantes  expliciten sus razonamientos. Por ejemplo: para convertir toneladas a kilogramos debemos multiplicar por 1 000 y para convertir gramos a kilogramos debemos dividir por  1 000.
Pida que utilicen el conversor de unidades colocando el número de acuerdo a la unidad de la medida original y localizando la unidad a la que quieren cambiarla. Si no disponen de este instrumento, podrán basarse en la tabla que se encuentra en la parte inferior de la página 102.
Consideraciones  didácticas
En nuestra sociedad se utiliza el término “peso” para referirse a la masa de un objeto. Para los estudiantes puede ser difícil hablar de masa, pero es importante que se habitúen a hacerlo, progresivamente.
Como el volumen del agua varía cuando la temperatura aumenta o disminuye, para que la masa de agua contenida en 1 cm³ sea exactamente 1 g son necesarias determinadas condiciones de presión y temperatura.
El sistema de unidades de masa que utilizamos presenta la ventaja de que cada unidad es mil veces mayor que la que le antecede en tamaño. Esto se refleja en la estructura del “conversor de unidades” para esta magnitud y en la conversión de medidas de una unidad a otra.

Ticket de salida página 102 • Tomo 2

P. 103

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que algunos prefijos en los nombres de las unidades son comunes a las diferentes magnitudes y se asocian al factor que relaciona las unidades.
Habilidades
Representar, Argumentar y comunicar.
Recursos
Conversor de unidades de medida.
Gestión
Proyecte la tabla del inicio de página y pregunte: ¿qué unidad de longitud comienza con el prefijo kilo? ¿A cuántos metros equivale? ¿Qué unidad de masa  comienza con el prefijo kilo?  La intención es  que los estudiantes asocien el prefijo kilo- con 1000 veces.
Plantee preguntas similares a las anteriores refiriéndose a los prefijos centi- y mili- para las magnitudes longitud, masa y volumen con el litro como unidad. Haga notar que en el sistema métrico, la estructura de las unidades se basa en el sistema decimal. Explique que la relación entre las unidades toma como base 1 (m, g, L), y se puede multiplicar o dividir por 10, 100 o 1 000.
Pida que resuelvan los ejercicios de la sección Practica teniendo en cuenta la estructura decimal del sistema de medidas. Promueva que los estudiantes socialicen  sus razonamientos.
Consideraciones  didácticas
Las ventajas del sistema métrico son las siguientes:
Los prefijos de las unidades de medida se basan en la estructura decimal.
Las unidades de medida de área y volumen se basan en guiarse por las de longitud.
Se puede comprender fácilmente la relación entre el volumen y la masa del agua.

Cuaderno de Actividades página 57 • Tomo 2

P. 104

Propósito
Que los estudiantes comprendan que las unidades de medida requieren de su estandarización.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Proyecte la página 104 y presente a los estudiantes la unidad estándar para la longitud y la unidad estándar para la masa. Relate algunos hitos históricos.
La palabra metro proviene del griego metron, que significa medida. En el año 1 799, se creó la referencia métrica estándar de 1 m, tomando 1/10 millonésima parte de la distancia del meridiano 2 este desde el polo norte hasta el ecuador.
En el año 1 875, se firmó en París el Tratado del Metro. Los países miembros de este tratado establecieron prototipos de metro y kilogramo e incorporaron los prefijos de las unidades.
En la Conferencia General de Pesas y Medidas del año 1 983 se estableció que un metro es igual a la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 partes de un segundo.
En el año 1 799, se estableció que 1 kg es igual al peso de 1L de agua pura a 4 °C, creándose así el prototipo del kilogramo.
Consideraciones  didácticas
La estandarización de estas unidades ha sido fundamental para el desarrollo del comercio internacional.

P. 105

Propósito
Que los estudiantes conozcan la utilización de prefijos de unidades de medida para representar grandes y pequeñas cantidades, generando unidades a medida que vayan siendo necesarias.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Proyecte la página 105 y lea con los estudiantes los prefijos del Sistema Internacional de Unidades. La idea de agregar prefijos a una unidad en lugar de usar muchos nombres distintos se remonta al año 1793 en Francia, cuando se implementó el sistema métrico.
Destaque, basándose en los dos ejemplos presentados en el texto, la ventaja que tiene utilizar los prefijos mega- y giga- para expresar grandes longitudes con números con menos cantidades de cifras.
Asimismo, ejemplifique con el tamaño de un glóbulo blanco la ventaja de los prefijos y la relación entre las unidades para cantidades pequeñas:
0,000006 m = 0,006 mm = 6 micrometros
Consideraciones  didácticas
Para medir cantidades continuas, existen muchas unidades. Las medidas se pueden expresar como 2 m, 4 m², 10 m³, 7 segundos, etc. Dentro de estas, el metro (longitud), el kilogramo (peso) y los segundos (tiempo) se consideran como las unidades fundamentales, y las que combinan dos o más se llaman unidades derivadas (m/s, m², m³, entre otras).

