Sumo Primero

Guía Didáctica del Docente

TOMO 1

6°
básico

En esta Guía Didáctica del Docente, encontrarán orientaciones de uso para los recursos del Plan Sumo Primero. Los planes de clases detallan la implementación articulada del Texto del Estudiante con los demás recursos, Cuaderno de Actividades; Tickets de salida; Evaluaciones y Material recortable.

Autor
Masami Isoda, Universidad de Tsukuba, Japón.
Editorial Gakko Tosho Co, LTD.
Traducción y Adaptación
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación.
Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMMedu)
Universidad de Chile.
Proyecto Basal AFB170001.

Guía Didáctica del Docente Tomo 1
ISBN 978-956-292-842-7
Primera Edición
Diciembre 2020
Impreso en Chile
5 792 ejemplares
En este texto se utilizan de manera inclusiva los términos como  “los estudiantes”, “los niños”, “los padres”, “los hijos”, “los apoderados”,  “los profesores” y otros que refieren a hombres y mujeres.

¡Bienvenidos!

Presentación del Texto del Estudiante	5
Fundamentación didáctica	7
Niños y símbolos	8
Objetivos de Aprendizaje	9
Planificaciones	10
Planificación Anual	11
Planificación Semestral	12
Planificación Detallada	13
Planes de clases	15
Capítulo 1: Operatoria combinada	16
Capítulo 2: Múltiplos y divisores	24
Capítulo 3: Suma y resta de números decimales	41
Capítulo 4: Ángulos	48
Capítulo 5: Fracciones y números mixtos	63
Repaso 1	76
Capítulo 6: Multiplicación y división de números decimales 1	78
Capítulo 7: Razones	93
Capítulo 8: Ángulos en triángulos y cuadriláteros	107
Capítulo 9: Porcentaje	124
Repaso 2	131
Capítulo 10: Aventura Matemática	132

Índice

Cuaderno de Actividades y sus respuestas	135
Anexos	172
Anexo 1: Evaluaciones	173
Evaluación 1	174
Tabla de especificaciones Evaluación 1	177
Rúbrica Evaluación 1	178
Evaluación 2	179
Tabla de especificaciones Evaluación 2	182
Rúbrica Evaluación 2	183
Evaluación 3	184
Tabla de especificaciones Evaluación 3	187
Rúbrica Evaluación 3	188
Evaluación adicional	189
Tabla de especificaciones Evaluación adicional	192
Rúbrica Evaluación adicional	193
Anexo 2: Tickets de salida y sus respuestas	194
Anexo 3: Material didáctico recortable	217
Bibliografía y webgrafía	224

Esta Guía Didáctica del Docente es reutilizable, por lo que te recordamos no rayarla.

Matemática    Tomo 1

Presentación del Texto del Estudiante
Características y propósitos
El Texto del Estudiante Sumo Primero de sexto básico busca contribuir a la formación matemática de los estudiantes a través de secuencias didácticas bien articuladas y orientadas al enfoque de enseñanza basado en resolución de problemas.
El texto tiene como propósitos:
1. Promover el desarrollo de habilidades superiores.
2. Desarrollar el pensamiento matemático.
3. Promover la comprensión de conceptos y procedimientos fundamentales de la matemática escolar.
Los Textos del Plan Sumo Primero corresponden a una traducción y adaptación de textos japoneses de la editorial Gakko Tosho Co, cuya propuesta fue adaptada y complementada para alinearse al currículum nacional en la asignatura de Matemática.
Estructura del Texto
El Texto del Estudiante está compuesto de dos tomos, uno para cada semestre del año escolar. Cada tomo contiene capítulos organizados en dos unidades, y cada capítulo está compuesto por uno o más temas.
El texto dispone de diferentes secciones para ayudar al docente en la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Al finalizar los capítulos se presentan ejercicios para afianzar el dominio de los temas estudiados.

Al finalizar los capítulos se presentan problemas que permiten poner en juego los conocimientos y habilidades adquiridos.

Actividades que permiten repasar y evaluar el dominio de conceptos y procedimientos aprendidos.

Problemas no rutinarios en contextos relevantes que permiten aplicar conocimientos aprendidos.

Presentación del Texto del Estudiante

Uso del Texto
En cada capítulo se plantean situaciones desafiantes mediante preguntas o imágenes, las que permiten a los estudiantes elaborar estrategias y proponer soluciones que luego serán compartidas por toda la clase. El docente promueve un debate acerca de las estrategias utilizadas, en las que se pone de manifiesto el pensamiento matemático de los alumnos. Finalmente, se recurre al Texto del Estudiante para comparar, verificar y sistematizar las ideas propuestas por los niños.  Este proceso se puede resumir en los siguientes momentos:
• Situación o problema desafiante.
• Trabajo en grupo para la búsqueda de soluciones.
• Presentación de las respuestas, discusión en torno a las estrategias utilizadas.
• Comparación con lo que propone el texto, debate y verificación para sistematizar.
• Uso del texto para realizar actividades de ejercitación y afianzar la comprensión matemática alcanzada en el debate.
Una característica importante del Texto del Estudiante Sumo Primero es que está diseñado para ser reutilizado varias veces. En algunas actividades del texto, se invita a los estudiantes a dirigirse a una página del Cuaderno de Actividades para responder. Es importante que el docente enfatice y reitere que el Texto del Estudiante no se debe rayar, para que pueda ser utilizado por otro estudiante el siguiente año.
Recursos asociados
Además del Texto del Estudiante, cada alumno dispone de un Cuaderno de Actividades que le permite ejercitar lo aprendido en distintos momentos del estudio de un capítulo. También dispone de un talonario con Tickets de Salida, que son preguntas breves para responder al finalizar cada clase. Estas respuestas constituyen evidencias de los aprendizajes logrados y pueden ayudar a los docentes a tomar decisiones sobre el proceso de enseñanza.
El docente cuenta con la Guía Didáctica que incluye planes detallados de clase y otros recursos para apoyar su gestión. Para el uso efectivo de las actividades propuestas en el texto se aconseja revisar detalladamente la gestión propuesta en esta guía. Finalmente, el docente cuenta con un Cuadernillo de Evaluaciones, que permite evaluar aprendizajes al inicio, durante y al final de cada semestre.

La Guía Didáctica del Docente, el Texto del Estudiante, el Cuaderno de Actividades y el Talonario de Tickets de Salida están organizados en dos tomos: el tomo 1 asociado al primer semestre y el tomo 2, al segundo semestre. Aunque los recursos se planificaron para distribuir los temas de forma semestral, es indispensable terminar la revisión de un tomo para comenzar el siguiente. Por lo tanto, si al terminar un semestre, usted aún no ha podido terminar el tomo 1, le recomendamos terminar su revisión, antes de continuar con el siguiente tomo.

Yo soy el monito del monte, acompaño a los estudiantes en su esfuerzo por elaborar estrategias y destaco las ideas matemáticas importantes.

Fundamentación Didáctica

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) ha sido elaborada a partir del modelo de gestión de clases basado en el enfoque de resolución de problemas. Su propósito es brindar orientaciones al docente respecto del uso del Texto del Estudiante (TE) y Cuaderno de Actividades (CA) Sumo Primero de sexto básico, específicamente en aspectos relativos a la organización de la enseñanza, gestión de aula, uso de los tiempos, selección de objetivos de aprendizaje (OA), consideraciones didácticas-matemáticas, uso de materiales y evaluación.
La organización de los capítulos y sus respectivas clases fueron construidas considerando procesos de estudio articulados y secuenciados, por esto, se recomienda estudiar los capítulos en el orden propuesto.
Cada capítulo del TE posee una descripción para la gestión docente en la GDD, que incluye una visión general, los OA asociados, el tiempo de dedicación en horas pedagógicas, los aprendizajes previos requeridos y las actitudes que se promoverán con mayor énfasis a lo largo del proceso.
Además, para cada página del TE hay una gestión sugerida en la GDD, que incluye los recursos que se deberán usar, el tiempo aproximado, el propósito específico de las actividades propuestas y las habilidades que se abordarán con mayor predominancia. La GDD presenta orientaciones y sugerencias para que el docente gestione las actividades flexiblemente, adaptándolas a sus necesidades, pero resguardando las condiciones didácticas y la secuencia planteada.
La enseñanza con enfoque en la resolución de problemas implica considerar situaciones abiertas que resulten nuevas y desafiantes, pero accesibles para los estudiantes, de tal manera que las estrategias de resolución sean construidas por ellos mismos.
Este enfoque requiere que los docentes conozcan y comprendan el estado actual del pensamiento matemático de sus estudiantes, para así ayudarlos a avanzar a un siguiente nivel de desempeño. Para eso, en la gestión de clases de la GDD se sugieren una serie de preguntas que ayuden a los profesores a indagar y utilizar pensamiento de los estudiantes para generar nuevos aprendizajes.
Para que el aprendizaje a través de esta propuesta sea efectivo, es importante que el docente promueva discusiones en la que sus estudiantes realicen preguntas, hagan observaciones, propongan explicaciones, argumenten sus ideas, construyan ejemplos y contraejemplos, entre otras acciones. De este modo, los estudiantes podrán reconstruir, conectar y dar sentido a los conocimientos que van adquiriendo. La gestión de clases de la GDD presenta orientaciones para generar y conducir este tipo de discusiones.
En general, una clase basada en la resolución de problemas sigue la siguiente estructura:
1.	Presentación. Presentación y comprensión individual del problema. Puede generar una breve discusión con los compañeros para aclarar algunos puntos, pero es importante que cada estudiante intente comprender por sí mismo en qué consiste el problema y proponer sus ideas.
2.	Exploración. Los estudiantes abordan el problema y elaboran una solución personal o colectiva. La labor docente en ese momento consiste en monitorear el trabajo de los estudiantes, haciendo preguntas inductivas y/o comentarios aclarativos, y brindando orientaciones más específicas a los estudiantes que presenten dificultades en el proceso. El docente también anima a aquellos estudiantes que terminan más rápidamente a encontrar explicaciones o soluciones alternativas.
3.	Exposición. El docente selecciona estudiantes que han resuelto el problema de maneras diferentes, y los motiva a explicar su solución al resto de la clase. Tras escuchar las explicaciones, los estudiantes comparten sus opiniones acerca de las ventajas y desventajas de una estrategia en relación con otra, comparan las maneras de abordar el problema e identifican similitudes y diferencias.
4.	Conclusión. El profesor, a partir de las propias ideas de los estudiantes, presenta un resumen con los puntos clave surgidos en la actividad, consolidando las ideas más importantes y formalizando lo aprendido. En este tiempo también pueden realizarse actividades de extensión o conexión, mostrando cómo se puede aplicar la estrategia óptima en la resolución de problemas similares.
Le recomendamos seguir esta estructura de clase especialmente en aquellas en las que se desea enfatizar el enfoque de enseñanza basada en la resolución de problemas, como las que suelen presentarse al inicio de cada capítulo o tema en el TE.

Amigos que aprenden juntos

Sofía

Matías

Ema

Juan

Sami

Gaspar

Simbología

Puntos importantes

Cuaderno de Actividades

Practica

Ejercita

Focaliza tus ideas

Ticket de Salida

Exploremos:

Explora tu entorno

Manos a la obra

Profundiza

Completa en tu  Cuaderno de Actividades

Objetivos de Aprendizaje Matemática 6º básico
Los estudiantes serán capaces de:

Números y operaciones
Demostrar que comprenden los factores y los múltiplos:
determinando los múltiplos y los factores de números naturales menores de 100
identificando números primos y compuestos
resolviendo problemas que involucran múltiplos
Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones en el contexto de la resolución de problemas, utilizando la calculadora en ámbitos superiores a 10 000.
Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando software educativo.
Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo.
Demostrar que comprenden las fracciones y los números mixtos:
identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, usando material concreto y representaciones pictóricas de manera manual y/o con software educativo
representando estos números en la recta numérica
Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dígitos.
Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.
Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
Patrones y álgebra
Demostrar que comprenden la relación entre los valor de una tabla y aplicarla en la resolución de problemas sencillos:
identificando patrones entre los valores de la tabla
formulando una regla con lenguaje matemático
Representar generalizaciones de relaciones entre números naturales, usando expresiones con letras y ecuaciones.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando estrategias como:
usar una balanza
usar la descomposición y la correspondencia 1 a 1 entre los términos en cada lado de la ecuación y aplicando procedimientos formales de resolución
Geometría
Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y/o sus ángulos con instrumentos geométricos o software geométrico.
Demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos, calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas.
Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones, reflexiones y rotaciones.
Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos con instrumentos geométricos o software geométrico.
Identificar los ángulos que se forman entre dos rectas que se cortan (pares de ángulos opuestos por el vértice y pares de ángulos complementarios).
Demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y de un cuadrilátero es 360°.
Medición
Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm² y m².
Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm³, m³ y mm³.
Estimar y medir ángulos, usando el transportador y expresando las mediciones en grados.
Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal y en triángulos.
Datos y probabilidades
Comparar distribuciones de dos grupos, provenientes de muestras aleatorias, usando diagramas de puntos y de tallo y hojas.
Conjeturar acerca de la tendencia de resultado obtenidos en repeticiones de un mismo experimento con dados, monedas u otros, de manera manual y/o usando software educativo.
Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus conclusiones.

Objetivos de Aprendizaje

Planificaciones

Planificación Anual
Primer Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
1 | Números y operaciones | Operatoria combinada | 8
| Números y operaciones | Múltiplos y divisores | 17
| Números y operaciones | Suma y resta de decimales | 6
| Geometría | Ángulos | 10
| Números y operaciones | Fracciones y números mixtos | 12
2 | Números y operaciones | Multiplicación y división de decimales 1 | 13
| Números y operaciones | Razones | 14
| Geometría | Ángulos en triángulos y cuadriláteros | 12
| Números y operaciones | Porcentajes | 9
| Números y operaciones | Aventura Matemática | 2
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
3 | Patrones y álgebra | Lenguaje algebraico y ecuaciones | 19
| Números y operaciones | Multiplicación y división de decimales 2 | 13
| Geometría y Medición | Área de cubos y paralelepípedos | 10
| Datos y probabilidades | Datos | 14
4 | Medición | Volumen de cubos y paralelepípedos | 14
| Datos y probabilidades | Experimentos aleatorios | 12
| Números y operaciones, Geometría, Medición y Datos y probabilidades | Aventura Matemática | 2
| Medición | Sistemas de unidades de medición | 7

Planificación Anual

Planificación Semestral
Primer Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
1 | Números y operaciones | 2 | Operatoria combinada | 270 | 90
| Números y operaciones | 1 | Múltiplos y divisores | 615 | 150
| Números y operaciones | 8 | Suma y resta de decimales | 215 | 55
| Geometría | 15, 16 y 20 | Ángulos | 370 | 80
| Números y operaciones | 5 y 18 | Fracciones y números mixtos | 420 | 120
2 | Números y operaciones | 7 | Multiplicación y división de decimales 1 | 420 | 165
| Números y operaciones | 3 | Razones | 440 | 190
| Geometría | 12, 14, 17 y 21 | Ángulos en triángulos y cuadriláteros | 365 | 175
| Números y operaciones | 3 | Porcentajes | 310 | 95
| Números y operaciones | 3 y 4 | Aventura Matemática | 90 | -
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
3 | Patrones y álgebra | 9, 10 y 11 | Lenguaje algebraico y ecuaciones | 560 | 295
| Números y operaciones | 7 | Multiplicación y división de decimales 2 | 450 | 135
| Geometría y Medición | 13 y 18 | Área de cubos y paralelepípedos | 360 | 90
| Datos y probabilidades | 22 y 24 | Datos | 420 | 210
4 | Medición | 19 | Volumen de cubos y paralelepípedos | 555 | 75
| Datos y probabilidades | 23 | Experimentos aleatorios | 420 | 120
| Números y operaciones, Geometría, Medición y Datos y probabilidades | 3, 4, 13, 18, 19 y 24 | Aventura Matemática | 90 | -
| Medición | 18 y 19 | Sistemas de unidades de medición | 255 | 60

Planificación Detallada Unidad 1
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
1 | Operatoria combinada | Números y operaciones | 8-15 | Orden de las operaciones | 270 | 2 | • |  | • | • | A | 4-7
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 2 |  |  | • | • |  | 8
|  |  |  | Problemas | 45 | 2 |  |  | • | • |  | 9
2 | Múltiplos y divisores | Números y operaciones | 16-32 | Múltiplos y múltiplos comunes | 315 | 1 | • | • |  | • | C | 10-11
|  |  |  | Divisores y divisores comunes | 330 | 1 | • | • |  | • |  | 12-17
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 1 |  | • |  | • |  | 19
|  |  |  | Problemas | 75 | 1 |  |  |  | • |  | 20-21
3 | Suma y resta de números decimales | Números y operaciones | 33-39 | Operatoria combinada con números decimales | 165 | 8 |  | • |  | • | C | 22-24
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 8 |  |  |  | • |  | 25
|  |  |  | Problemas | 30 | 8 |  |  |  | • |  | -
|  |  |  | ¿Cuán pesados son los cerebros? | 30 | 8 |  |  |  | • |  | -
4 | Ángulos | Geometría | 40-54 | Ángulos entre 0° y 180° | 180 | 15 y 20 | • | • |  |  | A F | 26-28
|  |  |  | Ángulos entre 0° y 360° | 135 | 15 y 20 | • | • |  |  |  | 29-30
|  |  |  | Ángulos entre dos líneas que se cortan | 90 | 16 | • | • |  | • |  | 31-32
|  |  |  | Ejercicios | 20 | 15, 16 y 20 | • | • |  |  |  | -
|  |  |  | Problemas | 25 | 15, 16 y 20 | • | • |  | • |  | -
5 | Fracciones y números mixtos | Números y operaciones | 55-67 | Equivalencias | 135 | 5 | • |  |  | • | F | 33-34
|  |  |  | Suma de fracciones y números mixtos | 135 | 18 | • |  |  | • |  | 35-36
|  |  |  | Resta de fracciones y números mixtos | 180 | 18 | • | • | • | • |  | 37-38
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 5 y 18 |  |  | • | • |  | 39
|  |  |  | Problemas | 45 | 5 y 18 | • |  |  | • |  | 40

Planificación Detallada

Planificación Detallada Unidad 2
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Páginas del Texto del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitud | Páginas Cuaderno de Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar y comunicar | Modelar | Resolver problemas
6 | Multiplicación y división de números decimales 1 | Números y operaciones | 70 - 74 | Multiplicación entre números naturales y números decimales | 190 | 7 |  | • | • | • | C | 41-42
|  |  | 75 - 80 | División entre números decimales y números naturales | 220 | 7 |  | • | • | • |  | 43-45
|  |  | 81 - 82 | Resolviendo problemas | 85 | 7 |  |  |  | • |  | 46-47
|  |  | 83 | Ejercicios | 45 | 7 |  |  |  | • |  | 48
|  |  | 84 | Problemas | 45 | 7 |  |  |  | • |  | 49
7 | Razones | Números y operaciones | 85 - 88 | Comparando con la unidad | 225 | 3 | • | • |  | • | C | 51-53
|  |  | 89 - 93 | Razón como comparación por cociente | 180 | 3 | • | • |  | • |  | 54-55
|  |  | 94 - 96 | Expresar comparaciones usando razones | 120 | 3 | • |  |  | • |  | 56
|  |  | 97 | Ejercicios | 75 | 3 | • | • |  | • |  | 57-58
|  |  | 98 | Problemas | 30 | 3 |  |  |  | • |  | -
8 | Ángulos en triángulos y cuadriláteros | Geometría | 99 - 102 | Construcción de triángulos | 180 | 12 | • | • |  |  | A F | 60-61
|  |  | 103 - 105 | Ángulos en triángulos | 90 | 17 | • | • |  |  |  | 63-64
|  |  | 106 - 109 | Ángulos en cuadriláteros | 90 | 17 | • | • |  | • |  | 66-67
|  |  | 110 - 111 | Ángulos en rectas paralelas cortadas  por una transversal | 90 | 21 | • | • |  | • |  | 69
|  |  | 112 –113 | Teselados | 45 | 14 | • | • |  |  |  | 70
|  |  | 114 | Ejercicios | 15 | 17 | • | • |  |  |  | -
|  |  | 115 | Problemas | 30 | 14, 17 y 21 |  | • |  | • |  | -
9 | Porcentajes | Números y operaciones | 116-118 | Porcentaje como razón | 165 | 3 | • | • |  |  | B | 71-72
|  |  | 119-120 | Cálculo de porcentajes usando fracciones | 135 | 3 |  | • |  | • |  | 73-74
|  |  | 121 | Ejercicios | 65 | 3 | • |  |  | • |  | 75
|  |  | 122 | Problemas | 40 | 3 |  |  |  | • |  | -
10 | Aventura Matemática | Números y operaciones | 124-126 | - | 90 | 3 y 4 |  | • |  | • |  | -

Planes de clases

Íconos
Ticket de salida
Cuaderno de Actividades

Capítulo 1

Operatoria combinada

8 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza en el estudio de las operaciones aritméticas y se continúa con el estudio de la operatoria combinada que se inició en 5° básico. Interesa que los estudiantes apliquen sus conocimientos sobre la prioridad de las operaciones en la resolución de problemas aritméticos.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA2: Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones en el contexto de la resolución de problemas, utilizando la calculadora en ámbitos superiores a 10 000.
Aprendizajes previos
Realizan cálculos que involucran las cuatro operaciones, aplicando las reglas relativas al paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.

1

P. 8

TE

Planificación

45 minutos

Propósito
Que los estudiantes resuelvan un problema aditivo planteando una única expresión matemática que considere todos los cálculos.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
2 barras de cartulina de distinto tamaño para presentar en pizarra.
Gestión
Presente el problema de la Actividad 1 y pida que lo lean en conjunto. Plantee preguntas que favorezcan su comprensión, al mismo tiempo, invítelos a construir el modelo de barras. Por ejemplo: ¿se conoce la cantidad de hombres? (Sí, 750 000) Pida que peguen una barra que represente a la cantidad de hombres con su respectivo rótulo. ¿Se conoce la cantidad de mujeres? (No) ¿Qué dato se tiene en relación con las mujeres? (La diferencia con respecto a la cantidad de hombres) ¿Hay más mujeres u hombres? Enfatice que se señala que la cantidad de hombres es 29 870 menos que la cantidad de mujeres, por lo tanto, hay más mujeres. Pida que peguen otra barra más larga debajo de la que representa la cantidad de hombres con su respectivo rótulo. Pregunte: ¿cómo representamos la diferencia en el modelo de barras? Se espera que los estudiantes reconozcan que es el trozo de barra que una tiene por sobre la otra y que este trozo representa 29 870 mujeres. Mediante el modelo, los estudiantes pueden visualizar que la barra que representa a la cantidad de mujeres se compone de la diferencia con la cantidad de hombres. Continúe preguntando: ¿cómo encontramos el total de personas? (Sumando la cantidad de hombres y de mujeres).
Una vez que comprenden el problema a partir del modelo de barras, desafíelos a expresar una única expresión matemática que lo resuelva. Para ello, organice el curso en grupos y dé un tiempo para que exploren y expongan sus ideas a la clase. Se espera que reconozcan que la expresión matemática debe considerar una suma que contemple la cantidad de hombres y de mujeres, y que la cantidad de mujeres se compone de la cantidad de hombres más la diferencia: 750 000 + (750 000 + 29 870).
Antes de pasar a la realización de los cálculos, sistematice el planteamiento de la expresión matemática invitándolos a leer y analizar las ideas que se proponen en el Texto del Estudiante.

P. 9

30 minutos

CA

15 minutos

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que en una expresión matemática que contiene solo sumas se puede aplicar la propiedad asociativa y realizar los cálculos en distinto orden.
Que los estudiantes reconozcan en el contexto de un problema la importancia de ubicar paréntesis en una expresión matemática que contiene solo restas.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Presente la Actividad 1 d) y genere una discusión sobre el orden al hacer los cálculos y permita que los realicen en distinto orden, de tal manera que noten que siempre da el mismo resultado. Luego, centre el debate en la eficacia de un orden respecto de otro, pues es más fácil calcular 750 000 + 750 000 = 1 500 000, ya que se puede hacer de manera mental, y luego sumar 29 870. Destaque que la suma tiene la propiedad de asociar los cálculos indistintamente y que generalmente se usa para facilitar el cálculo. Pida a los estudiantes que analicen la generalización de esta propiedad en el recuadro del monito del monte que se presenta en el Texto del Estudiante.
A continuación, presente el problema de la Actividad 2, favorezca su lectura colectiva y asegúrese de que todos lo comprendan planteando preguntas: ¿a qué corresponden los $200 000? (A la cantidad de dinero que se tiene para comprar una tablet) ¿Cuál es más cara? (La de 10 pulgadas) ¿De cuál tablet se conoce el precio? (De la de 10 pulgadas) ¿Qué se sabe de la de 8 pulgadas? (Que vale menos que la de 10 pulgadas, 60 mil menos) ¿Qué debe considerar la expresión matemática que permita calcular el vuelto que darán al comprar la tablet de 8 pulgadas? (El dinero que tiene menos el dinero que cuesta la tablet) ¿Qué expresión matemática permite calcular el precio de la tablet de 8 pulgadas? (189 990 – 60 000).
Una vez que comprenden el problema y reconozcan los datos y las incógnitas, plantee la expresión matemática de la Actividad 2 a) y pregunte: ¿esta expresión matemática permite encontrar una solución al problema? Pida que la calculen utilizando una calculadora si tienen una disponible. Se espera que los estudiantes realicen los cálculos en distinto orden, pues algunos la podrían determinar de acuerdo al contexto del problema y otros la podrían establecer de acuerdo al orden en que se presentan las restas.
Una vez que lleguen al resultado contrástelos de tal manera que reconozcan que han llegado a resultados distintos y que al hacer los cálculos en el orden en que se presentan, no es posible llegar a una solución razonable, pues al calcular 200 000 – 189 990 se obtiene 10 010, y luego no es posible calcular 10 010 – 60 000. Frente a esto pregunte: en el caso de las expresiones matemáticas que contenían solo sumas se podían realizar los cálculos en distinto orden, ¿es válida esta propiedad para la resta? (No) Para llegar a la solución del problema, ¿qué cálculos se deben realizar primero? Pídales que vuelvan a leer el problema, de tal manera que reconozcan que primero es necesario saber el precio de la tablet de 8 pulgadas, por lo tanto, deben calcular en primer lugar 189 990 – 60 000. Pregunte: ¿qué se usa para asignar la prioridad a un cálculo? (Los paréntesis). Se espera que reconozcan que deben registrar entre paréntesis dicho cálculo.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica, luego, como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 4 • Tomo 1
Ticket de salida página 9 • Tomo 1

Capítulo 1    Operatoria combinada

P. 10

Propósito
Que los estudiantes resuelvan un problema aditivo planteando una única expresión matemática que considere todos cálculos que lo resuelven y la calculen considerando la prioridad de las operaciones.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Presente la Actividad 3 e invítelos a leer en conjunto el problema, de tal manera que todos lo comprendan. Puede apoyarlos para que construyan un modelo de barras que favorezca el reconocimiento de los cálculos y, por lo tanto, de la única expresión matemática:
Chaqueta
Blusa
$ 29 990
$ 15 990
?
$ 50 000
Dé un tiempo para que planteen la expresión matemática en parejas. Se espera que reconozcan que los números que representan el precio de la chaqueta y la blusa deben estar agrupados mediante un paréntesis, ya que es el primer cálculo que deben realizar, pues se necesita saber cuánto se gastó para poder calcular cuánto dinero le dieron de vuelto.
Para enfatizar la importancia del uso del paréntesis, invítelos a realizar los cálculos sin estos y en orden, de tal manera que valoren su función.
En la Actividad 4 realice una gestión similar a la del problema anterior. Es posible que los estudiantes planteen una de las siguientes expresiones matemáticas:
25 000 + 7 000  – 3990
(25 000 + 7 000) – 3990
25 000 + (7 000 – 3990)
Al hacer los cálculos, reconocerán que en cualquier caso se llega al mismo resultado. Frente a esto, recuérdeles la expresión matemática del problema anterior escribiendo en la pizarra:
50 000 – (29 990 + 15 990)
25 000 + (7 000   –   3 990)
Pregunte: ¿por qué en el problema anterior era importante el uso del paréntesis y en este caso no? ¿Qué diferencia hay entre ambas expresiones matemáticas? Favorezca que analicen ambos casos en el contexto de los problemas y que reconozcan que en la primera expresión el cálculo que está dentro del paréntesis representa una cantidad (dinero gastado) que se debe restar a un total, en cambio en el segundo caso, el dinero gastado se puede restar después de haber juntado el dinero ahorrado y el que le regalaron, o bien primero se puede calcular lo  gastado de los $7 000, y luego, lo que sobra, agregarlo a los ahorros.
En la Actividad 5 oriéntelos a identificar las acciones que pueden asociar a una suma y a una resta.
Como práctica guiada, invítelos a resolver los ejercicios de la sección Practica, y luego, como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 5 • Tomo 1
Ticket de salida página 10 • Tomo 1

P. 11

Propósito
Que los estudiantes resuelvan un problema de operatoria combinada aplicando las propiedades y la prioridad de las operaciones al hacer los cálculos.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Recursos
Actividad 6 para presentar en pizarra, puede ser de cartulina o proyectarlo.
Gestión
Presente la Actividad 6 e invítelos a leer en conjunto el problema, de tal manera que todos lo comprendan. Dé un tiempo para que planteen una única expresión matemática que permita resolverlo. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas que les permitan plantear la expresión matemática, como por ejemplo: ¿qué tipo de fruta compró? (Plátanos y manzanas) ¿Se conoce el total que gastó en cada tipo de fruta? (No, solo se conoce lo que gastó en manzanas, el precio de 1 kg de plátanos y la cantidad de plátanos que compró) ¿Cómo se expresa lo que gastó en plátanos? (3 • 1 050).
Una vez que hayan planteado la expresión matemática, pídales que abran el Texto del Estudiante y respondan la pregunta 6 a) y 6 b) poniendo atención a las ideas que plantean los personajes. Destaque que las expresiones que consideran una multiplicación (o una división) representan una sola cantidad; en este caso, 3 • 1 050 representa el precio de 3 kg de plátanos, por este motivo tiene prioridad al realizar los cálculos de la expresión 1 690 + 3 • 1050, y por tanto no se requiere registrar paréntesis para agrupar la multiplicación.
Para sistematizar la actividad, pida a los estudiantes que lean y analicen en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro de la profesora.
Presente la Actividad 7 y pídales que se organicen en parejas para plantear una única expresión matemática que resuelva el problema. Se espera que los estudiantes reconozcan que en este problema, al igual que en el anterior, la expresión matemática contiene una multiplicación, la que representa el costo de los 20 premios:  20 • 12 990, y que para calcular el dinero que sobró, la expresión debe contener la resta entre el dinero inicial y el gasto:  300 000 – 20 • 12 990. Enfatice que en este caso, al igual que en el problema anterior, no se requiere del  uso de paréntesis, pues se sabe que la multiplicación tiene prioridad.
Finalmente, pida a los estudiantes que analicen en conjunto las propiedades de la multiplicación. Destaque que cuando hay solo multiplicaciones, al igual que cuando hay solo sumas, se pueden realizar los cálculos en distinto orden y el resultado será el mismo. Esto se utiliza generalmente para facilitar los cálculos.
Como práctica guiada, invítelos a resolver los ejercicios de la sección Practica, y luego, como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades. Ponga atención en que los estudiantes reconozcan la prioridad de las operaciones y el uso de paréntesis. Si disponen de calculadoras, puede pedir que las utilicen para resolver algunos ejercicios.

Cuaderno de Actividades página 6 • Tomo 1
Ticket de salida página 11 • Tomo 1

P. 12

Propósito
Que los estudiantes planteen una única expresión matemática que permita resolver un problema combinado y que comprendan la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o de la resta.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Gestión
Presente la Actividad 8. En ella se espera que los estudiantes modelen el problema de dos maneras, las que surgen al aplicar la propiedad distributiva. Para ello, haga preguntas que les permitan plantear ambas expresiones matemáticas y reconocer que son equivalentes. Por ejemplo: ¿qué expresión permite calcular la cantidad de figuras que recibirán los niños del 6° A?  (28 • 120) ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de figuras que recibirán los niños del 6° B? (32 • 120) ¿Qué expresión matemática permite calcular el total de figuras? ((28 • 120) + (32 • 120)). Pida que la anoten en la pizarra y en sus cuadernos. Luego, haga preguntas que favorezcan plantear la expresión matemática equivalente, como por ejemplo: ¿qué expresión matemática permite calcular la cantidad de niños que hay entre el 6° A y el 6° B? (28 + 32) Si cada niño recibe 120 fichas, ¿qué expresión matemática permite calcular el total de fichas que recibirán el total de niños? (120 • (28 + 32)). Pida que la anoten en la pizarra y en sus cuadernos debajo de la expresión escrita anteriormente.
(28 • 120) + (32 • 120)
120 • (28 + 32)
Invite a los estudiantes a calcular ambas expresiones matemáticas para que verifiquen que son equivalentes. Destaque que ambas expresiones matemáticas permiten calcular el total de fichas, pero la segunda es más resumida que la primera, pues en la primera se calculan las fichas de cada curso, para lo cual se hacen dos cálculos, y luego se suman ambos totales, que corresponden al tercer cálculo. En cambio en la segunda expresión matemática se calcula el total de niños, para lo cual se hace un cálculo, y luego se multiplica por la cantidad de fichas que recibirá cada uno, es decir, se realiza el segundo cálculo.
A continuación, pida que abran el Texto del Estudiante y que analicen las ideas que plantean Ema y Sami, y pregunte: ¿cuál expresión matemática identifica la idea de Ema y la de Sami? (La idea de Sami se representa con (28 • 120) + (32 • 120) y la de Ema con 120 • (28 + 32)).
Para sistematizar la actividad, pida que lean y analicen las propiedades de la multiplicación que se generalizan en el recuadro del monito del monte.
Presente la Actividad 9  y una vez que hayan leído en conjunto el problema, formule preguntas que orienten a los estudiantes a plantear una única expresión matemática, como, por ejemplo: ¿cuántos lápices tiene inicialmente la profesora? (316) ¿Cuántos lápices regalará? (16). ¿Qué expresión matemática permite calcular la cantidad de lápices que le quedarán? (316 – 16). ¿A cuántos niños repartirá los lápices? (A 25 niños). ¿Qué expresión matemática permite calcular la cantidad de lápices que le tocará a cada niño? ((316 – 16) : 25). Destaque que la resta debe ir entre paréntesis, ya que representa la cantidad de lápices que se deben repartir.
Pida que calculen la expresión matemática. Observe que reconozcan que deben calcular la operación del paréntesis, y luego la división.

