Sumo Primero

Guía Didáctica del Docente

TOMO 1

5°
básico

Amigos que aprenden juntos

Sofía

Matías

Ema

Juan

Sami

Gaspar

Simbología

En esta Guía Didáctica del Docente, encontrarán orientaciones de uso para los recursos del Plan Sumo Primero. Los planes de clases detallan la implementación articulada del Texto del Estudiante con los demás recursos, Cuaderno de Actividades; Tickets de salida; Evaluaciones y Material recortable.

Exploremos:

Puntos importantes

Explora tu entorno

Cuaderno de Actividades

Practica

Manos a la obra

Ejercita

Profundiza

Focaliza tus ideas

Completa en tu  Cuaderno de Actividades

Ticket de Salida

Autor
Masami Isoda, Universidad de Tsukuba, Japón.
Editorial Gakko Tosho Co, LTD.
Traducción y Adaptación
Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación.
Laboratorio de Educación del Centro de Modelamiento Matemático (CMMedu)
Universidad de Chile.
Proyecto Basal AFB170001.

Guía Didáctica del Docente Tomo 1
ISBN 978-956-292-840-3
Primera Edición
Diciembre 2020
Impreso en Chile
5 820 ejemplares

En este texto se utilizan de manera inclusiva los términos como
“los estudiantes”, “los niños”, “los padres”, “los hijos”, “los apoderados”,
“los profesores” y otros que refieren a hombres y mujeres.

¡Bienvenidos!

Presentación del Texto del Estudiante	 4
Fundamentación didáctica	 6
Objetivos de Aprendizaje 	7
Planificación Anual 	8
Planificación Semestral	9
Planificación Detallada	10
Planes de clases 	13
Cuaderno de Actividades y sus respuestas 	 175
Anexos 	 218
Anexo 1: Evaluaciones 	 219
Anexo 2: Tickets de salida y sus respuestas 	 229
Anexo 3: Material didáctico recortable	 252
Bibliografía y webgrafía 	 256

Esta Guía Didáctica del Docente es reutilizable, por lo que te recordamos no rayarla.

Índice

Presentación del Texto del Estudiante
Características y propósitos
El Texto del Estudiante Sumo Primero de quinto básico busca contribuir a la formación matemática de los estudiantes a través de secuencias didácticas bien articuladas y orientadas al enfoque de enseñanza basado en resolución de problemas.
El texto tiene como propósitos:
1. Promover el desarrollo de habilidades superiores.
2. Desarrollar el pensamiento matemático.
3. Promover la comprensión de conceptos y procedimientos fundamentales de la matemática escolar.
Los Textos del Plan Sumo Primero corresponden a una traducción y adaptación de textos japoneses de la editorial Gakko Tosho Co, cuya propuesta fue adaptada y complementada para alinearse al currículum nacional en la asignatura de Matemática.
Estructura del Texto
El Texto del Estudiante está compuesto de dos tomos, uno para cada semestre del año escolar. Cada tomo contiene capítulos organizados en dos unidades, y cada capítulo está compuesto por uno o más temas.
El texto dispone de diferentes secciones para ayudar al docente en la gestión del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Al finalizar los capítulos se presentan ejercicios para afianzar el dominio de los temas estudiados.

Al finalizar los capítulos se presentan problemas que permiten poner en juego los conocimientos y habilidades adquiridos.

Actividades que permiten repasar y evaluar el dominio de conceptos y procedimientos aprendidos.

Problemas no rutinarios en contextos relevantes que permiten aplicar conocimientos aprendidos.

Uso del Texto
En cada capítulo se plantean situaciones desafiantes mediante preguntas o imágenes, las que permiten a los estudiantes elaborar estrategias y proponer soluciones que luego serán compartidas por toda la clase. El docente promueve un debate acerca de las estrategias utilizadas, en las que se pone de manifiesto el pensamiento matemático de los alumnos. Finalmente, se recurre al Texto del Estudiante para comparar, verificar y sistematizar las ideas propuestas por los niños.  Este proceso se puede resumir en los siguientes momentos:
• Situación o problema desafiante.
• Trabajo en grupo para la búsqueda de soluciones.
• Presentación de las respuestas, discusión en torno a las estrategias utilizadas.
• Comparación con lo que propone el texto, debate y verificación para sistematizar.
• Uso del texto para realizar actividades de ejercitación y afianzar la comprensión matemática alcanzada en el debate.
Una característica importante del Texto del Estudiante Sumo Primero es que está diseñado para ser reutilizado varias veces. En algunas actividades del texto, se invita a los estudiantes a dirigirse a una página del Cuaderno de Actividades para responder. Es importante que el docente enfatice y reitere que el Texto del Estudiante no se debe rayar, para que pueda ser utilizado por otro estudiante el siguiente año.
Recursos asociados
Además del Texto del Estudiante, cada alumno dispone de un Cuaderno de Actividades que le permite ejercitar lo aprendido en distintos momentos del estudio de un capítulo. También dispone de un talonario con Tickets de Salida, que son preguntas breves para responder al finalizar cada clase. Estas respuestas constituyen evidencias de los aprendizajes logrados y pueden ayudar a los docentes a tomar decisiones sobre el proceso de enseñanza.
El docente cuenta con la Guía Didáctica que incluye planes detallados de clase y otros recursos para apoyar su gestión. Para el uso efectivo de las actividades propuestas en el texto se aconseja revisar detalladamente la gestión propuesta en esta guía. Finalmente, el docente cuenta con un Cuadernillo de Evaluaciones, que permite evaluar aprendizajes al inicio, durante y al final de cada semestre.

La Guía Didáctica del Docente, el Texto del Estudiante, el Cuaderno de Actividades y el Talonario de Tickets de Salida están organizados en dos tomos: el tomo 1 asociado al primer semestre y el tomo 2, al segundo semestre. Aunque los recursos se planificaron para distribuir los temas de forma semestral, es indispensable terminar la revisión de un tomo para comenzar el siguiente. Por lo tanto, si al terminar un semestre, usted aún no ha podido terminar el tomo 1, le recomendamos terminar su revisión, antes de continuar con el siguiente tomo.

Yo soy el monito del monte, acompaño a los estudiantes en su esfuerzo por elaborar estrategias y destaco las ideas matemáticas importantes.

Presentación

Fundamentación Didáctica

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) ha sido elaborada a partir del modelo de gestión de clases basado en el enfoque de resolución de problemas. Su propósito es brindar orientaciones al docente respecto del uso del Texto del Estudiante (TE) y Cuaderno de Actividades (CA) Sumo Primero de quinto básico, específicamente en aspectos relativos a la organización de la enseñanza, gestión de aula, uso de los tiempos, selección de objetivos de aprendizaje (OA), consideraciones didácticas-matemáticas, uso de materiales y evaluación.
La organización de los capítulos y sus respectivas clases fueron construidas considerando procesos de estudio articulados y secuenciados, por esto, se recomienda estudiar los capítulos en el orden propuesto.
Cada capítulo del TE posee una descripción para la gestión docente en la GDD, que incluye una visión general, los OA asociados, el tiempo de dedicación en horas pedagógicas, los aprendizajes previos requeridos y las actitudes que se promoverán con mayor énfasis a lo largo del proceso.
Además, para cada página del TE hay una gestión sugerida en la GDD, que incluye los recursos que se deberán usar, el  tiempo aproximado, el propósito específico de las actividades propuestas y las habilidades que se abordarán con mayor predominancia. La GDD presenta orientaciones y sugerencias para que el docente gestione las actividades flexiblemente, adaptándolas a sus necesidades, pero resguardando las condiciones didácticas y la secuencia planteada.
La enseñanza con enfoque en la resolución de problemas implica considerar situaciones abiertas que resulten nuevas y desafiantes, pero accesibles para los estudiantes, de tal manera que las estrategias de resolución sean construidas por ellos mismos.
Este enfoque requiere que los docentes conozcan y comprendan el estado actual del pensamiento matemático de sus estudiantes, para así ayudarlos a avanzar a un siguiente nivel de desempeño. Para eso, en la gestión de clases de la GDD se sugieren una serie de preguntas que ayuden a los profesores a indagar y utilizar pensamiento de los estudiantes para generar nuevos aprendizajes.
Para que el aprendizaje a través de esta propuesta sea efectivo, es importante que el docente promueva discusiones en la que sus estudiantes realicen preguntas, hagan observaciones, propongan explicaciones, argumenten sus ideas, construyan ejemplos y contraejemplos, entre otras acciones. De este modo, los estudiantes podrán reconstruir, conectar y dar sentido a los conocimientos que van adquiriendo. La gestión de clases de la GDD presenta orientaciones para generar y conducir este tipo de discusiones.
En general, una clase basada en la resolución de problemas sigue la siguiente estructura:
1. 	Presentación. Presentación y comprensión individual del problema. Puede generar una breve discusión con los compañeros para aclarar algunos puntos, pero es importante que cada estudiante intente comprender por sí mismo en qué consiste el problema y proponer sus ideas.
2. 	Exploración. Los estudiantes abordan el problema y elaboran una solución personal o colectiva. La labor docente en ese momento consiste en monitorear el trabajo de los estudiantes, haciendo preguntas inductivas y/o comentarios aclarativos, y brindando orientaciones más específicas a los estudiantes que presenten dificultades en el proceso. El docente también anima a aquellos estudiantes que terminan más rápidamente a encontrar explicaciones o soluciones alternativas.
3. 	Exposición. El docente selecciona estudiantes que han resuelto el problema de maneras diferentes, y los motiva a explicar su solución al resto de la clase. Tras escuchar las explicaciones, los estudiantes comparten sus opiniones acerca de las ventajas y desventajas de una estrategia en relación con otra, comparan las maneras de abordar el problema e identifican similitudes y diferencias.
4. 	Conclusión. El profesor, a partir de las propias ideas de los estudiantes, presenta un resumen con los puntos clave surgidos en la actividad, consolidando las ideas más importantes y formalizando lo aprendido. En este tiempo también pueden realizarse actividades de extensión o conexión, mostrando cómo se puede aplicar la estrategia óptima en la resolución de problemas similares.
Le recomendamos seguir esta estructura de clase especialmente en aquellas en las que se desea enfatizar el enfoque de enseñanza basada en la resolución de problemas, como las que suelen presentarse al inicio de cada capítulo o tema en el TE.

Objetivos de Aprendizaje Matemática 5° básico

Los estudiantes serán capaces de:
Números y operatoria
1.	Representar y describir números naturales de hasta más de 6 dígitos y menores que 1 000 millones:
•	identificando el valor posicional de los dígitos
• 	componiendo y descomponiendo números naturales en forma estándar y expandida aproximando cantidades
• 	comparando y ordenando números naturales en este ámbito numérico
• 	dando ejemplos de estos números naturales en contextos reales
2.	Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación:
• 	anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10
• 	doblar y dividir por 2 en forma repetida
• 	usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
3.	Demostrar que comprenden la multiplicación de números naturales de dos dígitos por números naturales de dos dígitos:
• 	estimando productos
• 	aplicando estrategias de cálculo mental
• 	resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando el algoritmo
4.	Demostrar que comprenden la división con dividendos de tres dígitos y divisores de un dígito:
• 	interpretando el resto
• 	resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que impliquen divisiones
5.	Realizar cálculos que involucren las cuatro operaciones, aplicando las reglas relativas a paréntesis y la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción cuando corresponda:
• 	usando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
• 	aplicando el algoritmo de la multiplicación
• 	Resolviendo problemas rutinarios
6.	Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren las cuatro operaciones y combinaciones de ellas:
• 	que incluyan situaciones con dinero
• 	usando la calculadora y el computador en ámbitos numéricos superiores al 10 000
7.	Demostrar que comprenden las fracciones propias:
• 	representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica
• 	creando grupos de fracciones equivalentes –simplificando y amplificando– de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con software educativo
• 	comparando fracciones propias con igual y distinto denominador de manera concreta, pictórica y simbólica
8. Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados:
•	usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o con software educativo
•	identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos
• 	representando estas fracciones y estos números mixtos en la recta numérica
9.	Resolver adiciones y sustracciones con fracciones propias con denominadores menores o iguales a 12:
•	de manera pictórica y simbólica
• 	amplificando o simplificando
10.	Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10.
11.	Comparar y ordenar decimales hasta la milésima.
12. 	Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima.
13.	Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima.
Patrones y álgebra
14.	Descubrir alguna regla que explique una sucesión dada y que permita hacer predicciones.
15.	Resolver problemas, usando ecuaciones e inecuaciones de un paso, que involucren adiciones y sustracciones, en forma pictórica y simbólica.
Geometría
16.	Identificar y dibujar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, dadas sus coordenadas en números naturales.
17. 	Describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras 3D y lados de figuras 2D:
•	que son paralelos
•	que se intersectan
•	que son perpendiculares
18.	Demostrar que comprenden el concepto de congruencia, usando la traslación, la reflexión y la rotación en cuadrículas y mediante software geométrico.
Medición
19.	Medir longitudes con unidades estandarizadas (m, cm, mm) en el contexto de la resolución de problemas.
20.	Realizar transformaciones entre unidades de medidas de longitud: km a m, m a cm, cm a mm y viceversa, de manera manual y/o usando software educativo.
21. Diseñar y construir diferentes rectángulos, dados el perímetro, el área o ambos, y sacar conclusiones.
22 . Calcular áreas de triángulos, de paralelogramos y de trapecios, y estimar áreas de figuras irregulares, aplicando las siguientes estrategias:
• conteo de cuadrículas
• comparación con el área de un rectángulo
• completar figuras por traslación
Datos y probabilidades
23.	Calcular el promedio de datos e interpretarlo en su contexto.
24. 	Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento por sobre la base de un experimento aleatorio, empleando los términos seguro – posible - poco posible – imposible.
25. 	Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas.
26. 	Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea y comunicar sus conclusiones.
27. 	Utilizar diagramas de tallo y hojas para representar datos provenientes de muestras aleatorias.

Objetivos de aprendizaje

Planificación Anual
Primer Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
1 | Números y operaciones | Números grandes | 12nnnnnnnnn
| Números y operaciones | Multiplicación | 9nnnnnnnnn
| Números y operaciones | División 1 | 13nnnnnnnnn
| Números y operaciones | Fracciones | 13nnnnnnnnn
2 | Números y operaciones | Números decimales | 14nnnnnnnnn
| Medición | Medición de longitud | 8nnnnnnnnn
| Datos y probabilidades | Datos | 12nnnnnnnnn
| Geometría | Paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D | 12nnnnnnnnn
| Datos y probabilidades | Probabilidades | 8nnnnnnnnn
| Números y operaciones, Datos y probabilidades | Aventura Matemática | 2nnnnnnnnn
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Capítulo | Tiempo estimado (horas pedagógicas)
3 | Números y operaciones | División 2 | 11nnnnnnnnn
| Números y operaciones | Operatoria combinada | 9nnnnnnnnn
| Patrones y álgebra | Patrones | 6nnnnnnnnn
| Datos y probabilidades | Promedio | 10nnnnnnnnn
| Geometría | Congruencia | 12nnnnnnnnn
4 | Patrones y álgebra | Ecuaciones e inecuaciones | 10nnnnnnnnn
| Números y operaciones | Suma y resta de fracciones | 5nnnnnnnnn
| Medición | Área | 25nnnnnnnnn
| Números y operaciones, Geometría, Medición, Datos y probabilidades | Aventura Matemática | 2nnnnnnnnn

Planificación Semestral
Primer Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de  Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
1 | Números y operaciones | 1 | Números grandes | 365nnnn | 175nnnn
| Números y operaciones | 3 | Multiplicación | 300nnnn | 105nnnn
| Números y operaciones | 4 | División 1 | 435nnnn | 150nnnn
| Números y operaciones | 8 | Fracciones | 485nnnn | 100nnnn
2 | Números y operaciones | 10, 11, 12 y 13 | Números decimales | 500nnnn | 130nnnn
| Medición | 19 y 20 | Medición de longitud | 285nnnn | 75nnnn
| Datos y probabilidades | 26 y 27 | Datos | 465nnnn | 75nnnn
| Geometría | 17 | Paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D | 475nnnn | 65nnnn
| Datos y probabilidades | 24 y 25 | Probabilidades | 220nnnn | 140nnnn
| Números y operaciones, Datos y probabilidades | 1 y 26 | Aventura Matemática | 90nnnn | –nnnn
Segundo Semestre
Unidad | Eje | Objetivos de Aprendizaje (OA) | Capítulo | Tiempo estimado (min)
|  |  |  | TE | CA
3 | Números y operaciones | 4 | División 2 | 345nnnnj | 150nnnn
| Números y operaciones | 5 y 6 | Operatoria combinada | 270nnnnj | 135nnnn
| Patrones y álgebra | 14 | Patrones | 135nnnnj | 135nnnn
| Datos y probabilidades | 23 | Promedio | 330nnnnj | 120nnnn
| Geometría | 16 y 18 | Congruencia | 460nnnn | 80nnnn
4 | Patrones y álgebra | 15 | Ecuaciones e inecuaciones | 270nnnnj | 180nnnn
| Números y operaciones | 9 | Suma y resta de fracciones | 105nnnnj | 120nnnn
| Medición | 21 y 22 | Área de cuadriláteros y triángulos | 940nnnnj | 185nnnn
| Números y operaciones, Geometría, Medición, Datos y probabilidades | 11, 12, 19, 20, 21, 22, 23 y 26 | Aventura Matemática | 90nnnnj | –nnnn

Planificación

Planificación Detallada Unidad 1
Capítulo | Nombre del Capítulo | Eje | Página  del  Texto  del Estudiante | Temas | Tiempo (min) | Objetivos  de Aprendizaje  (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitudes | Página  del  Cuaderno de  Actividades
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar  y comunicar | Modelar | Resolver  problemas
1 | Números grandes | Números y operaciones | 8 - 26 | Números mayores que 10 000 | 90 | 1 | • |  |  | • | C | 4
|  |  |  | Lectura y escritura de números grandes | 45 | 1 | • | • |  | • |  | 5
|  |  |  | Formación de los números grandes | 45 | 1 | • |  | • |  |  | 6
|  |  |  | Comparación y orden de números grandes | 45 | 1 | • |  |  |  |  | 7
|  |  |  | Números de más de 8 cifras | 90 | 1 | • | • |  |  |  | 8
|  |  |  | Reglas de formación de los números | 90 | 1 | • | • |  |  |  | 9, 10
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 1 | • |  |  | • |  | 11
|  |  |  | Problemas | 90 | 1 |  | • |  | • |  | 12
2 | Multiplicación | Números y operaciones | 27- 39 | Cálculo mental | 135 | 2 |  |  | • | • | C | 13, 14
|  |  |  | Estimación de productos | 45 | 2 |  |  |  | • |  | 15
|  |  |  | Cálculo de multiplicaciones usando el algoritmo | 135 | 2 |  |  |  | • |  | 16, 17
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 2 |  |  |  | • |  | 18
|  |  |  | Problemas | 45 | 2 |  |  |  | • |  | 19
3 | División 1 | Números y operaciones | 40 - 58 | División con resto | 90 | 4 | • | • |  | • | B | 20
|  |  |  | Resolviendo problemas | 45 | 4 |  |  |  | • |  | 21
|  |  |  | Técnicas de división | 120 | 4 | • | • | • | • |  | 22
|  |  |  | División de decenas y centenas | 150 | 4 |  | • |  |  |  | 23-25
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 4 |  |  |  | • |  | 26
|  |  |  | Problemas | 45 | 4 |  |  |  | • |  | 27
|  |  |  | Haciendo cintas | 90 | 4 | • |  |  | • |  | 28
4 | Fracciones | Números y operaciones | 59 - 75 | Fracciones mayores que 1 | 180 | 8 | • |  | • | • | F | 29, 30
|  |  |  | Midiendo con Fracciones | 45 | 7 | • |  |  | • |  | -
|  |  |  | Fracciones equivalentes | 90 | 7 | • |  | • | • |  | 31, 32
|  |  |  | Comparación de fracciones | 180 | 7 | • | • |  | • |  | 33-35
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 7 y 8 | • | • |  |  |  | 36
|  |  |  | Problemas | 45 | 7 y 8 | • |  |  | • |  | 37

Planificación Detallada Unidad 2
Capítulo | Nombre del Cap. | Eje | Páginas  del  TE | Temas | Tiempo (min) | Objetivos  de Aprendizaje  (OA) | Habilidades |  |  |  | Actitudes | Páginas del  CA
|  |  |  |  |  |  | Representar | Argumentar  y comunicar | Modelar | R. problemas
5 | Números decimales | Números y operaciones | 78 - 94 | Estructura de los números decimales | 135 | 11 | • | • |  |  | C | 38
|  |  |  | Relación entre números naturales y números decimales | 180 | 11 | • |  | • | • |  | 39-41
|  |  |  | Relación entre las fracciones y los números decimales | 90 | 10 | • |  |  |  |  | 42, 43
|  |  |  | Suma y resta de números decimales | 135 | 12, 13 | • |  |  | • |  | 44, 45
|  |  |  | Ejercicios | 45 | 10, 11, 12 y 13 | • |  | • |  |  | 46
|  |  |  | Problemas | 45 | 10, 11, 12 y 13 | • |  |  | • |  | 47
6 | Medición de longitud | Medición | 95 - 110 | Midiendo con metros y centímetros | 135 | 19 y 20 | • | • |  | • | A F | 48, 49
|  |  |  | Midiendo con centímetros y milímetros | 90 | 19 y 20 | • | • |  | • |  | 50-52
|  |  |  | Midiendo con kilómetros y metros | 90 | 19 y 20 | • | • |  | • |  | 53, 54
|  |  |  | Medidas de longitud | 20 | 19 y 20 | • | • |  |  |  | 55
|  |  |  | Ejercicios | 10 | 19 y 20 | • | • |  |  |  | –
|  |  |  | Problemas | 15 | 19 y 20 | • | • |  | • |  | –
7 | Datos | Datos y probabilidades | 111 - 129 | Juntando tablas | 45 | 26 | • | • |  |  | B | –
|  |  |  | Organización de datos en tablas | 90 | 26 | • | • |  |  |  | 58
|  |  |  | Gráficos de barras | 45 | 26 | • | • |  |  |  | –
|  |  |  | Gráficos de líneas | 180 | 26 | • | • |  |  |  | 62
|  |  |  | Diagramas de tallo y hojas | 90 | 27 | • | • |  | • |  | 64
|  |  |  | Ejercicios | 60 | 26 y 27 | • | • |  |  |  | 65, 66
|  |  |  | Problemas | 30 | 26 y 27 | • | • |  |  |  | –
8 | Paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D | Geometría | 130 - 153 | Líneas perpendiculares | 135 | 17 | • | • |  |  | A B F | 67-69
|  |  |  | Líneas paralelas | 90 | 17 | • | • |  |  |  | 70
|  |  |  | Paralelas y perpendiculares  en figuras 2D | 135 | 17 | • | • |  | • |  | 71-74
|  |  |  | Figuras 3D | 60 | 17 | • | • |  | • |  | 75
|  |  |  | Paralelas y perpendiculares en figuras 3D | 55 | 17 | • | • |  | • |  | 76, 77
|  |  |  | Ejercicios | 20 | 17 | • | • |  |  |  | 78, 79
|  |  |  | Problemas | 45 | 17 | • | • |  | • |  | –
9 | Probabilidades | Datos y probabilidades | 154 - 163 | Experimentos aleatorios | 60 | 24 y 25 |  | • |  |  | F | 81
|  |  |  | Grados de posibilidad | 230 | 24 y 25 | • | • |  |  |  | 82-85
|  |  |  | Ejercicios | 50 | 24 y 25 |  | • |  |  |  | 86, 87
|  |  |  | Problemas | 20 | 24 y 25 |  | • |  |  |  | –
10 | Aventura Matemática | Números y operaciones, Datos y probab. | 166- 168 |  | 90 | 1 y 26 | • | • |  | • | C | –

Planes de clases

Íconos
Ticket de salida
Cuaderno de Actividades

Capítulo 1

Números grandes

12 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza el estudio de los números, extendiéndolo a números hasta 12 cifras. A través de actividades contextualizadas y de la aplicación de los conocimientos que poseen los estudiantes de los números de 4 cifras, aprenderán a leer, escribir y comparar números grandes.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA1: Representar y describir números naturales de hasta más de 6 dígitos y menores que 1 000 millones:
identificando el valor posicional de los dígitos.
componiendo y descomponiendo números naturales en forma estándar y expandida aproximando cantidades.
comparando y ordenando números naturales en este ámbito numérico.
dando ejemplos de estos números naturales en contextos reales.
Aprendizajes previos
Cuantifican colecciones agrupadas de 10, 100 y 1 000 hasta 10 000.
Leen y escriben números hasta 10 000.
Comparan números hasta 10 000.
Componen y descomponen canónicamente números hasta 10 000.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

1

P. 8

TE

30 minutos

Propósito
Que los estudiantes encuentren una estrategia para cuantificar una colección compuesta por agrupaciones de 1 000, 100 y 10, y objetos sueltos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imagen de la colección de hojas empaquetadas y tabla de valor posicional (para presentar en pizarra).
Gestión
Comience la clase presentando en la pizarra la imagen de la colección de hojas y desafíe a los estudiantes a determinar la cantidad de hojas haciendo preguntas: ¿cuántas hojas creen que hay? ¿Cómo podríamos saber la cantidad exacta de hojas?  Dé un tiempo para que se organicen en parejas y piensen en una manera de resolver el problema. Monitoree el trabajo poniendo atención en reconocer que las colecciones están agrupadas de a 10 y que pueden determinar sin dificultad la cantidad de hojas que hay en los paquetes de 100, 10 y sueltas son 427. Apóyelos para determinar la cantidad de hojas que hay en los 36 paquetes de 1 000 haciendo preguntas: ¿cuánto es 6 veces 1 000? ¿Cuánto es 10 veces 1 000? ¿Cuánto será 3 veces 10 000? ¿Cómo se dice esa cantidad? Si 3 veces 10 es 30, ¿cuánto es 3 veces 10 000? ¿Cómo se escribirá con cifras esa cantidad? (36 427).  Luego, en una puesta en común permita que socialicen sus estrategias y respuestas.
Para sistematizar la actividad pida que abran su texto y que analicen en conjunto las ideas que se plantean en la página, poniendo énfasis en cómo se lee y se escribe el número que se forma con 3 grupos de 10 000.

P. 9

60 minutos

35 minutos

CA

25 minutos

Propósito
Que los estudiantes escriban y lean números de 5 cifras utilizando la noción de valor posicional.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional hasta la decena de mil con 4 filas para representar los números, respetando los colores de la tabla del texto (para presentar en pizarra).
10 billetes de $10 000, 10 billetes de $1 000, 10 monedas de $100 recortables (opcional).
Gestión
A continuación, pregunte: las cantidades que tienen grupos de 10 000 ¿cuántas cifras tienen? (Cinco) ¿Con cuántas unidades de mil se forma una decena de mil? (Con diez). Puede apoyar estas preguntas recurriendo a la imagen de la página anterior o con algún material, como el dinero.
Pegue en la pizarra la tabla de valor posicional y pida que pongan atención en ella y pregunte: ¿observan algún patrón? (Los colores se repiten, después de la centena se vuelven a repetir las unidades y decenas, pero esta vez de miles) ¿Cuál posición creen que sigue a la decena de mil? ¿Por qué?
Presente la Actividad 2, ponga atención en los casos en que hay ausencia de agrupaciones y apóyelos haciendo preguntas: si no hay grupos de 100, ¿qué se debe registrar en la posición de las centenas? (0).
Cuando hayan escrito los números en la tabla, apóyelos en la lectura mostrando que es útil separar las cifras en grupos de 3 (con un espacio o un punto), contando desde la derecha, de la misma manera que lo hicieron cuando aprendieron los números de 4 cifras. Así, los números de 5 cifras tendrán una separación de dos y tres cifras, leyendo los dos primeros dígitos, de la misma manera que los números de 3 cifras, seguidos de la palabra mil y continuando con la lectura de los tres dígitos finales.
Es posible que en la escritura de algunos números omitan cifras, por ejemplo, en vez de escribir 50 032 escriban 5 032. En tal caso, oriéntelos con preguntas : ¿la cantidad que se debe escribir tiene grupos de 10 000? (Sí) ¿Cuántas cifras tienen los números  que tienen grupos de 10 000? (Cinco) ¿Cuántas cifras tiene el número que escribiste? Luego, apóyelos para que corrijan su error con la tabla de valor posicional.
Pídales que realicen la sección Practica como práctica guiada en la lectura y escritura de números de 5 cifras. Enfatice en que las cantidades que tienen agrupaciones de 10 000 tienen 5 cifras y que cuando hay ausencia de agrupaciones, se registra un cero en la posición correspondiente.
Para finalizar la clase, destaque, utilizando una tabla de valor posicional, que la estructura de los números sigue las mismas reglas, independientemente de cuán “grande” sea el número. Si se agrupan los dígitos de un número de a 3, de derecha a izquierda, se puede observar un patrón en el nombre de las posiciones, “unidad”, “decena”, “centena”, luego, se repite lo mismo, pero con grupos de los miles.
Adicionalmente, puede proponer actividades de cuantificación de dinero, considerando billetes de $10 000  y $1 000 y monedas de $100 y $10. También podría plantear desafíos invitándolos a producir cantidades de dinero superiores, como $120 000.
Finalmente, solicite que desarrollen el Cuaderno  de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 4 • Tomo 1
Ticket de salida página 9 • Tomo 1

P. 10

15 minutos

Propósito
Que los estudiantes escriban, lean y comparen números de hasta 8 cifras utilizando la noción de  valor posicional.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Recursos
Tabla de valor posicional hasta la decena de millón (para presentar en pizarra). Tarjetas con dígitos del 1 al 8 (1 set por grupo de estudiantes).
Gestión
Inicie la clase extendiendo la tabla de valor posicional. Para ello, pegue la tabla en la pizarra, tapando las 3 posiciones de mayor valor con una cartulina. Pregúnteles por el valor de cada una de las posiciones destapadas (1, 10, 100, 1 000 y 10 000) y anótelos en la pizarra: ¿qué patrón observan en los valores? (Las posiciones mayores aumentan en un cero) Según ese patrón, ¿cómo se escribiría el valor de la siguiente posición? (100 000) Si la última posición se llama decena de mil, ¿cómo se llamará la siguiente posición? (Centena de mil) ¿Cuántos grupos de 10 000 forman 100 000? (Diez). Destape la posición de las centenas de mil para que comprueben sus ideas. Plantee las mismas preguntas para las siguientes posiciones hasta construir la tabla hasta las decenas de millón.
Luego, presente la Actividad 1 invitándolos a escribir el número en la tabla de valor posicional que acaban de construir. Pregunte: ¿cómo creen que se lee este número?  Dé un tiempo para que cada estudiante piense en su respuesta, y luego la comparta. Para apoyar la lectura de los números, favorezca que noten que si se divide el números en grupos de 3 cifras, el segundo grupo es de los miles y el siguiente de los millones de derecha a izquierda.
Pida que observen la parte superior de la tabla que se presenta en el texto, y pregunte: ¿cuántos ceros tiene 10 mil? ¿Cuántos ceros tiene 100 mil? Etc. ¿Cómo podemos anticipar la cantidad de ceros que tiene el valor de cada posición? (Como los dígitos están agrupados de a 3, podemos saber que una unidad de mil tiene 3 ceros, por lo que una unidad de millón tendrá 6 ceros).
Para realizar la Actividad 2, organice al curso en parejas o grupos. Cada grupo debe disponer de un set de tarjetas. Permita que exploren la formación de los números de acuerdo a las condiciones señaladas en el texto preguntando para formar el número mayor: ¿cuál dígito debe ocupar la posición de mayor valor? (8) ¿Cuál dígito en la de menor valor? (1).
Consideraciones didácticas
Los números de hasta 3 cifras tienen una estructura organizada en unidades, decenas y centenas. Esta se repite en los números de hasta 6, constituyendo el grupo de los miles y de hasta 9 cifras el grupo de los millones. En el grupo de los miles, las unidades, decenas y centenas son de mil. En el grupo de los millones, las unidades, decenas y centenas son de millones.

P. 11

Propósito
Que los estudiantes escriban y lean números de hasta 9 cifras.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pídales que realicen la sección Practica como práctica guiada para leer y escribir números de hasta 9 cifras.
En la Actividad 1 pida que escriban en su cuaderno cómo se leen los números. Monitoree el trabajo de los estudiantes y apóyelos con preguntas: ¿cada cuántas cifras se separa el número? (Cada tres cifras) ¿Cuántas cifras, al menos, tienen los números que representan a los millones? (Más de 6).  Adicionalmente, puede plantear preguntas: ¿hay más mujeres u hombres? (Hay más mujeres) ¿Qué podrían decir de la diferencia entre ambas cantidades? (Hay más mujeres que hombres. La diferencia es 370 025 personas. La diferencia entre hombres y mujeres es pequeña, por lo que podríamos decir que hay casi la misma cantidad de mujeres y hombres en Chile).
En la Actividad 2 deben hacer la tarea inversa. Observe si los estudiantes consideran escribir los números en grupos de 3 cifras para facilitar la escritura, y si es necesario, que utilicen la tabla de valor posicional. Puede orientarlos con preguntas: si el número tiene unidades de millón, ¿cuántas cifras tendrá el número? (Siete) ¿Cuántos grupos de 3 cifras hay después del dígito que representa la unidad de millón? (2). Motive a que los estudiantes transiten desde el uso de la tabla de valor posicional a marcar los espacios para cada dígito, como, por ejemplo:
Millones
2
Adicionalmente, puede invitar a los estudiantes a establecer conclusiones sobre el tamaño de las regiones (superficie) y la cantidad de habitantes que hay en cada una de ellas.
Antes de invitar a los niños a trabajar en el Cuaderno de Actividades, sistematice la lectura de los números apoyándose de las ideas que se plantean en el texto.
Consideraciones didácticas
La lectura de los números de hasta 9 cifras se hace de manera análoga a los números de 3 cifras, pero incorporando la palabra millones después de las primeras 3 cifras y la palabra mil después de la sexta cifra.

Cuaderno de Actividades página 5 • Tomo 1
Ticket de salida página 11 • Tomo 1

P. 12

Propósito
Que los estudiantes compongan y descompongan números de más de 6 cifras.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Tabla de valor posicional como la que se muestra en el texto (para presentar en pizarra).
Gestión
Pegue la tabla de valor posicional en la pizarra e inicie la clase invitando a los estudiantes a recordar cómo anticipar la cantidad de ceros que tiene el valor de una determinada posición (por ejemplo, una unidad de mil tiene 3 ceros o la unidad de millón tiene 6 ceros).
Presente la Actividad 1 e invítelos a escribir las cantidades en la tabla de valor posicional de la pizarra y en su cuaderno. En la Actividad 1 a) y 1 c) las cantidades evocan la descomposición canónica de un número, esto es, cada sumando representa el valor de cada dígito del número. Sin embargo, en la 1 b) no es tan directo como en los casos anteriores, pues deben expresar 361 grupos de 10 mil y agregar 480. Si presentan dificultades para expresar este número, favorezca que pongan en juego lo que han aprendido de los números en ámbitos menores planteando preguntas: ¿cuánto es 8 veces 1 000? ¿Cómo lo supieron? (Agregando 3 ceros al 8). Entonces para saber cuánto es 361 veces 10 000, ¿qué debemos hacer? (Agregar 4 ceros a 361). Refuerce la idea de separar el número en grupos de 3 cifras, siempre de derecha a izquierda (3610000  3 610 000), posteriormente pueden representar la composición de 3 610 000 y 480 en la tabla de valor posicional.
En la Actividad 2 deben expresar un número en unidades de distinto orden; en este caso, se expresará  24 570 000 considerando como unidad a 10 mil, y luego a mil, que corresponde a la tarea inversa a la Actividad 1 b). Dé un tiempo para que intenten resolverla en parejas. Monitoree el trabajo y apóyelos con ideas como por ejemplo: en el caso anterior teníamos que 361 veces 10 000 es 3 610 000. Para saberlo agregamos cuatro ceros a 361. Entonces, si ahora  veces 10 000 es 24 570 000, ¿a qué número corresponde ? De esta manera, los estudiantes podrían reconocer que 2 457 veces 10 000  es 24 570 000.
?
Asimismo, en la Actividad 2 c) deben reconocer que como 1 000 tiene 3 ceros, 24 570 veces 1 000  es 24 57 000, porque se “quitan 3 ceros” al número.
Luego, para que aborden la Actividad 2 d) pida que analicen las ideas de Gaspar y Ema, promoviendo su comparación con preguntas como la siguiente: ¿en qué se parecen ambos procedimientos? Destaque que la idea de Gaspar considera el valor de cada dígito en una determinada posición y la idea de Ema considera el dígito multiplicado por el valor de la posición.
Consideraciones didácticas
Es posible descomponer los números de distintas maneras, por ejemplo, el 18 se puede descomponer como 12 + 6, 9 · 2, 10 + 8, entre otras. Sin embargo, en este capítulo se aborda la descomposición canónica, la cual se basa en la estructura del sistema de numeración decimal y es útil para comprender cómo se forman los números.

P. 13

10 minutos

20 minutos

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo se forman los números hasta 100 millones.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Tabla de valor posicional hasta la centena de millón (para presentar en pizarra).
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, apoye la lectura de las ideas que se describen en el recuadro de la profesora en cuanto a las descomposiciones aditivas para la formación de los números. Destaque que la suma que se presenta en la descomposición estándar es un cálculo mental, pues cada término de la suma representa el dígito de una posición, y en caso de ausencia de una agrupación se registra un cero en la correspondiente posición. Lo mismo sucede para la descomposición expandida.
Presente la Actividad 3 y pegue la tabla de valor posicional en la pizarra. Dé un tiempo para que los estudiantes elaboren una respuesta. Monitoree el trabajo y oriéntelos con preguntas apoyándose en la tabla de valor posicional, como, por ejemplo: si en la posición de las decenas de millón hay 9 grupos, y luego se agrega un grupo más, ¿cómo se escribe el número que representa la nueva cantidad? Se espera que los estudiantes reconozcan que para escribir el número se necesita agregar una posición a la izquierda, pues 10 grupos de 10 millones forman 1 grupo de 100 millones.
Sistematice que las reglas que rigen la escritura de los números se repiten infinitamente, pues siempre se puede volver a formar un grupo de 10.
Pídales que realicen la sección Practica como práctica guiada de la formación de números de 8 cifras.
En la Actividad 1 los estudiantes pueden recurrir a diferentes estrategias, por ejemplo, escribir la descomposición del número, y luego formarlo (300 000 + 80 000 = 380 000), o bien utilizar una tabla de valor posicional en la que registren los dígitos que representa cada cantidad.
Si los estudiantes presentan dificultades en las Actividades 2 y 3, puede proponer que escriban el número  en una tabla de valor posicional antes de descomponerlo.
En la Actividad 4 es posible que algunos estudiantes omitan algunas cifras cuando los números tienen ceros intermedios. Frente a ello, haga preguntas para que reconozcan el error, por ejemplo: si el número tiene agrupaciones de 10  millones, ¿cuántas cifras debe tener el número? ¿Cuántas cifras tiene el número que escribiste? Una vez que reconozcan que hay un error, oriéntelos apoyándose de una tabla de valor posicional, de tal manera que identifiquen los ceros intermedios que tiene el número.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno  de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 6 • Tomo 1
Ticket de salida página 13 • Tomo 1

P. 14

Propósito
Que los estudiantes lean y representen los números en la recta numérica y los comparen.
Habilidad
Representar.
Recursos
Recta numérica graduada de mil en mil (R1) y otra de 10 mil en 10 mil (R2) (para presentar en pizarra).
Gestión
Inicie la clase presentando la Actividad 1 y pegue la recta numérica 1 que está graduada de mil en mil y haga preguntas para que identifiquen su graduación como, por ejemplo: ¿qué número representa la primera marca después del cero? (10 000) ¿Cuántas marcas hay entre 0 y 10 000? (Hay 10 marcas) ¿De una marca a otra en cuánto se aumenta? (De una marca a otra se aumenta en 1 000, por lo tanto, entre en la primera marca después del cero está el 1 000, luego, 2 000, 3 000, etc.). Luego, dé un tiempo para que los estudiantes descubran los números que se ubican en los puntos  y .
A continuación, desafíe a los estudiantes a encontrar los números ,  y  de la recta 2. Dé un tiempo para que aborden el problema mientras monitorea el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿esta recta está graduada de la misma manera que la recta 1? ¿Por qué? ¿Qué se puede hacer para saber de cuánto en cuánto aumenta desde una marca pequeña a otra? Observe si los estudiantes reconocen que entre el cero y el 100 000 hay 10 marcas, por lo tanto, entre dos marcas pequeñas hay 10 000, y que esta graduación se repite en el resto de la recta numérica.
En una puesta en común permita que los estudiantes compartan sus respuestas y las estrategias que usaron para resolver el problema.
Sistematice que para determinar el número que se ubica en un punto de la recta es necesario saber cómo está graduada y que para ello, primero deben considerar un tramo entre dos marcas cuyos números  se conozcan el, por ejemplo, entre 0 y 10 000, y contar las marcas pequeñas que hay entre ambos números. Así si hay 10 marcas, entonces la graduación es de mil en mil. Si entre 0 y 100 mil hay 10 marcas, entonces la graduación es de 10 mil en 10 mil.
Presente la Actividad 2 invitando a los estudiantes a dibujar una recta numérica en su cuaderno. Pregunte: ¿por qué tenemos que graduar la recta de 10 mil en 10 mil para ubicar los números 180 mil, 250 mil y 320 mil? ¿Qué sucedería si la graduamos de 1 000 en 1 000? Se espera que reconozcan que la graduación de 10 mil es suficiente porque la diferencia de los números que se piden ubicar no está en el orden de los miles. Esto tendría sentido si uno de los números fuera 182 mil.
Consideraciones didácticas
Uno de los usos que tiene la recta numérica es para representar números. Es posible visualizar solo una parte de ella, por lo que para representar dos o más números es importante realizar una graduación adecuada que lo permita.

P. 15

Propósito
Que los estudiantes comparen, ordenen y completen secuencias de números de hasta 8 cifras.
Habilidad
Representar.
Gestión
Presente la Actividad 3 y dé un tiempo para que la resuelvan individualmente. Mientras, apóyelos con preguntas: ¿de cuánto en cuánto aumentan los números? ¿Cómo podemos saberlo? Luego, favorezca que compartan sus respuestas y procedimientos. Observe si reconocen que para identificar los números que faltan pueden considerar el número que está antes y después en la secuencia o ver la diferencia entre dos números consecutivos.
En la Actividad 4 los estudiantes deben ubicar los números en una tabla de valor posicional para compararlos, lo que les facilitará la tarea. Se espera que reconozcan que el número que tiene más cifras es el mayor, por tanto, deben comparar los dos números restantes, que tienen la misma cantidad de cifras. Deben comparar , entonces, los dígitos desde la posición de mayor valor para determinar el menor.
En la Actividad 5 al igual que en la actividad anterior, se espera que reconozcan que 140 000 es mayor porque tiene más cifras que 45 000. Podría preguntar: ¿por qué un número con menos cifras es menor? (Porque el número al tener menos posiciones, tiene menos grupos de a 10).
Pídales que realicen la sección Practica como práctica guiada del orden y comparación de números.
En la Actividad 1, ponga atención en que los estudiantes se aseguren, en primer lugar, del patrón de formación de la secuencia, es decir, determinar de cuánto en cuánto van los números. En las Actividades 2 y 3, si presentan dificultades, proponga el uso de una tabla de valor posicional.
Invite a los estudiantes a realizar las actividades del Cuaderno de Actividades. Monitoree el trabajo durante la práctica independiente asegurándose de que comprenden la formación, lectura y escritura de los números hasta 100 millones, pues en la siguiente página se inicia el estudio de los números de más de 8 cifras.
Consideraciones didácticas
Los estudiantes han estudiado los números y el sistema de numeración progresivamente a lo largo de los niveles, por lo que pueden reconocer que las reglas y principios de formación de los números  se aplican independientemente de la cantidad de cifras, y por lo tanto, el procedimiento para comparar números es el mismo que se usa para comparar números de 5 cifras.

Cuaderno de Actividades página 7 • Tomo 1
Ticket de salida página 15 • Tomo 1

P. 16

Propósito
Que los estudiantes extiendan la comprensión que tienen de los números y del sistema de numeración decimal con números de más de 100 millones.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Tabla de valor posicional con 9 posiciones (para presentar en pizarra).
Gestión
Comience la clase invitando a los estudiantes a observar el mapa que abarca esta página y la siguiente, dé un tiempo para que identifiquen su contenido. Luego, pregunte: ¿qué están diciendo los niños? (Están saludando en su idioma). Invítelos a intentar pronunciar cada saludo.
Focalice la atención en los números preguntando: ¿qué información entregan los números? (La cantidad de personas que viven en su país) ¿Qué significa la población mundial? (La cantidad de personas que vive en todo el mundo) ¿Cuál es la población de Chile? Para esto, invítelos a ir a la página 10.
A continuación, pregunte: ¿cuál de estas poblaciones puedes leer? Para ello, pueden utilizar la información que entregan los niños del texto. De acuerdo a lo estudiado anteriormente, los estudiantes podrían leer las poblaciones de España, Kenia y Australia, ya que están en el orden de las decenas de millones.
Desafíelos a anticipar la lectura de las poblaciones de los demás países preguntando: ¿podrían utilizar los conocimientos que tienen para deducir cómo se leen el resto de los números? Pegue la tabla de valor posicional en la pizarra con la novena posición sin el nombre. Dé un tiempo para que piensen en cómo se lee las poblaciones de los demás países. Monitoree el trabajo y apóyelos con preguntas: sabemos leer números de 8 cifras, ¿cómo se leerán números de 9 cifras? ¿Cómo se llamará la posición que viene después de la decena de millón? ¿Se mantendrá el patrón de los nombres en números más grandes? Posteriormente, escriba el nombre de la novena posición denominada “centena de millón” e invítelos a escribir el número en la tabla.
Consideraciones didácticas
Note que este capítulo se inicia con una situación en la que deben cuantificar hojas con el fin de que los estudiantes comprendan la formación de los números de 5 cifras. En el ámbito de los números de 8 cifras se dificulta evocar el uso de representaciones de grupos de objetos, por lo que se hace necesario focalizarse en los principios de formación de los números apoyándose de representaciones como la tabla de valor posicional y la recta numérica.