Ticket de salida página 105 • Tomo 2

Cuaderno de Actividades
y sus respuestas

x representa la cantidad de tortas.

7 200 g.

21 000 g.

27

51

$690

2 · 690

$1 380

3 · 690

$2 760

4 · 690

$3 760

$4 390

2 500 + 3 · 630

$5 020

2 500 + 4 · 630

Hilos sin bastidor: x · 690
Hilos con bastidor: 2 500 + x · 630

4 · x + 7 = 47.
Por lo tanto, x = 10.

Hilos sin bastidor: $13 800
Hilos con bastidor: $15 100

5 · x (cm2)

a · a (cm2)

Precio que se pagará por un lápiz, un sacapuntas y una goma.

Precio que se pagará por tres lápices y un sacapuntas.

Precio que se pagará por dos sacapuntas y tres gomas.

Precio que se pagará por cinco sacapuntas y un lápiz.

x · 750
x: cantidad de cuadernos comprados.

2 · (p + q) ; propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

7 · x
x: precio de cada libreta.

115

118

38

121

39

124

97

103

109

127

187

x · 3 + 4

x · 6 + 7

x · 3 + 4 = 313
103 paquetes por bolsa.

x · 6 + 7 = 313
51 manzanas por caja.

La figura 5 tiene 9 palitos
La figura 6 tiene 11 palitos.
Respuestas variadas. Ejemplos:
Completé la secuencia de los números impares.
Al número de la figura lo multipliqué por 2 y le resté 1.

Figura 6

Figura 5

19

2 · 10 - 1

29

2 · 15 - 1

2 · 20 - 1

49

2 · 25 - 1

6 · 2

7 · 2

8 · 2

9 · 2

99 palitos

x · 2

2 · x - 1

64 cuadrados.

x = 43

x = 20

4 · x - 7

4 · x - 7 = 33

El error fue dividir por 4 antes porque debía primero sumar 12.

10 manzanas.

x = 4

x = 10

x = 21

x = 35

3 · x + 18	= 54
3 · x + 18	= 3 · 12 + 18
x	= 12

49	= 2 · x + 17
49 - 17	= 2 · x
32	= 2 · x
32 : 2	= x
16	= x

Se forma el 27.

Con el 11.

Un plátano, una manzana y un durazno.

Dos plátanos y tres duraznos.

Un plátano y tres duraznos.

Con el 16.

2 · x + 3 · 200

250 + 2 · 200 + x

Se deben usar 2 placas en el mismo número.

Se deben colocar 4 placas en el mismo número.

3 · x + 2 = 17.
Las 3 placas se deben
colgar en el número 5.

18	= 3 · x
x	= 6

10	= 3 · x + 4
x	= 2

16	= 3 · x + 1
x	= 5

42

84
88,2

13,8

275,0

3,6

32
36,0

32,4

729,0

20,0

376

188
225,6

36,9

342,0

13,6

108

108
118,8

372,0

195

2340
253,5

483,0

132

308
321,2

150

25
40,0

336

96
129,6

54,0

4 · x - 7 = 53

4 · x + 9

Cada bolsa traía 15 sándwiches.

Se dispondría de 101 m.

3 · x + 7 = 19; x = 4.
Las 3 placas se deben ubicar en el 4.

4 · x + 9 = 125.

La longitud de cada rollo de alambre es de 29 m.

<

>

=

2,8 · 0,6

Pesan 1,68 g

2,8 · 1,4

Pesan 3,92 g.