P. 13

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que implican cálculos de operatoria combinada.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Para sistematizar el trabajo de las páginas anteriores, invite a los estudiantes a leer y analizar en conjunto el recuadro de la profesora que explicita las reglas de la prioridad de las operaciones cuando resuelven una expresión matemática que contiene más de un cálculo.
A continuación, pida que resuelvan la Actividad 10 aplicando las reglas de la prioridad de las operaciones. En la expresión matemática 10 a) observe si resuelven en primer lugar el paréntesis, luego, la división y finalmente la suma. En la expresión matemática  10 b) observe si resuelven en primer lugar el paréntesis y la multiplicación (o viceversa) y finalmente la resta. Proponga una manera de registrar los cálculos parciales, de tal manera de establecer un orden y así evitar errores. Por ejemplo:
a)     12 000 + (8 000 − 2 500) : 25
= 12 000 +         5 500           : 25
= 12 000 +  220
= 12 220
b)      8 000 • 14 − (17 000 + 500)
= 112 000     −        17 500
= 94 500
Presente la Actividad 11 y oriente a los estudiantes a pensar en un contexto (medición, compras, etc.) y en las acciones que se asocian a cada operación. Por ejemplo, pueden relacionar la suma con las acciones de agregar o juntar, la resta con las acciones de separar, quitar o comparar, la división con la de repartir o agrupar y la multiplicación con la acción de iterar grupos iguales.
Finalmente, como práctica guiada, pida que realicen los ejercicios de la sección Practica favoreciendo el uso de la calculadora en caso de que dispongan de una. En la Actividad 1, ponga atención si los estudiantes reconocen las reglas de la prioridad de las operaciones. Enfatice que a pesar de usar la calculadora, es importante registrar en orden los cálculos parciales, de tal manera de tener mayor control sobre el cálculo. En la Actividad 2 observe que planteen una única expresión matemática que resuelva cada problema.
Como práctica independiente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 7 • Tomo 1
Ticket de salida página 13 • Tomo 1

P. 14

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con la operatoria combinada.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1 calculan expresiones matemáticas con operatoria combinada. Ponga atención si los estudiantes consideran el orden de las operaciones y realizan un registro ordenado de los cálculos parciales. Adicionalmente, puede pedir que comprueben sus resultados utilizando la calculadora (si disponen de una) y que reconozcan que hay pares de expresiones matemáticas que tienen los mismos números y operaciones, sin embargo cuando una de ellas tiene paréntesis, no se obtiene el mismo resultado.
En el Ejercicio 2 ubican paréntesis en una expresión matemática, de tal manera que permita resolver cada problema. Observe que los estudiantes ubiquen los paréntesis en el contexto del problema. Si presentan dificultades, oriéntelos a identificar los valores que pertenecen a una misma categoría y que representan una única cantidad, por ejemplo:
a) 4 500 y 6 800 corresponden a la categoría de dinero gastado, por lo tanto, se deben agrupar para calcular la cantidad que se gastó en total.
b) 500 y 455 corresponden a paquetes con hojas, por lo tanto, se debe calcular la cantidad de hojas que hay en total para luego poder repartirlas equitativamente.
En el Ejercicio 3 plantean una única expresión matemática que resuelve cada problema. Observe si los estudiantes tienen dificultades para hacerlo. En tal caso, oriéntelos a plantear los cálculos parciales, a compararlos por diferencia y a reconocer que no se conoce la cantidad de mujeres. Apóyelos con un modelo de barras:
8 601 989
370 025
Mujeres
Hombres
Luego, que vuelvan a leer el problema para intentar unirlos y así obtener una única expresión matemática. En el Ejercicio  3 a) ponga atención a si reconocen que 370 025 corresponde a la diferencia entre mujeres y hombres, y no a la cantidad de mujeres si tienen dificultad para comprender esta. Como práctica independiente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 8 • Tomo 1
Ticket de salida página 14 • Tomo 1

P. 15

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados que están relacionados con la operatoria combinada.
Habilidad
Modelar / Resolver problemas.
Recursos
Una calculadora para cada estudiante si es posible (de bolsillo, de celular o del computador).
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los problemas. Luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada problema en  su cuaderno.
Mientras resuelven los problemas, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 calculan expresiones matemáticas con operatoria combinada. Ponga atención si los estudiantes consideran el orden de las operaciones. Adicionalmente, puede pedir que comprueben sus resultados utilizando la calculadora (si disponen de una).
En el Problema 2 resuelven un problema combinado planteando una expresión matemática. Si los estudiantes formulan dos expresiones matemáticas, apóyelos para que las resuman en una sola.
En el Problema 3 crean problemas a partir de una expresión matemática con operatoria combinada. Si los estudiantes presentan dificultades, puede ayudarlos con el contexto del problema y orientarlos con preguntas que les permitan evocar una acción asociada a cada operación, por ejemplo: ¿en qué situaciones utilizas la suma? ¿En qué situaciones utilizas la multiplicación? Así como también preguntas que les permitan reconocer que deben considerar los datos que están agrupados entre paréntesis.
Para finalizar el estudio del capítulo, invítelos a registrar las ideas más importantes del aprendizaje de la operatoria combinada siguiendo la estructura que se plantea en ¡Cómo usar tu cuaderno! Para ello, puede organizar el curso en grupos o en parejas, y luego en una puesta en común en que socialicen lo que escribieron en sus cuadernos, de tal manera de favorecer  la comunicación.
Como práctica independiente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Al finalizar este capítulo se propone la sección ¡Cómo usar tu cuaderno! que busca potenciar la capacidad de pensar y expresarse.. Considerando esto, fomente en los estudiantes tomar “apuntes” de lo trabajado en clases registrando la fecha, el nombre de la unidad y el objetivo que se buscaba alcanzar. Luego, de manera ordenada, que anoten las ideas fundamentales y aquellos datos que crean importantes de recordar.
Al organizar sus cuadernos, mejorarán la capacidad de pensamiento y, al mismo tiempo, será más fácil confirmar lo aprendido.

Cuaderno de Actividades página 9 • Tomo 1
Ticket de salida página 15 • Tomo 1

Capítulo 2

Múltiplos y divisores

17 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza el estudio de los números naturales en el campo multiplicativo. A través de actividades lúdicas, se espera que los estudiantes den significado al concepto de múltiplos y divisores.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA1: Demostrar que comprenden los factores y los múltiplos:
determinando los múltiplos y los factores de números naturales menores de 100.
identificando números primos y compuestos.
resolviendo problemas que involucran múltiplos.
Aprendizajes previos
Calcular multiplicaciones y divisiones asociadas a las tablas de multiplicar.
Comprender la relación que existe entre la multiplicación y la división.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

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2

P. 16

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de múltiplo de un número.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Proyecte la página para explicar las reglas del juego e invítelos a jugar: ¡Vamos a jugar a “Aplaudir números”! Explique que la clave del juego es aplaudir en los números que corresponden a la secuencia de 3 en 3, siendo 3 el primer número aplaudido. Cada 3 niños uno aplaude diciendo el número que sigue en la secuencia. Invítelos a formar un círculo para comenzar el juego. El primer niño dice el 3. Pregunte: después del 3, ¿cuál viene? (El 6) ¿A quién le toca aplaudir ahora? (Al tercer niño después del que acaba de aplaudir). Mientras transcurre el juego, el resto de los niños puede preguntarse si le tocará aplaudir, y si es así, en qué número será, pues no todos tendrán que hacerlo. En la medida que se avanza en la secuencia, es posible que aumenten las posibilidades de equivocarse. Si alguien se equivoca, se comienza nuevamente el juego. Promueva el aumento (o disminución) de la velocidad del juego, dependiendo de la habilidad de los niños, e incentívelos a durar la mayor cantidad de tiempo sin equivocarse para llegar al número más alto.
Consideraciones didácticas
A través de estos juegos aprenderán que un múltiplo de un número natural es un número que se obtiene al multiplicarlo por otro natural. Las tablas de multiplicar corresponden a la lista de los diez primeros múltiplos de un número. El menor de los múltiplos es el mismo número.

P. 17

Propósito
Que los estudiantes reconozcan que los múltiplos son infinitos e identifiquen regularidades de los múltiplos de 3.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla y la recta numérica con los números hasta 60 para presentar en la pizarra.
Gestión
Cuando haya transcurrido un tiempo jugando, detenga el juego y pregunte: ¿qué podemos hacer para evitar errores y lograr que el juego dure más tiempo? Incentívelos a encontrar entre todos alguna estrategia que les ayude a llegar al número más alto posible. Para ello, pregunte: ¿en qué tipo de números se aplaude cuando la secuencia va de 3 en 3 partiendo de 3? (En números a los que se les va sumando 3) ¿Han estudiado esos números antes? (Son los que están en la tabla del 3). Pegue la tabla y la recta numérica en la pizarra y comience a encerrar los números en que se aplaude (Solo hasta el 21; el resto lo harán en el trabajo independiente). Invítelos a seguir jugando usando las regularidades que descubrieron.
A continuación, invítelos a trabajar en su cuaderno para realizar las Actividades 1a), 1b) y 1c). En primer lugar, promueva que dibujen y completen la tabla y la recta numérica hasta el 60. Luego, dé la consigna: “Encerremos, en ambas representaciones, los números en que se debe aplaudir”. Simultáneamente, para apoyar a los estudiantes que presentan dificultades, invítelos a la pizarra para continuar encerrando los números en la recta y en la tabla que habían comenzado a completar durante el juego. Una vez que hayan terminado, pregunte: ¿qué observan entre los números del 1 al 30? ¿Y del 30 al 60? (Se espera que reconozcan que la regularidad de los números hasta 30 se repite en los números hasta 60) ¿El juego solo puede llegar hasta el 60? ¿Por qué? (Pueden continuar indefinidamente).
Consideraciones didácticas
Durante el desarrollo de las actividades que se proponen en este capítulo, es importante poner énfasis en que los estudiantes comprendan que los múltiplos de un número son infinitos porque siempre se puede obtener un número mayor al multiplicarlo cada vez por otro.

Ticket de salida página 17 • Tomo 1

Capítulo 2    Múltiplos y divisores

P. 18

Propósito
Que los estudiantes identifiquen regularidades en los múltiplos de 2 y que resuelvan problemas que involucran el cálculo de múltiplos.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Recursos
Recta numérica para presentar en la pizarra.
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, apoye la lectura de lo que plantea la profesora del texto sobre la definición de múltiplos. Pregunte: según lo que acaban de leer, ¿los números que marcamos en la tabla y en la recta numérica son múltiplos? ¿De qué número son múltiplos?
A continuación, pegue en la pizarra la recta numérica, tal como se muestra en la Actividad 2, y dé la consigna: Encerremos los múltiplos de 2. Invite a distintos niños a participar en la pizarra. Luego, pregunte: ¿qué relación observan entre los números? (Van aumentando de 2 en 2 o son los productos de la tabla del 2).
Observe que los estudiantes comprenden que los múltiplos de 2 son todos los productos que se obtienen al multiplicar cualquier número por 2, por ejemplo: 1 • 2, 2 • 2, 3 • 2, etc., y que se puede encontrar una cantidad infinita de múltiplos porque siempre es posible multiplicar un número por 2.
Como práctica guiada invite a los estudiantes a realizar los ejercicios de la sección Practica:
En la Actividad 1, observe si los estudiantes plantean la expresión 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30. En tal caso, oriéntelos a plantear la multiplicación que modela el problema: 6 • 5.
En la Actividad 2, observe que escriban 5 múltiplos comenzando por el menor. Si alguno no considera los 5 primeros múltiplos, incentívelos a decir las tablas de multiplicar en orden.
Finalmente como práctica independiente pida que realicen los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
En este nivel no se incluye el cero como múltiplo de un número, dado que en esta etapa del desarrollo de los niños, las situaciones que permiten abordarlo no son significativas, por lo que carece de realidad. Además, incluir el cero como múltiplo implicaría que siempre sería el mínimo común múltiplo.

Cuaderno de Actividades página 10 • Tomo 1
Ticket de salida página 18 • Tomo 1

P. 19

Propósito
Que los estudiantes identifiquen regularidades de los múltiplos utilizando la distribución espacial de la tabla del 100.
Habilidad
Representar.
Recursos
9 tablas de 100 para la pizarra.
Tarjetas con números del 4 al 9 (debe alcanzar para repartir una tarjeta por estudiante).
Gestión
Pegue en la pizarra la tabla con los múltiplos de 2 encerrados y pida a los niños que abran su texto. Invítelos a observar la tabla de los múltiplos de 2. Pregunte: ¿cómo están ordenados los múltiplos de 2? (Están ordenados en columnas) ¿Cómo creen que se ordenarán los múltiplos de otros números? ¿Los múltiplos de 3 quedarán con algún orden en la tabla? Pegue otra tabla de 100 en la pizarra e invite a distintos estudiantes a encerrar los múltiplos de 3. Mientras avanzan encerrando los múltiplos en la pizarra, el resto la construye en su cuaderno y responde las preguntas del texto. Durante este momento plantee preguntas: ¿el orden de los múltiplos de 3 es igual al de los múltiplos de 2? ¿Cómo describirían este nuevo orden? (Se ordenan en líneas diagonales).
Esta actividad permite atender los distintos estilos de aprendizaje al visualizar en la tabla, de manera gráfica, el orden de los múltiplos trabajados.
A continuación, reparta una tarjeta con un número del 4 al 9 para cada estudiante y dé la siguiente consigna: El número que les entregué indica la tabla de múltiplos que deben construir y analizar. Luego, pregunte: ¿cómo describirían el orden de los múltiplos que tienen que analizar? Una vez que cada uno tenga su respuesta, organícelos en grupos, considerando a los estudiantes que analizaron la misma tabla de múltiplos, para que comenten las regularidades que descubrieron y cómo las describieron. Posteriormente, en una puesta en común, cada grupo debe comentar sus hallazgos.
Para finalizar, destaque las siguientes estrategias para saber si un número es múltiplo de otro:
Verificar si pertenece a su secuencia.
Dividir el número mayor por el menor para ver si está contenido un número exacto de veces.
Descomponer aditivamente el número mayor en múltiplos conocidos del menor, por ejemplo, para saber si 63 es múltiplo de 3, se puede descomponer en 60 y 3. Así, 60 es múltiplo de 3 y 3 es múltiplo de 3, por lo tanto, 63 es múltiplo de 3. Desafíelos a aplicar esta estrategia con números mayores que 100, por ejemplo, con 126.

Ticket de salida página 19 • Tomo 1

P. 20

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de los múltiplos comunes y aprendan a calcularlos.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Inicie la clase preguntando: ¿recuerdan el juego que hicimos en las clases pasadas? (Aplaudir números) ¿En qué consistía? ¿Qué aprendimos con ese juego? Permita que comuniquen sus ideas.
Invítelos a abrir su texto y a leer entre todos esta página para comprender las reglas del juego. Esta vez continuarán jugando a aplaudir números, pero se agregará una nueva condición. Dé la siguiente consigna: Ante los múltiplos de 2 vamos a levantar las manos y ante los del 3 vamos a aplaudir. ¿Resultará?
Durante el juego, los estudiantes reconocerán que hay números en que es necesario levantar las manos y aplaudir simultáneamente y que es difícil reconocer cuándo hacerlo. Cuando identifiquen esta dificultad, detenga el juego y pregunte: ¿habrá alguna estrategia que nos permita saber cuáles son los números en que se debe aplaudir con las manos en alto? Incentívelos a buscar entre todos alguna técnica que les permita llegar al mayor número posible. Para ello, anote en la pizarra los números en que aplaudieron levantando las manos, por ejemplo, en 6, en 12 y en 18, de tal manera que puedan visualizar que si se aplaude en dichos números, se debe sumar 6 al último número en que se aplaudió con las manos arriba. U otros podrían notar que los números corresponden a los resultados de las multiplicaciones de la tabla del 6 o a los múltiplos de 6.
Invítelos a seguir el juego aplicando estas técnicas y anímelos cada vez a llegar a un número mayor. Refuerce de manera positiva cuando logran avanzar en el juego utilizando alguna de las técnicas anteriores y destaque la ventaja de encontrar regularidades para crear una estrategia ganadora.
Al finalizar el juego, sistematice las siguientes ideas:
Los números que son múltiplos de 2 y 3 a la vez se denominan múltiplos comunes.
Entre los múltiplos comunes, el menor es el mínimo común múltiplo.
Desafíelos a determinar el mínimo común múltiplo de 2 y 3. Para ello, invítelos a registrar en su cuaderno la lista de múltiplos comunes y a identificar el menor.
Verifique que los estudiantes sean capaces de reconocer que un múltiplo común entre dos números se puede encontrar listando los múltiplos de cada número e identificando aquellos que se repiten en ambas listas.

P. 21

Propósito
Que los estudiantes encuentren el mínimo común múltiplo de dos números dados.
Habilidad
Representar.
Recursos
2 cintas de cartulina cuadriculadas de 1 m · 8 cm aprox. para cada grupo.
Gestión
Plantee la siguiente consigna: En la actividad anterior encontraron los múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo entre 2 y 3. Los niños del Texto del Estudiante usaron distintas estrategias para encontrar los múltiplos comunes de 3 y 4, analícenlas y luego, las comentamos. Invítelos a abrir su texto y analizar las ideas de Juan, Gaspar, Sami y Ema.  Realice una puesta en común motivando la discusión sobre estas ideas. Para ello, plantee preguntas como, por ejemplo:
Juan hace una lista con los múltiplos de 3 y otra con los de 4, ¿por qué él encierra los números que están en ambas listas? (Porque son múltiplos comunes).
Ema hace una lista con los múltiplos de 3, ¿por qué no anota los múltiplos de 4? (Ella piensa en los múltiplos de 4 y, luego, marca con un círculo aquellos que coinciden).
Gaspar hace una lista con los múltiplos de 4, ¿por qué no anota los múltiplos de 3? (Él piensa en los múltiplos de 3 y, luego marca con un círculo aquellos que coinciden).
Sami encuentra el mínimo común múltiplo entre 3 y 4 que es 12 ¿qué hace después? (Calcula los múltiplos de 12).
Posteriormente, invítelos a realizar la actividad de Cintas de múltiplos. Para ello, organícelos en grupos de 4 o 5 estudiantes, entregue dos cintas de cartulina cuadriculadas de 1m · 8 cm aprox. Muestre cómo hacer las perforaciones en la cinta de múltiplos de 2 y de 3 considerando que una unidad es un cuadrado del cuadriculado. Luego, motívelos a que cada grupo perfore sus cintas. Una vez que hayan hecho las perforaciones, pídales que las superpongan y pregunte: ¿qué observan al superponerlas? (Algunos orificios se tapan y otros no) ¿Qué perforaciones quedan tapadas? ¿Cuáles no? ¿Qué tipo de números son los que no se tapan? ¿Por qué no se tapan? (Porque son los orificios que están en ambas cintas) Asegúrese de que relacionen los orificios que quedan sin tapar con la noción de múltiplo común. Pregunte: ¿los múltiplos comunes de 2 y 3 son múltiplos de otros números? ¿De cuáles? Se espera que reconozcan que los múltiplos comunes 6, 12, 18, 24, etc., también son múltiplos de 6.
Puede hacer una representación, por ejemplo de diagramas de Venn, para visualizar que en los múltiplos del número menor se incluyen los del número mayor.

Ticket de salida página 21 • Tomo 1

P. 22

Propósito
Que los estudiantes reconozcan que es posible resolver problemas en contextos cotidianos calculando múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Imagen de las cajas.
Gestión
Pegue la imagen (o proyecte) de la Actividad 5 en la pizarra y formule preguntas que permitan a los estudiantes reflexionar sobre la altura de las cajas de galletas y chocolates, como por ejemplo: ¿de qué número creen que será múltiplo la altura de la pila de cajas de galletas? (De 6) ¿De qué número creen que será múltiplo la altura de la pila de cajas de chocolates? (De 8). ¿A qué altura las cajas de galletas y chocolates coinciden por primera vez? (24 cm) ¿Cuántas cajas hay en cada pila? (Hay 8 cajas de galletas y 6 de chocolates) ¿Qué altura alcanza cada una? (48 cm).
Posteriormente, incentívelos a pensar en las distintas alturas de las pilas de cajas cuando ambas llegan a la misma altura mediante preguntas del tipo: ¿cómo cambia la altura de la pila de cajas de galletas? (6 cm, 12 cm, etc.) ¿Cómo cambia la altura de la pila de cajas de chocolates? (8 cm, 16 cm, etc.) ¿A los cuántos cm ambas pilas de cajas tienen la misma altura? (A los 24, 48 cm.)
Continúe planteando preguntas que les permitan analizar y reflexionar sobre la cantidad de cajas cuando ambas pilas de cajas llegan a la misma altura, como, por ejemplo: ¿cuántas cajas de galletas y de chocolates se necesitan para que tengan la misma altura? (4 cajas de galletas y 3 de chocolate para llegar a 24 cm) ¿Por qué? (Porque 4 • 6 cm = 24 cm y 3 • 8 cm = 24 cm) ¿Cuáles son las tres primeras alturas coincidentes? ¿Cómo podemos averiguarlo? (Tenemos que identificar los múltiplos comunes, en este caso son 24, 48 y 72).
A continuación, invítelos a realizar los ejercicios de práctica guiada de la sección Practica. En la Actividad 1 monitoree el trabajo de los estudiantes e identifique la estrategia que usan para encontrar los múltiplos. Si observa dificultades, promueva que escriban la lista de múltiplos de cada número, y luego determinen los múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo. En la Actividad 2 observe si utilizan el cálculo de múltiplos comunes para poder resolver el problema.
Finalmente, como práctica independiente invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 11 • Tomo 1
Ticket de salida página 22 • Tomo 1

P. 23

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de divisor y aprendan a calcularlo.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Rectángulo de 12 • 18 unidades cuadradas.
Variedad de cuadrados para rellenar el rectángulo de distintas medidas, de 1 a 12 unidades cuadradas.
Gestión
Pegue en la pizarra el rectángulo de 12 ∙ 18 unidades cuadradas; al lado pegue distintos cuadrados de lado 1 hasta 12 unidades cuadradas (considere la unidad usada para construir el rectángulo). Aclare que esto es la ampliación de un rectángulo cuyos lados están expresados en centímetros. Luego, pregunte: ¿se podrá cubrir todo el rectángulo con cuadrados del mismo tamaño sin dejar espacios vacíos ni superponerlos? ¿Pueden hacerlo sabiendo que el largo y el ancho del rectángulo son distintos? Es posible que los estudiantes piensen que dado que hay distintos tamaños de cuadrados, al menos uno de ellos permita cubrir la superficie. Procure que los estudiantes compartan sus ideas.
Luego, plantee preguntas que hagan posible anticipar la medida de los cuadrados, como, por ejemplo: ¿cuál podría ser la medida de los cuadrados? Es posible que anticipen que se pueden usar usar cuadrados de lado 1 o 2 unidades. Pregunte: ¿se podrán usar cuadrados de otras medidas? ¿Cómo podríamos averiguarlo? Dé un tiempo para que en parejas discutan y piensen en una manera de averiguarlo. Durante este momento, monitoree el trabajo verificando que los estudiantes reconocen que necesitan saber la medida del largo y ancho del rectángulo para averiguarlo. Frente a esto, pida que abran su texto e indique que ahí se explicitan las medidas. Dígales: ahora que ya saben las medidas, escriban en el cuaderno sus ideas sobre qué cuadrados pueden utilizar para cubrir completamente la superficie del rectángulo.
Posteriormente, en una puesta en común, permita que socialicen sus respuestas. Pregunte, ¿cuántos centímetros miden los lados de los cuadrados que permiten cubrir completamente toda la superficie del rectángulo? Los estudiantes mediante ensayo y error pueden concluir que para cubrir el lado que mide 12 cm, sirven los cuadrados de 1, 2, 3, 4, 6 y 12 cm. O bien, apliquen sus conocimientos de los múltiplos, pensando en aquellos números que tienen a 12 como múltiplo.
Para verificar las conjeturas de los estudiantes, invítelos a poner los cuadrados sobre la superficie del largo del rectángulo en la pizarra y pregunte: ¿por qué sirven estos cuadrados? (Porque 1, 2, 3, 4, 6 y 12 pueden dividir a 12 de manera exacta). Si lo considera necesario, invítelos a calcular las divisiones.

P. 24

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de los divisores y aprendan técnicas para calcularlos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Pida que lean y comenten la idea que se plantea al inicio de la página, que sistematiza la actividad realizada promoviendo que visualicen en la imagen cómo los cuadrados pueden cubrir el lado vertical. Destaque que los números naturales que pueden dividir exactamente al 12 se denominan divisores de 12. Pregunte: ¿qué podemos hacer para encontrar todos los divisores de 12? Incentívelos a reconocer que es posible dividir el 12 en 1, 2, 3, etc., en orden de menor a mayor, y que también pueden pensar en dos números que al multiplicarlos su producto sea 12. De esta manera se encuentran pares de números, como 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4, tal como se muestra en el texto.
Pida que pongan atención a los pares de números que se presentan en esta página. Pregunte: ¿qué les llama la atención sobre cómo se relacionan los pares de números? (Que los pares se forman desde afuera hacia adentro, partiendo por los extremos 1 y 12, luego 2 y 6 y por último 3 y 4). Dentro de los divisores, ¿cuáles son los más rápidos de identificar? (El 1 y el 12, porque el 12 es divisor de 12 y 1 es divisor de todos los números).
A continuación, desafíelos a determinar la medida del lado de los cuadrados que permiten cubrir la medida del lado horizontal del rectángulo.
Pida que se reúnan en parejas y escriban en el cuaderno sus ideas sobre cómo determinar la medida del lado de los cuadrados que pueden cubrir el lado de 18 cm. Incentívelos a que apliquen las ideas descubiertas al trabajar el lado vertical.
Monitoree el trabajo en parejas y observe si los estudiantes son capaces de asegurarse de que los números que proponen dividen de forma exacta al 18. Refuerce positivamente a las parejas que aplican la estrategia de encontrar pares de números pensando en los números que multiplicados dan 18.
Consideraciones didácticas
Los divisores de un número natural son los números que dividen a ese número en forma exacta, es decir, el cociente es un número natural y el resto es 0. Un número natural tiene una cantidad finita de divisores, siendo el 1 el menor divisor de todos los números naturales. El mayor de los divisores es el mismo número. Si un número es divisor de otro, este último es múltiplo del primero.

9

P. 25

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de divisor común y máximo común divisor.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Imagen de la cuadrícula de la parte superior de la página para poner en la pizarra.
Gestión
Pida que lean y comenten la idea que se plantea al inicio de la página, que sistematiza la actividad realizada. Destaque que para determinar la medida del lado de los cuadrados es posible calcular los divisores de 18 aplicando las estrategias utilizadas para determinar los divisores de 12. Para verificar sus respuestas, invítelos a la pizarra a cubrir el lado vertical del rectángulo con los cuadrados de las medidas que determinaron.
A continuación, para abordar la noción de divisor común, dé la siguiente consigna: Ya sabemos las medidas de los cuadrados que permiten cubrir el ancho y las del largo del rectángulo de manera separada. Pero ¿cómo podemos saber cuáles son los cuadrados que permiten cubrir el rectángulo completo? Dé un tiempo para que se reúnan en grupos y elaboren una respuesta. Ponga atención al trabajo grupal y verifique si los estudiantes reconocen que el problema se resuelve encontrando las medidas que cubren tanto el largo como el ancho. Es posible que algunos escriban la lista de divisores de 12 y la de divisores de 18, y luego encuentren los números que se repiten en ambas listas siguiendo el mismo procedimiento que han utilizado para encontrar múltiplos comunes.
Destaque que los números que son divisores de 12 y de 18 a la vez se denominan divisores comunes. Dentro de los divisores comunes, el mayor se llama máximo común divisor. Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6. Por lo tanto, los cuadrados que permiten cubrir completamente la superficie del rectángulo de lados 12 cm y 18 cm pueden ser los que tienen como lado 1 cm, 2 cm, 3 cm y 6 cm. Y el cuadrado más grande con el que se puede cubrir todo el rectángulo es el de lado 6 cm porque 6 es el máximo común divisor entre 12 y 18.
Finalmente, pida que salgan a la pizarra a cubrir el rectángulo completo para verificar sus respuestas.
Invítelos a desarrollar la sección Practica poniendo atención en los estudiantes que no escriben todos los divisores de un número. En tal caso, sugiérales a escribirlos en orden para facilitar el reconocimiento del máximo común divisor. Observe las estrategias que utilizan para encontrar los divisores, pues si bien la técnica de dividir por 1, 2, 3, etc., es correcta, a veces puede ser muy extensa. Por esto, resalte la estrategia de encontrar pares de números divisores basada en la descomposición multiplicativa.
Se sugiere que, para los estudiantes que presenten dificultades, tenga disponible un rectángulo de lados 8 cm y 36 cm y los distintos cuadrados que los pudieran cubrir.

Cuaderno de Actividades página 12 • Tomo 1
Tickets de salida página 25 • Tomo 1

P. 26

Propósito
Que los estudiantes calculen el máximo común divisor de dos números dados.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Invítelos a realizar el siguiente desafío: ¿cómo podemos encontrar los divisores comunes de 18 y 24? Dé un tiempo para que lo resuelvan de manera individual en sus cuadernos y monitoree el trabajo observando las estrategias que utilizan para encontrar los divisores comunes.
En una puesta en común, invítelos a comunicar sus estrategias, sin aprobarlas ni desaprobarlas. Luego, invítelos a analizar las estrategias de Gaspar y de Sofía. Pregunte: ¿en qué consisten las ideas de Gaspar y la de Sofía? ¿Las estrategias que ustedes utilizaron se parecen a la de Gaspar o a la de Sofía? Plantee preguntas que apunten a comprender la idea de Gaspar como, por ejemplo: ¿por qué Gaspar divide 24 en distintos números? (Porque está buscando los divisores de 24) ¿Por qué divide por 1, 2, 3, 6, 9, 18, y no lo hace por 4, 5, 7, 8? Se espera que reconozcan que como está buscando divisores comunes de 18, divide al 24 solo por los divisores de 18, y que tampoco divide por 8 y por 4 porque ya calculó 24 : 3 = 8 y 24 : 6 = 4. Pregunte: ¿por qué marcó con una equis 24 : 9 y 24 : 18? (Porque no dividen de manera exacta al 24).
Invítelos a realizar la Actividad 3 preguntando: ¿cuál estrategia usarán, la de Gaspar o Sofía? ¿Por qué? Se espera que cada uno decida cuál aplicará. Monitoree el trabajo poniendo atención a las técnicas que usan para encontrar los divisores de un número.
Finalmente, como práctica guiada, pídales que resuelvan el problema de la sección Practica. Observe si algunos estudiantes no reconocen que para responder la pregunta de manera más rápida pueden encontrar los divisores comunes. En tal caso, invítelos a hacer una lista con los divisores de cada número, pensando entre cuántas personas se pueden repartir 8 lápices. Puede preguntar: ¿se pueden repartir 8 entre 2? (Sí) ¿Y entre 3? ¿Entre 4?, etc. Cuando tengan el listado de divisores de 8 y de 12, pregunte: ¿qué significan los números del listado de los divisores de 8? (Entre cuántas personas se pueden repartir 8 lápices) ¿Qué significan los números del listado de los divisores de 12? (Entre cuántas personas se pueden repartir 12 cuadernos) ¿Qué cantidades se repiten en ambos listados? (1, 2 y 4). Destaque que tanto 8 como 12 objetos se pueden repartir entre 2 o entre 4 personas.

Cuaderno de Actividades página 13 • Tomo 1
Ticket de salida página 26 • Tomo 1

P. 27

Propósito
Que los estudiantes comprendan la relación entre múltiplos y divisores e identifiquen los números primos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
18 cuadrados para presentar en la pizarra.
Gestión
Pegue los 18 cuadrados en la pizarra y presente el desafío de la clase: ¿cuántos rectángulos se pueden formar con 18 cuadrados? ¿Habrá una estrategia para saber cuáles son todos los rectángulos que se pueden formar? Dé un tiempo para que discutan en parejas y anticipen las posibles maneras de formarlos. Para intencionar que apliquen sus conocimientos de múltiplos y divisores, puede hacer preguntas del tipo: ¿servirá saber cuáles son los divisores de 18? Se espera que calculen los divisores de 18 y que reconozcan que si 1, 2, 3, 6, 9 y 18 son divisores de 18, entonces se pueden construir rectángulos de 1 • 18, de 2 • 9 y de 3 • 6. Para verificar sus respuestas, invítelos a formar estos rectángulos con los cuadrados de la pizarra y destaque que las medidas de los lados de los rectángulos son divisores de 18.
Luego, para establecer una relación entre múltiplos y divisores pregunte: ¿es 18 múltiplo de 1, 2, 3, 6, 9 y 18? (Sí, porque ya vimos que 1 • 18 = 18, 2 • 9 = 18,  3 • 6 = 18). Destaque que 18 es múltiplo de todos sus divisores.
Finalmente, pregunte: ¿hay algún número que tenga solo 2 divisores, 1 y el mismo número? Dé un tiempo para que piensen y lo discutan. Pueden recordar que en la actividad de la página anterior calcularon los divisores de 13. Invítelos a abrir su texto e identificar los números que cumplen con esta condición en la tabla de números que se presenta al final de la página.
Aunque, generalmente, los estudiantes relacionan los múltiplos solo con la multiplicación y los divisores solo con la división, es importante que los relacionen entre sí. Esto significa, por ejemplo, que en 2 • 3 = 6, podemos decir que el 6 es múltiplo de 2 y de 3 y también que 2 y 3 son divisores de 6. La idea es que frente a la expresión matemática de multiplicación a • b = c, reconozcan que c siempre es múltiplo de a y b, y que a su vez, a y b son divisores de c.

P. 28

75 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de los números primos y que reconozcan números pares e impares.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, invitelos a leer las ideas que destaca la profesora en el texto. Pregunte: ¿cuántos números primos encontraron en la tabla de la página anterior? ¿Qué estrategia utilizaron para identificarlos?
En la exploración de la actividad anterior, es posible que los estudiantes hayan reconocido algunas regularidades. Por ejemplo, que los números que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8 no son números primos, pues siempre se pueden dividir por 2 y tendrán al menos 3 divisores. Así, solo falta verificar los números que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9.
Luego, solicite a los estudiantes leer la Actividad 1. Invite a un niño a la pizarra, pidiéndole que escriba el 0 en la línea de arriba, luego el 1 en la línea de abajo, después el 2 arriba y así sucesivamente, hasta llegar al 20. Pregunte: ¿qué característica tienen los números de la línea de arriba? (Que se pueden dividir exactamente por 2). ¿Qué pasa si dividimos por 2 los números de la línea de abajo? ¡Inténtenlo! Dé un tiempo para que calculen. Se espera que reconozcan que cuando se dividen los números de la línea de abajo por 2, el resto siempre es 1. Continúe preguntando: ¿cómo reconocemos cuando un número se puede dividir exactamente por 2? (Cuando termina en 0, 2, 4, 6, 8). Invítelos a realizar la Actividad 2 preguntando: ¿qué característica tienen los números de cada grupo?
Finalmente, pídales que lean la idea que destaca la profesora en el texto y pregunte según esa definición: ¿cómo se llama el grupo de números que están en el óvalo celeste? (Pares) ¿Y en el rosado? (Impares).
Desafíelos a pensar en qué situaciones de la vida cotidiana es útil saber cuándo un número es par o es impar. Por ejemplo, en la numeración de las casas los pares están en una vereda y los impares en la del frente.
Finalmente, sistematice con la idea que presenta en el recuadro del Texto del Estudiante, la profesora en el texto y si detecta algunas dificultades en el reconocimiento de los términos de la división, puede recordarlos con un ejemplo e indicar que el resto corresponde a lo que no se puede seguir repartiendo en los números naturales. Por ejemplo, al calcular 25 : 4 = 6 el resto será 1, ya que 4 no es divisor de 25 o que 25 no es múltiplo de 4.
Consideraciones didácticas
La pertenencia del cero en el conjunto de los números naturales es un tema sobre el cual no existe consenso, sin embargo, en las Actividades 1 y 2 se ha considerado.

Cuaderno de Actividades páginas 16 y 17 • Tomo 1
Ticket de salida página 28 • Tomo 1

P. 29

Propósito
Que los estudiantes conozcan y comprendan una estrategia para encontrar los números primos hasta 100.
Habilidad
Representar.
Gestión
En esta actividad se presenta una estrategia para encontrar los números primos hasta 100, que consiste en ir descartando los números que no son primos. Para ello se establece un orden, eliminando los múltiplos de cada dígito que se encuentran en la tabla, por ejemplo, se comienza tachando los múltiplos de 2, excepto el 2, luego, se continúa tachando todos los múltiplos de 3, excepto el 3, así sucesivamente.
Para iniciar la actividad pida a los estudiantes que lean las ideas de los personajes y pida que observen la fotografía que se presenta en el Texto del Estudiante y pregunte, ¿qué creen que significa la palabra criba? A través de la fotografía podrían intuir que significa colador o tamizador, y que esta estrategia emula la acción de “colar” números. Pida que pongan atención a la tabla y pregunte, ¿qué múltiplos se eliminaron de la tabla? (los múltiplos de 2, excepto el 2) ¿Qué múltiplos creen que se deberán tachar posteriormente?
A continuación, pida a los estudiantes que abran su Cuaderno de Actividades en la página 18, y que sigan las instrucciones. Durante este trabajo puede plantear preguntas que favorezcan la reflexión, como por ejemplo:
a)	Borrar el 1: Pregunte, ¿por qué creen que no se deben encontrar los múltiplos de 1? (porque todos los números son múltiplos de 1, y, por tanto, se deberían borrar todos los números de la tabla, lo que no tendría sentido).
b)	Dejar el 2 y borrar los múltiplos de 2: Pregunte, ¿Qué características tienen estos múltiplos? (son todos los números pares).
c)	Dejar el 3 y borrar los múltiplos de 3: Pregunte, ¿hay números que ya estaban borrados? ¿Por qué crees que ocurrió esto? (porque algunos números que son múltiplos de 3 también son del 2, por ejemplo, el 6, 12, 24, 48).
d)	Sigue el mismo procedimiento con el resto de los múltiplos: Permita que los estudiantes trabajen de manera individual o en parejas. Durante este trabajo plantee preguntas: ¿qué sucede al descartar los múltiplos de 4? Se espera que reconozcan que el 4 no se puede dejar sin tachar, tal como se hizo con el 2 y 3, porque ya había sido tachado cuando se descartaron los múltiplos de 2, y que, por otra parte, ya están tachados todos los múltiplos de 4. Pregunte, ¿por qué ocurre esto? (porque todos los múltiplos de 4 también son múltiplos de 2). Cuando estén descartando los múltiplos de 5 pregunte, ¿Cuáles de los múltiplos de 5 estaban tachados? (solos los que terminan en cero, en cambio los que terminan en 5 no estaban tachados).
Al ir descartando los múltiplos de los demás dígitos, se darán cuenta que ya están tachados la mayoría de los números y que van quedando solo los números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 41, 47, etc.

P. 30

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con los múltiplos y divisores.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los ejercicios dando espacio entre cada uno para que compartan sus resultados, estrategias y que puedan hacer preguntas.
En el Ejercicio 1 deben escribir las listas de números que cumplan con las condiciones dadas. Observe que los estudiantes son capaces de reconocer que para escribir la lista de números en c) deben analizar los números que están en a) y en b). En d) y en e) deben escribir todos los divisores de los números dados. Para ello, deben hacerlo siguiendo un orden para así no olvidar ninguno.
En el Ejercicio 2 es posible que los estudiantes escriban el listado con los primeros múltiplos de cada número y marquen los 3 primeros múltiplos que se repiten en cada par de números, para identificar el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, en b) se espera que realicen lo siguiente:
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88,
96, 104, 112, 120.
Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100,
110, 120, 130, 140.
Así, el mínimo común múltiplo de 8 y 10 es 40.
También, podrían aplicar alguna de las estrategias aprendidas en este capítulo para encontrar el mínimo común múltiplo.
En el Ejercicio 3 es posible que los estudiantes busquen los divisores de cada número, marquen los comunes, y luego identifiquen el máximo común divisor. Por ejemplo, en b) se espera realicen lo siguiente:
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Así, el máximo común divisor de 18 y 20 es 2.
También, podrían aplicar alguna de las estrategias aprendidas en este capítulo para encontrar el máximo común divisor.
Finalmente, desafíelos a desarrollar la sección ¿Lo recuerdas? que los invita a recordar la medición utilizando números mixtos y fracciones, que es un aprendizaje necesario para abordar el capítulo siguiente.