P. 17

Propósito
Que los estudiantes extiendan la comprensión que tienen de los números a números de más de 100 millones.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional con 10 posiciones, sin el nombre de la posición de la unidad de mil millones.
Gestión
Presente la Actividad 1, dé un tiempo para que los estudiantes se reúnan en parejas para pensar en la respuesta de la Actividades 1 a) y 1 b). Monitoree el trabajo de los estudiantes y apóyelos con preguntas para abordar la Actividad 1 b): ¿cómo se llama la posición en que se ubica el 1? (Centena de millón) ¿Qué valor tiene? (100 millones) ¿Cuántos grupos de 10 tiene 100? (Diez) Entonces, ¿cuántos grupos de 10 millones tienen 100 millones?
Considere que con esta actividad se espera que los estudiantes reconozcan la utilidad de los números grandes, es decir, identificar los contextos en que se usan estos números, así como también tener conciencia de la población de otros países y la población mundial en relación con la población de Chile.
Adicionalmente, puede hacer preguntas como las siguientes: ¿en qué situaciones han visto números grandes? ¿Cómo estaban escritos? ¿Por qué creen que algunos números los escriben 21 millones en lugar de 21 000 000?
Consideraciones didácticas
Para profundizar en el principio de agrupación en base 10 que rige la estructura del sistema de numeración, es importante que los estudiantes identifiquen y comprendan las siguientes relaciones:
10 veces 1 es 10
10 veces 10 es 100
10 veces 100 es 1 000
10 veces 1 000 es 10 000
10 veces 10 000 es 100 000
10 veces 100 000 es 1 000 000
10 veces 1 000 000 es 10 000 000
… y así sucesivamente...

P. 18

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de la estructura de números de 12 cifras.
Habilidad
Representar.
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, invítelos a leer en conjunto la idea que se plantea en el recuadro de la profesora poniendo atención en la formación de cien millones a través del modelo de la recta numérica y en la lectura de la Actividad 1 c). Ponga énfasis en la separación del número en grupos de 3 cifras, cuyo orden se describe en función de unidades compuestas. Así el primer grupo corresponde a las unidades individuales, el segundo a los miles, el tercero a los millones.
Presente la Actividad 2 para formalizar la lectura de la población de EE UU. Incentívelos a considerar la separación de las cifras en grupos para facilitar su lectura y de esta manera puedan reconocer que se leen las tres primeras cifras acompañadas de la palabra “millones”, las siguientes tres seguidas de la palabra miles, y finalizar con la lectura de las unidades. Haga lo mismo para la lectura de la población de Brasil.
Luego, en la Actividad 3 invítelos a construir una tabla de valor posicional en sus cuadernos para representar la población mundial y la de China guiándose por la tabla de la actividad anterior. Invítelos a leer el número considerando la separación de las cifras en grupos para que de esta manera puedan leer con mayor facilidad.
Oriéntelos a notar que para escribir la población de China no es suficiente tener una tabla con 9 posiciones, pues tiene 10 cifras.

P. 19

Propósito
Que los estudiantes extiendan la comprensión que tienen de los números del sistema de numeración decimal a números de más de 1 000 millones.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente la Actividad 4 y desafíelos a resolverla de manera individual. Monitoree el trabajo y observe que los estudiantes reconocen el principio de agrupamiento en base 10 en este ámbito de números; de lo contrario, oriéntelos recurriendo a un ámbito menor, como 10 grupos de 1 000; de tal manera que reconozcan que siempre que se calcula 10 veces una cantidad, se agrega un cero. Así, por ejemplo, 10 veces 100 millones es 1 000 millones. Destaque que en esta actividad los números están expresados utilizando la palabra “millones”, lo que permite economizar escritura, por lo que se debe asumir que dicha palabra reemplaza a 6 ceros.
Para la Actividad 5, pegue la tabla de valor posicional en la pizarra e invite a los estudiantes a escribir el número en ella. Esto facilitará responder la Actividad 5 a) e identificar que el 4 vale 400 000 000 000 o 400 mil millones. En la Actividad 5 b) se darán cuenta que la tabla se debe extender una posición a la izquierda, pues este número supera a las centenas de millón. Frente a ello, pregunte: ¿qué valor tiene esta posición? (1 000 millones). De acuerdo a la regularidad que conocen de la estructura de los números, podrían reconocer que después de una centena de cualquier orden sigue una nueva unidad, que en este caso está compuesta por 10 grupos de 100 mil millones.
Para conocer el nombre de la nueva posición invite a los niños a leer las ideas que destaca la profesora del texto. Pida que pongan atención en la recta numérica para comprender cómo se forma 1 billón. En seguida, invítelos a leer el número (9 billones 460 mil millones de kilómetros).
Destaque que los números que tienen más de 12 cifras están en el orden de los billones.
Adicionalmente, desafíelos a buscar información numérica que contenga números grandes, como por ejemplo, distancia entre planetas, estrellas, cantidad de plástico que tienen los océanos, desechos electrónicos, etc. También puede presentar problemas como ¿cuántos billetes de $10 000 se necesitan para formar cantidades de dinero como $1 000 000, $1 000 000 000, $12 000 000 000, etc.

P. 20

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de la estructura de los números y del sistema de numeración decimal en números de 12 cifras.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Tabla de valor posicional hasta 12 posiciones (para presentar en pizarra).
Gestión
Inicie la clase con las Actividades 6 y 7. Adicionalmente a la lectura de los números puede plantear preguntas para que los estudiantes dimensionen las medidas que se presentan, como por ejemplo: si un tren pudiera cargar 1 millón de kilos de cobre, ¿cuántas veces se necesitaría cargar el tren para la obtener la producción anual de cobre? (5.900 veces).
A partir de la Actividad 8, puede generar un debate sobre el consumo de plástico en Chile, las consecuencias ambientales y la importancia del reciclaje. Para ello, puede hacer preguntas del tipo: ¿cerca de cuántos kilos de plástico no se reciclan en Chile en un año? (Cerca de 900.000.000 kg) ¿Dónde creen que están esos kilos de plástico? Si en un año no se reciclan cerca de 900 millones de kilos de plástico, ¿cuántos kilos se podrían acumular en 5 años? ¿Qué podemos hacer como sociedad para solucionar este problema? ¿Qué harías tú? Si cada uno reciclara 1 000 kg al año, ¿cuántos kilos reciclaríamos como curso?
Posteriomente, sistematice la lectura de los números de hasta 12 cifras a través de las ideas que destaca la profesora del texto.
En la Actividad 9 observe que los estudiantes consideran la agrupación de 3 cifras para su lectura. En caso de que algunos estudiantes presenten dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional. Considere desafiarlos a que progresivamente abandonen su uso identificando el valor de un dígito de referencia, por ejemplo, el de la posición de la unidad de millón. De esta forma deben leen las 4 primeras cifras de la misma manera que leer los números de 4 cifras, seguidas de la palabra millón.
8 714 000 000
millones
Finalice la clase sistematizando la lectura de los números. Utilice las ideas que presenta la profesora en el texto. Adicionalmente, puede pedir a los estudiantes que creen números y que otros compañeros los lean, por ejemplo, 456 876 900.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 8 • Tomo 1
Ticket de salida página 20 • Tomo 1

P. 21

Propósito
Que los estudiantes extiendan los principios del sistema de numeración decimal para establecer relaciones numéricas.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Tabla de valor posicional de 12 posiciones (para presentar  en pizarra).
Gestión
La Actividad 1 tiene como propósito que los estudiantes pongan en juego los principios de agrupamiento en base 10 para consolidar el principio de valor relativo a la posición.
Así, para determinar la cantidad de veces que el valor del 4 de la izquierda contiene al de la derecha deben reconocer que cada posición está compuesta por 10 unidades del orden inmediatamente inferior, y dado que los dígitos ocupan posiciones consecutivas, entonces el 4 de la izquierda es 10 veces el 4 de la derecha, o bien el 4 de la derecha es la décima parte del de la izquierda.
Para favorecer la comprensión de estas ideas, pegue la tabla de valor posicional en la pizarra y pida a los estudiantes que escriban el número en ella. Pregunte: ¿qué valor tiene el 4 en la posición de la derecha y en la de la izquierda? (40 millones y 400 millones) ¿Cuántos grupos de 40 se necesitan para formar 400? (10 veces 40 es 400, es decir, 10 grupos). Entonces, ¿cuántas veces es 400 millones en comparación con 40 millones? (10 veces).
Para afianzar lo anterior, pida a los estudiantes que lean en conjunto las ideas que plantea el monito del monte. Favorezca que visualicen cómo se desplazan los dígitos del número hacia la izquierda al calcular las 10 veces y hacia la derecha al calcular la décima parte. Relacione la idea del desplazamiento del número en la tabla con la Actividad 1. Puede hacer gestos con la mano para explicar esta idea.
Consideraciones didácticas
El sistema de numeración que usamos para designar los números es decimal-posicional, lo que quiere decir que se construye a partir de principios de agrupaciones sucesivas de 10 unidades (base 10) y se usan 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), que se pueden ubicar en distintas posiciones que tienen un valor asociado a potencias consecutivas de 10 (1, 10, 100, etc). El valor de cada símbolo (dígito) se obtiene multiplicándolo por el valor de la posición en que se encuentra.

P. 22

Propósito
Que los estudiantes identifiquen  la regularidad de agrupamientos sucesivos de 10 que posee la estructura del sistema de numeración decimal y la utilicen para establecer relaciones numéricas.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional con 12 posiciones (para presentar en pizarra).
Gestión
Continúe la clase con la Actividad 2, pida a un par de estudiantes que escriban el número dado en la tabla que está pegada en la pizarra y que todos la dibujen en sus cuadernos. Dé un tiempo para que los estudiantes aborden la actividad en parejas. Monitoree el trabajo y apóyelo haciendo preguntas. Por ejemplo, en la Actividad 2 a) ¿qué parte del número representa 30 grupos de 1 000 millones? (Los dos primeros dígitos, 30) ¿Qué parte del número representa  grupos de 10 millones? (Las cifras restantes, 980 000 000) ¿Cómo representamos 980 millones en grupos de 10 millones? ¿Cuántas  veces 10 000 es 980 000 000? (98 veces).
Presente la Actividad 3 y desafíelos a resolverla de manera autónoma. Durante el trabajo oriéntelos a poner atención a la idea que presenta el niño, preguntando: ¿qué sucede cuando multiplicamos 500 por 10? ¿Y cuando dividimos 500 entre 10? ¿Qué ocurre con los dígitos de un número en la tabla de valor posicional cuando multiplicamos por 10? ¿Y cuando dividimos entre 10? ¿Cuántos lugares se desplazan los dígitos si se calcula 100 veces? ¿Por qué? (2 lugares hacia la izquierda porque para calcular 100 veces es necesario calcular 2 veces 10 veces).
Concuerde con los estudiantes una regla para multiplicar y dividir por 10; por ejemplo, cuando un número se multiplica por 10, se debe agregar un cero al número original. Cuando se multiplica por 100, se deben agregar dos ceros. Cuando se divide por 10, se debe quitar un cero al número original.
Antes de trabajar la Actividad 4 en la página siguiente favorezca la construcción de una regla para la multiplicación por una potencia de 10. Para ello pregunte: ¿qué patrón observan cuando multiplicamos por 10, por 100, por 1 000, etc.? (Al número original se le agregan ceros) ¿Qué regla podríamos plantear para esto? (Cuando multiplicamos por 10, 100, 1 000... al número original agregamos tantos ceros como tenga el número que lo multiplica). Puede apoyar esta idea con un ejemplo:
98 · 10 = 980
98 · 100 = 9 800
98 · 1 000 = 98 000
98 · 10 000 = 980 000
98 · 100 000 = 9 800 000
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 9 • Tomo 1
Ticket de salida página 22 • Tomo 1

P. 23

45 minutos

Propósito
Que los estudiantes identifiquen  la regularidad de agrupamientos sucesivos de 10 que posee la estructura del sistema de numeración decimal y la utilicen para establecer relaciones numéricas.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Tabla de valor posicional (para presentar en pizarra).
Gestión
Luego, presente la Actividad 4 preguntando: ¿cómo podríamos aplicar la regla que acabamos de plantear para saber cuánto es 10 mil grupos de 10 mil?
10 000 · 10 000 = 100 000 000. Agregamos 4 ceros al número original y obtenemos 100 millones.
¿Y para saber cuánto es mil grupos de 100 millones?
1 000 · 100 000 000 = 100 000 000 000. Agregamos 8 ceros al número original y obtenemos 100 mil millones.
Posteriormente, invítelos a escribir ambos números en la tabla de valor posicional.
Adicionalmente, podría pedirles que creen otras relaciones numéricas, las escriban en la tabla y las lean.
Una vez que los estudiantes han comprendido estas relaciones numéricas, invítelos a realizar las actividades de la sección Practica y monitoree el trabajo poniendo atención en:
Actividad 1: que reconozcan que en a) deben agregar un cero a 6 mil millones para obtener 60 mil millones; que en b) deben agregar 2 ceros a 400 mil para obtener 40 000 000, y que en c) deben quitar un cero para obtener 8 mil millones.
Actividad 2: que identifiquen la graduación de la recta. Si tienen dificultades, oriéntelos a ver cuántas marcas hay entre el cero y el primer número dado y así determinar de cuánto en cuánto aumentan.
Actividad 3: que verifiquen si los números tienen igual cantidad de cifras y si es así, comparen los dígitos comenzando desde la posición mayor.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades como práctica independiente para consolidar la comprensión sobre la estructura de los números.

Cuaderno de Actividades página 10 • Tomo 1
Ticket de salida página 23 • Tomo 1

P. 24

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con los números grandes y el sistema de numeración decimal.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Ejercicio 1 determinan el número que representa una cantidad expresada en grupos de 10. Si los estudiantes presentan dificultad, recurra a la regla que concordaron en el curso para calcular por 10, 100,  1 000, etc., o bien oriéntelos mostrando la regularidad en un ámbito menor, por ejemplo 10 veces 10 es 100, entonces, ¿cuánto es 10 veces 10 millones?
En el Ejercicio 2 incentívelos a que determinen el número de cada grupo descrito, y luego que compongan para formar el número, por ejemplo, en el Ejercicio a).
250 grupos de 10 mil y 180
2 500 000            +  180  =  2 500 180
Si es necesario, proponga el uso de la tabla de valor posicional en caso de que los estudiantes presenten dificultades para componer el número.
En el Ejercicio 3 los estudiantes deben identificar el valor de cada dígito para poder descomponerlo de manera estándar. Incentívelos a descomponer de manera expandida basándose en la descomposición estándar.
En el Ejercicio 4 deben componer los números a partir de la descomposición canónica dada. Observe que consideren los ceros intermedios de los números. Si es necesario, podrían utilizar la tabla de valor posicional.
En el Ejercicios 5 se espera que los estudiantes reconozcan que el dígito mayor debe ubicarse en la posición de mayor valor, esto es, 9 876 543 210. Para su lectura, recuérdeles que es útil separar el número en grupos de 3 cifras. Además, para el número menor de 10 cifras debe poner el dígito menor en la posición de mayor valor, seguido del cero, esto es, 1 023 456 789.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 11 • Tomo 1
Ticket de salida página 24 • Tomo 1

P. 25

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con los números y el sistema de numeración decimal.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Tarjetas con  los 9 dígitos y el cero (un set por grupo de estudiantes).
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1, determinan el número que representa una descripción de la formación de una cantidad. En los Problema a) al c) pueden recurrir a la composición aditiva de los números, en cambio en d) y e) además deben recurrir al principio de agrupamiento en base 10. Así, para determinar la décima parte de 6 700 000 000 deben quitarle un cero, quedando 670 000 000, y para calcular 100 veces 34 millones, deben agregar 2 ceros, quedando 3 400 000 000.
En el Problema 2 ubican los números dados en una recta construida por ellos. Ponga atención, al momento de construir la recta, si usan la graduación adecuada. En este caso conviene graduarla de 5 millones en 5 millones. Puede preguntar: ¿cómo puedes saber cuál es la mejor graduación?
En el Problema 3 completan los números que faltan en una secuencia numérica. Ponga atención si antes de completar los números determinan el patrón de formación, es decir, de cuánto en cuánto aumentan los números. Si presentan dificultades, oriéntelos a comparar los dígitos de dos números cercanos en la secuencia para identificar los que cambian y cuánto aumentan.
En el Problema 4 leen números de 9 cifras. Si presentan dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional.
En el Problema 5 crean números utilizando los 9 dígitos y el cero a partir de condiciones dadas, poniendo en juego sus conocimientos sobre el valor posicional para reconocer que los dígitos mayores deben ubicarse en las posiciones de mayor valor para obtener el número mayor posible, y de la misma manera ubicar los dígitos menores en las posiciones de mayor valor para obtener el número menor posible.

P. 26

70 minutos

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados relacionados con los números grandes y el sistema de numeración decimal.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Para el Problema 6, se espera que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre la comparación de números grandes y la noción de valor posicional. Para favorecer la habilidad de argumentar y comunicar, organice al curso en grupos de 3 o 4 integrantes.
Favorezca que lean en conjunto el problema. Durante este momento ponga énfasis en que la descripción de los números que formaron Juan, Sofía y Gaspar toman como referente a 5 mil millones. Para reforzar esta idea y apoyarlos en la identificación de los números, dibuje una recta en la pizarra:
0
5 000 000 000
Para encontrar el número de Juan, pueden recurrir a la recta numérica para reconocer que de los números mayores a 5 mil millones deben seleccionar el menor para que cumpla con la condición de ser el más cercano a 5 mil millones (L: 5 012 346 789). Entonces, para identificar el número de Sofía, deben elegir el mayor más cercano al de Juan (B: 5 012 346 798) para cumplir con la condición de ser el segundo más cercano.
En cambio, para el número de Gaspar, de los menores, deben elegir el mayor, para cumplir con la condición de ser el más cercano a 5 mil millones.
Finalmente, para identificar el número de Sami, deben tener como referente el número de Juan y Gaspar (D: 5 067 894 213), seleccionando todos los mayores al de Juan y verificando la condición de que la centena y unidad de millón sean 2 y 7, respectivamente.
Una vez que todos los grupos de estudiantes hayan resuelto el problema, invítelos a compartir sus respuestas y argumentos con el resto de sus compañeros.
Para sistematizar la actividad, destaque que:
Para elegir el número mayor más cercano a otro, se debe elegir el menor de todos. Puede dar un ejemplo en un ámbito menor:
menores que 100
100
101
102
103
mayores que 100
Para elegir el número menor más cercano a otro, se debe elegir el mayor de todos.
97
98
99
Para finalizar el estudio del capítulo, invítelos a registrar las ideas más importantes del aprendizaje de los números grandes siguiendo la estructura que se plantea en el texto en ¡Cómo usar tu cuaderno!
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 12 • Tomo 1
Ticket de de salida página 10 • Tomo 1

Capítulo 2

Multiplicación

9 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo los estudiantes profundizarán en el estudio de multiplicaciones entre números naturales de dos cifras utilizando diversas técnicas de cálculo, la estimación y las propiedades de los números para facilitar los cálculos.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA2: Aplicar estrategias de cálculo mental para la multiplicación:
Anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10.
Doblar y dividir por 2 en forma repetida.
Usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.
OA3: Demostrar que comprenden la multiplicación de números naturales de dos dígitos por números naturales de dos dígitos:
estimando productos.
aplicando estrategias de cálculo mental.
resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando el algoritmo.
Aprendizajes previos
Multiplican números de tres dígitos por números de un dígito usando el algoritmo y estiman estos productos.
Aplican estrategias de cálculo mental y la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma para calcular multiplicaciones.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de
las matemáticas.

P. 27

Propósito
Que los estudiantes reconozcan las multiplicaciones que saben resolver y que las usen para elaborar estrategias para calcular multiplicaciones entre números de dos dígitos con uno múltiplo de 10.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Tabla presentada en la pizarra del Texto del Estudiante para proyectar o dibujar.
Gestión
Presente el capítulo a los estudiantes, en el que se abordarán nuevas situaciones que involucran el cálculo de multiplicaciones, invitándolos a reconocer cuál de las operaciones mostradas en la pizarra han resuelto en cursos anteriores. Se espera que indiquen que saben resolver todas las operaciones de la primera columna, pero de la segunda columna solo la que corresponde a un número de un dígito por un número de dos dígitos.
Presente el problema de los stickers, invítelos a reconocer los datos que entrega (La cantidad de grupos de stickers, 30, y la cantidad de stickers por grupo, 4). Luego, plantee la Actividad 1 y pregúnteles: ¿qué operación matemática permite resolver el problema? (Multiplicación).
A continuación, presénteles la Actividad 1 a) cuya respuesta esperada es 30 • 4 y pregúnteles: ¿qué representa el primer término de la multiplicación? (La cantidad de grupos) ¿Y el segundo término? (La cantidad de elementos por grupo) e invítelos a explicar alguna estrategia para resolver esta operación, que ya ha sido abordada en niveles anteriores, multiplicando el 3 por el 4 y anexando un cero al producto, ya que se está multiplicando por 30.

P. 28

Propósito
Que los estudiantes busquen estrategias para calcular multiplicaciones entre números de dos dígitos, con uno o ambos múltiplos de 10.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Ideas de Ema y de Juan para presentar en la pizarra.
Matriz de puntos de la Actividad 2 para cada estudiante.
Gestión
Enfatice en que hay distintas formas de plantear la operación que permite resolver el problema de los stickers invitándolos a explicar las ideas de Ema y de Juan, haciendo preguntas que les permitan comprender por qué plantearon cada expresión, como, por ejemplo: ¿cómo agrupó Ema? (Hizo 3 grupos con 10 grupos de 4 stickers) ¿Cómo agrupó Juan? (Hizo 10 grupos con 3 grupos de 4 stickers).
Luego, invítelos a explicar cómo calcularían 10 • 12. Pregúnteles: ¿es posible calcular utilizando la estrategia de anexar ceros? Se espera que los estudiantes infieran que independiente de la cantidad de dígitos de los factores,  es posible aplicar esta estrategia. Lo importante es no olvidar considerar el o los ceros en el producto.
Presente la Actividad 2. Entregue a los estudiantes la matriz de puntos e invítelos a explorarla de manera que se den cuenta que:
cada tarjeta tiene 4 filas con 3 puntos cada una.
la matriz tiene 10 filas con 10 tarjetas cada una.
Por lo tanto, para saber cuántas filas de puntos hay en total en la matriz, se debe calcular 10 veces 4 filas  (10 • 4), y para saber la cantidad de puntos en cada columna, se debe calcular 10 veces 3 puntos (10 • 3). Finalmente, para saber la cantidad total de puntos se debe multiplicar 10 • 4 y 10 • 3.
Luego, sin ver sus textos, pídales plantear la expresión matemática que permite calcular el total de puntos. Motive la discusión acerca de cuál es la estrategia que facilita el cálculo de esta expresión. Pregúnteles: ¿cuántos dígitos tiene cada número? (2) ¿Alguno es múltiplo de 10? (Ambos números) ¿Qué estrategia facilitará este cálculo? Se espera que nuevamente reconozcan que anexar ceros sigue siendo una estrategia válida para el cálculo entre dos números que son múltiplos de 10.
Ahora, pídales abrir sus textos y explicar lo que se plantea en él. Es importante que se den cuenta de que en este caso se deben anexar dos ceros al producto, ya que se multiplica 10 por 10, cuyo resultado es 100 que tiene dos ceros. Destaque las ideas del monito del monte. Primero considerando la descomposición como una estrategia que facilita la comprensión de la estrategia de anexar ceros, y luego sistematizando la idea que presenta para este cálculo.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo de manera que los estudiantes no olviden agregar el o los ceros en los respectivos productos.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno  de Actividades.
Consideraciones didácticas
El dominio de las tablas de multiplicar es fundamental para realizar los cálculos de multiplicación. Es importante que si los estudiantes no las saben de memoria, sean capaces de construirlas a partir de resultados conocidos con el fin de facilitar los cálculos.

Cuaderno de Actividades página 13 • Tomo 1
Ticket de salida página 28 • Tomo 1

P. 29

Propósito
Que los estudiantes comprendan y apliquen la estrategia de cálculo mental que consiste en multiplicar y dividir por 2.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Representación de las 5 cajas con las 36 bolitas cada una para la pizarra.
Gestión
Presente la Actividad 3 a los estudiantes y plantee el problema apoyado con la representación de las 5 cajas con las 36 bolitas en la pizarra. Pida a los estudiantes escribir la expresión matemática solicitada en a). Luego, invítelos a responder la pregunta b). Los estudiantes podrían mencionar diversas estrategias, como por ejemplo descomponer, uso del algoritmo, entre otras.
Pídales seguir las pistas que dan los niños para plantear la nueva expresión que resulta al multiplicar por 2 el 5 y dividir por 2 el 36 y pregúnteles: ¿esta expresión es equivalente a la original? (Sí) ¿Es más fácil calcular este producto de manera mental? (Sí) ¿Por qué? (Porque uno de los factores es 10, por lo que solo se agrega un cero al otro factor para obtener el resultado).
Pida a los estudiantes leer la Actividad 4 dándoles un tiempo para analizarla. Luego, pregúnteles: ¿qué hace Ema con los factores? (Divide un factor por un número y el otro factor lo multiplica por este mismo número) ¿Cuántas veces aplica la técnica? (2) ¿Por qué? (Porque el cálculo obtenido al aplicarla por segunda vez es más fácil) ¿Por qué número divide? (2) Entonces, ¿por cuál número debe multiplicar? (2). Puede pedirles a los estudiantes que realicen los cálculos 24 • 15 y 6  • 60 con calculadora y verifiquen que se obtiene el mismo resultado. Destaque que 24 veces 15 es igual a 12 veces 30 y a 6 veces 60.
Ahora, invite a los estudiantes a evaluar la pertinencia del uso de esta técnica de cálculo, ya que no siempre es factible aplicarla dependiendo de los números involucrados. Pregúnteles: ¿qué hubiera pasado si el 15 se divide por 2? Se espera que los estudiantes reconozcan que en los números naturales no es posible dividir el 15 por 2, por lo que esta técnica no facilita el cálculo.
Sistematice la técnica de cálculo aprendida a partir del recuadro del monito del monte, destacando que no siempre es conveniente utilizarla, por lo que se deben evaluar los números involucrados en el cálculo antes de aplicarla.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo de manera que los estudiantes apliquen correctamente la estrategia de multiplicar y dividir por 2 repetidamente luego de evaluar los números involucrados para determinar cuál factor conviene dividirlo por 2 y cuál multiplicarlo.

P. 30

Propósito
Que los estudiantes comprendan y apliquen las propiedades de la multiplicación para elaborar estrategias de cálculo.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Rectángulo de la Actividad 5 para presentar en la pizarra.
Gestión
Presente la Actividad 5 a los estudiantes mostrando el rectángulo con sus respectivas medidas en la pizarra. Pregúnteles ¿cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo? Esto lo debieron aprender en 4° básico. No obstante, si es necesario, recuérdeles la fórmula:
Área de un rectángulo = largo • ancho
Invítelos a que en parejas escriban y expliquen la expresión matemática con la cual calcularán el área del rectángulo. Considere que pueden ser variadas las expresiones. Lo importante es que incluyan los elementos de la fórmula ya mencionados. También pídales explicar cómo resolverán cada operación.
Luego, invítelos a analizar y comparar las ideas de los niños del Texto del Estudiante. Pregúnteles: ¿cómo lo hizo cada niño? ¿Alguna de las ideas de los niños se parece a la forma que calcularon ustedes? ¿En cuál caso el cálculo es más fácil? ¿Por qué?
Pídales relacionar las ideas de los niños entre ellas, por ejemplo las que tienen los mismos números. Para esto, pregúnteles: ¿cuáles ideas consideran los mismos números? (La de Juan con la de Sami y la de Gaspar con la de Sofía) ¿Cuál es la diferencia en el planteamiento de cada operación en los casos que consideran los mismos números? Se espera que los estudiantes reconozcan que en el caso de las ideas de Gaspar y de Sofía son equivalentes, ya que se utiliza la distributividad de la multiplicación sobre la suma porque es una estrategia que vienen utilizando para construir las tablas de multiplicar desde 2° básico. En estos casos, las ideas consideran calcular el área de los dos rectángulos pequeños, y luego sumarlas. En el caso de las ideas de Juan y Sami, se espera que infieran que se relacionan porque ambas plantean calcular el área del rectángulo grande utilizando los mismos números, pero en distinto orden, lo que implica otra interpretación del rectángulo.
Para finalizar, invite a los estudiantes a resolver cada una de las expresiones presentadas en las ideas de los niños y comprobar que con todos los cálculos se obtiene el mismo resultado.
Consideraciones didácticas
Formalmente los estudiantes no conocen todavía la prioridad para el cálculo y el significado de los paréntesis, ya que no han resuelto operaciones combinadas que involucran las cuatro operaciones.
Para que esto no sea una dificultad en la comprensión de las propiedades de la multiplicación, se sugiere explicarlas en función de lo que representan en el problema.

P.31

Propósito
Que los estudiantes comprendan y apliquen las propiedades de la multiplicación para elaborar estrategias de cálculo.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Rectángulo de la Actividad 6 para presentar en la pizarra.
Gestión
Sistematice la Actividad 5 de la página anterior a partir de lo presentado en el recuadro del monito del monte. Invite a los estudiantes a explicar de qué se trata cada propiedad de la multiplicación fijándose en la ubicación de cada figura. Pregúnteles: ¿a qué se refiere la propiedad conmutativa? (El cambio de orden de los factores no altera el producto) ¿A qué se refiere la propiedad asociativa? (Si se tienen tres factores o más, se pueden agrupar de distintas maneras para facilitar el cálculo de la multiplicación y el producto será el mismo) ¿A qué se refiere la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma? (A que el producto entre un número y una suma, es lo mismo que la suma de dos productos que tienen en común un factor).
Para evaluar la comprensión de las propiedades de la multiplicación, invite a los estudiantes a ejemplificar con números cada una de estas y establecer en qué casos facilitaron cada cálculo.
Presente la Actividad 6 a los estudiantes mostrando el rectángulo en la pizarra. Destaque que deben considerar la fórmula para el cálculo del área de un rectángulo para plantear la expresión que corresponda. Se espera que sean variadas las expresiones planteadas, por ejemplo: (2 + 2) • (7 + 7),  (2 • 2) • (2 • 7), 2 • (2 • 2 • 7), entre otras. Por esto, invítelos a coevaluarse preguntándoles: ¿permite la expresión de tu compañero calcular el área del rectángulo? ¿Son correctos los datos que consideró? ¿Cuál expresión permite calcular de manera más fácil? ¿Qué propiedad de la multiplicación aplicó en el cálculo?
Destaque que el uso de las propiedades de la multiplicación permite elaborar una estrategia que se puede aplicar para facilitar los cálculos.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo y guíe a los estudiantes a aplicar las propiedades de manera que facilite el cálculo en cada caso. En a) se espera que agrupen 4 y 25 y este resultado lo multipliquen por 9. En b), que agrupen 5 y 2 y luego multipliquen por 43. En c), deberían sumar 48 y 52 y este resultado multiplicarlo por 4. En d), sumar 6 y 4, y luego multiplicar por 14.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 14  • Tomo 1
Tickets de salida página 31 • Tomo 1

P. 32

Propósito
Que los estudiantes estimen productos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente la Actividad 1 a los estudiantes. Invítelos a trabajar en parejas y a discutir acerca del significado de la palabra aproximadamente. Pregúnteles: ¿qué significa aproximadamente? ¿En qué casos se utiliza esta palabra? Se espera que los estudiantes apliquen sus conocimientos referentes a estimación y expliquen que aproximadamente implica un resultado cercano al real, no una cantidad exacta. Luego, invítelos a plantear la expresión matemática que resuelve el problema. Destaque que el objetivo de este problema no es encontrar un resultado exacto, sino que uno aproximado, por lo cual es posible redondear los factores involucrados en el cálculo de manera que este sea más fácil. En este caso, se espera que los estudiantes aproximen uno de los factores a la decena más cercana. Pregunte: ¿de cuál número terminado en cero está más cerca 38? (40). Si los estudiantes tienen dificultades en reconocerlo, puede dibujar una recta numérica en la pizarra y así podrán visualizarlo.
Ahora, la expresión matemática es mucho más simple de resolver, ya que considera el producto entre dos múltiplos de 10, por lo que se espera que los estudiantes mencionen la estrategia de anexar ceros al producto. En este caso se deben agregar dos ceros luego de multiplicar los dígitos de las decenas de los factores. Para finalizar, invite a los estudiantes a responder la Actividad 1 c) diciendo la cantidad aproximada de latas que se recolectarán en esta campaña.
Destaque que la estimación no se puede usar en todos los casos, sino que solo en aquellos que se quiere tener un número cercano al resultado, pero no una cantidad exacta.
Invite a los estudiantes a realizar la Actividad 2. Pregúnteles: ¿qué hacen para estimar? Como el objetivo de la estimación es anticiparse a un resultado razonable, se espera que mencionen que se deberían redondear ambos factores a su decena más cerca. Pídales analizar caso a caso. En a) y en b) es más evidente la operación que se debe elegir para estimar los productos, porque el 83 está más cerca del 80 que del 90 y el 78 más cerca del 80 que del 70;  pero es importante también que los estudiantes evalúen y reconozcan que no en todos los casos en que se considera la operación con las decenas más cercanas el resultado aproximado obtenido es el más cercano al resultado real; por ejemplo, cuando uno de los factores tiene 5 en la unidad. Específicamente, en c), luego de que elijan una de las operaciones, dígales el resultado real para que ellos evalúen con cuál de las 2 operaciones obtienen un resultado más cercano a este. Sistematice el trabajo de estimación presentando la información del recuadro del monito del monte.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo y guíe a los estudiantes a aproximar cada factor para luego realizar el cálculo correspondiente. También, en el caso que lo consideren necesario o les amerite duda, evaluar si hay otra operación aproximada que les dé un resultado estimado más cercano al real.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 15 • Tomo 1
Ticket de salida página 32  • Tomo 1

P. 33

Propósito
Que los estudiantes analicen estrategias para resolver multiplicaciones entre números de dos dígitos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1. Verifique la comprensión que tienen del problema preguntándoles: ¿qué deben encontrar? (La cantidad total de hojas que se necesitan) ¿Con cuáles datos cuentan para resolver el problema? (Con la cantidad de niños y la cantidad de papel que necesita cada uno) ¿Qué operación matemática permite encontrar el resultado del problema? (Multiplicación) ¿Son suficientes los datos que se tienen? (Sí). Ahora, invítelos a plantear la expresión matemática, la que considera el producto entre 2 números de 2 dígitos, y dé tiempo para que exploren, busquen una manera de calcular, poniendo en juego lo que saben: multiplicación por un múltiplo de 10 y multiplicación de números de hasta tres dígitos por números de un dígito, y expliquen cómo calcularían.
Invite a los estudiantes a analizar la idea de Sofia. Pregúnteles; ¿qué hizo Sofía con el primer factor de la expresión? (Lo descompuso según valor posicional) ¿Cómo siguió su cálculo? (Multiplicando cada valor posicional por el otro factor y sumando estos productos parciales). Luego, pida a los estudiantes responder la pregunta c), en la que se espera que indiquen que la representación de manera vertical considera los 21 elementos y que ahí se pueden hacer 3 grupos de 21 y 10 grupos de 21.
A continuación, invite a los estudiantes a recordar cómo aplican el algoritmo para resolver multiplicaciones. Cabe destacar que en cursos anteriores calcularon multiplicaciones de números de 3 dígitos por números de un dígito usando esta estrategia.

P. 34

Propósito
Que los estudiantes justifiquen el funcionamiento del algoritmo tradicional de la multiplicación como estrategia para resolver multiplicaciones entre números de dos dígitos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Continúe invitando a los estudiantes a analizar las ideas de Gaspar y de Sami . Para esto, puede presentarlas en la pizarra sin las flechas que relacionan la representación pictórica con la simbólica y pidiendo a los estudiantes que lo hagan. Para la idea de Gaspar pregunte: ¿qué calculó primero? (3 grupos de 21) ¿Por qué? ¿Y después? (10 grupos de 21) ¿Por qué? ¿Qué hizo finalmente? (Sumó los productos parciales) ¿Por qué? Para la idea de Sami, pregúnteles: ¿en qué se diferencia con la idea de Gaspar? Se espera que los estudiantes reconozcan que Gaspar solo descompuso el 13, mientras que Sami descompuso ambos factores, el 21 como 20 y 1, y el 13 como 10 y 3, y sus resultados parciales son 3 grupos de 1, 3 grupos de 20, 10 grupos de 1 y 10 grupos de 20, lo que luego sumó. Es importante que ellos visualicen la resolución mediante el algoritmo y no se queden solo en la mecánica del cálculo entre dos números.
Para los estudiantes que tengan dificultades en la comprensión de las ideas de los niños, puede facilitarles el uso de material concreto para representar las cantidades.
Sistematice la aplicación del algoritmo tradicional de la multiplicación para resolver multiplicaciones entre números de 2 dígitos explicando cada paso. Es importante que los estudiantes comprendan que al aplicar el algoritmo se debe comenzar de derecha a izquierda multiplicando siempre desde las unidades. También destaque que al multiplicar por la decena, en este caso 10, se comienza escribiendo el resultado parcial una posición hacia la izquierda si no se considera el cero de este factor.
Ahora invite a los estudiantes a realizar la Actividad 2. Esta le permitirá evaluar la comprensión alcanzada acerca de la aplicación del algoritmo. Pida a los estudiantes verbalizar cada paso realizado en la aplicación del algoritmo para resolver la multiplicación. Puede apoyar esto con dibujos o material concreto. Lo importante es que el estudiante reconozca que se comienza de derecha a izquierda siempre por las unidades. Pregúnteles: ¿a cuántos grupos de 26 corresponde el 78? (3) ¿A cuántos grupos de 26 corresponde el 52? (20). En esta última pregunta destaque que no se multiplica por 2, sino por 20. Por esto el resultado parcial se escribe una posición corrida hacia la izquierda.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo y guíe a los estudiantes a verbalizar cada paso para verificar que siempre comiencen de derecha a izquierda y que al multiplicar por la cifra de la decena, ubiquen correctamente el resultado parcial para considerarlo en la suma.

P. 35

Propósito
Que los estudiantes apliquen el algoritmo tradicional de la multiplicación como estrategia para resolver multiplicaciones entre números de dos dígitos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente la Actividad 3 a los estudiantes. En este caso no está el apoyo de los resultados parciales por lo que puede permitirles resolver ambas operaciones aplicando el algoritmo, y luego explicar esta resolución. Es importante que en su explicación consideren que se debe comenzar de derecha a izquierda, partiendo por las unidades, y que los resultados parciales se registran según el valor posicional del dígito por el cual se está multiplicando. Pregúnteles: ¿cómo comenzaron el cálculo? ¿Por cuál número multiplicaron primero? ¿Por cuál después? ¿Dónde ubicaron los resultados parciales?
Invite a los estudiantes a evaluar sus resultados. Para esto, pueden calcular un resultado estimado y compararlo con el obtenido. Así podrán determinar si es razonable.
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la Actividad 4. Pregúnteles: ¿cómo calcularían 35 • 70? Anote las distintas ideas en la pizarra. Puede que los estudiantes mencionen estrategias ya estudiadas porque uno de los factores es un múltiplo de 10. Luego, invítelos a analizar las ideas de Sofía y de Juan. Pregúnteles: ¿qué hizo primero Sofía? (Multiplicó por cero) ¿Qué hizo a continuación? (Multiplicó por 70) ¿Es posible que Sofía lo hiciera en menos pasos? (Sí, ya que al multiplicar por 70 solo podría haber registrado el cero y no realizar el primer paso) ¿Cómo lo hizo Juan? (Consideró el número sin el cero, y luego lo agregó al producto).
Ahora, pídales responder la pregunta b) contrastando esta respuesta con lo dicho al comienzo de la resolución de la Actividad 4. Se espera que los estudiantes comprendan que la idea de Juan es más eficaz que la de Sofía y que es la que deberían utilizar en los cálculos que consideran la multiplicación entre números de dos dígitos siendo uno múltiplo de 10.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo y guíe a los estudiantes a resolver cada operación aplicando el algoritmo, fijándose en el orden del cálculo y el registro de los resultados parciales. Intencione que los estudiantes evalúen la pertinencia del resultado obtenido.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 16 • Tomo 1
Tickets de salida página 35 • Tomo 1

P. 36

Propósito
Que los estudiantes amplíen el uso del algoritmo tradicional de la multiplicación para resolver multiplicaciones entre números de hasta tres dígitos y números de hasta dos dígitos.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Presente la Actividad 5 a los estudiantes. Primero invítelos a caracterizar la multiplicación. Pregúnteles: ¿cuántos dígitos tiene el primer factor? (3) ¿Cuántos tiene el segundo? (2) ¿Han resuelto este tipo de multiplicaciones antes? Se espera que los estudiantes reconozcan no haberse enfrentado a este tipo de multiplicaciones, pero que mencionen que es posible resolverla utilizando alguna de las estrategias aprendidas.
Ahora, invítelos a explicar cómo fue resuelta la operación. Pregúnteles: ¿qué se hizo con el segundo factor? (Se descompuso de acuerdo a los valores posicionales) ¿Cuál es el primer resultado parcial? (246) ¿Cuál es el segundo resultado parcial? (3 690) ¿Qué se debería hacer para obtener el resultado de la multiplicación? (Sumar los productos parciales).
Continúe invitando a los estudiantes a resolver la Actividad 6. Pídales primero verbalizar cómo resolverían la multiplicación entre un número de 3 dígitos y otro de 2 dígitos usando el algoritmo. Si es necesario, permítales utilizar apoyo concreto o pictórico para que visualicen el cálculo. Luego de esto, invítelos a escribir cada paso tal como se presenta en la página 108 para el cálculo entre números de 2 dígitos.
A continuación, presente la Actividad 7. Lea en conjunto con sus estudiantes el problema, partiendo por su comprensión e identificación de los datos y la pregunta que se debe responder. Luego, invítelos a plantear la expresión matemática que representa el problema y permite resolverlo y a estimar un resultado para que luego lo contrasten con el resultado obtenido y evalúen si es un resultado razonable. Después pídales resolver la operación aplicando el algoritmo aprendido y a responder la pregunta del problema.
Destaque que el algoritmo es una mecánica que siempre funciona igual, por lo que se puede aplicar a cálculos de números con distinta cantidad de dígitos. Mientras más dígitos tenga el número, más eficaz es el algoritmo, exceptuando números terminados en cero. Cuando los números tienen muchas cifras, por ejemplo 12 567 • 5 443, es conveniente usar la calculadora.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. Monitoree este trabajo y guíe a los estudiantes a resolver cada operación aplicando el algoritmo, fijándose en el orden del cálculo y el registro de los resultados parciales.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 17 • Tomo 1
Ticket de salida página 36 • Tomo 1

P. 37

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el cálculo de multiplicaciones.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Ejercicio 1 los estudiantes deben aplicar estrategias de cálculo mental para resolver. Se espera que para resolver a) y b) apliquen la estrategia de multiplicar y dividir por 2. En c) se espera que apliquen la propiedad asociativa de la multiplicación, asociando primero 4 y 25. En d) se espera que apliquen la misma propiedad, asociando 2 y 35. Para e) y f) se espera que apliquen la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, pero en sentido opuesto al habitual. En e) que sumen 18 y 2, y luego multipliquen por 5, y en f), que sumen 6 y 4, y luego multipliquen por 20.
En el Ejercicio 2 los estudiantes deben estimar productos. Observe que redondeen los factores a la decena más cercana antes de calcular. Recuérdeles que a veces esta operación con factores aproximados no entrega el resultado más cercano al real. En estos casos, a veces conviene aproximar a la decena que está en el otro extremo.
En el Ejercicio 3 los estudiantes deben calcular multiplicaciones de números de hasta de 3 cifras por números de hasta 2 cifras. Monitoree que realicen y registren correctamente todos los resultados parciales, y luego los sumen. Ponga atención cuando los estudiantes usen el algoritmo, pues cuando se inician en el estudio de las multiplicaciones por dos dígitos, es habitual que cometan el siguiente error:
32 • 23
96
64
Si esto ocurre, oriéntelos a reconocer que al multiplicar por el dígito de las decenas, se está multiplicando por un número terminado en cero, por lo tanto, el segundo producto parcial también terminará en cero, o puede explicar que el 64   corresponde a la multiplicación entre 2 y 32 y no entre 20 y 32, como lo plantea la operación.
En el Ejercicio 4 los estudiantes deben resolver un problema con una multiplicación. Es importante que comiencen por la comprensión del problema para que planteen correctamente la expresión matemática que lo representa y permite resolverlo. Luego, esta se puede resolver con alguna de las estrategias estudiadas en el capítulo.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 18 • Tomo 1
Ticket de salida página 37 • Tomo 1

P. 38

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de  las multiplicaciones.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
En el Problema 1 los estudiantes deben demostrar su comprensión acerca de la resolución de multiplicaciones entre números de dos dígitos usando el algoritmo tradicional. Es importante que los estudiantes comprendan que se multiplica siempre de derecha a izquierda registrando los resultados parciales uno bajo el otro porque luego deben sumarlos.
En el Problema 2 los estudiantes deben evaluar si los cálculos son correctos. Esta actividad implica una comprensión profunda del funcionamiento del algoritmo de la multiplicación, tanto para calcular multiplicaciones entre números de dos dígitos como entre números de tres dígitos y de dos dígitos, ya que se debe revisar paso a paso si se cometió un error. En a) el error está en que no se consideraron los reagrupamientos en los resultados parciales. En b) el error corresponde a la mala ejecución de los cálculos parciales al no considerar el 0 de las decenas en el primer factor.
En el Problema 3 se debe comprender el problema y plantear la multiplicación que lo representa y permite resolverlo. Luego, se debe calcular el resultado de la multiplicación aplicando la estrategia que más facilita el cálculo de cada estudiante.
El Problema 4 requiere una comprensión profunda del funcionamiento del algoritmo tradicional para calcular multiplicaciones entre números de dos dígitos. Puede guiar a los estudiantes invitándolos a fijarse primero en los dígitos que están disponibles. Por ejemplo en a), el dígito que debe ir en el recuadro rojo multiplicó al “3” y dio como resultado el mismo “3”, por lo que se puede deducir que el dígito del recuadro rojo es un 1. En b) puede preguntar: si un número se multiplica por 6 y el resultado termina en 6, ¿cuál es el dígito de las unidades de ese número? (6). De esta manera pueden concluir que el dígito del recuadro rojo es 6 y el del recuadro verde es 5, porque 96 • 6 es 576. Así es posible ir descartando y encontrando los números que deben ir en cada recuadro de color.  Destaque que se debe comenzar por aquellos números en los que, con los datos que se tienen, se puede obtener una sola respuesta.