,

8 0 1
0 0
8,0 1

3 6 4
1 0 4
1 4,0 4

7 0
3 5
4,2 0

5 3 9
4 6 2
5 1,5 9

5 0 4
2 5 2
3 0,2 4

1  3  5

9  0

9,  3  5

1	4	0

1	5,	4	0

4	2

8	4

8,	8	2

3  2  4

7	6	0

4  8  6

9	5

5  1,  8  4

1	7,	1	0

2	7	2

2	0	4

2	3,	1	2

6  0  3

3	7

2  6  8

2	2	2

3  2,  8  3

2	2,	5	7

1	9

1	3	3

1	3,	4	9

1  7  0

3	7	8

6  8

3	3	6

8,  5  0

3	7,	3	8

3	4	2

1	5	2

1	8,	6	2

3  0

6	0	8

1  0  5

6	8	4

1  0,  8  0

7	4,	4	8

2	1	6

7	2

9,	3	6

3 : 5 = 0,6
0
30
30
0

6 : 4 = 1,5
4
20
20
0

9 : 3 = 3
9
0

28 : 7 = 4
28
0

21 : 3 = 7
21
0

64 : 4 = 16
4
24
24
0

2 : 4 = 0,5
0
20
20
0

7 : 5 = 1,4
5
20
20
0

9 : 6 = 1,5
6
30
30
0

39 : 3 = 13
3
09
9
0

27 : 3 = 9
27
0

42 : 6 = 7
42
0

56 : 8 = 7
56
0

81 : 3 = 27
6
21
21
0

78 : 2 = 39
6
18
18
0

1,5

2,2

7,5

= 1,4 ·(7,8 + 2,2)
1,4 · 10
14

(1,9 + 3,1) + 7,7
5 + 7,7
12,7

(1,25 · 8 ) · 9
10 · 9
90

6 · (0,25 · 4)
6 · 1
6

4,4 · (0,25 - 0,05)
4,4 · 0,2
0,88

6,1

16,1

2,5

70

6,9

69

92

100

0,04

Pesan 3,2 kg.

El trozo mide 5,5 m.

Hay 11 m2.

2,4 · 3,6

Pesan 8,64 kg.

7,5 : 3

Se pueden pintar 2,5 m2.

Pesará 3,15 kg.

540 : 0,6

Hay que pagar $900

1,88

1,02

7,42

2,23

0,56

5,16

1,12

4,375

4,375 · 0,8 = 3,5.

35,5

35,5 · 0,2 = 7,1.

3,4

3,4 · 0,5 = 1,7.

8,25

8,25 · 0,4 = 3,3.

7,875

7,875 · 0,8 = 6,3.

9,8

9,8 · 0,5 = 4,9.

19,8 : 0,6

Mide 33 m.

0,8 : 5

Cada bolsa tendrá 0,16 kg.

5,2 : 0,7

Se pueden llenar 7 jarras y  sobran 0,3 L.

31

130

55

63

215,5

76

2,5 · 0,6 = 1,5

8,2

8,2 · 0,5 = 4,1

0,94

2,4

7,6

8,8

5,4 · 1,6

El área es 8,64 cm2

6,7 · 0,9

El área es 6,03 m2.

3,2 · 4,5

Pesan 14,4 kg.

0,6 · 4,5

Pesan 2,7 kg.

8,54

2,88

62,64

59,57

211,2

Con las redes A y B.

Con las redes A y C.

Lado: JK

Vértices: C y K

Cara: EFGH

Estimación:	El primero tiene mayor área que el segundo.
Cálculo:	192 cm2 y 170 cm2.

2 · 4 · 2 + 2 · 2 · 2 + 2 · 4 · 2

216 cm2 y 864 cm2.

Si las aristas se duplican, las áreas se cuadruplican.

2 · 8 · 4 + 2 · 2,5 · 8 + 2 · 4 · 8

6 ·10 · 10

600

cubo

cuadrados

lo mismo

rectangular

paralelepípedo

suma

iguales

4 puntos en el colegio A y 5 en el colegio B.

5 participantes del colegio A y 3 del colegio B.

El colegio B tuvo mejores resultados.(La forma de los gráficos es similar, las columnas de puntos crecen y luego disminuyen, pero los puntos del diagrama del colegio B están más a la derecha que los del colegio A).

294 cm2

7 cm.

La cara de área 4 · 7; su área es de 262 cm2. Así se obtiene el prisma con la menor área posible. Con las otras, las áreas son  276 cm2 y 292 cm2.

6 · 8 · 8

Su arista mide 8 cm.

El área se mantiene.

2 · ( 5 · 6 + 6 · 8 + 8 · 5 )

236 cm2.

5 9
1 1 4 6 8
0 0 0 2 2 3 4 7 7 8
1 2

14 del colegio A y 15 del colegio B.

El colegio A.

El colegio A tuvo mejor desempeño en la maratón porque hay más niñas que obtuvieron tiempos por debajo del promedio.

El diagrama de tallo y hojas permite ver diferencias que en el diagrama de puntos no esposible observar directamente.En las dos primeras filas de datos podemos ver que hay más niñas en el colegio A que tuvieron tiempos menores a 40 min.

Hay 1 estudiante que realizó 8
intentos para lograr el salto.

5ºA: 26 estudiantes.
5ºB: 27 estudiantes.

No, ya que la forma de los gráficos
es distinta.

En ambos cursos el mínimo es 1
intento y el máximo es 8 intentos.