Cuaderno de Actividades página 19 • Tomo 1
Ticket de salida página 30 • Tomo 1

P. 31

25 minutos

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con los múltiplos y divisores.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 deben escribir los múltiplos de cada número, y luego ordenarlos. Para encontrar los múltiplos se espera que cada número lo multipliquen sucesivamente por 1, 2, y 3. Finalmente, deben escribir los divisores de cada número.
En el Problema 2 se espera que, en cada caso, escriban los 3 primeros múltiplos comunes y que pongan atención en la cantidad de múltiplos que basta para encontrar el mínimo común múltiplo.
En el Problema 3 deben encontrar el máximo común divisor en cada pareja de números. Note que algunos niños pueden encontrarlo sin necesidad de listar todos los divisores. El máximo común divisor de 12 y 24 es 12, ya que divide a ambos números a la vez y es el mayor, pues 24 es múltiplo de 12.
Ahora invite a los estudiantes a resolver de manera autónoma los Problemas 4, 5 y 6, dándoles espacio entre cada uno para que compartan sus resultados y estrategias.
En el Problema 4 se espera que reconozcan que este se resuelve encontrando el mínimo común múltiplo entre 8 y 12. Dado que el mínimo común múltiplo es 24, a las 09:24 a. m. salen los dos buses nuevamente.
En el Problema 5 se espera que reconozcan que el problema se resuelve encontrando el máximo común divisor entre 12 y 30. Dado que el máximo común divisor es 6, el cuadrado con la mayor medida posible es el de lado 6 cm. De estos cuadrados se pueden recortar 10 iguales, considerando que el lado que mide 30 cm se cubre con 5 cuadrados y el que mide 12 cm, con 2.
En el Problema 6 deben encontrar el número primo más cercano a 51. Es posible que los estudiantes vayan verificando si los números menores que 51 son primos. Por ejemplo:
50 no es, ya que es múltiplo de 10.
49 no es, ya que es múltiplo de 7.
48 no es, ya que es divisible por 4.
47 es un número primo cercano a 51.
Sin embargo, si siguen la misma estrategia con números mayores que 51, se darán cuenta que 53 es primo y está más cercano a 51 que 47.

P. 32

50 minutos

20 minutos

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas no rutinarios aplicando los conceptos de múltiplos y de divisores.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
En la Actividad 7 se presenta un problema no rutinario asociado a los múltiplos de 9. Se espera que los niños reconozcan que:
si a 10 se les resta el mayor múltiplo de 9, es decir 9, el resultado es 1.
si a 100 se les resta el mayor múltiplo de 9, es decir 99, el resultado es 1.
Y así sucesivamente. Se espera que con esta idea determinen si un número es divisor de 9. Por ejemplo, para saber si 234 es divisible por 9, descomponen canónicamente y dividen por 9 para encontrar los restos.
200 : 9, resto 2       30 : 9, resto 3       4 : 9, resto 4
Luego, se deben sumar todos los restos. Como en este caso se obtiene 9, que divide de manera exacta al 9, entonces el 234 es divisible por 9.
Con esto se espera que los niños concluyan que para saber si un número es divisible por 9, se pueden sumar todos los dígitos y verificar que este número divida al 9 de manera exacta. Esto se conoce como la regla de divisibilidad del 9.
Se sugiere verificar esta propiedad usando calculadora con otros números en un ámbito numérico mayor.
En la Actividad 8, los estudiantes deben encontrar pares de números que cumplan las condiciones dadas por los niños.
En a) se espera que los estudiantes:
hagan una lista con los divisores de 60.
encuentren los pares de números consecutivos (1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5, 5 y 6) y descarten las dos primeras combinaciones, ya que no cumplen la condición de tener un número primo y uno compuesto.
luego, el único par de números en que ambos son divisores de 30 son 5 y 6.
En b) se espera que los estudiantes:
hagan una lista con los divisores de 16.
descarten el 1, ya que es impar.
encuentren los pares de números que corresponden al doble (2 y 4, 4 y 8, 8 y 16).
luego que descarten 2 y 4, ya que 2 no es múltiplo de 4.
entonces concluyen que hay dos posibles respuestas: 4 y 8 - 8 y 16.
Se sugiere generar una discusión en torno a estas dos soluciones invitando a los estudiantes a argumentar sus respuestas.
En caso de dificultades, proponga trabajar en grupos y compartir con todo el curso sus hallazgos.

Cuaderno de Actividades páginas 20 y 21 • Tomo 1
Ticket de salida página 32 • Tomo 1

Capítulo 3

Suma y resta de números decimales

6 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo, los estudiantes ampliarán el estudio de sumas y restas con números decimales en el contexto de la resolución de problemas combinados de estas operaciones.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA8: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
Aprendizajes previos
Comprenden las características de los números decimales.
Suman y restan números decimales hasta la milésima.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

3

P. 33

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para resolver problemas combinados de sumas y restas de números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente el capítulo a los estudiantes, en el que se trabajarán nuevas situaciones que involucran sumas y restas de números decimales. Para activar sus conocimientos con respecto a la suma y resta de números decimales, pregúnteles: cuando sumamos o restamos con el algoritmo, ¿cómo se deben alinear los números? (Alineando la coma).
Para continuar, presente la Actividad 1 e invítelos a comprender el problema. En este caso es importante que los estudiantes reconozcan que deben realizar más de un cálculo para resolverlo. Haga preguntas que les permita reconocer que hay una cantidad de jugo inicial, que se consumió jugo y que se debe averiguar la cantidad que queda finalmente, como, por ejemplo, ¿sabemos cuánto jugo había al principio? ¿Qué expresión permite saberlo? (2,25 + 2,75) ¿Sabemos cuánto jugo se consumió? ¿Qué expresión permite saberlo? (10 • 0,25) Si tuviéramos que plantear una única expresión ¿cómo lo harían?
Invite a los estudiantes a responder la Actividad 1 b)  y pregúnteles: ¿cómo se debe calcular la expresión? Para esto, se espera que los estudiantes apliquen los criterios de la prioridad de las operaciones al resolver operaciones combinadas con números naturales, que establece que se debe comenzar por las operaciones entre paréntesis. Considerando esto, invítelos a explicar cómo calcularían la adición a partir de lo que dice una de las niñas y cómo calcularían la multiplicación. En este caso, como se multiplica por un múltiplo de 10, solo se debe considerar el desplazamiento del patrón numérico, ya que aún no saben resolver multiplicaciones entre números decimales.
Para responder la Actividad 1 c), invítelos a recordar la operación que relaciona las otras dos.

Capítulo 3    Suma y resta de números decimales

P. 34

Propósito
Que los estudiantes analicen estrategias para resolver problemas combinados de sumas y restas de números decimales.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Continúe invitando a los estudiantes a analizar cómo calculan la resta entre un número natural y un número decimal los niños del Texto del Estudiante y pregúnteles:
Idea de Juan: ¿qué representa cada parte en el modelo de barras? (1 L de jugo) ¿Por qué hay dos partes con 0,5? (Porque es 1 L dividido en 2).
Idea de Ema: ¿cómo descompuso el 5? (En 2 y 3). ¿Qué hizo después? (A 3 le restó 2,5) ¿Y qué hizo con el 2? (Lo sumó al resultado de la resta entre 3 y 2,5).
Idea de Sofía: ¿cómo alineó los números? (Teniendo como referente la coma) ¿Por qué agregó un cero al 5? (Porque 5 es equivalente a 5,0. Esto facilita el cálculo y permite recordar que hay cero décimos).
Idea de Gaspar: ¿qué conocimiento matemático utilizó? (El conocimiento del doble de 2,5) ¿Cómo lo aplicó? (Relacionando la suma con la resta).
Luego de analizar una a una las ideas de los niños, invite a los estudiantes a compararlas y a que argumenten cuál sería la más eficaz de utilizar. También es posible que las relacionen y puedan establecer una que facilite más el cálculo. Enfatice que cuando se resta un número decimal a un número natural, se pueden utilizar distintas estrategias.
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la Actividad 2. Pídales observar las imágenes y pregúnteles: ¿cuántos litros tiene cada botella de la oferta 1? (2,25 y 0,6) ¿Cuántas botellas de cada tipo hay? (1 y 2, respectivamente) ¿Cuántos litros tiene cada botella de la oferta 2? (1,25 y 0,6) ¿Cuántas botellas de cada tipo hay?  (2 y 1, respectivamente). Luego, invítelos a estimar la cantidad de jugo que contiene cada oferta preguntándoles: aproximadamente, ¿cuántos litros de jugo trae cada oferta? Se espera que concluyan que en ambos casos hay más de 3 L, pero menos de 4 L.
A partir de la estimación, surge la necesidad de que, para responder la pregunta 2 a), se debe calcular la cantidad de litros de jugo que tiene cada oferta, y así comparar estas cantidades y establecer cuál oferta tiene mayor cantidad. Invítelos a plantear sus ideas acerca de cómo comparar ambas ofertas.

P. 35

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas combinados de sumas y restas de números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Continúe invitando a los estudiantes a explicar cómo los niños del Texto del Estudiante calcularían la cantidad de jugo de la oferta 1. Pregúnteles: ¿cómo piensa resolverlo la niña? (Con el algoritmo) ¿Qué es lo importante al utilizar esta estrategia? (Alinear las comas, ya que así es posible operar según el valor posicional de cada dígito) ¿Cómo lo hace el niño? (Utiliza valores conocidos como referentes, sumando el doble de una cantidad y agregándole a esta cantidad la que es diferente).
Luego, pregúnteles: ¿es posible utilizar las estrategias de los niños para calcular la cantidad de jugo que tiene la oferta 2? Se espera que reconozcan que es posible, ya que en ambos casos se suman tres cantidades: dos cantidades iguales y una distintas por lo que podrían aplicarse tanto el algoritmo como los dobles.
Para responder cómo pueden saber cuál oferta tiene más cantidad, los estudiantes deben aplicar sus conocimientos acerca de comparación de números decimales considerando que para ello se debe hacer según valor posicional, comenzando desde la izquierda.
Ahora, presénteles la Actividad 2 b). Pregúnteles: ¿es posible plantear una sola operación que permita calcular la diferencia entre las cantidades de jugo de cada oferta? Se espera que los estudiantes planteen la operación considerando los paréntesis respectivos, ya que si no son ubicados, no llegarán a la solución correcta. Para que se den cuenta de esto, pregúnteles: ¿es necesario usar paréntesis en esta expresión matemática? (Sí) ¿Qué operaciones agruparían? ¿Por qué? (Las sumas que representan a la oferta 1 y las que representan a la oferta 2, porque son cantidades distintas) ¿Qué pasa si no ubican los paréntesis? (Los cálculos se realizarán en otro orden y no se llegaría al resultado correcto, ya que el segundo paréntesis está precedido por una resta). Estos análisis los pueden hacer a partir del conocimiento que tienen acerca de la resolución de operaciones combinadas entre números naturales.
Para finalizar esta actividad, pregunte a sus estudiantes: ¿cuál es la diferencia de jugo entre la oferta 1 y la 2? ¿Cómo supieron cuál era el primer término de la resta? Se espera que digan que para eso previamente compararon las cantidades.
Presente la Actividad 3 a los estudiantes. Pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (El peso de 10 cajas como la que se muestra) ¿Qué datos se tienen? (El peso de la caja, del colgante y de la cadena) ¿Es posible plantear una sola operación que permita resolver el problema? (Sí, la operación debe considerar la suma de los tres pesos y este resultado multiplicarlo por 10). En caso de que los estudiantes tengan dificultades con la multiplicación, recuérdeles que al ser un múltiplo de 10, es el patrón numérico el que se desplaza hacia la izquierda.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 22 • Tomo 1
Tickets de salida página 35 • Tomo 1

P. 36

60 minutos

35 minutos

Propósito
Que los estudiantes utilicen estrategias que faciliten el cálculo de sumas y restas de números decimales.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 4. Invite a los estudiantes a observar y analizar cada cálculo para luego explicar qué se hizo en cada caso.
En a) es importante que se den cuenta de que 47 milésimas más 3 milésimas resultan 50 milésimas (0,050) que equivalen a 5 centésimas (0,05) y luego se suman las unidades. Luego, a partir de estos resultados parciales se compone el resultado.
En b), para facilitar el cálculo, a 6,2 se le agregan los ceros a la derecha ya que son posiciones decimales y se completan 200 milésimas, a las que se les restan 198 milésimas. Al igual que en a), se operan las unidades, y luego se compone el número.
En c), al operar 3 números, se aplica la propiedad asociativa con el fin de facilitar el cálculo. Invite a sus estudiantes a identificar esto para luego establecer que al sumar las cantidades indicadas, se forma un número sin dígitos a la derecha de la coma, o número natural, ya que 99 centésimos más 1 centésimo es 1. Por lo que la suma final es la composición de este número más el número decimal 0,65.
En d) se aplica la misma estrategia que en b), completando con ceros y calculando el resultado.
Y en e) se quiere completar una décima a partir de la suma de 97 centésimas y 3 centésimas.
Sistematice estas estrategias a partir de la información entregada en el recuadro de la profesora. Pregunte a sus estudiantes: ¿se pueden aplicar estas estrategias en todos los cálculos? Se espera que reconozcan que no siempre es posible, por lo que hay que evaluar los números involucrados para decidir la estrategia de cálculo más apropiada.
Continúe con la Actividad 5. Se espera que los estudiantes evalúen la relación entre los números involucrados en cada cálculo y determinen cuáles son factibles de resolver de manera mental aplicando algunas de las estrategias estudiadas en la  Actividad 4. Se espera que los estudiantes elijan el tercer cálculo (1,978 + 2,087) para realizarlo con calculadora, ya que no es posible aplicar ninguna de las estrategias vistas en la actividad anterior.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en el orden de resolución, aplicando la prioridad de cálculo, y también en la ubicación de la coma en los resultados.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 23 y 24 • Tomo 1
Tickets de salida página 36 • Tomo 1

P. 37

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el cálculo de sumas y restas de números decimales y combinaciones de ellas.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Ejercicio 1 los estudiantes calculan sumas y restas con números decimales, también operaciones combinadas de estas. Lo importante es que apliquen las estrategias estudiadas evaluando los números involucrados y decidan cuál usar, ya que el desarrollo de la habilidad de calcular implica decidir la técnica que se utilizará de acuerdo a su eficacia. Destaque que es imprescindible que la coma siempre marque la unidad y que respeten la prioridad en el orden de cálculo de las operaciones.
En el Ejercicio 2 los estudiantes deben resolver un problema que involucra sumas y restas de números decimales. Se espera que planteen una expresión matemática que represente el problema y permita resolverlo. Esta expresión involucra una operación entre paréntesis (la suma de la estatura de la niña y la altura de la mesa) cuyo resultado se debe restar a la altura total para así obtener la medida del cajón.
En el Ejercicio 3 los estudiantes deben evaluar si tiene sentido realizar algunos cálculos en el contexto del problema dado. Para esto la comprensión del problema es fundamental, por lo que puede preguntarles: ¿a qué corresponde cada medida involucrada? El problema involucra el peso y la estatura de dos personas. Deberían llegar a las siguientes conclusiones:
a) Tiene sentido, ya que permite obtener el peso de Pedro.
b) Tiene sentido, ya que permite obtener el peso total de Carlos y Pedro.
c) No tiene sentido, ya que al sumar no se obtiene un dato nuevo.
d) Tiene sentido, ya que permite obtener la diferencia entre las estaturas de Carlos y Pedro. Algunos estudiantes se podrían referir a cuánto más mide Pedro que Carlos y otros a cuánto menos mide Carlos que Pedro.
e) Podría tener sentido, ya que permite obtener la suma entre las estaturas de Carlos y Pedro, pero esta información en la realidad no es de mucha utilidad. Algunos estudiantes podrían dar un ejemplo y, en tal caso, debe quedar claro que la altura total de ambos considera desde la planta del pie hasta el borde de la cabeza de cada uno, por si el ejemplo considera que uno debe pararse encima de los hombros del otro.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 25 • Tomo 1
Tickets de salida página 37 • Tomo 1

P. 38

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de sumas y restas de números decimales y combinaciones de ellas.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Problema 1 los estudiantes calculan los puntos obtenidos por cada niño a partir de la composición de cada puntaje, ya que se tiene la cantidad de fichas que hay en cada puntaje y el valor de cada posición (1 - 0,1 - 0,01 - 0,001).
Los puntajes se obtienen a partir de las siguientes expresiones:
Gaspar: 4 • 1 + 2 • 0,1 + 4 • 0,01 + 10 • 0,001
Sofía: 3 • 1 + 11 • 0,1 + 1 • 0,01 + 5 • 0,001
Sami: 3 • 1 + 17 • 0,1
Considere que algunos estudiantes podrían tener dificultades para expresar los 11 décimos del puntaje de Sofía. En tal caso, pídales realizar el reagrupamiento correspondiente (1 unidad y 1 décimo, o sea, 1,1).
Considere que los estudiantes aún no han estudiado formalmente la multiplicación de números decimales, por lo que algunos podrían presentar dificultades, por ejemplo, para calcular 17  • 0,1. En tal caso, pregúnteles: ¿cuántas veces se repite un décimo? (17 veces) Se espera que los estudiantes sean capaces de decir que corresponde a diecisiete décimos, y luego hacer el reagrupamiento para escribirlo como 1,7.
Con esta información es posible responder las preguntas planteadas aplicando conocimientos de comparación entre números decimales y cálculo de restas.
En el Problema 2 los estudiantes deben deducir, a partir de la operación combinada presentada, que esto corresponde al puntaje obtenido por las fichas que se encuentran dentro del tablero menos el puntaje de las fichas que están afuera, cuyo valor es 0,1.
Consideraciones didácticas
Los problemas propuestos en esta página no son rutinarios, ya que ponen en juego variados conocimientos relacionados con los números decimales. Por ejemplo, composición y descomposición, suma y resta, operatoria combinada (prioridad de operaciones y paréntesis), desplazamiento del patrón numérico, entre otros. Por esto, los estudiantes podrían llegar a las respuestas de distintas maneras y aplicando diversas estrategias.

P. 39

Propósito
Que los estudiantes apliquen el estudio de sumas y restas de números decimales en diversos contextos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a observar la página y, a partir de la lectura del título y de las imágenes, anticipar lo que se realizará. Pregúnteles: ¿de qué creen que se tratará la actividad? ¿Qué les hace inferir esto?
El objetivo de esta página es que los estudiantes visualicen la utilidad que tienen los números decimales en temas de peso, ya que permiten expresar estas medidas de manera más exacta al considerar mayor cantidad de dígitos después de la coma.
Invite a los estudiantes a leer el peso de los cerebros de cada animal y a decir lo que les llama la atención. Por ejemplo, podrían decir que el cerebro del cocodrilo es muy liviano para ser un animal tan grande, ya que pesa menos que el cerebro del gato. Luego, pídales responder cada una de las preguntas planteadas: ¿cuál tiene el cerebro más pesado? ¿Quién tiene el cerebro con el peso más cercano al del ser humano? Los estudiantes deben aplicar sus conocimientos acerca de la formación del sistema de numeración decimal para comparar números decimales. En tanto para las preguntas ¿cuánto es la diferencia entre los dos cerebros más pesados? (La resta entre el peso del cerebro del elefante y el de la ballena) y ¿cuál es la diferencia entre los dos cerebros más livianos? (La resta entre el peso del cerebro del gato y el del cocodrilo), los estudiantes deben plantear las restas y resolverlas utilizando la estrategia que les parezca más adecuada. Por ejemplo, la primera resta se puede calcular mentalmente y en la segunda se puede agregar un cero al peso del cerebro del gato, ya que 3 centésimos es equivalente a 30 milésimos.
Para profundizar esta actividad, puede hacer preguntas tales como la siguiente: ¿en qué otras situaciones se usan los números decimales? Los estudiantes podrían nombrar la venta de productos a granel, distintas medidas, como peso, estatura, longitud, entre otras.
Cierre la actividad invitando a los estudiantes a hacer un breve recuento del capítulo explicando las estrategias estudiadas para el cálculo de sumas y restas de números decimales y su relación con las de números naturales.

Capítulo 4

Ángulos

10 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza  la noción de ángulo que los estudiantes aprendieron en 4° básico. Se enfatiza principalmente el ángulo como giro, relacionando la amplitud del giro con la medida de ángulos básicos, como 90°, 180° y 360°. En referencia a estos ángulos y a la utilización de instrumentos como las escuadras y transportador, los estudiantes dibujan y miden ángulos, situaciones que les permiten aprender a estimar la medida de un ángulo y deducir relaciones tales como ángulos complementarios, suplementarios, que suman 360° y opuestos por el vértice. Estos conocimientos los aplican para deducir la medida de un ángulo a partir de relaciones geométricas sin tener que medir.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA15: Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos con instrumentos geométricos o software geométrico.
OA16: Identificar los ángulos que se forman entre dos rectas que se cortan (pares de ángulos opuestos por el vértice y pares de ángulos complementarios).
OA20: Estimar y medir ángulos usando el transportador, expresando las mediciones en grados.
Aprendizajes previos
Concepto de ángulo y medición de ángulos en grados.
Identificar las medidas de los ángulos de los 2 tipos de escuadras.
Uso de escuadras y transportador para medir y dibujar ángulos.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

4

P. 40

Propósito
Que los estudiantes estimen e identifiquen ángulos en relación con el ángulo recto.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Discos para formar ángulos. Regla, escuadra y hojas blancas.
Gestión
Pida a los estudiantes que observen la imagen del texto de la Actividad 1. Pregunte: ¿cuál de los 3 estudiantes tiene el ángulo mayor? ¿Y el menor? ¿En qué se fijan para decidir si un ángulo es mayor o menor que otro? ¿Cuánto creen que mide el ángulo que formó la niña? Para que expliquen sus respuestas, solicíteles que recorten del Cuaderno de Actividades los discos para formar ángulos. Usando los discos, recuerde el ángulo recto haciendo referencia a la escuadra y a objetos en que se encuentra este ángulo. Pregunte: ¿cuánto mide un ángulo recto? Pídales que realicen la Actividad 2, y luego que hayan formado los ángulos indicados sistematice utilizando las ideas del recuadro.
Proponga que realicen la Actividad 3. Pregunte: ¿qué nos puede ayudar para dibujar el ángulo? Se espera que relacionen los 45° con la mitad del ángulo recto. Monitoree las estrategias que utilizan.
Consideraciones didácticas
En este capítulo se aborda al “ángulo como la cantidad de giro”. En esta clase es importante relevar el giro entre el lado inicial y final del ángulo utilizando los discos.
Combine dos papeles circulares de colores y gire uno.
Corte por las líneas e inserte los círculos.
Inserte ambos círculos por la ranura dejando adelante el que no tiene la flecha. Mantenga fijo el círculo de adelante y mueva el que está atrás. De esta forma se visualiza el ángulo según la cantidad del giro entre el lado inicial y final. Mientras más gira el lado final, mayor es el ángulo. Notar que el sentido del giro es antihorario.
Lado inicial
Lado final
Vértice
ángulo

Ticket de salida página 40 • Tomo 1

P. 41

Propósito
Que los estudiantes estimen y dibujen ángulos en relación con el ángulo recto.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
La última actividad de la página 40 permite identificar las estrategias que utilizan los estudiantes para dibujar un ángulo de 45°. Pídales realizar la Actividad 3 a) analizando las estrategias que utilizaron Ema y Gaspar. Pregunte: ¿por qué plegando una hoja con  dos bordes perpendiculares por la mitad se forma un ángulo de 45°? Pídales que lo comprueben.
Destaque juntando dos papeles plegados (ángulos de 45°) que se forma un ángulo recto. Compruébelo con una escuadra. Promueva que deduzcan la medida de cada ángulo preguntando: si el ángulo recto mide 90°, ¿cuánto mide cada uno de estos ángulos?
45º
Promueva que analicen la idea de Gaspar preguntando: ¿qué hizo Gaspar para dibujar el ángulo? ¿Cualquier ángulo de la escuadra sirve para dibujar un ángulo de 45°? ¿En qué hay que fijarse para identificar el ángulo de 45°? A partir de las respuestas que den los estudiantes, llévelos a reflexionar y comprobar las medidas de los ángulos en los 2 tipos de escuadras usando un transportador, y a que concluyan que la escuadra que tiene 2 lados iguales es la que tiene ángulos de 45°. Relacione esta escuadra con la mitad de un cuadrado usando 2 escuadras.
Finalmente, pídales observar los tres ángulos de la Actividad 4 y pregúnteles: ¿cuál de estos ángulos medirá 135°? ¿Les servirá usar las ideas basadas en el plegado del ángulo recto o utilizar escuadras, para formar un ángulo que mida 135°?
Consideraciones didácticas
En esta y en otras clases se utilizarán las escuadras para identificar o dibujar ángulos. Es necesario distinguir los ángulos que porta cada uno de estos instrumentos.
90º
60º
30º

Capítulo 4    Ángulos

P. 42

Propósito
Que los estudiantes midan o dibujen  ángulos combinando los ángulos de las escuadras.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Juego de escuadras.
Gestión
Comience recordando la última actividad realizada en la clase anterior, que consistía en identificar, entre 3 ángulos, aquel que medía 135°. Pídales que expliquen las estrategias que utilizaron y que las comparen con las ideas de Sofía y Juan. Pregunte: ¿por qué Sofía utilizó 2 escuadras? ¿Qué ángulos juntó Sofía? ¿Cuánto mide el ángulo que está marcado y que se forma con las 2 escuadras? Para la idea de Juan, pregunte: ¿cómo utilizó una hoja para formar un ángulo de 135°?
Relacione las ideas de Sofía y Juan, destacando que ambas componen el ángulo de 135° juntando un ángulo recto y otro de 45°.
Pídales realizar la Actividad 4 c) desafiándolos a identificar la medida de los ángulos marcados. Previamente pregunte: ¿cuánto miden los ángulos de cada escuadra? ¿En qué se fijan para diferenciar una escuadra de la otra?
Posteriormente, proponga realizar la Actividad 5, en la que tienen que dibujar ángulos usando las escuadras. Como ejemplo, proponga que dibujen un ángulo de 75°. Pregunte: ¿qué ángulos de las escuadras permiten formar 75°? ¿Cómo conviene descomponer 75° considerando las medidas de los ángulos de las escuadras? ¿Cómo habría que ubicar las escuadras?
Muestre cómo ubicar las escuadras y destaque que 45° + 30° = 75°
75º
Pídales que dibujen los ángulos de la Actividad 5 y que marquen los ángulos de las escuadras que utilizaron. Esta actividad es conveniente que la realicen en parejas de estudiantes para que se compartan las escuadras. Monitoree el trabajo detectando si identifican las medidas de los ángulos de las escuadras y si las utilizan para componer o descomponer los ángulos dados.
Promueva que busquen más de una manera de formar los ángulos, tal como se indica en la Actividad 5 b).
Sistematice el trabajo realizado señalando que los ángulos 120° y 105° se forman por la composición de ángulos de las escuadras; por ejemplo, el ángulo de 120° se puede formar al juntar 90° y 30°, o 60° y 60°. Mientras que para formar 15° se requiere descomponer el ángulo de 45° en 30° y 15°.
45º – 30º
Consideraciones didácticas
Las actividades de medir y dibujar ángulos utilizando escuadras requieren la utilización de la suma o diferencia de ángulos. Es importante relacionar los aspectos geométricos y aritméticos de los ángulos para que asocien la yuxtaposición o superposición de los ángulos con la suma o resta de sus medidas, respectivamente. Estos aprendizajes serán la base para resolver problemas de cálculo de ángulos.

Cuaderno de Actividades página 26 • Tomo 1
Ticket de salida página 42 • Tomo 1

P. 43

Propósito
Que los estudiantes estimen, midan o dibujen  ángulos utilizando un transportador.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador semicircular.
Gestión
Comience la clase pidiendo que observen los tres ángulos de la Actividad 6 y pregúnteles: ¿cuál de estos ángulos medirá 140°? ¿Les servirá usar las escuadras para identificar el ángulo que mide 140°? Promueva que hagan conjeturas y las fundamenten. Se espera que concluyan que las escuadras no sirven, ya que, por ejemplo, 140° se puede descomponer en 90° y  50°, y este último ángulo no se encuentra en las escuadras. Lo mismo ocurre con otras descomposiciones. Indique que van a utilizar el transportador, que es un instrumento para medir ángulos y que aprendieron a usar en 4° básico.
Recuerde cómo medir un ángulo con el transportador dibujando o proyectando un ángulo de 110°. Pídales a los estudiantes que observen el transportador y pregunte: ¿cuál es el centro del transportador? ¿Qué valores tiene la escala y qué unidad utiliza? ¿Cuántas escalas tiene el transportador? ¿Cuál es la línea de 0°?  Ahora indique que utilicen el transportador para identificar el ángulo de 140° en la Actividad 6.
Sistematice que para medir un ángulo se realizan los siguientes pasos:
Ubicar el centro del transportador en el vértice del ángulo.
Alinear la línea de 0° con uno de los lados del ángulo.
Identificar el punto de la escala que coincide con el otro lado del ángulo.
Cuando se toma la línea de 0° hacia la derecha, lea la escala interior, y cuando se tome la línea de 0° hacia la izquierda, lea la escala exterior.
T
S
Centro
E
D
U
F
Línea del 0
Pídales realizar la Actividad 7. Pregunte: ¿cuál es el ángulo AOB? ¿Cuál es el AOC? Para que les quede clara la forma de interpretar esta notación, pídales que sigan con un dedo el ángulo desde el punto A, pasando por O y llegando a B. Una vez identificados los ángulos, indique que estimen la medida de cada uno. Hágales notar que los ángulos están dibujados sobre un cuadriculado y que hay unas líneas segmentadas que les pueden servir de referencia.
Para que los estudiantes consoliden lo que han venido aprendiendo, proponga que desarrollen la sección Practica estimando cuál punto, Q o P, deben unir con el vértice para que el ángulo mida 84°, y que luego lo midan con el transportador.
Consideraciones didácticas
En esta clase para medir o dibujar ángulos ya no será factible hacerlo con el apoyo de las escuadras, ya que los ángulos propuestos no se pueden componer o descomponer en 90°, 60°, 45° o 30°. Esta condición didáctica requiere la utilización de un instrumento para medir cualquier ángulo, como es el transportador.
Tenga en cuenta que las características de los transportadores varían según el fabricante. Tenga presente que hay transportadores en que no viene destacado el centro ni la línea del cero. Hay otros que tienen solo una escala.
Desde esta clase en adelante se comienza a utilizar la notación  AOB para referirse a un ángulo. Tenga en cuenta que este ángulo también se puede designar como  BOA.
B
A
O

Ticket de salida página 43 • Tomo 1

P. 44

Propósito
Que los estudiantes comprendan que es posible deducir la medida de un ángulo a partir de las medidas de otros dos, en particular, cuando dos de ellos son complementarios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador semicircular.
Gestión
Comience la clase pidiendo a los estudiantes que realicen la Actividad 8. Pregunte: ¿cuánto mide el  ABC? ¿Cuánto mide el  CBD? Observe si identifican los ángulos y si utilizan el transportador en forma correcta. ¿Es posible averiguar la medida del  DBA sin usar nuevamente el transportador? Sistematice las respuestas de los estudiantes destacando que el  DBA está formado por el  ABC y el  CBD, los que tienen un lado común. Por lo tanto, la medida del  DBA se puede calcular con la suma de las medidas de cada ángulo, es decir:  58° + 32° = 90°.
Desafíe a los estudiantes a averiguar la medida  ABD en la Actividad 9 sin la utilización del transportador. Observe las estrategias que utilizan y apoye a los estudiantes que lo necesiten con preguntas que lleven a identificar la relación parte-todo que hay entre el  ABD el  DBC y el  ABC. Pregunte por ejemplo: sabemos que el  DBC mide 64°, ¿qué relación tiene este ángulo con el   ABD? ¿En qué ayuda que ABCD sea un rectángulo? ¿De qué  ángulo forman parte estos dos ángulos?
Pídales a los estudiantes que expliquen sus estrategias, que las comparen con la idea de Sofía y que comprueben que el  ABD mide 26° usando la idea de Matías.
Sistematice el trabajo realizado pidiendo que lean y escriban en el cuaderno lo señalado en el recuadro.
Consideraciones didácticas
Las actividades propuestas en esta clase están orientadas a que los estudiantes deduzcan la medida de un ángulo sin tener que realizar la medición. En particular en esta clase el ángulo mayor mide 90°, por lo que se sugiere relacionar los ángulos a través de un modelo de barras para que los estudiantes visualicen mediante de esta representación la relación parte-todo que hay entre ellos e infiera las operaciones aritméticas que les permitirán calcular un ángulo desconocido dados otros dos.
α + β = 90
α = 90 - β
β = 90 - α
α
β

P. 45

Propósito
Que los estudiantes comprendan que es posible deducir la medida de un ángulo a partir de las medidas de otros dos, en particular cuando dos de ellos son suplementarios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador semicircular.
Gestión
Comience explicando que continuarán aprendiendo sobre cómo averiguar la medida de un ángulo sin tener que medirlo. Pídales que observen la figura de la Actividad 10, y plantee la pregunta: ¿cuánto mide el ángulo que corresponde a la suma del  ABC y del   CBD? ¿A qué ángulo corresponde? Registre las respuestas de los estudiantes y promueva que las fundamenten. Indique que midan el  ABC y el  CBD con un transportador para que validen la respuesta que anticiparon.
Sistematice las respuestas de los estudiantes, destacando que el  ABD está formado por el  ABC y el   CBD, por lo tanto la suma de las medidas corresponde a la medida de dicho ángulo. Además, los dos ángulos tienen un lado común y los otros lados se encuentran en una misma línea, de lo cual se desprende que el ángulo ABD es extendido.
Pídales averiguar la medida del  BCD en la Actividad 11. Una vez que los estudiantes la hayan encontrado, promueva que expliquen cómo la obtuvieron.
Sistematice el trabajo realizado pidiendo que lean y escriban en el cuaderno lo señalado en el recuadro.
Consideraciones didácticas
Las actividades propuestas en esta clase promueven la utilización de razonamientos deductivos para determinar la  medida de un ángulo. Las actividades se enfocan en ángulos suplementarios que tienen un lado común, por lo que formarán un ángulo extendido.

Cuaderno de Actividades páginas 27 y 28 • Tomo 1
Ticket de salida página 45 • Tomo 1

P. 46

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo medir y dibujar ángulos mayores que el ángulo extendido hasta el ángulo completo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Discos para formar ángulos, transportador y juego de escuadras.
Gestión
Al inicio de la clase pida a los estudiantes que observen la imagen de los niños con los ángulos marcados en los discos y pregunte: ¿quién tiene el ángulo mayor? ¿Y quién tiene el  menor ángulo? ¿Cuánto creen que mide el ángulo de la niña? Invítelos a usar sus discos para explicar sus respuestas.
Solicite que muestren en sus discos un ángulo extendido y pregunte: ¿cuánto mide este ángulo? ¿Qué características tiene? ¿Qué relación tiene el ángulo recto con el ángulo extendido?
Ahora propóngales que realicen la Actividad 2 y una vez que hayan terminado, pregunte: ¿cómo formaron el ángulo de 270°? ¿Cómo saben que mide esa cantidad? ¿Cuánto falta para obtener un giro completo? Luego pida que lean la  información del recuadro y la copien en sus cuadernos.
Finalmente, pregunte: ¿cuánto creen que mide el ángulo α de la Actividad 3 a)? Pida que anoten su estimación en el cuaderno. Se espera que relacionen el ángulo que se quiere medir con el ángulo extendido y anticipen que α mide más de 180° y menos de 270°. Luego explique a los estudiantes que existe un transportador de círculo completo con el que se pueden medir ángulos mayores que el extendido.
Consideraciones didácticas
En esta clase se introduce la noción de ángulos mayores de 180° y menores de 360°, los cuales se denominan ángulos cóncavos.
Se hace mención al transportador de círculo completo, a pesar de no ser de uso común, porque es el más conveniente de usar al momento de medir ángulos cóncavos. Sus reglas de uso son las mismas del transportador semicircular: se superpone el centro del transportador en el vértice del ángulo, alineando un lado del ángulo con la línea de 0° y ocupando la escala de graduación que coincida con el sentido de giro del ángulo.