P. 39

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio de las multiplicaciones.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto.
El Problema 5 es un problema no rutinario en el que los estudiantes deben poner en juego todos sus conocimientos acerca de la multiplicación.
En a) deben plantear una multiplicación entre números de dos dígitos organizando los dígitos de las tarjetas mencionadas de tal manera que se obtenga el producto mayor. Guíe a sus estudiantes a inferir que el mayor resultado posible se obtiene multiplicando los números mayores que se puedan formar. Como deben formar dos números de dos dígitos, deberían ubicar los dos mayores en las decenas de cada número y los dos menores en las unidades, así los números deberían ser 75 y 84.
En b) deben explicar por qué se obtienen los mismos resultados a partir de dos operaciones en que sus factores intercambian de orden sus dígitos. Para ello, invítelos a revisar los productos parciales e identificar aquellos que son equivalentes. Luego, a relacionar aquellos que tienen intercambiado el múltiplo de 10.
En c) deben plantear distintas multiplicaciones e intercambiar los dígitos de sus factores y demostrar que esta regla funciona en otros casos.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 19 • Tomo 1

Capítulo 3

División 1

13 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo los estudiantes profundizarán el estudio de las divisiones, comprendiendo el significado del resto en el contexto de la resolución de problemas. Además, aprenderán distintas técnicas para resolver divisiones de números de tres dígitos por números de un dígito.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA4: Demostrar que comprenden la división con dividendos de tres dígitos y divisores de un dígito:
interpretando el resto.
resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que impliquen divisiones.
Aprendizajes previos
Calculan divisiones de números de dos dígitos por números de un dígito sin resto.
Resuelven problemas multiplicativos que involucran divisiones.
Actitud
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

3

P. 40

Propósito
Que los estudiantes calculen divisiones y comprendan el significado del resto.
Habilidad
Representar.
Recursos
Cubos u otro material para contar (23 por estudiante).
Gestión
Presente el nuevo capítulo a los estudiantes el que se abordará la división e invítelos a contar la cantidad de manzanas y la de naranjas. Luego, pídales buscar elementos para representar estas cantidades con cubos o el material que dispongan.
Pida a un estudiante leer la problemática presentada y pregúnteles: ¿cuántas frutas tiene la niña? (20) ¿Cuántas frutas tiene el niño? (23) ¿Cuántas frutas se deben poner en cada bolsa? (4).
Tenga en consideración que esta actividad tiene como objetivo activar los conocimientos de los  estudiantes respecto de la división y explorar las situaciones que involucran una división con resto. Por esto se sugiere invitar a los estudiantes a representar las situaciones con el material que dispongan y, a partir de ello, responder: ¿cuántas bolsas llenará cada niño? (Ambos niños llenarán 5 bolsas). Luego, genere una discusión en torno a los dichos de los niños con el fin de acercarse al significado del resto en una división. Puede preguntarles: ¿en qué se diferencian la situación de las manzanas y la de las naranjas? Se espera que respondan que al agrupar de a 4 las 20 manzanas, no sobran, en cambio al agrupar de a 4 las 23 naranjas, sobran 3. Los estudiantes deben reconocer que la división asociada a la situación de las manzanas es conocida y que la división asociada a la situación de las naranjas no es del mismo tipo. Verifique esta comprensión preguntando ¿qué otras situaciones se resuelven con una división similar a la de las naranjas?
Consideraciones didácticas
El problema presentado es de agrupamiento porque se entrega la cantidad de elementos que tiene cada grupo. Este dato es fundamental, ya que las naranjas que sobran (resto) no se pueden poner en las bolsas que ya tienen 4 naranjas.

P. 41

Propósito
Que los estudiantes busquen y analicen distintas estrategias que permitan resolver una división con resto.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Cubos u otro material para contar (23 por estudiante).
Gestión
Continúe el trabajo enfocándose en la situación de las naranjas. En primer lugar, asegúrese de que todos los estudiantes cuenten con elementos para representar la cantidad de naranjas (23) con el fin de que puedan visualizar la cantidad total de elementos, la cantidad de elementos de cada grupo, la cantidad de grupos y la cantidad de elementos que sobran o resto.
Presente la Actividad 1 y pregunte a sus estudiantes: ¿cuál es la expresión que representa el problema y permite resolverlo? (23 : 4) ¿Por qué la división es la operación que permite resolver el problema? (Porque se busca la cantidad de bolsas que se usarán o la cantidad de grupos) ¿Qué representa el 23 en la expresión? (Cantidad de objetos) ¿Y qué representa el 4? (La cantidad de objetos que debe tener cada grupo).
Puede darse el caso de que algunos estudiantes  digan que se asocia a una multiplicación porque piensan en un número que multiplicado por 4 resulte 23. De ser así, intencione que reconozcan la relación que existe entre ambas operaciones, pues en ambos casos se debe buscar la cantidad de grupos.
Luego que está claro el problema y que los estudiantes comprendieron el significado de la expresión matemática que permite solucionarlo, continúe el trabajo enfocándolo en cómo calcular.
Invite a sus estudiantes a plantear distintas estrategias de resolución. Puede guiar este momento con preguntas: ¿por qué la niña se pregunta si existe un número que multiplicado por 4 resulte 23? ¿Cómo quiere resolver? Se espera que los estudiantes reconozcan la utilidad del uso de las tablas de multiplicar en la resolución de una división.
Para continuar, invítelos a explicar las ideas de Gaspar y de Sofía y refuerce los términos de la división dando énfasis al resto, para lo cual puede utilizar lo que dice la profesora.
También se sugiere generar una discusión en torno a la pregunta: ¿la solución al problema es el número que multiplicado por 4 es más cercano a 23?, con la que se espera que los estudiantes comprendan que el 6 es el número más cercano, ya que 6 • 4 = 24. Sin embargo, no  es la solución, ya que solo hay 23 elementos.
Consideraciones didácticas
Una de las dificultades que presentan los estudiantes es identificar la operación que resuelve el problema, ya que tienden a relacionar palabras clave como “repartir”, “agrupar” o “dividir” solo a la división, como por ejemplo en el siguiente problema: Si se repartieron 2 naranjas a cada uno de los 6 niños, ¿cuántas naranjas se repartieron en total?, que se resuelve con una multiplicación, a pesar de que incluye la palabra repartir.

P. 42

Propósito
Que los estudiantes comprendan el significado del resto en una división.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Cubos u otro material para contar (23 por estudiante).
Gestión
Invite a los estudiantes a que entreguen una respuesta completa al problema que considere la cantidad de bolsas que se completaron y la cantidad de naranjas que quedaron sin embolsar. Así, es posible verificar el nivel de comprensión alcanzado por los estudiantes con respecto al significado del resto en una división. Invítelos a verbalizar la resolución; por ejemplo, si se embolsan de a 4 las 23 naranjas, se completan 5 bolsas y quedan 3 naranjas sueltas.
Para sistematizar, pida a un estudiante leer lo que dice la profesora y pregúnteles: ¿cuándo un número es divisible por otro? (Cuando al calcular la división no hay resto) ¿Cuándo un número no es divisible por otro? (Cuando al calcular la división hay resto). Verifique la comprensión de este concepto invitando a los estudiantes a dar otros ejemplos de números divisibles por otros y también aquellos que no lo son. Puede complementar esta actividad preguntado: ¿hay números que son divisibles por más de un número? y que den ejemplos (12 es divisible por 3 y por 4).
Presente a los estudiantes la Actividad 2 y pregúnteles: ¿cuál expresión matemática representa el problema y permite resolverlo? (42 : 5) ¿Qué significa cada término de la expresión planteada? (42 representa la cantidad total de castañas y 5, la cantidad de niños en que se deben repartir las castañas, esto es, la cantidad de grupos) ¿Qué es lo que se debe encontrar? (La cantidad de castañas que recibirá cada niño, esto es, la cantidad de objetos por grupo). Asegúrese de que comprenden el problema antes de realizar el cálculo.
En la etapa de cálculo invite a sus estudiantes a presentar las estrategias que utilizaron para resolver la división. Considere que algunos estudiantes podrían pensar que 9 es la solución, ya que 5 • 9 = 45. Ofrezca la posibilidad de que los estudiantes  puedan utilizar cubos o el material concreto que dispongan para representar la situación.
Luego, ínstelos a entregar la respuesta, dando especial énfasis a la interpretación del resto. Verifique que todos los estudiantes comprendieron que en este caso cada niño recibirá 8 castañas y que quedan 2 sin repartir antes de invitarlos a trabajar de manera independiente en la resolución del problema de la sección Practica. Monitoree este trabajo poniendo atención en que los estudiantes logren identificar la operación correcta (34 : 6) y entreguen la respuesta al problema. Si surgen dificultades, pídales utilizar distintas representaciones, como dibujar o usar el material concreto.
Consideraciones didácticas
Es posible que en algunas situaciones los estudiantes propongan seguir dividiendo el resto, como en el caso de las naranjas, en que faltaría dividir las 3 que quedan en 4 trozos iguales.
No obstante, hay situaciones en que esto no es posible, como si se reparten globos o pelotas. En este caso, debe quedar claro que el tipo de elementos que se está repartiendo no es  fraccionable.

Ticket de salida página 42 • Tomo 1

P. 43

Propósito
Que los estudiantes comprendan la relación entre el divisor y el resto de una división.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Cubos u otro material para contar (12 por estudiante).
Tarjetas con números del 0 al 12 (1 set por estudiante).
Gestión
Recuerde junto con sus estudiantes los términos de la división: dividendo, divisor, cociente y resto. Invítelos a dar un ejemplo que los considere. También puede pedirles que creen situaciones que se resuelvan con una división con resto.
Presente la Actividad 3. Invite a sus estudiantes a identificar cuál es el divisor y cuáles son los dividendos. Para ello, puede utilizar las tarjetas con los dividendos ordenados de mayor a menor. Pídales responder: ¿cuál es el resto para los dividendos 7, 6 y 5 si el divisor es 4? (3, 2 y 1, respectivamente) ¿Hay alguna relación con las divisiones cuyo dividendo es 11, 10 y 9? (Los restos son los mismos que en las divisiones con dividendo 7, 6 y 5) ¿Puede darse el caso que el resto sea 4? ¿Por qué? (No). En esta pregunta, motive la discusión orientando a que los estudiantes se den cuenta que si el resto es 4, se podría formar otro grupo. Para la pregunta, ¿qué sucedería si el dividendo es 3? es importante que los estudiantes visualicen que en los números naturales no es posible dividir un número menor por uno mayor y que, por lo tanto, el resto siempre será el dividendo. Si lo considera necesario, puede permitir el uso de material concreto para representar las cantidades.
Luego, sistematice esta actividad con sus estudiantes relevando la idea de que al dividir por 4 los dividendos desde el 12 al 4, el resto sigue un patrón (se repite 0, 3, 2, 1). Esto quiere decir que el 12 es divisible por 4 porque al hacer la división el resto es 0. Por lo anterior, podríamos asegurar que 11 no es divisible por 4, ya que se quitó 1 al dividendo, por lo tanto, el resto será 3. Así, es posible anticipar los siguientes restos hasta la cuarta operación en que se divide 8 entre 4 y no queda resto. Luego, se vuelve a repetir el patrón de los restos. A partir de esto, invítelos a explicar la regla general, que dice que el resto no puede ser igual o mayor que el divisor.
Presente la Actividad 4. Asegúrese de que los estudiantes comprendan el problema y planteen la expresión matemática para que puedan hacer correctamente el cálculo. Luego, focalice la atención en la relación entre lo que acaban de hacer y la expresión matemática que se plantea en la Actividad 4 b). Para ello, puede preguntar: ¿por qué para averiguar el total de golosinas se debe multiplicar el 3 con el 8 y luego sumar 2? (Porque si tengo 3 bolsas con 8 golosinas cada una, se tienen 24 golosinas y al sumar las 2 que sobraron se obtiene la cantidad total de golosinas, que son 26) ¿Qué representa el 2 en la expresión matemática? (El resto) ¿Para qué sirve esta expresión? (Para comprobar si el cálculo de la división es correcto).
Formalice y presente a sus estudiantes la expresión que permite comprobar el resultado de una división:
cociente • divisor + resto = dividendo
Invite a los estudiantes a resolver las actividades de la sección Practica como práctica guiada, y luego las del Cuaderno de Actividades como práctica individual.

Cuaderno de Actividades página 20 • Tomo 1
Ticket de salida página 43 • Tomo 1

P. 44

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas de división interpretando el resto.
Que los estudiantes creen problemas que involucren una división con resto.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Comience recordando situaciones que se resuelven con una división con resto. Puede ser revisando actividades ya abordadas o con situaciones que los estudiantes vayan planteando. En esta instancia, pida a los estudiantes relacionar cada dato del problema con el término de la división que representa preguntando: ¿a qué corresponden el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de la división?
Presente la Actividad 1 e invite a los estudiantes a resolver el problema. Verifique que comprenden lo que deben encontrar preguntándoles: ¿qué datos tienen? (Cantidad total de pelotas y cantidad de pelotas en una caja) ¿Que deben encontrar? (La menor cantidad de cajas que se necesitan).
Luego de asegurarse que comprenden el problema, pregúnteles: ¿con cuál expresión matemática resolverán el problema? (40 : 6) ¿Cómo la resolverán? En esta pregunta se esperan variadas estrategias, pero principalmente el uso de las tablas de multiplicar. Pídales también verificar si el cálculo es correcto utilizando la expresión aprendida (cociente • divisor + resto = dividendo).
En este caso, invite a los estudiantes a analizar las respuestas dadas. Considere que en el contexto de este problema el resto da cuenta que se requiere de una caja más (7) para guardar todas las pelotas, y no 6 como dice cociente. Puede preguntar: ¿el cociente de la división corresponde a la solución del problema? (No).
Para resolver la Actividad 2 a), invite a los estudiantes a seguir las estrategias ya aprendidas. Para la Actividad 2 b), invite a los estudiantes a discutir acerca de las estrategias utilizadas,  instándolos a descubrir cuál es la más efectiva. Pregúnteles: ¿cuál estrategia utilizaron? ¿En qué se parece a la de tu compañero? ¿Cuál crees que es la que permite resolver de manera más rápida? ¿Cómo puedes mejorar tu estrategia considerando las ideas de tus compañeros? Una de las posibles respuestas es  formar los grupos de 6 niños que alcanzan, y luego comenzar a quitar de a uno hasta formar los 3 grupos de 6 niños y los 2 de 5 que se pueden formar para que no sobren niños. También podrían anticipar descomponiendo el 28 en dos partes, una que sea divisible por 5 y otra por 6; esto es, en 10 y 18. Con10 forma 2 grupos de 5 y con 18 forma 3 grupos de 6.
En la Actividad 3 se espera que los estudiantes creen situaciones que se resuelvan con una división considerando las cantidades de queques y de bandejas. En primer lugar, invítelos a establecer los datos que considerará el problema. Para esto puede preguntarles: ¿cuántos queques hay? (35) ¿Y cuántas bandejas? (4). Complemente con preguntas: considerando estos datos, ¿qué nueva información se puede obtener? ¿Esta pregunta se resuelve planteando una división? Se espera que los estudiantes discriminen que no todas las preguntas les permitirán crear un problema de división.
Luego de crear sus problemas, invite a los estudiantes a resolverlos de manera que ellos mismos verifiquen si cumplen con las condiciones pedidas. Para finalizar, pídales resolver las actividades del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Crear problemas es una habilidad de orden superior, por lo que puede ser complejo desarrollarla en los estudiantes. En particular, elaborar una pregunta no es trivial porque requiere reconocer qué información nueva se puede obtener con los datos dados.

Cuaderno de Actividades página 21 • Tomo 1

P. 45

Propósito
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento de una técnica de cálculo que consiste en multiplicar por un número el divisor y dividir el cociente por el mismo número.
Habilidad
Representar.
Gestión
Active los conocimientos de sus estudiantes invitándolos a resolver distintas divisiones de números de dos dígitos por números de un dígito sin resto de manera mental, evocando las tablas de multiplicar. Por ejemplo 45 : 9. Para esto, motívelos a aplicar la relación entre la multiplicación y la división.
Luego, presente la Actividad 1 e invite a los estudiantes a responder las preguntas planteadas. Guíe este trabajo preguntándoles: ¿cuál es la expresión que permite resolver cada caso? (240 : 4 y 240 : 8).
Es importante también que invite a sus estudiantes a caracterizar las divisiones planteadas, ya que son de números de tres dígitos divididos por números de un dígito, y además el dividendo es un número terminado en cero. Oriéntelos a relacionar la división 240 : 4 con 24 : 4 a partir de las representaciones. Pregúnteles por las estrategias posibles de aplicar en la multiplicación cuando un número termina en cero: ¿será posible de aplicarlas en la división? (Sí) ¿Cómo? (Anexando tantos ceros como tenga el dividendo al cociente).
En estos casos, si se aplica anexar ceros, quedan divisiones de números de dos dígitos divididos por un número de un dígito que ya saben resolver y pueden hacerlo utilizando las tablas de multiplicar.
Luego, enfoque la atención de los estudiantes en las divisiones planteadas preguntándoles: ¿en qué se parecen? (En que tienen el mismo dividendo) ¿Cómo se relacionan los divisores? (Uno es la mitad del otro , es decir, se divide por 2 o uno es el doble del otro , es decir, se multiplica por 2 ¿Cómo se relacionan los cocientes? Uno es el doble del otro , o sea, se multiplica por 2 o uno es la mitad del otro, osea, se divide por 2, respectivamente). Destaque las siguientes ideas:
Si la misma cantidad de chocolates se reparte entre más cajas, la cantidad de chocolates en cada caja disminuirá.
Si la misma cantidad de chocolates se reparte en el doble de cajas, la cantidad de chocolates en cada caja será la mitad.
Invite a los estudiantes a explicar el funcionamiento de la técnica de cálculo presente en esta situación: si el divisor se multiplica por 2, el cociente se divide por 2. Además, pregúnteles: ¿qué pasará con el cociente si el divisor se divide por 2? (El cociente se multiplica por 2).
Consideraciones didácticas
Las técnicas facilitan algunos cálculos, no todos. Por ello importante establecer claramente este punto, ya que hay casos que en vez de ayudar a calcular, dificultan la resolución. Esta técnica consiste en encontrar otro divisor que permita realizar el cálculo más fácilmente. Para ello, se debe establecer la relación multiplicativa entre ambos divisores o cocientes y compensar con la operación inversa en los cocientes o divisores.

P. 46

Propósito
Que los estudiantes comprendan el funcionamiento de una técnica de cálculo que consiste en multiplicar por un número el divisor y dividir el cociente por el mismo número.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
El objetivo de estas actividades es que los estudiantes: apliquen la técnica aprendida (multiplicar por un número el divisor y dividir el cociente por el mismo número) y puedan observar en cuáles otros casos funciona.
Presente la Actividad 1 a) y pregunte a sus estudiantes ¿cuál es la primera división planteada? (120 : 2) ¿Cuál es la diferencia con la segunda? (Que el divisor es el doble o se multiplicó por 2) Cuando el divisor aumenta al doble, ¿qué sucede con el resultado? (Disminuye a la mitad).
Invite a sus estudiantes a realizar la Actividad 1 b) y realice las mismas preguntas que en 1 a). Focalice la atención en el segundo par de divisiones (120 : 4 y 120 : 1), ya que en este caso se divide el divisor y se multiplica el cociente, al contrario del primer par de divisiones. Además, el número que opera es 4 y no 2. Guíe a los estudiantes a descubrir esto preguntándoles: ¿en qué se diferencian este par de divisiones del primer par? (En el número por el cual se divide y se multiplica y en que el divisor es el que se divide y el cociente es el que se multiplica) ¿Qué le pasa al divisor? (Se divide por 4) ¿Y al cociente? (Se multiplica por 4) ¿Por cuál número se divide? (4) ¿Por cuál se multiplica? (4).
Antes de continuar, invite a sus estudiantes a cambiar el orden del segundo par de operaciones (la que está arriba dejarla abajo), y pregunte a sus estudiantes: ¿qué pasa ahora con los divisores? (Se multiplica por 4; antes se dividía) ¿Qué pasa ahora con los cocientes? (Se divide por 4; antes se multiplicaba). Esto con el fin de que los estudiantes se den cuenta de que esta técnica funciona de manera inversa entre la multiplicación y la división de los divisores y cocientes y que no solo lo hace con el 2.
Luego, invite a los estudiantes a comparar las Actividades 1 a) y 1 b) y pregúnteles: ¿qué pasa si se multiplica por un número el divisor? (El cociente se divide por el mismo número) ¿Y si se divide? (El cociente se multiplica por el mismo número) ¿Esta regularidad solo pasa si se opera con el número 2? (No, en este caso además con el 4).
Presente la Actividad 1 c) preguntando: ¿se parece a los casos estudiados? (Sí, al segundo par de divisiones de la Actividad 1b) Si se divide el divisor, ¿qué pasa con el cociente? (Se multiplica por el mismo número) ¿Por cuál número se divide el divisor? (3) ¿Cuál sería la segunda división? (120 : 2) ¿Y el cociente? (60) ¿Aplica la técnica si se opera por 3? (Sí).
Para finalizar, pida a los estudiantes que piensen en lo que sucede con el cociente cuando se multiplica o se divide por un número el divisor, formalizando con la información presentada por la profesora. Verifique la comprensión de la técnica invitando a los estudiantes a presentar otros ejemplos donde se aplique.

Ticket de salida página 46 • Tomo 1

P. 47

Propósito
Que los estudiantes comprendan que al multiplicar o dividir el dividendo por un número, el cociente se multiplica o divide por el mismo número.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Invite a los estudiantes a mirar las divisiones escritas en la pizarra y anticipar la técnica que se abordará. Pregúnteles: ¿cuáles términos de las divisiones presentadas van variando? (Dividendo y cociente) Si el dividendo aumenta, ¿qué pasa con el cociente? (Aumenta) Si el dividendo disminuye, ¿qué pasa con el cociente? (Disminuye).
Para la Actividad 2 a) pregunte a sus estudiantes: si disminuye a la mitad la cantidad de fichas, ¿para cuántos niños alcanza? (Para la mitad de niños) Si aumenta al triple la cantidad de fichas, ¿para cuántos niños alcanza? (Para el triple de niños) ¿Cuál es la relación entre los dividendos? (Si se ordenan de menor a mayor o de mayor a menor, van de 30 en 30) ¿Qué pasa con los divisores? (Son el mismo, 3) ¿Qué pasa con los cocientes? (Se multiplican o dividen por el mismo número que el dividendo).
Luego, invite a sus estudiantes a analizar los casos particulares presentados. Pregúnteles: si se multiplica por 2 el dividendo, ¿qué le pasa al cociente? (Se multiplica por 2) ¿Qué le pasa al cociente si se divide por 3 el dividendo? (Se divide por 3) ¿Por cuál número se multiplica 60 para que resulte 180? (3) ¿Qué pasa con el cociente en este caso? (También se multiplica por 3) ¿Por cuál número se divide 270 para resultar 90? ¿Qué pasa con el cociente en este caso? (3, y el cociente se divide por este mismo número).
Plantee la pregunta de la Actividad 2 b): ¿qué regularidad hay para el dividendo y el cociente? Para verificar la comprensión de esta técnica de cálculo, anime a los estudiantes a encontrar otras expresiones que ejemplifiquen su uso y las compartan y analicen con todo el curso. Refuerce este nuevo aprendizaje a partir de lo que dice la profesora.
Para finalizar, genere una plenaria, en la que también se retome la técnica que dice que al multiplicar o dividir el divisor por un número, el cociente se divide o multiplica por el mismo número con el fin de compararlas.
Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 22 • Tomo 1

P. 48

Propósito
Que los estudiantes comprendan que el cociente no cambia si el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por el mismo número.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Huincha de papel de 240 cm (1 por estudiante).
Gestión
Invite a sus estudiantes a dividir sus huinchas en 8 partes iguales marcando los dobleces, como en la Actividad 3 a),  y pregúnteles, ¿cuánto mide cada parte? (30 cm) ¿Cuál operación se relaciona con la situación? (División) ¿Cuál expresión matemática representa la situación? (240 : 8).
Luego, pídales considerar la mitad de la huincha, como en la Actividad 3 b) (120 cm) y pregúnteles: ¿en cuántas partes está dividida? (4) ¿Cuánto mide cada parte? (30 cm) ¿Cuál expresión matemática representa esta situación? (120 : 4 = 30) ¿Cómo relacionarían esta expresión con la planteada en 3 a)? Se espera que los estudiantes reconozcan que en 3 a) se consideraba una longitud de 240 cm y que estaba dividida en 8 partes que miden 30 cm, y que en 3 b) se consideran 120 cm divididas en 4 partes que igual miden 30 cm, por lo cual deberían darse cuenta de que se mantiene el cociente y que tanto el dividendo como el divisor fueron divididos por un número.
A continuación, pida a los estudiantes trabajar en grupos y que, utilizando sus huinchas, busquen respuesta a las preguntas: si se mantiene la medida de cada parte, ¿cuál es la medida de la huincha si se considera 1, 2, 3, o etc., partes? (30, 60, 90, 120, etc.) ¿Qué regularidad para la división se puede establecer a partir de este análisis? (Que el cociente se mantiene si tanto el dividendo como el divisor se multiplican o se dividen por el mismo número).
Para sintetizar, pida a sus estudiantes realizar la Actividad 3 c) eligiendo pares de divisiones en las que se pueda establecer una relación multiplicativa entre los dividendos. Por ejemplo 240 : 8 se relaciona con 120 : 4 y la relación es el doble; 270 : 9 y 90 : 3 y la relación es la tercera parte. Sin embargo, hay otros pares en los que no es posible establecer esta relación multiplicativa en los naturales como en 90 : 3 y 60 : 2. Puede plantear preguntas: ¿qué tienen en común las divisiones? (El cociente es el mismo) ¿Qué cambia en las divisiones? (Los dividendos y los divisores) ¿Qué relación se observa entre los dividendos y los divisores? Se espera que los estudiantes encuentren relaciones como el doble, el triple, la cuarta parte, o la sexta parte, entre otras.
Consideraciones didácticas
Se debe considerar que no es posible establecer relaciones multiplicativas entre todas las divisiones planteadas en la Actividad 3 c), ya que, por ejemplo, no hay ningún número natural que multiplique o divida a 270 y que dé como resultado 240.

P. 49

Propósito
Que los estudiantes comprendan que el cociente no cambia si el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por el mismo número.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente a sus estudiantes el primer caso de la Actividad 3 d)y pregúnteles: ¿por cuál número se multiplicó el dividendo? (2) Si se quiere mantener el cociente, ¿qué se debe hacer con el divisor? (Multiplicarlo por el mismo número que al dividendo).
Luego, presente el segundo caso de la Actividad 3 d) y pregúnteles: ¿cómo se relacionan con las divisiones del primer caso? (Son las mismas, pero en el orden inverso) ¿Qué le pasa al dividendo? ¿Y al divisor? (Se divide por 2) ¿Y al cociente? (Se mantiene).
Invite a sus estudiantes a resolver la Actividad 3 e) y guíelos preguntando: ¿se multiplican o dividen los dividendos? ¿Y los divisores? ¿Pasa lo mismo que en los casos de la Actividad 3 d)? Lo importante de esta actividad es que los estudiantes comprueben que si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente se mantiene. Puede verificar la comprensión de esta técnica pidiendo a sus estudiantes dar ejemplos en donde se aplique y explicite la relación (el doble, el triple, la cuarta parte, etc.).
Pida a los estudiantes trabajar en la Actividad 3 f) y corrobore sus aprendizajes con respecto a la técnica. Formalice presentando la información de la profesora.
Haga un recuento de las técnicas estudiadas preguntando: ¿qué pasa si multiplico el dividendo por un número? (El cociente se multiplica por el mismo número y si se quiere mantener el cociente, se debe multiplicar el divisor por el mismo número) ¿Qué pasa se divido el divisor por un número? (El cociente se multiplica por el mismo número y si se quiere mantener el cociente, se debe multiplicar el dividendo por el mismo número). Puede pedir a los estudiantes que den ejemplos en los que sea posible aplicar alguna de las técnicas vistas. Para que los estudiantes valoren las distintas técnicas y comprendan que las pueden utilizar en distintos contextos, dependiendo de la relación entre los números, puede plantear la división 280 : 8 y preguntar: ¿qué técnica de división utilizarían para facilitar ese cálculo? Se espera que los estudiantes dividan el 8 en 2 para obtener la división 280 : 4 = 70. Luego, deben dividir por 2 este resultado para obtener el cociente de la división original 280 : 8 = 35.
Consideraciones didácticas
El aprendizaje aquí se trata de la siguiente propiedad de la división:
Cuando a : b = c, entonces:
(a • m) : (b • m) = c
(a : m) : (b : m) = c
En otras palabras, en la división el cociente no cambia cuando el dividendo y el divisor de la expresión original se multiplican o dividen por el mismo número.
Esta propiedad es importante y puede usarse en diversas situaciones. Por ejemplo, en el cálculo de 350 : 50 se puede considerar como 35 : 5. Además, también se puede usar para estimar un cociente.

P. 50

Propósito
Que los estudiantes comprendan algunas técnicas de división y las apliquen en sus cálculos.
Habilidad
Modelar.
Recursos
Cuadrados de papel lustre (80 por pareja de estudiantes).
Gestión
Divida el tiempo del uso del Texto del Estudiante en dos momentos de 15 minutos: uno al comienzo de la clase y otro al final. En los 15 minutos entre estos tiempos invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades. Esto  ocurre porque finaliza un tema y se comienza con otro.
Primer momento
Presente la Actividad 4 a) y pregunte a sus estudiantes: ¿cuál es la relación entre los dividendos? (El primero se dividió por 4 para obtener el segundo) Dado que es una igualdad, ¿cómo se podría obtener el divisor de la segunda operación? (Dividiendo el divisor de la primera operación por el mismo número que el dividendo: 4). Se espera que los estudiantes apliquen la técnica de multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por el mismo número para mantener el cociente.
Para resolver la Actividad 4 b), invítelos a explicar la técnica que permite encontrar el dividendo de la segunda operación considerando que el cociente es el mismo. De esta manera, puede comprobar la comprensión que han alcanzado los estudiantes de la técnica de cálculo estudiada. Puede preguntar: ¿qué técnica es la que podemos aplicar? ¿Por qué? ¿Cuáles son las condiciones que nos dan? Esto es para identificar las condiciones bajo las cuales se puede aplicar una  técnica u otra.
En la Actividad 5) se presenta un problema de comparación por cociente. Para resolverla, pregunte a sus estudiantes: ¿qué expresión matemática resuelve este problema? (120 : 30) ¿Por qué es esa la expresión? (Porque se quiere saber cuántas veces cabe 30 en 120) ¿Cómo resolverán? (Podrían mencionar la técnica de anexar ceros o aplicar la técnica de dividir por 10 dividendo y divisor). Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades.
Segundo momento
Invite a sus estudiantes a trabajar en duplas y pida a cada pareja tener 80 cuadrados de papel lustre. Luego pídales que se los repartan en partes iguales explicando las estrategias utilizadas. Guíelos para que vean que la manera más fácil es haciendo montones de a 10. Para esto, puede preguntarles: ¿cuántos grupos de 10 se podrían formar? (8) Si estos grupos se dividen en 2, ¿cuántos grupos le corresponden a cada uno? (4) ¿Y cuántos cuadrados de papel recibe cada uno? (40).
Luego, dígales que escriban la expresión matemática que representa el problema y permite resolverlo (80 : 4) y que la resuelvan explicando la estrategia utilizada. Finalmente, pídales entregar la respuesta al problema.

Cuaderno de Actividades página 23 • Tomo 1
Ticket de salida página 50 • Tomo 1

P. 51

Propósito
Que los estudiantes comprendan algunas técnicas de división y las apliquen en sus cálculos.
Habilidad
Modelar.
Gestión
Divida el tiempo del uso del Texto de Estudiante en dos momentos de 15 minutos, uno al comienzo de la clase y otro al final. En los 15 minutos entre estos tiempos invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades. Esto  ocurre porque finaliza un tema y se comienza con otro.
Primer momento
Presente la Actividad 2 a los estudiantes y pregúnteles: ¿hay alguna similitud con la situación anterior en que se tenían 80 cuadrados de papel? (Sí, que el número involucrado también termina en cero y la cantidad se debe repartir en dos grupos iguales) ¿Cómo podrías resolver el problema? Se espera que los estudiantes indiquen que en este caso conviene hacer grupos de 100 y estos repartirlos en 2 grupos iguales. Para orientarlos a llegar a esta conclusión, puede preguntarles: ¿cuántos grupos de a 100 hay? (8) ¿Cuántos grupos de 100 le corresponden a cada uno? (4) Entonces, ¿cuántos papeles le corresponden a cada uno? (400).
Luego, invite a los estudiantes a calcular las divisiones de la sección Practica y, para evaluar la comprensión de esta técnica de cálculo, pida a los estudiantes explicar las estrategias utilizadas para calcular y por qué decidieron utilizarla.
Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades.
Segundo momento
Presente a los estudiantes la Actividad 1 y pregúnteles, ¿qué es lo que se debe encontrar para resolver el problema? (La cantidad de caramelos que recibirá cada uno de los 3 cursos) ¿Qué datos tienen para resolver el problema? (La cantidad total de caramelos y la cantidad de grupos en los que se deben repartir los caramelos de manera equitativa) ¿Cuál expresión matemática permite calcular la respuesta? (480 : 3) ¿Cuál estrategia utilizarían para calcular? Se espera que surjan distintas formas de llegar a la solución del problema, por ejemplo, repartiendo primero de a 100, y luego lo que queda, o descomponiendo el dividendo, entre otras.
Se sugiere motivar a los estudiantes a establecer un rango estimado en el cual está la solución a partir de la aproximación de las cantidades.
Es importante que no invalide las estrategias de los estudiantes, sino que los motive a revisarlas y compararlas con las de sus compañeros con el fin de llegar a acuerdos de las más eficaces de aplicar. Puede preguntar: ¿con ambas estrategias se llega a la respuesta correcta? ¿Cuál es más simple de aplicar? ¿Cuál resulta más rápida? ¿Con cuál hay menos riesgo de equivocación en el cálculo?

Cuaderno de Actividades página 24 • Tomo 1
Ticket de salida página 51• Tomo 1

P. 52

Propósito
Que los estudiantes analicen distintas formas de resolver una división.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Vuelva a leer el problema: Hay 4 cajas con 120 caramelos cada una. Los 480 caramelos se reparten equitativamente entre 3 cursos. ¿Cuántos caramelos recibe cada curso? e invite a los estudiantes a explicar las ideas de Sofía, de Sami y de Gaspar. Puede preguntarles:
Idea de Sofía: ¿por qué planteó 120 : 3? (Porque dividió los dulces de una caja entre los 3 cursos) ¿Qué representa la operación 120 + 40? (El total de dulces que recibió cada curso) ¿Cuántas cajas abrió para repartir los dulces? ¿Por qué? (Abrió solo una, porque de las otras 3 entregó una a cada curso).
Idea de Sami: ¿qué representa 300 + 180? (La cantidad total de dulces) ¿Por qué habrá representado 480 como 300 + 180? (Porque es más fácil repartir 300 entre 3 y 180 entre 3) ¿Qué representa 100 + 60? (La cantidad de dulces que recibirá cada curso).
Idea de Gaspar: ¿por qué habrá planteado 480 : 6? (Porque 8 • 6 = 48, entonces 80 • 60 = 480) ¿Cuál técnica de división utilizó? (Dividir el divisor por el mismo número que se multiplica el cociente).
Luego, pregunte a sus estudiantes: ¿cuál utilizarían para calcular? ¿Por qué? Se espera que los estudiantes consideren la idea que encontraron más fácil de aplicar y la puedan utilizar en otros cálculos. Valore el hecho de plantear distintas estrategias para un mismo cálculo, así como las ideas de los niños, ya que también es posible que en el curso haya una variedad de estrategias y que se pueden analizar en cuanto a su eficacia, rapidez, riesgo de equivocarse o qué tan generalizables pueden ser.
Presente la Actividad 2 e invite a sus estudiantes a calcular la división presentada. Pregúnteles: ¿cómo la resolverán? (Podría ser con una de las ideas de los niños) ¿Por qué la resolverán de esa manera? (Se espera que mencionen que es lo que se les hace más fácil aplicar).
Luego, pídales compartir sus cálculos y evaluar los de sus compañeros. Utilice esta instancia como evaluación formativa.

P. 53

Propósito
Que los estudiantes elaboren un informe presentando la resolución de un problema.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Invite a sus estudiantes a elaborar un informe en el cual presenten la resolución de 560 : 4. Para esto, pueden seguir los pasos presentados en el texto, pero también pueden complementar utilizando otras fuentes, como libros, reportajes, entrevistas, etc.
Es importante que los estudiantes consideren las partes que debe tener un informe. Aunque su extensión sea breve, debe considerar la presentación del problema, el desarrollo y las conclusiones a las que llegaron.
Monitoree el trabajo, para lo cual los estudiantes pueden estar dispuestos en grupos, pero siempre haciendo cada uno su informe. Puede preguntarles: ¿cómo debe comenzar el informe? (Con un título) ¿Cuáles son las principales partes que se deben considerar? (Presentación, desarrollo y conclusiones).
Para finalizar, invite a sus estudiantes a compartir sus experiencias en la elaboración del informe, las dificultades y lo que más les gustó de este trabajo. Puede preguntar: ¿para qué creen que les puede servir este aprendizaje?
Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
El informe es un texto en el que se reporta información sobre un tema y se formulan conclusiones al respecto. Hay muchísimos tipos de informes académicos en las diferentes disciplinas, pero su estructura general incluye:
1. Presentación del tema o problema que se va a desarrollar. También se debe explicar por qué es importante y, si es pertinente, exponer algunos datos de contexto mediante citas o figuras.
2. Presentación ordenada de los contenidos del informe, estableciendo subtítulos y secciones. Cómo se organice va a depender del género específico del informe y de las instrucciones adicionales que se hayan recibido. Por ejemplo, un informe de laboratorio normalmente tendrá subtítulos para la metodología, los materiales, los resultados y la discusión. Otros informes pueden separarse por temas o presentar información cronológicamente, entre otros.
3. Presentación de los hallazgos más importantes del trabajo. También se pueden plantear preguntas, explicitar si hubo alguna debilidad en el método o proponer nuevas acciones para seguir profundizando el tema, lo que dependerá del tipo de informe que se está haciendo.
Extraído el 13 de octubre de 2020 de
https://aprendizaje.uchile.cl/recursos-para-leer-escribir-y-hablar-en-la-universidad/profundiza/profundiza-la-escritura/como-escribir-un-informe/#1541707455168-19ccff66-4ad4281c-b870

Cuaderno de Actividades página 25 • Tomo 1
Tickets de salida página 53 • Tomo 1

P. 54

Propósito
Que los estudiantes ejerciten el cálculo de divisiones con resto en el contexto de la resolución de problemas y la aplicación de técnicas de cálculo de divisiones.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Cubos u otro material para contar (55 por estudiante).
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los ejercicios presentados. Puede ser que los resuelvan todos y después, en una plenaria, los revisen y aclaren dudas o ir uno a uno con este procedimiento.
En el Ejercicio 1 en el cual se deben resolver divisiones con resto y comprobar el resultado, puede que haya estudiantes que tengan problemas con las tablas de multiplicar y otros que aun no identifican el resto. En estos casos, puede facilitarles el uso de material concreto para que puedan representar las cantidades y resolver. También permítales recitar las tablas para estimar los cocientes.
En el Ejercicio 2 los estudiantes deben resolver un problema de división con resto. Verifique que comprenden lo que representa cada número en la expresión matemática que planteen y entreguen la respuesta considerando lo que significa el resto.
En el Ejercicio 3 asegúrese de que los estudiantes comprenden lo que representa cada término, ya que a pesar de considerar la misma operación y el mismo cálculo, no representan lo mismo. En 3 a) se presenta un problema de reparto, ya que se debe calcular la cantidad de cartas que recibirá cada niño (cantidad de elementos en cada grupo), en tanto en 3 b) el problema es de agrupamiento, ya que se debe calcular la cantidad de niños que recibirán cartas (cantidad de grupos). En ambos casos, el resto es con respecto a las cartas que se repartirán.
En el Ejercicio 4 asegúrese de que los estudiantes comprendan que se debe encontrar la cantidad de cajas que se necesitan para guardar todos los pasteles. Luego de que se calcula el cociente, se sugiere invitarlos a comprobar este resultado y evaluar qué representa el resto, que en este caso significa que se necesita una caja más de lo que indica el cociente.
En el Ejercicio 5 invite a sus estudiantes a establecer cuál es la técnica de cálculo aplicada observando qué el término se mantiene igual y cuáles son los que se modifican.
Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades propuestas en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 26 • Tomo 1
Ticket de salida página 54 • Tomo 1

P. 55

Propósito
Que los estudiantes profundicen en el estudio del cálculo de divisiones con resto en el contexto de la resolución de problemas y la aplicación de técnicas de cálculo de divisiones.
Habilidad
Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede ser que los resuelvan todos y después, en una plenaria, los revisen y aclaren dudas o ir uno a uno con este procedimiento.
En el Problema 1 los estudiantes deben verificar si el cociente y el resto dados son correctos y, si no los son, corregirlos. Este problema le permitirá verificar el nivel de comprensión que tiene cada estudiante respecto del cálculo de divisiones con resto y tomar decisiones, como brindar orientación individual, si se requiere. Para reforzar esto, puede plantear otros ejemplos, cambiando los números y partiendo por divisiones sin resto. Si en el Problema 1 a) los estudiantes plantean que es correcto porque 3 • 8 = 24 + 4 = 28, pregunte: ¿es posible que el resto de esta división sea 4? (No, porque el resto no puede ser mayor ni igual al divisor).
En el Problema 2 se entrega la cantidad total de elementos (46) y la cantidad de grupos (6). En 2 a) se debe calcular la cantidad de caquis que recibirá cada persona (cantidad de elementos por grupo) y la cantidad de caquis que sobrarán (resto). En 2b) invite a sus estudiantes a exponer sus estrategias. Una posible es que piensen en la expresión  : 6 = 8 y calculen la diferencia entre los dividendos.
En el Problema 3 los estudiantes son libres de utilizar la estrategia que prefieran, lo importante es que encuentren el cociente y que determinen el resto.
En el Problema 4 la clave está en pensar en la cantidad total de litros que hay y dividirla. No obstante, esto puede hacerse primero repartiendo las botellas de 2 L, luego las de 1 L y finalmente los litros que quedan, ya que calcular utilizando el total de litros puede ser más difícil.
En el Problema 5 se espera que los estudiantes apliquen a partir del ejemplo considerado en cada caso las distintas técnicas de cálculo para resolver divisiones. En 5 a) el cociente se divide por el mismo número que se multiplicó el divisor. En 5 b) el cociente se divide por el mismo número que se dividió el dividendo. En 5 c) el divisor se debe multiplicar por el mismo número que el dividendo.
Invite a los estudiantes a desarrollar las actividades del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 27 • Tomo 1
Ticket de salida página 55 • Tomo 1

P. 56

Propósito
Que los estudiantes desarrollen una comprensión profunda de la multiplicación representando problemas multiplicativos en modelos de barras y tablas de relaciones.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Recursos
4 barras de cartulina de igual tamaño para la pizarra y para cada estudiante.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 1. Invítelos a observar la barra rosada que está sobre la regla y pregúnteles: ¿cuánto mide cada marca en la barra? Se espera que los estudiantes comprendan que la barra se divide en trozos de 4 cm.
Sin mirar sus textos, presente a los estudiantes la situación a) e invítelos a representarla con sus barras. Se espera que los estudiantes comprendan que están uniendo 2 barras de 4 cm de longitud cada una y que por una parte está la cantidad de barras que se consideran (o cantidad de veces) y por otra, la longitud de cada barra. Repita este mismo procedimiento para 3 y 4 barras. Mientras lo realizan, pregúnteles: ¿cuánto mide cada barra? ¿Cuántas veces se repite cada barra?
Luego de representar usando las barras de cartulina, invítelos a trabajar en sus textos. Pídales responder las preguntas planteadas, que tienen relación con la letra en que se corta la barra en cada situación, y también la operación que permite calcular la longitud total de la barra.
Destaque el recurso de aprendizaje “Tabla de relaciones”, en el que se visualiza la relación entre los datos entregados en el problema para luego determinar la operación que permite resolverlo.
En este caso, la tabla considera en la primera fila la longitud de la barra y en la segunda fila las veces que se repite esa medida. La relación más clara que se establece es que si una vez se multiplica por 3, resultan 3 veces, por lo que se debería aplicar este mismo criterio para establecer la longitud de la barra si se repite 3 veces la misma medida.
Sistematice y relacione las representaciones estableciendo la cantidad de veces que se repite una misma medida.
Consideraciones didácticas
Una manera de introducir el pensamiento algebraico y proporcional  desde los niveles menores es con representaciones menos formales, como los modelos de barras y las tabla de relaciones, en que las flechas verticales indican relaciones entre magnitudes y las horizontales relaciones en la misma magnitud. Esta es una representación pre algebraica que es menos abstracta y más accesible que el álgebra formal.