Respuestas variadas. Ejemplos:
El 5º A tuvo mejores resultados que el 5º B, ya que hay 6 niños que logran el salto en el primer intento.
Si consideramos los que lograron el salto en los 3 primeros intentos, el 5° A tuvo mejor desempeño, ya que hubo 11 niños que lo lograron, mientras que en el 5° B solo fueron 8 niños.

Hay 6 estudiantes que en 1 intento
lograron el salto.

En el patio y las escaleras.

7 lesiones menos.

En el gimnasio.

0 2 4 4 7 8 8 9
0 0 1 3 5

8 9
7 8 8 9
1 8 9

✔

Ambos cursos son muy similares con su público joven.

¿Cuál de los cursos posee el estudiante menor? ¿y el mayor?

Los tallos corresponden a los dígitos de las decenas de las edades de los estudiantes de los cursos de costura e ilustración, mientras que las hojas presentan los dígitos de las unidades.

Si se desea comparar el diagrama del curso de costura con el del curso de ilustración, conviene poner el dígito 5 en el tallo. Pero, si sólo es representar un curso, que no tienen edades mayores o iguales a 50 años, entonces no debe colocarse.

Curso de costura: 11 estudiantes entre 20 y 40 años.
Curso de ilustración: 13 estudiantes entre 20 y 40 años.

25%

16%. Es el porcentaje que falta para completar el 100%.

30%

La mayoría de los encuestados se siente satisfecho con la atención recibida en el almacén.

10%

Hay 144 personas encuestadas que se declaran satisfechas o muy satisfechas con la atención recibida.

El taller más elegido por los hombres es el de Karate y por las mujeres es el de Atletismo.

Los talleres que tienen la misma cantidad de estudiantes inscritos son el de Atletismo y el de Karate con 31 estudiantes.

No sabríamos qué barras corresponden a hombres y mujeres.

143 estudiantes eligieron algún taller. 72 hombres y 71 mujeres.

En Serigrafía y Poesía se produce la mayor diferencia entre hombres y mujeres. En ambos casos hay 2 estudiantes de diferencia entre hombres y mujeres.

Respuestas Variadas. Ejemplos:
¿Cuántos estudiantes hombres se inscribieron en atletismo?
¿En cuál(es), de los taller(es) hay 15 estudiantes mujeres inscritas?.

Los talleres más elegidos son el de Atletismo y el de Karate con 31 estudiantes.

14 estudiantes.

No, ya que es menos de la mitad de los estudiantes los que miden menos de 129 cm.

Más se repite : 129 cm.
Menos se repite: 131 y 132 cm.

Respuestas Variadas. Ejemplos.
La mayoría de los estudiantes mide menos de 130 cm.
El dato que más se repite es la estatura de 129 cm.

24

Un 15% de los árboles plantados son alerces.

Un 60% de los árboles plantados no son pinos.

40 árboles.

160 árboles.

140 árboles.

60 árboles.

Los niños de la escuela A se demoran entre 15 y 40 minutos en llegar a su colegio.

Los niños de la escuela B se demoran entre 10 y 45 minutos en llegar a su colegio.

En general, los niños de la escuela A demoran más en llegar a ella.

No, es solo el 40%

149 estudiantes.

En la escuela San Felipe hay 23 niños y 14 niñas que su estaciòn favorita es el invierno.

Si, la del otoño.

Las niñas prefieren la primavera y los niños el verano y el invierno.

Si, es un 50%.

Invierno.

9 · 12

108 cm2.

108 · 4

432 cm3.

72

7 · 8 · 7

392 cm3.

27 cm3.

48

48 cm3.

56

56 cm3.

64

Cálculo Prisma 1: 30 · 7 · 9 = 1 890
Cálculo Prisma 2: 9 · 7 · 7 = 1 029

1 539 cm3.

Cálculo Prisma 1: 21 · 7 · 2 = 294  Cálculo Prisma 2: 9 · 9 · 7 = 567

861 cm3.

Cálculo Prisma 1: 7 · 16 · 9 = 1 008
Cálculo Prisma 2: 6 · 7 · 16 = 672
Cálculo Prisma 3: 5 · 16 · 15 = 1 200

2 880 cm3.

Cálculo Prisma 1: 30 · 7 · 2 = 420 Cálculo Prisma 2: 9 · 7 · 7 = 441

Cálculo Prisma 1: 30 · 7 · 9 = 1 890 Cálculo Prisma 2: 9 · 7 · 7 = 1 029

5 · 6 · 2

60 cm3.

320 : 80

4 cm.

150 : 6 = 25; 25 · 5 = 125

125 cm3.

90 cm3

343 cm3

432 cm3

(8 · 2 · 6) - (3 · 4 · 2)

72 cm3.

0,7 · 4 · 2

5,6 m3.