Ticket de salida página 46 • Tomo 1

P. 47

10 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo medir y dibujar ángulos mayores que el ángulo extendido hasta el ángulo completo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador semicircular, juego de escuadras.
Gestión
Comience la clase comentando que continuarán trabajando con ángulos mayores que el ángulo extendido. Pida que estimen el ángulo β de la Actividad 3 b), anoten en su cuaderno la estimación, y luego lo midan utilizando un transportador semicircular. Si observa que hay estudiantes que no visualizan cómo usar el transportador para medir este tipo de ángulos, apóyelos sugiriendo que descompongan el ángulo o que realicen más de una medida. Tenga en cuenta que los estudiantes pueden descomponer el ángulo β de diferentes maneras, no obstante, se espera que reconozcan que, en la descomposición, uno de los ángulos sea extendido. Ahora pida que comparen sus procedimientos con los de Gaspar y Sami y pregunte: ¿qué hizo Gaspar para obtener la medida del ángulo? ¿Cómo lo hizo Sami? ¿Cuál de las dos ideas es más ventajosa para medir un ángulo cóncavo? Promueva un debate para que los estudiantes expongan sus ideas sin el ánimo de destacar una idea por sobre la otra, sino que como un recurso pedagógico para estimular su habilidad de argumentar.
Pídales que lean colectivamente la información del recuadro y una vez que la hayan entendido, la copien en sus cuadernos.
Desafíelos a que dibujen en una hoja en blanco los ángulos cóncavos indicados en la Actividad 4 a) y  4 b) usando las ideas de Sami y la idea de Gaspar. Promueva tanto el uso del transportador como el de la escuadra para dibujar los ángulos. Sistematice que un ángulo cóncavo se puede determinar sumando una medida a 180° o restando otra a 360°.
Consideraciones didácticas
Los ángulos mayores de 180° no se pueden medir con un transportador semicircular en una sola medida. La medición en este tipo de ángulos pone en juego, una vez más, la composición y descomposición de ángulos, teniendo como referencia al ángulo extendido y al completo.

Cuaderno de Actividades página 29 • Tomo 1
Ticket de salida página 47 • Tomo 1

P. 48

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los  ángulos  yuxtapuestos en torno a un vértice común forman un ángulo completo, que mide 360º.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla y transportador.
Gestión
Inicie la clase pidiendo a los estudiantes que midan los ángulos de la Actividad 5. Observe si identifican cada ángulo y usan correctamente el transportador para medirlo. Luego que han hecho la medición, pregunte: ¿cuánto les dio la suma de los cuatro ángulos? Si los ángulos tuvieran otras medidas, ¿la suma de sus medidas creen que sería la misma? Desafíelos a realizar la Actividad 6 para comprobarlo. Monitoree el trabajo de los estudiantes observando si ubican correctamente las letras para nombrar los ángulos manteniendo a R como vértice. Después que hayan dibujado las tres líneas, pida a algunos estudiantes que expliquen cómo nombraron los ángulos que se forman. Luego pregunte: ¿cuánto es la suma de los tres ángulos? ¿Por qué? Lean colectivamente la información del recuadro, asegúrese que la entienden y pida que la copien en sus cuadernos.
Finalmente, indique que desarrollen la sección Practica. Se espera que estimen por cuál de los puntos pasará el otro lado del ángulo que mide 280°, que lo dibujen y lo midan  para verificar su estimación. Si el ángulo dibujado no mide 280°, pida que lo corrijan y dibujen el ángulo pedido.
Consideraciones didácticas
En esta clase, las actividades que se plantean están referidas a que dos o más ángulos que tienen como vértice un punto común forman un ángulo completo, y que la suma de todas sus medidas es igual a 360°. Es importante relacionar los ángulos que forman un ángulo completo con su medida, ya que esto permitirá que puedan deducir la medida de uno de ellos si se conocen las medidas de los otros.

P. 49

Propósito
Que los estudiantes deduzcan medidas de ángulos a partir de los conocimientos adquiridos sobre la descomposición de un ángulo completo en dos o más ángulos y sobre ángulos suplementarios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que resuelvan los ejercicios individualmente en sus cuadernos.
En la Actividad 1 se espera que apliquen sus conocimientos sobre la descomposición del ángulo completo. En este caso, en tres ángulos, por lo que  ROT + 126° + 90° = 360°, obteniendo  la medida del  ROT como 360° - (126° + 90°).
En la Actividad 2 se espera que obtengan el  POR a partir de que el  POS y el  POR forman un ángulo extendido (145° +  POR = 180°). Para obtener el  ROQ piensen en que el  POR y el  ROQ también forman un ángulo extendido, entonces   POR +  ROQ = 180°.
En la Actividad 3 se espera que apliquen nuevamente la descomposición del ángulo completo y calculen α a partir de α + 40° + 20° = 360°.
Consideraciones didácticas
Las actividades propuestas en esta clase ponen en juego los conocimientos adquiridos en clases anteriores sobre la deducción de ángulos que se yuxtaponen en torno a un vértice formando un ángulo completo o un ángulo extendido.

Cuaderno de Actividades página 30 • Tomo 1

P. 50

Propósito
Que los estudiantes conjeturen que en dos líneas que se cruzan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla o escuada y tijeras.
Gestión
Pida a los estudiantes que observen los ángulos marcados en los dibujos de las tenazas. Proponga que observen los ángulos que se forman entre las hojas al ir abriendo un par de tijeras. Pregunte: ¿qué sucede con los ángulos que se forman delante y detrás del cruce? ¿Cuándo van aumentando? ¿Y cuándo van disminuyendo?
Pida que observen las líneas dibujadas por Ema y que opinen sobre la relación entre los ángulos marcados. Indique que se denominan ángulos opuestos por el vértice. Pregunte: ¿son iguales? ¿Están seguros? ¿Cómo pueden comprobarlo?
Motívelos para que los midan con el transportador o para que dibujen en sus cuadernos pares de líneas que se cruzan y midan los ángulos que se encuentran a ambos lados del cruce. Pregunte: ¿qué pueden concluir? ¿Sucederá lo mismo en cualquier par de líneas rectas que se crucen?
Consideraciones didácticas
Si bien en esta clase se recurre a la experiencia de los estudiantes con objetos concretos, el propósito de la actividad es que la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice, visualizada intuitivamente, sea considerada como una conjetura que es necesario verificar mediante la medición y, a continuación, mediante el razonamiento lógico.

P. 51

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que es posible deducir igualdad de ángulos a partir de razonamientos fundados en sus posiciones relativas.
Que los estudiantes comprendan que en dos líneas que se cruzan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales y los adyacentes son suplementarios, es decir, suman 180°.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla o escuadra y transportador. Imagen de la idea de Sami para proyectar.
Gestión
En la Actividad 1 pida que lean las ideas de Gaspar, Sofía y Sami. Pregunte: ¿qué hizo cada uno de estos estudiantes? ¿A qué conclusión llegaron?
Pida que dibujen en sus cuadernos pares de líneas que se cruzan formando distintos ángulos y que utilicen las ideas de Gaspar y de Sofía para verificar si los ángulos opuestos son iguales. Ayúdelos a medir y copiar correctamente los ángulos. Pregunte: ¿compararon los ángulos agudos? ¿Y qué pasa con los obtusos? ¿También son iguales?
A continuación proyecte la idea de Sami y pregunte: ¿qué hizo Sami? ¿Por qué dice que los ángulos γ y α suman 180°? Haga notar que Sami recurrió a un diagrama de barras en el que si sus longitudes son iguales y dos de sus partes también son iguales, las otras dos partes deben ser iguales.
Pregunte: ¿qué diferencia encuentran entre la idea de Sami y las de Gaspar y Sofía? Oriéntelos para que reconozcan que Gaspar y Sofía intervinieron sobre el dibujo midiendo o copiando ángulos, mientras que Sami basó su conclusión en un razonamiento algebraico. Pregunte: ¿recuerdan alguna situación en la que, en lugar de comprobar algo directamente, pudieron llegar a concluir algo mediante una deducción?
Pida ahora que traten de usar el razonamiento de Sami para deducir la igualdad de los ángulos γ y δ en la misma figura. Permita que consideren que cada uno de ellos suma 180° con el ángulo α o con el ángulo β. Indique que α y  γ son ángulos adyacentes porque tienen en común el vértice y un lado. Pregunte: ¿hay otros ángulos adyacentes? ¿Cuánto suman?
Finalmente, solicíteles que lean el recuadro. Asegúrese de que han comprendido lo que dice y pida que lo copien en sus cuadernos.
Consideraciones didácticas
Es importante tener en cuenta la diferencia sustancial que existe entre las ideas expresadas por Gaspar y Sofía y la expresada por Sami. Los dos primeros realizan acciones físicas para comprobar la igualdad de dos ángulos opuestos por el vértice. Sami, en cambio, se basa en un razonamiento lógico, elemental, pero no por eso fácil de asimilar para todos los estudiantes. Algunos podrán pensar: “Si lo veo con mis propios ojos al abrir y cerrar las tijeras, ¿por qué tengo que medir, copiar o hacer un razonamiento para comprobar que los dos ángulos son iguales?”. Cabe esperar que experiencias posteriores les irán habituando a confiar en su capacidad deductiva para sacar conclusiones en el aprendizaje de la geometría.

Ticket de salida página 51 • Tomo 1

P. 52

Propósito
Que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos respecto a las relaciones entre ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios.
Habilidad
Resolver Problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla o escuadra y transportador.
Gestión
Comience la clase pidiendo a los estudiantes que realicen la Actividad 2. Una vez que tengan sus propias respuestas, regístrelas en la pizarra. Si hay distintas opiniones, promueva que las discutan.
Pida que lean las ideas de Juan, Ema y Sofía y que digan si están de acuerdo con cada uno de ellos. En el caso de Sofía, pregunte: ¿por qué piensan que tiene la razón?
Lean el recuadro y pida que verifiquen, de acuerdo a la definición, cuáles son los ángulos opuestos por el vértice en la figura de la Actividad 2. Indique que escriban en su cuaderno lo que dice el recuadro.
Finalmente, proponga que realicen el ejercicio de la sección Practica. Se espera que encuentren 2 pares de ángulos opuestos por el vértice y 4 pares de ángulos suplementarios.
Consideraciones didácticas
En esta clase, las ideas de Juan y Ema promueven el razonamiento lógico. El argumento de Juan es correcto: si los ángulos opuestos por el vértice son iguales, dos ángulos que no sean iguales no pueden ser opuestos por el vértice, aunque este sea común. El de Ema es falso. Ella dice: dos ángulos iguales cuyo vértice es común, deben ser opuestos por el vértice. La igualdad de dos ángulos y el vértice común no son suficientes para afirmar que estos ángulos son opuestos por el vértice; falta que sus lados estén formados por las mismas dos líneas.

Cuaderno de Actividades páginas 31 y 32 • Tomo 1
Ticket de salida página 52 • Tomo 1

P. 53

Propósito
Que los estudiantes practiquen la medición de ángulos con transportador, deduzcan medidas de ángulos formados por escuadras y dibujen ángulos cóncavos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra y transportador.
Gestión
Organice a los estudiantes para que resuelvan los ejercicios individualmente o en parejas.
En el Ejercicio 1 deben medir un ángulo agudo, uno obtuso y uno cóncavo.
En el Ejercicio 2 deben calcular la medida de los ángulos marcados a partir de los ángulos conocidos de las escuadras (45°, 30° y 60°) y también calcular el ángulo suplementario a la suma de dos ángulos conocidos.
En el Ejercicio 3 deben determinar la medida de los ángulos a través de la diferencia entre dos medidas leídas en el transportador.
Finalmente, el Ejercicio 4 requiere el dibujo de dos ángulos cóncavos que miden entre 180° y 360°.

P. 54

Propósito
Que los estudiantes deduzcan la medida de ángulos a partir de los conocimientos adquiridos sobre ángulos opuestos por el vértice, complementarios  y suplementarios.
Habilidad
Resolver problemas / Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
En el Problema 1, si algunos estudiantes plantean que necesitan conocer la medida de los ángulos  α y β  para resolverlo, sugiérales que les asignen un valor cualquiera. Pregunte: ¿más o menos cuánto podrían medir? Supongan que esa es su medida.
Se espera que razonen: si α y β miden lo mismo, sus opuestos también miden lo mismo. Ya conocemos la medida de 4 ángulos. Los otros 2 son opuestos por el vértice, por lo tanto, son iguales. Y los 6 ángulos forman un ángulo completo, es decir, suman 360°. En síntesis, 4 ángulos miden α y 2 ángulos miden  (360 - 4 α) : 2.
En el Problema 2 se espera que se den cuenta de que el ángulo α más los 2 ángulos conocidos suman 180°. Por lo tanto, su medida será 180° - (67° + 23°), la que es igual a 90°, es decir, es un ángulo recto.
Consideraciones didácticas
La resolución de problemas como estos contribuye a estimular en los estudiantes el desarrollo del pensamiento lógico y de la abstracción. En el primer problema se les incentiva a razonar a partir de α, una medida cualquiera, y de sus relaciones con  los ángulos con los cuales comparte el vértice para formar un ángulo completo. En el segundo problema, el dibujo no induce a pensar que α sea un ángulo recto, pero las medidas dadas llevan necesariamente a esa conclusión.

Aprendizajes previos
Leen y escriben fracciones propias, impropias y números mixtos de uso común.
Expresan una fracción impropia como número mixto y viceversa.
Comparan fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos de uso común.
Calculan sumas y restas de fracciones propias de igual y de distinto denominador.
Actitud
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

Capítulo 5

Fracciones y números mixtos

12 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se articula el estudio de los números naturales, las fracciones, los números mixtos  y los números decimales mediante la noción de equivalencia de medidas. Además, se profundiza en el estudio de las operaciones de sumas y restas de fracciones impropias y números mixtos.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA5: Demostrar que comprenden las fracciones y los números mixtos:
identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, usando material concreto y representaciones pictóricas de manera manual y/o con software educativo.
representando estos números en la recta numérica.
OA18: Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y denominadores de hasta dos dígitos.

5

P. 55

Propósito
Que los estudiantes pongan en juego sus conocimientos sobre las fracciones mayores y las menores que 1 para resolver problemas de medición.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Actividad 1 para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Organice al curso en grupos y presente en la pizarra el problema de la Actividad 1. Dé un tiempo para que los estudiantes exploren y concuerden una estrategia para resolver el problema. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas que les permitan activar sus conocimientos sobre las fracciones y la medición de peso, como por ejemplo: ¿cuántos gramos hay en 1 kg? (1 000 g) ¿Cuántos  kg hay en 1 kg? (2 veces  kg es 1 kg) ¿Cuántos  kg hay en 1 kg? (4 veces  kg es 1 kg) Si en 1 kg hay 4 veces ¼ kg, ¿cuántos  kg hay en medio kilogramo? (2 veces   kg es  kg). Desafíelos a encontrar más de una posible combinación, preguntando: ¿será posible hacer el pedido solo con un tipo de envase? ¿Será posible hacerlo solo con dos tipos de envases? ¿Será posible hacerlo con los tres tipos de envases? Se espera que reconozcan que con 2  envases de   kg se puede formar  kg, con 4 de   se forma 1 kg y con 2 de   kg se forma 1 kg, y a partir de estas equivalencias, que elaboren distintas maneras de hacer el pedido de  2 500 g. Oriéntelos a hacer diagramas o modelos de barras para facilitar la resolución del problema.
1
2
1
4
A continuación, permita que socialicen sus respuestas  y estrategias.

Capítulo 5    Fracciones y números mixtos

P. 56

Propósito
Que los estudiantes pongan en juego sus conocimientos sobre las fracciones mayores y las menores que 1 para resolver problemas de medición de peso.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Ideas de Gaspar, Sofía, Matías y Sami para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Continúe pidiendo a los estudiantes que abran el Texto del Estudiante para analizar y explicar las ideas de Gaspar, Sofía, Matías y Sami. Pregunte: ¿a cuál de estas ideas se parecen sus respuestas?
En la pregunta de la Actividad 1 b) se espera que los estudiantes reconozcan que para lograr hacer el pedido con la menor cantidad de envases, es necesario considerar los envases de mayor peso, es decir, 2 envases de 1 kg y un envase de  kg. Pregunte: ¿cuál de estas ideas cumple con esta condición? (La idea de Gaspar).
En la pregunta de la Actividad 1 c) se espera que los estudiantes reconozcan que para hacer el pedido con la mayor cantidad de envases es necesario considerar los envases de menor peso, es decir, 10 envases de kg. Pregunte: ¿cuál de estas ideas cumple con esta condición? (La idea de Sami).
En la pregunta de la Actividad 1 d) se espera que los estudiantes reconozcan que para responder deben descomponer 2 500 g en tres partes que se puedan formar con las medidas dadas, y luego hacer las equivalencias, por ejemplo:
Se espera que reconozcan que no pueden hacer el pedido considerando solo un paquete de 250 g, y que tienen que usar al menos dos de este tipo, ya que si usaran solo uno, les quedan 2 250 g por empaquetar usando paquetes de 500 g y 1 kg, lo que no es posible.
En la pregunta de la Actividad 1 e) dé un tiempo para que elaboren su respuesta, y luego que la compartan en una puesta en común. Oriéntelos con preguntas: ¿cuántos octavos hay en 1 entero? (8) ¿Cuántos  kg hay en 1 kg? (8). Si en 1 kg hay 8 octavos de kilogramo, ¿cuántos hay en   kg? (La mitad, es decir, 4 octavos). Se espera que reconozcan que como en 1 kg hay 8 octavos, en 2 kg hay 16 octavos y en medio kilogramo hay 4 octavos, por lo tanto, hay 20 octavos o  kg, es decir, se necesitan 20 envases de  kg. Proponga el uso de modelos de barras para favorecer la comprensión del problema.
1
8
20
8

2 500

1 000

1 vez 1 kg

2 veces  kg

4 veces  kg

500

1 vez  kg

kg

1 kg

P. 57

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la noción de equivalencia expresando una medida no entera o un punto en la recta numérica entre dos números naturales con un conjunto de números mixtos y de fracciones impropias equivalentes.
Habilidad
Representar.
Recursos
Rectas numéricas del recuadro de la profesora (para presentar en pizarra).
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, pida a los estudiantes que analicen las ideas del recuadro del monito del monte. Enfatice que 2 kg se puede expresar con diferentes números mixtos y fracciones impropias equivalentes. Esto depende de la medida que se considere. Por ejemplo:
Si 2  se expresa en medios, se obtiene:
2  =  1  +   1   +
=   +     +
2
2
=
5
2
Si 2 se expresa en cuartos, se obtiene:
2 =  1  +   1   +
=   +    +
4
4
2
4
2 =
10
4
A partir de lo anterior, se observa que:
2  =      +    +
=   1    +   1  +
= 2
Muestre en las rectas que se presentan en el recuadro de la profesora que un punto en la recta se puede representar con 2, , , 2 y otras fracciones equivalentes. Desafíelos a encontrar otros números que se ubiquen en el mismo punto (por ejemplo,  y 2, y si recurren a la amplificación, podrían encontrar  2 , 2 , etc., y sus equivalentes fracciones impropias).
4
8
2
16
16
32
Consideraciones didácticas
Para profundizar en la noción de equivalencia, es importante que los estudiantes visualicen, a través de una recta numérica graduada con distintas medidas, que en un mismo punto se pueden encontrar distintas expresiones de un número, es decir, como fracción o como número natural o decimal.

P. 58

Propósito
Que los estudiantes expresen un número mixto como número decimal y lo ubiquen en una recta numérica.
Habilidad
Representar.
Recursos
Recta numérica de la Actividad 2 para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la Actividad 2 en la pizarra junto con la recta numérica. Favorezca la lectura colectiva del problema asegurándose que todos lo comprendan. Dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas o en grupos de estudiantes.
Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿qué número se ubica en la primera marca después del 0? (Un décimo) ¿Por qué hay dos números en ese mismo punto? (Porque un décimo se puede expresar como fracción y como número decimal) ¿En qué parte de la recta numérica se ubica 2 ? ¿Después de qué número natural se encuentra? (Después del 2) ¿Entre qué números naturales se encuentra? (Entre 2 y 3) Se espera que los estudiantes reconozcan que 2  se ubica justo en medio de 2 y 3, y que en ese mismo punto está ubicado el 2 . Frente a esto pregunte: ¿es posible que en el mismo punto se ubique 2 y 2? ¿Por qué? (Porque  es equivalente a , así 2  y  2  también son equivalentes).
5
10
Una vez que concuerdan que 2   y 2 se ubican en el mismo punto, pregunte: ¿es posible expresar estos números mixtos como número decimal? ¿De qué manera? Se espera que reconozcan que los 2 enteros corresponden a 2 unidades, y que  corresponden a 0,5; por lo tanto, dos enteros y cinco décimos se expresa 2,5 como número decimal.
Para sistematizar la actividad, invite a los estudiantes a leer y analizar en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro del monito del monte y destaque que las medidas de peso, como 2 500 g, habitualmente se expresan con fracciones (números mixtos) y números decimales, como  2 kg y 2,5 kg.
Presente la Actividad 3. Incentive la lectura colectiva del problema asegurándose que todos lo comprendan. Dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas o en grupos de estudiantes. Se espera que reconozcan que 1 000 g equivale a 1 kg y que 250 g equivalen a  kg. Así se podría expresar como número mixto 1  kg, y para hacerlo como número decimal, es necesario amplificar la fracción , de tal manera de escribirla con un denominador 10, 100,  1 000, etc. En este caso, al amplificar  por 25, se obtiene  , que corresponde a 0,25. Por lo tanto, 1  es equivalente a 1,25 kg.
25
100
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica, y luego, como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Se denomina fracción decimal a aquellas que tienen como denominador 10, 100, 1 000 y sus equivalentes. Por ejemplo: , , , , , etc., es decir, todas las fracciones que se puedan expresar con un denominador que sea potencia de 10. Las fracciones que no pueden expresarse con un denominador potencia de 10, como , , , no son parte de esta categoría.
3
4
4
5
1
25
1
3
1
7
1
9

Cuaderno de Actividades páginas 33 y 34 • Tomo 1
Tickets de salida página 58 •  Tomo 1

P. 59

Propósito
Que los estudiantes expresen como número mixto el resultado de sumas de fracciones con igual denominador.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imágenes de envases graduados de la Actividad 1 para presentar en la pizarra.
Gestión
Inicie la clase presentando la Actividad 1 en la pizarra. Favorezca la lectura colectiva del problema y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas.
Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: si solo miramos los envases, ¿podemos saber quién obtendrá una mezcla con mayor cantidad de leche? (Sí, Matías) ¿Cómo se suman las fracciones cuando tienen el mismo denominador? (Se suman los numeradores y se mantiene el denominador). Si realizan las sumas, ¿Sofía, tiene más o menos de 1 L de mezcla? (Menos de 1 L, porque  L es menor que 1) ¿Matías tiene más o menos de 1 L de mezcla? (Más de 1 L, porque obtiene  L) ¿Cuánto más que 1 L obtuvo Matías? ( L, porque con  forma 1 L) ¿Cómo se puede expresar la cantidad de mezcla que tiene Matías? Se espera que los estudiantes reconozcan que se puede expresar como fracción impropia  L o como número mixto 1 L. Adicionalmente, puede intencionar que noten que este número mixto o fracción no se puede expresar como número decimal porque tiene denominador 6, por lo tanto, no es posible encontrar una fracción equivalente a  que tenga como denominador una potencia de 10.
3
5
7
6
1
6
6
6
Invite a los estudiantes a leer y analizar en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro del monito del monte.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Una vez que obtienen el resultado de la suma, observe que los estudiantes evalúen si es mayor o menor que 1, y luego que expresen las fracciones impropias como número mixto.
Adicionalmente, puede pedir que evalúen también si el resultado se puede expresar como número decimal, como, por ejemplo, en las Actividades a) 0,75  e) 0,375 y d) 1,2.

P. 60

Propósito
Que los estudiantes calculen sumas con reagrupamiento de dos números mixtos con igual denominador.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de los diagramas de la Actividad 2 para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la suma de la Actividad 2 en la pizarra. Favorezca que den significado a la suma analizando cada número por separado. Para ello, plantee preguntas: ¿cómo describirías el primer término de la suma? (Que es mayor que 1, porque hay un entero y tres quintos) ¿Cómo describirías el segundo término de la suma? (Que es mayor que 2, porque hay dos enteros y cuatro quintos) ¿Mayor a qué número será el resultado de esta suma? (Mayor que 3). Solicite que representen con los diagramas cada término de la suma en la pizarra y en sus cuadernos. Luego, dé un tiempo para que exploren en parejas una manera de calcular esta suma. Monitoree el trabajo planteando preguntas: mirando los diagramas, ¿qué juntarían primero y qué después? Se espera que reconozcan que se deben juntar los enteros, obteniendo 3 enteros, y luego los diagramas que representan partes de un entero, obteniendo 7 quintos. Invítelos a realizar estas mismas acciones con los números de la suma. De esta manera pueden reconocer que primero deben sumar los enteros, y luego las fracciones, obteniendo 3 enteros y  .
7
5
A continuación, pregunte: ¿qué característica tiene un número mixto? (Está compuesto de un número entero y una fracción propia) Pida que noten que el resultado que tienen hasta el momento está compuesto de un número entero y una fracción impropia. Frente a esto pregunte: ¿qué se puede hacer para que el resultado se exprese como un número mixto? Si juntan  y , ¿cuántos quintos se obtienen? () ¿Con cuántos quintos se obtiene un entero? (Con ) Destaque que ahora tienen 3 enteros más 1 entero y , ya que  se puede reagrupar como 1, y finalmente, concluyan que la suma es 4 .
5
5
2
5
2
6
Presente la suma de la Actividad 3 y dé un tiempo para que la resuelvan de manera individual. Luego, permita que compartan sus respuestas y procedimientos.
Sistematice que para sumar números mixtos se deben sumar los enteros y luego las fracciones, y si al sumar las fracciones se obtiene una fracción impropia, entonces se debe reagrupar y sumar los enteros que se obtienen de este número mixto a los enteros que se sumaron al inicio.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Observe que reconozcan aquellas sumas que requieren hacer un reagrupamiento y las que no.
Finalmente, como práctica independiente, pida que realicen los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades • Página 35
Ticket de salida página 60 • Tomo 1

P. 61

Propósito
Que los estudiantes calculen sumas con reagrupamiento de un número mixto y una fracción impropia con  distintos denominadores.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imagen de los diagramas de la Actividad 4 para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la suma de la Actividad 4 en la pizarra. Favorezca que den significado a la suma analizando cada número por separado. Para ello, plantee preguntas: ¿cómo describirías el primer término de la suma? (Que es menor que 1 porque corresponde a un tercio) ¿Cómo describirías el segundo término de la suma? (Que es menor que uno y corresponde a cinco sextos) ¿Mayor a qué número será el resultado de esta suma? (Mayor que 1). Pida que representen con los diagramas cada término de la suma en la pizarra y en sus cuadernos. Luego, dé un tiempo para que exploren en parejas una manera de calcular esta suma. Monitoree el trabajo planteando preguntas: mirando los diagramas, ¿cómo se suman las fracciones que tienen distintos denominadores? Se espera que recuerden y reconozcan que para facilitar la suma de fracciones es necesario igualar denominadores. ¿Cuál es un denominador común entre tercios y sextos? (Sextos). Se espera que los estudiantes reconozcan que deben expresar  como , ya sea a través de la amplificación por dos, mediante el uso del diagrama, volviendo a  graduarlo en sextos o encontrando el mínimo común múltiplo entre 3 y 6. Una vez que obtienen el resultado y reconocen que es una fracción impropia, pregunte: ¿cómo podemos expresar el resultado como número mixto? ( se puede expresar como 1  porque con  se forma un entero).
Presente el problema de la Actividad 5 en la pizarra. Desafíelos a resolver el problema en parejas. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿cómo están expresadas las fracciones de ambos términos de la suma? (En medios y en tercios) ¿Qué harían para expresar ambas fracciones con el mismo denominador? (Amplificar  por 3 y  por 2, o encontrando el mínimo común múltiplo entre 2 y 3). Ahora que tienen fracciones con igual denominador, ¿qué deben hacer? (Sumar los enteros, y luego las fracciones). Solicite que analicen el resultado () y pregunte: ¿es posible reagrupar? (Sí, porque con  se puede formar 1 entero y quedaría ) ¿Entonces, cuál es la suma? (3 ).
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A continuación, pida que abran sus textos y analicen la pregunta a) que presenta la idea de Ema, y que vean la similitud con lo que acaban de realizar. Luego, solicite que respondan la pregunta b), en la que se espera que reconozcan que al expresar los números como números mixtos, deben encontrar un denominador común, antes o después de este procedimiento.
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Finalmente, pida que realicen los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 36 • Tomo 1
Ticket de salida página 61 • Tomo 1

P. 62

Propósito
Que los estudiantes calculen restas de dos números mixtos con igual denominador.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Inicie la clase presentando la Actividad 1 en la pizarra. Favorezca la lectura colectiva del problema y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Se espera que los estudiantes reconozcan que este problema se resuelve con una resta, y que deben restar el número mayor al número menor, es decir,  –  y que, además, hagan el cálculo sin mayor dificultad, dado que se trata de una resta de fracciones de igual denominador. Si presentan dificultad para comparar las fracciones, favorezca que se apoyen en los diagramas.
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Presente la Actividad 2 y dé un tiempo para que la resuelvan en parejas. Se espera que los estudiantes extiendan lo que aprendieron de la suma de números mixtos, con denominadores iguales. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿para restar números mixtos podemos seguir un procedimiento similar a la suma de números mixtos? Se espera que los estudiantes reconozcan que, en este caso, al igual que en la suma, es posible restar los enteros y luego las fracciones, y que el resultado se compone de estos dos cálculos parciales, obteniendo 2 – 1 = 1, luego,  –  =  y, finalmente,  1 + . Destaque que para restar números mixtos, al igual que para restar números naturales, se debe asegurar que el primer término sea mayor que el segundo.
Para sistematizar, la actividad pida que abran el Texto del Estudiante para que analicen los diagramas y reconozcan la similitud con las acciones que realizaron con los números. Luego, solicite que lean en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro del monito del monte.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Observe que en las restas de números mixtos restan los enteros y luego, las fracciones.

P. 63

Propósito
Que los estudiantes calculen restas con reagrupamiento de dos números mixtos con igual denominador.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de los diagramas de la Actividad 3 para presentar en pizarra; puede ser en cartulina o para proyectar.
Gestión
Presente la resta de la Actividad 3 en la pizarra. Favorezca que le den significado planteando preguntas que les permitan analizar el minuendo y el sustraendo: ¿qué característica debe tener el primer término de una resta? (Debe ser mayor que el segundo término) ¿3  es mayor que 1 ? (Sí) ¿3 es mayor que 1? (Sí) ¿ es mayor que ? (No) Frente a esto, destaque que 3  es mayor que 1 , sin embargo, en este caso, no es posible utilizar la estrategia de restar los enteros, y luego las fracciones directamente, porque al hacer la comparación parcial, notamos que a  no le podemos restar . Pida que representen ambas cantidades con diagramas en la pizarra y en sus cuadernos, de tal manera que reconozcan que 3  se puede expresar como 2   desagrupando 1 entero en .  De esta manera es posible restar  los enteros, 2 – 1, y luego, las fracciones,   – , y finalmente componer el resultado, 1 + .
Para sistematizar la actividad, solicíteles que abran sus textos para que analicen las representaciones con diagramas y visualicen cómo se desagrupa un entero para poder restar las fracciones, y que lean en conjunto las ideas que se presentan en el recuadro del monito del monte.
En la Actividad 4 desafíelos a calcular la resta dada en parejas. Monitoree el trabajo, apoyándolos con preguntas: si el primer término de la resta no es un número mixto, ¿es posible desagrupar los 3 enteros y expresarlos con enteros más una fracción? Se espera que reconozcan que 3 enteros se pueden expresar como 2 y . De esta manera pueden plantear la resta 2  – 1 , que permitiría aplicar la estrategia de restar los enteros, y luego las fracciones.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Observe que realicen los reagrupamientos antes de restar. Si presentan dificultades, proponga el uso de diagramas que permitan visualizar los reagrupamientos.
Finalmente, como práctica independiente, pida que realicen los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades • Página 37
Ticket de salida página 63 • Tomo 1

P. 64

Propósito
Que los estudiantes calculen restas con reagrupamiento entre dos fracciones impropias o dos números mixtos con distintos denominadores.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Gestión
Presente la resta de la Actividad 5 a) y dé un tiempo para que la resuelvan en parejas. Se espera que los estudiantes extiendan lo que aprendieron de la suma de fracciones impropias con distintos denominadores. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿cómo son los denominadores de estas fracciones? (Distintos) ¿Cómo se restan las fracciones con distinto denominador? (Buscando un denominador común) ¿Qué se puede hacer para encontrar un denominador común? (Amplificar ambas fracciones por el denominador de la fracción contraria o encontrar el mínimo común múltiplo entre 6 y 5). Una vez que hayan igualado los denominadores y restado ( –  = ) pregunte: ¿es posible simplificar esta fracción? (No, porque es una fracción irreductible). Destaque que la estrategia para restar fracciones impropias con distinto denominador es similar a la suma de fracciones con distinto denominador.
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Presente la resta de la Actividad 5 b) y dé un tiempo para que la resuelvan en parejas. Se espera que los estudiantes extiendan lo que aprendieron de la suma de números mixtos con distintos denominadores. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿cómo son los denominadores de las fracciones? (Distintos) ¿Cuál es un denominador común entre 2 y 6? (6). Una vez que hayan igualado los denominadores, pregunte: ¿es posible restar  menos ? (Sí, porque  es mayor que ). Una vez que hayan realizado la resta, pregunte: ¿es posible simplificar el resultado? (Sí, por 2 para obtener la fracción irreductible ). Destaque que la estrategia para restar números mixtos con distinto denominador es similar a la suma de números mixtos con distinto denominador.
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6
Desafíelos a resolver el problema de la Actividad 6 en grupos. Apoye el trabajo con preguntas: ¿cuál es la expresión matemática? (2 – 1 ) ¿Cuál es un denominador común entre 2 y 6? (6). Una vez que hayan igualado los denominadores pregunte: ¿es posible calcular 2 – 1? (Sí) ¿Es posible calcular  – ? (No, porque  es menor que ). Incentive a que los estudiantes recuerden el procedimiento de reagrupamiento que realizaron en las Actividades 3 y 4 de la página anterior.
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Luego, permita que cada grupo exponga sus respuestas y procedimientos en una puesta en común.

P. 65

Propósito
Que los estudiantes calculen restas con reagrupamiento entre dos fracciones impropias o dos números mixtos con distintos denominadores.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Gestión
Continúe invitando a los estudiantes a abrir el Texto del Estudiante para que analicen y expliquen, paso a paso, cómo calculan la resta entre números mixtos con distinto denominador los personajes. Mientras los estudiantes explican, plantee preguntas que les permitan reflexionar sobre el funcionamiento y la eficacia de las estrategias. Por ejemplo:
Idea de Matías: ¿con este procedimiento es necesario desagrupar el primer término de la resta? (No, porque al restar fracciones impropias, la fracción del primer término de la resta siempre será mayor que la del segundo término).
Idea de Juan: ¿por qué Juan necesita desagrupar? (Porque al restar las fracciones de los números mixtos, la fracción del primer término de la resta es menor que la del segundo término).
Luego de analizar una a una las ideas de los niños del texto, invite a los estudiantes a compararlas argumentando cuál sería la más eficaz de utilizar.
Enfatice que cuando se restan números mixtos es importante analizar ambos términos de la resta, de tal manera de asegurarse que es posible restar las fracciones que componen los números. Una manera de evitar el reagrupamiento, en caso de que la fracción del primer término sea menor que la del segundo, es expresando ambos números mixtos como fracciones impropias.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Observe que encuentren los denominadores comunes antes de realizar las restas y que evalúen la utilización de la técnica de restar los enteros, y luego las fracciones, en contraste con la de expresar ambos números mixtos como fracciones impropias. Si presentan  dificultades, proponga el uso de diagramas que permitan visualizar los reagrupamientos o la equivalencia entre un número mixto y una fracción impropia.
Finalmente, como práctica independiente, pida que desarrollen los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 38 • Tomo 1
Ticket de salida página 65 • Tomo 1

P. 66

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con el estudio de las fracciones y números mixtos y su relación con los números decimales.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y las habilidades abordadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1 expresan fracciones impropias como números mixtos y decimales. Observe que los estudiantes reconozcan que para expresar una fracción como número decimal, es útil expresarla como número mixto, y luego como número decimal, y que para esto último deben encontrar una fracción equivalente con denominador, 10, 100 o 1 000.
En el Ejercicio 2 se presenta la tarea inversa a la anterior. Observe que los estudiantes reconozcan el valor posicional de los dígitos que conforman cada número, pues esto es fundamental para expresar un número decimal como fracción impropia o como número mixto.
En el Ejercicio 3 expresan una medida dada en  números naturales como número mixto, fracción y número decimal. Observe que los estudiantes reconozcan que  4 000 g equivalen a 4 kg y que 500 g equivalen a  kg, y que  kg expresado como número decimal es 0,5 kg. Así expresan la medida como 4,5 kg y 4  kg.
En el Ejercicio 4 dado un conjunto de medidas, seleccionan las que son equivalentes a una dada. Observe que los estudiantes reconozcan que 1 000 g equivalen a 1 kg y que 250 g equivalen a  kg, y que  expresado como número decimal es 0,25 o 0,250 kg.
En el Ejercicio 5 calculan sumas y restas de números mixtos y fracciones impropias. Observe que los estudiantes consideran los reagrupamientos al sumar o restar las fracciones que componen a los números mixtos, y que encuentran un denominador común antes de calcular cuando corresponde.
En el Ejercicio 6 se presentan problemas que se resuelven con una suma  y con una resta de números mixtos. Observe que los estudiantes reconozcan que para contestar la pregunta b) deben calcular una resta, y que para ello deben identificar el número mayor para considerarlo como el primer término de la resta, por lo tanto, antes de plantear la expresión matemática, deben comparar ambos números, y para ello tienen buscar un denominador común.
Finalmente, como práctica independiente, pida que realicen los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 39 • Tomo 1
Ticket de salida página 66 • Tomo 1

P. 67

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados vinculados con el estudio de las fracciones y números mixtos y su relación con los  números decimales.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los problemas. Luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada problema en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades abordadas en el capítulo.
En el Problema 1 deben poner en juego sus conocimientos sobre la equivalencia. Así se espera que reconozcan que 1 entero se forma o es equivalente a , por lo tanto, 3 enteros corresponden a 12 veces  y que  corresponden a 3 veces . Así, 12 veces más 3 veces equivalen a 15 veces , por lo tanto, se pueden formar 15 paquetes de  kg.
En el Problema 2 comparan 3 medidas que están expresadas como número decimal, fracción impropia y como número mixto. Para responder las preguntas a) y b), oriente a los estudiantes a utilizar la recta numérica y a notar que está graduada en 10 partes, por lo tanto, está graduada en décimos. Observe que reconozcan que es útil expresar todas las medidas como número decimal o como fracción decimal. En la pregunta c) considere que pueden plantear alguna de las siguientes restas:
1,7 – 1,2
1  – 1
7
10
2
10
1 –
12
10
En la pregunta d) considere que pueden plantear alguna de las siguientes sumas:
1,7 + 1,2 + 1,5
1  + 1  +
15
10
+  +
17
10
En el Problema 3 calculan sumas y restas de números mixtos y fracciones impropias. Observe que los estudiantes consideren los reagrupamientos al sumar o restar las fracciones que componen a los números mixtos, y que encuentren un denominador común antes de calcular cuando corresponda.
En el Problema 4 se presentan problemas que se resuelven con una suma  y con una resta de números mixtos. Observe que los estudiantes reconozcan que para contestar la pregunta a) deben considerar un reagrupamiento, ya que  1  +  = 1 , por lo tanto, con  se puede formar 1 entero más, obteniendo 2  . En la pregunta b) deben comparar ambas medias y determinar la diferencia a través de la resta 2  – 1 .
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Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 40 • Tomo 1
Ticket de salida página 67 • Tomo 1

Repaso 1

P. 68

Capítulos 1 - 5

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con operatoria combinada, múltiplos y divisores, suma y resta de números decimales, fracciones y números mixtos y ángulos.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 5.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 2) resuelven un problema en que deben identificar los divisores de 42 para determinar las posibles combinaciones de grupos iguales que se pueden formar.
En la Pregunta 2 (Capítulo 3) resuelven un problema en que deben:
a) calcular la diferencia entre un número natural y un número decimal.
b) calcular la suma entre un número natural y un número decimal.
En la Pregunta 3 (Capítulo 5) resuelven un problema en que deben determinar la cantidad de veces que está contenida una fracción unitaria en un número mixto dado.
En la Pregunta 4 (Capítulo 4) estiman la medida de un ángulo agudo y uno obtuso.