P. 57

Propósito
Que los estudiantes desarrollen una comprensión profunda de la multiplicación y de la división representando problemas multiplicativos en modelos de barras y tablas de relaciones.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Recursos
4 barras de cartulina de igual tamaño para la pizarra y para cada estudiante.
5 barras de cartulina de igual tamaño, más largas que las anteriores, para la pizarra y para cada estudiante.
1 barra larga de cartulina que sea de la misma longitud que las 5 barras anteriores juntas para la pizarra y para cada estudiante.
Gestión
Presente a los estudiantes la Actividad 2. Invítelos a utilizar las barras de cartulina imaginando que las medidas de las barras son las mismas que en el Texto del Estudiante. Pídales representar la cantidad de veces que se pide en cada caso.
Para a) pregúnteles: ¿cuánto mide cada barra? (2 cm) ¿Cuántas veces se repite cada barra? (4) ¿Qué expresión representa la longitud total de la barra? (4 • 2). También pídales explicar la relación entre los datos de la tabla. Pregúnteles: ¿qué datos van en la primera fila? (La longitud de la barra) ¿Cuáles en la segunda? (La cantidad de veces que se repite cada barra) ¿Cómo se puede calcular la longitud total de la barra? (Multiplicando la cantidad de veces que se repite la barra por la medida de una barra). Puede realizar los mismo para la Actividad 2 b).
Invite a los estudiantes a leer la Actividad 3. Verifique la comprensión del problema invitándolos a explicar la tabla de relaciones que se presenta en el Texto del Estudiante y a representar en un modelo de barras la situación.
4
(veces)
5
6
7
8
2 dL
(dL)
Destaque la importancia de ubicar correctamente los datos, ya sea en el modelo de barras como en la tabla de relaciones, ya que esto es fundamental para determinar la operación que resuelve el problema.
Presente la Actividad 4 a los estudiantes y dé un tiempo para que analicen y comparen con los problemas ya trabajados. Luego, pregúnteles: ¿cuáles datos fueron organizados en el modelo de barras? (La longitud de la cinta roja, la longitud de la cinta azul y lo que se quiere encontrar) ¿Qué se quiere encontrar? (La cantidad de veces que la cinta azul corresponde a la roja) ¿Con cuál operación se relaciona el problema? (División).
Enfatice que en este caso se quiere conocer la cantidad de veces, por lo cual en el modelo de barras la incógnita se ubica en otro lugar, distinto a cuando se quiere conocer el total. También enfatice que las flechas de la tabla son verticales, ya que la relación es entre magnitudes.
Consideraciones didácticas
A partir del uso de modelos de barras y de tablas de relaciones es posible iniciar el desarrollo del pensamiento proporcional, aunque no de manera formal, en que por una parte se relacionan magnitudes diferentes y, por otra, la misma magnitud. Usando estos diagramas, es posible que el estudiante visualice y comprenda de manera más concreta estas relaciones.

P. 58

Propósito
Que los estudiantes desarrollen una comprensión profunda de la división representando problemas multiplicativos en modelos de barras y tablas de relaciones.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Recursos
Barras de cartulina del problema 5 para la pizarra y para cada estudiante.
Gestión
Sistematice que cuando se tiene una medida total y se quiere saber cuántas veces está contenida en otra medida, se debe dividir la medida total por la medida menor apoyándose en el recuadro de la profesora del Texto del Estudiante.
Presente a los estudiantes la Actividad 5. Invítelos a utilizar las barras de cartulina y a representar la situación. Permítales doblar o cortar la barra más larga para que puedan visualizar la cantidad de veces que esta contiene a la barra más corta.
Para a) pregúnteles: ¿cuánto mide cada barra? (8 cm y 2 cm) ¿Cuál es la expresión que permite calcular la cantidad de veces que está contenida una medida en otra?   (Dividiendo la longitud de la barra más larga por la longitud de la barra más corta) En este caso, ¿cuál sería esa expresión? (8 : 2). También pídales explicar la relación entre los datos de la tabla. Pregúnteles: ¿qué datos van en la primera fila? (La longitud de las barras) ¿Cuáles en la segunda? (La cantidad de veces que se repite cada barra). Puede realizar lo mismo para la Actividad 5 b).
Invite a los estudiantes a leer la Actividad 6. Verifique la comprensión del problema invitándolos a explicar la tabla de relaciones que se presenta en el Texto del Estudiante y a representar en un modelo de barras la situación.
Destaque la importancia de ubicar correctamente los datos, ya sea en el modelo de barras como en la tabla de relaciones, ya que esto es fundamental para determinar la operación que resuelve el problema.
Para finalizar, invite a los estudiantes a desarrollar como práctica independiente los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Bidón

Botellón

6 L

24 L

Cuaderno de Actividades página 28 • Tomo 1

Capítulo 4

Fracciones

Visión general
En este capítulo se profundiza el estudio de las fracciones que se inició en los cursos anteriores. A través de la comprensión de la noción de fracción equivalente, los estudiantes se enfrentarán a diversas situaciones de comparación y orden de medidas, expresadas como fracciones propias, impropias y números mixtos, recurriendo a la amplificación y simplificación de fracciones.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA7: Demostrar que comprenden las fracciones propias:
representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.
creando grupos de fracciones equivalentes –simplificando y amplificando– de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o con software educativo.
comparando fracciones propias con igual y distinto denominador de manera concreta, pictórica y simbólica.
OA8: Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados:
usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o con software educativo.
identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos.
representando estas fracciones y estos números mixtos en la recta numérica.
Aprendizajes previos
Representan fracciones propias, impropias y números mixtos utilizando el modelo parte-todo como parte de un conjunto y como punto en la recta.
Comparan fracciones de igual denominador.
Calculan sumas y restas de fracciones propias de igual denominador.
Actitud
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

P. 59

Propósito
Que los estudiantes resuelvan un problema de reparto equitativo utilizando sus conocimientos de las fracciones propias.
Habilidad
Representar.
Recursos
Actividad 1 a) para presentar. Puede ser en cartulina o para proyectar en pizarra.
Gestión
Presente en la pizarra el problema a) de la Actividad 1 y dé un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo orientándolos a hacer un dibujo y haga preguntas: ¿se puede repartir 1 L entre 3 personas? ¿Cómo podemos representar 1 L? Se espera que los estudiantes utilicen representaciones pictóricas de un entero fraccionado en 3 partes iguales. Pregunte: ¿qué fracción representa cada parte? ¿Por qué? (  L, porque 1 L se reparte entre 3).
1
3
Luego, presente la pregunta b). Invítelos a utilizar representaciones pictóricas para que recuerden que  es mayor que , porque en el segundo caso se repartió la leche entre más personas que en el primero. En c) se espera que reconozcan que en el reparto hay 5 personas involucradas, por lo tanto, es menor que  y que .
1
4
1
5
Para sistematizar la actividad, invite a los estudiantes a leer y analizar en conjunto las ideas de los niños que se presentan en el Texto del Estudiante.

P. 60

Propósito
Que los estudiantes comprendan que las cantidades fraccionables mayores que 1 se pueden expresar como fracción impropia y número mixto.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imagen del envase graduado de Ema, que contiene  L; imagen de los envases de Juan, uno con 1L y otro con  L (para presentar en pizarra).
2
3
Gestión
Presente la Actividad 1 con las imágenes de los envases de Ema y Juan. Pregunte: ¿cómo podemos expresar la cantidad de agua de cada botella usando fracciones? Dé un tiempo para que los estudiantes discutan en parejas y pongan en práctica lo que aprendieron de las fracciones y números mixtos en 4° básico.
Monitoree este trabajo haciendo preguntas: ¿cuál es la capacidad de cada envase? (1 L) ¿Cómo está graduado cada envase? (En 3 partes iguales) ¿Cuánto representa cada parte? (Cada parte representa  L). Se espera que los estudiantes reconozcan que Ema tiene dos partes de 3, por tanto tiene  L, en cambio Juan tiene más de 1 L, ya que tiene 1 L y  más, es decir, 1  L.  Para favorecer que escriban la fracción impropia que representa la cantidad de Juan, pregunte: ¿es posible expresar la cantidad de agua de Juan de otra manera? ¿Cuántos tercios de litro hay en 1 L? Se espera que reconozcan que en 1 L hay 3 tercios más un tercio y en el otro envase hay otro tercio, por lo tanto, hay 4 tercios  ().  Para profundizar, puede preguntar: si el recipiente estuviera graduado en 4 partes iguales, ¿cuántos cuartos de litro hay en 1 L?  (4).
4
3
Invitelos a abrir sus textos para que visualicen que 1 entero (en este caso 1 L) se forma iterando 3 veces  y que  es 4 veces .
Consideraciones didácticas
Considere que en esta actividad se pueden hacer dos interpretaciones de la noción de fracción:
En la representación de la cantidad de agua de Ema se recurre al modelo parte-todo en el que es posible visualizar que se han considerado 2 partes de 3. En este modelo, se considera la fracción como una o varias partes de un objeto definido como todo, que ha sido dividido en partes iguales.
En la representación de la cantidad de agua de Juan se puede definir la fracción como una unidad de medida. En la representación se puede visualizar  como la unidad de medida, en la que  se itera 4 veces lo que equivale a  o 1 . En el modelo de la medida es útil considerar a la fracción unitaria como unidad de medida (fracción cuyo numerador es 1).

P. 61

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas de medición utilizando fracciones impropias y números mixtos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Modelo de barras de la Actividad 3 (para presentar en pizarra).
Gestión
Para sistematizar la actividad anterior, invítelos a responder en conjunto las preguntas 2a) y 2b) y a analizar las ideas que se presentan en el recuadro de la profesora.
A continuación, en la Actividad 3, presente el modelo de barras y pregunte: ¿cómo podemos saber la medida de la cinta de color rosado fuerte? ¿Qué información proporciona el modelo de barras? Se espera que reconozcan que mide más de 1 m y menos de 2 m, ya que se pueden observar dos partes en la cinta, una que mide 1 m y la otra que mide 3 veces  de metro. Pida que marquen en el modelo la parte que representa  m.
3
4
Pida que respondan en parejas la siguiente pregunta: ¿cuántos metros mide la cinta? Dé un tiempo para que discutan.  Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas, ¿en cuántas partes está dividido 1 m? (En 4 partes) ¿A cuántas partes corresponde la segunda parte de cinta rosada? (3 partes) ¿Qué fracción permite representar 3 partes de 4? () Entonces, ¿cuánto mide la cinta completa? (1 m). Para responder la pregunta a), pídales que observen el modelo focalizándose en la segunda parte de la cinta y así concluir que la cinta total mide  m más que 1 m.  Destaque, recurriendo al modelo de barras, que 1 +  es equivalente a 1.
A continuación, pida que respondan en parejas la pregunta b): ¿Cuántos  m hay en la cinta?
Dé un tiempo para que discutan.  Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: si tuvieran que cortar trozos de  m, ¿cuántos trozos se obtienen? ¿Cuántos cuartos de metro hay en 1 m? Anímelos a usar el modelo para dividir la barra que representa 1 m. De esta manera podrán reconocer que en 1 m caben 4 cuartos, más los 3 cuartos que ya conocen, se obtienen 7 cuartos, que se escribe .
7
4
Destaque anotando en la pizarra:
4 veces  es 1.
7 veces  es .
es mayor que 1, por lo tanto, también se puede
expresar como 1.

1 m

m

P. 62

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas de medición utilizando fracciones impropias y números mixtos.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Modelo de barras de la Actividad 5, sin divisiones (para presentar en pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar).
Gestión
Para sistematizar la Actividad 3 de la página anterior, invite a los estudiantes a leer y a analizar en conjunto las ideas que se plantean en el recuadro de la profesora del texto. Destaque que toda fracción impropia se puede expresar como número mixto.
Presente la Actividad 4, permita que la resuelvan de manera autónoma, y luego, en una puesta en común, que socialicen sus respuestas y procedimientos. Se espera que reconozcan que las medidas se pueden expresar con números mixtos, pues son mayores que 1 unidad. En a) y b) deben considerar la graduación del envase que contiene menos de 1 decilitro de agua para poder determinar la fracción que representa la cantidad de líquido que contienen (en a) en medios y en b) en cuartos). En c) y d) deben considerar que la cinta puede separarse en dos segmentos, uno que se compone de partes que miden 1 m y otra que mide menos de 1 m. Destaque que la graduación de la recta es de 1 m, por lo tanto, es necesario graduar el segmento que mide menos de 1 m (en el primer caso está graduado en tercios de metro y en el segundo en séptimos de metro).
Para la Actividad 5, presente el modelo de barras en la pizarra de la siguiente manera:
Pregunte: si medimos esta cinta en quintos de metro, ¿cuánto mide? Dé un tiempo para que discutan en parejas; mientras, monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas y pidiéndoles que completen el modelo de barras simultáneamente. Por ejemplo, ¿qué medidas se presentan en la recta? (0 y 2 m) ¿Dónde se ubica 1 m? ¿Qué pueden hacer para saberlo? (Contar las divisiones que hay entre 0 y 2 m. Como hay 10 divisiones, 1 m se ubica en la quinta marca) ¿Cómo está graduada la recta? (En quintos, porque entre 0 y 1 m hay 5 divisiones). Invítelos a marcar las divisiones en quintos en la cinta de la pizarra, y luego que respondan: ¿cuánto mide la cinta? (  m).
8
5
Consideraciones didácticas
Considere que los estudiantes en los niveles anteriores han utilizado las propiedades para facilitar el cálculo o para aplicar técnicas no convencionales sin recurrir a los aspectos matemáticos formales. Es en este nivel que se explicitan formalmente a través de su generalización y nominación.
El uso de los diagramas y rectas numéricas facilita la comprensión de las fracciones. Para visualizar medidas de volumen en fracciones, es más pertinente utilizar diagramas, mientras que la longitud se aprecia mejor en los modelos de barras o rectas numéricas.
Para el estudio de fracciones mayores que 1, es útil crear actividades con rectas numéricas en las que:
a) Se presenta un intervalo con dos números enteros en que se debe determinar la graduación.
b) Se presenta la graduación y se deben ubicar otras fracciones en la recta.

Tickets de salida página 62 • Tomo 1

P. 63

Propósito
Que los estudiantes expresen una medida dada en número mixto en fracción impropia y viceversa.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Recursos
Diagramas de las Actividades 6, 7 y 8 (para presentar en pizarra, puede ser en cartulina o para proyectar).
Gestión
En la Actividad 6 se espera que reconozcan la graduación de cada envase. En a) está graduado en cuartos de litro porque entre 0 y 1 L hay 4 divisiones, y en b) está graduado en quintos de metro porque 1 m está dividido en 5 partes.El propósito de la Actividad 7 es que los estudiantes comprendan cómo expresar una medida dada en número mixto como fracción impropia. Para ello, presente el diagrama de la cinta y pregunte: ¿cuántos metros mide la cinta verde? (2 m) ¿Cómo expresamos esta medida en fracción impropia? Permita que lo discutan en parejas. Mientras, oriéntelos a que usen el diagrama para responder preguntas como las siguientes: ¿cómo podemos graduar cada metro? (En quintos) ¿Cuántos quintos mide la cinta? Favorezca que los gestos que hacen en el diagrama pegado en la pizarra paralelamente lo hagan de manera simbólica. Destaque que 2 veces 5 quintos son 10 quintos, más 4 quintos es 14 quintos.
4
5
En la Actividad 8 permita que discutan en parejas. Mientras, oriéntelos a usar el diagrama para responder preguntas: ¿cómo está graduada la cinta? (En cuartos de metro) ¿Cuántos metros mide la cinta? Favorezca que los gestos que hacen en el diagrama lo hagan simbólicamente.
Presente la Actividad 9 permitiendo que lo discutan en parejas. Mientras, oriéntelos a que usen el diagrama para responder preguntas: ¿en cuántas partes está dividida la cinta? (En 15 partes) Si en la cinta hay 15 quintos, ¿dónde hay 1 unidad? Favorezca que los gestos que hacen en el diagrama pegado en la pizarra paralelamente lo hagan de manera simbólica.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica, y luego, como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

14

+

=

15

Cuaderno de Actividades páginas 29 y 30 • Tomo 1
Ticket de salida página 63 • Tomo 1

P. 64

Propósito
Que los estudiantes comprendan la noción de fracción equivalente.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
1 recipiente cúbico de 1 L graduado en medios, tercios, cuartos, quintos, sextos y séptimos (puede usar cinta de papel adhesiva).   L de jugo.
1
2
Gestión
Inicie la clase presentando en un lugar visible para todos los estudiantes el recipiente graduado en medios, tercios, cuartos, quintos, sextos y séptimos con medio litro de jugo. Si es posible, puede preparar el material para grupos de estudiantes. Pregunte, ¿cuánto jugo hay?
Permita que los estudiantes exploren y reconozcan que la cantidad de jugo se puede expresar de distintas maneras, como , , . Frente a esto pregunte: ¿por qué distintas fracciones permiten expresar la misma cantidad de jugo? ¿Qué características tienen estas fracciones? (Que el numerador es la mitad del denominador o que el denominador es el doble del numerador).
2
4
3
6
Continúe preguntando: ¿es posible expresar la cantidad de jugo tomando como unidad de medida a los tercios, quintos y séptimos? ¿Por qué? Se espera que los estudiantes reconozcan que si se considera como unidad de medida , o , la altura que alcanza el jugo no permite determinar exactamente la cantidad, en cambio al usar medios, cuartos y sextos sí es posible.
1
7
Destaque que las fracciones , ,  son fracciones equivalentes porque son números distintos que representan la misma cantidad. Esto es una característica de las fracciones, y ocurre porque un envase puede tener distintas graduaciones para medir.
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes construyan la noción de fracción equivalente a partir de representaciones concretas y pictóricas, ya que a partir de ellas ( y del lenguaje) le otorgan significado a los números y su manipulación, proporcionando, al mismo tiempo, elementos que les permiten justificar acciones a nivel simbólico.  Por ello, en este capítulo se introduce paulatinamente la amplificación y la simplificación de fracciones estableciendo un tránsito entre las representaciones pictóricas y simbólicas para que finalmente los estudiantes se anticipen a un resultado sin necesidad de recurrir a la acción concreta.

P. 65

Propósito
Que los estudiantes comprendan la noción de fracción equivalente.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Un set de diagramas graduados en medios, cuartos, sextos, octavos,  décimos y doceavos y para presentar en la pizarra.
Gestión
A continuación, presente en la pizarra los diagramas graduados en medios, cuartos, sextos, octavos, décimos y doceavos y pida que cada estudiante el Anexo 1 de su Cuaderno de Actividades, página 107.
Solicite que pinten  L en el diagrama que está graduado en medios y que escriban la fracción que lo representa. Luego, pida que pinten la misma cantidad de jugo en cada uno de los diagramas y que escriban la fracción que representa cada uno.
Enfatice que los diagramas son graduados en partes más pequeñas cada vez, pero que la cantidad de jugo es la misma.
Pregunte: ¿podemos seguir encontrando fracciones equivalentes a ? Desafíelos a encontrar otra fracción equivalente sin dibujar un diagrama. Se espera que los estudiantes noten que los numeradores aumentan de 1 en 1, por lo tanto, si se sigue el patrón de los diagramas que tienen pintados, la siguiente fracción tendría como numerador un 7 y el denominador debería ser el doble del numerador, es decir, . Pregunte, nuevamente: ¿es posible seguir encontrando fracciones equivalentes a ? Permita que los estudiantes indiquen distintas fracciones equivalentes, de tal manera que reconozcan que siempre es posible encontrar otra.
7
14
Destaque que existen infinitas fracciones equivalentes a  porque se puede graduar el envase en partes más pequeñas. Aunque en la práctica esto se hace cada vez más complejo, numéricamente es posible hacerlo.
Luego, llene el envase cúbico hasta  L y pregunte:  ¿es posible encontrar fracciones equivalentes a ? Pida que observen el envase graduado para encontrar otra fracción equivalente. A través de él podrán reconocer que  es equivalente a , sin embargo, no podrán encontrar otra. Frente a esto, invítelos a dibujar diagramas para encontrar fracciones equivalentes dividiendo cada tercio en tres partes. El diagrama por tanto ahora estará graduado en novenos o 9 partes:
2
6
A partir de los diagramas que han construido, pregunte: ¿qué relación observan entre  y ? (Si se multiplican el numerador y el denominador de  por 2 se obtiene ) ¿Qué relación observan entre  y ? (Si se multiplica el numerador y el denominador de  por 3 se obtiene ). Desafíelos a encontrar otras fracciones equivalentes a . Destaque que es posible encontrar infinitas fracciones equivalentes a .
3
9

10

12

9

P. 66

Propósito
Que los estudiantes encuentren fracciones equivalentes a otra dada.
Habilidad
Representar.
Recursos
Conjunto de rectas numéricas como las que se presentan en el Texto del Estudiante (para presentar en la pizarra).
Gestión
Presente las rectas numéricas en la pizarra e invite a los estudiantes a trabajar en el Anexo 2 de sus Cuadernos de Actividades, página 109.
Pida que anoten el conjunto de fracciones equivalentes a cada fracción unitaria, si es posible encontrarlas usando las rectas, de la siguiente manera:
=  =  =  =  =  =  =       =       =
Desafíelos a encontrar más fracciones sin recurrir a la recta numérica.
Para encontrar fracciones equivalentes a otras fracciones unitarias, pida que tracen una línea vertical desde la fracción unitaria y detecten los segmentos coincidentes, por ejemplo:
Una vez que encuentren todas las fracciones equivalentes a una unitaria, que se pueden visualizar en las rectas, incentívelos a que establezcan relaciones horizontales. Para ello, pida que pongan atención en la cantidad de veces que está contenida una fracción unitaria en otra dada. Por ejemplo, puede pedir que pinten una fracción con una barra sobre la recta, como, por ejemplo, , y luego determinar la cantidad de veces que  está contenido en . Invítelos a registrar estas relaciones en su cuaderno.
7
10
1
10
es 7 veces .
es 2 veces  .
2
8
1
8
es 3 veces , etc.
3
12
1
12
Destaque que el numerador de una fracción indica la cantidad de veces que se repite una fracción unitaria, y el denominador indica la medida de la fracción.
Consideraciones didácticas
Considere que en las actividades de las páginas anteriores y en esta se introduce la noción de fracción equivalente a partir de representaciones que permitan a los estudiantes visualizar relaciones sin formalizar operaciones simbólicas para encontrarlas.

P. 67

Propósito
Que los estudiantes encuentren fracciones equivalentes a través de la amplificación de fracciones.
Habilidad
Resolver problemas / Modelar.
Gestión
Para sistematizar las actividades de las páginas anteriores, pida a los estudiantes que respondan las preguntas a), b), c) y d). Para responder las preguntas c) y d), escriba el conjunto de fracciones equivalentes en la pizarra e invítelos a identificar por cuánto se amplificaron el numerador y el denominador de  para obtener cada fracción equivalente. Destaque que siempre se multiplican el numerador y denominador por el mismo número y que este método permite anticipar fracciones equivalentes sin recurrir a diagramas. Adicionalmente, puede preguntar: ¿por cuánto se deben multiplicar el numerador y el denominador de  para obtener la fracción ? (Por 12).
12
36
Continúe invitando a los estudiantes a leer las ideas que se presentan en el recuadro de la profesora del Texto del Estudiante que formalizan la noción de fracción equivalente.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver el ejercicio de la sección Practica, y luego, como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Al encontrar fracciones equivalentes utilizando diagramas, es posible que los estudiantes se enfrenten a la dificultad al querer continuar  haciendo subdivisiones horizontales, sin embargo en algún momento esto se hace inviable. Por ejemplo, si se quisiera seguir haciéndolo en la figura 1. En tal caso, muestre que también se pueden hacer divisiones verticales, como en las figuras 2 y 3. Comparando las figuras 1, 2 y 3, es posible observar que aunque las divisiones son diferentes, representan .

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Cuaderno de Actividades páginas 31 y 32 • Tomo 1
Tickets de salida página 67 • Tomo 1

P. 68

Propósito
Que los estudiantes comparen fracciones de distin- to denominador.
Habilidad
Representar/ Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del problema con ideas de niños del inicio de la página.
4 Diagramas divididos en 3 partes iguales y 4 diagramas divididos en 4 partes iguales (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente la actividad inicial mostrando: ¿cómo se ordenan las fracciones ,  y ? y presentando las ideas de los niños que se muestran al inicio de la página. Pida a los estudiantes que las lean y las expliquen. Se espera que reconozcan que el niño tiene razón, ya que en 4° básico aprendieron que las fracciones que tienen igual denominador se pueden comparar fácilmente comparando el numerador. En este caso  es mayor que  porque en la primera fracción hay 3 veces   , y en la segunda hay 2 veces . Sin embargo, no es posible aplicar la misma estrategia para comparar  y , porque tienen distinto denominador.
Desafíelos a buscar una manera de comparar  y  en grupos o parejas. Observe si los estudiantes recurren a dibujar diagramas que consideren ambos enteros de igual tamaño. Es posible que esta estrategia no sea efectiva para algunos estudiantes, pues dependerá de la precisión del dibujo, ya que la diferencia entre ambas fracciones es pequeña, por lo que se verán en la necesidad de recurrir a otra estrategia.
Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿cómo pueden usar lo que saben de las fracciones equivalentes para comparar fracciones que tienen distinto denominador? ¿Será posible encontrar fracciones equivalentes a  y con igual denominador? Es posible que algunos estudiantes recurran a dibujar diagramas para encontrar fracciones equivalentes, y otros utilicen directamente la amplificación de fracciones. En ambos casos deben anticipar el denominador común al que quieren llegar.  Para favorecer esto, pegue los diagramas en la pizarra, como se muestra abajo, para que modifiquen de manera paralela y progresiva las divisiones de ambos diagramas fraccionando cada tercio y cada cuarto en 2, 3, 4 partes, hasta encontrar fracciones con igual denominador y así puedan determinar cuál fracción es mayor.
Posteriormente, invítelos a abrir sus textos y a relacionar que lo que hicieron con los diagramas también es posible hacerlo multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número, y que si se dividen el numerador y el denominador por el mismo número, se puede encontrar la fracción original. Destaque que estas operaciones se denominan amplificación y simplificación.

16

P. 69

Propósito
Que los estudiantes utilicen la amplificación para comparar fracciones.
Habilidad
Representar.
Recursos
Dos hojas blancas por estudiante.
Gestión
Continúe pidiendo que analicen en el Texto del Estudiante cómo se relaciona la amplificación de  por 2 con el trabajo con diagramas que hicieron anteriormente. Para favorecer lo anterior, haga preguntas: ¿corresponde al mismo entero? ¿En cuántas partes iguales está dividido cada entero? Luego de amplificar, ¿en cuántas partes iguales quedó dividido el entero?
Luego, desafíelos a realizar la actividad doblando papeles para comparar fracciones. Entregue a cada estudiante dos hojas y pídales que hagan dobleces en el primer papel para obtener 3 tercios y en el otro 4 cuartos. Luego, solicite que pinten en el primer papel  de la superficie y en el segundo  de la superficie. Para doblar el papel en 4 partes iguales no presentarán dificultad, pues pueden dividirlo en dos, y luego cada mitad en dos partes. Sin embargo, para doblar el papel en 3 partes requieren usar otra estrategia, como, por ejemplo, recurrir a la medición de la longitud del largo del papel y dividir su medida en 3.
Una vez que hayan representado  y , desafíelos a hacer dobleces de tal forma que ambos papeles tengan 12 dobleces. Para ello, pida que sigan los pasos que se muestran en el texto.
Destaque que:
si cada tercio se divide en 4 partes, se obtienen 12 partes en total.
si cada cuarto se divide en 3 partes, se obtienen 12 partes en total.
esto ocurre porque 3 veces 4 partes es igual  a 4 veces 3 partes.

2  2

2  3

2  4

3  2

3  3

3  4

4  2

4  3

Tickets de salida página 69 • Tomo 1

P. 70

Propósito
Que los estudiantes comprendan la noción de denominador común.
Habilidad
Representar.
Gestión
En la Actividad 2 pida a los estudiantes que comparen las fracciones  y  utilizando la amplificación para encontrar el conjunto de fracciones equivalentes. Oriéntelos a amplificar sucesivamente por números consecutivos, por 2, por 3, por 4, por 5, etc.
Pida que comiencen amplificando  teniendo en consideración el denominador de . Por ejemplo, cuando amplifiquen  por 3 obtendrán , entonces pregúnteles: ¿habrá un número que multiplicado por 5 dé 12? (No) Entonces, hágales ver que es necesario seguir simplificando . Así, cuando cuando amplifiquen    por 5 y obtengan , reconozcan que si se amplifica  por 4, también se obtendrá una fracción con denominador 20. Destaque que si se amplifica una fracción considerando el denominador de la otra es posible anticiparse a tener denominadores iguales:
9
12
15
20
3  5
4  5
4  4
5  4
Luego, invítelos a abrir sus textos y analizar el conjunto de fracciones equivalentes de   y  de la Actividad 2, y pregunte: ¿hay otro par de fracciones que tengan el mismo denominador? ¿Cuál? ( y ) ¿Por cuánto se amplificó cada fracción? (  se amplificó por 10 y  se amplificó por 8). Pida que comparen ambas fracciones.
30
40
32
40
Finalmente, formalice la noción de denominador común apoyándose del recuadro de la profesora del texto.
Presente la Actividad 3 dando un tiempo para que la resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿será posible anticipar por cuánto se debe amplificar cada fracción para obtener un denominador común? Dado que en la actividad anterior se destacó la estrategia de amplificar considerando el denominador de la otra fracción, se espera que los estudiantes amplifiquen  por 7 y  por 3. De esta manera el denominador común será 21.
4
7
Si algunos estudiantes presentan dificultades, puede pedirles que encuentren el conjunto de fracciones equivalentes de cada fracción amplificando por 2, 3, 4, 5, etc., y así determinar las fracciones con denominador común. Luego, enfatice que se llega al mismo resultado de manera más rápida amplificando por el denominador de la otra fracción.

P. 71

Propósito
Que los estudiantes comparen fracciones de distinto denominador encontrando un denominador común.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Resolver problemas.
Gestión
Pida a los estudiantes leer y analizar las ideas de Gaspar y Sofía que se presentan en la Actividad 4: ¿cuál es la diferencia entre los métodos de Gaspar y de Sofía para encontrar el común denominador? (Gaspar multiplicó por el denominador de la otra fracción y Sofía sabía que 24 era un denominador común, por lo que amplificó por 4 la fracción  y por 3 la fracción ) ¿Ambas permiten llegar al mismo resultado? (Llegan a fracciones distintas aunque son equivalentes) ¿Qué ventajas ven en cada estrategia? Se espera que los estudiantes reconozcan que la idea de Gaspar es más inmediata, porque simplemente deben amplificar considerando el denominador de la otra fracción. La ventaja de la idea de Sofía es que se opera con números más pequeños y se obtiene una fracción expresada con un denominador menor.
5
6
7
8
Presente la Actividad 5 a) y dé un tiempo para que los estudiantes la resuelvan de manera individual. Monitoree el trabajo haciendo preguntas: si usan la estrategia de amplificar por el denominador de la otra fracción, ¿cuál es el denominador común? (28) ¿Es posible usar la estrategia de Sofía para encontrar un denominador menor? (No, porque al amplificar  por números consecutivos se obtienen fracciones con denominador 8, 12, 16, 20, 24, 28. Al amplificar , se obtienen fracciones con denominador 14, 21, 28, es decir, no hay un denominador común menor que 28). En la Actividad 5 b) es posible que los estudiantes recurran a la misma estrategia anterior (de Gaspar), obteniendo las fracciones  y . Frente a esto, puede hacer preguntas que permitan a los estudiantes reconocer que existe una estrategia más eficaz, como, por ejemplo: ¿es posible encontrar fracciones equivalentes expresadas con un denominador menor? (Sí) ¿Qué relación tiene el 3 con el 9? (El 9 es 3 veces 3) ¿Es posible amplificar solo una fracción para obtener dos fracciones con un denominador común o siempre se deben amplificar ambas fracciones? Se espera que los estudiantes reconozcan que el objetivo de amplificar las fracciones es encontrar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y así facilitar la comparación, por lo tanto, basta con amplificar  por 3 para obtener una fracción con denominador 9.
2
7
9
27
6
27
Destaque que es importante evaluar las fracciones antes de hacer alguna operación, pues existen distintas maneras de encontrar un denominador común y se debe decidir por la más eficaz.
Presente la Actividad 6 y desafíelos a encontrar una manera de comparar 1 y  en grupos, de tal manera que discutan sobre la manera más eficaz. Se espera que los estudiantes reconozcan que es útil comparar dos fracciones impropias o dos números mixtos. Si deciden expresar el número mixto como fracción impropia (), podrían amplificar  por 6  () y  por 4 (), o bien amplificar  por 3 () y  por 2 (). Si deciden expresar la fracción impropia como número mixto (1), basta con que comparen  y  recurriendo a las mismas estrategias descritas, obteniendo los pares de fracciones equivalentes  y  o  y .
11
6
42
24
44
24
21
12
22
12
18
24
20
40
10
12
Como práctica independiente, invite a los estudiantes a desarrollar los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 33 y 34 • Tomo 1

P. 72

Propósito
Que los estudiantes profundicen sus conocimientos sobre las fracciones equivalentes comprendiendo la noción de fracción irreductible.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Imagen de la pizarra de la Actividad 7 (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente en la pizarra los procedimientos que se muestran en la Actividad 7 e invítelos a describir en qué consiste cada uno, en qué se parecen y en qué se diferencian. Se espera que reconozcan que ambos simplificaron la fracción   varias veces y que los dos simplificaron por 2 y por 3, pero distinta cantidad de veces y en distinto orden. Luego, pregunte: ¿por qué llegaron a resultados distintos? (Porque Anita hizo más simplificaciones que Mario. Ellasimplificó dos veces por 2 y luego por 3, en cambio Mario simplificó por 3, y luego por 2) ¿Quién obtuvo la fracción expresada con el denominador menor posible? (Anita) ¿Es posible que Anita encuentre una fracción equivalente a  con un denominador menor? (No) ¿Por qué? (Porque no es posible dividir 2 y 3 por el mismo número) ¿Es posible que Mario encuentre una fracción equivalente con un denominador menor? (Sí) ¿Por qué? (Porque es posible dividir 4 y 6 por 2, es decir, simplificar  por 2).
24
36
4
6
Luego, desafíelos preguntando: ¿es posible que en un solo paso se pueda encontrar una fracción equivalente con el denominador menor posible? ¿Cómo? Dé un tiempo para que lo piensen y luego abra un espacio de discusión. Se espera que los estudiantes exploren buscando el número mayor posible que divida tanto al 24 y al 36. Es posible que algunos estudiantes anticipen que simplificando por 12 se encuentre dicha fracción, y otros la encuentren mediante ensayo y error.
A través del recuadro de la profesora del Texto del Estudiante formalice la noción de fracción irreductible.
Consideraciones didácticas
En 5° básico no han estudiado el concepto de múltiplos y divisores, sin embargo, es posible intencionar que los estudiantes lo pongan en juego de manera informal, favoreciendo que establezcan relaciones entre las simplificaciones parciales que se puedan hacer para encontrar la fracción irreductible y la simplificación que se hace considerando el máximo común divisor entre el numerador y el denominador. Por ejemplo:
Si un número se puede dividir por 3 y por 4, entonces se puede dividir por 12, porque 12 se puede descomponer como 3 • 4.

:3

:4

8
12

:12

P. 73

Propósito
Que los estudiantes elaboren estrategias para encontrar fracciones irreductibles.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Imagen de la pizarra de la Actividad 8 (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente en la pizarra los procedimientos que se muestran en la Actividad 8 e invítelos a describir en qué consiste cada uno, en qué se parecen y en qué se diferencian. Se espera que reconozcan que Luis simplificó primero por 2 y luego por 3, y que Amanda simplificó directamente por 6. Pregunte: ¿por qué ambos llegaron a la fracción irreductible si utilizaron procedimientos diferentes? (Porque simplificar por 2 y luego por 3 es equivalente a simplificar por 6).
Destaque que si un número es divisible por 2 y también por 3, entonces podemos asegurar que será divisible por 6, porque 6 se puede formar como 2 • 3. En este caso, 12 es divisible por 2 y también por 3, lo mismo sucede con 18, que es divisible por 2 y también por 3; por esta razón es posible simplificar directamente por 6. Hacer este análisis previo a simplificar permite ahorrarse pasos para encontrar la fracción irreductible.
Para reforzar lo anterior, puede pedir que anticipen la simplificación para encontrar la fracción irreductible de  planteando preguntas: ¿18 y 24 son divisibles por 2? (Sí) ¿18 y 24 son divisibles por 3? (Sí) Entonces si son divisibles por 2 y por 3, ¿serán divisibles por 6? Para comprobarlo, permita que hagan las simplificaciones parciales, y luego que simplifiquen directamente por 6.
Como práctica guiada, invite a los estudiantes a resolver los ejercicios de la sección Practica. En la Actividad 1 observe que los estudiantes analicen las fracciones que deben comparar para decidir si deben amplificar ambas fracciones o conviene amplificar solo una. Si presentan dificultades, puede proponer el uso de dibujos o diagramas. En la Actividad 2 ponga atención si los estudiantes logran anticipar la simplificación en un solo paso. Si no lo logran, incentívelos a analizar y evaluar si podrían haberlo hecho en un solo paso.
En la Actividad 3 observe que reconozcan que si es posible seguir simplificando, entonces la fracción no es irreductible.
Finalmente, pídales que desarrollen los ejercicios de la sección Practica, y luego como práctica independiente, los ejercicios propuestos en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 35 • Tomo 1
Tickets de salida página 73 • Tomo 1

P. 74

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con las fracciones.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno. Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y las habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Ejercicio 1 miden la longitud de una cinta que se ubica sobre una recta numérica. Se espera que identifiquen que el entero corresponde a 1 m y que está fraccionado en sextos, por tanto, esta será la unidad de medida con que se expresará la cinta. Así, concluyen que la cinta mide 1 .
En el Ejercicio 2 identifican los tipos de fracciones estudiadas en el capítulo según si son menores o mayores que 1. También se les solicita expresar fracciones impropias como números mixtos y viceversa. Es muy importante que los estudiantes comprendan que un entero puede estar fraccionado en diversas unidades de medida. Por ejemplo, en 1 identifican que un entero tiene 5 quintos. Así, en 1 hay 7 quintos, es decir,  .
2
5
7
5
En el Ejercicio 3 comparan pares de fracciones que tienen distinto denominador, por lo que deben encontrar un denominador común que les permita compararlas. En los dos primeros casos, deben multiplicar los denominadores para obtener una medida común (sextos). Luego, amplifican cada fracción para obtener el denominador común y así comparar las fracciones. En c) reconocen que pueden amplificar la primera fracción por 3, para que el denominador sea 18 y así compararla con la otra fracción. En d) se espera que amplifiquen por 3 la primera fracción y por 4 la otra para expresar ambas fracciones con denominador 36.
En el Ejercicio 4 se solicita a los estudiantes expresar cada fracción en una irreductible. Para ello, se espera que realicen simplificaciones sucesivas hasta que no se pueda seguir haciéndolo. Observe si  reconocen que es posible simplificar las fracciones por números más grandes, y así ahorrar tiempo en los cálculos parciales.
En el Ejercicio 5 se solicita analizar si se ha realizado una amplificación o una simplificación de fracciones. Observe si los estudiantes reconocen que:
En a) la fracción ha sido simplificada por 3.
En b) la fracción ha sido simplificada por 5.
En c) la fracción ha sido amplificada por 7.
En d) la fracción ha sido simplificada por 10.
En e) la fracción ha sido amplificada por 25.

Cuaderno de Actividades página 36 • Tomo 1
Ticket de salida página 74 • Tomo 1

P. 75

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con las fracciones.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Invite a los estudiantes a resolver los problemas presentados. Puede pedir que los resuelvan todos, y luego en una plenaria revisar y aclarar dudas, o puede pedir que los resuelvan uno a uno e ir revisando en conjunto. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los problemas, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y las habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 se evalúa el dominio que tienen los estudiantes sobre los números mixtos. En a) identifican que  m es la unidad de medida y expresan la cantidad de agua como  m y 2  m. En b) y c) se les solicita interpretar el significado de números mixtos.
13
5
3
5
En el Problema 2 se evalúa el dominio que tienen los estudiantes de la relación que existe entre números mixtos y fracciones impropias. Para ello, es necesario que comprendan que un entero puede estar fraccionado en diversas unidades de medida. Por ejemplo, en  2   identifican que un entero tiene 4 cuartos, por tanto, en 2 enteros hay 8 cuartos. Así, en 2  hay 11 cuartos, es decir,.
11
4
En el Problema 3 expresan cada fracción en una irreductible. Para ello, se espera que realicen simplificaciones sucesivas hasta que no se pueda seguir haciendo. Notar que en c) pueden encontrar la fracción irreductible simplificando la fracción cada vez por 2, sin embargo, pueden simplificar por 8 para obtener la fracción irreductible en un solo paso.
En el Problema 4 miden longitudes de cintas que se ubican sobre una recta numérica. Se espera que identifiquen que el metro está fraccionado en séptimos, por tanto, esta será la unidad de medida con que se expresará cada cinta. Así, la cinta azul mide  m; la cinta verde mide 1 m o  m; y la cinta amarilla mide 1 m o  m.
7
7
11
7
En el Problema 5 se presenta un problema que involucra el uso de la relación entre medidas expresadas como fracciones impropias y números mixtos. Se espera que los estudiantes identifiquen la cantidad de cuartos que hay en 2 . Para ello, identifican que en 1 pizza hay 4 cuartos, por tanto, en dos pizzas hay 8 cuartos. Así, en  2 hay 9 cuartos, es decir,  . Es decir, 9 personas comieron un pedazo de pizza.
9
4
Finalmente, invítelos a desarrollar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 37 • Tomo 1

Repaso 1

P. 76

Capítulos 1 - 4

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con números grandes, multiplicación, división y fracciones.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades, motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 4.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan comparar e identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 1) aplican las reglas de formación del sistema de numeración decimal para determinar:
a) el número que representa a 10 grupos de 100 mil.
b) la cantidad de grupos de 10 mil que forman 10 millones.
c) el valor del 4 si ocupa la posición de las decenas de mil.
En la Pregunta 2 (Capítulo 4) miden el volumen de agua utilizando fracciones para indicar la cantidad que hay en cada caso. En a) es más directa la utilización de números mixtos y en b) el uso de fracciones impropias.
En la Pregunta 3 (Capítulo 2) aplican estrategias de cálculo mental para calcular multiplicaciones. Se espera que en cada caso utilicen la siguiente estrategia:
a) doblar y dividir por 2.
b) propiedad asociativa de la multiplicación.
c) anexar ceros cuando se multiplica por un múltiplo de 10.

En la Pregunta 4 (Capítulo 3) resuelven un problema que se responde calculando una división con resto.

P. 77

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con números grandes, multiplicación, división y fracciones.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades, motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 4.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan comparar e identificar sus errores.
En la Pregunta 5 (Capítulo 1) aplican las reglas de formación del sistema de numeración decimal.
a) Para formar el número menor utilizando solo una vez los dígitos dados. Se debe considerar los dígitos ordenados de menor a mayor, así el número menor ocupará la posición de mayor valor.
b) Para formar el número mayor utilizando solo una vez los dígitos dados. Se debe considerar los dígitos ordenados de mayor a menor, así el número mayor ocupará la posición de mayor valor.
En la Pregunta 6 (Capítulo 4):
a) calculan una suma entre fracciones de igual denominador, cuyo resultado es una fracción impropia.
b) comparan un número entero con una fracción impropia.
En la Pregunta 7 (Capítulo 3) resuelven problemas de agrupamiento, planteando una división en la que se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de elementos por grupo y se deben calcular la cantidad de grupos.
En la Pregunta 8 (Capítulo 4) resuelven un problema que se responde calculando el producto entre un número de tres dígitos múltiplo de 10 y un número de dos dígitos.

Capítulo 5

Números decimales

14 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza el estudio tanto de los números decimales como de la suma y resta que se inició en 4° básico. Además, se aborda en la relación que tienen los números decimales con los números naturales y las fracciones decimales.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA10: Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10.
OA11: Comparar y ordenar decimales hasta la milésima.
OA12: Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima.
OA13: Resolver problemas rutinarios y no rutinarios,
aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima.
Aprendizajes previos
Leen y escriben números decimales hasta la centésima.
Componen y descomponen canónicamente números decimales hasta la centésima.
Comparan números decimales hasta centésima.
Identifican fracciones equivalentes.
Calculan adiciones y sustracciones de números decimales hasta la centésima.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.

P. 78

Propósito
Que los estudiantes recuerden cómo expresar una medida no entera utilizando números decimales, reconociendo que 1 dividido en 10 partes iguales se expresa como 0,1.
Habilidad
Representar.
Recursos
1,5 L de jugo en una botella y dos envases transparentes iguales graduados en 10 partes iguales (por grupo de estudiantes).
Gestión
Comience la clase presentando la botella con 1,5 L de jugo. Pregunte: ¿cuánto jugo creen que contiene esta botella? ¿Tendrá más o menos de 1L? ¿Qué podemos hacer para saberlo? Se espera que los estudiantes reconozcan que es necesario medir utilizando envases graduados.
A continuación, organice el curso en grupos y entrégueles una botella con jugo y los dos envases graduados. Indique que cada envase puede contener 1 L. Dé un tiempo para que midan la cantidad de líquido. A través del vaciado del jugo en los envases graduados los estudiantes reconocerán que hay 1 L y la mitad de otro. Pregunte: ¿recuerdan cómo se escribe esa cantidad? Si el envase está dividido en 10 partes iguales, ¿cuánto mide cada parte? (Un décimo) ¿Cómo se escribe un décimo? (0,1) ¿Cómo se escribe el número que representa 5 veces 0,1? (0,5) Entonces, ¿cuánto jugo hay en total? (1 y 0,5 es 1,5).
Para sistematizar la actividad, pida que abran su texto, que lean y analicen en conjunto las ideas que se plantean en la página, poniendo énfasis en cómo se leen y se escriben los números que representan 1 L y 5 décimos de 1 L. Destaque que la lectura del número puede ser 1 L y 5 décimos de litro o 15 décimos de litro.