5 · 4 · 2,5

50 cm3.

20 · 20 · (20 - 9)

Se necesitan 4 400 cm3 para llenarlo.

80 · 80 · 200

1 280 000 cm3.

32 · 20 · 25

16 000 cm3.

1 500

El volumen de la piedra es de 2 400 cm3.

5,4

El caballo 7.

Los caballos del centro parecen tener más posibilidades de ganar que los de los extremos.

Aunque lancemos los dados muchas veces, es poco posible que el 2 le gane al 9.

6
14
19
27
24
33
26
20
18
10
9

En total el caballo 10 avanza 18 casillas.

En la partida 1 y en la 4 le fue mejor al caballo 4. Y le fue peor en la partida 3.

En cada partida ganaron caballos diferentes.

El número 7 se repitió más veces en total.

Al sumar la cantidad de caras y sellos en cada tipo de monedas, corresponde a 100 lanzamientos. Sin embargo, en el caso de la moneda de $50 la cantidad de sellos es muy superior a la de cara, lo que es difícil que ocurra al lanzar la moneda esa cantidad de veces.

Que las alturas de las barras, en todos los tipos de monedas sean similares.

Podrían no ser suficientes datos para observar una tendencia.

Lo más cercana a 500 caras y 500 sellos.

En las 40 repeticiones del experimento aleatorio se observa que las frecuencias de los resultados son similares.

Al juntar las tres partidas es posible que se observe que el caballo 1 tienda a avanzar más que el resto, por lo que se podría pensar que tiene más posibilidades de ganar.

Los caballos 0, 2 y 3 se espera que hayan avanzado más en las 3 partidas, mientras que el 4 y el 5 menos. Eso sugiere que los caballos 4 y 5 tienen menos posibilidades que el resto.

Porque para que el producto sea 7, en los dados deben salir el 1 y el 7. Y los dados no tienen 7, por eso no puede ser.

Lechuga, zanahoria y choclo.
Lechuga, zanahoria y huevo.
Lechuga, zanahoria y palta.
Lechuga, tomate y choclo.
Lechuga, tomate y huevo.
Lechuga, tomate y palta.

6 ensaladas distintas.

No son distintas, con palta son 2 y con tomate 3.

Serían 12 ensaladas.

De 4 maneras

Al 6 o al 12.

6 y 6.

7 8 9 10 11 12

8 9 10 11

5 6 7 8 9 10

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7

5 y 5

Que van disminuyendo en la medida que se alejan del 7 hacia los extremos; que las posibilidades del 1 y el 12 son las mismas, y que lo mismo sucede con el 3 y el 11, el 4 y el 10, el 5 y el 9, y el 6 y el 8.

Hay 16 casos posibles.

Es más posible obtener gris.

Al agregar una pelotita blanca a la bolsa, obtener blanco o gris tienen las mismas posibilidades (hay 9 casos para cada uno):

52 casos.
Respuestas variadas.
Ejemplo:
3 diamante.
Q corazón.

Los posibles resultados son:
1 y cara; 2 y cara; 3 y cara
4 y cara; 5 y cara; 6 y cara
1 y sello; 2 y sello; 3 y sello
4 y sello; 5 y sello; 6 y sello

Buscar todos los resultados que tienen cara y luego todos los que tienen sello.

En 6 casos se obtiene cara en la moneda.

8 casos.

En 2 casos se obtiene 5 en el dado.

16 casos.

En 1 solo caso se obtiene cara en la moneda y 5 en el dado.

No hay diferencias, ya que siguen siendo una moneda y un dado.

centímetros cúbicos.

toneladas.

kilómetros.

metros cuadrados.

mm

m

km

cm

1,76

22,3

900

13 000

1 000

0,001

1 000 000

milígramo (mg)

tonelada (t)

milímetro (mm)

centímetro (cm)

kilómetro (km)

ml

dl

L

cm3

kl

cm2

m2

m3

Anexos

Anexo 1: Evaluaciones

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) incluye 4 evaluaciones que esperan complementar y apoyar sus decisiones en el proceso evaluativo.
• Evaluación 4: evaluación inicial, dirigida a identificar los aprendizajes previos requeridos para abordar los temas del tomo 2.
• Evaluación 5: evaluación intermedia, considera los contenidos estudiados en la Unidad 3.
• Evaluación 6: evaluación final, considera los contenidos abordados en la Unidad 4.
• Evaluación adicional: evaluación extra, aborda todos los contenidos vistos en el tomo 2.
Cada evaluación está acompañada de una tabla de especificaciones que indica el capítulo, el Objetivo de Aprendizaje y el tipo de ítem relacionado a cada pregunta. Además, cada instrumento cuenta con una rúbrica para su revisión.