En la Pregunta 5 (Capítulo 1), dado un contexto interpretan el significado de una expresión matemática de operatoria combinada.
Pregunta 6 (Capítulo 2), calculan el mínimo común múltiplo entre dos números dados.

P. 69

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con operatoria combinada, múltiplos y divisores, suma y resta de números decimales, fracciones y números mixtos y ángulos.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Solicíteles que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades pídales que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas hasta el Capítulo 5.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren de sus cuadernos y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan identificar sus errores.
En la Pregunta 7 (Capítulo 2), calculan el máximo común divisor entre dos números dados.
En la Pregunta 8 (Capítulo 3), calculan:
a) una suma entre dos números decimales con reagrupamiento.
b) una resta entre un número natural y un número decimal.
En la Pregunta 9 (Capítulo 5), resuelven un problema en que deben:
a) calcular la suma entre un número mixto y una fracción de igual denominador.
b) calcular la resta entre un número entero y un número mixto.
En la Pregunta 10 (Capítulo 4), miden ángulos usando transportador.
En la Pregunta 11 (Capítulo 1), resuelven problemas de operatoria combinada:
a) planteando una única expresión matemática que resuelva.
b) calculando la expresión matemática de operatoria combinada.
En la Pregunta 12 (Capítulo 1), calculan expresiones matemáticas de operatoria combinada.

Capítulo 6

Multiplicación y división de números decimales 1

13 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo los estudiantes comenzarán el estudio de multiplicaciones y divisiones con números decimales aplicando diversas estrategias en el contexto de la resolución de problemas.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA7:  Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.
Aprendizajes previos
Comprenden la formación de los números decimales.
Calculan multiplicaciones y divisiones de números naturales usando el algoritmo.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de   las matemáticas.

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P. 70

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para resolver multiplicaciones entre números naturales y  números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Tres botellas transparentes con igual cantidad de líquido.
Modelo de barras para poner en la pizarra sin números (3 barras rectangulares de igual tamaño).
Gestión
Presente el nuevo capítulo a los estudiantes en el que se abordarán la multiplicación y división de números decimales.
Para activar sus conocimientos con respecto a la multiplicación, pregúnteles: ¿cómo calcularían 3 · 22? Se espera que mencionen el uso de las tablas de multiplicar o la descomposición de los factores.
Para continuar, presente la Actividad 1 y sin que los estudiantes abran sus textos, muéstreles las tres botellas y plantee el siguiente problema: Tengo estas  3 botellas y cada una tiene 2 L de jugo. ¿Cuántos litros de jugo tengo en total? Con el fin de verificar la comprensión del problema 1 a), pregúnteles: ¿cómo pueden calcular la cantidad de litros? (Multiplicando la cantidad de botellas por la cantidad de litros que tiene cada una) ¿Cuál es la expresión matemática que representa esta situación? (3 · 2) Complete en la pizarra el modelo de barras que representa esta situación e invite a sus estudiantes a abrir sus textos para sistematizar esta primera parte de la actividad. También puede modificar la cantidad de litros de jugo que tienen las botellas (siempre un número natural) con el fin de que los estudiantes comprendan que la expresión matemática siempre considera los mismos elementos.
Luego, sin mirar sus textos, plantee a sus estudiantes la pregunta 1 b): ¿cuál es la expresión matemática que resuelve el problema si cada botella tiene 1,2 L? (3 · 1,2) ¿Por qué? (Porque el total de litros se sigue obteniendo al multiplicar la cantidad de botellas por la cantidad de litros que tiene cada una). Refuerce esta idea completando el modelo de barras con esta nueva información y formule la pregunta 1 c): ¿cómo resolverían esta multiplicación? Dé un tiempo para que los estudiantes intenten calcular el producto. Podrían recurrir a la suma iterada, a la descomposición del 1,2 o incluso a la estimación.

P. 71

Propósito
Que los estudiantes analicen distintas estrategias cálculo de multiplicaciones entre números naturales y números decimales.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Recoja las ideas que utilizaron los estudiantes para calcular el producto entre 3 y 1,2 y anótelas en la pizarra.
Ahora, invítelos a revisar y analizar las estrategias utilizadas por Sofía, Gaspar y Ema, una a una, pidiéndoles compararlas con las registradas en la pizarra.
Para analizar las ideas de los niños del Texto del Estudiante, puede preguntarles:
Idea de Sofía: ¿qué es un decilitro (dL)? (Es la décima parte de un litro) ¿Por qué expresó los litros en decilitros? (Porque al expresar los litros en decilitros se obtienen medidas enteras. Así, el cálculo es entre números naturales).
Idea de Gaspar: ¿Cuántos décimos hay en 1? (10) ¿Cuántos décimos hay en 1,2? (12) Si hay 3 veces 1,2, ¿cuántos décimos hay? (Hay 36 décimos) ¿Cómo se expresan 36 décimos en número decimal? (3,6).
Idea de Ema: ¿qué pasa si 1,2 se multiplica por 10? (Los dígitos se desplazan una posición a la izquierda y se transforma en número natural).
Para continuar, pídales comparar las tres estrategias presentadas identificando tanto características comunes como diferenciadoras. Por ejemplo, que en todas el número decimal se transformó en número natural, tal como lo dice Sofía en el globo de diálogo, pero Sofía utilizó distintas unidades de medida y Ema, las técnicas de multiplicación.
Lo importante del análisis de las estrategias de los niños es que los estudiantes puedan concluir que es posible calcular la multiplicación entre un número natural y uno decimal usando las estrategias usadas para los naturales.
Pida a los estudiantes resolver la actividad 1 d) usando la estrategia que prefieran. Luego, invítelos a presentar en la pizarra sus cálculos explicándolos paso a paso. Durante las presentaciones, también puede pedirles que expliquen las estrategias de otros compañeros e identifiquen si usaron alguna de las presentadas por los niños del Texto del Estudiante, de manera que pueda evaluar la comprensión alcanzada de las distintas estrategias.
Consideraciones didácticas
Se inicia este capítulo con el estudio de una situación que implica una multiplicación con un factor que es número natural y el otro un número decimal. De esta manera los estudiantes pueden recurrir a la idea de grupos con igual medida y, por tanto, a los conocimientos que poseen de la multiplicación entre números naturales apoyándose en las distintas representaciones, como el modelo de barras, y en el uso de las estrategias con el nuevo cálculo.

Ticket de salida página 71 • Tomo 1

Capítulo 6    Multiplicación y división de números decimales 1

P. 72

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de multiplicación entre números naturales y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para poner en la pizarra sin números (4 barras rectangulares de igual tamaño).
Gestión
Presente la Actividad 2 a los estudiantes. Asegúrese de que comprendan bien el problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (Los gramos que pesan 4 m de cable) ¿Qué datos tienen para encontrar la solución? (El peso de 1 m de cable, que es 2,3 g).
Luego, invítelos a completar en conjunto el modelo de barras de la pizarra considerando el peso y la longitud del cable, tal como aparece en el Texto del Estudiante. También, antes de completar la tabla de relaciones, recuérdeles cómo completarla con los datos del problema, en donde se puede ver claramente la relación entre ellos para así plantear la operación que representa el problema y permite resolverlo.
Luego, pídales responder la pregunta 2 a): ¿cuál es la expresión matemática? (4 · 2,3). Esta respuesta la podrían obtener no solo leyendo el problema, sino que también del modelo de barras y de la tabla de relaciones. A partir del planteamiento de la expresión y sin realizar ningún cálculo, pídales estimar una posible solución (2 b) considerando que  4 · 2 = 8, entonces la solución será mayor que este número, ya que es importante que los estudiantes tengan una noción del resultado y no operen “a ciegas”. Además, esto puede servir para detectar errores en los procedimientos.
A continuación, invite a sus estudiantes a explicar cómo calcularían la multiplicación (4 · 2,3). Puede ser que los estudiantes comenten las estrategias presentadas por los niños en la página anterior u otra que ellos consideren pertinente. Invítelos a verbalizarlas con el fin de seguir comprobando la comprensión de estas. Luego, pídales calcular y comparar los productos obtenidos. En el caso de que haya diversas respuestas, motive la discusión invitando a los estudiantes a evaluar las estrategias  presentadas por sus compañeros y encontrar las diferencias y los posibles errores que los están llevando a la respuesta equivocada. Para esto puede preguntarles: ¿qué estrategia utilizó tu compañero? ¿Está bien aplicada? ¿Es la estrategia adecuada para ese caso? ¿Qué diferencia hay con esta otra estrategia? ¿Por qué se llega a respuestas distintas?
Presente la Actividad 2 d) y pregunte a sus estudiantes: ¿cómo se calcula una multiplicación entre números naturales con el algoritmo? Este es un aprendizaje que debería estar consolidado, ya que comienza en 4° básico con el estudio de multiplicaciones de números de dos dígitos por números de un dígito y en 5° básico con multiplicaciones de números de dos dígitos por números de dos dígitos. A partir de esto, recoja todas las respuestas de los estudiantes y escríbalas en la pizarra.  Algunas de las ideas que podrían mencionar los estudiantes son que se comienza a multiplicar desde las unidades del segundo factor y que para multiplicar por las decenas, se escribe un cero o se saltan un espacio. Es importante hacer referencia al nombre de las posiciones al calcular porque esto se puede utilizar para explicar que con los números decimales el funcionamiento es el mismo, pero con otras posiciones.

P. 73

Propósito
Que los estudiantes comprendan el uso del algoritmo como estrategia de cálculo de multiplicaciones entre números naturales y números decimales.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Diagrama de área (imagen de la Actividad 3) para presentar en la pizarra.
Gestión
Retome las ideas con respecto a cómo se aplica el algoritmo de la multiplicación entre números naturales ahora para resolver multiplicaciones entre números naturales y números decimales preguntándoles a los estudiantes: ¿creen que es posible aplicarlo? ¿Habrá que modificar algo?
Analice con sus estudiantes el recuadro en donde se presenta el paso a paso en la aplicación del algoritmo para resolver una multiplicación que involucra números naturales y números decimales. Pregúnteles: ¿es distinto a como se aplica entre números naturales? (No, solo se debe agregar la coma al producto dependiendo de donde la tenga el factor decimal). Puede invitar a los estudiantes a comprobar esto calculando 23 · 4, en donde 23 = 2,3 · 10, y luego dividiendo por 10 el producto obtenido para encontrar el resultado de la multiplicación original.
Presente a los estudiantes la Actividad 3 utilizando el diagrama de área en la pizarra. En primer lugar, corrobore la comprensión del problema, el cual se resuelve aplicando la fórmula de cálculo de área: ancho por largo. Para esto puede preguntarles: ¿cuál es el largo de la jardinera? (3 m) ¿Cuál es el ancho? (2,6 m) ¿Son suficientes estos datos para calcular el área de la jardinera? (Sí). Pídales identificar esta información en el diagrama de área.
A continuación, pídales escribir la expresión matemática, pregunta 3 a), que corresponde a 2,6 · 3 y que la resuelvan con el algoritmo. Luego, pregúnteles: ¿cuál es el resultado? (7,8) ¿Por qué ubicaron ahí la coma? (Porque está en la misma posición que en el factor decimal o 26 décimas por 3, son 78 décimas) ¿Tuvieron dificultades? ¿Cuáles? El tipo de dificultades que podría darse en estos casos se relaciona con la ubicación de la coma, ya que lo demás debería ser un aprendizaje consolidado.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en el cálculo de cada multiplicación, pero en especial en la ubicación de la coma.
Invite a sus estudiantes a desarrollar como práctica independiente las tareas propuestas en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Dado que los números decimales se rigen por un sistema de numeración decimal posicional igual que los números naturales, los algoritmos convencionales de las cuatro operaciones no varían y pueden aplicarse como en los números naturales, teniendo en consideración la ubicación de la coma donde corresponda en el resultado.

Cuaderno de Actividades página 41 • Tomo 1
Ticket de salida página 73 • Tomo 1

P. 74

Propósito
Que los estudiantes extiendan el uso del algoritmo como estrategia de cálculo de multiplicaciones entre números naturales y números decimales hasta la centésima.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 4. Para comenzar, enfóquese en la comprensión del problema, para lo cual puede preguntarles: ¿qué se debe encontrar? (El total de kilómetros que se recorren) ¿Qué datos conoces del problema? (La longitud del camino alrededor del parque y la cantidad de vueltas que se dieron alrededor) ¿Cuál operación matemática se relaciona con el problema? (Multiplicación).
Luego de que corrobore que todos los estudiantes comprendieron el problema, invítelos a responder la pregunta 4 a): ¿cuál es la expresión matemática? (3 · 2,35) y pregúnteles: ¿Cuáles son los factores? (3 y 2,35) ¿Cuántas cifras a la derecha de la unidad tiene el factor decimal? (2) ¿Se podrá resolver con el algoritmo como las que tienen solo una? Se espera que los estudiantes extiendan la comprensión del algoritmo, no importando la cantidad de cifras que tengan los números, y que identifiquen que lo importante es que, luego de calcular como si fueran números naturales, deben ubicar en el cociente la coma en la misma posición que en el factor decimal. Puede invitarlos a probar esto utilizando las estrategias que involucran el uso de las técnicas de multiplicar, como multiplicar y luego dividir, pero en este caso por 100. A continuación, solicíteles calcular y compartir sus soluciones.
Luego, invítelos a resolver las actividades de la sección Practica. Monitoree este trabajo prestando atención en los ejercicios de la Actividad 1,  en los que es fundamental considerar el cero en la posición de las unidades para así poder poner la coma, si no el número sería natural y no correspondería al cálculo. Para que se den cuenta de esto, pregúnteles: ¿qué pasa si no consideramos el cero de la posición de las unidades?
Para la Actividad 2 de la sección Practica, motive a sus estudiantes a utilizar representaciones para organizar la información tal como el modelo de barras o la tabla de relaciones.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 42 • Tomo 1
Ticket de salida página 74 • Tomo 1

P. 75

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para resolver divisiones de un número decimal por un número natural.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Tres botellas transparentes y un recipiente con líquido.
Modelo de barras para poner en la pizarra sin números (3 barras rectangulares de igual tamaño).
Gestión
Para activar sus conocimientos con respecto a la división, pregúnteles: ¿cómo calcularían 35 : 5? Se espera que mencionen el uso de las tablas de multiplicar o la descomposición de los factores.
Para continuar, presente la Actividad 1, y sin que los estudiantes abran sus textos, muéstreles el recipiente con líquido y las 3 botellas vacías. Plantee el siguiente problema: Tengo 6 litros de jugo y estas 3 botellas. Si reparto en igual cantidad el jugo en las botellas, ¿cuántos litros tendrá cada una?
Luego verifique la comprensión del problema 1 a) preguntándoles: ¿cómo pueden calcular la cantidad de litros que tendrá cada botella? (Dividiendo la cantidad total de litros de jugo entre la cantidad de botellas) ¿Cuál es la expresión matemática que representa esta situación?  (6 : 3). Complete en la pizarra el modelo de barras que representa esta situación e invite a sus estudiantes a abrir sus textos para sistematizar esta primera parte de la actividad. También puede modificar la cantidad total de litros de jugo (siempre un número natural) con el fin de que los estudiantes comprendan que la expresión matemática siempre considera los mismos elementos.
Luego, sin mirar sus textos, plantee a sus estudiantes la pregunta 1 b): ¿cuál es la expresión matemática que resuelve el problema si hay 5,4 L de jugo? (5,4 : 3) ¿Por qué? (Porque la cantidad de litros de jugo que tendrá cada botella se obtiene dividiendo el total de litros por la cantidad de botellas). Refuerce esta idea completando el modelo de barras con esta nueva información y formule la pregunta 1 c): ¿cómo resolverían esta división? Dé un tiempo para que los estudiantes intenten calcular el cociente. Podrían recurrir al uso de las tablas, a la descomposición del 5,4 o incluso a la estimación, sabiendo que hay menos de  6 L que se deben dividir entre 3, por lo que la respuesta será mayor que 1, pero menor que 2.

P. 76

Propósito
Que los estudiantes analicen distintas estrategias de cálculo de divisiones de un número decimal por un número natural.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Recoja las ideas que utilizaron los estudiantes para calcular 5,4 : 3 y anótelas en la pizarra.
Ahora, invítelos a revisar y analizar las estrategias utilizadas por Sofía, Gaspar y Ema, una a una, pidiéndoles compararlas con las registradas en la pizarra.
Para analizar las ideas de los niños del Texto del Estudiante puede preguntarles:
Idea de Sofía: ¿recuerdan qué es un decilitro? (Es la décima parte de un litro) ¿Por qué expresó los litros en decilitros? (Porque al expresar los litros en decilitros se obtienen medidas enteras. Así, el cálculo es entre números naturales).
Idea de Gaspar: ¿cuántos décimos hay en 1? (10) ¿Cuántos décimos hay en 5? (50) ¿Cuántos décimos hay en 5,4? (54).
Idea de Ema: ¿qué pasa si 5,4 se multiplica por 10? (Los dígitos se desplazan una posición a la izquierda y se transforma en número natural).
Para continuar, pídales comparar las tres estrategias presentadas identificando tanto características comunes como diferenciadoras. Por ejemplo, que en todas el número decimal se transformó en número natural, pero Sofía utilizó distintas unidades de medida y Ema las técnicas de división.
Lo importante del análisis de las estrategias de los niños es que los estudiantes puedan concluir que es posible calcular la división entre un número decimal y uno natural usando las estrategias utilizadas para los naturales.
Pida a los estudiantes resolver la Actividad 1 d) empleando la estrategia que prefieran. Luego, invítelos a presentar sus cálculos explicándolos paso a paso. Durante las presentaciones también puede pedirles que expliquen las estrategias de otros compañeros e identifiquen si usaron alguna de las presentadas por los niños del Texto del Estudiante, de manera que pueda evaluar la comprensión alcanzada de las distintas estrategias.

Ticket de salida página 76 • Tomo 1

P. 77

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de divisiones de un número decimal por un número natural.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras  para poner en la pizarra sin números (3 barras rectangulares de igual tamaño).
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 2. Asegúrese de que comprendan bien el problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de metros de cinta que recibirá cada niño) ¿Qué datos tienen para encontrar la solución? (La longitud total de la cinta y la cantidad de partes en que se debe dividir).
Luego, invítelos a completar en conjunto el modelo de barras de la pizarra considerando la longitud de la cinta y la cantidad de niños, tal como aparece en el Texto del Estudiante. También pídales completar la tabla de relaciones y pregúnteles: ¿en qué se diferencia esta tabla con la que completaste para el problema de multiplicación? (En la organización de los datos y de la incógnita y en el sentido de la flecha).
Luego, solicíteles responder la pregunta 2 a): ¿cuál es la expresión matemática? (5,7 : 3). Los estudiantes podrían responder no solo leyendo el problema, sino también interpretando el modelo de barra y la tabla de relaciones. A partir del planteamiento de la expresión, y sin realizar ningún cálculo, pídales estimar una posible solución (2 b) considerando que  hay menos de 6 m, y 6 : 3 = 2, por lo que se espera que la solución sea un número entre 1 y 2.
A continuación, invite a sus estudiantes a explicar cómo calcularían la división (5,7 : 3). Puede ser con las estrategias presentadas por los niños en la página anterior u otra que ellos consideren pertinente. Invítelos a verbalizarlas con el fin de seguir comprobando la comprensión de estas. Luego, pídales calcular y comparar los cocientes obtenidos. En caso de que haya diversas respuestas, motive la discusión invitando a los estudiantes a evaluar lo presentado por sus compañeros y a encontrar los errores que los están llevando a la respuesta equivocada. Para esto puede preguntarles: ¿qué estrategia utilizó tu compañero? ¿Está bien aplicada? ¿Es la estrategia adecuada para ese caso? ¿Qué diferencia hay con esta otra estrategia? ¿Por qué se llega a respuestas distintas?
Presente la Actividad 2 d) y pregunte a sus estudiantes: ¿cómo usarían lo que saben de la división de números naturales para hacer este cálculo? Este es un aprendizaje que debería estar consolidado, ya que comienza en 4° básico con el estudio de divisiones de números de dos dígitos divididos por números de un dígito y en 5° básico con divisiones de números de tres dígitos divididos por números de un dígito. A partir de esto, recoja todas las respuestas de los estudiantes y escríbalas en la pizarra. Algunas de las ideas que podrían mencionar los estudiantes son que se comienza a dividir desde la posición mayor del dividendo determinando cuántas veces está contenido el divisor en el dividendo. Es importante hacer referencia al nombre de las posiciones al calcular porque esto se puede utilizar para explicar que con los números decimales el funcionamiento es el mismo, pero con otras posiciones.

P. 78

Propósito
Que los estudiantes comprendan el uso del algoritmo como estrategia de cálculo de divisiones de un número decimal por un número natural.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Diagrama de área (imagen de la Actividad 3) para presentar en la pizarra.
Gestión
Retome las ideas con respecto a cómo se aplica el algoritmo de la división entre números naturales ahora para resolver divisiones entre números decimales y números naturales preguntándoles a los estudiantes: ¿creen que es posible aplicarlo? ¿Habrá que modificar algo?
Analice con sus estudiantes el recuadro en el que se presenta el paso a paso en la aplicación del algoritmo para resolver una división que involucra números naturales y números decimales. Pregúnteles: ¿es distinto a como se aplica entre números naturales? (No, solo se debe poner la coma en el cociente dependiendo de donde la tenga el dividendo). Puede invitar a los estudiantes a comprobar esto calculando 57 : 3, en donde  57 = 5,7 · 10, y luego dividiendo por 10 el cociente obtenido para encontrar el resultado de la división original.
Presente a los estudiantes la Actividad 3 utilizando el diagrama de área en la pizarra. En primer lugar, corrobore la comprensión del problema, el cual se resuelve aplicando la fórmula de cálculo de área, en la que a partir de la división del área por la longitud del largo se obtiene el ancho. Para esto puede preguntarles: ¿cuál es el largo del rectángulo? (8 cm) ¿Cuál es el área? (25,6 cm2). ¿Son suficientes estos datos para calcular el ancho del rectángulo? (Sí, porque para calcular el área se debe multiplicar el largo por el ancho). Pídales identificar esta información en el diagrama de área.
A continuación, solicíteles escribir la expresión matemática, pregunta 3 a), que corresponde a 25,6 : 8 y que la resuelvan con el algoritmo. Luego, pregúnteles: ¿cuál es el resultado? (3,2) ¿Por qué ubicaron ahí la coma? (Porque está en la misma posición que en el dividendo  o porque si dividimos décimos por un número natural, el resultado será en décimos) ¿Tuvieron dificultades?, ¿cuáles? Acá se espera que de existir dificultades, estas se relacionen con la ubicación de la coma, ya que en este caso el dividendo tiene dos cifras antes de la coma y no una, como se había estudiado.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en el cálculo de cada división, pero en especial en la ubicación de la coma.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 43 y 44 • Tomo 1
Tickets de salida página 78 • Tomo 1

P. 79

Propósito
Que los estudiantes calculen divisiones en que el divisor es mayor que el dividendo.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Invite a sus estudiantes a leer el título y anticipar de qué se trata la Actividad 4. Recoja todas las ideas y anótelas en la pizarra para que luego de trabajar la actividad, deje aquellas que estuvieron en lo correcto.
Luego, presente la Actividad 4 a sus estudiantes focalizándose en la expresión matemática que la representa y pregúnteles: ¿cuál número es mayor? (El divisor, 9) ¿Cuál será el cociente estimado considerando que el dividendo es menor que el divisor? Se espera que los estudiantes estimen que en este caso el cociente es menor que 1, ya que el divisor no está contenido en el dividendo. Para esto pregunte: ¿cada niño recibirá más o menos de 1 m? ¿Por qué?
A continuación, ponga el foco en el cálculo. Es importante que los estudiantes se den cuenta de que al igual que en los cálculos hechos anteriormente, es posible realizar la división entre números naturales 45 : 9. La pregunta en esta situación es: ¿dónde se debe poner la coma del cociente? Frente a esto surge la necesidad de agregar en el cociente un cero en la posición de las unidades. Pregunte a los estudiantes: ¿qué pasa si no se agrega este cero? (La respuesta sería incorrecta, ya que 4,5 : 9 no es igual a 5, sino que es igual a 5 décimos).
Sistematice mencionando que cuando el divisor es menor que el dividendo, el cociente es menor que 1. Por esta razón se debe agregar un cero en la posición de  las unidades.
Invite a sus estudiantes a explicar la resolución de la Actividad 5. Se espera que en las explicaciones usen el lenguaje matemático adecuado para referirse a la división, por ejemplo: como el divisor es mayor que el dividendo, sabemos que el cociente tiene cero en las unidades, por lo tanto después del cero se debe registrar la coma para que marque la unidad. También que se sigue dividiendo como si fueran números naturales.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención a las distintas posiciones decimales que considera cada dividendo.

P. 80

Propósito
Que los estudiantes comprendan la estrategia de agregar ceros al dividendo para obtener una división sin resto entre un número decimal y un número natural.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Invite a sus estudiantes a leer el título y anticipar de qué se trata la Actividad 6. Recoja todas las ideas y anótelas en la pizarra para que luego de trabajar la actividad, deje aquellas que estuvieron en lo correcto.
Luego, presente la Actividad 6 a sus estudiantes y corrobore la comprensión del problema. Para esto pregúnteles: ¿qué se debe encontrar? (La longitud de cada trozo de cinta) ¿Con cuáles datos cuentas? (Con la longitud total de la cinta y la cantidad de partes en que se dividirá) ¿La expresión matemática presentada permite resolver el problema? (Sí).
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la división, sin agregar ceros al dividendo, y pregúnteles: ¿cuál es el cociente? (1,4) ¿Cuál es el resto? En este caso, oriente a los estudiantes a identificar que como el número 3 está ubicado en la posición de las décimas, el resto corresponde a 3 décimos o 0,3. Luego, pregúnteles: ¿podemos dividir 3 décimos por 5? (No) ¿Qué número equivalente a 3 décimos se puede dividir por 5? (30 centésimos o 0,30).
Ahora, invítelos a calcular 7,30 : 5 y hágales las mismas preguntas: ¿cuál es el cociente? (1,46) ¿Cuál es el resto? (No tiene) Invítelos a comparar los dividendos con el fin de que reconozcan que 7,3 es igual a 7,30.
Sistematice mencionando que en algunos casos es posible agregar ceros al dividendo para seguir dividiendo y así el cálculo no tenga restos.
Presente la Actividad 7 e invite a los estudiantes a explicar sus respuestas. En este caso, no solo se debe considerar un cero en la unidades del cociente, sino que también se deben agregar ceros al dividendo con el fin de que la división no tenga resto.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica poniendo atención en los ceros que se considerarán tanto en el cociente como en el dividendo.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente las tareas propuestas en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes comprendan que la estrategia de “agregar ceros al dividendo” implica encontrar un número decimal equivalente que permite seguir dividiendo y encontrar más cifras a la derecha de la coma del cociente. Este número representa la misma cantidad, solo que está expresado de una forma diferente. Por ejemplo,  0,3 = 0,30 = 0,300.

Cuaderno de Actividades página 45 • Tomo 1
Tickets de salida página 80 • Tomo 1

P. 81

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado y uso del resto en divisiones de un número decimal por un número natural.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barras para poner en la pizarra sin números (una barra larga que se pueda dividir).
Cinta de papel o de género de 13,5 cm (opcional).
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 y verifique la comprensión del problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de adornos que se pueden hacer con la cinta y la cantidad de cinta que sobrará) ¿Cuáles datos conoces? (La longitud total de la cinta y los metros que se ocupan en cada adorno) ¿Qué operación matemática se relaciona con el problema? (División). A partir de esta información, invite a los estudiantes a organizarla en el modelo de barras y en la tabla de relaciones y pregúnteles: ¿en qué se diferencia esta tabla con la que completaste para el problema anterior de división? (En la organización de los datos y de la incógnita y en el sentido de la flecha). En caso que lo considere necesario, también puede invitar a los estudiantes a cortar un trozo de cinta de 13,5 cm y realizar la división en trozos de 2 cm.
Luego, invite a los estudiantes a plantear la expresión matemática (1 a) y a calcular. Después, presénteles la pregunta 1 b) y pídales estimar el resto a partir del conocimiento del dividendo, divisor y cociente.
Ahora, enfóquese en el significado del resto, ya que en este caso un dígito ocupa la posición de las unidades y el otro la posición de las décimas, por lo que el resto es 1,5. Esto se puede verificar con el modelo de barras o la cinta que fue cortada en trozos.
A continuación, invite a los estudiantes a recordar la fórmula que permite comprobar si el cálculo de una división con resto es correcto:
cociente · divisor  + resto = dividendo
e invítelos a aplicarla para comprobar el resultado obtenido. Para esto, es importante que el resto esté expresado con la coma en la ubicación correcta.
Sistematice lo trabajado explicando que en este problema el resto es 1,5 m porque de los 13,5 m se ocuparon 12 m. Es posible que algún estudiante mencione que se puede continuar dividiendo utilizando la estrategia de agregar ceros al dividendo. En tal caso, pregunte: ¿tiene sentido seguir dividiendo en el contexto de este problema? (No, porque cada trozo debe ser de 2 metros). Destaque la siguiente idea: el resto se debe analizar en el contexto de cada problema y evaluar si es pertinente o tiene sentido continuar dividiendo.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver el problema de la sección Practica poniendo atención en su comprensión, resolución y respuesta. Si es necesario, facilite el uso de un trozo de cinta para la comprensión del problema.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente las tareas propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 46 • Tomo 1
Tickets de salida página 81 • Tomo 1

P. 82

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado de la aproximación de cocientes y resuelvan problemas multiplicativos que involucran números naturales y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Modelo de barra para poner en la pizarra sin números (3 barras rectangulares iguales para la Actividad 3 y una barra larga para la Actividad 4).
Gestión
Presente la Actividad 2 a los estudiantes y verifique la comprensión del problema preguntándoles: ¿qué se debe encontrar? (La cantidad de litros de jugo que recibirá un niño) ¿Cuáles datos conoces? (La cantidad total de jugo y la cantidad de niños entre los que se repartirá) ¿Qué operación matemática se relaciona con el problema? (División). A partir de esta información, invite a los estudiantes a organizarla en el modelo de barras y en la tabla de relaciones.
Luego, invite a los estudiantes a plantear la expresión matemática (2 a) y a calcular sin agregar ceros al cociente. Pregúnteles: ¿cuál es el cociente? (0,3) ¿Cuál es el resto? (0,5). Después, presénteles la pregunta 2 b) y pídales seguir dividiendo agregando un cero al dividendo. Vuelva a preguntarles: ¿cuál es el cociente? (0,38) ¿Cuál es el resto? (0,02).  Invítelos nuevamente a agregar un cero al dividendo y a calcular. Pregúnteles: ¿Ahora cuál es el cociente? (0,383) ¿Cuál es el resto? (0,02).
Analice junto con sus estudiantes estos resultados con el fin de que puedan reconocer que si se siguen agregando ceros al dividendo, se seguirán agregando 3 al cociente y la última cifra del resto será 2, por lo cual se sugiere “redondear” el cociente. Entonces, si se redondea a la décima, el cociente será 0,4, ya que el dígito que ocupa la posición de la centésima es mayor que 5. En tanto si se redondea a la centésima, será 0,38, ya que el dígito que ocupa la posición de la milésima es menor que 5.
Invite a los estudiantes a resolver las Actividades 3 y 4 de manera independiente utilizando el modelo de barras y la tabla de relaciones para organizar los datos y plantear la expresión. Luego, pídales compartir sus resoluciones apoyados en las distintas representaciones.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios  propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 47 • Tomo 1
Ticket de salida página 82 • Tomo 1

P. 83

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el cálculo de multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios presentados. Puede ser que los resuelvan todos y después, en una plenaria, los revisen y aclaren dudas o ir uno a uno con este procedimiento.
En el Ejercicio 1 focalice la atención en el lugar en que se ubica la coma tanto de los productos como de los cocientes. En caso que los estudiantes tengan dificultades en el cálculo, refuerce la estrategia del algoritmo pidiéndoles verbalizar cada resolución para que así puedan reconocer en dónde se comete el error.
En el Ejercicio 2 los estudiantes deben aplicar la fórmula del área dividiendo el área por la medida del ancho para encontrar el largo. Puede invitar a los estudiantes a estimar la medida del largo con el fin de que luego de calcular puedan revisar si tiene sentido su resultado y si ubicó correctamente la coma.
En el Ejercicio 3 se deben agregar tres ceros al dividendo, de modo que se exprese como 9 mil milésimos (9,000) para obtener el cociente.
En los Ejercicios 4 y 5 deben plantear una multiplicación para resolver. Preste atención en la ubicación de la coma del cociente.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 48 • Tomo 1
Ticket de salida página 83 • Tomo 1

P. 84

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede ser que los resuelvan todos y después, en una plenaria, los revisen y aclaren dudas o ir uno a uno con este procedimiento.
En el Problema 1 el objetivo es pensar en el significado de los cálculos involucrados para responder, más que el cálculo en sí mismo, ya que se deben aplicar técnicas que evidencian la comprensión de la formación de los números decimales y su relación con los números naturales. En caso de dificultades, pida a los estudiantes explicar los algoritmos a partir del valor posicional de los dígitos.
En el Problema 2 los estudiantes deben resolver multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales. Lo importante es ubicar la coma en el lugar correcto tanto en los productos como en el cociente. Verifique que los estudiantes han comprendido esto preguntando: ¿por qué se ubica la coma en ese lugar?
En el Problema 3 los estudiantes deben organizar los datos en el modelo de barras o la tabla de relaciones, de donde también pueden estimar la solución. Este problema se resuelve con una división que al agregarle ceros al dividendo, se puede obtener un cociente sin resto.
En el Problema 4 se debe aplicar la fórmula de área: largo por ancho. La multiplicación que se debe realizar involucra un número natural y un número decimal que tiene una cifra después de la coma, por lo cual el cociente también tendrá esta cantidad de cifras decimales.
En el Problema 5 se debe plantear la misma división para resolver dos problemas distintos, por lo que la interpretación tanto del cociente y del resto son fundamentales. Para el Problema 5 a), el cociente será un número decimal y la división no tendrá resto. En tanto para el 5 b), el cociente será un número natural y la división tendrá resto.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 49 • Tomo 1
Ticket de salida página 84 • Tomo 1

Capítulo 7

Razones

14 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se formaliza la noción de razón que ha sido usada anteriormente de manera implícita en el estudio de los problemas multiplicativos. Se propone una serie de experiencias en contextos cotidianos que permitirá tener una comprensión profunda de su significado para resolver problemas.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA3: Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando software educativo.
Aprendizajes previos
Amplifican y simplifican fracciones.
Expresan fracciones como decimales, y viceversa.
Resuelven problemas de multiplicación y división con números naturales, fracciones y decimales.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

7

P. 85

Propósito
Que los estudiantes comparen medidas recurriendo a una cantidad de medida unitaria (unidad).
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los niños que observen la imagen del libro e invítelos a que discutan acerca de la aglomeración de niños en cada situación. Pregunte: ¿en qué situación piensan que hay más aglomeración de niños? ¿Por qué? Algunas respuestas que pueden dar los niños son: En   los niños están más juntos entre sí, entonces hay más aglomeración; en  hay más niños, entonces hay más aglomeración.
C
Es posible que los niños no comprendan la noción de aglomeración. En tal caso, puede darles algunos indicios de su significado: “Aglomeración se refiere a un grupo de personas reunidas en un espacio”. Para analizar de mejor forma los datos, haga una tabla como la siguiente:
Situación | Número de  colchonetas | Número de niños
A | 2 | 12
B | 3 | 12
C | 3 | 15
Luego, pregunte: Si comparamos las situaciones en que hay igual número de colchonetas, ¿se puede saber dónde hay más aglomeración? (En  y  hay la misma cantidad de colchonetas, por tanto, en la que hay más niños hay más aglomeración, es decir, en ).
Posteriormente, consulte: Si comparamos las situaciones en que hay igual número de niños, ¿se puede saber dónde hay más aglomeración? (En  y  hay la misma cantidad de niños, por tanto, los que están en menor cantidad de colchonetas están más aglomerados, es decir, en ).