P. 79

Propósito
Que los estudiantes extiendan la comprensión que tienen de los números decimales y del sistema de numeración decimal hasta la milésima.
Habilidad
Representar.
Recursos
Un cubo de unidad para el profesor.
Imagen del cubo de unidad y partes de él que se muestran en el texto (para presentar en pizarra).
Gestión
Continúe favoreciendo que los estudiantes pongan en juego lo que aprendieron en 4° básico sobre los números decimales y que lo extiendan a números hasta la milésima. Para ello, presente en la pizarra la imagen del cubo de unidad con su décima parte y un cubo de unidad real e indique que es el mismo que está representado en la pizarra y que fraccionarán imaginariamente. Pregunte: ¿qué parte de la unidad es 1 de 10? (Un décimo) ¿Cómo se escribe? (0,1). Destaque que la coma se registra a la derecha de la unidad y que cumple la función de indicar dónde se ubica la unidad. Así las posiciones a su derecha tienen un valor menor que 1.
Luego, agregue la imagen de la centésima parte de la unidad y pregunte: si ahora la unidad la fraccionamos en 100 partes iguales, ¿qué parte de la unidad representa 1 de 100? (Un centésimo) ¿Cómo se escribe? (0,01). Destaque que para representar un centésimo, es necesario registrar un 1 en la siguiente posición a la derecha de los décimos.
A continuación pregunte: si volvemos a fraccionar la unidad, ¿en cuántas partes crees que deberíamos hacerlo? (En mil partes) ¿Qué parte de la unidad representa 1 de 1 000? (Un milésimo) ¿Cómo se escribe? (0,001). Destaque que la posición que sigue a los centésimos son los milésimos, ya que la unidad ahora se fracciona en mil partes, pues la estructura de los números decimales es en agrupaciones sucesivas de 10. Así, para representar un milésimo es necesario registrar un 1 en la siguiente posición a la derecha de los centésimos.
Pida a los estudiantes que abran su texto e invítelos a analizar la imagen de la Actividad 1 poniendo énfasis en que noten las subdivisiones de la unidad, por ejemplo, un milésimo se obtiene dividiendo la unidad en 1 000 partes, así como también dividiendo un centésimo en 10 partes.
Presente la Actividad 2 y pídales que analicen el número 3,651. Pregunte: ¿qué dígito está en la posición de la unidad? (El 3) ¿Cómo lo saben? (Porque la coma está a la derecha del 3) ¿Qué valores tienen las posiciones que están a la derecha de la unidad? (0,1 – 0,01 – 0,001) ¿Cuál es el valor posicional de cada dígito del número?  (3 – 0,6 – 0,05 – 0,001).
Para sistematizar las actividades anteriores, apoye la lectura de las ideas que se describen en el recuadro de la profesora en cuanto a los valores posicionales de las cifras que representan las subdivisiones de la unidad en grupos de 10 y que la lectura del número es 3 enteros y 651 milésimos o 3 651 milésimos.

Unidad

Décimos

Centésimos

Milésimo

P. 80

Propósito
Que los estudiantes comprendan que al calcular 10 veces o la décima parte de un número decimal se desplaza el patrón numérico del número a la izquierda o derecha, respectivamente.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional vacía hasta la milésima (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente la Actividad 3 e invítelos a abordarla en parejas. Dé un tiempo para que la resuelvan; mientras, monitoree el trabajo y oriéntelos con preguntas e ideas. Por ejemplo, para la Actividad 3 b) escriba en la pizarra:
veces 0,001 es 1 (1 000)
veces 0,001 es 5 (5 000)
veces 0,001 es 5,2 (5 200)
veces 0,001 es 5,25 (5 250)
veces 0,001 es 5,254 (5 254)
Destaque que 0,001 está contenido 5 254 veces en 5,254.
Presente la Actividad 4 y permita que los estudiantes expliquen qué pasa cuando un número se multiplica por 10. A través de la visualización de la tabla, se espera que los estudiantes reconozcan que los dígitos del número se desplazan una posición hacia la izquierda, de la misma manera que ocurre en los números naturales. Pregunte: cuando se multiplica por 10, ¿se obtiene un número mayor o uno menor?
Destaque que esto ocurre porque el sistema que se utiliza para designar los números decimales es una extensión del sistema que se usa para los números naturales, por lo tanto, se basa en las mismas reglas, considerando que las posiciones que están a la derecha de la unidad son subdivisiones de 10 de una unidad. Enfatice que el número original se lee 79 milésimos y el resultado es 79 centésimos.
Presente la Actividad 5 y permita que la resuelvan de manera autónoma, y luego socialicen sus respuestas.
Se espera que a partir de la tabla reconozcan que cuando un número se divide por 10, los dígitos se desplazan una posición a la derecha. Pregunte: cuando un número se divide por 10, ¿se obtiene un número mayor o uno menor? Destaque que el número original se lee 28 centésimos y el resultado es 28 milésimos.
Presente la Actividad 6 preguntando: si los números decimales son una extensión de los números naturales que nos permiten representar cantidades menores que 1, ¿cómo creen que se comparan los números decimales? Dé un tiempo para que lo discutan, y luego permita que socialicen sus ideas apoyándose en una tabla de valor posicional para deducir que para comparar números decimales, es necesario comparar los dígitos de las mismas posiciones, igual que los números naturales.
Consideraciones didácticas
La estructura del sistema de numeración decimal puede extenderse para representar cantidades menores que 1. Para ello, se extiende la tabla de valor posicional a la derecha de las unidades para representar las nuevas posiciones que son subdivisiones de la unidad. Así, a la izquierda de la unidad quedan las posiciones que representan agrupaciones sucesivas de 10, y a la derecha de la unidad quedan las que representan subdivisiones de la unidad.

P. 81

Propósito
Que los estudiantes comparen números decimales.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 7, invite a los estudiantes a leer las ideas que plantean los niños del texto y pregunte ¿en qué se tienen que fijar para comparar? ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué? Se espera que concluyan que el argumento de Juan es válido porque cuando se comparan números decimales no se debe considerar la cantidad de cifras como en los números naturales, sino que los dígitos de las posiciones correspondientes. Así,  en 0,125, a pesar de tener más cifras, el dígito en la posición de mayor valor, que es 1, es menor que el 9 de 0,9.
En la Actividad 8 no interesa que los estudiantes aprendan el nombre y los valores de las posiciones de cada número, pues la intención de esta actividad es que los comparen enfocándose inmediatamente en la posición de los décimos.
Pídales que realicen la sección Practica como práctica guiada en la formación de números decimales y la comparación. Enfatice que los valores de las posiciones que representan agrupaciones menores que 1 se pueden representar como fracciones, pues son partes de una unidad.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno  de Actividades.
Consideraciones didácticas
En los números naturales el algoritmo para comparar números naturales indica que el número mayor es el que tiene mayor cantidad de cifras, en caso de tener la misma cantidad, será mayor el que presente una cifra mayor al comparar dígito a dígito de izquierda a derecha. Sin embargo, cuando se extiende a las posiciones menores que 1, no se debe considerar el criterio de la cantidad de cifras, ya que los valores posicionales disminuyen hacia la derecha. Por lo tanto, se recurre al criterio de comparación de valor posicional de los dígitos en la misma posición, comenzando por aquella de mayor valor.

1
100

1
1 000

Cuaderno de Actividades página 38 • Tomo 1
Tickets de salida página 81 • Tomo 1

P. 82

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los números naturales y los números decimales tienen la misma estructura del sistema de numeración decimal posicional.
Habilidad
Representar / Modelar.
Recursos
Imagen con información del volcán que está en el texto y de los niños sosteniendo el mapa (para presentar en pizarra).
Gestión
Con estas actividades se pretende consolidar el estudio del sistema de numeración decimal a través de la comparación de dos medidas expresadas en la misma unidad: una en que los números naturales son suficientes para medirla (altura del volcán) y otra en donde los números naturales no son suficientes, pues se requiere mayor precisión en la medición (largo del mapa), y entonces es necesario recurrir a los decimales.
Comience la clase invitando a los estudiantes a leer y analizar la información del volcán que está en esta página y la del mapa que está en la página siguiente. Pregunte: ¿qué les llama la atención? ¿Son iguales las medidas? ¿Por qué? (No, la medida del volcán es considerablemente mayor que la del mapa) ¿En qué se parecen las medidas? (Los números contienen los mismos dígitos, pero representan cantidades distintas) ¿Por qué creen que no se usaron números decimales para medir la altura del volcán? (Porque cuando se miden grandes dimensiones, a veces no es necesario tener tanta precisión) ¿Por qué creen que no se usaron números naturales para medir el largo del mapa? (Porque el largo del mapa mide más de 1 metro y menos de 2 metros, entonces se necesita más precisión).
Invítelos a completar la descomposición del 1 572 que se presenta debajo de la foto del volcán. Pida que pongan atención a los bloques y pregunte: ¿qué sucede con el valor de cada posición? (Va disminuyendo hacia la derecha). Luego, solicíteles que completen la descomposición que está en la siguiente página, debajo de la foto del mapa, y haga la misma pregunta. Guíelos a notar que uno de los cubos que representa a las unidades se corresponde con el cubo que representa a la unidad del número de la página siguiente. Ponga énfasis en que los cubos de la siguiente página son subdivisiones de la unidad.
Presente la Actividad 1 a). Pídales que resuelvan de manera autónoma, y luego, en una puesta en común, favorezca que compartan sus respuestas preguntando: ¿en qué se parecen y se diferencian las descomposiciones de ambos números? (Una tiene los valores posicionales de las posiciones mayores e iguales que 1, en cambio la otra tiene los valores posicionales menores e iguales que 1). Enfatice que los valores posicionales que están a la derecha de la unidad se representan con fracciones decimales porque es la unidad que se subdivide de 10 sucesivamente, en cambio los que están a la izquierda de la unidad, se representan con agrupaciones sucesivas de 10.

P. 83

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los números naturales y los números decimales tienen la misma estructura del sistema de numeración decimal posicional.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional, como la que se muestra en el texto (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente la Actividad 1 b) pegue la tabla de valor posicional en la pizarra y pregunte: ¿qué regularidad observan en la tabla? (Que los valores posicionales siempre son agrupaciones de 10, incluyendo las posiciones que están a la derecha de la unidad). Invítelos a escribir ambos números en la tabla.
Destaque que las posiciones van disminuyendo su valor hacia la derecha y viceversa, por esto, no podemos comparar los números fijándonos en la cantidad de cifras del número. Por ejemplo, 0,9 es mayor que 0,009, pues en el primer caso el 9 está ubicado en una posición de mayor valor.
Consideraciones didácticas
El estudio de la relación entre números decimales y naturales es importante para el aprendizaje del concepto de número porque permite a los estudiantes comprender que el sistema de numeración usado para designar los números decimales es una extensión del sistema de numeración de los naturales.
Habitualmente se tiende a pensar que los números decimales son dos números naturales que están separados por una coma, ignorando la estructura del número, pues se leen y se operan como naturales (salvo por la coma). Producto de esta disgregación del número se producen errores al comparar, ordenar, intercalar y operar números decimales. Por ejemplo, al comparar números, se considera mayor el que tiene más cifras, o al sumar o restar, se operan los dígitos alineándolos a la derecha sin considerar el valor posicional.

P. 84

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los números naturales y los números decimales tienen la misma estructura del sistema de numeración decimal posicional.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen de la Actividad 2 para presentar en pizarra.
Gestión
Para consolidar las ideas abordadas en las páginas anteriores, presente en la pizarra la imagen de los bloques de la Actividad 2. Dé un tiempo para que los estudiantes la analicen de manera individual. Luego, permita que respondan las preguntas a), b) y c). A través de estas preguntas podrán afianzar el principio de agrupamiento en base 10 que rige tanto a los números naturales como a los decimales. Destaque que se necesitan 10 para formar una nueva agrupación de orden superior. Adicionalmente, para reforzar esta idea, puede plantear preguntas como ¿cuánto le falta a ocho décimos para completar 1? (0,2 o dos décimos) ¿Cuánto le falta a nueve centésimos para completar un décimo? (0,01 o un centésimo).
Apoye a los estudiantes en la lectura y análisis de las ideas que se presentan en el recuadro de la profesora del Texto del Estudiante. Invítelos a poner atención al dibujo para que visualicen que al agregar 1 décimo a 9 décimos se forman 10 décimos y, por tanto, se debe reagrupar para formar 1 unidad.
El propósito de la Actividad 3 es que los estudiantes pongan en juego sus conocimientos sobre el principio de valor relativo del sistema de numeración al alinear los números para sumar. Es natural que tiendan a alinear los dígitos de los números decimales a la derecha, producto de extender el mecanismo que se usa para alinear números naturales.
Presente la Actividad 3 y dé un tiempo para que los estudiantes analicen la situación. Luego, en una puesta en común, permita que discutan y planteen sus argumentos. Durante este momento puede preguntar: ¿cómo están alineados los dígitos en la suma de números naturales? (Según el valor posicional de los dígitos) Si sumamos números decimales, ¿tenemos que seguir esta misma regla? ¿Por qué? (Sí, porque los números decimales tienen la misma estructura que los números naturales) ¿Es correcto lo que hizo Juan para sumar decimales? (No, porque alineó los dígitos sin considerar su valor posicional) ¿Por qué creen que Juan alineó los números de esa manera? (Porque quiso alinearlos a la derecha, de la misma manera que se puede hacer con los números naturales) ¿Cómo se deben alinear? (Según el valor posicional de los dígitos de cada número).
Destaque que al sumar o restar números decimales se alinean según el valor posicional, al igual que los naturales. Para alinear números decimales, es útil alinear las comas porque esta indica dónde se ubica la unidad. Así, al estar alineados los dígitos de las unidades, el resto de los dígitos también lo estarán.
Finalmente, invite a los estudiantes a realizar la sección Practica que se propone en la página siguiente. Monitoree el trabajo observando si reconocen que para crear el número menor deben ubicar el 0 en la posición de las unidades y el resto de los dígitos después de la coma en orden ascendente (0,123456789). Y para formar el número menor más cercano a 1, deben ubicar el 0 en las unidades y el resto de los dígitos después de la coma en orden descendente (0,987654321). Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 39 • Tomo 1
Ticket de salida página 84 • Tomo 1

P. 85

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que calcular 100 veces un número es calcular 2 veces 10 veces.
Que los estudiantes identifiquen la regularidad del desplazamiento del patrón numérico al multiplicar por 10 y por 100.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Actividades 4 a) y b) con modelo de barras.
Tabla de valor posicional vacía desde las centenas a los centésimos y tarjetas con los dígitos 1, 3 y 4 (para presentar en pizarra).
Gestión
Presente en la pizarra la Actividad 4 a) junto con el modelo de barras. Favorezca la lectura colectiva del problema para asegurarse que todos lo comprenden. Luego, dé un tiempo para que lo resuelvan individualmente; mientras, apóyelos con preguntas como ¿qué operación permite calcular 10 veces una cantidad? (La multiplicación 10 · 1,34) ¿Es posible resolver el problema con una suma? ¿Qué es más eficaz: sumar 10 veces el mismo número o multiplicar por 10? ¿Cómo se calcula 10 · 1,34? (Se desplazan los dígitos a una posición hacia la izquierda, entonces la coma se ubica a la derecha del 3, obteniendo 13,4). Para sistematizar la resolución del problema, pegue la tabla de valor posicional en la pizarra y pida a los estudiantes que presenten el 1,34 en ella con tarjetas de dígitos, luego las desplacen hacia la izquierda, y que pongan atención en que ahora el 1 está en la posición de las decenas, el 3 en la unidades y el 4 en los décimos, y que la coma ahora está marcando al 3, que es la unidad.
A continuación, presente la Actividad 4 b) junto con el modelo de barras. Favorezca la lectura colectiva del problema para asegurarse que todos lo comprenden. Luego, dé un tiempo para que lo resuelvan individualmente; mientras, apóyelos con preguntas como: si ya sabemos cuánto es 10 veces 1,34, ¿cómo calculamos 100 veces usando esa información? ¿Cuántas veces 10 es 100? (10 veces 10 es 100). Se espera que los estudiantes reconozcan que para llegar a la respuesta del problema deben calcular  10 · 13,4 recurriendo nuevamente al desplazamiento de los dígitos hacia la izquierda. Para reforzar esta idea, invítelos a la pizarra a desplazar las tarjetas en la tabla de valor posicional. Destaque que ahora el 1 está en la posición de las centenas, el 3 en las decenas y el 4 en las unidades, por lo tanto, ya no hay décimos, obteniendo un número natural como medida.
Presente la Actividad 4 c) pidiéndoles que dibujen una tabla de valor posicional en sus cuadernos y que escriban la medida del lado de 1, de 10 y de 100 etiquetas en ella, mientras otros estudiantes lo hacen en la tabla de la pizarra. Haga preguntas para que noten cómo los dígitos se desplazan en la tabla cuando se multiplica por 10 y por 100, como, por ejemplo: cuando se multiplica por 10, ¿cuántos lugares se desplaza hacia la izquierda? (1) Cuando se multiplica por 100, ¿cuántos lugares se desplaza hacia la izquierda? (2). Destaque que 1,34 se desplaza dos posiciones hacia la izquierda cuando se multiplica por 100, por lo que la coma debiera marcar al 4, pero en este caso no tiene sentido escribirla. Finalmente, solicite a los estudiantes que desarrollen el Cuaderno de Actividades.
Consideraciones didácticas
Antes de extender el sistema de numeración no existe necesidad de demarcar la unidad, pues esta se corresponde con el último dígito del número. Sin embargo, al extenderlo a nuevas posiciones a la derecha de la unidad, surge la necesidad de marcar la ubicación del dígito que representa a las unidades. Por convención se utiliza una coma o un punto que tiene por función marcar la unidad, registrándola a su derecha, cuando sea necesario.

Cuaderno de Actividades página 40 • Tomo 1
Ticket de salida página 85 • Tomo 1

P. 86

Propósitos
Que los estudiantes comprendan que calcular la centésima parte de un número es calcular 2 veces la décima parte.
Que los estudiantes identifiquen la regularidad del desplazamiento del patrón numérico al dividir por 10 y por 100.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Tabla de valor posicional desde las centenas a los centésimos y tarjetas con los dígitos 2, 9 y 6 (para presentar en pizarra).
Gestión
A partir de las Actividades 4 d) y e) se espera que noten que:
al dividir un número por 10 y 100 se encuentra un número mayor.
al multiplicar por 10 se desplazan los dígitos 1 posición hacia la izquierda y, por tanto, ahora la coma marca al 3.
al multiplicar por 100 se desplazan los dígitos 2 posiciones hacia la izquierda y, por tanto, ahora la coma marca al 4. En este caso, no tiene sentido escribir la coma.
Al presentar los números fuera de la tabla, es posible que los estudiantes además descubran que al desplazarse los dígitos hacia la izquierda, pareciera
que la coma se mueve a la derecha. Para formalizar
esta idea, pida que lean en conjunto lo que se presenta en el recuadro del monito del monte.
Finalice invitando a los estudiantes a realizar la sección Practica, poniendo atención si los estudiantes aplican las regularidades descubiertas en la actividad anterior. Luego, que desarrollen los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Una vez que los estudiantes hayan ejercitado la multiplicación por 10 y por 100 en el Cuaderno de Actividades, invítelos a realizar la Actividad 5. Para ello, pegue la tabla de valor posicional en la pizarra e invítelos a registrar el número 296 con las tarjetas de dígitos en ella, mientras el resto lo hace en su cuaderno.
Luego, desafíelos a que calculen la décima parte de 296. Dé un tiempo para que lo discutan y resuelvan en parejas; mientras, apóyelos con preguntas: ¿cómo se desplazan los dígitos en la tabla de valor posicional cuando calculamos la décima parte? (Se desplazan una posición hacia la derecha) ¿Qué número se obtiene? (29,6). Invítelos a desplazar el patrón numérico en la tabla de valor posicional de la pizarra para que visualicen la acción. Destaque que en el número 296 no se registra la coma, porque este número no tiene cifras menores que 1 y si se quisiera poner la coma, el números sería 296,0, pues la coma marca siempre a la unidad y al calcular la décima parte se obtiene un número menor, así que la coma ahora debe marcar al 9.
Luego, pregunte: si para calcular 100 veces un número se puede calcular 10 veces en dos oportunidades, ¿cómo calcularían la centésima parte? Se espera que los estudiantes extiendan lo que aprendieron en el tema anterior para reconocer que si para calcular la décima parte se desplazan los dígitos 1 posición hacia la derecha, entonces para calcular la centésima parte se desplazan 2 posiciones en la misma dirección. Invítelos a desplazar los dígitos en la tabla de valor posicional de la pizarra para que visualicen la acción, notando que el número resultante es aún menor (2,96).

Cuaderno de Actividades página 41 • Tomo 1
Tickets de salida página 86 • Tomo 1

P. 87

Propósito
Que los estudiantes profundicen sus conocimientos sobre los números decimales estableciendo equivalencias con las fracciones decimales.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imagen de las botellas de la Actividad 1 para presentar en pizarra.
Gestión
A partir de las Actividades 5 b) y c)  se espera que noten que:
al dividir un número por 10 y 100 se encuentra un número menor.
al dividir por 10 se desplazan los dígitos del número 1 posición hacia la derecha y, por tanto, ahora la coma marca al 9.
al dividir por 100 se desplazan los dígitos 2 posiciones hacia la derecha y, por tanto, ahora la coma marca al 2.
Al presentar los números fuera de la tabla, es posible que los estudiantes además descubran que al desplazarse los dígitos hacia la derecha, pareciera que la coma se mueve a la izquierda. Para formalizar esta idea, pida que lean en conjunto lo que se presenta en el recuadro del monito del monte.
Finalice invitando a los estudiantes a realizar la sección Practica, poniendo atención si los estudiantes aplican las regularidades descubiertas en la actividad anterior. Luego, que desarrollen los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Una vez que los estudiantes hayan ejercitado la división por 10 y por 100 en el Cuaderno de Actividades, invítelos a estudiar el tema Relación entre las fracciones y los números decimales. Para ello, presente en la pizarra la imagen de las dos botellas de jugo de la Actividad 1 y pregunte: ¿cuánto jugo tiene cada botella? ¿Cómo se leen esas cantidades? (1 L y medio,  1 L y 5 décimos de litro) ¿Cuál tiene más jugo? Desafíelos a responder esta pregunta dando un tiempo para que lo discutan en parejas o en grupos. Se espera que reconozcan que ambas botellas tienen más de 1 L y, por lo tanto, solo deben comparar 0,5 y  L. En el capítulo anterior de fracciones los estudiantes aprendieron a encontrar fracciones equivalentes y al inicio de este capítulo aprendieron que un décimo de puede expresar como 0,1 o . Basados en esto, pueden elaborar sus conjeturas.  Haga preguntas para orientar el trabajo en parejas, como por ejemplo: ¿cómo expresamos un décimo como número decimal y como fracción? (0,1 y ) ¿Cómo expresamos 5 décimos como fracción y número decimal? (0,5 y ) A partir de esto, ¿podemos expresar 1,5 como número mixto? (). De esta manera pueden comparar 1 y  y reconocer que  y  son fracciones equivalentes. Y a su vez, que 1 es equivalente a 1,5, pues 5 décimos es la mitad de 1.
5
10
15
10
Consideraciones didácticas
Es importante que los estudiantes reconozcan cuáles son las fracciones que están relacionadas con el sistema de numeración decimal extendido, es decir, las que se corresponden con las posiciones que permiten representar cantidades fraccionarias, esto es, las que tienen como denominador 10, 100, 1 000, y sus equivalentes (, , , , , etc., todas las fracciones que se puedan expresar con un denominador que sea potencia de 10). A estas fracciones se les denomina fracciones decimales. Las fracciones como , ,  no son parte de esta categoría.
1
25
1
9

P. 88

Propósito
Que los estudiantes profundicen sus conocimientos sobre los números decimales estableciendo equivalencias con las fracciones decimales.
Habilidad
Representar.
Gestión
A continuación, para validar las conjeturas que los estudiantes elaboraron anteriormente,  invítelos a analizar en conjunto cada una de las ideas que se plantean en el texto. Pregunte: ¿cuál de las tres ideas se relaciona más con tu respuesta? ¿Qué idea les llama la atención? ¿Por qué los tres niños compararon 0,5 y  en lugar de comparar 1,5 y 1 ? (Porque ambas tienen 1 L y algo más) ¿Qué podemos concluir? (Que ambas botellas tienen la misma cantidad).
Para finalizar la actividad destaque que:
Una fracción que tiene denominador 10 se puede expresar como número decimal.
Un número decimal expresado en décimos se puede expresar como una fracción con denominador 10.
Si la fracción no tiene denominador 10, como , se podría encontrar una fracción equivalente que sí lo tenga.
1,5 es equivalente a 1  porque ambos números representan la misma medida, es decir, una unidad y la mitad de otra unidad.
Continúe presentando la Actividad 2 y pregunte: ¿por qué se propone expresar  como número decimal? (Para facilitar la comparación, es más fácil comparar dos números decimales, que una fracción y un decimal). Destaque que la comparación de números decimales tiende a ser más fácil que la comparación de fracciones, pues se asemeja a la comparación de números naturales. Sin embargo, también hay casos en los que es más fácil comparar fracciones.
Luego, pregunte: ¿por qué se propone amplificar ? (Para encontrar una fracción equivalente que tenga denominador 10, y así expresarla como número decimal).
Una vez que hayan encontrado el decimal equivalente a  ( = 0,2), pregunte: ¿cuál es mayor, 0,2 o 0,25? Se espera que reconozcan que 0,25 tiene 5 centésimos más que 0,2, por lo tanto, es mayor.
2
10
Adicionalmente, puede desafiar a los estudiantes a expresar 0,25 como fracción y compararla con . Al expresar 0,25 como fracción se obtiene   y al simplificarla se obtiene . De esta manera es posible concluir que  es menor que 0,25. O bien, pueden amplificar  para obtener  y así compararla con  .
25
100
20
100
Para sistematizar las ideas surgidas en la clase, invite a los estudiantes a analizar las ideas que se destacan en el recuadro de la profesora del Texto del Estudiante.
Consideraciones didácticas
Siempre es posible dividir una unidad para generar una nueva subunidad 10 veces más pequeña que la anterior, lo que significa incrementar en un dígito las posiciones a la derecha. Por lo anterior, desaparece la noción de sucesor y antecesor, como en los naturales, y aparece entonces la noción de densidad, ya que no hay una cantidad mínima que se pueda agregar al número anterior para obtener el número que sigue inmediatamente después. Por más cercanos que estén dos números, siempre será posible encontrar otro que esté entre ambos, por ejemplo, entre 1,234 y 1,235 podrían estar 1,2347 - 1,23478947, etc.

P. 89

Propósito
Que los estudiantes ubiquen fracciones y números decimales en la recta numérica.
Habilidad
Representar.
Recursos
Rectas numéricas de las Actividades 3 y 4 para presentar  en la pizarra.
Gestión
Presente la Actividad 3 y desafíelos a resolverla de manera individual. Monitoree el trabajo y oriéntelos con preguntas: ¿por qué los números que se ubican en la recta son solo décimos? (Porque entre 0 y 1 hay 10 marcas, por lo tanto, la recta está graduada en décimos) ¿Cómo se leen las fracciones que están en la recta? ¿Cómo se leen los números decimales que están en la recta? ¿Estos números son menores o mayores que 1? ¿Cómo lo saben? (Son menores que 1 porque están entre 0 y 1). A continuación, permita que socialicen sus respuestas. Destaque que, además, los números decimales y las  fracciones permiten encontrar números entre dos números naturales.
Para la Actividad 4, indique que ahora, entre 0 y 1, la recta se ha dividido en 100 partes iguales. Pregunte: ¿qué número se ubica en la marca que está inmediatamente después del 0? ¿Por qué? (Un centésimo o 0,01, porque entre 0 y 1 hay 100 marcas). Entonces, ¿qué número se ubica en el punto rojo? (0,08). Adicionalmente, puede pedir que ubiquen otros números en la recta, o bien preguntar: ¿dónde se ubica el 0,99? ¿Cómo lo supiste? (Una marca antes del 1).  Para ubicar otros números, como 0,24, pueden ubicar los 2 décimos con las marcas más grandes, de 10 en 10 y luego contar 4 centésimos más, que corresponden a las marcas más pequeñas.
Destaque que como ahora la recta se graduó en más partes que en la Actividad 3, entonces se visualizan más números entre 0 y 1. Pregunte: ¿cuántos números visualizarían si ahora la graduaran en milésimos? (Mil) ¿Y si la graduaran en 10 mil partes, o sea, en diezmilésimos? (10 mil). Continúe preguntando, de tal manera que noten que la graduación se puede seguir infinitamente, de modo que reconozcan que entre dos números naturales hay infinitos números decimales y fracciones.
Presente la Actividad 5 y pregunte: ¿por qué  se ubica en esa marca? (Porque si dividimos la recta en 4, cada marca representa ) ¿Por qué  se ubica en esa marca? (Porque si dividimos la recta en 2, cada marca representa a ). Invite a los estudiantes a expresar como número decimal cada fracción de manera autónoma, y luego a socializar sus respuestas y estrategias utilizadas (Podrían contar de un centésimo en un centésimo, contar de 5 en 5 centésimos o de 10 en 10 centésimos). En la sistematización de la actividad destaque que  es equivalente a 50 centésimos, que se escribe 0,50 o 0,5, pues son expresiones equivalentes, ya que el cero representa ausencia de agrupación. Adicionalmente, puede motivar a los estudiantes a aprender los números decimales equivalentes a fracciones de uso común, como 0,75 – 0,5 – 0,2 – 0,125 – 0,25.
Finalice invitando a los estudiantes a realizar la sección Practica poniendo atención si en la Actividad 1 los estudiantes aplican la amplificación de fracciones cuando la necesitan; si en la Actividad 2 recurren a la lectura de los decimales para facilitar la tarea de encontrar la fracción, y si en la Actividad 3 buscan comparar solo decimales o solo fracciones.
Finalmente, invítelos a realizar los ejercicios del Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 42 y 43 • Tomo 1
Tickets de salida página 89 • Tomo 1

P. 90

Propósito
Que los estudiantes calculen sumas de números decimales con distinta cantidad de cifras.
Habilidad
Resolver problemas / Representar.
Recursos
Imagen de la Actividad 1. Tabla de valor posicional vacía desde la unidad hasta los milésimos para presentar en pizarra.
Gestión
Inicie la clase presentando el problema de la Actividad 1 en la pizarra e invítelos a leerlo en conjunto. Pregunte: ¿cómo se leen esas medidas? (125 milésimos de kilogramo y 1 kg y 2 décimos de kilogramo) ¿Qué número es mayor? (1,2) ¿Qué operación permite saber el peso total? (Sumar 0,125 y 1,2). Dé un tiempo para que los estudiantes lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo poniendo atención en si alinean correctamente los dígitos de los números. Posteriormente, invítelos a socializar sus respuestas y procedimientos. Es posible que surja el uso del algoritmo o de alguna técnica no convencional, como la descomposición, incluso algunos estudiantes podrían hacer un cálculo mental.
La problemática de este cálculo está en que los números tienen distinta cantidad de cifras. Si alinean bien los números, es posible que los estudiantes no tengan problema para calcular las unidades y los décimos, pero puede que no comprendan cómo continuar el cálculo, independiente de la técnica a la que recurran.
1,2 + 0,125 = 1,3
0,3
1,2
0,125
1,3
Frente a ello, puede hacer preguntas: ¿cuántas unidades tiene 0,125? (Cero o no tiene) ¿Cómo lo saben? (Porque hay un cero en la posición de las unidades) ¿Cuántos centésimos tiene 1,2? (No tiene) ¿Qué número usamos para indicar que no hay agrupación en una posición? (El cero) Entonces, ¿podemos poner un cero en la posición de los centésimos? (Sí). ¿Cuántos milésimos tiene 1,2? (No tiene) Entonces, ¿podemos poner un cero en esa posición? Destaque que 1,2 – 1,20 – 1,200 – 1,2000 son números equivalentes. De esta manera, los estudiantes podrían registrar los ceros si les facilita el cálculo.
Por otra parte, es posible que los estudiantes cometan un error al alinear a la derecha los dígitos, asociándola al tipo de alineación que se realiza cuando se suman números naturales.
1,2
0,125
Frente a ello, puede formular preguntas: ¿cómo alineamos los dígitos cuando sumamos 12 y 456? (Según el valor posicional de los dígitos). Destaque que cuando sumamos decimales también se sigue ese principio. Luego, pregunte: ¿cuál es el rol de la coma en un número decimal? (Marcar la unidad) ¿Cuál es la unidad en 1,2? (El 1) ¿Cuál es la unidad en 0,125? (El 0) ¿Están alineadas las unidades de ambos números? (No). Permita que los estudiantes vuelvan a alinear los dígitos. Presente la suma en una tabla de valor posicional para visualizar que al estar los dígitos alineados por su valor posicional, las comas también se alinean, por lo que es útil alinear los números según la coma.
Sistematice la actividad invitándolos a analizar las ideas que se presentan en el Texto del Estudiante.

P. 91

Propósito
Que los estudiantes calculen sumas de números decimales con reagrupamiento y restas sin reagrupamiento.
Habilidad
Representar.
Recursos
Tabla de valor posicional vacía desde la unidad hasta los milésimos para presentar en pizarra.
Gestión
En la suma de la Actividad 2 la problemática está en que el cálculo implica hacer un reagrupamiento en la posición de los décimos y centésimos.
Presente el cálculo de manera horizontal, tal como se muestra en el Texto del Estudiante, e invítelos a calcularlo usando el algoritmo. Dé un tiempo para que lo resuelvan de manera individual. Luego, en una puesta en común, permita que socialicen sus respuestas y procedimientos. Se espera que los estudiantes no presenten dificultad en alinear los números porque tienen la misma cantidad de cifras.  Además, si los estudiantes tienen claridad en que es posible operar con los números decimales como si fueran números naturales, no presentarían dificultad en hacer los reagrupamientos. Sin embargo, es importante que comprendan el procedimiento que llevan a cabo. Así, cuando socialicen su trabajo, destaque las siguientes ideas:
Enseguida, invite a los estudiantes a realizar las actividades de la sección Practica y posteriormente a resolver los ejercicios del Cuaderno de Actividades.
Una vez que los estudiantes hayan ejercitado las sumas con decimales en el Cuaderno de Actividades, invítelos a resolver el problema de la Actividad 4, leyéndolo en conjunto y dando un tiempo para que lo resuelvan en parejas. Monitoree el trabajo apoyándolos con preguntas: ¿qué operación permite encontrar la diferencia entre dos medidas? (Resta) En una resta, ¿cuál es el primer término (Minuendo)? (El número mayor) ¿Cuál es el mayor? ¿Por qué? (2,875 porque tiene 2 unidades, en cambio el otro número tiene 1 unidad).
A continuación, permita que los estudiantes socialicen sus respuestas y argumentos. Se espera que reconozcan que, al igual que en la suma de decimales, en la resta de decimales se aplica el algoritmo como si fueran números naturales.
Para sistematizar la actividad invite a los estudiantes a abrir el Texto del Estudiante y a analizar las ideas que se presentan en él, poniendo énfasis en lo que se destaca en el recuadro de la profesora que se presenta en la página siguiente.

3,45
0,88
3

13 centésimos = 1 décimo y 3 centésimos

3,45
0,88
33

13 centésimos = 1 unidad y 3 décimos

3,45
0,88
4,33

la coma a la derecha de la unidad

Cuaderno de Actividades página 44 • Tomo 1
Ticket de salida página 91 • Tomo 1

P. 92

Propósito
Que los estudiantes calculen restas de números decimales con distinta cantidad de cifras con reagrupamiento y sin él.
Habilidad
Representar.
Gestión
En la Actividad 5 se presenta una resta en que el minuendo tiene menos cifras que el sustraendo, por lo que se espera que los estudiantes registren un cero en los milésimos, igual como lo hicieron para la suma. Destaque que registrar el cero les permite visualizar que se requerirá hacer un reagrupamiento, pues el dígito del minuendo es menor que el sustraendo.
Luego, presente la Actividad 6 desafíelos a resolverlo de manera individual. Anímelos a usar la técnica que consideren más eficaz. Considere que algunos estudiantes podrían recurrir al algoritmo, o bien a alguna técnica que se use para restar naturales, como por ejemplo, completación. Para apoyar la verbalización de esta técnica, puede dibujar una línea vacía para registrar los “saltos” que se dan para completar:
0,53
0,47
Puede contrastar la eficacia de utilizar este tipo de técnicas cuando el minuendo tiene “muchos” ceros, pues es necesario hacer reiterados reagrupamientos.
A continuación, invítelos a  realizar la sección Practica motivándolos a evaluar la conveniencia del algoritmo. Por ejemplo, en la pregunta d) es más eficaz pensar en cuánto le falta a 0,25 para completar 0,30 (0,05). Y en la pregunta f) pensar en cuánto le falta a 0,25 para completar 1,00 (0,75). Potencie la conveniencia de agregar los ceros a la derecha para igualar la cantidad de cifras, pues de esta forma se puede calcular como si fueran números naturales.
Enseguida, destaque las ideas que se presentan en el recuadro del monito del monte, motivándolos a memorizar la equivalencia de medidas de uso común expresadas en decimales y fracciones, pues estas les pueden ayudar a pensar cálculos como los que se presentan en la Actividad 7. Por ejemplo, en la resta a) 1 – 0,5 pueden pensar que si 0,5 es , entonces deben calcular la mitad de 1. En b) en la resta 1 – 0,25 pueden pensar que a  le falta  para completar 1, es decir, 0,75 y, por lo tanto, en c) 1 – 0,75 es 0,25 porque le falta  para completar 1. En la Actividad 7 d) oriéntelos para que completen a 1, y luego a 3, tal como se mostró en la Actividad 6. Pueden recurrir a la misma estrategia para los cálculos e) y f).
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 45 • Tomo 1
Ticket de salida página 92 • Tomo 1

P. 93

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados relacionados con los números decimales.
Habilidad
Representar / Modelar.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma todos los ejercicios, y luego, en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada ejercicio en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados en el capítulo.
En el Ejercicio 1 leen números decimales. Ponga énfasis en que hay lecturas equivalentes. Por ejemplo, el número 1,125 se puede leer como una unidad y 125 milésimos, o bien 1 125 milésimos.
En el Ejercicio 2 descomponen números de manera canónica. Verifique si reconocen el valor posicional de los dígitos de cada número. Si presentan dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional.
En el Ejercicio 3 ordenan números decimales con distinta cantidad de cifras. Observe si se enfocan en el valor posicional de cada dígito y no en la extensión del número. Si presentan dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional.
En el Ejercicio 4 establecen semejanzas y diferencias entre un número decimal y un número natural que contienen los mismos dígitos. Se espera que reconozcan que están expresadas en unidades de medida distintas y que uno expresa una medida entera y la otra expresa una medida no entera.
En el Ejercicio 5 completan un número expresado con decimales para obtener un número entero. Para orientarlos, puede preguntar: ¿cuál es el número natural mayor a 51,9 más cercano? (52) ¿Cuánto le falta a 51,9 para llegar a 52?
En el Ejercicio 6 expresan una fracción decimal como número decimal. Observe que expresen las fracciones con denominadores 10, 100, 1000 cuando sea necesario.
En el Ejercicio 7 expresan un número decimal como una fracción. Oriéntelos a leer el número decimal para facilitar la identificación de la fracción correspondiente.
En el Ejercicio 8 ubican en la recta numérica números decimales y las fracciones y números mixtos que se le asocian. Observe que identifiquen que la recta está graduada en décimos.
En los Ejercicios 9 y 10 calculan 10 veces y la décima parte de un número decimal. Si presentan dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional para que hagan el desplazamiento de los dígitos concretamente.
En el Ejercicio 11 calculan sumas y restas de números decimales. Observe que alineen correctamente los dígitos según el valor posicional o según la coma y que registren los ceros de las posiciones que presentan ausencia de agrupaciones cuando sea necesario y útil.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno  de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 46 • Tomo 1

P. 94

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con los números decimales.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Permita que los estudiantes resuelvan de manera autónoma los Problemas 1, 2 y 3 y luego en una puesta en común, que compartan sus resultados y estrategias. Asegúrese de que todos comprendan lo que se les solicita y pídales que resuelvan cada problema en su cuaderno.
Mientras realizan los ejercicios, monitoree el trabajo verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiadas en el capítulo.
En el Problema 1 determinan la formación de números decimales. Observe que identifiquen el valor posicional de los dígitos de cada número.
En el Problema 2 calculan 10 veces y la décima parte de un número decimal. Si presentan dificultades, proponga el uso de la tabla de valor posicional para que hagan el desplazamiento de los dígitos concretamente. Progresivamente incentívelos a evocar el desplazamiento sin necesidad de usar la tabla.
En el Problema 3, dadas las condiciones sobre las cuales se obtuvo un número, determinan el número original. Si es necesario, apoye a los estudiantes para que reconozcan que es útil comenzar a abordar el problema de atrás para adelante, haciendo las operaciones inversas. Así, pueden fraccionar el problema y analizarlo por parte. Por ejemplo, en el Problema 3 a) pueden:
comenzar comprendiendo el significado de la última parte del problema que dice “100 veces un número es 307,4 preguntando: ¿el número desconocido es menor o mayor que 307,4? (Menor). Incentívelos a notar que para saber el número desconocido, deben aplicar la operación inversa, es decir, calcular la centésima parte de 307,4 y para ello deben desplazar el patrón numérico 2 posiciones a la derecha, pues se busca un número menor que 307,4, obtendiendo 3,074.
continuar con la primera parte del problema que dice “se calculó 10 veces un número desconocido”. Para esto se debe considerar  el número encontrado en la última parte del problema, 3,074, y calcular su décima parte, es decir, 0,3074, ya que se desplaza el patrón numérico 1 posición hacia la izquierda.
Finalmente, motívelos a comprobar el resultado volviendo al problema y preguntándose: ¿10 veces 0,3074 es 3,074? Luego, ¿100 veces 3,074 es 307,4? Realice la misma gestión para los Problemas 3 b) y c).
En el Problema 4 resuelven un problema que implica comparar y sumar números decimales.  En el Problema 4 a) se espera que reconozcan que Ema está pasada de 1 kg en la misma cantidad que a Juan le falta para completar 1 kg (0,012 kg). En el Problema 4 b) se espera que reconozcan que Juan debe elegir la fruta que pesa 0,023 kg, ya que con esta conseguiría obtener un peso de 1,001 kg, logrando ser el ganador.
Finalmente, solicite que realicen el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 47 • Tomo 1

Capítulo 6

Medición de longitud

8 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se profundiza la medición de longitudes estudiada en cursos anteriores. En los dos primeros apartados se plantean actividades similares enfocadas en la medición de longitudes utilizando unidades de medida convencionales, uso de instrumentos de medición y las transformaciones entre unidades. La diferencia es que en uno se miden longitudes utilizando metros y centímetros, mientras que en el otro apartado se miden longitudes utilizando centímetros y milímetros. En el tercer apartado se comparan longitudes expresadas en metros y kilómetros. En todo el capítulo las medidas se expresan con números decimales y se abordan problemas en que se utilizan las operaciones con este tipo de números.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA19: Medir longitudes con unidades estandarizadas (m, cm, mm) en el contexto de la resolución de problemas.
OA20: Realizar transformaciones entre unidades de medidas de longitud (km a m, m a cm, cm a mm y viceversa), usando software educativo.
Aprendizajes previos
Medición de longitudes utilizando metros  y centímetros.
Adición, sustracción con números decimales. Sumar y restar.
Comprender la multiplicación  y la división de naturales y decimales por múltiplos de 10 y la división de decimales hasta la milésima.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

P. 95

Propósito
Que los estudiantes midan y comparen longitudes utilizando metros y centímetros.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Huincha métrica flexible (usada en costura). Huincha métrica metálica.
Gestión
Comience la clase señalando que desarrollarán la Actividad 1. Pídales que se fijen en la imagen y pregunte: ¿qué medidas le están tomando a Ema? ¿Qué opinan de lo que dice el monito del monte?. Indiquen que cada uno responda la pregunta a), y luego promueva que expliquen sus respuestas preguntando: ¿la estatura de Ema es igual o distinta a la longitud de sus brazos abiertos? Se espera que los estudiantes comparen 1,42 m y 142 cm con la finalidad de que recuerden y relacionen lo aprendido en 4° básico y en el capítulo anterior sobre decimales.
Posteriormente, organice a los estudiantes en grupos procurando que en cada uno dispongan de los dos tipos de huincha y que las utilicen para medir la estatura y la longitud de los brazos abiertos de a lo menos 2 estudiantes.
Indique que registren los resultados en una tabla como la siguiente:
Estudiante | Estatura | Brazos abiertos
Registre en la pizarra algunas medidas obtenidas por los estudiantes y compare las longitudes medidas. Analice junto con ellos las unidades de medidas utilizadas para escribir las longitudes. Pídales comparar las ideas de Gaspar y Sami con su propia experiencia en cuanto a las características de los instrumentos utilizados para medir.

Ticket de Salida página 95  • Tomo 1

P. 96

5 minutos

Propósitos
Que los estudiantes midan y comparen longitudes utilizando metros y centímetros.
Que los estudiantes transformen medidas de centímetros a metros y viceversa con el apoyo de una tabla de valor posicional.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que desarrollen la Actividad 1 c) indicando que lo que se observa en las imágenes corresponde a la medidas de Ema de la página anterior tomadas con distintos instrumentos. Pídales que comparen las graduaciones de ambos instrumentos. Para ello, pregunte: ¿la flecha indica la misma longitud en ambos instrumentos? ¿Cómo se lee o dice la medida en cada instrumento? Relacione las respuestas con la pregunta de la Actividad 1 d) de modo que comparen diferentes formas de expresar la longitud.
Sistematice comparando los instrumentos de medición utilizados, ejemplificando su uso para medir:
La huincha de tela es flexible, por lo que para medir se debe cuidar que esté tensa y que la graduación que indica el cero coincida con el inicio de lo que se desee medir. La flexibilidad de esta huincha permite medir longitudes curvas, como por ejemplo, el contorno de la cabeza de una persona.
La huincha metálica es rígida y retráctil. Se debe usar con cuidado porque puede cortar al momento de guardarse. La rigidez facilita la medición, ya que no es necesario preocuparse de que esté tensa. No obstante, hay que preocuparse que el cero de la graduación coincida con el inicio de la longitud que se quiere medir. Este instrumento es útil para medir una longitud vertical.
La huincha de tela está graduada en centímetros y milímetros. Cada 10 cm cambia de color. Mientras que las huinchas metálicas vienen graduadas de distinta manera. Algunas en centímetros y milímetros, y otras en metros, centímetros y milímetros.
Recuerde la relación entre metro y centímetro usando el recuadro del texto, y destaque la equivalencia entre las siguientes formas de expresar una longitud: 142 cm;  1 metro 42 centímetros; 1 m 42 cm y 1,42 m.
Pídales que observen la tabla de valor posicional  y basados en ella, se espera que relacionen las siguientes medidas: 142 cm y 1,42 cm.
Pida que interpreten el significado de cada dígito en la medida representada en la tabla de valor posicional de la Actividad 1. Es fácil comprender que la primera columna representa metros completos (1 m). Pregunte: ¿qué significa el 4 de la segunda columna? (Esta columna es de los décimos de metro o decímetros) ¿Qué significa el 2 de la tercera columna? (Esta columna es de centésimos de metro o centímetros) ¿Cómo se pueden escribir? Es importante que logren distinguir lo que representa la tabla completa (1,42 m).
Consideraciones didácticas
Con las actividades propuestas en esta página se busca que los estudiantes reconozcan que hay distintos instrumentos para medir longitudes. Intente disponer en la clase de diferentes tipos de cintas métricas para que comparen las graduaciones, la extensión que tienen y las unidades que utilizan.