Evaluación 4

Evaluaciones 4

Tabla de especificaciones Evaluación 4

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA13 | Capítulo 13: Área de cubos y paralelepípedos 1 | Respuesta extensa | 1 | 1
OA7 | Capítulo 6: Multiplicación y división  de decimales 1 | Ejercicios | 2 | 2
OA7 | Capítulo 12: Multiplicación y división  de decimales 2 | Completar | 3 | 3
OA19 | Capítulo 17: Sistemas de unidades  de medición | Términos pareados | 5 | 4
OA24 | Capítulo 14: Datos | V o F | 5 | 5
OA21 | Capítulo 8: Ángulos en triángulos y cuadriláteros | Completar | 1 | 6

Tabla de especificaciones • Evaluación 4

Rúbrica Evaluación 4

1.
2.  	a) 27,6
b) 0,6
3.  	a) 4 • 1 + 5 • 0,1 + 8 • 0,01
b) 9 • 1 + 6 • 0,01 + 5 • 0,001
c) 3 • 0,1 + 1 • 0,001
4.	 C, A, B, E, D.
5.  	a) V
b) F
c) F
d) V
e) F
6.	 DCA mide 54°.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (12 m y 8 m). Identifica el procedimiento para obtener el área multiplicando el largo y el ancho. Multiplica adecuadamente. Escribe como respuesta que el área de la plaza es 96 m2 (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica el procedimiento para obtener el área, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe multiplicar. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Evaluación 5

Tabla de especificaciones Evaluación 5

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA11 | Capítulo 11: Lenguaje algebraico y ecuaciones | Ejercicios | 2 | 1
OA12 | Capítulo 11: Lenguaje algebraico y ecuaciones | Respuesta extensa | 2 | 2
OA7 | Capítulo 12: Multiplicación y  división de decimales 2 | Ejercicios | 4 | 3
OA13 | Capítulo 13: Área de cubos y paralelepípedos | Construcción | 1 | 4
OA22 | Capítulo 14: Datos | Respuesta extensa | 2 | 5

Rúbrica Evaluación 5

1.	a) x =
24
5
b) x = 8
2.	a) 5 • x + 10
b)	5 • x + 10 = 150
5 • x = 150 - 10
5 • x = 140
x = 140 : 5
x = 28
Respuesta: Cada rollo tiene 28 m de alambre.
3.	a) 265,65
b) 18,75
4.	Una respuesta posible es la que se muestra en la siguiente figura. Hay otras respuestas correctas y el docente debe cuidar que la red dibujada permita formar la figura.
1 cm
5.	a) Hay más inscritos en el curso de dibujo.
b) Asiste un mayor número de personas de entre 30 y 40 años al curso de dibujo.

Rúbrica • Evaluación 5

Evaluación 6

Tabla de especificaciones Evaluación 6

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA19 | Capítulo 15: Volumen de cubos y paralelepípedos | Respuesta extensa | 1 | 1
OA19 | Capítulo 15: Volumen de cubos y paralelepípedos | Selección única | 1 | 2
OA23 | Capítulo 16: Experimentos aleatorios | Identificación | 4 | 3
OA22 | Capítulo 16: Experimentos aleatorios | Respuesta breve | 2 | 4
OA18 | Capítulo 18: Sistemas de unidades de medición | Respuesta extensa | 1 | 5

Tabla de especificaciones • Evaluación 6

Rúbrica Evaluación 6

1.
2.	 Alternativa b).
3.	√, √, X, √.
4 a)

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica las medidas del paralelepípedo que se arma con la red (4 cm, 5 cm y 1 cm) y calcula el volumen adecuadamente multiplicando la medida de las aristas. Escribe como respuesta que el volumen del paralelepípedo es 20 cm3.
Medianamente logrado | Identifica las medidas del paralelepípedo. Aplica la fórmula de volumen, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la unidad.
Incipiente | Identifica las medidas del paralelepípedo, pero no identifica la fórmula de volumen del paralelepípedo. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica las medidas ni la fórmula de volumen del paralelepípedo.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (3, 2 y 4 opciones). Identifica que para obtener el número total de opciones debe multiplicar la cantidad de opciones de cada parte del menú y multiplica adecuadamente  3 • 2 • 4, o realiza un esquema que le permite visualizar la cantidad total de opciones. Escribe como respuesta que Macarena tiene 24 opciones de menú (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos. Identifica que para obtener el número total de opciones debe multiplicar la cantidad de opciones de cada parte del menú, pero comete errores de cálculo, o realiza un esquema que le permite visualizar la cantidad total de opciones, pero esta contiene errores. El resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe multiplicar ni realiza un esquema adecuado. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

4 b)

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Describe correctamente 3 opciones de menú.
Medianamente logrado | Describe correctamente 2 opciones de menú.
Incipiente | Describe correctamente 1 opción de menú.
No logrado | No describe correctamente nunguna opción de menú.