Capítulo 7    Razones

P. 86

Propósito
Que los estudiantes comparen medidas recurriendo a una cantidad de medida unitaria.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Concuerde con los estudiantes que en  y  las cantidades de niños y de colchonetas son distintas. Pregunte: ¿cómo podríamos comparar lo aglomeradas que están? ¿Podríamos igualar la cantidad de colchonetas? ¿Cuántas colchonetas con niños podríamos agregar en  y ?
Dé un tiempo para que los niños intercambien libremente sus ideas para hacer coincidir la cantidad de niños o de colchonetas manteniendo la relación entre las colchonetas y niños en cada caso.
Algunas respuestas pueden ser:
Se podría hacer coincidir en 1 la cantidad de colchonetas, es decir, encontrar la cantidad de niños por colchoneta.
12 : 2 = 6     6 niños por colchonetas.
15 : 3 = 5     5 niños por colchonetas.
Se podría hacer coincidir en 6 la cantidad colchonetas, es decir, encontrar la cantidad de niños en  6 colchonetas.
3 ∙ 12 = 36    36 niños en 6 colchonetas.
2 ∙ 15 = 30    30 niños en 6 colchonetas.
Se podría hacer coincidir en 1 la cantidad de niños, es decir, encontrar la cantidad de colchonetas que ocupa un niño.
2 : 12 = 0,166      1 niño ocupa 0,166 colchoneta.
3 : 15 = 0,2           1 niño ocupa 0,2 colchoneta.
Recuérdeles que si se hace coincidir la cantidad de colchonetas, habrá más aglomeración donde haya más niños y que si se hace coincidir la cantidad de niños, habrá más aglomeración donde haya menos colchonetas.
Después de discutir sobre las maneras de hacer coincidir las colchonetas y niños, se propone que los estudiantes utilicen un arreglo rectangular para que visualicen la relación entre los niños y colchonetas y logren en cada situación hacer coincidir la cantidad de niños por colchoneta. Para ello, solicíteles que utilicen la página 50 del Cuaderno de Actividade. Se espera que los niños realicen lo siguiente:
6 niños por colchoneta
4 niños por colchoneta
5 niños por colchoneta
Consideraciones didácticas
Hay situaciones en las cuales para comparar dos o más cantidades es necesario expresarlas en una misma cantidad de medida. En muchas ocasiones es conveniente a una cantidad de medida unitaria, por ejemplo, en este caso, la cantidad de niños por colchoneta.

P. 87

90 minutos

Propósito
Que los estudiantes valoren la ventaja de usar medidas unitarias para comparar la aglomeración o situaciones del mismo tipo.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Sintetice las principales ideas surgidas con relación a la situación de aglomeración de niños en las colchonetas. Pregunte: ¿es posible comparar las tres situaciones simultáneamente? ¿Cómo?
Concuerde con sus estudiantes que hay una manera de hacerlo y para ello se necesita calcular la cantidad de niños por colchoneta (1 m2) dividiendo, en cada caso, el número de niños por el número de colchonetas.
12 : 2 = 6 	6 niños por m2
12 : 3 = 4 	4 niños por m2
15 : 3 = 5 	5 niños por m2
Así, se concluye que en la situación  hay mayor aglomeración, ya que hay mayor cantidad de niños por un metro cuadrado. Asegúrese de que los estudiantes reconozcan que es conveniente transformar la cantidad de colchonetas a 1 (unidad) para comparar la aglomeración de niños. 1 m  6 niños
Luego, invite a sus estudiantes a realizar los ejercicios de la sección Practica.
En el ejercicio 1 pregunte: ¿qué medida debemos llevar a la unidad para comparar? (El área de cada caja de arena). Compruebe que todos los estudiantes identifican que el área debe transformarse a una medida unitaria. Asegúrese que reconozcan que en la formulación del problema primero se describen los niños en los metros cuadrados y después los metros cuadrados y los niños. Cuide que asocien correctamente los números para expresar la razón.
En el ejercicio 2 pregunte: ¿qué medida debemos transformar a la unidad para comparar? (La cantidad de personas por vagón) ¿Cómo? (Dividiendo el número de pasajeros por el número de vagones). Permita que sus estudiantes usen la calculadora para encontrar las medidas unitarias para comparar. Verifique que son capaces de argumentar por qué un tren tiene más aglomeración que los otros.
Consideraciones didácticas
Tenga en cuenta que la idea de razón involucra dos medidas que están relacionadas. En este caso, corresponden a magnitudes de distinta naturaleza. Por un lado, la cantidad de personas, que es una cantidad discreta (número natural), y el área de cada colchoneta, que en esta situación también es una cantidad discreta, pero que en otras situaciones podría ser una cantidad continua.

Cuaderno de Actividades página 51 · Tomo 1
Tickets de salida página 87 · Tomo 1

P. 88

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas asociados  a razones recurriendo a medidas unitarias para comparar.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Calculadora, modelos de barras y tablas de relación de los 2 problemas que se estudiarán.
Gestión
Presente a sus estudiantes la Actividad 2 pida que lo lean, luego lo resuelvan. Una vez que lo aborden, seleccione a un niño para que explique la manera en que lo resolvió. Ayúdelos a que utilicen una tabla para organizar la información:
42 kg de papas en un terreno de 6 m2.
54 kg de papas en un terreno de 9 m2.
Al observar la tabla, los 6 m2 divididos por 6 corresponden a 1 m2. Del mismo modo, también podemos dividir por 6 los 42 kg.
42 : 6 = 7 (kg)
54 : 9 = 6 (kg)
Así, el terreno de 6 m2 fue más productivo.
Explique la relación entre las cantidades en cada caso apoyándose en los respectivos modelos de barras, asegurándose de que los estudiantes visualicen la transformación de los metros a una medida unitaria.
Se sugiere que los estudiantes registren en sus cuadernos las tablas, modelos, los cálculos y la respuesta  al problema.
Gestione la Actividad 3 de la misma forma que el anterior. Ayude a sus estudiantes a que usen los modelos y tablas para organizar la información y para que justifiquen los cálculos que realizan.
Destaque que, al observar la tabla, 10 cuadernos divididos por 10 corresponden a 1 cuaderno. Del mismo modo, dividimos por 10 los $12 000.
12 000 : 10 =1 200 ($)
10 400 : 8 =1 300 ($)
Así, en el pack de 8 un cuaderno es más caro que en el pack de 10. Asegúrese de que todos los estudiantes logren comprender la razón entre las cantidades la forma de representarlas en los modelos de barras y en las tablas de relación.
Consideraciones didácticas
Considere que en la Actividad 2 deliberadamente se hace una pregunta ambigua: “¿Cuál terreno es mejor?”. Esto, con el fin de que los estudiantes discutan que el mejor terreno no depende solo de la cantidad de kilos de papas que produce, sino también de su área. Al transformar las cantidades a medidas unitarias, es necesario considerar la relación de dependencia entre las variables en el contexto de la situación. Así, en el caso de la cosecha de papas, los kilos de estas dependen de los metros cuadrados de terreno, relación que se puede expresar de la forma:
1m  7 kilos
Es decir, por cada 1 m2 (variable independiente), le corresponden 7 kilos de papas (variable dependiente).
En el caso de los cuadernos, el precio depende de la cantidad de cuadernos. Así: 1 cuaderno  $1 200, es decir, por cada 1 cuaderno (variable independiente), le corresponden $1 200 (variable dependiente).

Cuaderno de Actividades páginas 52 y 53 · Tomo 1
Tickets de salida página 88 · Tomo 1

P. 89

Propósito
Que los estudiantes reflexionen cómo comparar el desempeño de los lanzamientos en un juego de básquetbol.
Habilidad
Argumentar y comunicar
Gestión
Presente a los estudiantes la situación de la página e invítelos a reflexionar en cómo comparar el desempeño en los lanzamientos en un juego de básquetbol. Pregunte: ¿quién tuvo un mejor desempeño en los tiros al arco? ¿Tiene un mejor desempeño el que encesta más tiros? ¿Qué debemos tener en cuenta? Dé un tiempo para que los estudiantes discutan, y luego haga una puesta en común para compartir las respuestas y argumentos.
Para organizar de mejor forma el análisis, se sugiere comparar por parejas de niños considerando:
a)	El mismo número de aciertos (José y Lorena).  En este caso, tiene un mejor desempeño José, ya que tiene una menor cantidad de tiros   que Lorena.
b) El mismo número de tiros (Lorena y Camilo). En este caso, tiene un mejor desempeño Camilo, ya que tiene una mayor cantidad de aciertos que Lorena.
c) Un número diferente de tiros y aciertos (José y Camilo). En este caso, se sugiere recordar a los estudiantes que el uso de una fracción es adecuado porque hay una relación parte-todo entre dos cantidades. Se propone dar un tiempo para que los estudiantes piensen cómo comparar los desempeños de José y Camilo.
Consideraciones  didácticas
Hay situaciones en las cuales, para comparar dos o más cantidades, es necesario considerar el referente de estas. Así, las cantidades absolutas pasan a ser cantidades relativas, es decir, dependen de sus referentes, por ejemplo: “acertar 5 tiros de un total de 8” no es los mismo que “acertar 5 tiros de un total de 10”. Una manera más eficaz para comparar cantidades relativas consiste en expresarlas en razones, específicamente como el cociente entre la cantidad absoluta (comparada) y la cantidad total (referente). Por esto es que los cocientes que se derivan de las situaciones anteriores son 5 : 8 y 8 : 10, respectivamente, y no 8 : 5 y 10 : 8.
Compruebe que todos los niños comprendan que la cantidad de canastas está determinada por la cantidad de tiros.

P. 90

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo expresar matemáticamente el desempeño de los lanzamientos en un juego de básquetbol.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Se presentan posibles ideas que puedan surgir en la clase para comparar los desempeños de José y Camilo. Pida a los estudiantes que las analicen y las comparen con las estrategias que ellos usaron.
Idea de Juan. Representa con modelos de barra las fracciones que expresan la relación entre la cantidad de canastas y tiros. Para ello, utiliza una misma barra para representar el entero. Se percibe ligeramente que la fracción  es mayor que , por tanto, José tiene un mejor desempeño en los tiros al aro.
5
8
6
10
Idea de Sofía. Expresa las fracciones como decimales.
José:    = 5 : 8  =  0,625
Camila:    =  6 : 10  =  0,6
Así, José tiene un mejor desempeño.
Idea de Sami. Expresa las fracciones en otras equivalentes para comparar denominadores iguales.
José:    =
25
40
Camila:   =
24
40
Así, José tiene un mejor desempeño.
Concuerde con sus estudiantes que:
1)	La técnica de Juan tiene la dificultad de que hay que ser muy preciso en la representación de cada una de las partes de las fracciones.
2)	La técnica de Sofía se asocia a la transformación a la unidad estudiada anteriormente, es decir, se obtiene la razón entre las canastas en relación con los tiros. En el caso de José es 0,625, es decir, por cada 1 tiro acierta 0,625; en cambio, Camilo por cada tiro acierta 0,6.  Lo complejo de esta técnica es expresar  en decimales, si no se dispone de calculadora (no así ).
3)	La técnica de Sami resulta “menos compleja”, ya que solo debe amplificar las fracciones para que tengan un denominador común. Esta técnica puede resultar más simple para los niños.
Finalmente, pida a los niños que expresen el desempeño de Lorena usando números. Las respuestas esperadas son:  , 0,5.
Consideraciones didácticas
La razón entre canastas y total de tiros se puede expresar como fracción y como decimal. Esto es, mediante la fracción   o con el decimal 0,5, que es el cociente de la división 5 : 10.

P. 91

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas de razones recurriendo a la comparación por cociente.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora, modelos de barras y tablas de relación de los problemas que se estudiarán.
Gestión
Presente a los estudiantes las actividades de la página dando un tiempo para que las aborden.
En la Actividad 2 se muestra una tabla con los tiros al aro de Nicole en dos partidos. Pregunte: ¿cuántos aciertos tuvo en el primer partido? (5) ¿Cuántos tiros realizó en total en el partido? (5) ¿Cómo podemos escribir con números su desempeño? (1; 5 : 5; ) ¿Cuántos aciertos tuvo en el segundo partido? (0) ¿Cuántos tiros realizó en total en el partido? (7) ¿Cómo podemos escribir con números su desempeño? (0; 0 : 7; ).
0
7
Luego pregunte: ¿por qué el desempeño de los tiros al aro siempre resulta un número entre 0 y 1? (Si Nicole realiza 5 tiros, puede no acertar, puede acertar 1, 2, 3, 4 o 5. Así, las razones pueden ser: 0 : 5; 1 : 5; 2 : 5, 3 : 5;  4 : 5; 5 : 5. Es decir, las razones son: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 y 1). Se sugiere utilizar el diagrama de la página anterior y la recta numérica para ubicar los decimales y así verificar que siempre, independiente de las cantidades de tiros, el desempeño varía entre 0 y 1. Confirme que todos los estudiantes logran comprender que el desempeño es un número que varía entre 0 y 1.
En la Actividad 3 se presenta una situación parecida a las anteriores, pero en el contexto de aglomeración de personas en un avión. Pida a los estudiantes que expliquen la información de la tabla. Pregunte: ¿cuántos pasajeros van en el avión pequeño? (117) ¿Cuál es la capacidad del avión pequeño? (130) ¿Cuántos pasajeros van en el avión grande? (442) ¿Cuál es la capacidad del avión pequeño? (520) Así, ¿cuál está más repleto de pasajeros? Incentive que los estudiantes piensen en dos cantidades que se relacionan: el número de pasajeros y la capacidad, y que consideren cuál es la cantidad que es una parte (cantidad comparada) y cuál es la cantidad que es el total (cantidad referente). Compruebe que los estudiantes comprendan que el nivel de aglomeración se obtiene dividiendo la cantidad comparada (número de pasajeros) por la cantidad referente (capacidad) y que si el número de pasajeros fuera igual a la capacidad, la aglomeración sería 1.
Se sugiere destacar en la pizarra la siguiente información:
Avión pequeño: 117 : 130 = 0,9   1 asiento  0,9 pasajeros
Avión grande: 442 : 520 = 0,85  1 asiento  0,85 pasajeros
Así, el avión pequeño tiene más aglomeración de pasajeros que el avión grande.
Consideraciones didácticas
Cuando las cantidades son pequeñas, es fácil visualizar la relación parte-todo cuando se representan en un diagrama; sin embargo, cuando aumenta el ámbito numérico, se hace complejo visualizarlas. En estos casos, es más útil usar modelos de barras y tablas de relación para representar la relación entre las cantidades.

Tickets de salida página 91 · Tomo 1

P. 92

Propósito
Que los estudiantes practiquen la resolución de problemas de razones utilizando la comparación por cociente.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Sintetice las principales ideas surgidas al resolver el problema de la aglomeración de los aviones.  Destaque que:
para encontrar el nivel de aglomeración, se debe dividir la cantidad comparada por la cantidad referente.
el número que se obtiene corresponde a la medida unitaria:
Avión pequeño:1 asiento  0,9 pasajeros
Avión grande: 1 asiento  0,85 pasajeros
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan que en el avión pequeño por cada 1 asiento había 0,9 pasajeros y en el avión grande por cada 1 asiento había 0,85 pasajeros. Estos números decimales son un índice que permite identificar el nivel de aglomeración, aun cuando en la realidad no tenga sentido expresar 0,9 o 0,85 pasajeros.
Luego, invite a los niños a realizar los ejercicios de la sección Practica.
En el ejercicio 1 se pide identificar la cantidad comparada y la cantidad referente y expresar la comparación por cociente y su resultado.
a) 6 : 10 = 0,6 (razón de respuestas correctas)
b) 6 : 6 = 1 (razón de juegos ganados)
c) 0 : 7 = 0 (razón de sorteos ganados)
En caso de que los estudiantes no visualicen la relación entre las cantidades se sugiere pedirles que las representen con la notación de aciertos y fallos usada anteriormente.
a) o, o, x, x, o, x, x, o, o, o (en cualquier orden)
b) o, o, o, o, o, o
c) x, x, x, x, x, x, x
En el ejercicio 2 deben identificar la cantidad comparada y la cantidad referente, expresar la división, y luego encontrar el resultado.
Consideraciones didácticas
Se define la razón como una comparación por cociente. Por ejemplo, en el caso de los niños en la fiesta, la razón entre los niños de 5° básico y el total de niños se obtiene calculando 15 : 75, cuyo resultado es . Es decir, 15 es la quinta parte de 75 o 5 veces 15 es 75. A su vez, esta razón se puede expresar con el número 0,2, que corresponde a la cantidad de medida unitaria, esto es, por cada 1 niño que hay en la fiesta, 0,2 son de 5° básico.  Posteriormente, esta relación se expresará en porcentajes: “el 20 % de los niños que hay en la fiesta son de  5° básico”.
1
5

Cuaderno de Actividades  página 54 · Tomo 1
Tickets de salida  página 92 · Tomo 1

P. 93

Propósitos
Que los estudiantes comparen dos cantidades en que no se establece una relación parte-todo.
Que los estudiantes reconozcan que hay situaciones en que la razón puede ser un número mayor que 1.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora, modelos de barras y tablas de relación de los problemas que se estudiarán.
Gestión
Destaque que hay situaciones en las cuales se puede encontrar la razón aun cuando una de las cantidades no sea parte de la otra. ¿En qué situación puede ocurrir esto?
Presente la Actividad 4 y pida que expresen y calculen la razón de la cantidad de niños comparada con la cantidad de niñas. Se sugiere usar los modelos de barras y la tabla de relación para confirmar que la razón es un número menor que 1. Como la razón se asocia a una fracción, esto puede permitir a los estudiantes simplificarla para obtener el resultado sin necesidad de dividir. Esto es:
16 : 20 =  =  = 0,8
16
20
8
10
¿Qué significa este número?
Algunas repuestas pueden ser:
Por cada un niño hay 0,8 niñas.
La razón entre los niños comparada con las niñas es 0,8.
Presente la Actividad 5 y solicite que expresen y calculen la razón de la cantidad de niñas comparada con la cantidad de niños. Repita la gestión de la actividad anterior permitiendo que los estudiantes confirmen que la razón, en este caso, es un número mayor que 1. También, se puede encontrar el decimal recurriendo a las fracciones. Esto es:
20 : 16 =  =  = 1 = 1 + 0,25 = 1,25
20
16
5
4
¿Qué significa este número?
Algunas repuestas pueden ser:
Por cada una niña hay 1,25 niños.
La razón entre las niñas comparada con los niños  es 1,25.
Luego, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
Es posible encontrar razones mayores que 1 (considerando que el cociente es la razón). En los ejemplos dados, las cantidades involucradas no tienen una relación inclusiva, es decir, una no es parte de la otra. Así, la razón cambiará dependiendo de la cantidad que se use como referente. Si la cantidad referente es 1, y la cantidad comparada es mayor, necesariamente la razón será un número mayor que 1. Para visualizar esta relación es importante el uso de los modelos de barras.

Cuaderno de Actividades  página 55 · Tomo 1
Tickets de salida  página 93 · Tomo 1

P. 94

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas y expresen de manera simple la relación entre cantidades utilizando razones.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Pida a los estudiantes que discutan acerca de la cantidad de ingredientes de las preparaciones que se muestran de las páginas del texto. Incentive que expresen la comparación usando razones y/o representándolas con modelos de barras. Registre en la pizarra lo que piensan los estudiantes y las distintas maneras de representar la relación entre los ingredientes.
Se sugiere analizar las cantidades de ingredientes partiendo por Diego, luego Antonia y finalmente Vicente. La idea es que los estudiantes piensen en las relaciones entre los ingredientes en cada caso.
En el caso de Diego
¿Qué relación hay entre las cantidades de vinagre y aceite para el aderezo japonés? Algunas respuestas pueden ser:
Por cada 4 cucharaditas de vinagre se echan 6 de aceite. 4 vinagre   6 aceite
Aceite
Vinagre
Por cada 2 cucharaditas de vinagre se echan 3 de aceite. 2 vinagre   3 aceite
Por cada 1 cucharadita de vinagre se echan 1,5 de aceite. 1 vinagre  1,5 aceite
¿Qué relación hay entre las cantidades de vinagre y aceite para el aderezo francés? Algunas respuestas pueden ser:
Por cada 3 cucharaditas de vinagre se echan 6 de aceite. 3 vinagre   6 aceite
Por cada 1 cucharadita de vinagre se echan 2 de aceite. 1 vinagre  2 aceite
¿Qué relación hay entre las cantidades de mayonesa y ketchup para la salsa golf?
Haga notar que en este caso es más complejo establecer una relación “simple” entre estas cantidades. Algunas respuestas pueden ser:
Por cada 42 g de mayonesa debe haber 36 g de kétchup.  42 mayonesa  36 ketchup
Por cada 7 g de mayonesa debe haber 6 g de kétchup.  7 mayonesa  6 ketchup
Por cada 1 g de mayonesa debe haber 0,85 g () de kétchup.  1 mayonesa    ketchup
6
7
Por cada 1 g de kétchup debe haber 1,16  g () de mayonesa.  1 ketchup      mayonesa
Consideraciones didácticas
Hay casos en que la razón conviene expresarla como una relación entre dos cantidades y no con un número. Así, la razón pasa a ser una relación ente dos cantidades (por cada 3 de vinagre, 2 de aceite). En el caso del aderezo japonés convie- ne expresarla como una relación y no transformar a una medida unitaria.

P. 95

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas y expresen de manera simple la relación entre cantidades utilizando razones.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
En el caso de Antonia
¿Qué relación hay entre las cantidades de agua y pulpa para el jugo? Algunas respuestas pueden ser:
Por cada 50 mL de pulpa debe haber 450 mL de agua. 50 pulpa   450 agua
Por cada 1 mL de pulpa debe haber 9 mL de agua. 1 pulpa   9 agua
Por cada 1 vaso de pulpa debe haber 9 vasos de agua. 1 pulpa   9 agua
Asimismo, pueden representar esta relación con modelos de barras, por ejemplo:
Agua
450 mL
Pulpa
50
En el caso de Vicente
Para hacer arroz, ¿qué relación hay entre las cantidades de agua y arroz? Algunas respuestas pueden ser:
Por cada 1 taza de arroz debe haber 2 de agua.  1 arroz   2 agua
Por cada 1 taza de agua debe haber 2 de arroz.  1 agua   0,5 ()  arroz
Se necesita el doble de agua que de arroz.
Arroz
Consideraciones didácticas
Haga notar que en la razón expresada como una relación entre dos números hay reciprocidad en la manera de expresarlas. Por ejemplo, se puede decir que:
Dada una taza de arroz, se necesita el doble de tazas  de agua.
Dada una taza de agua, se necesita la mitad de las tazas de arroz.
En ciertos casos no hay relación de dependencia directa entre las medidas; por ejemplo, las cantidades de aceite y de vinagre. Sin embargo, en otros casos la dependencia es más evidente; por ejemplo, en la preparación de jugo la cantidad de agua depende de la cantidad de pulpa y en la preparación de arroz, la cantidad de agua depende de la cantidad de arroz.

P. 96

Propósito
Que los estudiantes comprendan y utilicen una nueva manera de expresar razones.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente a los estudiantes la tabla que relaciona el vinagre con el aceite del aderezo francés. Pregunte: ¿cómo expresamos la razón entre la cantidad de vinagre y aceite? Si hay tres cucharaditas de vinagre, ¿cuántas de aceite debe haber? Y si hay 6 de vinagre, ¿cuántas de aceite debe haber? ¿Qué sucedería si se alteran las cantidades?
Concuerde junto con los estudiantes que en este caso no es necesario transformar la razón a la unidad, ya que para hacer el aderezo para la porción de ensalada se necesitan 3 cucharaditas de vinagre y 6 de aceite (si hacemos aderezo con solo una cucharadita de vinagre, se necesitarían 2 de aceite, pero quizás no alcanzaría para hacer el aderezo para la ensalada). Así, conviene expresar la relación entre las cantidades como “3 es a 6” (por cada 3 de vinagre, 6 de aceite). Formalmente esta nueva manera de representar la razón es 3 : 6.
Así, estas razones son equivalentes:
3 : 6          1 : 2           6 : 12
Es decir, permiten crear diversas cantidades de aderezo con la misma consistencia entre vinagre y aceite.
Luego, invite a los niños a realizar los ejercicios de la sección Practica.
En el ejercicio 1 se recomienda que, a medida que los estudiantes lo desarrollan, explicar que en a) la razón es 80 : 40 si consideramos las cantidades en mL y 4 : 2 (o 2 : 1) si lo hacemos según la cantidad de tazas. Por otro lado, en es 10 : 15 si consideramos las cantidades en mL y 2 : 3 si consideramos la cantidad de tazas.
Consideraciones didácticas
Haga notar que en el ejercicio b) las razones se expresan de acuerdo con la cantidad de medida. Si consideramos el volumen expresado en mL, la razón es 10 : 15, pero si consideramos las partes, es 2 : 3. No será complejo para los estudiantes asociar estas razones a la simplificación de fracciones para evidenciar que son equivalentes.

Cuaderno de Actividades  página 56 · Tomo 1
Tickets de salida  página 96 · Tomo 1

P. 97

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con las razones.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Incentive el uso de modelos de barras y tablas de relación para expresar la razón entre las cantidades.
Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno. Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En los Ejercicios 1 y 2 resuelven problemas en que deben encontrar la medida unitaria para comparar.
En el Ejercicio 3 deben expresar las situaciones usando razones.
En el Ejercicio 4 encuentran la razón entre dos cantidades asumiendo que una es una parte de la otra y viceversa. En cada caso pida a los niños que justifiquen la ubicación de la razón en la recta numérica.
En el Ejercicio 5 se pide que expresen la relación entre las cantidades usando razones. Se debe considerar que en el caso del aceite y del vinagre la relación se puede expresar en la razón 100 : 50 si las medidas se expresan en mL o 2 : 1 si se expresan en cucharaditas.

Cuaderno de Actividades  páginas 57 y 58 · Tomo 1

P. 98

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con las razones.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los problemas, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Incentive el uso de modelos de barras y tablas de relación para expresar la razón entre las cantidades.
Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada problema en su cuaderno. Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En los Problemas 1, 2 y 3, resuelven problemas en que deben encontrar la medida unitaria para comparar. Se espera que los estudiantes realicen representaciones con modelos de barras y tablas de relación para identificar los cálculos que necesitan realizar.
En el Problema 4, se pide a los estudiantes resolver un problema de un nivel de complejidad mayor a los estudiados en el capítulo. Dada una razón entre dos cantidades y una cantidad, se pide encontrar la otra cantidad. Si los estudiantes pueden representar la relación con modelos de barras, les puede resultar fácil encontrar la respuesta.

Aprendizajes previos
Conceptos de ángulo, triángulo, cuadrilátero, paralelismo y perpendicularidad.
Uso de regla, escuadra, compás y transportador.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico. Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

Capítulo 8

Ángulos en triángulos y cuadriláteros

Visión general
En este capítulo se aborda la construcción de triángulos, la suma de los ángulos en triángulos y cuadriláteros, las relaciones entre ángulos en dos líneas paralelas cortadas por una transversal y las teselaciones, ligadas a transformaciones isométricas.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA12: Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados o sus ángulos con instrumentos geométricos o software geométrico.
OA17: Demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y la de un cuadrilátero es 360°.
OA21: Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal y en triángulos.
OA14: Realizar teselaciones de figuras 2D usando traslaciones, reflexiones y rotaciones.

8

P. 99

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los triángulos pueden caracterizarse a partir de las relaciones entre las medidas de sus lados y de sus ángulos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, compás, transportador y lápices de colores (rojo, azul, verde, morado y café). Plumones de estos mismos colores.
Gestión
Comience la clase anunciando que en este capítulo estudiarán los ángulos en figuras geométricas y en líneas que se cruzan. Pida que realicen la Actividad 1 en el Cuaderno de Actividades. Pregunte: ¿recuerdan cómo utilizar el compás para copiar un segmento? Proponga que dibujen al menos tres triángulos, variando las medidas de sus lados. Observe el trabajo que realizan y ayude a quienes lo necesiten.
Pregunte: ¿cómo podemos clasificar los triángulos que dibujaron? Para compartir las propuestas, utilice la pizarra y plumones de colores. Invite a pasar a varios estudiantes y pida que expresen los criterios que usaron para formar sus grupos.
En la Actividad 3 oriéntelos para que se fijen en la simetría de las figuras. Pregunte: ¿cuántos elementos iguales están presentes en los tres triángulos? (Dos lados y dos ángulos).
Consideraciones didácticas
Las actividades de esta página promueven la reflexión sobre las posibilidades de construir triángulos con distintas medidas de lados y de ángulos. Es necesario que los estudiantes observen las características comunes entre los triángulos, respecto a lados y a ángulos, previamente a memorizar los nombres de las categorías (equiláteros, isósceles y escalenos).
Si para ciertos estudiantes resulta difícil agrupar los dibujos mentalmente, se les puede proponer que copien algunos y los recorten. Igualmente, en la Actividad 3 pueden copiar y recortar las figuras para, al doblarlas, comprobar la igualdad de lados y de ángulos.

Capítulo 8    Ángulos en triángulos y cuadriláteros

P. 100

Propósitos
Que los estudiantes conozcan la clasificación de triángulos según las longitudes de sus lados y que comprendan que la posibilidad de construir un triángulo depende de la relación entre estas longitudes.
Que los estudiantes comprendan la relación entre la longitud relativa de un lado y el tamaño relativo del ángulo opuesto en un triángulo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, transportador, compás y lápices de colores (rojo, azul, verde, morado y café).
Gestión
Al inicio de la clase, pregunte: ¿recuerdan cómo clasificamos los triángulos en la clase anterior? ¿Qué grupos surgieron? Indique que realicen la Actividad 4 y pídales que entre los grupos de triángulos que ellos hicieron busquen uno que no pertenezca al grupo de Sami ni al de Juan. En una pequeña discusión sobre las clasificaciones concluya que, de acuerdo a las longitudes de sus lados, los triángulos se pueden agrupar en equiláteros (los de Juan), isósceles (los de Sami) y escalenos (los surgidos del trabajo grupal).
Ahora pida que realicen la Actividad 5 en una hoja en blanco. Observe el trabajo de los estudiantes y cuando la mayoría haya terminado, pregunte: ¿pudieron dibujar los dos triángulos? Probablemente responderán que el primero sí, pero el segundo no. Pregunte a algunos estudiantes: ¿cómo dibujaron el triángulo de la Actividad 5 a)? Y a otros: ¿por qué no pudieron dibujar el segundo? Pídales que lean colectivamente la información del recuadro e indique que la copien en sus cuadernos.
Finalmente, solicite que realicen las Actividades 6 a) y 6 b). Se espera que los estudiantes dibujen el triángulo para ordenar sus ángulos, pero si no surge la idea desde ellos, sugiérales que lo dibujen. Los estudiantes podrán comprobar, midiendo los ángulos, si sus ordenamientos son correctos. Pídales que lean colectivamente la información del recuadro e indique que la escriban en sus cuadernos.
Consideraciones didácticas
En esta clase se plantea una situación en que dadas las medidas de tres lados, no es posible construir un triángulo (1 segmento morado y 2 rojos), puesto que la suma de las medidas de los dos lados menores es menor que el tercer lado. Tampoco resultaría posible construir un triángulo con 1 segmento rojo, 1 café y 1 morado, dado que la suma de los dos lados menores es igual a la del tercer lado.

Ticket de salida página 100 • Tomo 1

P. 101

Propósito
Que los estudiantes comprendan que, dados los tres ángulos, no es posible construir un único triángulo. Además, que construyan triángulos dados dos elementos (lados o ángulos) y el que se encuentra entre ellos (ángulo o lado).
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, juego de escuadras, compás, transportador.
Gestión
Organice la Actividad 7. Si los estudiantes preguntan en qué orden deben copiar los ángulos, indique que puede ser cualquiera. Cuando terminen, pregunte: ¿por qué no son iguales los triángulos que dibujaron? Hágales notar que, al no fijar la medida de ningún lado, los tamaños de los triángulos dibujados resultan diferentes. Pregunte: ¿cuántos ángulos diferentes podríamos dibujar? (Tantos como medidas diferentes tomemos).
Al pasar a la Actividad 8, pregunte, en a) y en b): ¿podemos saber si con estas medidas obtendremos triángulos congruentes? Cualquiera sea su anticipación, pida que primero dibujen, y luego comparen los triángulos obtenidos. Pida que lean lo que dice el monito del monte y ayude a que concluyan que en ambos casos los datos con los que contaban fueron suficientes para construir triángulos congruentes
Mientras dibujan, pregunte en a) y en b): ¿podrían dibujar el triángulo utilizando sólo regla y escuadra? Ayúdelos a recordar que con un juego de dos escuadras pueden trazar los tres ángulos incluidos en los datos.
Consideraciones didácticas
Es importante tener presente la idea de congruencia al realizar actividades de construcción de triángulos. En la Actividad 7 lo más probable es que tomen diferentes medidas para el primer lado que tracen, con lo cual las diferencias de tamaño serán evidentes y concluirán que no son congruentes. En la Actividad 8, en cambio, los dibujos podrán tener distintas orientaciones según el orden en que copien los lados y los ángulos. En estos casos conviene advertir que mediante movimientos de reflexión y rotación las figuras se pueden superponer y, por tanto, demostrar que  son congruentes.

Cuaderno de Actividades página 60 • Tomo 1

P. 102

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que, dadas las medidas de dos ángulos, es posible que no se pueda construir un triángulo.
Que los estudiantes conozcan la clasificación de los triángulos según el tamaño de sus ángulos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, transportador.
Gestión
Pida que lean la Actividad 9 y pregunte: ¿qué significa el dibujo del triángulo con las líneas punteadas? Considere las interpretaciones de los estudiantes hasta lograr un consenso: el ángulo en B crece, tomando valores cada vez mayores. Pregunte: ¿cuáles elementos del triángulo cambian y cuáles mantienen su medida? ¿Cómo varía el lado AC? ¿Y el ángulo en C?
Haga un dibujo o proyecte la imagen del triángulo en la pizarra. Desafíelos a aumentar más y más el tamaño del ángulo en B, aunque el vértice C ya no sea visible. Pregunte: si tuviéramos una pizarra muy grande, ¿podríamos dibujar el triángulo? ¿Se formará un triángulo si el ángulo en B es recto? ¿Y si mide más de 100 grados?
Indique que, usando el transportador, visualicen sobre su libro el lado BC para un ángulo en B de más de 100 grados. ¿Existe un tamaño para el cual ya no es posible formar un triángulo? ¿Por qué? Concluyan que esto sucede cuando el ABC es mayor o igual que 110°.
Proponga que observen las figuras de la Actividad 10. ¿Qué características comunes tienen los triángulos de cada grupo? Una vez que se hayan dado cuenta de que estos triángulos han sido agrupados según el tamaño de sus ángulos, presente los nombres de las categorías: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
Consideraciones didácticas
La Actividad 9 promueve la reflexión sobre las restricciones en las medidas de los ángulos para formar triángulos. Un buen ejemplo es mostrar un segmento con dos ángulos rectos en los extremos y preguntar si se puede formar un triángulo. A través de experiencias como esta, los estudiantes concluirán que un triángulo puede tener solo un ángulo recto o solo un ángulo obtuso.