Cuaderno de Actividades página 48  • Tomo 1

P. 97

Propósitos
Que los estudiantes transformen medidas de longitud expresadas en centímetros a metros y viceversa utilizando como referencia una tabla de valor posicional.
Que los estudiantes resuelvan problemas de comparación  de longitudes.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que dibujen en el cuaderno la tabla de valor posicional que se presenta en la Actividad 2. Promueva que comparen las dos filas coloreadas preguntando: ¿son equivalentes los encabezados escritos en cada columna? ¿Corresponden a una misma longitud 100 cm y 1 m? ¿Y 10 cm con 1/10 de m? ¿Y 1 cm con 1/100 de m? Se espera que reconozcan que dichas medidas son equivalentes. Se sugiere utilizar la huincha de medir de tela para visualizar las equivalencias.
Indique que desarrollen las Actividades 2 a) y 2 b) ubicando  en la tabla las 4 medidas, y pregunte: ¿cuántos centímetros están representados en la tabla? (245cm). ¿Y cuántos metros? (2,45 m). Promueva que luego de ubicar las medidas en la tabla las escriban sin dicha referencia destacando la necesidad de la utilización de la coma para identificar la unidad.
Continúe con la Actividad 3 pidiendo que respondan: ¿cuánto le falta al récord femenino de salto largo para alcanzar los 8 m? Observe las estrategias que utilizan y seleccione diferentes respuestas para compararlas, cuidando de no validar previamente si están correctas o incorrectas, con la finalidad de promover la argumentación. Sistematice el cálculo de la diferencia que puede hacerse en centímetros, con números naturales o en metros, usando números decimales.
Consideraciones didácticas
Relacione la estructura del sistema de numeración con las unidades de longitud metro y centímetro. En el capítulo anterior utilizaron números decimales identificando los valores posicionales unidad, décima y centésima, en el sistema de numeración, y estableciendo conexiones con el sistema métrico decimal, definido a partir del metro. Las medidas de longitud generadas a partir del metro estudiadas en la clase son diez veces menores, sucesivamente. La décima parte se denomina decímetro y la centésima, centímetro.
Unidad    metro
décimo    decímetro
centésimo    centímetro.
Hace años que la unidad de medida “decímetro” no se usa. No obstante, en algunos instrumentos de medición viene destacada, como es el caso de la huincha de medir de tela.

Ticket de salida página 97  • Tomo 1

P. 98

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas de comparación de longitudes por diferencia o iteración.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pídales a los estudiantes desarrollar la Actividad 4. Comente con ellos las imágenes y pídales que den ejemplos de su entorno que se asocien a las 3 alturas indicadas. Llévelos a reflexionar preguntando: ¿si entrara un avestruz a la sala, su cabeza tocaría el techo? ¿Y si una jirafa entra en el gimnasio, su cabeza tocaría el techo? Luego, pídales que respondan las preguntas a) y b). Observe las estrategias que utilizan y seleccione diferentes respuestas, cuidando de no validar previamente si están correctas o incorrectas. Una vez que los estudiantes hayan escrito y explicado sus respuestas en la pizarra, promueva que las comparen a través de preguntas: ¿qué estrategia es más conveniente para comparar las alturas? (Se puede hacer un esquema para relacionar las alturas y reconocer que en la pregunta a) se busca la diferencia, que se puede calcular con una resta, mientras que en la pregunta b) se busca las veces que se debe repetir la altura del hombre para igualar la altura de la jirafa) ¿Con qué unidad, m o cm, conviene hacer la comparación? ¿En qué se diferencia la comparación del hombre con el avestruz, con la del hombre con la jirafa? (La primera es una comparación por diferencia y la segunda una comparación por cociente).
Realice una gestión similar para la Actividad 5. Apoyélos para que comprendan los datos y preguntas del problema, y luego permita que lo resuelvan en forma autónoma. Posteriormente, que comuniquen y comparen sus procedimientos.
Consideraciones didácticas
Los dos problemas propuestos utilizan información de longitudes reales con la finalidad de desarrollar el sentido de la longitud.  Para ello es necesario estimar y medir, para lo cual se requiere que los estudiantes se apropien de referentes que tengan significado, como por ejemplo, la longitud de un paso, el largo de una cuadra, la altura del techo de una casa. A través de la repetición o partición de estos referentes se pueden estimar diferentes longitudes.
Es importante tener en cuenta que este tipo de situaciones se deben realizar habitualmente para ir mejorando el sentido de la longitud.

P. 99

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran la iteración de longitudes.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Explique a los estudiantes que resolverán un problema relacionado con la altura de edificios. Para ello, pídales desarrollar la Actividad 6 a). Promueva que lo realicen en forma individual y registren el procedimiento y respuesta en el cuaderno. Una vez que lo hayan resuelto, pregunte: ¿quién lo resolvió transformando los metros a centímetros?
Pida que expliquen qué cálculo realizaron y qué resultado obtuvieron. Se espera en este caso que reconozcan que 2,3 m equivale a 230 cm y que para obtener la altura del edificio, deben multiplicarlo por 10, obteniendo 2300 cm. Luego pregunte: ¿quién resolvió el problema usando la medida expresada en  metros? Pida que expliquen qué cálculo realizaron  y qué resultado obtuvieron. Se espera que apliquen lo aprendido en el capítulo anterior, reconociendo que cuando se multiplica 2,3 m por 10, cada dígito se mueve a una posición diez veces mayor, por tanto el edificio mide 23 m. Consulte: ¿son equivalentes los resultados 2300 cm y 23 m?
Posteriormente, pídales desarrollar la Actividad 6 b) promoviendo que utilicen la información obtenida en la parte a). Para ello, señale: si un edificio de 10 pisos tiene una altura de 23 m, ¿cuántos pisos tendrá la torre de Shanghái? No se espera que hagan una división, sino que iteren 23 m registrando la veces que es necesario hacerlo para aproximarse a 632 m. (Un edificio de 100 pisos mide 230 m, uno de 200 pisos mide 460 m, uno de 300 pisos mide 690 m. Entonces, la torre mide aproximadamente 270 m).
Finalmente, solicíteles que realicen los ejercicios de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
En la medición de longitudes utilizando metros y centímetros se han venido planteando tareas matemáticas asociadas directamente a la medición, tales como medir usando diferentes instrumentos, interpretar y comparar medidas, transformar de metros a centímetros, y viceversa, todo esto utilizando números decimales.
Además, se han planteado tareas matemáticas que conectan las longitudes con problemas que requieren la suma, resta y multiplicación con números decimales.
Ambos grupos  de tareas se volverán a realizar en la próxima sección del capítulo, con medidas de longitud pequeñas, en que se utilizarán centímetros y milímetros.

Cuaderno de Actividades página 49 • Tomo 1
Ticket de salida página 99 • Tomo 1

P. 100

Propósito
Que los estudiantes comprendan la relación entre el centímetro y el milímetro como unidades de medida de longitud.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla graduada en centímetros y milímetros.
Gestión
Comente que en esta clase van a trabajar con longitudes pequeñas, por lo que utilizarán una nueva unidad. Esta unidad es el milímetro, que corresponde a la décima parte del centímetro. Pregunte: ¿pueden mostrar una longitud, o una distancia, de un centímetro?, ¿y podrían mostrar la longitud de un milímetro? Pida que observen sus reglas e identifiquen centímetros y milímetros. Indique a los estudiantes que midan  los objetos de la Actividad 1. Pregunte: ¿cuántos centímetros miden?, ¿es una cantidad justa de centímetros? ¿Cómo podemos expresar las medidas de manera más exacta? Solicite que los midan en milímetros.
Ahora indique que resuelvan la Actividad 2. Probablemente, restarán 35 - 6 y darán la respuesta en milímetros. Pídales que expresen esa medida en centímetros y pregunte: ¿la longitud de la cola expresada en centímetros y milímetros es la misma? ¿Cómo pueden estar seguros?
Pida que lean y comenten el recuadro, y luego que escriban en sus cuadernos lo que han entendido.
Consideraciones didácticas
Al medir algunos objetos en centímetros, en ocasiones es necesario aproximar la medida a una determinada cantidad de centímetros, ya sea por exceso o por defecto. Si se quiere obtener una medida más precisa, es necesario introducir una unidad más pequeña: el milímetro. Es importante que los estudiantes comprendan, de este modo, la necesidad de generar una nueva unidad de medida.

P. 101

Propósito
Que los estudiantes transformen medidas de longitud de milímetros a centímetros y viceversa utilizando como referencia una tabla de valor posicional.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Indique a los estudiantes que resuelvan la Actividad 3. Pregunte: ¿quién está de acuerdo con Gaspar? ¿Por qué? Puede generar un pequeño debate en el que concluyan que para medir con la regla, un extremo del objeto debe estar colocado frente al cero.
Pida que interpreten el significado de cada dígito en la medida representada en la tabla de valor posicional de la Actividad 1. Es fácil comprender que la primera columna representa centímetros completos (7 cm). Pregunte: ¿pero qué significa el 6 de la segunda columna? (Esta columna es de los décimos de centímetro o milímetros) ¿Cómo se puede escribir? (0,6 cm o 6 mm). Es importante que logren distinguir lo que representa la tabla completa (7,6 cm).
En la Actividad 2, pida que comparen las dos filas coloreadas. ¿Son equivalentes los encabezados escritos en cada columna? ¿Corresponden a una misma longitud 10 mm y 1 cm? ¿Y 1 mm con 1/10 de cm? ¿Cuántos milímetros están representados en la tabla?  (326 mm) ¿Y cuántos centímetros? (32,6 cm).
Pida que desarrollen en sus cuadernos las Actividades 2 a) y 2 b). Luego, puede copiar la tabla en la pizarra y ensayar distintas lecturas de las cuatro medidas representadas.
Consideraciones didácticas
Para medir la longitud de un objeto con regla, es necesario hacer coincidir el cero con uno de los extremos del objeto. Pero también es posible comenzar a medir desde cualquier número y restar la medida inicial de la final para determinar la longitud del objeto.
Es importante destacar que en la tabla del valor posicional solo se puede escribir un dígito por cada columna. Por ello, cuando escribimos 32 centímetros, necesitamos agregar la columna de las decenas de centímetro.

Ticket de salida página 101 • Tomo 1

P. 102

Propósito
Que los estudiantes sistematicen la relación entre milímetros y centímetros y que resuelvan problemas de comparación de longitudes.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Dedique un tiempo a la lectura y comentario del recuadro para afianzar lo aprendido en la página anterior. Puede dibujar una tabla como la de la página anterior, que tiene dos filas coloreadas, para facilitar la lectura en milímetros.
Pida que resuelvan la Actividad 3 a). Pregunte: ¿cuánto más largo es el monito del monte que el musgaño?, ¿Y cuánto más largo que el camaleón? Averigüe si operaron con centímetros (con decimales) o con milímetros (con números naturales). Consulte si las longitudes a que llegaron son equivalentes.  Para la Actividad 3 b), pregunte: ¿cuántas veces creen que cabe el camaleón a lo largo de su mano? Pida que propongan cómo se podría realizar la estimación; por ejemplo, desplazando dos dedos abiertos de una mano sobre la palma de la otra mano. Luego, indique que midan para comprobar su estimación.
Ahora pida que resuelvan la Actividad 4. Es probable que en a) algunos estudiantes hayan transformado la medida del salto a centímetros para hacer un cálculo con números naturales (300 – 275) y otros, la hayan calculado en metros  (3 – 2,75). Proponga que comparen los resultados: ¿llegaron a la misma diferencia, expresada en centímetros  y en metros? ¿Cómo pueden estar seguros? Para comparar los resultados en b), puede preguntar: ¿cuál es el largo de la rata canguro? ¿Cómo obtuvieron la respuesta? Seleccione a algunos estudiantes para que expliquen sus procedimientos.
Consideraciones didácticas
En la Actividad 4 b), al realizar el cálculo de la longitud del cuerpo de la rata, este resulta con décimos de milímetro (13,75 cm =137,5 mm). Cualquier unidad se puede dividir en 10 para obtener una menor; en este caso, décimos de milímetro.

Cuaderno de Actividades páginas 50 y 51 • Tomo 1

P. 103

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran la conservación de la longitud en figuras de dos dimensiones medidas en centímetros.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience la clase pidiendo que resuelvan la Actividad 1 a). Asegúrese de que recuerdan cómo se calcula el perímetro de un cuadrado, en el que todos sus lados son iguales. Pregunte: ¿y en un rectángulo, qué lados son iguales?  Se espera que digan que los lados opuestos son iguales.
Organice a los estudiantes en grupos para que desarrollen la Actividad 1 b). Pregunte: ¿cómo podemos saber si Sofía pudo hacer estas figuras con el alambre que tenía? Se espera que digan  que si tienen el mismo perímetro o un perímetro menor que el cuadrado, pueden haber sido hechas por Sofía.
Mientras los estudiantes calculan los perímetros, monitoree el trabajo de los grupos. Es probable que en la figura A dupliquen las medidas del largo y el ancho para obtener el perímetro. En la figura C, que sumen, por una parte,  las medidas verticales, y por otra, las horizontales, para obtener las dos medidas que faltan. En la figura B, en cambio, tienen todas las medidas verticales, pero solo una de las horizontales, que corresponde a la suma de las otras tres. Es probable que piensen que no es posible calcular el perímetro porque no conocen esas medidas. Oriéntelos para que se den cuenta de que no necesitan la medida de cada una de ellas para calcular el perímetro si conocen su suma. Concluyen que los perímetros de las tres figuras son 48 cm, por lo que Sofía pudo haberlas hecho.
Pida que resuelvan la sección Practica. En a), el ancho del rectángulo se reduce a la mitad, pero el largo se mantiene, de modo que el perímetro no es la mitad del primero. En b), tanto el ancho como el largo se reducen a la mitad, por lo que el perímetro sí es la mitad del perímetro del primero.
Consideraciones didácticas
Es interesante destacar que las figuras B y C se obtuvieron a partir de rectángulos de 17 cm · 7  cm y de  18 cm · 6 cm, respectivamente. Como los cortes son perpendiculares, la suma de las medidas verticales y horizontales es constante.

Cuaderno de Actividades página 52  • Tomo 1
Ticket de salida página 103  • Tomo 1

P. 104

Propósito
Que los estudiantes comprendan la diferencia entre camino recorrido y distancia y dimensionen el significado del kilómetro como unidad de medida, relacionándolo con el metro.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Anuncie que en esta clase van a trabajar con longitudes más grandes y pida que observen el mapa de la Actividad 1. Pregunte: ¿cuál es el camino para ir de la escuela a la casa de cada niño? ¿Pueden irse por las líneas azules? ¿Por qué?
Comente la diferencia entre la distancia y el camino recorrido entre dos lugares. Pregunte: ¿podría volar un pajarito siguiendo la línea azul? Se espera que comprendan que la distancia corresponde a la línea recta entre dos puntos, que es única, a diferencia del camino recorrido, que puede variar.
Pida que lean el recuadro. Pregunte: ¿pueden mostrar una longitud, o una distancia, de un metro? ¿Y cómo podrían mostrar la longitud de un kilómetro? Motívelos para que imaginen alguna representación de esa medida. Por ejemplo: si una cuadra mide 100 m, ¿cuántas cuadras hacen 1 km?
Vuelva a la Actividad 1 a). Pregunte: ¿necesitan calcular la longitud de los dos caminos para saber cuál es más largo? Se espera que se den cuenta de que basta comparar el tercer tramo (280 m y 420 m). Pida que calculen las longitudes de los caminos desde la escuela a las dos casas, en metros y en kilómetros. Asegúrese de que recuerdan cómo dividir por 1000.
Siga con la Actividad 1 b) comparando las distancias. Finalmente, en la Actividad 1 c) motívelos para que saquen conclusiones sobre las relaciones entre las longitudes de los caminos y las distancias de la escuela a las dos casas.
Ordenen las medidas para compararlas llenando una tabla como la siguiente en la pizarra:
| Long. del camino | Distancia
Escuela - casa Sofía
Escuela - casa Matías
Consideraciones didácticas
Las unidades de longitud que utilizamos tienen una estructura decimal, al igual que el sistema de numeración. Esto facilita la conversión de medidas desde una unidad a otra. Antiguamente, existían unidades intermedias: con 10 metros se formaba 1 decámetro, con 10 decámetros, 1 hectómetro y con 10 hectómetros , 1 kilómetro. Pero actualmente solo se usan el metro y el kilómetro, que equivale a 1 000 metros. Así, 1 160 m corresponden  a 1 km, 1/10 de km y 6/100 de km, esto es, a 1,16 km.
Para los niños es fácil visualizar el tamaño de 1 mm, de 1 cm y de 1 m. Aunque la palabra kilómetro puede serles familiar, no es frecuente que tengan representaciones precisas de esta unidad de medida. Para ayudarlos, conviene proponerles que iteren longitudes o distancias en metros de representaciones que pueden imaginar: cuadras, canchas deportivas, gimnasios, bodegas, etc.

P. 105

Propósito
Que los estudiantes aprendan a transformar medidas de metros a kilómetros y viceversa con el apoyo de una tabla de valor posicional.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida que desarrollen la Actividad 2. Algunos estudiantes transformarán la medida que está en metros a kilómetros, y otros, la que está en kilómetros a metros. Proponga que comparen los resultados: ¿llegaron a la misma longitud, expresada en metros y en kilómetros? ¿Cómo pueden asegurarlo?
Pida que interpreten la tabla de valor posicional de la Actividad 1. Es fácil comprender que la primera columna representa 1 kilómetro completo. Pregunte: ¿qué significa el 6 de la tercera columna? (6 centésimos de kilómetro) ¿Cómo se puede escribir? (0,06 km) ¿Y el 0 en la cuarta columna? (0/1000 de km). Es importante que logren distinguir lo que representa la tabla completa (1, 86 km) de  lo representado en cada columna.
En la Actividad 2 pida que comparen las dos filas coloreadas. ¿Son equivalentes las medidas escritas en cada columna? ¿Corresponden a una misma longitud 10 m y 1/100 de km? ¿Cuántos metros están representados en la tabla? (4 327 m) ¿Y en la cuarta columna? (7) ¿Cuántos kilómetros están representados en la tabla? (4,327 km) ¿Y en la segunda columna? (3/10 de km).
Pida que desarrollen en sus cuadernos las Actividades 2 a) y 2 b). Luego, pueden copiar la tabla en la pizarra y ensayar distintas lecturas de las cuatro medidas representadas.
Consideraciones didácticas
La cantidad de columnas entre los kilómetros y los metros en la tabla de valor posicional dificulta la comprensión de la relación entre ambas unidades. En la tabla de la  Actividad 2, si consideramos al kilómetro como unidad, leemos 4,327 km. Si la unidad de referencia es el metro, leemos 4 327 m. Pero también podríamos decir que hay 432 decenas de metro y 7 m, o bien que hay 43 décimas de kilómetro y 27 milésimas de kilómetro. La estructura decimal del sistema de medidas de longitud nos permite realizar diferentes lecturas en una tabla análoga a la que hemos utilizado para estudiar el sistema de numeración.

Cuaderno de Actividades página 53  • Tomo 1
Ticket de salida página 105 • Tomo 1

P. 106

Propósito
Que los estudiantes sistematicen la relación entre metros y kilómetros y que experimenten personalmente la longitud de 1 km.
Habilidad
Resolver problemas.
Recursos
Uno o varios teléfonos celulares con Google Maps.
Gestión
Dedique un tiempo a la lectura y comentario del recuadro para afianzar lo aprendido en la página anterior.
En la Actividad 3) busquen en un teléfono celular, usando la aplicación Google Maps, un lugar conocido que quede aproximadamente a un kilómetro de la escuela. Procure que el camino sea lo más recto posible.
Pida que observen la imagen de la Actividad 3 a), similar a la que encontraron en el celular, y que definan uno de los museos como punto de partida y el otro como llegada. Luego, pida que aborden la Actividad 3 b) ordenando, en metros o en kilómetros, las medidas especificadas.
A continuación, planifique una salida de la escuela para recorrer el camino encontrado en el celular. Pregunte: ¿cuántos minutos creen que se demorarán en llegar? ¿Qué cantidad de pasos creen que darán?
Cuando realicen la caminata, que registren el tiempo y la cantidad de pasos. Si no es posible salir de la escuela por alguna circunstancia ineludible, organice un circuito dentro de la escuela y que lo recorran las veces necesarias para completar un kilómetro.
Una vez realizada esta actividad, que comparen el tiempo y la cantidad de pasos estimados con los que efectivamente midieron. Pregunte: ¿qué significó esta experiencia para ustedes?
Consideraciones didácticas
Puesto que los estudiantes han tenido experiencias directas con las otras medidas de longitud, es importante que también la tengan con el kilómetro. Es necesario que los estudiantes se involucren en la actividad, cuyo foco debiera ser contrastar su idea de lo que es un kilómetro con la experiencia de recorrer esta longitud.
A veces es complicado organizar salidas fuera de la escuela, pero siempre es posible si se tramitan oportunamente los permisos y se respetan las normas de seguridad.

P. 107

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas en los que utilizan medidas expresadas en kilómetros con números decimales.
Habilidad
Representar / Resolver problemas.
Gestión
Pida que desarrollen la Actividad 4. Pregunte: ¿cómo leen las alturas de las montañas? ¿Las pueden leer en metros sin necesidad de hacer cálculos?
Una vez que hayan resuelto las Actividades 4 a) y 4 b), pregunte si hicieron las operaciones con números naturales (medidas en m) o decimales (medidas en km). Pida que compartan las respuestas, expresadas en km.
Pida que desarrollen la Actividad 5 a). Pregunte: ¿podrían ordenar estas longitudes si las medidas estuvieran aproximadas a kilómetros completos? ¿Y si tuvieran sólo una cifra decimal? (décimos de kilómetro).
Cuando las hayan ordenado, pida que compartan sus respuestas. Pregunte: ¿necesitaron expresar las medidas en metros? ¿Es posible expresar estas medidas en metros? Comente que, como solo tienen dos decimales, tendrían que aproximar las medidas colocando un 0 en las milésimas de kilómetro (metros). En el caso del túnel Laerdals, tendrían que aproximar las centésimas y las milésimas de kilómetro.
En la Actividad 5 b) se espera que hayan comprendido que en el túnel de China el 2 representa centésimos de kilómetro, mientras que en el túnel japonés el 2 representa décimos de kilómetro. Pregunte: ¿cuánto más largo es el japonés que el chino? (0,18 km).
Consideraciones didácticas
Cuando la diferencia entre el tamaño de dos unidades es muy grande, como es el caso del metro y el kilómetro, las medidas en la unidad mayor suelen tener uno o dos dígitos después de la coma, de modo que al transformarlas a la unidad menor es necesario hacer una aproximación colocando un cero en las posiciones en que no se dispone de información.

Cuaderno de Actividades página 54  • Tomo 1
Ticket de salida página 107 • Tomo 1

P. 108

Propósito
Que los estudiantes se apropien de criterios para seleccionar la unidad de medida de acuerdo al tamaño del objeto que se medirá, y que profundicen su comprensión de las relaciones entre las unidades de longitud estudiadas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Comience la clase preguntando: ¿es posible expresar la medida de la altura de una mesa  en cualquier unidad de longitud? Acepte diversas opiniones y escriba en la pizarra:
750 mm      75 cm     0,75 m        0,00075 km
Pregunte: ¿son equivalentes estas medidas? ¿Basta cualquiera de ellas para conocer la altura de la mesa? Si ustedes tuvieran que medirla, ¿qué unidad elegirían? ¿Por qué?
Pida que realicen la Actividad 1, por parejas, permitiendo que intercambien opiniones. Cuando terminen, solicite que compartan sus respuestas y genere una discusión en las que no exista consenso. Luego, pida que lean el recuadro y haga preguntas como la siguiente: ¿por qué no sería conveniente medir la altura de una mesa en km? Para concluir, que anoten en su cuaderno las ideas del recuadro.
Para sistematizar lo aprendido en este capítulo, pida que lean las viñetas coloreadas y observen el diagrama. Pregunte: ¿cuál unidad puede considerarse como base en la medición de longitudes? ¿Por qué?
Pida que copien el diagrama en su cuaderno y que busquen distintas formulaciones de las relaciones entre las unidades de longitud, como por ejemplo: con 10 mm se forma 1 cm, con 1 000 mm se forma 1 metro y con 1 000 000 de mm se forma 1 km, ¿qué otras relaciones pueden expresar?
Consideraciones didácticas
El carácter lineal del sistema de unidades de longitud facilita su comprensión. Es importante que los estudiantes lo manejen con propiedad porque sobre esta base construirán posteriormente los sistemas de medición de superficie (2D) y de volumen (3D).

Cuaderno de Actividades página 55  • Tomo 1
Ticket de salida página 108  • Tomo 1

P. 109

Propósito
Que los estudiantes apliquen los aprendizajes sobre medidas de longitud.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Organice a los estudiantes para que resuelvan los ejercicios en sus cuadernos, en parejas o individualmente.
En el Ejercicio 1 deben considerar que la huincha blanca indica los metros y los centímetros y se lee de izquierda a derecha. Las huinchas amarillas, deben leerse de derecha a izquierda y están graduadas en centímetros y milímetros.
En el Ejercicio 2 deben restar las medidas correspondientes a los extremos para obtener la longitud del cepillo y el sacapunta.
En el Ejercicio 3 antes de ordenar las medidas, deben elegir en qué unidad  las expresarán.
En el Ejercicio 4 pueden realizar los cálculos en metros o en kilómetros. Si lo hicieron en metros, luego deben transformarlos a kilómetros para responder.

P. 110

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas en los que aplican los aprendizajes sobre medidas de longitud utilizando representaciones espaciales.
Habilidad
Representar / Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Organice a los estudiantes en parejas o individualmente para que resuelvan los problemas en sus cuadernos.
En el Problema 1 deben hacer un dibujo a partir del enunciado, y luego basarse en las relaciones representadas para realizar el cálculo. Pida a algunos de los estudiantes que muestren en la pizarra las representaciones que hicieron.
En el Problema 2 deben interpretar un mapa distinguiendo longitud del recorrido y distancia entre dos lugares y calculando la diferencia entre ellas.
En el Problema 3 deben interpretar la lectura de un cuentakilómetros en dos momentos y calcular la diferencia.

Capítulo 7

Datos

Visión general
En este capítulo se continúa el estudio de la exploración de datos mediante tablas y gráficos profundizando en la lectura e interpretación de gráficos de barras simples e introduciendo las tablas de doble entrada, los gráficos de líneas y los diagramas de tallo y hojas.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA26: Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barras simple y gráficos de líneas y comunicar sus conclusiones.
OA27: Utilizar diagramas de tallo y hojas para representar datos provenientes de muestras aleatorias.
Aprendizajes previos
Leen e interpretan información contenida en tablas de frecuencias.
Construyen gráficos de barras simples.
Actitud
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.

P. 111

Propósito
Que los estudiantes comprendan la conveniencia de resumir la información de varias tablas en una sola.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de tablas.
Gestión
Presente la Actividad 1 y pida a los estudiantes que analicen la información contenida en las tablas. Pregunte, ¿qué tipo de libro se prestaron cada mes? (Cuentos, novelas, cómics y otros) ¿Cuántos libros en total se prestaron cada mes? (34 en abril, 72 en mayo y 58 en junio) ¿Hay un espacio en las tablas para registrar esta información? (Sí, en la última fila de cada tabla se registran los totales).
A continuación, pregunte: ¿cuántos libros de cada tipo fueron pedidos en total en los tres meses? (52 cuentos, 39 novelas, 51 cómics y 22 de otros) ¿Qué tuvieron que hacer para obtener cada total? (Sumar los datos de cada fila) ¿Hay un espacio en las tablas para registrar esta información? (No) ¿Por qué es importante que la registremos? (Para no tener que hacer el mismo cálculo todas las veces). Invítelos a pensar formas de reordenar la información de las tablas para incluir los totales. Asegúrese de que los estudiantes consideren la opción de juntar las tablas.

P. 112

Propósito
Que los estudiantes combinen varias tablas en una sola.
Que los estudiantes lean e interpreten la información contenida en tablas de doble entrada.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imágenes de las tablas de doble entrada.
Gestión
Para continuar con la Actividad 1, pida a los estudiantes que junten las tablas en una sola que contenga los totales de cada mes y los totales de cada tipo de libro.
Solicite a algunos estudiantes que muestren sus tablas y concuerde un formato común. Presente la siguiente tabla:
Número de libros prestados
| Abril | Mayo | Junio | Total
Cuentos | 15 | 21 | 16 | 52
Novelas | 6 | 19 | 14 | 39
Cómics | 8 | 24 | 19 | 51
Otros | 5 | 8 | 9 | 22
Total | 34 | 72 | 58
Mes
Tipo
A continuación, pregunte: ¿a qué corresponden los 3 valores de la última fila? (Son los totales de libros pedidos en cada mes) ¿A qué corresponden los 4 valores de la última columna? (Al total de libros de cada tipo pedidos durante los 3 meses) ¿Qué valor podríamos agregar en la celda en blanco? (El total de libros pedidos en los 3 meses) ¿cuál es ese valor? (164) ¿Cómo lo obtuvieron? Asegúrese de que los estudiantes noten que es posible obtener este valor de tres maneras:
Sumando los valores de la última fila.
Sumando los valores de la última columna.
Sumando los valores al interior de la tabla.
Haga preguntas para trabajar la lectura e interpretación de datos: ¿cuántos cómics se pidieron en junio? (19) ¿En qué mes se pidieron más libros? (En mayo) ¿Cuál fue el tipo de libro más pedido? (Cuentos) ¿Cuántos libros más se pidieron en mayo que en abril? (38) ¿Cuántos cuentos y novelas fueron pedidos? (91).
Pida a los estudiantes que comenten las ventajas de la tabla que se obtuvo al combinar las otras 3. Asegúrese de que reconozcan que esta tabla permite:
ver rápidamente cuántos y qué tipo de libros fueron prestados en cada mes.
visualizar el total de cada tipo de libro, el total de libros de cada mes y el total de libros pedidos.
Indique a los estudiantes que este tipo de tablas se denominan tablas de doble entrada y permiten resumir los datos de dos variables relacionadas. En este caso la tabla presenta los datos asociados al “tipo de libro” y “el mes” en que fue pedido.
Pida a los estudiantes que desarrollen la actividad de la sección Practica.

Tickets de salida página 112 • Tomo 1

P. 113

Propósito
Que los estudiantes identifiquen las variables de interés para la investigación propuesta.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la situación descrita en esta página y pregunte: ¿qué les parece la idea de Sergio? Se espera que reconozcan la importancia de prevenir accidentes y lesiones en la escuela. ¿Qué necesita hacer Sergio para elaborar su afiche? (Debe investigar las lesiones producidas en la escuela) ¿qué información deberán recolectar? Se espera que mencionen diversos tipos de información, por ejemplo, el número de niños que sufrieron lesiones, los días en que ocurrieron, la hora en que sucedieron, los lugares donde ocurren con más frecuencias, el curso al que pertenecen los niños lesionados, etc.
Pregunte: de toda la información que Sergio podría recolectar, ¿cuál será más importante? Genere una discusión en la que identifiquen las variables más pertinentes a la investigación propuesta. Asegúrese de que entre ellas se encuentre el tipo de lesión y el lugar donde se produjo.
Siga, preguntando: ¿de qué manera Sergio puede obtener los datos que necesita? ¿De dónde los puede sacar? Anímelos a pensar en las posibles fuentes de datos y las formas en que pueden ser recolectados (Por ejemplo, a través de una encuesta o solicitando la información disponible en la enfermería del colegio).
Consideraciones didácticas
La enseñanza de la estadística debe involucrar a los estudiantes en procesos sistemáticos de indagación en las que las técnicas y procedimientos estadísticos surjan como herramientas útiles para responder a problemas cotidianos. En particular, en esta actividad las tablas de doble entrada permiten organizar y analizar los datos que ayudan a responder la problemática planteada sobre lesiones en la escuela.
Es importante que los estudiantes reconozcan que dicho análisis está inmerso en un proceso de investigación más amplio, que considera las siguientes etapas: (1) reconocer cuál es el problema que se desea investigar; (2) identificar las variables de interés; (3) planear la manera en que se recolectarán y analizarán los datos; (4) recolectar y organizar los datos; (5) analizarlos mediante tablas y gráficos; (6) obtener conclusiones. Este proceso se conoce como ciclo de investigación estadística.

P. 114

Propósito
Que los estudiantes piensen en la manera de organizar los datos para registrar las frecuencias conjuntas para dos variables.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del registro de lesiones. Imagen de las tablas.
Gestión
Presente el registro de lesiones de la escuela de Sergio y pregunte: ¿cuántos datos hay? (22) ¿A qué corresponden estos datos? (Curso del estudiante que sufrió la lesión, hora en la que ocurrió, lugar donde sucedió y el tipo de lesión). Asegúrese de que entiendan que cada una de ellas representa una variable.
Continúe preguntando: si elegimos investigar dos de estas variables, ¿cuáles le podrían dar más información a Sergio para su afiche? Plantee una discusión que les permita concluir que el lugar de la lesión y el tipo de lesión pueden ser las variables más relevantes para la investigación.
Proponga a los estudiantes construir tablas de frecuencias para cada variable. Dibuje las tablas en la pizarra y pida a distintos estudiantes que las completen.
Lugares de  la lesión | Número de estudiantes
Patio | 6
Pasillo | 3
Sala de clases | 5
Gimnasio | 7
Escaleras | 1
Total | 22
Número de estudiantes y lugar
Tipos de lesiones | Número de estudiantes
Corte | 4
Golpe | 5
Rasguño | 9
Fractura | 1
Dedo torcido | 1
Esguince | 2
Total | 22
Número de estudiantes y tipo de lesión
Luego, pregunte: ¿cuántas lesiones se produjeron en el patio? (6) ¿En qué lugar se produjeron más lesiones? (En el gimnasio) ¿Qué explicación puede haber para eso? (El gimnasio es el lugar donde se produce más actividad física) ¿Cuántos estudiantes sufrieron un golpe? (5) ¿Cuál es el tipo de lesión más frecuente en la escuela de Sergio? (Rasguño).
A continuación, pregunte: ¿cuántas de las lesiones que se produjeron en el pasillo fueron golpes? Asegúrese de que los estudiantes se den cuenta de que esta información no se puede obtener de las tablas que construyeron y que deben revisar el registro inicial, en que los datos no están organizados.
Pregunte: ¿de qué manera se podrían ordenar los datos en una sola tabla para poder revisar el lugar de la lesión y el tipo de lesión a la vez? Anímelos a dar ideas sobre la forma de esa tabla y concuerde con ellos un formato similar al de la Actividad 2.

P. 115

Propósito
Que los estudiantes resuman y analicen los datos de dos variables en una tabla de doble entrada.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de la tabla de doble entrada.
Gestión
Presente la tabla de doble entrada. Explique que en cada celda debe registrarse el número de estudiantes que, a la vez, se lesionaron en el lugar que señala la fila y que tuvieron el tipo de lesión que señala la columna. Sugiérales que revisen uno a uno los datos del registro de lesiones y hagan una marca (palito) en la celda que corresponda en la tabla de doble entrada. Muestre un ejemplo.
Explique que después de contar todos los datos, deben colocar en cada celda el número correspondiente a las marcas registradas (frecuencia). Pida que completen la tabla en el Cuaderno de Actividades y monitoree el desarrollo de la actividad. Después de que hayan terminado, presente la tabla completa.
Lugares y tipos de lesiones
| Corte | Golpe | Rasguño | Fractura | Dedo  torcido | Esguince | Total
Patio | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 |  | 6
Pasillo |  | 3 |  |  |  |  | 3
Sala de clases | 2 |  | 3 |  |  |  | 5
Gimnasio | 1 |  | 4 |  |  | 2 | 7
Escaleras |  | 1 |  |  |  |  | 1
Total | 4 | 5 | 9 | 1 | 1 | 2 | 22
Lugar
Pregunte: ¿cuántos estudiantes se fracturaron en el patio? (1) ¿Cuántos rasguños ocurrieron en la sala de clases? (3) ¿Cuál es la lesión más frecuente y en qué lugar ocurre? (Los rasguños en el gimnasio) ¿Cuántas fracturas ocurrieron en el gimnasio? (Ninguna). Haga notar que para responder estas preguntas tuvieron que mirar en las celdas interiores de la tabla.
Continúe preguntando: ¿cuántas lesiones ocurrieron en las salas? (5), ¿cuántos estudiantes sufrieron golpes? (5). Haga ver que, a diferencia de las preguntas anteriores, estas se respondieron mirando la información de la última columna y fila, respectivamente, ya que se refieren a totales. Por último, pregunte: ¿cuántos estudiantes se lesionaron en la escuela de Sergio? (22) ¿Dónde está esa información en la tabla? (en la celda de la esquina derecha).
Pida que respondan la actividad de la sección Practica y posteriormente que vayan al Cuaderno de Actividades a realizar una actividad más.

Cuaderno de Actividades página 58 • Tomo 1
Ticket de salida página 115 • Tomo 1

P. 116

Propósito
Que los estudiantes lean e interpreten gráficos de barras.
Habilidades
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del gráfico de barras.
Gestión
Presente el gráfico de barras señalando que es el que Sergio quiere incluir en su afiche. Pregunte: ¿Cuál podría ser el título del gráfico? (Número de lesiones por lugar) ¿Qué etiquetas deberíamos colocar en el eje vertical? (Gimnasio, patio, salas, pasillos, escaleras) ¿Cuál es la unidad del eje horizontal? (Número de estudiantes). Pida que completen el gráfico en el Cuaderno de Actividades.
Indique a los estudiantes que en un gráfico las barras pueden estar dispuestas de manera vertical u horizontal. Este se trata de un gráfico de barras horizontal.
Continúe preguntando: ¿qué representa la barra azul? (Número de estudiantes que se lesionaron en los pasillos) ¿Cuántas lesiones ocurrieron en el patio? (6). ¿Cuántas lesiones más ocurrieron en el gimnasio que en el patio? (1 más).
Para seguir, pregunte: ¿qué medidas podría proponer Sergio para disminuir las lesiones en su colegio? En la medida en que van haciendo sugerencias, pida a los estudiantes que se enfoquen en la información que dispone Sergio en el gráfico. La idea es que se refieran a medidas que tengan relación con los lugares donde se producen más lesiones.
Finalmente, pida a los estudiantes que piensen en algunos mensajes que podría colocar Sergio en su afiche para tratar de prevenir a sus compañeros sobre las lesiones en la escuela.

P. 117

Propósito
Que los estudiantes construyan y analicen la información contenida en un gráfico de barras.
Habilidad
Representar.
Gestión
Solicite a los estudiantes que elaboren en su cuaderno un gráfico de barras vertical para el tipo de lesiones del colegio de Sergio. Recuérdeles que deben indicar el título, colocar las etiquetas y la unidad a los ejes y usar colores para las barras. Monitoree su desarrollo.
Pida a algunos estudiantes que dibujen el gráfico en la pizarra.
Tipo de lesiones
Estudiantes
Tipo de lesión
Fractura
Dedo
torcido
Esguince
Corte
Golpe
Rasguño
Haga notar a los estudiantes que las barras podrían estar ordenadas de distintas formas, pero que ordenarlas de manera creciente o decreciente facilita la comparación.
Pregunte: ¿cuántos niños se torcieron un dedo? (1) ¿Qué tipo de lesión se repitió exactamente 5 veces?  (Golpe) ¿Cuántos estudiantes sufrieron lesiones graves, tales como cortes, esguinces y fracturas? (7). Según la información del gráfico, ¿qué mensaje podría colocar Sergio en su afiche? La idea es que den sugerencias que apunten a los tipos de lesiones más frecuentes.
A continuación, sugiera la idea de realizar una investigación similar a la de Sergio. Pídales que piensen qué información recolectarían, cómo la obtendrían, de qué manera la analizarían y qué información pondrían en su afiche.
Finalmente, solicite a los estudiantes que resuelvan la actividad de la sección Practica.
Consideraciones didácticas
La actividad de investigación sugerida en esta página tiene el propósito de que los estudiantes experimenten las distintas etapas que componen el ciclo de investigación estadística usando las tablas de doble entrada y los gráficos de barras como herramientas útiles para resumir, analizar y presentar los datos recolectados. Esta actividad es opcional y requiere una gestión que permita apoyar a los estudiantes en el proceso y la obtención de conclusiones.

Tickets de salida página 117 • Tomo 1

P. 118

Propósito
Que los estudiantes analicen y comparen la forma en que varían los datos a través del tiempo.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Pida a los estudiantes que abran el Texto del Estudiante en las páginas 118 y 119 y señale que las fotografías corresponden a las ciudades de Santiago y Arica en el mes de julio. Invite a los estudiantes a comentar lo que observan en las fotografías y en los termómetros. Algunas de sus respuestas son:
En julio, mientras la ciudad de Santiago parece estar en invierno, Arica parece estar en verano.
Los termómetros muestran que en Santiago la temperatura entre abril y julio desciende, mientras que en Arica se mantiene más o menos igual.
Solicite a los estudiantes que revisen los datos de la tabla y comparen las temperaturas de Santiago y Arica. Aclare que se tratan de las temperaturas más altas registradas cada mes.
Pregunte: ¿cuál es la temperatura máxima en el mes de diciembre en ambas ciudades?  (29 °C Santiago y 24 °C Arica) ¿En qué mes la temperatura es la misma en las dos ciudades? (En abril) ¿Cómo varían las temperaturas de Santiago desde enero a diciembre? (Las temperaturas van disminuyendo hasta julio, y luego empiezan a aumentar mes a mes) ¿Cómo varían las temperaturas de Arica? (Disminuyen hasta el mes de agosto, y luego vuelven a subir) ¿En qué ciudad las temperaturas varían más? (En Santiago) ¿En qué se reconoce que varían más? (Parte de temperaturas más altas y llega a temperaturas más bajas que las de Arica) ¿Cuánto varía la temperatura de Santiago y Arica entre agosto y septiembre? (3 °C y 1 °C, respectivamente).
Continúe preguntando: ¿entre qué meses sucesivos se produce la mayor variación en Santiago? (Entre abril y mayo) ¿Cuántos grados Celsius varía? (5 °C) ¿Es un aumento o una disminución de temperatura? (Una disminución) ¿Cuál es la mayor variación de temperatura de Arica? (2 °C).
Concluya con los estudiantes que:
Las temperaturas de ambas ciudades varían en el tiempo.
La forma en que varían las temperaturas es similar en ambos casos: disminuyen, y luego aumentan.
Las temperaturas en Santiago en los meses de más calor son más altas que en Arica, y en los meses de más frío son más bajas.
En Santiago la temperatura varía más que en Arica.

P. 119

Propósito
Que los estudiantes analicen la forma en que varían los datos a través del tiempo usando un gráfico de barras.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del gráfico de barras.
Gestión
Presente el gráfico de barras que representa las temperaturas máximas mensuales de Santiago y pida a los estudiantes que lo analicen.
Pregunte: ¿qué indica el eje vertical? (La temperatura en °C) ¿Y el eje horizontal? (Los meses del año). ¿En qué mes se dio la temperatura más alta y de cuánto fue? (En enero, 30 °C) ¿Y la más baja? (En julio, 15 °C) ¿Creen que fue más fácil identificar estas temperaturas en el gráfico que en la tabla? (Sí).
A continuación, pida a los estudiantes que describan la manera en que cambian las temperaturas en el gráfico. Se espera que aludan a la forma del gráfico (las alturas de las barras) para señalar que las temperaturas bajan progresivamente hasta el mes de julio, y luego vuelven a subir.
Pregunte: mirando el gráfico, ¿entre qué meses sucesivos se produce el mayor descenso de temperatura? (Entre abril y mayo) ¿Y el mayor aumento? (De agosto a septiembre, septiembre a octubre, octubre a noviembre y noviembre a diciembre. En todos ellos aumenta 3 °C) ¿En qué parte del gráfico hay que fijarse para saber cómo cambian las temperaturas? (En la parte superior de las barras) ¿Qué podríamos hacer con el gráfico para observar mejor los cambios de temperatura? Anímelos a dar distintas ideas, recordándoles que la parte superior de las barras juega un rol clave para visualizar los cambios.
Concuerde con los estudiantes que el cambio de temperatura mes a mes se visualiza mejor si conectamos los extremos superiores de las barras con líneas.
Consideraciones didácticas
En esta actividad se propone utilizar los gráficos de barras, estudiados previamente, para introducir los gráficos de líneas. Es importante notar que en este caso el gráfico de barras se usa para representar los valores de una variable (temperatura) respecto del tiempo, y no frecuencias, como pueden estar habituados los estudiantes.
El gráfico de barras permite comparar visualmente las diferencias de temperaturas de un mes a otro y también la manera en que cambia la temperatura al variar el tiempo. Cuando los estudiantes advierten que pueden hacer eso mirando el extremo de las barras, reconocen que al unirlas con líneas es posible obtener un gráfico que describe de mejor manera los cambios en la temperatura producto de variaciones en el tiempo.