5.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (6,5 y 100 m). Determina el área de una hectárea en metros, multiplicando 100 m por 100 m, y multiplica el resultado por 6,5. Escribe como respuesta que el terreno tiene un área de 65 000 m2.
Medianamente logrado | Identifica los datos (6,5 y 100 m). Determina el área de una hectárea en metros, multiplicando 100 m por 100 m, y multiplica el resultado por 6,5, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica las operaciones o las identifica parcialmente. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni las operaciones.

Evaluación adicional

Selecciona la o las ecuaciones que permiten resolver cada problema.

a)	Juan compró 6 cartulinas y una tijera que le costó $2 060. Si pagó $5 000 en total, ¿cuánto costó cada cartulina?
A.	5 000 + 6 • x = 2 060
B.	2 060 - 6 • x = 5 000
C.	6 • x - 2 060 = 5 000
D.	6 • x + 2 060 = 5 000

b)	Boris recibió una alcancía con un billete adentro. Durante un año puso $2 000 en la alcancía cada mes. Al final del año abrió la alcancía y tenía $29 000.  ¿De qué valor era el billete?
A.	29 000 – 12 • x = 2 000
B.	29 000 + 12 • x = 2 000
C.	x + 12 • 2 000 = 29 000
D.	x – 12 • 2 000 = 29 000

Se tienen 3,5 L de jugo para envasar en botellas de 0,6 L. ¿Cuántas botellas se ocupan y cuántos litros de jugo sobran?

Una librería hizo inventario y se percató que cada mes las editoriales que más vendían libros eran Santos libros y Libralia.

Ejemplares

80

Ventas de Marzo a Agosto

Santos libros

Libralia

60

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Mes

Responde con V si la afirmación es verdadera y F si es falsa.

a)	 En abril, Santos libros vendió el doble que Libralia.
b)	 Durante 3 meses Santos libros vendió más que Libralia.
c)	 Libralia fue aumentando sus ventas.
d)	 La cantidad de ejemplares de Santos libros que se vende cada mes es similar.

Calcula el área y el volumen de las siguientes figuras 3D:

5 cm

El área es:  cm2
El volumen es:  cm3

Tabla de especificaciones Evaluación adicional

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA11 | Capítulo 11: Lenguaje algebraico y ecuaciones | Selección múltiple | 2 | 1
OA7 | Capítulo 12: Multiplicación y división de decimales 2 | Respuesta extensa | 4 | 2
OA22 | Capítulo 14: Datos | V o F | 4 | 3
OA13 OA19 | Capítulo 13: Área de cubos y paralelepípedos Capítulo 15: Volumen de cubos y paralelepípedos | Respuesta breve | 4 | 4

Rúbrica Evaluación adicional

1.  	a)	D
b) C
2.
3.  	a)	F
b) V
c)	V
d) V
4.	El paralelepípedo tiene área igual a 148 cm2 y un volumen de 120 cm3.
El cubo tiene un área de 96 cm2 y un volumen de 64 cm3.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (3,5 L y 0,6 L) e identifica que debe dividir. Realiza adecuadamente la división, empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia. Escribe como respuesta que se ocupan 5 botellas y sobran 0,5 L de jugo (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe dividir, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es parcialmente correcto y no identifica el resto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Rúbrica • Evaluación adicional