Cuaderno de Actividades página 61 • Tomo 1
Ticket de salida página 102 • Tomo 1

P. 103

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que en un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios (suman 90°) y que, por lo tanto, los 3 ángulos suman 180°.
Que verifiquen, mediante medición, que la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera es 180°.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, juego de escuadras, transportador.
Gestión
Comience la clase realizando la Actividad 1 y pregunte: ¿cuánto suman los dos ángulos no rectos en cada una de las escuadras? Hágales notar que ambas escuadras tienen la forma de un triángulo rectángulo.
¿Sumarán lo mismo los ángulos no rectos de cualquier triángulo rectángulo? Pida que lo comprueben midiendo los ángulos no rectos en triángulos rectángulos y sumándolos.
En la Actividad 2 pida que observen el triángulo ABC, midan los ángulos no rectos y registren sus medidas. Luego pregunte: ¿cuánto miden los ángulos no rectos si el triángulo cambia, de modo que el vértice B esté ahora más cerca del vértice C? Repita la pregunta acercando aún más el vértice B al C. Los estudiantes miden los ángulos y registran en cada caso. Para organizar los datos, proponga que hagan una tabla en la que registren para cada posición del vértice B la medida del ángulo en B, la medida del ángulo en C y la suma de ambos. Pregunte: ¿qué pasará si seguimos acercando el vértice B al C? ¿Sumarán lo mismo los ángulos en B y en C? Pida que agreguen otro dato a la tabla: la medida del tercer ángulo (que es el recto) y que sumen.
Desafíe a sus estudiantes a generalizar: ¿podemos afirmar que en un triángulo rectángulo la suma de sus tres ángulos es 180°? ¿Por qué? A continuación, hágalos reflexionar planteando la siguiente pregunta: ¿y qué pasará en otro tipo de triángulos? ¿Cuánto sumarán sus tres ángulos?
Una primera respuesta la obtendrán midiendo los tres ángulos con un transportador en el triángulo del libro de texto y en los del Cuaderno de Actividades. Cuando terminen, pregunte: ¿qué resultado obtuvieron? ¿Sumarán lo mismo los ángulos en todos los triángulos? Es posible que algunos estudiantes obtengan sumas algo menores o mayores que 180° como consecuencia de errores en la medición. Pregunte: ¿de qué otra forma podríamos comprobar que los tres ángulos suman 180°?
Consideraciones didácticas
En la Actividad 2 para algunos estudiantes puede ser difícil visualizar que al mover el vértice B se obtienen varios triángulos rectángulos. Representar la situación con elásticos en un geoplano les puede ayudar a observar que, a medida que el ángulo en B crece, el ángulo en A disminuye.
La organización de los datos en una tabla es un buen recurso para que puedan analizar la información entre los ángulos y llegar a conclusiones respecto de la suma de los ángulos no rectos y la suma de los tres ángulos del triángulo.
La Actividad 4 constituye un buen escenario para promover el pensamiento inductivo afianzando la conjetura de que los tres ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180°.

P. 104

Propósito
Que los estudiantes comprendan que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°, cualquiera sea su forma o su tamaño.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar
Recursos
Regla, transportador, tijeras.
Gestión
Comunique que seguirán averiguando cuánto suman los tres ángulos de un triángulo. Deles un tiempo para que lean los tres métodos, y luego elijan uno de ellos para aplicarlo en un triángulo dibujado por ellos. Procure que elijan distintos métodos y que los triángulos sean variados.
Cualquiera sea el método que elijan, indique que deben marcar los tres ángulos con colores o nombres diferentes antes de recortar, yuxtaponer o doblar para que puedan distinguirlos cuando los junten. Si tienen dificultades para utilizar el método D, recomiende que doblen desde el punto medio de los lados AB y AC.
Organice una discusión sobre los tres métodos utilizados para mostrar que, en un triángulo, los tres ángulos suman 180°. Puede proyectar una imagen del libro y hacer preguntas como las siguientes a algunos de los estudiantes que usaron cada método: ¿puedes explicar cómo lo hiciste? ¿A qué conclusión llegaste? ¿Estás seguro? ¿Por qué?
Finalmente, pida que lean la conclusión escrita en el libro y la copien en su cuaderno.
Consideraciones didácticas
En esta clase los estudiantes utilizan diversas formas para comprobar que, al poner juntos los tres ángulos interiores de cualquier triángulo, estos forman una línea recta, es decir, suman 180°. Los métodos presentados resultan suficientemente convincentes como para que los estudiantes se apropien de esta idea. Más adelante podrán acceder a una demostración trazando una paralela al lado BC que pase por el vértice A y basándose en la igualdad entre ángulos opuestos por el vértice y entre paralelas cortadas por una transversal.

P. 105

Propósito
Que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos respecto a que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180° y a que dos ángulos que forman una línea son suplementarios, esto es, también suman 180°.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador.
Gestión
Pida a los estudiantes que observen los ejercicios de la Actividad 5 y pregunte: ¿pueden resolverlos sin usar un transportador? ¿qué conocimientos deben usar para resolverlos? A partir de las intervenciones de ellos, concluya que los tres ángulos de un triángulo suman 180°, que un ángulo recto mide 90°, que a lados iguales se oponen ángulos iguales. Asegúrese de que conocen el símbolo para marcar lados iguales. Distribuya los ejercicios entre los alumnos y pida que algún estudiante explique cómo resolvió cada uno.
En la Actividad 6 pregunte: ¿cómo pueden calcular la suma de los dos ángulos desconocidos en este triángulo? Se espera que respondan: restando 180º – 55º. ¿Y cuánto mide el ángulo marcado en el vértice C? Se espera que respondan lo mismo: 180º – 55º. Entonces, ¿qué igualdad podemos deducir? Deje tiempo para que los estudiantes piensen, expongan y justifiquen sus ideas y traten de convencer a otros. Finalmente, ayúdelos a formular la conclusión: el ángulo exterior en el vértice C es igual a la suma de los ángulos interiores en los vértices A y B. ¿Será una conclusión válida para cualquier triángulo? Pida que la escriban en su cuaderno y la apliquen en los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
Los ángulos, al igual que otras magnitudes, como la longitud o el volumen, también se pueden sumar y restar. En clases anteriores han calculado medidas de ángulos combinando dos escuadras. Ahora han aprendido cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo y utilizan este aprendizaje para calcular la medida de ángulos interiores y exteriores que no conocen.

Cuaderno de Actividades páginas 63 y 64 • Tomo 1
Ticket de salida página 105 • Tomo 1

P. 106

Propósito
Que los estudiantes identifiquen relaciones entre los ángulos interiores de trapecios y paralelogramos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, transportador y compás.
Gestión
Comience señalando que en esta clase buscarán relaciones entre los ángulos de cuadriláteros con lados paralelos. Lea junto con los estudiantes la Actividad 1. Pregunte: ¿qué tipo de cuadriláteros creen que se pueden dibujar? ¿Serán todos similares al que dibujó Ema? ¿Se podrán dibujar un cuadrado y un rombo? ¿Se podrán dibujar un rectángulo y un paralelogramo? Proponga que prueben si es posible dibujar los cuadriláteros que han señalado. Para ello, indique que trabajen en el Cuaderno de Actividades y que utilicen los instrumentos geométricos.
Una vez dibujados los cuadriláteros, pídales que midan los ángulos interiores y que identifiquen en cuáles cuadriláteros hay pares de ángulos de la misma medida y pares de ángulos suplementarios.
Solicíteles que lean la Actividad 2 e indique que la figura ABCD es un paralelogramo. Pregunte: ¿recuerdan las características que tiene esta figura? Se espera que digan que es el cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos. ¿Qué relación hay entre los ángulos en este tipo de figuras? Solicite que comprueben sus conjeturas midiendo los 4 ángulos y respondiendo las preguntas de esta actividad. Dibuje o proyecte un paralelogramo en la pizarra y sistematice, junto con los estudiantes, que en los paralelogramos los ángulos opuestos tienen la misma medida, que los ángulos consecutivos (los ángulos que tienen un lado común) son suplementarios y que la suma de los 4 ángulos es 360°. Pídales que comprueben estas propiedades en los cuadriláteros que dibujaron en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
En las actividades propuestas en esta página y la siguiente se promueve que los estudiantes dibujen cuadriláteros en los que dos de sus lados se encuentren sobre líneas paralelas. La intención didáctica es que a partir de la comparación de diversos cuadriláteros con uno o dos pares de lados paralelos, identifiquen que los pares de ángulos consecutivos que se forman entre líneas paralelas son suplementarios. Es importante destacar que esta relación no se cumple cuando los lados no son paralelos. Esta idea se profundizará cuando se estudien “ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal”.

P. 107

Propósito
Que los estudiantes identifiquen relaciones entre los ángulos interiores de trapecios y paralelogramos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, transportador y compás. Hoja blanca, lápices de colores y tijeras.
Gestión
Comunique que realizarán otra actividad que les permitirá comprobar las relaciones que hay entre los ángulos de un paralelogramo.
Pida a los estudiantes que dibujen en una hoja blanca con regla y escuadra un paralelogramo. Y que pinten de distintos colores cada uno de los ángulos del paralelogramo en forma similar a la imagen de la idea de Juan.  Indique que copien también la figura en el cuaderno pintando los ángulos del mismo color que los de la figura que van a recortar.
Pídales que recorten el paralelogramo tal como se presenta en la idea de Juan y que verifiquen que la suma de los ángulos consecutivos son suplementarios. Asimismo, solicíteles que separen los 4 ángulos y que comprueben cada una de las propiedades indicadas en el recuadro del texto.
Sistematice el trabajo realizado promoviendo que distintos estudiantes expliquen cada una de las propiedades usando los ángulos recortados. Por ejemplo, destaque que al juntar los 4 ángulos forman un ángulo completo en el vértice, es decir, los 4 ángulos suman 360°.
Finalmente, pídales que observen la figura de la Actividad 3 y pregunte: ¿en el cuadrilátero ABCD los ángulos consecutivos son suplementarios? ¿Por qué? ¿Y los opuestos por el vértice miden lo mismo? ¿Y la suma de los 4 ángulos es 360°?
Promueva que los estudiantes argumenten sus ideas y señale que en la próxima clase continuarán aprendiendo sobre los ángulos en cuadriláteros cualesquiera.
Consideraciones didácticas
La manipulación de paralelogramos de papel es una importante estrategia que permite comprobar relaciones entre los lados y ángulos de este tipo de figuras. La ventaja que ofrece respecto a la medición es que permite a los estudiantes enfocarse en aspectos geométricos sin necesidad de recurrir a la medida.
Así, por ejemplo, se puede comprobar que los ángulos consecutivos son suplementarios porque al yuxtaponer dos de sus lados y el vértice, los otros dos forman un ángulos extendido.
Para que los estudiantes comprendan que las propiedades se cumplen en cualquier cuadrilátero que tenga lados opuestos paralelos, es importante que, en la clase, los estudiantes dibujen cuadriláteros de manera que las formas sean diversas.

P. 108

Propósito
Que los estudiantes comprendan que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, transportador y compás. Hoja blanca y tijeras.
Gestión
Comience la clase explicando que continuarán aprendiendo sobre los ángulos interiores de un cuadrilátero. Pídales dibujar y recortar un cuadrilátero cualquiera, es decir, que no tenga lados paralelos. Pregúnteles: ¿la suma de los 4 ángulos será 360°?
Deles un tiempo para que lean las cuatro ideas propuestas en el texto, y luego que elijan una de ellas para utilizarla con el cuadrilátero dibujado por ellos. Procure que elijan distintas ideas.
Cualquiera sea la idea que escojan, indique que deben copiar el cuadrilátero recortado en su cuaderno para que luego anoten sus conclusiones.
Sistematice el trabajo realizado promoviendo que distintos estudiantes expliquen cómo utilizaron la idea que seleccionaron y muestren por qué la suma de los 4 ángulos es 360°. Estimule la argumentación planteando preguntas pertinentes a la idea que expongan.
Para la idea de Gaspar, pregunte: ¿cómo utilizaron el transportador? ¿Cuánto suman los 4 ángulos del cuadrilátero?
Para la idea de Ema, pregunte: ¿de qué sirve descomponer en 2 triángulos? ¿Cómo deducen, a partir de los triángulos, cuánto suman los ángulos del cuadrilátero? ¿Cambia el razonamiento si se traza la otra diagonal?
Para la idea de Sami, pregunte: ¿por qué tuvieron que usar 4 figuras iguales? ¿Cómo ubicaron los 4 ángulos del cuadrilátero? ¿Por qué suman 360°?
Para la idea de Matías, pregunte: ¿de qué sirve descomponer en 4 triángulos? ¿Cómo deducen, a partir de los triángulos, cuánto suman los ángulos del cuadrilátero? ¿El punto que eligen para descomponer el cuadrilátero en los 4 triángulos, puede ser otro del interior del cuadrilátero?
Finalmente, pida que lean la conclusión escrita en el libro y la copien en su cuaderno.
Consideraciones didácticas
Cada una de las ideas propuestas para comprobar que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° se relaciona con otros conceptos que es necesario destacar, de modo de promover las conexiones entre las nociones matemáticas.
Averiguar la suma de los ángulos interiores dividiendo el cuadrilátero en dos o cuatro triángulos es una actividad para pensar deductivamente y explicar que la suma de los cuatro ángulos, a partir de la suma de los tres ángulos de un triángulo, es 360°.
Teselar con cuadriláteros congruentes permite conectar el cubrimiento del plano con la suma de los ángulos de un cuadrilátero. Es importante destacar que donde se juntan todos los ángulos es 360°, ya que no hay resquicios ni quedan sobrepuestos.
Se espera que comprendan que la suma de los ángulos da  360 ° en todos los cuadriláteros, incluyendo rectángulos, paralelogramos, trapecios, etc.

P. 109

Propósito
Que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos respecto a que la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es 360°.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar
Gestión
Pida a los estudiantes que observen los ejercicios de la Actividad 4 y pregunte: ¿pueden averiguar sin usar un transportador cuál es la medida de cada ángulo en los cuadriláteros? A partir de las intervenciones de ellos, concluya que es necesario utilizar lo que comprobaron anteriormente: “La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero es 360°”. Una vez que evalúe que los estudiantes son capaces de deducir un ángulo de un cuadrilátero conociendo los otros tres, desafíelos planteando la Actividad 5. Señale que en el cuadrilátero ABCD no se conocen 3 ángulos como en la actividad anterior y pregunte: ¿qué se puede hacer para calcular el  ADC? Una vez que identifiquen que el triángulo ABC es un triángulo equilátero y por lo tanto el  ABC mide 60°. Se espera que deduzcan que la medida del ángulo desconocido es 60°.
Para que los estudiantes consoliden sus conocimientos propóngales que desarrollen la sección Practica y los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
El razonamiento que necesitan utilizar los estudiantes para calcular la medida de un ángulo del cuadrilátero es similar al utilizado para calcular la medida de un ángulo interior de un triángulo. En ambos problemas los estudiantes conocen la suma de los ángulos interiores de la figura, la medida de algunos ángulos y deben calcular la medida de un ángulo. Para ello, es necesario que apliquen conocimientos aritméticos asociados a la relación parte-todo, lo que se representa en el siguiente modelo de barras:
360°
Por tanto, la medida de un ángulo desconocido se calcula de la siguiente forma: x = 360° – (α + β + γ).

Cuaderno de Actividades páginas 66 y 67 • Tomo 1
Ticket de salida página 109 • Tomo 1

P. 110

Propósito
Que los estudiantes comprendan las relaciones entre los ángulos que se forman cuando dos líneas paralelas son cortadas por una línea transversal.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra y transportador.
Gestión
En la Actividad 1 proponga que lean y observen la figura. Pregunte: ¿qué tipo de ángulo es el  EAD? ¿Y el  DAB? ¿Son suplementarios estos ángulos? ¿Qué propiedades tienen los ángulos de un paralelogramo? ¿Cómo podemos saber si los ángulos obtusos son iguales? De este modo se espera que los estudiantes descarten la idea de medir los ángulos y utilicen la relación entre los ángulos de un paralelogramo y los opuestos por el vértice. Finalmente, concluirán que todos los ángulos obtusos son iguales.
En la Actividad 2 desafíelos: ¿cómo pueden conocer las medidas de todos los ángulos? Es probable que algunos estudiantes se basen en la idea de que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, otros pueden darse cuenta de que hay pares de ángulos suplementarios, otros pueden relacionar la figura con la de la  Actividad 1, y otros solo medirán. Usando cada uno sus ideas, llegarán a que los 4 ángulos obtusos miden 130° y los 4 ángulos agudos miden 50°.
Pida que lean el recuadro. Enfatice el hecho de que T y Q son paralelas y por eso los ángulos obtusos son iguales y los agudos también.
Pregunte: en la figura, ¿qué ángulos suman 180°, es decir, son suplementarios? Puede hacer una lista en la pizarra para concluir que hay 8 pares de ángulos suplementarios. Cada par está formado por un ángulo obtuso y uno agudo, los que comparten uno de sus lados (son adyacentes).
Finalmente, pregunte: ¿por qué el monito del monte dice que basta conocer uno de estos ángulos para conocer el resto?
Consideraciones didácticas
La relación entre los ángulos que se forman entre líneas paralelas cortadas por una transversal se deduce a partir de lo aprendido anteriormente sobre los ángulos interiores de  un paralelogramo.
Tenga en cuenta que en esta clase la relación entre líneas paralelas se basa en la relación entre los lados del paralelogramo. Sabiendo que los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios y que los ángulos opuestos son congruentes, podrán deducir la medida de los ángulos que se forman entre líneas paralelas cortadas por una transversal.

Ticket de salida página 110 • Tomo 1

P. 111

Propósito
Que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos respecto de la relación en los ángulos que se forman entre líneas paralelas cortadas por una transversal.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra y transportador.
Gestión
Comience la clase pidiendo a los estudiantes que realicen la actividad propuesta en el Cuaderno de Actividades. Luego de leer la actividad y de que los estudiantes hayan copiado el ángulo, pregunte: ¿son paralelas las líneas M y R? ¿Cómo lo pueden verificar? Se espera que utilicen el desplazamiento de la escuadra apoyada en la regla para comprobar que las líneas son paralelas. A partir de esta actividad, sistematice, apoyándose en un dibujo, que si dos ángulos tienen la misma medida y comparten un lado, los otros lados son paralelos.
Pida que realicen la Actividad 4 desafíándolos a que identifiquen qué pares de líneas son paralelas y por qué. Para esto podrán verificar si los ángulos dados son o no suplementarios.
Promueva que lean el recuadro y que lo copien en el cuaderno.
Para que los estudiantes consoliden sus conocimientos, propóngales que desarrollen la sección Practica y los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Las actividades planteadas en esta página están orientadas para que los estudiantes comprendan que si dos líneas son paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y que, recíprocamente, si los ángulos correspondientes son congruentes, las líneas son paralelas.
En este apartado, en que se han abordado los ángulos formados entre líneas paralelas cortadas por una transversal, se ha omitido la designación tradicional de pares de ángulos según su posición, como por ejemplo, alternos internos. Se ha focalizado la comprensión en que se forman 8 ángulos, de los cuales los 4 que son obtusos tienen la misma medida y los otros 4, que son agudos, también miden lo mismo.

Cuaderno de Actividades página 69 • Tomo 1
Ticket de salida página 111 • Tomo 1

P. 112

Propósito
Que los estudiantes comprendan que pueden teselar un plano con una figura trasladándola, reflejándola y rotándola.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, hojas sin líneas para dibujar y tijeras.
Gestión
Para realizar la Actividad 1, pida que seleccionen y recorten dos de las figuras que se encuentran en la página 103 del Cuaderno de Actividades. Ahora, imaginemos que cada una de las figuras elegidas representa una cerámica con las que debemos cubrir completamente una superficie representada por las hojas.  Tomen una de las figuras y úsenla como molde para cubrir una de las hojas, y luego, con la otra figura, cubran una segunda hoja. Para cubrir las hojas, deben cumplir dos condiciones: que no pueden quedar espacios entre las cerámicas y no pueden quedar cerámicas superpuestas. Monitoree el trabajo de los estudiantes y observe los movimientos que realizan con la figura para cubrir la hoja. Oriente a quienes presenten dificultades preguntando: ¿dónde ubicarían la primera cerámica? ¿Cómo se puede mover la figura a la siguiente posición? Una vez que hayan cubierto las dos hojas, pida que en parejas revisen las ideas de Ema, Sofía y Matías de la Actividad 2. Haga una puesta en común utilizando las producciones de los estudiantes. Pregunte: ¿quién lo hizo como Ema? Solicíteles que muestren sus diseños y expliquen el movimiento que realizaron haciendo el gesto con la figura. Repita la pregunta para las ideas de Sofía y Matías. Muestre en la pizarra una de las hojas de los estudiantes en que se usó la traslación y pregunte: ¿podríamos haber hecho el teselado con otro movimiento? Pida a un estudiante que muestre cómo lo haría.
Finalmente, dígales que lean colectivamente la información del recuadro e indique que la escriban en sus cuadernos.
Consideraciones didácticas
En las actividades de esta clase se abordará la teselación de un plano con una figura utilizando los movimientos de traslación, rotación y reflexión.  Es necesario que los estudiantes tengan la oportunidad de manipular la figura y realizar los movimientos que les permitirán cubrir completamente la hoja. Así surge naturalmente asociar la traslación con arrastrar la figura manteniendo su orientación; asociar la rotación con girar la figura en torno a un punto y voltear la figura con la reflexión. Si bien en la traslación y rotación es fácil asociar los puntos de la figura con su imagen, no ocurre lo mismo con la reflexión. En este caso se recomienda realizar el movimiento en forma concreta imaginando que la figura sale del plano para obtener su imagen.
Triángulo original
Triángulo reflejado

Ticket de salida página 112 • Tomo 1

P. 113

Propósito
Que los estudiantes comprendan que para teselar un plano con una figura, los ángulos que se juntan en un vértice deben sumar 360°.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, hojas sin líneas para dibujar.
Gestión
Inicie la clase pidiéndoles a los estudiantes que realicen la Actividad 3 en una hoja en blanco y que recorten el rombo de la página 103 del Cuaderno de Actividades. Mientras realizan el teselado, vaya solicitando a los estudiantes que le expliquen el movimiento que están realizando. Cuando hayan terminado, pregunte: ¿cuánto suman los ángulos que se juntan en un vértice? ¿Cómo lo calcularon? Se espera que digan que suman 360° apoyándose en las medidas indicadas en la figura.
A continuación, indique que analicen, en parejas, las teselaciones que realizó Gaspar en la Actividad 4, y luego pregunte: ¿qué movimiento pudo haber hecho en cada una? Pida a algunos estudiantes que describan cómo Gaspar hizo las teselaciones. Ahora pregunte: ¿cuánto suman los ángulos que se juntan en un vértice? ¿En ambas pasa lo mismo? Solicite que lean la información del recuadro y la escriban en sus cuadernos junto al teselado del rombo que realizaron.
Invítelos a resolver los ejercicios de la página 70 del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Para esta clase se usó la misma figura en las dos actividades, de modo que para analizar las teselaciones que realizó Gaspar y describir los movimientos que pudo haber hecho en cada una, los estudiantes tengan la opción de manipular la figura y poder darse cuenta del movimiento que habría que hacer para pasar de una posición a otra o si hay que realizar más de un movimiento.

Cuaderno de Actividades página 70 • Tomo 1
Ticket de salida página 113 • Tomo 1

P. 114

Propósito
Que los estudiantes utilicen las relaciones de lados y ángulos en triángulos y cuadriláteros para calcular los ángulos que faltan.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que, individualmente, resuelvan el Ejercicio 1 en sus cuadernos. Mientras ellos trabajan, observe si reconocen los ángulos rectos por su símbolo y los lados iguales por las líneas marcadas en ellos. Se espera que para calcular el ángulo que falta en cada figura, los estudiantes usen: en el Ejercicio a) la suma de los ángulos interiores de un triángulo; en el Ejercicio b), la relación entre un ángulo exterior y los dos interiores no adyacentes, en los Ejercicios c) y h) la suma de los 4 ángulos en un cuadrilátero y que reconozcan los ángulos rectos; en los Ejercicios d) y e) la suma de los ángulos en un triángulo y que a lados iguales se oponen ángulos iguales; en el Ejercicio f), que los ángulos consecutivos son suplementarios, y en el Ejercicio g), la suma de los 4 ángulos en un cuadrilátero.

15

P. 115

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran las propiedades de ángulos en triángulos, cuadriláteros para teselar.
Habilidad
Resolver problemas /Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, hojas para dibujar, tijeras.
Gestión
Pida a los estudiantes que resuelvan el Problema 1. Para ello, diga que recorten las figuras de la página 103 del Cuaderno de actividades y realicen los teselados en hojas en blanco. Indique que muestren la figura con la que pudieron teselar y expliquen los movimientos que realizaron. ¿Por qué razón no se pudo realizar el teselado con la otra figura?
Luego pida que resuelvan los Problemas 2 y 3 en sus cuadernos. Proyecte los problemas y seleccione a dos estudiantes para que expliquen los procedimientos que utilizaron.

Capítulo 9

Porcentaje

9 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se estudia el porcentaje como una extensión de la noción de razón estudiada anteriormente. Los niños comprenderán su significado, cómo expresarlos y cómo calcular porcentajes básicos usando representaciones con fracciones.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA3: Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo.
Aprendizajes previos
Expresan la relación entre dos cantidades usando razones.
Representan fracciones con modelos de barras.
Simplifican y amplifican fracciones.
Expresan fracciones como decimales, y viceversa.
Actitud
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

P. 116

Propósito
Que los estudiantes expresen la razón entre dos cantidades usando porcentajes.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora, modelos de barras y tablas de relación del problema que se estudiará.
Gestión
Presente a los niños la información de la Actividad 1. Pregunte: ¿cómo podemos expresar la relación entre la cantidad de pasajeros que van en el bus y la capacidad de este?
Algunas respuestas pueden ser:
40 de 50; 40:50; ;
40
50
De cada 5 asientos del bus, 4 están ocupados.
Capacidad del bus
10
Personas en el bus
Pregunte: si la razón es 40 : 50, ¿qué sucede si el referente fuera 100? Para que la relación se mantenga, ¿cuántas personas tendrían que ir en el bus? Se espera que los niños reconozcan que si el referente es 100, deben ir 80 personas en el bus. Asegúrese que todos comprendan que 40 de 50 es equivalente a 80 de 100. Luego, presente la definición de porcentaje.
Use los modelos de barras para evidenciar que:
La capacidad del bus (referente) es de 50 personas y corresponde al 100 %.
Así, 40 personas (cantidad comparada) corresponden al  80 % de la capacidad del bus.
Use la tabla de relación para evidenciar que:
Si dividimos cada número por 50, se obtiene 0,8 y 1, es decir, la razón  de la cantidad comparada y el referente.
Si multiplicamos cada razón por 100, obtenemos la razón expresada en porcentaje. El 80 % (personas según la capacidad) y el 100 % (capacidad del bus). Así, 0,8 es el 80 % y 1 es el 100 %.

P. 117

Propósitos
Que los estudiantes expresen la razón entre dos cantidades usando porcentajes.
Que los estudiantes expresen decimales en porcentaje y viceversa.
Que los estudiantes reconozcan situaciones en las cuales el porcentaje puede ser un número mayor que el 100 %.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
En la primera parte de la clase, presente la Actividad 2 y plantee preguntas para orientar la comprensión del problema: ¿qué información contiene la tabla? ¿Cuál es la cantidad referente? ¿Qué tipo de vehículo pasó más veces por el colegio? ¿Cuál tipo pasó menos veces? ¿Cómo se obtuvo el 45 %?
Dé un tiempo para que los niños encuentren los porcentajes observando cómo utilizan la calculadora.
Luego, realice una puesta en común para compartir los resultados y la manera de hacer los cálculos con la calculadora. Formule algunas preguntas para que sus estudiantes comprendan el significado y uso de los porcentajes en este contexto, por ejemplo: ¿es posible que los 7 buses correspondan al 50 % del total de vehículos? ¿Por qué los camiones son el 25 % del total de vehículos? ¿Cuánto suman todos los porcentajes? ¿Por qué? (Todos los porcentajes deben sumar 100, ya que son partes del total de vehículos).
Finalmente, pídales que desarrollen los ejercicios de la sección Practica, en los cuales deben expresar los decimales en porcentaje y los porcentajes en decimales. Desafíelos a que los hagan sin calculadora, y luego usen esta para comprobar. Es posible que indiquen que 0,316 corresponde al 316 % y que el 2 % es 0,2. Observe si cometen estos errores y asegúrese de que los realicen correctamente.
En la segunda parte de la clase, presente la Actividad 3, en la cual se estudia el caso en que el porcentaje es un número mayor que 100 (hay un carro con una cantidad de pasajeros que excede la capacidad, que es de 120 pasajeros).
Antes de hacer el cálculo, pregunte: ¿cuánto creen que es el porcentaje de aglomeración del primer carro? ¿Por qué? ¿Cuánto creen es el porcentaje de aglomeración del segundo carro? ¿Por qué? ¿Por qué el porcentaje es mayor que el 100 %? (Porque el número de pasajeros supera la capacidad del carro).
Una vez que los estudiantes hayan compartido sus respuestas y argumentos, concuerde con ellos que el porcentaje es mayor que el 100 % cuando la cantidad comparada (número de pasajeros) es mayor que la cantidad referente (capacidad).
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes comprendan que el porcentaje es otra forma de expresar una razón. Así, la razón 1 equivale al 100 %, es decir, la cantidad referente equivale al 100 %. Asimismo, el valor 0,5 corresponde a la mitad de la cantidad referente y 0,25 (la mitad de 0,5) corresponde a la cuarta parte de la cantidad referente.
0,25
Total  de autos
35
70
140 (autos)
Razón
0,5
25 %
50 %
100 %

Ticket de salida página 117 · Tomo 1

Capítulo 9    Porcentaje

P. 118

Propósito
Que los estudiantes practiquen los temas de porcentajes estudiados.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
En la primera parte de la clase, solicite a sus estudiantes que realicen el ejercicio de la sección Practica. Antes de abordarlo, plantee algunas preguntas para asegurar que comprendan la información de la tabla y convengan cuál es el 100 % (cantidad referente). Una vez que concuerden las respuestas y estrategias, se sugiere formular algunas preguntas para profundizar en la comprensión de la noción de porcentaje en el contexto dado: ¿por qué creen que a las 8 a. m. hay más aglomeración? ¿Cómo se imaginan que van las personas en el bus con ese nivel de aglomeración? ¿Por qué creen que a las 10 de la mañana baja sustantivamente el nivel de aglomeración?
Luego, pida a sus estudiantes que aborden la Actividad 4, en la cual se presenta una situación que involucra razones que se expresan como porcentaje.
Se sugiere que los estudiantes representen la relación con modelos de barras, ya que les permitirá visualizar los porcentajes sin necesidad de hacer los cálculos. Esto es:
Consideraciones didácticas
Tenga en cuenta que para saber en qué horario hubo más aglomeración en la Actividad 1 de Practica, los niños no necesitan calcular porcentajes. Como el referente es el mismo, comparan los números asociados a la cantidad de pasajeros y concluyen que a las 8 a. m. hay más aglomeración. Asimismo, dado que 65 es mayor que 50, deducen, sin calcular, que el nivel de aglomeración del bus en ese horario es mayor que el 100 %.
Notar que, en la situación de los tiros al arco, el índice de efectividad siempre será un porcentaje menor o igual al 100 % ya que los goles son siempre una parte del total de tiros al arco. Sin embargo, el nivel de aglomeración del bus puede ser un porcentaje mayor que el 100 %, ya que en el bus puede ir una cantidad de pasajeros mayor que su capacidad.
Al igual que las razones, los porcentajes son medidas relativas a un referente. “Hacer 2 goles de un total de 4 tiros al arco  (50 %)” no es lo mismo que “hacer 2 goles de un total de 10 tiros al arco (20 %)”.

1 gol
(25 %)

(1 : 4) · 100 = 0,25 · 100 = 25 %

4 tiros al arco
(100 %)

2 goles
(40 %)

(2 : 5) · 100 = 0,4 · 100 = 40 %

5 tiros al arco
(100 %)

4 goles
(100 %)

(5 : 5) · 100 = 1 · 100 = 100 %

Cuaderno de Actividad páginas 71 y 72 · Tomo 1
Ticket de salida página 118 · Tomo 1

P. 119

Propósito
Que los estudiantes calculen porcentajes básicos usando operadores fraccionarios y representaciones.
Habilidad
Representar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 y deles un tiempo para que la aborden. Sugiera que representen con fracciones la relación entre los datos e incentive que la expresen en porcentajes. Luego, genere un debate en torno a las respuestas y argumentos dados. Formule algunas preguntas para orientar el análisis: ¿qué fracción es 100 de 200? ¿Y 150 de 600? ¿En qué colegio hay más inscritos al evento de atletismo? ¿Qué colegio tiene más estudiantes? ¿En qué colegio hay mayor interés? ¿De qué depende el interés?
Se espera que los estudiantes respondan que la razón entre la cantidad de inscritos y el total de estudiantes es mayor en el colegio Araucaria que en el colegio Bucalemu. Algunas respuestas pueden ser:
En el colegio Araucaria la mitad de los estudiantes participarán del evento, en cambio en el colegio Bucalemu, solo la cuarta parte.
En el colegio Araucaria el 50 % de los estudiantes del colegio participará del evento, en cambio en el colegio Bucalemu, participará el 25 %.
Luego, invite a los estudiantes a que analicen la página y comparen las representaciones con modelos de barras con los que ellos realizaron.
Consideraciones didácticas
En la situación de esta clase se debe encontrar la razón expresada en porcentaje entre las cantidades de participantes teniendo como referente la cantidad de estudiantes de cada colegio. La representación usando fracciones permite establecer relaciones entre algunos porcentajes básicos (50 %, 25 %, 10 %, 75 %) con fracciones. Esto permitirá, posteriormente, calcular algunos porcentajes recurriendo al operador fraccionario. Así, se recomienda que los estudiantes asocien estos porcentajes y sus operadores fraccionarios para calcular porcentajes de un número y no tengan que multiplicar por el decimal asociado, técnica que se estudiará en 7° básico.

P. 120

Propósitos
• Que los estudiantes calculen y expresen porcentajes básicos usando operadores fraccionarios y representaciones.
• Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran porcentajes básicos utilizando las fracciones.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Retome la actividad de la página anterior y destaque las siguientes ideas:
Para encontrar el 50 % de 200, se calcula su mitad, es decir, 200 : 2 = 100.
50 % de 200   de 200 = 100
Para encontrar el 25 % de 600, se calcula su cuarta parte, es decir, 600 : 4 = 150.
25 % de 600   de 600 = 150
Luego, pida a los estudiantes que realicen la Actividad 2, que consiste en representar el 10 % usando modelos de barras. Compruebe que todos utilicen y reconozcan que para encontrar el 10 % de un número, se debe calcular su décima parte.
(100 %)
(10 %)
Pregunte: ¿cuánto es el 10 % de 200? Se espera que calculen la décima parte de 200, es decir, 200 : 10 = 20. Se sugiere pedir a los estudiantes que realicen otros cálculos del mismo tipo y asegurarse que todos calculan el 10 % de un número dividiéndolo por 10. Para facilitar los cálculos, dé números que terminen en cero.
En la Actividad 3 se espera que los estudiantes también usen modelos de barras para representar las fracciones asociadas a los porcentajes. Así, en a), que deduzcan que calcular el 20 % de un número equivale a encontrar su quinta parte. Asimismo, pueden deducir que calcular el 20 % de un número equivale a calcular 2 veces el 10 %. Así, disponen de un nuevo porcentaje básico (20 %   )
En b) se espera que deduzcan que calcular el 75 % de un número equivale a encontrar 3 veces la cuarta parte de un número. Asimismo, pueden deducir que calcular el 75 % equivale a calcular 3 veces el 25 % del número.
Luego, solicite a los estudiantes que realicen los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones  didácticas
Notar que para calcular porcentajes básicos de un número, no se recomienda utilizar los decimales, ya que es más eficaz recurrir al operador.
25 % de 200   de 200 = 50
En cambio, para calcular porcentajes que no son básicos, por ejemplo, 23 %, se requerirá usar decimales.
23 % de 200  0,23 ∙ 200 = 46
Este tipo de cálculos no se estudian en este capítulo, pero se enfatizará en el estudio de porcentajes básicos cuyas relaciones entre los números favorezcan el cálculo mental.

Cuaderno de Actividades páginas 73 y 74 · Tomo 1
Ticket de salida página 120 · Tomo 1

P. 121

65 minutos

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con los porcentajes.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma las actividades, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias.
Incentivar el uso de modelos de barras para expresar la relación entre las cantidades cuando corresponda. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas,  monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En la Actividad 1 se espera que los estudiantes realicen los cálculos en forma mental y que los expliquen. En el caso del 1 % pueden pensar que es la décima parte del 10 %. Es decir, si el 10 % de 300 es 30, entonces el 1 % de 300 es 3 (la décima parte de 30).
En la Actividad 2 los estudiantes deben encontrar la relación entre las cantidades y expresarlas en porcentajes. Por ejemplo, en a) establece que 400 de 500 es 4 veces un quinto, es decir, 4 veces el 20 %.
En la Actividad 3 pida a sus estudiantes que resuelvan los problemas. En el primero, pueden calcular mentalmente 8 veces el 10 % de 240. En el segundo, pueden calcular 4 veces el 1 % de 300.
En la Actividad 4  solicite que expresen en porcentaje la relación entre la parte sombreada y la cantidad referente en cada caso. Permita que reconozcan que, en todos los casos, la parte sombreada es la misma, que lo que cambia es el referente, por tanto, los porcentajes serán distintos. En el primer caso, hay 3 partes sombreadas de 4, es decir, corresponde al 75 %. En el segundo caso, hay 3 partes sombreadas de 5, es decir, corresponde al 60 %. En el último caso, hay 3 partes sombreadas de 6, es decir, corresponde al 50 %.