P. 120

Propósito
Que los estudiantes analicen la forma en que varían los datos a través del tiempo usando un gráfico de líneas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del gráfico de líneas.
Gestión
Presente el gráfico de líneas de las temperaturas máximas mensuales de Santiago. Recuérdeles que este gráfico se construyó uniendo los extremos superiores de las barras.
Pregunte: al mirar el gráfico, ¿qué podemos decir sobre el cambio de la temperatura de Santiago a lo largo del año? Se espera que los estudiantes se refieran a la forma de “U” de la línea poligonal para describir los descensos y ascensos de temperatura a lo largo de los meses del año. También se espera que reconozcan que hay bastante variación en el tiempo.
Pregunte: ¿cuánto varió la temperatura entre febrero y marzo? (Descendió 2 °C) ¿En qué parte del gráfico debemos mirar para saber cuánto varió la temperatura entre meses sucesivos? (Hay que mirar cuántas unidades (grados Celsius) subió o bajó la línea entre un mes y otro).
Señale que los gráficos de líneas se usan para describir la manera en que evoluciona una cantidad en el tiempo, por ejemplo, cómo cambia la temperatura a lo largo del año, cómo varía la población de una ciudad durante varios años, etc.
Haga notar que estos gráficos presentan ventajas respecto de la manera en que realizaron las comparaciones previamente (a partir del registro de los datos en tablas y por medio de un gráfico de barras).
Recuérdeles que al comparar los datos de Santiago y Arica habían concluido que:
Las temperaturas variaban de manera similar en ambas ciudades: descendían y luego aumentaban.
Las temperaturas de Santiago variaban más que las de Arica.
Pida a los estudiantes que imaginen qué forma debería tener el gráfico de líneas de las temperaturas de Arica considerando esta información. Haga una puesta en común en la que dibujen el gráfico que se imaginan.

P. 121

Propósito
Que los estudiantes comparen los gráficos de líneas de dos grupos de datos.
Que los estudiantes asocien el sentido y magnitud del cambio con la inclinación y longitud de las líneas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de los gráficos de líneas.
Gestión
Solicite a los estudiantes que vayan al Cuaderno de Actividades y construyan el gráfico de puntos de las temperaturas de Arica conectando las puntas de las barras con líneas. Sugiera usar color rojo para diferenciar estas líneas de las del gráfico de Santiago que se presentan en el mismo espacio.
20
(ºC)
(Mes)
Ene
Temperatura en Santiago y Arica
25
30
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
Oct
Nov
Dic
A continuación, muestre las imagen de los gráficos de líneas y pregunte: al mirar los gráficos de líneas, ¿qué se puede decir del cambio de temperaturas entre abril a mayo? (En ambos casos disminuye) ¿Cómo se refleja en el gráfico la disminución? (Las dos líneas apuntan hacia abajo cuando las vemos de izquierda a derecha) ¿En cuál disminuye más la temperatura? (En Santiago) ¿Cómo se puede saber cuál disminuye más al mirar los gráficos? (Identificando cuál de las dos líneas está más inclinada) ¿Cómo son las líneas en los meses que aumenta la temperatura? (Apuntan hacia arriba cuando las vemos de izquierda a derecha) ¿Cómo saber en el gráfico cuál de las ciudades aumenta más la temperatura entre dos meses sucesivos? (Comparando la inclinación de las líneas; la que está más inclinada aumenta más).
Presente la siguiente imagen y resuma las ideas expuestas por los estudiantes:
Ligero aumento
Aumento
significativo
Ligera
disminución
Disminución
significativa
Sin
cambios
Pida a los estudiantes que describan las ventajas que tiene usar gráficos de líneas. Asegúrese de que reconozcan que permiten visualizar fácilmente la manera en que cambia una cantidad al variar el tiempo.
Finalmente, solicite que respondan la actividad de la sección Practica.

Ticket de salida página 121 • Tomo 1

P. 122

Propósito
Que los estudiantes construyan gráficos de líneas.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen del registro de temperaturas.
Gestión
Presente la tabla de temperaturas y pídales que construyan el gráfico de líneas en el Cuaderno de Actividades.
Monitoree el desarrollo de la actividad respondiendo sus dudas. En particular, recuérdeles que la escala corresponde a los valores que se deben colocar en los ejes. Pída que piensen cuál es la escala más conveniente para el eje vertical. Puede preguntar: ¿qué valores podemos colocar en las casillas, que nos permitan registrar todas las temperaturas que están en la tabla? Sugiera que observen los dos puntos que están en la gráfica para decidir.
Después de que terminen, dibuje o proyecte una cuadrícula en la pizarra y pida a algunos estudiantes que completen el gráfico.
(Horas)
11
Temperaturas
13
Haga una síntesis del proceso de construcción que incluya las indicaciones que aparecen en el Texto del Estudiante.
A continuación, solicite a los estudiantes que sigan los pasos identificados para elaborar el gráfico de líneas de la actividad propuesta en la sección Practica.
Consideraciones didácticas
Tanto para la construcción como para el análisis de un gráfico es importante que los estudiantes se acostumbren a usar los términos matemáticos asociados que permiten expresar sus ideas con precisión (eje vertical, eje horizontal, escala, marcas de graduación, etc.).

P. 123

Propósito
Que los estudiantes establezcan la escala apropiada del eje vertical para un gráfico de líneas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de los gráficos de líneas.
Gestión
Presente el primer gráfico de líneas y señale que se trata del gráfico que construyó Josefa cuando estuvo resfriada. Pregunte: ¿cuál fue su temperatura a las 6:00? Se espera que los estudiantes tengan dificultad para identificar el valor exacto y propongan 36 °C o 37 °C. ¿Podemos determinar cuánto aumentó su temperatura entre las 6:00 y las 8:00? La misma dificultad. ¿Es importante en este caso distinguir temperaturas cuyo valor sea un número decimal?, ¿por qué? (En el caso de la temperatura corporal importan las pequeñas variaciones) ¿Este gráfico nos permite distinguir esos valores? (No).
A continuación, presente el segundo gráfico de líneas indicando que también muestra la temperatura corporal de Josefa de ese día. Pida a los estudiantes que comenten qué diferencias observan en estos dos gráficos. Pregunte: ¿cómo es la escala del eje vertical en el primer gráfico? (La diferencia entre marcas de graduación es de 10 °C) ¿Y del segundo gráfico? (1 °C) ¿Desde qué valor empieza la escala del eje vertical del primer gráfico? (0 °C) ¿Y en el segundo gráfico? (También en 0 °C, pero de ahí se salta a 36 °C) ¿Qué creen que indican las líneas curvas en la parte inferior del segundo gráfico? (Indican que la escala se ha cortado) ¿Con qué propósito? (Para visualizar mejor los cambios de temperatura) ¿Qué ventajas presenta el segundo gráfico? (Permite visualizar cambios de temperatura que en el primer gráfico eran difíciles de detectar).
Pida a los estudiantes que respondan las siguientes preguntas: mirando el segundo gráfico, ¿cuál fue la temperatura de Josefa a las 6:00? (37,2 °C) ¿Cuánto aumentó la temperatura de las 6:00 a las 8:00? (37,6 – 37,2 = 0,4 (°C). ¿Entre qué horas aumentó más su temperatura? (Entre las 8:00 y las 10:00) ¿Cuánto aumentó? (0,9 °C) ¿Cuál era la temperatura a las 9:00? (38 °C).
Concuerde con los estudiantes que elegir la escala apropiada es importante para que el gráfico de líneas permita comunicar la información de manera efectiva. Señale que, muchas veces, no podemos darnos cuenta hasta hacer el gráfico de que debemos elegir una escala más apropiada.
Solicite a los estudiantes que vayan al Cuaderno de Actividades para ejercitar.

Cuaderno de Actividades página 62 • Tomo 1
Ticket de salida página 123 • Tomo 1

P. 124

Propósito
Que los estudiantes experimenten la necesidad de organizar datos.
Habilidad
Argumentar y comunicar / Representar.
Recursos
Imagen del registro de tiempos.
Gestión
Presente la situación del Texto del Estudiante y pregunte: ¿por qué creen que Patricio se preguntó si ocupaba más tiempo que sus compañeros en llegar al colegio? (Porque se dio cuenta de que dos de sus compañeras ocupan mucho menos tiempo que ella) ¿Qué debería hacer Patricio para averiguarlo? (Preguntar al resto de sus compañeros y comparar su tiempo con el de ellos).
A continuación, muestre el registro de los tiempos de viaje que recolectó Patricio y pregunte: al mirar la tabla, ¿qué podemos decir del tiempo de Patricio respecto del de sus compañeros? Se espera que los estudiantes observen que hay compañeros que demoran menos, otros que demoran más y varios que tienen tiempos similares a los de Patricio.
Concuerde con los estudiantes que resulta difícil comparar el tiempo de Patricio con los demás en una tabla en que los datos no están ordenados. Pida a los estudiantes que organicen los datos de manera que sea más fácil comparar.
5 – 7 – 11 – 12 – 14 – 16 – 20 – 23 – 25 – 27 – 28 – 28 – 28 – 32 – 35 – 43
A continuación, pregunte: ¿cuánto demora la persona que tarda menos en llegar al colegio? (5 minutos) ¿Y la que tarda más? (43 minutos) ¿Cuántos compañeros demoran menos que Patricio? (8) ¿Cuántos demoran más? (7) ¿Qué podemos decir sobre el tiempo que le toma a Patricio llegar a la escuela?  Se espera que los estudiantes señalen que Patricio ocupa más tiempo que casi la mitad de sus compañeros, pero menos que el resto.
Siga preguntando: ¿Cuántos compañeros demoran más o menos lo mismo que Patricio? La pregunta es intencionalmente ambigua para que los estudiantes piensen en un rango de tiempo en que pueden situar a Patricio. ¿En qué rango de tiempo podríamos ubicar a Patricio? Puede haber distintas respuestas. Sugiera un rango de 10 minutos para ubicar los tiempos de cada niño. ¿Cuántos compañeros de Patricio demoraron menos de 10 minutos? (2) ¿Entre 10 y 19 minutos? (4). ¿Entre 20 y 29 minutos? (7) ¿Entre 30 y 39 minutos? (2) ¿Y de 40 minutos hacia arriba? (1) ¿Qué podemos concluir sobre el tiempo de Patricio? (Que se encuentra en el rango de tiempo que se repite con más frecuencia).
Invite a los estudiantes a pensar en maneras en que podemos representar los datos agrupados y anímelos a comentar sus ideas.

P. 125

Propósito
Que los estudiantes lean e interpreten diagramas de tallo y hojas.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen del gráfico de Patricio. Imagen del diagrama de tallo y hojas.
Gestión
Presente el gráfico que empezó a construir Patricio y pregunte: ¿cómo organizó los datos Patricio? (En la primera fila anotó los datos menores de 10 minutos, en la segunda entre 10 y 19 minutos y así sucesivamente). Pida que vayan al Cuaderno de Actividades para completar el gráfico de Patricio.
Tiempo en llegar al colegio
23
27
28
35
32
43
Pregunte: ¿Qué tipo de información entrega este gráfico? Anímelos a describir todo lo que observen. Concuerde con los estudiantes que el gráfico permite:
Ver cada uno de los datos ordenados.
Ubicar fácilmente un dato dentro del conjunto.
Saber cuántos datos hay en cada rango y poder compararlos.
A continuación, presente el diagrama de tallo y hojas y pida a los estudiantes que señalen las similitudes y diferencias con el gráfico que propuso Patricio. Pregunte: ¿qué representan los valores que están en el tallo de este nuevo gráfico? (Los dígitos de las decenas de los datos) ¿Y en las hojas? (Los dígitos de las unidades).
Señale que este tipo de gráfico se conoce como diagrama de tallo y hojas y sirve para representar datos agrupados. Mencione que en este caso los datos se agruparon en intervalos de 10 min.
Pregunte: ¿qué ventajas pueden tener los diagramas de tallo y hojas comparados con otros gráficos estadísticos? Concuerde con los estudiantes que una característica útil de los diagramas de tallo y hojas es que permiten visualizar la forma en que se ordenan los datos en su conjunto, sin perder de vista ninguno de ellos.

P. 126

Propósito
Que los estudiantes construyan un diagrama de tallo y hojas.
Habilidad
Representar.
Recursos
Imagen del registro de datos.
Gestión
Presente el registro de las distancias recorridas en 10 s por un grupo de niños. Pida que vayan al Cuaderno de Actividades y construyan un diagrama de tallo y hojas para estos datos. Monitoree el trabajo y resuelva las dudas de los estudiantes. Cuando terminen, seleccione a algunos alumnos para que completen el diagrama en la pizarra.
Hojas
Tallo
4
Distancia recorrida en 10 s
Pida los estudiantes que describan con sus palabras el proceso para construir un diagrama de tallo y hojas. Asegúrese de que reconozcan que el primer paso es ordenar los datos de menor a mayor.
Haga preguntas para que practiquen la lectura e interpretación de este tipo de gráficos: ¿cuántos metros puede correr el niño más rápido? (72 m) ¿Cuántos niños recorren menos de 50 m en 10 s? (5), ¿cuántos recorren 60 o más metros? (3).
A continuación, solicite a los estudiantes que vayan al Cuaderno de Actividades para responder una actividad de ejercitación del tema.
Consideraciones didácticas
El diagrama de tallo y hojas es el primer gráfico de datos agrupados que conocen los estudiantes. Surge en contextos en que es necesario ordenar y agrupar los datos para visualizar su comportamiento. Una característica relevante de este tipo de gráficos es que permite observar la distribución de los datos sin perder de vista ninguno.

Cuaderno de Actividades página 64 • Tomo 1
Ticket de salida página 126 • Tomo 1

P. 127

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados en el capítulo.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente los Ejercicios 1 y 2 y plantee preguntas para asegurarse de que comprenden lo que deben hacer en cada caso. Pida que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo haciendo preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
En el Ejercicio 1 deben identificar las frecuencias de algunas celdas de una tabla de doble entrada a partir del resto de la información.
En el Ejercicio 2 deben leer e interpretar la información contenida en un gráfico de barras. En la puesta en común asegúrese de que comenten qué significa que no haya una barra asociada al jueves.

P. 128

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados en el capítulo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Para continuar con la ejercitación, presente los Ejercicios 3 y 4 y realice algunas preguntas para asegurarse de que comprenden lo que deben hacer. Continúe monitoreando el trabajo y haciendo preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga una puesta en común para compartir los resultados.
En el Ejercicio 3, deben elaborar gráficos de líneas para comparar dos registros de datos. Si es necesario, ayúdelos a establecer la escala para el eje vertical y haga preguntas que los lleven a interpretar los gráficos.
En el Ejercicio 4, deben elaborar un diagrama de tallo y hojas e interpretar la información contenida en él.
Cuando terminen, pida que vayan al Cuaderno de Actividades para que resuelvan los ejercicios y problemas del Resumen 1 y 2.

Cuaderno de Actividades páginas 65 y 66 • Tomo 1
Ticket de salida página 128 • Tomo 1

P. 129

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados en el capítulo.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
En el Problema 1 los estudiantes deben construir una tabla de doble entrada que muestre las frecuencias asociadas a dos variables y construir gráficos de barras para cada una de ellas. Es posible que algunos estudiantes tengan dificultad para registrar las frecuencias. Recuérdeles la conveniencia de revisar los datos de manera ordenada y usar marcas de conteo.
En el Problema 2 los estudiantes deben identificar la escala del eje vertical y distinguirla de la escala usada en otro gráfico. Además, deben interpretar cómo cambia el peso corporal en el tiempo. Aproveche esta instancia para reforzar la importancia de definir la escala adecuada para un gráfico de líneas.
Haga una puesta en común para comparar sus resultados.

Capítulo 8

Paralelismo y perpendicularidad
en figuras 2D y 3D

Visión general
En este capítulo se abordan por primera vez, de acuerdo a la secuencia curricular, las nociones de perpendicularidad y paralelismo. Para la construcción conceptual de ambas nociones se propone que los estudiantes aborden distintos tipos de actividades, tales como identificar líneas rectas perpendiculares y paralelas en figuras geométricas o entre varias líneas, y que dibujen líneas paralelas o perpendiculares a otras utilizando diferentes instrumentos geométricos, como un transportador o una escuadra.
Se utilizan ambas nociones para la caracterización de figuras de 2 dimensiones, en particular, de los cuadriláteros. Se propone que los estudiantes dibujen y clasifiquen cuadriláteros considerando la cantidad de pares de lados paralelos o perpendiculares que tengan.
Se amplían las nociones de paralelismo y perpendicularidad a figuras de tres dimensiones analizando las relaciones que hay entre caras y aristas de prismas, cubos y paralelepípedos.
Objetivo de Aprendizaje del capítulo
OA17: Describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras 3D y lados de figuras 2D:
que son paralelos;
que se intersecan;
que son perpendiculares.
Aprendizajes previos
Medición de longitudes utilizando regla graduada en centímetros y milímetros.
Medición y construcción de ángulos usando transportador y escuadras.
Actitud
Manifestar un estilo de trabajo ordenado y metódico.
Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

P. 130

Propósito
Que los estudiantes dibujen cuadriláteros en un diagrama de puntos y que los clasifiquen identificando características comunes que reconozcan.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, diagrama de puntos para proyectar o dibujado en un pliego de papel o cartulina.
Gestión
Comience la clase pidiendo a los estudiantes que dispongan del Cuaderno de Actividades y la regla. Proyecte el diagrama de puntos al tiempo que señala la siguiente instrucción: “Tracen 4 líneas uniendo puntos de modo que con ellas se forme un cuadrilátero”. Realice un ejemplo dibujando un cuadrilátero sobre un diagrama de puntos utilizando algún software o una regla sobre un pliego de papel con puntos. Se sugiere dibujar las figuras de la Actividad 1 b) enfatizando que primero deben trazar las líneas uniendo dos puntos, y que los cuadriláteros se forman con la intersección de ellas. No necesariamente los vértices de los cuadriláteros son puntos del diagrama.
Destaque que en cada recuadro deben hacer un cuadrilátero diferente.
Una vez que los estudiantes hayan hecho al menos 6 cuadriláteros diferentes en el Cuaderno de Actividades, pídales que los comparen con los que hicieron otros 3 estudiantes, y luego desarrollen la Actividad 1 a) identificando características comunes que dichas figuras tengan.
Monitoree el trabajo de los estudiantes y registre los criterios que utilizan. Apóyelos con preguntas que les ayuden a explicitar las características que posiblemente identifican en forma intuitiva. Por ejemplo, señalando una figura diferente, pregunte: ¿por qué este cuadrilátero no está en este grupo?

P. 131

Propósito
Que los estudiantes clasifiquen cuadriláteros considerando longitud de los lados y medida de los ángulos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Página 131 para proyectar.
Gestión
Una vez que los estudiantes hayan clasificado los cuadriláteros, genere un momento de puesta en común preguntándoles y registrando en la pizarra sus respuestas, ¿con qué criterio han agrupado los cuadriláteros? Compartan las características de las figuras que tuvieron en cuenta para formar los grupos.
Para sistematizar y profundizar los criterios señalados, destaque que se pueden formar grupos de cuadriláteros que tengan todos los lados de igual longitud, o que tengan los lados opuestos de igual longitud. Recuérdeles que también pueden fijarse  en los ángulos.
Proyecte los cuadriláteros de la página 131 e indique que van a agrupar estas figuras en forma similar a lo que hicieron antes. Preocúpese de generar un trabajo colaborativo entre los estudiantes y usted promoviendo que aporten criterios para clasificar los cuadriláteros y seleccionen figuras para formar los grupos.
Entre los diferentes criterios que pueden surgir, asegúrese de que se encuentren:
los que tienen ángulos rectos: A, E, F, G y L.
los que tienen 4 lados de igual longitud: C, G, J y L.
los que tienen los lados opuestos de igual longitud: C, D,  F, G, I, J y L.
Escriba en la pizarra los criterios y pida a distintos estudiantes que nombren alguna figura que cumpla con la característica señalada y que justifiquen por qué la cumple.
Finalice la clase recordando los cuadriláteros ya aprendidos (cuadrados y rectángulos) y mencionando sus características. Diga que en las clases que siguen irán aprendiendo el nombre de otros cuadriláteros, así como las características que los definen.
Consideraciones didácticas
La ventaja de utilizar el diagrama de puntos es que posibilita que se formen cuadriláteros con lados paralelos al conectar los puntos, aunque los estudiantes aún no identifiquen esta relación entre los lados o líneas.
Las cuadriláteros propuestos en la página 131, así como los dibujados por los estudiantes en el Cuaderno de Actividades, serán analizados en varias ocasiones para el aprendizaje de las relaciones entre líneas rectas: paralelas y perpendiculares. Por lo tanto, las actividades realizadas deben ser consideradas como una introducción al tema.

P. 132

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan cuando dos líneas rectas son perpendiculares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra y transportador.
Gestión
Comience la clase recordando que uno de los criterios utilizados para agrupar los cuadriláteros fue que tuvieran ángulos rectos. Dígales que analizarán la figura E que pertenece a dicho grupo, para lo cual deben desarrollar las Actividades 1 a) y 1 b) midiendo con un transportador los ángulos indicados.
Observe que los estudiantes utilicen bien el transportador y midan los ángulos que se forman entre las líneas L y R, obteniendo 62° y 118°. Asimismo, que midan los ángulos que se forman entre las líneas M y P, obteniendo que todos miden 90°.
Hágalos comparar las posiciones de las líneas para que las asocien con los ángulos. Pregunte: ¿qué diferencia observan entre las líneas L y R en comparación con M y P? ¿Qué otras líneas de la figura E están en la misma relación que L y R? Se espera que respondan que M y P.
Sistematice el trabajo realizado señalando que las líneas rectas que se intersectan formando ángulos rectos se denominan perpendiculares. Pídales leer y escribir en el cuaderno la información del recuadro. Destaque que además de decir que “L es perpendicular a M”, también se utiliza la siguiente simbología: L    M. En las imágenes se indica la perpendicularidad formando un cuadrado pequeño en el vértice.
Para evaluar si han aprendido a identificar líneas perpendiculares, pídales que realicen la Actividad 2 indicando que escriban en el cuaderno todas las parejas de líneas perpendiculares  que hay en la figura. Observe si los estudiantes identifican inicialmente los siguientes pares de líneas perpendiculares:  BC  BE; BC  CD; BE  ED; CD  DE y BE  AF. Detecte si hay estudiantes que señalan que CD  AF. En dicho caso, aproveche esta situación para generar un debate en la clase señalando: “He observado que algunos estudiantes han identificado 5 pares de líneas perpendiculares, mientras que otros dicen que son 6: ¿quién tiene la razón? Busquemos los motivos que provocan esta diferencia”. Dirija el intercambio de opiniones entre los estudiantes focalizando la discusión en si las líneas AF y CD son perpendiculares.
Consideraciones didácticas
El concepto de perpendicularidad que se aborda en esta clase, a diferencia de otros aprendidos anteriormente, como lado, vértice y rectángulo, se refiere a una relación entre dos líneas rectas. Generalmente, se dice que comprender las relaciones es difícil.
Para construir la relación de perpendicularidad se propone que los estudiantes identifiquen líneas perpendiculares en figuras geométricas o entre varias líneas rectas y tracen una línea perpendicular a otra utilizando diferentes instrumentos geométricos, como un transportador o una escuadra.

Ticket de salida página 132 • Tomo 1

P. 133

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan cuando dos líneas rectas son perpendiculares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra.
Gestión
Cierre el debate planteado en la actividad de la página anterior señalando que CD  AF, porque si AF se prolonga hasta intersectar a CD, los ángulos que se forman entre las líneas son rectos. Pida a los estudiantes que lean y escriban en el cuaderno las ideas del recuadro.
Indique que deben realizar la Actividad 3 identificando cuáles de las líneas de los puntos a), b), c)  y d) son perpendiculares. Verifique si son capaces de justificar por qué los pares de líneas son perpendiculares o no. Para ello, pregúnteles: ¿cómo identificaste que las líneas son perpendiculares? Focalice las preguntas en aspectos conceptuales para evaluar que han comprendido la relación de perpendicularidad entre 2 líneas rectas.
Para realizar la Actividad 4 recuerde los cuadriláteros que hicieron en el diagrama de puntos en clases anteriores y pídales que identifiquen aquellas que tengan lados perpendiculares. Proyecte por ejemplo las figuras A, E y F y pregunte: ¿cuántos pares de líneas perpendiculares hay en cada figura? Pida que los marquen.
Destaque que como el ángulo es de 90°, la relación entre estas dos líneas rectas es perpendicular.
Finalmente, motive a los estudiantes a que busquen líneas perpendiculares indicando que observen la imagen que se encuentra en la parte inferior de la hoja. Destaque que es necesario usar una escuadra para verificar si efectivamente los objetos tienen líneas perpendiculares. Si es posible, saque fotos de los estudiantes verificando que  las líneas rectas del entorno son perpendiculares, para luego hacer una presentación de los descubrimientos que hicieron.
Consideraciones didácticas
Dos líneas rectas son perpendiculares incluso si no se intersectan, como en el caso de las líneas L y M. Estas líneas son perpendiculares porque, de acuerdo al concepto, si las líneas se extienden, se forman ángulos rectos.
En el desarrollo del concepto de perpendicularidad es necesario identificar líneas perpendiculares en distintos objetos ubicados en forma horizontal o vertical, tales como en la pizarra, mesas, marcos de ventanas, libros etc.

1 par de lados perpendiculares

2 pares de lados perpendiculares

4 pares de lados perpendiculares

M

L

P. 134

Propósito
Que los estudiantes comprendan cómo trazar líneas rectas perpendiculares utilizando distintos instrumentos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Hojas sin líneas para cada estudiante. Transportador, escuadra y regla.
Gestión
Comience la clase pidiendo a los estudiantes que tracen líneas rectas perpendiculares usando las tres técnicas indicadas en la Actividad 5 del texto.  Indique que, además de dibujar, en cada técnica deben analizar por qué las líneas son perpendiculares, es decir, llévelos a buscar una explicación de por qué resulta la técnica utilizada.
Observe y apoye el trabajo de los estudiantes.
En la técnica de Matias se traza la primera línea y un punto Q en ella. Se ubica el centro del transportador en el punto Q y el cero sobre la línea. Se miden 90° para determinar la dirección de la segunda línea recta, y luego se traza la segunda línea. Ambas líneas son perpendiculares porque se intersectan en un ángulo recto.
En la técnica de Ema se traza la primera línea recta y se ubica un punto de intersección. A continuación, utilizando el ángulo de 90° de la escuadra, se determina la dirección de la segunda línea de modo que se cruce con la primera a 90°. Dos líneas rectas se intersecan  en ángulo recto.
En la técnica de Sami las líneas se trazan con la regla  de modo que coincidan con las líneas verticales y horizontales del cuadriculado. Las líneas trazadas son perpendiculares porque se intersectan en ángulo recto.
Consideraciones didácticas
Es necesario preocuparse que los estudiantes comprendan la relación de perpendicularidad entre 2 líneas rectas como una noción más amplia que la de ángulo recto. En este sentido, trazar una línea perpendicular a una línea dada permite destacar que cuando ambas se intersectan se forman 4 ángulos rectos.
Asimismo, el trazado de que líneas rectas perpendiculares es una buena posibilidad para destacar las propiedades de esta relación entre líneas.
La perpendicularidad es una relación simétrica, es decir, si L es perpendicular a P, entonces P es perpendicular a L. Por otra parte, no es una relación transitiva. Si AB  BC y BC  DC se puede verificar que AB y DC no son perpendiculares, sino que son paralelas.

A

D

B

C

P. 135

Propósito
Que los estudiantes comprendan cuándo dos líneas rectas son perpendiculares.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Hojas sin líneas para cada estudiante. Transportador, escuadra y regla.
Gestión
Indique a los estudiantes que desarrollarán la Actividad 6, en la cual deberán decidir si utilizar la técnica de Ema o Matías para dibujar líneas perpendiculares a la línea L. Antes de que comiencen a dibujar las líneas, hágalos reconocer las condiciones diferentes de las Actividades 6 a) y 6 b) (tenga en cuenta que en el Cuaderno de Actividades hay dos imágenes para que los estudiantes dibujen cada línea). Para ello, pregúnteles: ¿cuál es la diferencia entre las dos actividades? ¿Qué será más conveniente utilizar una escuadra o un transportador? ¿Por qué?
Observe si los estudiantes logran trazar una línea perpendicular a L que pase por un punto indicado en la línea y otra que pase por un punto fuera de ella. Detecte qué instrumento utilizan y si lo usan correctamente. Apoye a los estudiantes que tengan dificultades.
Posteriormente, indíqueles que realicen la sección Practica en forma individual, indicando los pares de líneas perpendiculares en el cuaderno. Haga una puesta en común para revisar las respuestas de la Actividad 1 (L  T)  y de la Actividad 2 (5 pares: AB  BC, BC  CD, CD  DA, DA  AB y AC  BD). Ante las dudas, pídales que verifiquen con un transportador o escuadra.
Consideraciones didácticas
Para trazar una línea perpendicular que pase por un punto fuera de ella, algunos estudiantes tienen dificultades, ya sea por las características del instrumento que utilizan o por el uso que hacen de este. Por ejemplo, con el transportador, una vez que lo ubican correctamente haciendo coincidir el centro y el punto cero de la escala, se encuentran con la dificultad de que no pueden marcar el centro en la línea para unirlo con el punto de la escala que indica los 90°, ya que la mayoría de los transportadores no viene con un orificio en el centro. En este caso, se debería usar la escala interna y externa para marcar dos puntos, A y B, donde mide 90°. Al trazar la línea que pasa por A y B se consigue la perpendicular a L.
Cuando utilizan una escuadra, algunos alumnos no se preocupan de que el borde de la escuadra, BC en la imagen 1, quede superpuesta a la línea.  En tal caso, será conveniente utilizar otra escuadra o una regla como auxiliar, como se muestra en la imagen 2.
La orientación para trazar una línea recta es “de izquierda a derecha” y “de arriba abajo”.

Cuaderno de Actividades página 69 • Tomo 1
Ticket de salida página 135 • Tomo 1

P. 136

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan cuándo dos líneas rectas son paralelas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Transportador, escuadra y regla. Cuadrilátero E para proyectar o dibujado en un pliego de papel o cartulina.
Gestión
Proyecte la figura de la Actividad 1 al inicio de la clase indicando que en esta ocasión analizaremos el mismo  cuadrilátero de la clase de líneas perpendiculares desde otro punto de vista. Pídales que para analizarla, realicen las Actividades 1 a) y 1 b) midiendo los ángulos indicados con un transportador.
Para la Actividad 1 a), observe que los estudiantes que utilizan el transportador miden  los ángulos que  forman las líneas L y P, y las líneas M y P obteniendo 90°, y quienes utilizan la escuadra  verifican que ambos son ángulos rectos. Luego, miden los ángulos F (formado por L y R) y G (formado por M y R), obteniendo 118º. Hágalos comparar las posiciones de las líneas para que las asocien con los ángulos. Pregunte: ¿cómo son entre sí los ángulos que forma la línea P con L y M? ¿Cómo son entre sí los ángulos que forma la línea R con L y M?  Si se traza otra línea que corte a L y M, ¿cómo serán los ángulos que se formen?
Para sistematizar el trabajo realizado, proyecte el recuadro, léanlo colectivamente y pídales que escriban esta información en sus cuadernos. Destaque que para que dos líneas sean paralelas, basta que una tercera línea las corte en un mismo ángulo. Si L es paralela con M, se simboliza por L // M.
Pídales que desarrollen la sección Practica para evaluar si han aprendido a identificar líneas paralelas e indíqueles que escriban en sus cuadernos los pares de líneas paralelas que hay en la figura. Observe que identifiquen  N // R y P // T.
Consideraciones didácticas
Para construir la relación de paralelismo, se propone que los estudiantes identifiquen líneas paralelas, en figuras geométricas, entre varias líneas rectas, en el entorno, que comprueben que dos o más líneas son paralelas, que dibujen una línea paralela a otra utilizando diferentes instrumentos geométricos, como un transportador, regla, escuadra.
En la introducción del concepto también es necesario identificar líneas paralelas en la pizarra, en el aula, marcos de ventanas, mesas, etc.

Ticket de salida página 136 • Tomo 1

P. 137

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan cuándo dos líneas rectas son paralelas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra y transportador.
Gestión
Proyecte la imagen de la Actividad 2, pida que comparen las longitudes de AB y CD y verifiquen si la distancia entre la línea L y la línea M es la misma. Una vez hecha la verificación, solicíteles que imaginen que las líneas rectas L y M se prolongan más allá de la hoja, y pregunte: ¿se intersectarán?  Ahora, pida que pongan la escuadra sobre la línea M y hagan una marca de color (sobre la escuadra) donde se cruza con la línea L. Pregunte: al deslizar la escuadra sobre M, ¿qué pasa con la marca?  Este movimiento permitirá que los estudiantes puedan reconocer visualmente que los puntos representados por el vértice del ángulo recto de la escuadra sobre M y la marca de color sobre L siempre están a la misma distancia, por mucho que se extiendan las líneas.
Sistematice esta idea pidiéndoles que lean la información y expliquen lo que entendieron del recuadro.
Al desarrollar la Actividad 3, indique que pueden utilizar regla, escuadra y transportador para buscar los lados paralelos. Observe los criterios que utilizan los estudiantes para identificarlos. Proyecte la imagen de la página 131 para que los estudiantes socialicen sus respuestas y argumenten sus decisiones.
Finalmente, pida que desarrollen la sección Practica para evaluar si comprendieron la noción de líneas paralelas. Así, en la Actividad 1 se espera que digan que las líneas paralelas se intersetan en un mismo ángulo con otra línea recta que las cruza, por lo que f es 110° y g, h, i miden 70°.  Y en la Actividad 2, dado que la distancia entre dos líneas rectas paralelas es siempre la misma, la longitud del segmento CD es de 2 cm.
Consideraciones didácticas
En la clase anterior se introduce la noción de líneas paralelas a través de los ángulos que se forman con una tercera línea que las cruza. En esta clase se amplía la noción incorporando la idea de que dos líneas rectas son paralelas si la distancia, entendida como la longitud de un segmento perpendicular a ambas líneas, es siempre la misma.

P. 138

Propósito
Que los estudiantes entiendan cómo trazar líneas paralelas.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, transportador. Hojas sin líneas para dibujar.
Gestión
Indique que en esta clase trazarán líneas rectas paralelas  usando las técnicas de Sofía y Juan. Discutan ambas técnicas y pregunte: ¿por qué razón las técnicas descritas en la Actividad 4 permiten dibujar líneas paralelas? La técnica de Juan se basa en la idea de que dos líneas rectas se cruzan en el mismo ángulo con respecto a una tercera línea recta. La técnica de Sofia está basada en la idea de que la distancia  entre las dos líneas rectas es de 3 cm.
Tracen dos líneas rectas paralelas usando la técnica de Juan y otras dos líneas paralelas usando la técnica de Sofía. Apoye a los estudiantes que no realizan con precisión la tarea, por ejemplo: cómo sostener firmemente la regla, cómo desplazar la escuadra apoyada en la regla.
Pida que desarrollen la sección Practica  indicando todos los pares de  líneas paralelas que identifican. Preocúpese de que para verificar si dos líneas son paralelas, midan los ángulos que se forman al cruzarse con una tercera línea o mida la longitud de un segmento perpendicular a ambas líneas.  Fíjese si en la Actividad 1 identifican  L // Q, N // T, N // U, T // U, y en la Actividad 2 identifican AB // CE, AC // ED. Detecte si hay estudiantes que señalan que  AE // BC y AE // CD pensando que los segmentos BC y CD no forman parte de la misma línea recta. Aproveche esta situación para generar un debate con los estudiantes diciendo: hay algunos estudiantes  que dicen que hay 5 pares de líneas paralelas, mientras que otros señalan que hay 4 y  también hay quienes dicen que hay 3. ¿Quién tiene la razón?
Consideraciones didácticas
Para ir ampliando la noción de paralelismo, se han ido incorporando distintos aspectos del concepto:
Dos líneas rectas que se cruzan con una tercera línea recta en el mismo ángulo son paralelas.
Dos líneas paralelas nunca se cruzan entre sí y la distancia entre ellas es igual en cualquier punto.
Al presentar ejemplos a los estudiantes, es necesario tener presente que dos líneas rectas son paralelas independientemente de su longitud e inclinación.
Cuando una línea cruza a dos líneas paralelas, se forman ángulos agudos y ángulos obtusos:
Los agudos son todos iguales
(a , d, e y h).
Los obtusos son todos iguales
(b, c, f y g).
Un agudo y un obtuso son
suplementarios.
Si la línea que cruza a las paralelas es perpendicular a ellas, entonces se forman solo ángulos rectos (90º).

a

b

c

d

e

f

g

h

Cuaderno de Actividades página 70  • Tomo 1
Ticket de salida página 138 • Tomo 1

P. 139

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan que los cuadriláteros con un par de lados paralelos se denominan trapecios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador. Página 131 para proyectar.
Gestión
Indique a los estudiantes que desarrollen la Actividad 1 a), en la cual deben verificar que las líneas de color rojo son paralelas en los cuadriláteros B y K.
Promueva que los estudiantes, trabajando individualmente, busquen distintas estrategias para verificarlo planteando preguntas: ¿qué instrumentos conviene utilizar para verificar que las líneas son paralelas? ¿Podrían asegurar que las líneas son paralelas sin utilizar instrumentos, es decir, recurriendo solo al diagrama de puntos?
Observe el trabajo de los estudiantes e identifique a quienes utilicen distintas estrategias para que luego las compartan con toda la clase.
Luego, pídales que realicen la Actividad 1 b) identificando qué otros cuadriláteros tienen la misma característica que B y K. Verifique si comprenden en qué se deben fijar preguntando: ¿qué característica deben tener los cuadriláteros que buscamos? Asegúrese de que todos tengan claro  que buscan aquellos cuadriláteros que tienen solo un par de lados paralelos.
Una vez que los estudiantes han identificado los cuadriláteros “B”, “E” y “K” de la página 131, indique que este tipo de cuadriláteros se denominan trapecios. Pídales que lean y escriban en su cuaderno la definición dada en el recuadro.
Pídales que observen las imágenes de la parte inferior de la página y solicíteles que busquen trapecios. Motívelos a dibujar o sacar fotos de objetos que tengan forma de trapecio y que los compartan la próxima clase.
Consideraciones didácticas
El enfoque que se promueve en el texto para el aprendizaje de los distintos tipos de cuadriláteros considera que los estudiantes identifiquen inicialmente las características que tienen en común figuras diversas en forma cuanto a tamaño y posición. Es decir, se busca la apropiación de propiedades de las figuras en vez del reconocimiento o asociación de ellas con una forma determinada. Por ejemplo, en los trapecios es importante que no solo vean trapecios isósceles.
En lugar de memorizar cada definición palabra por palabra, se debe buscar que expliquen con sus propias palabras por qué una determinada figura es un trapecio. Es importante relacionar la verbalización de la definición con la imagen de la figura marcando en el dibujo los lados paralelos en el caso del trapecio.

P. 140

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y comprendan que los cuadriláteros con los lados opuestos paralelos se denominan paralelogramos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador. Página 131 para proyectar.
Gestión
Indique a los estudiantes que desarrollen la Actividad 2 a), en la cual deben verificar, en los cuadriláteros D e I, que las líneas del mismo color son paralelas. Asegúrese de que lo hagan utilizando la regla con la escuadra y en forma correcta.
Luego, pídales que desarrollen la Actividad 2 b) identificando todos los cuadriláteros de la página 131 que tienen los lados opuestos paralelos. Realice una puesta en común escribiendo en la pizarra las respuestas de los estudiantes que hayan identificado diferentes cuadriláteros. Promueva que el resto de la clase analice los dos o tres conjuntos de respuestas que se hayan registrado en la pizarra señalando cuál es la correcta.
Sistematice que los cuadriláteros  C, D, F, G, I, J y L tienen los lados opuestos paralelos. Indique que este tipo de cuadriláteros se denomina paralelogramo. Pídales que lean y escriban en su cuaderno  la definición dada en el recuadro.
Compare los cuadriláteros C, J e I relevando que, aunque tienen diferentes formas, los tres tienen la característica de que los lados  opuestos son paralelos. Marque en los dibujos proyectados los lados opuestos que son paralelos.
Indique que observen las imágenes de la parte inferior de la página y pídales que busquen paralelogramos. Motívelos a dibujar o sacar fotos de objetos que tengan forma de paralelogramos y que los compartan la próxima clase.
Consideraciones didácticas
Coherente con el enfoque que se promueve en el texto para el aprendizaje de los cuadriláteros, en las actividades propuestas se han analizado diferentes cuadriláteros con la intención didáctica de relevar lo que caracteriza a los paralelogramos más que una forma específica. Cabe destacar que las figuras ya conocidas por los estudiantes, como el cuadrado y el rectángulo, que si bien no cambiarán de nombre, por el hecho de pertenecer al grupo de los paralelogramos adquirirán para los estudiantes nuevas propiedades.

P. 141

Propósitos
Que los estudiantes comprendan:
Cómo dibujar paralelogramos utilizando distintos instrumentos.
Las propiedades de los paralelogramos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador.
Hojas sin líneas para cada estudiante.
Figuras recortadas del Cuaderno de Actividades    página 111.
Gestión
Comience la clase recordando las características que tienen los paralelogramos. Para ello, dibuje 4 cuadriláteros diferentes en la pizarra: un trapecio, un cuadrado, un rectángulo y un paralelogramo común. Pregunte: ¿cuál de estas figuras es un paralelogramo? ¿Por qué es un paralelogramo? ¿Qué condiciones debe cumplir un cuadrilátero para que sea un paralelogramo?  Marque en cada figura los pares de lados paralelos e identifique los 3 cuadriláteros que son paralelogramos.
Posteriormente, pídales que desarrollen la Actividad 2 c). Indique que dibujen 2 o 3 paralelogramos en la hoja en blanco que han recibido, utilizando una regla y una escuadra. Observe si aplican correctamente la técnica para trazar líneas paralelas  aprendida en clase anteriores. Para analizar las propiedades de un paralelogramo, pídales desarrollar la Actividad 2 d) usando los cuatro paralelogramos congruentes previamente recortados. Motive la exploración por parte de los estudiantes preguntando: ¿cómo son los lados opuestos de un paralelogramo? ¿Cómo lo pueden verificar? ¿Cómo son los ángulos del paralelogramo? Promueva que los estudiantes superpongan las 4 figuras para verificar que:
los lados opuestos tienen la misma longitud.
los ángulos opuestos tienen la misma medida.
Los ángulos consecutivos tienen un lado en común y los otros dos lados forman una línea en la figura de la Actividad 2. Por ejemplo,  el ángulo B y el ángulo C están alineados, y la suma de ellos es 180°. Lo pueden comprobar con un transportador.
Consideraciones didácticas
En esta clase el énfasis se coloca en el pensamiento lógico, de modo que las deducciones de los estudiantes al comparar los lados y ángulos de un cuadrilátero se basen en superposiciones y no en la medida, aunque si es necesario se debe utilizar para que se convenzan.
En la figura, el lado AD y el lado BC si se superponen coinciden, por lo que son iguales. Los ángulos A y C son iguales porque tienen una relación de ángulos opuestos en el paralelogramo. La suma del ángulo A y del ángulo D es 180° porque están alineados. Comparar por superposición posibilita que los estudiantes vayan relacionando los elementos de acuerdo a la posición relativa que hay entre ellos en la figura, opuestos o consecutivos, y evita la limitación que tiene la medición en la que no siempre las medidas son exactas.

P. 142

Propósitos
Que los estudiantes comprendan:
Cómo dibujar paralelogramos utilizando distintos instrumentos.
Las propiedades de los paralelogramos.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador.
Gestión
Proponga  a los estudiantes desarrollar la Actividad 2 e) en el Cuaderno de Actividades. Desafíelos a resolver el problema geométrico de completar el paralelogramo dibujando previamente en la pizarra la figura base. Destaque que ellos deben formar el cuadrilátero, para lo cual deben averiguar donde se ubica el vértice D. Deben resolver el problema una vez usando regla y escuadra, y otra vez usando un transportador.
Sistematice el trabajo realizado proyectando las ideas de Sofía y Gaspar.
Consideraciones didácticas
Es importante considerar las propiedades de un paralelogramo que están subyacentes en las técnicas que Sofía y Gaspar utilizan para determinar el vértice D.
La idea de Sofía se basa en la propiedad del paralelogramo de que los lados opuestos tienen la misma longitud.
La idea de Gaspar usa la propiedad de las líneas paralelas, que señala: “dos líneas son paralelas cuando son intersectadas por una tercera en un mismo ángulo”.

Ticket de salida página 142 • Tomo 1

P. 143

Propósito
Que los estudiantes comprendan la definición de rombo y sus propiedades.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador. Figuras recortadas del  Cuaderno de Actividades página 111.
Gestión
Indique a los estudiantes que desarrollen la Actividad 3 a), en la cual deben verificar, en los cuadriláteros C y  J, que las líneas del mismo color son paralelas. Asegúrese de que lo hagan utilizando la regla con la escuadra y en forma correcta. Concluya, a partir de la verificación realizada por los estudiantes, que los cuadriláteros C y J son paralelogramos.
Para analizar las propiedades de un rombo, pídales desarrollar la Actividad 3 b) usando los dos rombos congruentes previamente recortados. Motive la exploración preguntando; ¿cómo son los lados opuestos y consecutivos del rombo? ¿Cómo lo pueden verificar? ¿Cómo son los ángulos del rombo? Promueva que los estudiantes superpongan las 4 figuras para verificar que:
los 4 lados tienen la misma longitud.
los ángulos opuestos tienen la misma medida.
Pídales leer y escribir la definición de rombo en el cuaderno, y luego desarrollar la Actividad 3 c).
Consideraciones didácticas
El rombo, el cuadrado y el rectángulo son paralelogramos que, además de tener los lados opuestos paralelos, tienen otras características que han llevado a que se le asigne un nombre especial.
Un rombo es un paralelogramo que tiene los 4 lados de la misma longitud.