Anexo 2: Tickets de salida  y sus respuestas

Ticket de salida

Tickets de salida

Solucionario  Tickets de salida

Solucionario Tickets de salida

Ticket de salida página 9
2 • x + 3 • 250
Ticket de salida página 11
2 • x + 2 • y
Ticket de salida página 12
80 + x • 120
Ticket de salida página 13
30 cuadrados
Ticket de salida página 13
No, pues la figura 102 tiene 204 cuadrados y  la figura 103 tiene 206 cuadrados.
Ticket de salida página 16
x • 350 + 250 = 3 750
x = 10
Ticket de salida página 17
x = 2
Ticket de salida página 17
Algún número mayor o igual que 4.
Ticket de salida página 19
6 • x –  8 = 82
x = 15
Ticket de salida página 19
No, porque 2 • 5 – 2 es 8 y no 5.
Ticket de salida página 20
10 + 5 = 1 + 2 • x
Se deben ubicar en el 7.
Ticket de salida página 20
No
Ticket de salida página 21
Se debe escribir 13.
Ticket de salida página 21
Se debe escribir 4.
Ticket de salida página 26
Expresión: 20 • 9,5
Respuesta: 190 cm2.
Ticket de salida página 27
186,9
Ticket de salida página 30
25,35
Ticket de salida página 30
Expresión: 6,7 • 3,4
Respuesta: 22,78 m2.
Ticket de salida página 31
4,98
Ticket de salida página 34
170
Ticket de salida página 34
240
Ticket de salida página 36
4,356
Ticket de salida página 37
3,76
Ticket de salida página 38
Expresión: 7,5 • 95
Respuesta: Se deben pagar $712,5.
Ticket de salida página 40
Expresión: 3,5 : 0,2
Respuesta: 17 vasos y sobró 0,1 L.
Ticket de salida página 42
Ticket de salida página 43
40 cm2.
Ticket de salida página 44
Ticket de salida página 45
2 • (4 • 3) + 2 • (4 • 5) + 2 • (5 • 3)
Ticket de salida página 46
Ticket de salida página 47
125 cm3.
Ticket de salida página 48
4 • (4 • 3) + 2 • (4 • 4)
Ticket de salida página 49
4 cm ; 96 cm2.
Ticket de salida página 50
Ticket de salida página 51
126 cm2.
Ticket de salida página 53
25 plantas.
Ticket de salida página 53
13 plantas.
Ticket de salida página 55
6 estudiantes del 6°A y 7 estudiantes del 6°B.

Ticket de salida página 55
El 6°A ya que en total ocuparon 256 minutos, en cambio el 6° B ocupó 303.
Ticket de salida página 56
19 competidoras en total.
Ticket de salida página 56
Fue la misma cantidad en ambas escuelas.
Ticket de salida página 58
Las revistas.
Ticket de salida página 58
Entre diarios y revistas.
Ticket de salida página 60
El 40% de los libros.
Ticket de salida página 60
300 son cómics.
Ticket de salida página 61
15 niños.
Ticket de salida página 61
Tallo	Hojas
2	3	7
3	3	5	8
4	0	2	3	4	4
5	2
Ticket de salida página 62
Entre serigrafía y karate es la misma diferencia con poesía.
Ticket de salida página 62
El 30%.
Ticket de salida página 65
Ticket de salida página 67
20 cubos.
Ticket de salida página 68
84 cm3.
Ticket de salida página 69
100 cm3.
Ticket de salida página 70
27 cm3.
Ticket de salida página 71
60 cm3.
Ticket de salida página 72
576 cm3.
Ticket de salida página 74
1 000 mm3.
Ticket de salida página 75
12 cm3.
Ticket de salida página 76
50 cm3.
Ticket de salida página 77
Ticket de salida página 80
36 cm3.
Ticket de salida página 82
Respuesta variada. Se puede esperar que el caballo 5 porque está más cerca de la meta.
Ticket de salida página 82
Respuesta variada. Se debe obtener en los dados 1 y 1, algo que es poco posible.
Ticket de salida página 85
Respuesta variada. En 50, porque la tendencia es que la mitad de los lanzamientos sea cara y la otra mitad, sello.
Ticket de salida página 85
Respuesta variada. Es tan casi tan posible como obtener verde.
Ticket de salida página 86
Respuesta variada. Se irán nivelando.
Ticket de salida página 86
Respuesta variada. Sí, ya que la barra de los sellos de la moneda de $10 es más alta que la de las caras.
Ticket de salida página 89
; ; ; ; ; .
Ticket de salida página 89
3 ensaladas.
Ticket de salida página 90
CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS.
Ticket de salida página 90
Ticket de salida página 92
La bolsa 2.
Ticket de salida página 92
2, 3, 4, 4, 6, 8, 9, 12.
Ticket de salida página 98
1. m2.
2. cm3.
Ticket de salida página 99
1 metro equivale a 1 000 milímetros.
1 kilómetro equivale a 1 000 metros.
Ticket de salida página 100
5 000 cm2.
Ticket de salida página 101
1 000 litros.
Ticket de salida página 102
2,7 kg equivalen a 2 700 g.
800 g equivalen a 0,8 kg.
Ticket de salida página 105
50 000 km equivalen a 50 Mm.
35 000 000 km equivalen a 35 Gm.

Anexo 3
Material didáctico recortable

Anexo 3    Material didáctico recortable

Bibliografía

• Araneda, A. M., Chandía, E., & Sorto, M. A. (2013). Datos y azar para futuros profesores de Educación Básica. Santiago de Chile: SM.
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• Cedillo, T., Isoda, M., Chalini, A., Cruz, V. & Vega E. (2012). Matemáticas para la Educación Normal: Guía para el aprendizaje y enseñanza de la aritmética. México D.F.: Contrapunto.
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Webgrafía