Cuaderno de Actividades página 75 · Tomo 1
Tickets de salida página 121 · Tomo1

P. 122

40 minutos

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con los porcentajes.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los problemas, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Incentive el uso de modelos de barras para expresar la relación entre las cantidades. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo y verifique si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Problema 1, tiene un nivel de dificultad mayor que los estudiados en el capítulo. Se espera que los estudiantes calculen el 12 % de 14 000 y lo comparen con $1 700, que es el descuento que hay en la otra librería.
En el Problema 2, deben calcular porcentajes básicos de una cantidad, y para ello, se espera que lo hagan mentalmente. El 50 % de 240 es su mitad, es decir, 120. El 10 % de 240 es su décima parte, es decir, 24.
En el Problema 3 se espera que calculen mentalmente los porcentajes, y luego comparen los resultados para indicar el pantalón por el que se pagará menos dinero.
En el Problema 4 se pretende que los estudiantes estimen para evaluar la pertinencia del resultado de un cálculo de porcentaje. Para ello, calculan el 50 % de 3 400, es decir, 1 700, por tanto, el 49 % de 3 400 no puede ser 170.
En el Problema 5 se espera que los estudiantes estimen la relación entre dos cantidades encontrando el porcentaje. Es esperable que redondeen los números y así estimen la parte que es 2 mil del total. Pueden registrar sus razonamientos de la siguiente manera:
El 10 % de 40 mil  4 mil
El 5 % de 40 mil  2 mil
En el Problema 6, también presenta un nivel de complejidad mayor, ya que se pide encontrar la cantidad referente, es decir, la que corresponde al 100 %. Si los estudiantes reconocen que el 20 % equivale a calcular la quinta parte y representan la relación con modelos de barras, deducirán que deben calcular  5 · 180 para encontrar la capacidad del recinto.
20 %

Repaso 2

P. 123

Capítulos 6 - 9

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con multiplicación y división de decimales, razones, ángulos y porcentajes.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 9.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 7), resuelven un problema que involucra el cálculo de razones.
En la Pregunta 2 (Capítulo 6), resuelven un problema en que deben:
a) calcular una multiplicación entre un número decimal y 10.
b) calcular una multiplicación entre un número decimal y un número natural de 2 cifras.
En la Pregunta 3 (Capítulo 5), calculan multiplicaciones y divisiones entre números naturales y números decimales, utilizando diversas técnicas, como por ejemplo:
a)	extender sus conocimientos sobre las divisiones con números naturales y su relación con la multiplicación: si 2 · 17 es 34 y 34 : 17 = 2, entonces,  2 · 1,7 = 3,4 y 3,4 : 1,7 = 2.
b)	multiplicar como si fueran número naturales y luego, ubicar la coma en la misma posición que está en el factor decimal.
c)	dividir como si fueran número naturales y luego, en el cociente ubicar la coma en la misma posición que está en el dividendo. También pueden calcular la mitad de 2 y la mitad de 0,4 y luego sumar ambos cocientes.
d)	desplazar el patrón numérico dos posiciones hacia la izquierda.
e)	extender sus conocimientos sobre las divisiones con números naturales y su relación con la multiplicación: si 4 · 22 es 88 y 88 : 22 = 4, entonces,  4 · 2,2 = 8,8 y 8,8 : 2,2 = 4.
En la Pregunta 4 (Capítulo 8), determinan la  medida de:
• un ángulo exterior de un triángulo.
• un ángulo exterior de un triángulo.
• un ángulo interior de un paralelogramo.
En la Pregunta 5 (Capítulo 9), resuelven un problema que involucra el cálculo de porcentaje de una cantidad.
En la Pregunta 6 (Capítulo 9), calculan el porcentaje de un número múltiplo de 10 y de 100.

Capítulo 10

Aventura Matemática

2 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se abordan problemas y actividades no rutinarias que integran distintos aprendizajes y habilidades matemáticas estudiadas durante el primer semestre y en años anteriores. Los contextos favorecen la articulación del estudio con otras asignaturas y se espera que ayuden a tomar conciencia de problemáticas medioambientales que nos afectan.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA3: Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, en forma manual y/o usando software educativo.
OA4: Demostrar que comprenden el concepto de porcentaje de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.
Temas matemáticos involucrados
Actividad 1. ¿Qué animal tiene el cerebro más pesado?
1. Comparar números decimales hasta la milésima.
2. Comprender la magnitud masa expresada  en kilos.
3. Comparar números naturales de hasta 6 cifras.
4. Expresar la razón como una comparación por cociente.
5. Expresar la razón como un porcentaje.
6. Construir y analizar información presentada en tablas.
Actividad 2. ¿Cuánta agua falta?
1. Comparar números decimales hasta la décima.
2. Comprender la magnitud volumen.
3. Reconocer el sentido de la cantidad milímetros como una unidad de medida.
4. Restar números decimales.
5. Construir y analizar información presentada en tablas y gráficos de barras dobles.

P. 125

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1 invitándolos a recordar la actividad de comparación de los pesos de animales realizada en el Capítulo 3. Para ello, se sugiere realizar algunas preguntas: ¿cuál animal tiene el cerebro más pesado? ¿Cuál animal tiene el cerebro menos pesado? ¿Qué tan pesado es el cerebro del ser humano? ¿En cuál unidad de medida se expresa el peso de los cerebros de los animales? ¿Cómo se interpreta que el cerebro del gato pese 0,03 kg?
Luego, pregunte: además del peso de los cerebros, ¿qué otra información tenemos ahora? (Los pesos de cada animal) ¿Nos puede ayudar esta nueva información a comparar los pesos de los cerebros de los animales? Se espera que los estudiantes indiquen, con sus palabras, que pueden hacer dos tipos de comparaciones:
1. Comparar el peso de los cerebros.
2. Comparar el peso de los cerebros teniendo como referente el peso de cada animal.
Es decir, en el primer caso (Actividad del Capítulo 3) comparábamos medidas absolutas, en cambio, ahora comparamos medidas relativas. (Noción de razón estudiada en el Capítulo 7).
Para comprender la idea de peso relativo de los cerebros, pida que comparen el peso del cerebro humano con el de la ballena. Se espera que indiquen que el peso es similar, pero que la relación entre el peso del cerebro de la ballena y su cuerpo es considerablemente menor a la del ser humano.
Pregunte: ¿qué podemos hacer para comparar los pesos de los cerebros en relación con los pesos de los animales?
Proponga que realicen una tabla para escribir las razones y/o porcentajes de los pesos de los cerebros de cada animal. Para ello, permítales que usen la calculadora. Luego, realice una puesta en común para que expongan sus tablas, analicen la información y concluyan cuál animal tiene el cerebro más pesado en relación con su peso.
Nombre | Peso cerebro (kg) | Peso aninal (kg) | Razón | Porcentaje
Ser humano | 1,4 | 80 | 0,017500 | 1,750
Gato | 0,03 | 5 | 0,006000 | 0,600
Delfín | 1,5 | 300 | 0,005000 | 0,500
Elefante | 4,7 | 4 000 | 0,001175 | 0,118
Jirafa | 0,68 | 1 400 | 0,000486 | 0,049
Hipopótamo | 0,582 | 1 200 | 0,000485 | 0,049
Cocodrilo | 0,008 | 500 | 0,000016 | 0,002
Ballena | 1,7 | 170 000 | 0,000010 | 0,001
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para analizar posibles consecuencias que puede tener el hecho de que el cerebro del ser humano es el que pesa más que el de otro animal teniendo como referencia su propio peso.

Capítulo 10    Aventura Matemática

P. 126

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Calculadora.
Gestión
Presente la Actividad 2 invitando a un estudiante a que lea la información que señala la profesora en el texto. Genere una conversación para que los estudiantes comuniquen sus impresiones acerca de la escasez de agua en Chile y en el planeta. Pregunte: ¿en qué otros hechos se manifiesta la escasez de agua en Chile? ¿En qué les ha afectado en su diario vivir la escasez de agua? ¿Qué pasaría si no tuviéramos agua en nuestras casas?
Dé un tiempo para que analicen la información presentada en la tabla, y luego realice algunas preguntas para asegurar que los estudiantes comprendan la información presentada. Por ejemplo: ¿qué significa la expresión “A la fecha”? ¿Qué significa la expresión “Normal a la fecha”? ¿Por qué se mide la cantidad de agua en milímetros? ¿Cómo se imaginan que se logra medir esa cantidad de agua?
Luego aborde cada una de las preguntas planteadas en el texto.
En la Pregunta 1 se solicita encontrar, para cada ciudad, la diferencia entre el agua caída a la fecha y el agua caída en un año normal a la fecha. Para comprender el significado de esa diferencia, pregunte: ¿cómo ha sido la situación en Calama? (A la fecha, ha llovido más que en un año normal, ya que han caído 16,9 mm, que es más que los 5,9 mm de un año normal) ¿Cómo ha sido la situación en Santiago? (A la fecha, ha llovido menos que en un año normal, ya que han caído 187,7 mm, que es menos que 332,8 mm).                                                                                               Así, en Calama ha habido un aumento en la cantidad de agua caída a la fecha, sin embargo, en Santiago ha habido una disminución.
Plantee las Preguntas 2 y 3 y oriéntelos para que reconozcan la necesidad de añadir otra columna a la tabla para completar las diferencias. Para ello, permítales que usen la calculadora. Luego, haga una puesta en común para verificar las diferencias y para compartir las maneras en que han registrado cuando son a favor o en contra. Es posible que propongan usar el signo “–” para la diferencia en contra y el signo “+” para la diferencia a favor.
Luego, pídales que respondan las preguntas 2 y 3. Se pueden incorporar otras preguntas, por ejemplo: ¿cuál es la ciudad que tiene la mayor disminución de lluvias a la fecha? ¿Y la ciudad que tiene mayor aumento de lluvias a la fecha? ¿Cómo ha sido el comportamiento de las lluvias en la zona norte y en la zona sur del país?
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para discutir acerca de la importancia del agua y cómo podemos ayudar a cuidarla.

Cuaderno de Actividades
y sus respuestas

100 000 - (42 670 + 56 650)

Les sobra $680.

(250 000 - 219 990) +15 000

Ahora tengo $45 010.

20 000 - (12 300 + 3 600)

Le faltan 4 100 seguidores para alcanzar los 20 000.

35 800

5 800

800

11 500

3 000

1 100

1 900

13 500 + (13 500 + 3 300)

Entre los dos tienen $30 300.

20 000 - (12 350 - 3 450)

A José le faltan 11 100 m.

5 500 + (5 500 + 4 200)

Aníbal gastó en total $15 200.

22 370

4 200

Un curso juntó 6 000 puntos para las

alianzas y ocho curso juntaron 7 000

puntos cada uno. ¿Cuántos puntos

reunimos en total?

Mis 3 amigos y yo reunimos $1 800 ,

al repartirnos lo reunido, ¿cuánto nos

falta a cada uno para reunir para la

entrada al cine de $3 500?

Compré 8 poleras de $4 000 cada una;

al pasar por caja, 5 de ellas tenían un

descuento de $2 000.

¿Cuánto pagué en total?

4 395

3 970

828

88

80 · (60 + 45)

Hay 8 400 rosas en total.

250 - (3 · 75).

Quedaron 25 cm

40 000 - (3 · 4 990 + 2 · 8 990)

Nos dieron de vuelto $7 050.

45 · (45 + 25).

Hay 3 150 en total.

78 250

41 527 750

103 500

60 000

3 500

17 000

10 000 – (5 990 + 2 · 1 090)

Me dieron de vuelto $1 830.

20 000 - 2 · 8 990

Me dieron de vuelto $2 020.

Un balón de básquetbol cuesta $6 000

y uno de yoga $3 000, si necesito

comprar 7 de cada uno, ¿Cuánto

dinero tengo que tener?

3 · 8 990 + 2 · 8 990

En total pagué $44 950.

Los estudiantes del 6° A y el 6° B tienen

$20 000 para adornar con plantas las salas.

Al llegar al vivero y hacer las compras solo

gastaron $6 500, por lo que decidieron repartir

lo que quedó en los 50 estudiantes.

¿Cuánto recibió cada uno?

(355 + 380) : 5

Se formarán 147 grupos.

(13 400 + 22 200) - 30 000

Asistieron 5 600 más de los esperados.

(13 400 + 22 200) : 5

Eran 7 120 participantes en cada una.

3 · (13 400 + 22 200)

21 360 botellas de agua

5 600

680

992

4 000

51 800

248 000

24, 48, 72, 96.

40, 80, 120, 160.

30, 60, 90, 120.

28, 56, 84, 112.

18, 36, 54, 72.

Son 25 múltiplos.

Son 20 múltiplos.

Múltiplos comunes de 4 y 5.

Se llama mínimo común múltiplo.

3, 6, 9, 12, 15.

5, 10, 15, 20, 25

10, 20, 30, 40, 50

La altura es 28 cm.

Es múltiplo de 1, 2, 4, 7, 14 y 28.

14

13

1, 2, 4.

1, 3, 5, 15.

1, 3, 9.

1, 2, 4, 8.

1, 2, 4, 5, 10, 20.

1, 5, 7, 35.

Se pueden repartir entre 3 o 9 niños.

1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 6 cm,  8 cm, 12 cm, 24 cm.

1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm, 16 cm.

1, 13.

1, 2, 3, 6, 9, 18.

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Puede hacer 41 paquetes con 1 lápiz o 1 paquete con 41 lápices. Porque 41 es un número primo, entonces solo tiene 2 divisores, 1 y 41.

Puede hacerlo de 8 maneras diferentes: 1 paquete con 40 lápices, 2 paquetes con 20 lápices, 4 paquetes con 10 lápices, 5 paquetes con 8 lápices, 8 paquetes con 5 lápices, 10 paquetes con 4 lápices, 20 paquetes con 2 lápices, 40 paquetes con 1 lápiz. La cantidad de maneras varió porque 40 es un número compuesto.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

37, 41, 43, 47.

Pueden dividir cada número por distintos números.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

4 rectángulos distintos.

divisores

múltiplo

Números impares.

Tiene 16 fechas impares.

Números pares.

Identificar la cantidad de fechas impares

hasta el 10 y multiplicarla por 3,

y agregar una.

Fijarse en el dígito que ocupa el lugar

de las unidades.

1, 2, 5, 10, 25, 50.

2, 10, 50.

1, 3, 11, 33.

10, 20, 30, 40.

5, 15, 25, 35.

6, 12, 18, 24.

8, 16, 24, 32.

12

16

20

42

24

90

48

99

2, 3, 5, 7, 11.

97

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Ya estaban borrados, porque son múltiplos de 2.

A, B o C

A, B, D, E o F.

A o E.

40

10, 20, 30.

12, 24, 36.

18, 36, 54.

40, 80, 120.

45, 90, 135.

08:00, 08:09, 08:18, 08:27, 08:36, 08:45, 08:54.

08:00, 08:15, 08:30, 08:45, 09:00

2 veces, a las 8:00 y a las 8:45.

15, 30, 45, 60.

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

41, 82, 123, 164.

1, 41.

1, 2, 7, 14.

1, 2, 13, 26.

1, 2, 3, 4, 6, 12.

1, 2.

1,15 – 0,47

La diferencia es de 0,68 kg.

1,15 – 0,75

Debe disminuir 0,4 kg.

4,25

0,45

2,75

1,111

0,92

26,866

8,399

2,566

3,1

1,11

9,1

0,9

20,005

5,001

28,016

17,05

5,75

5,055

0,254

3,3

39

39,87

1,8

5,007

30

15,75

374,45

10,062

1,17 – 0,084

La tortuga se desplaza 1,086 m más que el caracol en un minuto.

Los metros que recorre el caracol en 10 minutos.

9 – 0,75 = 8,25
0,098 + 5,5 + 0,002 = 5,6
10 – 0,25 + 0,75 = 10,5

6,1 – 3,999 = 2,101
75,089 + 1,94 = 77,029
6,97 + 5,55 = 12,52

(2,285 + 2,75) – 2,25

Quedó con 2,785 L.

2,855 + (2,855 + 1,125)

Pesan 6,835 kg.

45 – 27,5 + 18,458

Ahora tiene 35,958 L.

2, 5 0 9

7, 8 3 0

0, 9 7 4

2, 8 6 9

1 1, 0 7

7, 4 1 0

3, 0 2 3

5 0, 3 5 2

1 5, 9 1 7

5, 0 4 2

0, 3 0 9

9, 7 8

25º

15º

100º

105º

55º

80º

120º

170º

245º

310º

200º

44º

84º

36º

82º

144º

50º

65º

86º

γ

180º

β o δ

suplementarios

47º

255º

20
10

18
10

10
5

1
10

3
10

1,7

2,8

2,6

1,3

13
10

1,2

6
5

2,2

1,9

0,4

0,6

4
10

9
10

10
10

110º

70º

SÍ

NO

140º

40º

2
7

2
9

1 + 2

Hay 4 L de jugo en total.

5
7

4
7

9
2

9
4

4,5

5,25

19
10

1,5

8
3

31
6

2 – 1

En la segunda botella hay más litros de jugo.
Hay 1 L más.

4
9

8
9

= 4
149
35
9
35

= 3
47
15
2
15

2 + 3
3
8

Hay 5 kg de harina en total.

1 +

Hay 2 km en una vuelta.

= 1
65
42
23
42

52
45
7
45

15
14
1
14

= 2
53
24
5
24

19
12
7
12

31
10

103
24
7
24

7
9

4
15

5
11

7
3

14 paquetes

7 paquetes

3 paquetes de 1 kg y 1 paquete de 12 kg.

23
15
8
15

7
2

2 = 1

La primera cinta es más larga.
Es 1 m más larga.
3
20

1 =

Me quedan  L.
13
15

29
30

100
63
37
63

3 · 2,3

En total hay 6,9 L.

5 · 1,3

Hay 6,5 L de jugo en total.

17

51

5,1

0,1

4
3

11
4

1 + 1

3 km

En la mañana corrió  km más.

3,2

2,3

3
2

9
8

103
30
13
30

= 8
197
24

4,8 : 3

En cada botella alcanzan 1,6 L.

5,4 : 9

Cada una tendrá 0,6 L.

36

6,4

8,82

8,28

4 · 1,75

En total compró 7 kg de arroz

2,7 · 8

El área de la cancha es 21,6 m.

13,5

7,2

14,8

45

27

16,8

3,8

12,9

24,5

3,5

0,67

0,58

1,26

1,25

2,15

0,75

0,7

2,7

1,6

8,2

9,425

24,65

8,55

37,8

12,5 : 5

Cada trozo mide 2,5 m.

4 · 0,35

En total hay 1,4 L.

12,5 : 3

Se obtienen 4 trozos.
Sobran 0,5 m.

6 · 0,25

En total hay 1,5 L de leche.

3 · 3,2

Tres metros de cable
pesan 9,6 m.

A cada uno le
corresponden 1,6 L.

1,533

1,675

1,328

0,487

0,433

7,442

15,7

8,8

6 · 2,8 = 16,8

2,48

5 · 2,48 = 12,4.

7 · 3,5 = 24,5.

8,95

4 · 8,95 = 35,8

9,3

3 · 9,3 = 27,9.

65,2 · 43

El área del terreno es 2 803,6 m2.

23,5 : 4

Se pueden cortar 5 trozos.
Sobran 3,5 m.

95,2 : 7

Recorre 13,6 km con 1 L de gasolina.

7,15

5,68

2,4

2,05

7,1

5,2

75

25

7,5

0,39

156

El ancho mide 0,87 m.

2 · 0,87

Su área es 1,74 m2.

44,8

17,4

1,08

1,52

0,82

5,4

1,4

2, 1 y 3

1, 3 y 2

2, 3 y 1

3, 2 y 1

✔

2 400 clavos en una hora.

14 400 clavos en 6 horas

40 clavos en un minuto.

30 clavos en un minuto.

1 800 clavos en una hora.

480 clavos.

8 100 clavos en 4,5 horas.

2 hrs y 30 minutos.

La segunda oferta tiene el cuaderno más caro.

El primer tipo de tierra de hoja es más barato.

La segunda bomba es más eficiente.

Se pueden pintar 13,8 m2 con 1 L de pintura.

Se pueden pintar 207 m2 con 15 L de pintura.

75 g

55 g

80 g

0,4 kg

50 g

La razón de postulantes es 24 : 15 = 1,6.

La razón de los que necesitaban es  15 : 24 = 0,625

20 : 25 = 0,8.

La razón de pelotas rojas es  20 : 25 = 0,8

La razón del hermano mayor es  20 000 : 8 000 = 2,5.

La razón del hermano menor es  8 000 : 20 000 = 0,4.

25 : 20 = 1,25.

La razón de pelotas azules es 25 : 20 = 1,25.

La razón de la cinta azul es 20 : 50 = 0,4.

La razón de la cinta roja es 50 : 20 = 2,5.

La razón de aciertos es 6 : 24 = 0,25.

J11 46 : 50 = 0,92. J12 54 : 60 = 0,9.
I17 51 : 60 = 0,85.

El bus en que hay más aglomeración es J11.

El bus en el que hay menos aglomeración es I17.

La razón de los lápices azules es 32 : 8 = 4.

La razón de los lápices rojos es 8 : 32 = 0,25.

La razón de los números ganadores es 3 : 15 = 0,2.

La razón de las victorias es  9 : 12 = 0,75.

30 : 60

5 : 8.

600 m2

12 horas.

60 : 20

30 : 40.

500 : 600

Se necesitan 100 g de arroz y  120 mL de agua.

Verde

Rojo

Azul

Morado

250 g pesan 1 m de cable

Un lápiz vale $140.

4 000 g pesan 16 m de cable

$1 680

24 metros pesan 6 000 g

500 hallullas en una hora.

120 litros en un minuto.

3 750 hallullas en 7 horas  30 minutos.

1 800 litros en 15 minutos

2 horas con 45 minutos

Lado AB, lado AC y lado BC.

Triángulo , porque no es equilátero (no tiene todos sus lados y ángulos de la misma medida).

Ambos triángulos son escalenos (todos sus lados y ángulos son de distintas medidas).

Son congruentes (tienen la  misma medida).

6 cm

3 cm

4 cm

No se puede construir. Los lados pequeños no se intersectan.

2,5 cm

5 cm

= 90°

α = 110°

No se puede construir. Al trazar los ángulos, esos lados no se intersectan.

35º

125º

20º

α = 50º + 45º = 95º

β = 180º – 95º = 85º

La suma de los 3 ángulos, en los 3 triángulos es 180º.

150º

130º

720º

360º

22º

ADC

DCB

25º y 118º

61º y 61º

98º y 82º

56º y 56º

No

128º y 54º no son suplementarios.

δ

γ y ε

R

120%

95%

60%

En el autobús de las 9 a. m.

65%

90%

10,7%

0,07

1,05

Con reflexión o puede ser mezclado con rotación.

Se juntan 4 ángulos y suman 360º.

Porque se juntan 3 ángulos y su suma es de 324º y debería ser de 360º.

Si, porque se juntan 3 ángulos y su suma es de 360º.

Dejó espacios entre figuras.

Están superpuestas las figuras.

100%

75%

20%

40%

25%

70%

30%

5%

15%

En total se vendieron 160 poleras.

Al 70%.

200 estudiantes están inscritos en teatro.

80 estudiantes llegaron tarde hoy.

Entonces 8 veces 80 es 640; hay 640 estudiantes que quisieron ir al cine en lugar del zoológico.

Entonces 3 veces 200 es 600; participarán del festival 600 estudiantes.

4%

12 rojos, 8 azules, 10 verdes y 10 blancos.

125%

El monto de descuento es $2 000

Si, es mayor.

Calcular el 10%, y el resultado por 4.

32

92

2 134

100

990

72

63

Entonces 3 veces 6 es 18; hay 18 estudiantes que compraron almuerzo en el casino.

Entonces 3 veces 50 es 150; hay 150 animales que fueron desparasitados.

Anexos

Anexo 1: Evaluaciones

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) incluye 4 evaluaciones que esperan complementar y apoyar sus decisiones en el proceso evaluativo.
• Evaluación 1: evaluación inicial, dirigida a identificar los aprendizajes previos requeridos para abordar los temas del tomo 1.
• Evaluación 2: evaluación intermedia, considera los contenidos estudiados en la Unidad 1.
• Evaluación 3: evaluación final, considera los contenidos abordados en la Unidad 2.
• Evaluación adicional: evaluación extra, aborda todos los contenidos vistos en el tomo 1.
Cada evaluación está acompañada de una tabla de especificaciones que indica el capítulo, el Objetivo de Aprendizaje y el tipo de ítem relacionado a cada pregunta. Además, cada instrumento cuenta con una rúbrica para su revisión.

Evaluación 1

Tabla de especificaciones Evaluación 1

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA2 | Capítulo 1: Operatoria combinada | Ejercicios | 2 | 1
OA2 | Capítulo 1: Operatoria combinada | V o F | 4 | 2
OA6 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Extensa | 1 | 3
OA1 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Ejercicios | 3 | 4
OA1 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Ejercicios | 3 | 5
OA7 | Capítulo 3: Suma y resta de decimales | Ordenamiento | 5 | 6
OA5 | Capítulo 5: Fracciones y números mixtos | Respuesta breve | 4 | 7
OA20 | Capítulo 4: Ángulos | Completar | 2 | 8

Tabla de especificaciones    Evaluación 1

Rúbrica Evaluación 1

1. 	a) 190
b) 85
2. 	a)  V
b) F
c) V
d) F
3.
4.  	a) 2 736
b) 545
c) 3 200
5.  	a) 321
b) 140
c) 240, resto 1.
6.	0,006 < 0,06 < 0,166 < 0,6 < 1
7.  	a) 2
b)
c) 0,2
d)
8.	 BOA mide 130º y  DEF mide 50º.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (4 y 128) e identifica que debe dividir. Divide 128 en 4 de forma adecuada aplicando el algoritmo u otra estrategia. Escribe como respuesta que alcanzó para 32 estudiantes (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (4 y 128) e identifica que debe dividirlos. Divide 128 en 4 pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Evaluación 2

Tabla de especificaciones Evaluación 2

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA2 | Capítulo 1: Operatoria combinada | Respuesta extensa | 1 | 1
OA1 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Respuesta breve | 4 | 2
OA1 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Respuesta extensa | 1 | 3
OA7 | Capítulo 3: Suma y resta de decimales | Respuesta breve | 2 | 4
OA16 | Capítulo 4: Ángulos | Respuesta breve | 3 | 5
OA17 | Capítulo 4: Ángulos | Respuesta breve | 1 | 6
OA8 | Capítulo 5: Fracciones y números mixtos | Respuesta extensa | 2 | 7

Rúbrica Evaluación 2

1.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (6, 4, 150 g y 250 g). Identifica que debe multiplicar la cantidad de gramos por la cantidad de bolsas y luego sumar. Realiza los cálculos de forma adecuada. Escribe como respuesta que hay 1 900 gramos de pasas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica las operaciones. Realiza las operaciones, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica las operaciones. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

2.  	a) 6, 12, 18, y en general cualquier número que sea producto de 6 por un número natural.
b) 24, 48, y en general, cualquier número que sea producto de 24 por un número natural.
c) 1, 2, 3, 6, 7, 14, 24 y 42.
d) 5
3.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (15 y 20). Identifica que debe obtener el máximo común divisor (nombrándolo explícitamente o buscando divisores comunes e identificando el máximo). Realiza los cálculos de forma adecuada. Escribe como respuesta que alcanza para 5 familias (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe obtener el máximo común divisor. Realiza las operaciones, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o llega al resultado correcto por ensayo y error.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe obtener el máximo común divisor. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni que debe obtener el máximo común divisor.

4.  	a) 76,644
b) 79,955
5.  	β = 130º
Υ = 50º
δ = 130º

6.  	El  AOC mide 75º.
7.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (9 y ) e identifica que debe multiplicar. Realiza adecuadamente la multiplicación, empleando el algoritmo u otra estrategia. Escribe como respuesta que las 9 bolsas juntas pesan  2  kg y 2,25 kg (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (9 y ) e identifica que debe multiplicar. Realiza la multiplicación, empleando el algoritmo u otra estrategia, pero comete errores de cálculo y uno de los dos resultados son incorrectos.
Incipiente | Identifica los datos (9 y ) e identifica que debe multiplicar. Realiza la multiplicación, empleando el algoritmo u otra estrategia, pero comete errores de cálculo y ambos resultados son incorrectos.
No logrado | No identifica los datos ni la operación. Los resultados son incorrectos.

Rúbrica    Evaluación 2

Evaluación 3

Tabla de especificaciones Evaluación 3

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA7 | Capítulo 6: Multiplicación y división de números decimales 1 | Ejercicios | 4 | 1
OA7 | Capítulo 6: Multiplicación y división de números decimales 1 | Respuesta extensa | 1 | 2
OA3 | Capítulo 7: Razones | Completar | 2 | 3
OA18 | Capítulo 8: Ángulos en triángulos y cuadriláteros | Respuesta breve | 2 | 4
OA21 | Capítulo 8: Ángulos en triángulos y cuadriláteros | Respuesta breve | 2 | 5
OA4 | Capítulo 9: Porcentaje | Respuesta extensa | 1 | 6
OA4 | Capítulo 9: Porcentaje | Respuesta breve | 4 | 7

Tabla de especificaciones    Evaluación 3

Rúbrica Evaluación 3

1. 	a) 27,2
b) 2,5
c) 0,12
d) 1,14
2.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (6 y 1,2 kg) e identifica que debe multiplicar. Multiplica adecuadamente aplicando el algoritmo u otra estrategia multiplicativa. Escribe como respuesta que se tienen  7,2 kg de arroz (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe multiplicar. Los multiplica aplicando el algoritmo u otra estrategia multiplicativa, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe multiplicar. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

3.  	a) 6 : 24 = 0,25
b) 18 : 24 = 0,75
4. 	30º y 100º.
5. 	α = 71º
β = 50º
6.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (50% y 240 páginas) e identifica que debe calcular el porcentaje. Calcula asociando el 50% a la mitad. Escribe como respuesta que Natalia ha leído 120 páginas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe calcular el porcentaje. Calcula asociando el 50% a la mitad, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe obtener el porcentaje. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

7.  	a) 25%
b) 25%
c) 50%
d) 50%

Evaluación adicional

Escribe lo que se pide en cada caso:

a)	3 múltiplos de 8:
b)	2 múltiplos comunes entre 6 y 4:
c)	Todos los divisores de 40:
d)	El máximo común divisor entre 32 y 48:

Se necesitan trozos de 3 m de cinta para poner en unos cojines. Si se tienen 16,5 m de cinta, ¿cuántos trozos se obtienen?, ¿cuántos metros de cinta sobran?

Escribe el número solicitado en cada caso:

a)	Expresa  como número mixto.
b)	Expresa  como fracción impropia.
c)	Expresa  como número decimal.
5
100
d)	Expresa 0,75 como fracción.

Se tienen 3 ½ kg de sal. Se quieren envasar en bolsas de ½ kg cada una. ¿Cuántas bolsas se necesitan para envasar toda la sal?

Una fotocopiadora A saca 150 hojas en 2 minutos. Otra fotocopiadora B saca 380 hojas en 5 minutos.
Responde V si la afirmación es verdadera y F si es falsa.

a)	     La fotocopiadora A es más rápida.
b)	     La fotocopiadora A puede sacar 1 050 hojas en 7 minutos.
c)	     La fotocopiadora B puede sacar 760 hojas en 10 minutos.
d)	     En 10 minutos la fotocopiadora B saca 10 hojas más que la fotocopiadora A.

En la figura L // M y el ángulo α mide 65°. Indica la medida de los otros ángulos.

L

M

Υ

ε

β =    γ =    δ =    ε =

Calcula la medida del ángulo indicado y escríbela en el recuadro.

110°

75°

85°

Tabla de especificaciones Evaluación adicional

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA1 | Capítulo 2: Múltiplos y divisores | Respuesta breve | 4 | 1
OA7 | Capítulo 6: Multiplicación y división de decimales 1 | Respuesta extensa | 1 | 2
OA6 | Capítulo 5: Fracciones y números mixtos | Respuesta breve | 4 | 3
OA8 | Capítulo 5: Fracciones y números mixtos | Respuesta extensa | 1 | 4
OA3 | Capítulo 7: Razones | V o F | 4 | 5
OA16 | Capítulo 4: Ángulos | Respuesta breve | 3 | 6
OA17 | Capítulo 5: Ángulos en triángulos y cuadriláteros | Respuesta breve | 1 | 7

Rúbrica Evaluación adicional

1.  	a)	Puede ser 0, 8, 16, 32, 40, 48, etc. En general, cualquier número que se obtenga multiplicando 8 por un  	número natural.
b) Puede ser 12, 24, 36, etc. En general, cualquier número que se obtenga multiplicando 12 por un número natural.
c) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.
d) 16
2.
3.  	a) 4
b)
c) 0,05
d)
4.
5.  	a) F
b) F
c) V
d) V
6.  	β = 115º
γ = 115º
δ = 65º
ε = 115º
7.  	60º

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (16,5 m y 3 m) e identifica que debe dividir. Realiza adecuadamente la división, empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia. Escribe como respuesta que se obtienen 5 trozos de cinta y sobra 1,5 metros (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (16,5 m y 3 m) e identifica que debe dividir, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es parcialmente correcto, no identificando el resto.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (3 ½ kg y ½ kg) e identifica que debe dividir. Realiza adecuadamente la división, transformando de número mixto a fracción impropia y luego dividiendo 7/2 por ½ o sumando ½ tantas veces como sea necesario para obtener 3 ½. Escribe como respuesta que se necesitan 7 bolsas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos e identifica que debe dividir o sumar tantas veces como sea necesario para obtener 3 ½, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o escribe el resultado correcto, pero no lo interpreta como la respuesta.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Rúbrica    Evaluación adicional

Anexo 2: Tickets de salida  y sus respuestas

Ticket de salida

Tickets de salida

Solucionario Tickets de salida

Ticket de salida página 9
12 400
Ticket de salida página 10
40 000
Ticket de salida página 11
4 200
Ticket de salida página 13
790
Ticket de salida página 14
25 000 – (4 · 4 900 + 1 100) = 4 300
Le quedan $4 300.
Ticket de salida página 15
(3 · 50 + 2 · 100) : 7 = 50
Cada arreglo tendrá 50 rosas
Ticket de salida página 17
Ticket de salida página 18
7, 21, 35.
Ticket de salida página 19
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
Ticket de salida página 21
12, 24, 36, 48, 60.
Ticket de salida página 22
24
Ticket de salida página 25
1, 2, 3, 6.
Ticket de salida página 25
6
Ticket de salida página 26
Entre 2 y 4.
Ticket de salida página 28
Primos: 3, 11, 23.
Compuestos: 12, 27, 48.
Pares: 22, 34, 56.
Impares: 33, 47, 79.
Ticket de salida página 30
1, 2, 4, 8; 8
Ticket de salida página 32
10 o 30.
Ticket de salida página 35
1. 5,1
2. 5,01
Ticket de salida página 35
1. 95
2. 13
Ticket de salida página 36
1. 2,9
2. 2
Ticket de salida página 36
1. 5,001
2. 2,002
Ticket de salida página 37
1. 80,243
2. 6,314
Ticket de salida página 37
0,013 k.
Ticket de salida página 40
Ticket de salida página 42
α mide 120° y β mide 120°.
Ticket de salida página 43
Mide 100°.
Ticket de salida página 45
145°
Ticket de salida página 46
270°
Ticket de salida página 47
330°
Ticket de salida página 51
β = 130°, = 50°, = 130°.
Ticket de salida página 52
DOF y  AOB.
Ticket de salida página 58
; 3; 3,5.
Ticket de salida página 58
Ticket de salida página 60
1. 1 = 1
2
8
2. 3
Ticket de salida página 60
1. 3
2. 3
Ticket de salida página 61
1. 2
2. 6
14
15
Ticket de salida página 63
1.  =
4
12
2. 1 = 1
4
6
Ticket de salida página 65
1. 2 = 2
2.
Ticket de salida página 66
1.
2. 1
Ticket de salida página 66
6 kg.
Ticket de salida página 67
2 L.
Ticket de salida página 71
11,5
23
115
Ticket de salida página 73
34
Ticket de salida página 74
0,42
Ticket de salida página 76
68
Ticket de salida página 78
17,1
Ticket de salida página 78
2 trozos y sobran 1,6 m.
Ticket de salida página 80
51,2
Ticket de salida página 80
57,2
Ticket de salida página 81
22 trozos y sobran 0,3 m.
Ticket de salida página 82
7,5 L
1,5 L
Ticket de salida página 83
Es la posición dada por la suma de la cantidad de cifras decimales de ambos factores.
Ticket de salida página 84
La coma del resultado y del resto se ponen en el mismo lugar que la coma del dividendo.
Ticket de salida página 87
En el caso 2.
Ticket de salida página 87
En el caso 1.
Ticket de salida página 88
En el caso 1.
Ticket de salida página 88
En el caso 1.
Ticket de salida página 91
4 : 5
Ticket de salida página 91
6 : 10
Ticket de salida página 92
7 : 10
Ticket de salida página 92
10 : 10
Ticket de salida página 93
12 : 18
Ticket de salida página 93
18 : 12
Ticket de salida página 96
2 : 3
Ticket de salida página 96
2 : 5
Ticket de salida página 100
Ticket de salida página 102
Tienen un ángulo recto.
Ticket de salida página 105
50°
Ticket de salida página 109
40°
Ticket de salida página 110
α mide 75° y β mide 105°.
Ticket de salida página 111
GFE mide 50° y  HGI mide 70°.
Ticket de salida página 112
Traslación.
Ticket de salida página 113
Reflexión.
Ticket de salida página 117
90%
Ticket de salida página 117
0,45
Ticket de salida página 118
20%
Ticket de salida página 120
20
Ticket de salida página 120
90
Ticket de salida página 121
40%
Ticket de salida página 121
25%

Anexo 3:
Material didáctico recortable

Anexo 3    Material didáctico recortable

Bibliografía

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Webgrafía

www.curriculumenlinea.cl
www.smconecta.cl/refip/