Cuaderno de Actividades página 72 • Tomo 1

P. 144

Propósito
Que los estudiantes comprendan las propiedades y cómo dibujar un rombo.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Escuadra, regla y transportador.
Gestión
Proponga  a los estudiantes desarrollar la Actividad 3 d) en el Cuaderno de Actividades. Desafíelos a resolver el problema geométrico de dibujar un rombo idéntico al de la imagen.
Señale que deben resolver el problema una vez utilizando regla y escuadra y otra vez usando regla y transportador.
Indique que observen las imágenes de la parte inferior de la página y pídales que busquen rombos. Motívelos a dibujar o sacar fotos de objetos que tengan forma de rombos y que los compartan la próxima clase.
Consideraciones didácticas
Un rombo es un paralelogramo que tiene los lados consecutivos iguales y, en consecuencia, son todos de la misma longitud.  Por esto mismo el cuadrado es una figura que pertenece a la clase del paralelogramo y también a la del rombo. Pero, además, el cuadrado tiene los 4 ángulos de la misma medida, todos rectos.
Por otra parte, un rectángulo es un paralelogramo que tiene los ángulos rectos.
Por lo tanto, los rombos, rectángulos y cuadrados tienen las propiedades de los paralelogramos y los cuadrados tienen las propiedades de rombos y rectángulos.
Esto se muestra en la siguiente figura:
Aunque no es necesario que los alumnos comprendan las relaciones inclusivas de los cuadriláteros respecto a los nombres, es necesario tenerlas en cuenta en relación con las propiedades.

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Cuaderno de Actividades página 74 • Tomo 1
Ticket de salida página 144 • Tomo 1

P. 145

Propósito
Que los estudiantes identifiquen y describan  los elementos de las figuras de tres dimensiones (caras, aristas, vértices) a través de un juego de comunicación que consiste en adivinar el objeto seleccionado.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Set de cuerpos geométricos: prisma triangular, prisma rectangular, prisma pentagonal, cubo, pirámide de base triangular, cilindro, esfera, una caja con un orificio en la parte superior.
Gestión
Presente los materiales a los estudiantes. Pida que observen la imagen de su texto y pregunte: ¿cómo creen que es este juego? ¿Pueden explicar en qué consiste la Actividad 1? Complemente sus observaciones para desarrollar el juego de la Actividad 1 a): se esconde una figura en la caja; un estudiante la explora mediante el tacto y describe sus características, sin dar su nombre. Los demás deben adivinar qué figura es. Pueden hacer preguntas. Cuando hayan adivinado, pregunte: ¿qué pistas les ayudaron a darse cuenta de cuál era la figura?
Repita el juego varias veces promoviendo el uso de términos como figura tridimensional, cuerpo, superficie plana y curva, vértice, cara, arista.
Organice una discusión sobre las pistas que utilizaron, por ejemplo: cantidad de vértices, forma y cantidad de caras, existencia de un círculo, de una superficie curva, de caras paralelas. Pregunte: ¿cuáles fueron decisivas para identificar alguna de las figuras? ¿Cuál es el nombre de cada figura?
Pida que clasifiquen las figuras de este conjunto desarrollen la Actividad 1 b), trabajando en parejas, para comparar. Pregunte: ¿en qué se basaron para formar grupos? Pida que compartan los distintos criterios utilizados y que describan los grupos formados.
Concluya, organizando el conjunto en varias clases, por ejemplo, con figuras formadas:
solo por caras planas (A, C, D, E, G).
por caras planas y superficies curvas (B).
solo por superficies curvas (F).
Consideraciones didácticas
Para clasificar o comparar figuras tridimensionales es posible considerar las siguientes propiedades:
Forma, cantidad y relación posicional entre las caras.
Cantidad de aristas y relación posicional entre ellas.
Cantidad de vértices.
Las aristas y vértices son también elementos constitutivos de las figuras bidimensionales. Los estudiantes las han utilizado para clasificar estas figuras según cantidad de vértices y de lados.
Las caras (superficies planas) pueden ser consideradas según su forma y según la relación posicional entre ellas (paralelas o perpendiculares). En clases anteriores se han considerado los  lados paralelos y perpendiculares en un cuadrilátero. Es conveniente recurrir a lo que han aprendido en el plano para enriquecer el estudio de las figuras tridimensionales.

P. 146

Propósito
Que los estudiantes comprendan que los prismas son cuerpos geométricos que tienen un par de caras paralelas.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Prismas triangular y rectangular.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes interpretan correctamente las representaciones de los cuatro prismas al comienzo de la página asociándolas con los cuerpos del juego anterior. Comente que se les llama prismas.
Proponga que desarrollen, en parejas, la Actividad 2. Monitoree su trabajo. Luego, organice una puesta en común para concluir que las caras basales son iguales y paralelas. Como sus formas son diferentes, cada prisma toma el nombre de su cara basal. Pregunte: ¿pueden anticipar cómo se llama cada uno? ¿Y cómo podríamos llamar a las caras que están entre las bases? (Laterales) ¿Qué tienen en común las formas de las caras laterales? (Son rectángulos, pero también pueden ser cuadrados).
Pida que, en cada prisma, comparen la cantidad de caras laterales con la cantidad de lados de los polígonos que forman sus caras basales. Luego pregunte: ¿cuántas caras laterales tiene un prisma cuya base es un hexágono? ¿Qué forma tiene la base de un prisma si tiene 5 caras laterales?
En la Actividad 3 se espera que se den cuenta de que:
el cilindro tiene dos bases iguales y paralelas, pero como tiene una superficie curva, no puede ser un prisma.
La pirámide tiene todas sus caras planas, pero no tiene dos bases iguales y paralelas, por lo que tampoco puede ser un prisma.
Para sistematizar sus conocimientos sobre los elementos constitutivos de los prismas, pida que completen la tabla de la Actividad 4 en su Cuaderno de Actividades. Observe los razonamientos en que se basan para determinar los números pedidos e invítelos a compartirlos en una actividad colectiva cuando hayan terminado de completar la tabla.
Consideraciones didácticas
En esta clase se busca que la cuantificación de los componentes de un prisma contribuya a que los estudiantes se enfoquen en su estructura tridimensional y amplíen su mirada respecto a la regularidad de los números.
En el caso del prisma triangular, dado que cada base tiene 3 vértices y las bases son 2, el número de vértices es 3 ∙ 2 = 6. En cuanto a las aristas, hay 3 en cada una de las 2 bases, más las 3 que conectan ambas bases, son: 3 ∙ 2 + 3 = 9. Las caras son las 2 basales, más 3 caras laterales que conectan las bases: 2 + 3 = 5. Razonamientos análogos pueden hacerse para cada uno de los prismas de esta página.
Los prismas se caracterizan por tener todas sus caras planas y 2 caras congruentes y paralelas. Como contraejemplos se pueden considerar el cilindro, en el cual no todas sus caras son planas, y la pirámide, que no tiene dos caras congruentes y paralelas.
En este curso se aborda el estudio de los prismas rectos, cuyas caras laterales son perpendiculares a las bases. Un prisma recto particular es el paralelepípedo, sus caras basales son rectángulos. Existen prismas oblicuos, cuyas caras laterales no forman ángulos rectos con las bases. Estos no se estudian en enseñanza básica.

Ticket de salida página 146 •  Tomo 1

P. 147

Propósito
Que los estudiantes distingan cubos y prismas rectangulares basándose en las formas de sus caras y que comprendan que caras, aristas y vértices son elementos constitutivos que, en ambos cuerpos, están en las mismas cantidades.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Cajas, bloques y otros objetos con forma de prismas rectos rectangulares, cubos y cilindros. Escuadra y regla.
Gestión
Distribuya entre sus estudiantes los objetos recopilados. Pregunte: ¿qué forma tienen las caras de tu caja (u objeto)? ¿Cuántas son?
En la Actividad 5 a), motívelos a que piensen cómo agrupar los objetos según sus características. Pregunte: ¿cuántos grupos pueden formar? Es posible que algunos estudiantes decidan formar dos grupos, los que son cajas y los que no lo son. Otros se basarán en la forma de cada objeto. Pregunte: ¿en qué se fijaron para formar esos grupos? Escriba en la pizarra los criterios que han utilizado.
Indique que observen en su texto la clasificación que hizo Ema, en la Actividad 5 b). Pregúnteles: ¿qué tipo de objetos puso en cada grupo? Se espera que mencionen prismas rectangulares, cubos y otras formas. Pregunte: ¿en qué es diferente a lo que hicieron ustedes?
Pida que comparen la forma de algunos de sus objetos con los dibujos del prisma rectangular y del cubo que aparecen en su texto. Pregúnteles: ¿a qué partes de tu objeto corresponden las caras, aristas y vértices del prisma rectangular dibujado? ¿Y las de un cubo? ¿Cómo puedes describir la superficie de las caras? Pida que comparen con la superficie de cilindros o esferas y pregúnteles: ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene tu caja? Si le parece necesario, pida que pinten estos elementos de distintos colores a medida que los cuentan.
Concluyan la comparación entre prisma rectangular y cubo haciendo un resumen en la pizarra:
El número de caras, aristas y vértices es el mismo.
La forma de las caras  basales es diferente.
La altura de las caras laterales puede ser cualquiera en el prisma rectangular, pero no en el cubo.
Pida a los estudiantes que escriban estas conclusiones en sus cuadernos con sus propias palabras.
Consideraciones didácticas
En lugar de proponer desde el principio la forma de las caras como criterio de clasificación, es importante motivar a los estudiantes a que observen cuidadosamente los cuerpos y piensen cómo formar grupos con ellos.
Las formas de las caras de prismas rectangulares y cubos se pueden clasificar en:
Formas rodeadas solo por cuadrados.
Formas rodeadas solo por rectángulos.
Formas rodeadas por cuadrados y rectángulos.
El primero de estos grupos solo admite cubos. Los dos grupos siguientes incluyen prismas rectangulares.

P. 148

Propósito
Que los estudiantes comprendan las relaciones de perpendicularidad entre las caras en un prisma recto y en un cubo.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Recursos
Caja rectangular, escuadra, herramienta en papel cuadriculado para comprobar ángulos rectos, tijeras, set de cuerpos geométricos: cubo, prismas rectangulares y triangulares.
Gestión
Pregunte: si colocamos una caja de modo que su base esté horizontal, ¿en qué dirección quedarán sus caras laterales? Se espera que hagan referencia a la dirección vertical. ¿Cómo podríamos comprobarlo? Proponga que abran una caja y coloquen una escuadra en la posición que se muestra en la Actividad 1 y pregunte: ¿qué pueden concluir? ¿Por qué? La escuadra les permitirá verificar que las caras laterales son perpendiculares a las caras basales.
Pida que apoyen dos escuadras en caras opuestas. Ayúdelos para que razonen: si una cara lateral es perpendicular a una cara basal y la misma cara basal es perpendicular a la cara lateral opuesta, entonces ambas caras laterales son perpendiculares.
Si AB  BC y BC  CD entonces AB // CD
Para investigar qué ángulo forman dos caras adyacentes de un cubo, o de un prisma rectangular, proponga la fabricación de una herramienta: pida que corten un papel cuadriculado en forma de L. Pueden colocar una escuadra para verificar que se ha formado un ángulo recto. Si colocan la herramienta por fuera del cuerpo, como se muestra la Actividad 2, pregunte: ¿qué pueden comprobar? Se espera que concluyan que en todos los prismas que conocen las caras laterales son perpendiculares a las basales.
Respecto al prisma triangular, pregunte: ¿tiene pares  de caras perpendiculares?  ¿Tiene caras que no son perpendiculares? Desafíelos a que investiguen la medida del ángulo formado por dos caras laterales. Se espera que concluyan que, como la base es un triángulo equilátero, este ángulo debe medir 60°.
Para asegurar la comprensión de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo invítelos a imaginar los planos horizontales y verticales en que se encuentran las caras del prisma rectangular de la Actividad 3.
Apoyándose en gestos con sus manos, pueden visualizar que existen cuatro planos verticales y que las caras opuestas son paralelas entre sí. Proponga que roten el cuerpo para que noten que, cualquiera sea la cara horizontal, las adyacentes toman la dirección vertical.
Consideraciones didácticas
Entender las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre dos planos en las figuras 3D es más compleja que la comprensión de esas mismas relaciones entre dos líneas en las figuras 2D.
Esta mayor complejidad genera la necesidad de que los estudiantes manipulen objetos concretos modificando sus posiciones e incluso desarmándolos para visualizar relaciones de perpendicularidad y paralelismo desde su interior.

Cuaderno de Actividades página 76  • Tomo 1

P. 149

Propósito
Que los estudiantes comprendan las relaciones de paralelismo entre caras en prismas rectos.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Prisma rectangular y triangular.
Gestión
Pida que, en parejas, desarrollen la Actividad 4. Usando un prisma rectangular y otro triangular como modelos, ayúdelos a interpretar cómo están designadas las caras en los dibujos.
Organice una puesta en común de las respuestas de los estudiantes. Si hay desacuerdos, promueva la discusión entre ellos. Concluyan que en el prisma rectangular hay tres pares de caras paralelas (E // G,  D // F e I // H). Mientras que en el prisma triangular solo hay un par ( T // S).
En la sección Practica proponga que busquen pares de caras paralelas y perpendiculares en la sala de clases. Si le parece necesario, pida que asocien las paredes, piso y cielo de una habitación rectangular a las caras de un prisma rectangular e identifiquen relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre ellas.
Indique que observen el prisma rectangular dibujado en la Actividad 1 y pregunte: ¿existe la arista BD? ¿Qué aristas contienen al vértice B? ¿Qué aristas son perpendiculares a AB? (AD, AE, BC y BF) ¿Qué aristas son paralelas a AB? (DC, EF y HG).
Consideraciones didácticas
Para facilitar la comprensión de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo en figuras tridimensionales, es conveniente recurrir a la experiencia personal que tienen los estudiantes con planos horizontales y verticales existentes en las construcciones que recorren y en el mobiliario que utilizan  diariamente.
Es importante tener en cuenta que la relación de perpendicularidad o paralelismo entre aristas solo se puede determinar entre dos aristas que pertenecen a un mismo plano. Por ejemplo, en el prisma rectangular ABCDEFGH del Texto del Estudiante se puede decir que CG es perpendicular a DC, ya que ambas aristas pertenecen al plano CDHG. De igual modo, AB // HG, ya que están en el plano ABGH. En cambio, no  se puede determinar ninguna relación entre  BF y AD porque no existe un plano al cual pertenezcan ambas aristas.

Ticket de salida página 149  • Tomo 1

P. 150

Propósito
Que los estudiantes comprendan las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre las aristas y caras de un prisma rectangular.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Caja rectangular y escuadra.
Gestión
En la Actividad 2 proponga que busquen relaciones de perpendicularidad entre las aristas y las caras de un prisma rectangular. Explique que las aristas perpendiculares a una cara son todas aquellas que tienen contacto con la cara, sin pertenecer a ella, en forma análoga a las patas de una mesa con la cubierta. Pregunte: además de BF, ¿qué otras aristas son perpendiculares a la cara EFGH? (AE, DH y CG) Si se considera la cara AEFB, ¿qué aristas son perpendiculares a ella? (AD, BC, FG y EH).
Proponga ahora, en la Actividad 3, que busquen relaciones de paralelismo entre las aristas y las caras de un prisma rectangular. Explique que se considera que las 4 aristas de una cara son paralelas a la cara opuesta. Pregunte: si AB es paralela a la cara EFGH, ¿qué otras aristas son paralelas a esta misma cara? (AD, BC y DC).
Finalmente, en la sección Practica pida a los estudiantes que busquen bordes perpendiculares y paralelos al piso en la sala de clases. Reitere que es posible utilizar en la vida diaria lo que aprenden en la clase de Matemáticas. Observando bordes y superficies horizontales y verticales encontrarán muchos ejemplos de relaciones de paralelismo y perpendicularidad.
Consideraciones didácticas
En este curso se ha abordado el estudio de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo entre caras, y entre aristas y caras, de paralelepípedos y cubos.
El desarrollo de la habilidad de comprensión y visualización de estas relaciones puede ser muy variado en los estudiantes, por lo que conviene recurrir a la manipulación de objetos concretos, a desarmar y volver a armar algunos de ellos, como es el caso de las cajas, y a la experiencia de los estudiantes con su entorno físico, particularmente, con planos horizontales y verticales.
La representación de un paralelepípedo puede mostrar una de sus caras, dos de ellas, y hasta tres, quedando ocultas las otras tres.
Conviene hacer el dibujo de las tres caras en un papel cuadriculado guiándose por las líneas diagonales y verticales  para lograr una adecuada representación de las aristas paralelas.

Cuaderno de Actividades página 77 • Tomo 1

P. 151

Propósitos
Que los estudiantes identifiquen líneas perpendiculares y paralelas.
Que los estudiantes dibujen líneas perpendiculares y paralelas utilizando regla, escuadra y transportador.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra, transportador. Hojas sin líneas para dibujar.
Gestión
Indique a los estudiantes que desarrollen en sus cuadernos los ejercicios propuestos, y luego  expliquen la estrategia que utilizaron.
Mientras los estudiantes realizan los ejercicios, monitoree su trabajo y oriente, sin dar pistas, a quienes presenten dificultades.
En el Ejercicio 1 identifican que O  Q, N  O , L  P y Q // N. Observe si usaron la escuadra o el transportador para verificar la perpendicularidad y si midieron los ángulos que forman las líneas Q con O (Q con P) y N con O (N con P) para verificar el paralelismo.
En el Ejercicio 2, dibujan las líneas, utilizando distintos instrumentos, de acuerdo a las condiciones dadas para cada una.
Proyecte la página 151 para que algunos estudiantes, seleccionados por usted, expliquen al curso sus razonamientos.

Cuaderno de Actividades páginas 78 y 79 • Tomo 1

P. 152

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran las propiedades de la perpendicularidad y del paralelismo en líneas y en figuras de dos dimensiones.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Regla, escuadra y transportador. Hojas sin líneas para dibujar.
Gestión
Indique a los estudiantes que resuelvan en sus cuadernos los problemas  propuestos en la página 152 del TE y expliquen la estrategia que utilizaron. Insista en que no es suficiente responder el resultado, sino que es necesario escribir el desarrollo de lo que pensaron.
Mientras los estudiantes resuelven los ejercicios, retroaliméntelos teniendo en cuenta los siguientes aspectos en cada actividad:
En el Problema 1 observe que usen las propiedades del paralelogramo para averiguar los elementos requeridos.
En el Problema 2 se plantea completar la construcción de un paralelogramo del que se conoce la medida de dos de sus lados y ángulo comprendido entre ellos, para lo cual se dan tres medidas (60º, 90º y 105º). Observe que para completar cada  construcción, los estudiantes utilizan regla, escuadra y transportador.
En el Problema 3 se les pide que clasifiquen un conjunto de cinco cuadriláteros en dos grupos y expliquen el criterio que utilizaron para agruparlos. Se espera que usen criterios como lados opuestos iguales, lados opuestos paralelos, todos sus lados de igual medida. Luego, se les pide que los reagrupen de acuerdo a otros criterios.
Una vez que  los estudiantes hayan resuelto los problemas, proyecte la página 152 para revisar colectivamente las respuestas. Pida a algunos estudiantes que expliquen sus respuestas y los razonamientos utilizados.

P. 153

Propósito
Que los estudiantes resuelvan problemas que involucran las propiedades de la perpendicularidad y el paralelismo en cuerpos geométricos.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Indique a los estudiantes que resuelvan en sus cuadernos los problemas  propuestos en la página 153 del TE y expliquen la estrategia que utilizaron.
En el Problema 4 a partir de la figura de un prisma rectangular, deben identificar todas las aristas perpendiculares y paralelas a una arista dada identificar caras paralelas y  aristas perpendiculares a una cara dada.
En el Problema 5 pídales que analicen la información presentada en una tabla respecto a la forma de sus caras, cantidades de vértices, aristas y caras en un prisma triangular, rectangular, pentagonal y hexagonal, y que identifiquen regularidades  que les permitan proyectarse más allá de la tabla para indicar la cantidad de vértices, aristas y caras que tiene un prisma octogonal y la forma de sus caras.
Una vez que  los estudiantes hayan resuelto los problemas, proyecte la página 153 para revisar colectivamente las respuestas. Pida a algunos estudiantes que expliquen sus respuestas y los razonamientos utilizados.

Capítulo 9

Probabilidades

Visión general
En este capítulo se caracterizan los experimentos aleatorios y se construye una escala de grados de posibilidad que permite a los estudiantes catalogar y comparar la posibilidad de ocurrencia de situaciones en las que hay azar.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA24: Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento en base a un experimento aleatorio, empleando los términos: seguro, posible, poco posible, imposible.
OA25: Comparar probabilidades de distintos eventos sin calcularlas.
Aprendizajes previos
Realizan experimentos aleatorios lúdicos y registran los resultados.
Actitud
Expresar y escuchar ideas de forma respetuosa.

P. 154

Propósito
Que los estudiantes exploren situaciones en las que hay azar.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Dados de 6 caras y fichas de 4 colores.
Gestión
Presente la Actividad 1 y asegúrese de que los estudiantes comprendan las reglas del juego. Invítelos a formar grupos de 4 para jugar una partida. Indíqueles que deben usar el tablero que está en el Cuaderno de Actividades. Después de que hayan jugado una partida, aborde con ellos las preguntas de la Actividad 1.
Pregunte: si en la primera jugada Antony obtuvo un 5 en la cara superior, ¿cuántas casillas avanzará?  (5 – 2 = 3). Si a continuación es el turno de Josefa, ¿logrará pasar a Antony? (Solo si obtiene un 6 o un 1 en la cara superior, ya que en esos casos la diferencia es 5) ¿Cuántas casillas puede avanzar cada niño en su turno? (1, 3 o 5) ¿En qué casos avanzan 1 casilla? (Cuando sale un 3 o un 4 en la cara superior del dado) ¿En qué casos avanzan 3 casillas? (Cuando sale un 2 o un 5) ¿Y 5 casillas? (Cuando sale un 1 o un 6). Registre estas respuestas en la pizarra.
Muestre la tabla con los resultados del dado en las dos primeras rondas y pregunte: ¿quién lleva la delantera? Para responder, sugiera a los estudiantes registrar en otra tabla el número de casillas avanzadas por los personajes en cada ronda.
¿Qué números conviene que salga en el dado? (1 y 6) ¿Puede Josefa sobrepasar a Pablo? (Sí, si le sale un 6 o un 1 al lanzar el dado) ¿Se puede predecir cuánto avanzará Liza en la ronda 3? (No) ¿Quién creen que ganará? Concuerde con los estudiantes que en este juego es imposible predecir lo que ocurrirá en cada jugada, ni quién ganará la partida.
Comente que en las situaciones en las que los resultados son inciertos se dice que hay azar.

Casillas avanzadas

Ronda 1
3
3
1
5

Ronda 2
1
3
3
5

Ronda 3
4
6
4
10

Antony
Josefa
Liza
Pablo

P. 155

40 minutos

Propósito
Que los estudiantes distingan los experimentos aleatorios de otras situaciones en las que sí es posible predecir los resultados.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Dados de 6 caras y fichas de 4 colores.
Gestión
Presente la Actividad 2 e invite a los estudiantes a jugar otra partida en el Cuaderno de Actividades, pero ahora usando las reglas de Liza. Se espera que los niños se den cuenta, al cabo de pocas rondas, que en cada turno se avanza siempre 7 casillas.
Cuando terminen de jugar, plantee las siguientes preguntas: Fue más rápida esta partida que la anterior, ¿por qué?  ¿Qué sucedió al jugar el juego de Liza? (En cada turno los jugadores avanzaron la misma cantidad de casillas, (7)) ¿Salió siempre el mismo número en el dado? (No). Entonces, ¿por qué pasa esto? Asegúrese de que los niños descubran que en un dado la suma de las caras opuestas es siempre igual a 7.
Continúe preguntando: en este juego, ¿es posible saber quién llevará la delantera al cabo de la primera ronda? (Ninguno llevará la delantera ya que todos los jugadores estarán en la casilla 7) ¿Se puede anticipar la casilla que ocupará un jugador al finalizar la segunda ronda? (Sí, todos estarán en la casilla 14), ¿Se puede anticipar quién ganará la partida? (Sí, el jugador que comienza la partida es el primero en avanzar 21 casillas en la tercera ronda, y por tanto es el primero que llega a la meta). Si todos lanzaran simultáneamente los dados, ¿se podría anticipar quién ganará? (Todos llegarán juntos a la meta en la tercera ronda).
Plantee a los estudiantes comparar los dos juegos. Pregunte: ¿cuál es la diferencia entre el primer juego y el que propuso Liza? Concuerde con los niños que en el primero los resultados en cada turno varían, mientras que en el segundo siempre son los mismos. ¿Hay azar en el primer juego? (Sí) ¿Qué significa que haya azar en este juego? (Que no se puede saber cuántas casillas se avanzará en cada nuevo lanzamiento y por tanto no se puede predecir quién va a ganar) ¿Hay azar en el juego de Liza? (No) ¿Por qué? (Porque con la regla que propuso se puede saber exactamente cuántas casillas se avanzará en cada turno y quién ganará).
Utilice las ideas de los estudiantes para introducir el concepto de experimento aleatorio como toda situación o procedimiento en que no es posible predecir el resultado que se quiere observar antes de realizarlo. Asegúrese de que los estudiantes hayan entendido que el primer juego corresponde a un ejemplo de experimento aleatorio, mientras que el propuesto por Liza no lo es. Invite a los estudiantes a responder la actividad de la sección Practica, y luego a ejercitar en el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades página 81 • Tomo 1
Ticket de salida página 155 • Tomo 1

P. 156

Propósito
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de situaciones y las organicen en grados de posibilidad.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1 y haga preguntas para asegurarse de que los estudiantes reconozcan que la situación descrita corresponde a un experimento aleatorio: ¿hay azar en esta situación? ¿Es posible predecir exactamente la distancia a la que lanzará la pelota un niño escogido al azar en el patio de la escuela? ¿Por qué?  Se espera que los estudiantes reconozcan que no es posible anticipar la distancia exacta a la que lanzará la pelota, ya que depende de varios factores, tales como la edad, la fuerza de los brazos, el ángulo en que arroja la pelota, la cantidad de viento a favor o en contra, etc.
A continuación, pregunte: si el estudiante seleccionado tiene 8 años, ¿qué tan posible es que la pelota que lance supere los 10 m cuando da el primer bote (la primera vez que toca el suelo)? Para que los estudiantes se hagan una idea de cuánto son 10 m, compare esa distancia con la del largo de la sala o de una parte del patio. Se espera que haya distintas respuestas, condicionadas por la información que disponen y la experiencia o expectativas que tienen sobre la situación. Lo importante es que aparezcan diversos términos para referirse a la posibilidad, tales como poco posible, posible, bastante posible, muy posible, etc.
Luego, pregunte: ¿qué tan posible es que el niño supere los 40 m? Se espera que señalen que es poco posible o imposible que un niño de esa edad alcance esa distancia. ¿Cuán posible es que supere 1 m? Deberían señalar que es seguro o casi seguro que eso puede ocurrir. Resuma las tres situaciones analizadas:
Situación 1: que un niño de 8 años supere los 10 m al lanzar la pelota.
Situación 2: que un niño de 8 años supere los 40 m al lanzar la pelota.
Situación 3: que un niño de 8 años supere 1 m al lanzar la pelota.
Pida a los estudiantes que las ordenen según qué tan posible es que ocurran. Debería haber coincidencia en considerar que la menos posible es la Situación 2, le sigue la Situación 1 y la más posible es la Situación 3.

P. 157

Propósito
Que los estudiantes relacionen los grados de posibilidad con niveles de incerteza y certeza.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Prosiga con la Actividad 1 señalando que ahora consideren que se escogió al azar una estudiante de 2° medio para lanzar la pelota. Pregunte: ¿creen que las distancias a la que pueden arrojar la pelota el estudiante de 8 años y la estudiante de 2° medio son distintas? ¿Qué tan posible es que superen los 35 m?  Se espera que coincidan que, por su edad, es posible o bastante posible que alcancen esa distancia. ¿Qué tan posible es que alcancen los 100 m? Para que tengan una referencia de la distancia, señale que corresponde aproximadamente al largo de una cancha de fútbol. Se espera que, en general, consideren que es difícil o imposible que una niña de 2° medio lance la pelota a esa distancia. Prosiga preguntando: ¿qué tan posible es que pase los 10 m? Deberían estar de acuerdo en que es bastante posible o que es seguro que ocurra.
A continuación, pregunte: ¿qué tan lejos crees que puedes lanzar tú una pelota de tenis? ¿Qué tan posible es que lances a 30 m de distancia? ¿A 50 m? ¿Qué distancia crees que es imposible de alcanzar para ti? ¿A qué distancia es seguro que llegas? Deje que mencionen las posibilidades que cada uno asigna a estos sucesos y pídales que den sus razones.
Haga notar a los estudiantes que para la misma situación es posible asignar distintos grados de posibilidad de acuerdo con la información, experiencia o creencia que cada uno tenga sobre la ocurrencia del hecho.
Use las ideas de los estudiantes para introducir los términos usados para expresar grados de posibilidad de una situación. Comente que los términos poco posible o bastante posible se usan cuando no hay certeza de lo que ocurrirá, mientras que los términos imposible y seguro se usan cuando hay certeza absoluta de lo que puede suceder. Señale que hay otras formas de referirse a los grados de posibilidad de una situación, pero que para usar un lenguaje común, se propone usar los términos recién descritos.
Consideraciones didácticas
Los distintos grados de posibilidad permiten expresar el nivel de incerteza o de certeza que se tiene sobre la ocurrencia de un hecho. En efecto, decir que una situación es imposible es una manera de señalar la certeza de que no sucederá. De manera análoga, decimos que algo es seguro cuando tenemos certeza de que ocurrirá. En cambio, usamos la expresiones poco posible o bastante posible para representar distintos niveles de incerteza sobre la ocurrencia de una situación. En particular, que un hecho sea bastante posible que ocurra no asegura que sucederá.

Tickets de salida página 157 • Tomo 1

P. 158

Propósito
Que los estudiantes concuerden una escala de posibilidad y la usen para comparar la posibilidad de ocurrencia de situaciones.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de la escala de posibilidad.
Gestión
Presente la Actividad 2 y pida a los estudiantes que discutan en qué lugar de la escala colocarían cada uno de los grados de posibilidad acordados en la clase anterior. Se espera que concuerden en la respuesta.
Imposible
Seguro
Poco posible
Bastante posible
Formule preguntas que ayuden a los estudiantes a entender las características de la escala de posibilidad: ¿cómo es una situación que se ubica en la mitad izquierda de la escala? (Imposible o poco posible) ¿Y en la mitad derecha? (Bastante posible o segura) ¿En qué lugar de la escala tenemos certeza de lo que ocurrirá? (En los extremos) ¿En qué lugar de la escala se colocan las situaciones inciertas? (En el resto de la línea). Haga notar que:
La escala permite ordenar los grados de posibilidad de izquierda a derecha, desde lo imposible hasta lo seguro.
Los grados imposible y seguro se ubican en un lugar específico de la escala (extremos), mientras que los grados poco posible y bastante posible corresponden a rangos que ocupan la mitad de la escala cada uno.
A continuación, plantee la pregunta: si se debe lanzar la pelota de tenis a más de 18 m, ¿dónde ubicarías en la escala el lanzamiento de un niño de 6 años, Magdalena de 12 años, que entrena tenis desde pequeña, y de José de un alumno de 4° medio? Se espera que varios estudiantes, fijándose en la edad, propongan la siguiente asignación:
Niña de 6 años
Magdalena
José
Mientras que otros niños, considerando la experiencia de Magdalena afirmen que tiene la misma o más posibilidad que José y propongan que la situación asociada a la niña de 6 años es poco posible y que la relacionada con José y Magdalena son ambas bastante posibles. Haga notar a los estudiantes que:
La escala permite comparar posibilidades de distintas situaciones.
Cuando no se dispone de toda la información, es posible asignar a una misma situación distintos grados de posibilidad según la creencia que se tiene sobre su ocurrencia.
Consideraciones didácticas
La escala de posibilidades es una escala cualitativa de las oportunidades de ocurrencia de una situación. Nos permiten calificar el grado de posibilidad de un suceso, pero no medirlo. En este sentido, en esta etapa es importante hablar de posibilidad de un suceso y no de probabilidad, ya que esta última corresponde a una medida que aún no se ha introducido en este nivel escolar.

P. 159

Propósito
Que los estudiantes comparen los grados de posibilidad de los resultados de un experimento a partir de los casos asociados a ellos.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de la ruleta. Clips.
Gestión
Presente la Actividad 3 y entregue clips a los estudiantes para que jueguen a la ruleta. Pídales que giren el clip una vez y levanten las mano todos lo que obtuvieron algún premio. Repita la acción un par de veces más y luego pregunte: según lo que observamos, ¿qué es más posible, ganar algún premio o no ganar? Se espera que respondan que es más posible ganar un premio, ya que al girar el clip hubo más niños que ganaron que los que perdieron. ¿De qué otra manera podemos confirmar que hay más posibilidades de ganar? ¿Podemos usar la información de la ruleta? (Al mirar la ruleta, se puede ver que hay muchos más sectores con premio que sin ellos).
A continuación, pregunte: ¿cuán posible es ganarse una bicicleta? (Muy poco posible, ya que solo aparece en 1 de los 36 sectores de la ruleta) ¿Cuál de los premios es más posible ganar? (El arco de fútbol, ya que es el que más se repite en la ruleta) ¿Es bastante o poco posible ganarse un arco de fútbol? (Poco posible, pues solo está en 5 de los 36 sectores de la ruleta) ¿Qué es más posible, ganar una batidora o ganar una cafetera? (Ambas están en 3 sectores de la ruleta, por lo tanto, son igualmente posibles).
Luego pregunte: ¿cómo son todos los sectores de la ruleta? (Todos tienen el mismo tamaño). Si los sectores fueran de distinto tamaño, ¿podríamos haber comparado las posibilidades de ganar los distintos premios? (Sí, pero sería más difícil ya que tendríamos que comparar los tamaños de los sectores relacionados con los premios). Concuerde con los estudiantes que disponer de una ruleta con todos los sectores de igual tamaño facilita comparar las posibilidades de ganar premios.
Concluya con los estudiantes que, a diferencia de los ejemplos vistos anteriormente, todos asignaron los mismos grados de posibilidad a los resultados de la ruleta. Haga notar que en este caso se dispone de información suficiente (los sectores de la ruleta asociados a los distintos resultados) para identificar y comparar los grados de posibilidad.
Consideraciones didácticas
Al usar la escala de posibilidad, hay que distinguir los experimentos aleatorios en que es posible asignar grados de posibilidad de manera objetiva, de aquellos en donde los grados de posibilidad solo se pueden interpretar como una asignación del grado de creencia o convicción que tiene cada persona sobre la ocurrencia del suceso. En este último caso la escala se usa de manera subjetiva.

Ticket de salida página 159 • Tomo 1

P. 160

Propósito
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de situaciones y las ubiquen en la escala  de posibilidad.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 4 y pida a los estudiantes que discutan en parejas las respuestas. Monitoree el trabajo identificando las distintas respuestas y los argumentos utilizados.
A continuación, haga una puesta en común. Puede usar las siguientes preguntas: ¿en qué lugar de la escala ubicaron el resultado “ganar un arco de fútbol”? (Poco posible). ¿Y el resultado “ganar un artículo deportivo”?  Se espera que los estudiantes reconozcan que casi la mitad de los premios corresponden a artículos deportivos, pero que no haya consenso en catalogar el resultado como poco posible o bastante posible. ¿En qué lugar de la escala sería más apropiado ubicar este resultado? (Cerca de la mitad).
Pida que muestren los resultados que describieron en el ítem b) y que expliquen por qué le asignaron el grado de posibilidad que señalan. Solicite que compartan los resultados que catalogaron como imposibles en el ítem c). Podrían sugerir resultados tales como ganar una pelota de tenis, ganar dos premios en una misma vuelta de la ruleta, entre muchos otros.
A continuación, presente la Actividad 5 y pídales que argumenten la veracidad o falsedad de cada afirmación. Las respuestas esperadas son las siguientes:
Ganar un peluche es tan posible como ganar un juego de mesa. (Verdadero, hay 4 sectores con peluches y 4 con juegos de mesa).
El premio con menor grado de posibilidad de salir es la bicicleta. (Falso, el scooter  tiene la misma posibilidad de salir que la bicicleta).
Es menos posible ganar una mesa de ping pong que una cafetera. (Verdadero, la mesa de ping pong está en 2 sectores, mientras que la cafetera aparece en 3).
Ganar algún electrodoméstico es bastante posible. (Falso, solo hay 6 casos de 36 en los que puede salir  un electrodoméstico).

a)

b)

c)

d)

P. 161

110 minutos

90 minutos

Propósito
Que los estudiantes comparen la posibilidad de ocurrencia de situaciones y las ubiquen en la escala de posibilidad.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Recursos
Imagen de la escala de la Actividad 6.
Gestión
Presente la escala de posibilidades de la Actividad 6 y pregunte a los estudiantes: los resultados relacionados a lanzar un dado ¿están bien ubicados en la escala de posibilidades? ¿Qué podemos hacer para averiguarlo? Asegúrese de que los estudiantes consideren la opción de contar los casos en que se obtiene cada uno de los resultados descritos. Pregunte: ¿en cuántos de los seis casos que se obtienen al lanzar un dado salen los resultados que se muestran en la escala?
El dado es un 2  1 caso.
El dado es mayor que 4  2 casos.
El dado es menor que 7  6 casos (todos los casos).
El dado es menor que 3  2 casos.
El dado es un 8  0 casos (ningún caso).
Solicite a los estudiantes que los ubiquen correctamente en la escala de posibilidades. Dé un tiempo para que respondan, y luego pregunte: ¿hay algún resultado imposible? (Que salga un 8) ¿Hay alguno seguro? (Que sea menor que 7) ¿Cómo son los otros tres resultados? (Poco posible, ya que ocurren solo en 1 o 2 oportunidades al lanzar un dado) ¿Hay alguno de ellos que tengan la misma posibilidad? (Que sea mayor que 4 y que sea menor que 3). Dibuje una escala de posibilidades en la pizarra y pida a los estudiantes que la completen. Se esperan respuestas similares al siguiente diagrama:
Que  salga 2
Que sea menor que 7
Que sea menor que 3
Que  salga 8
Que sea mayor que 4
Presente la Actividad 7 y solicite a los estudiantes que opinen sobre las afirmaciones de los personajes del Texto del Estudiante. Es posible que varios niños se inclinen por la idea de que es más posible obtener un sello después de que ha salido cara. Pregunte: cuando lanzamos una moneda, ¿hay alguna razón para pensar que una cara tiene más posibilidades de salir que un sello, o viceversa? (No, tienen las mismas posibilidades) ¿Hay alguna razón para que esas posibilidades cambien si primero salió una cara o un sello? (No).
Invite a los estudiantes a responder la actividad de la sección Practica, y luego a resolver el Cuaderno de Actividades.

Cuaderno de Actividades páginas 82 a 85 • Tomo 1
Ticket de salida página 161 • Tomo 1

P. 162

50 minutos

Propósito
Que los estudiantes ejerciten los temas estudiados en el capítulo relacionados con la posibilidad de ocurrencia de situaciones.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente las actividades y plantee preguntas para asegurarse de que comprendan lo que deben hacer en cada caso. Pida que resuelvan los ejercicios en su cuaderno y monitoree el trabajo formulando preguntas que apoyen sus esfuerzos. Haga puestas en común para compartir los resultados y corregir posibles errores.
En el Ejercicio 1 los estudiantes deben reconocer cuáles de las situaciones propuestas corresponden a experimentos aleatorios. En caso de que no se acuerden de la definición, recuérdeles que tiene relación con la posibilidad de predecir los resultados que se quieren observar.
En el Ejercicio 2 deben inventar un experimento que sea aleatorio y otro que no, ambos a partir del lanzamiento de un dado. Se espera que en el experimento que no es aleatorio utilicen el ejemplo visto en clases de la suma de la cara superior e inferior del dado.
En el Ejercicio 3 deben asignar grados de posibilidad a las situaciones dadas. Para que puedan tener más información que les ayude a establecer un grado de posibilidad, pídales que trabajen este ejercicio en grupos.
En el Ejercicio 4 deben comparar la posibilidad de resultados de un experimento aleatorio con dados. Si ve que algunos estudiantes asignan grados de posibilidad de manera subjetiva, ayúdelo a reconocer que en esta situación es posible comparar los casos en que sale un 4 con los casos en que sale 10 como una forma de comparar sus posibilidades.

Cuaderno de Actividades páginas 86 y 87 • Tomo 1

P. 163

Propósito
Que los estudiantes profundicen en la comprensión de los temas estudiados en el capítulo relacionados con la posibilidad de ocurrencia de situaciones.
Habilidad
Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente las actividades y haga preguntas para asegurarse de que comprendan cada problema. Monitoree el trabajo y apoye sus esfuerzos mediante preguntas. Haga una puesta en común para analizar las respuestas y estrategias usadas.
En el Problema 1 los estudiantes deben elegir una configuración de bolitas que se asocie a cada uno de los grados de posibilidad señalados.
En el Problema 2 deben determinar resultados posibles del experimento aleatorio propuesto. No es necesario que los encuentren todos; lo importante es que tengan suficientes para poder relacionarlos a los distintos grados de posibilidad. Luego deben dibujar una escala de posibilidad y ubicar los resultados en ella.

Tickets de salida página 163 • Tomo 1

Repaso 2

P. 164

Capítulos 5 - 9

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con números decimales, medición de longitud, paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D, datos y probabilidades.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades, motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 9.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan comparar e identificar sus errores.
En la Pregunta 1 (Capítulo 5) aplican las reglas de formación del sistema de numeración decimal para determinar el número decimal que se forma en cada caso.
En la Pregunta 2 (Capítulo 9) determinan el grado de posibilidad que tiene el evento: sacar una bolita de determinado color de una bolsa, para lo cual deben utilizar los términos poco posible o posible, en el caso que no se tenga certeza de la respuesta, y seguro o imposible, cuando sí se tenga.
En la Pregunta 3 (Capítulo 5) comparan dos números decimales y luego calculan una resta entre estos números para calcular la diferencia entre las distancias.

En la Pregunta 4 (Capítulo 3) miden la longitud de objetos utilizando centímetros y milímetros. En todos los casos no se comienza midiendo desde el 0, por lo que deben saber utilizar muy bien la regla para medir.

P. 165

Propósito
Que los estudiantes pongan a prueba sus conocimientos sobre los temas estudiados relacionados con números decimales, medición de longitud, paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D, datos y probabilidades.
Gestión
Asegúrese de que todos los estudiantes comprendan lo que se les solicita. Pídales que registren sus cálculos, procedimientos y respuestas en sus cuadernos.
Si presentan dificultades, motívelos a que revisen el capítulo que se indica en cada una de las preguntas, de tal manera que puedan repasar los aspectos en que presentan dudas.
Monitoree el trabajo, verificando si ponen en juego los conocimientos y habilidades estudiados hasta el Capítulo 9.
Luego, en una puesta en común, permita que compartan sus resultados y estrategias. Recomiéndeles que en caso de cometer algún error, no lo borren y que escriban el procedimiento correcto a un lado, para que puedan comparar e identificar sus errores.
En la Pregunta 5 (Capítulo 8) identifican las líneas paralelas y las perpendiculares que hay en la figura. Para esto, deben nombrar cada línea utilizando las letras asignadas.
En la Pregunta 6 (Capítulo 7) responden preguntas a partir de la información que se presenta en una tabla de doble entrada. Para ello:
a) suman los datos de manera vertical y comparan estos resultados.
b) suman los datos de manera horizontal y comparan estos resultados.
c) identifican la mayor frecuencia registrada en la tabla.
En la Pregunta 7 (Capítulo 9) determinan el grado de posibilidad de determinados resultados del experimento aleatorio “sacar fichas con números de una bolsa y multiplicarlos”.
a) deben utilizar los términos poco posible o bastante posible.
b) deben buscar los posibles resultados y así clasificar que es más posible.

Capítulo 10

Aventura Matemática

2 horas pedagógicas

Visión general
En este capítulo se abordan actividades no rutinarias que integran distintos aprendizajes y habilidades matemáticas estudiadas durante el primer semestre y en años anteriores. Los contextos favorecen la articulación del estudio con otras asignaturas y se espera que ayuden a tomar conciencia de diversas problemáticas medioambientales que nos afectan.
Objetivos de Aprendizaje del capítulo
OA1: Representar y describir números naturales de hasta más de 6 dígitos y menores que 1 000 millones:
identificando el valor posicional de los dígitos.
componiendo y descomponiendo números naturales en forma estándar y expandida aproximando cantidades.
comparando y ordenando números naturales en este ámbito numérico.
dando ejemplos de estos números naturales en contextos reales.
OA26: Leer, interpretar y completar tablas, gráficos de barra simple y gráficos de línea y comunicar sus conclusiones.
Actitud
Manifestar curiosidad e interés por el aprendizaje de las matemáticas.
Temas matemáticos involucrados
Actividad 1. ¿Cuántos somos en el mundo?
Interpretar información del entorno expresada con números grandes.
Leer y escribir números de hasta 10 cifras.
Comparar números naturales de hasta 10 cifras.
Ordenar números de hasta 10 cifras.
Construir y analizar información presentada en tablas.
Comprender la noción de superficie y área de una figura.
Comprender intuitivamente la noción de razón.
Actividad 2. ¿Cómo ayudamos a la naturaleza?
Interpretar, analizar y deducir información contextualizada presentada en tablas.
Comprender intuitivamente la noción de variable y los valores que puede tomar.
Comparar números de hasta 2 cifras.
Estimar la suma de varios números de hasta dos cifras.
Sumar números de hasta dos cifras.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

P. 167

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Resolver problemas / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 1 invitando a un estudiante a que lea la información que señala la profesora en el texto. Verifique que todos los estudiantes lean correctamente el número que corresponde a la población en el mundo. Pregunte: ¿qué estrategia usan para leer el número? ¿Por qué los números se escriben separados en grupos de 3 cifras?
Invite a los estudiantes a que analicen la población de los países indicados en el mapa para responder las 4 preguntas planteadas. Luego, haga una puesta en común para que comuniquen sus respuestas.
En la Pregunta 1 se solicita que identifiquen el país con la mayor cantidad de habitantes. Para ello, deben comparar los números asociados. Se espera que expliquen que para reconocer el número mayor, hay que fijarse en los números que tienen la mayor cantidad de cifras; esto es, China y la India. Luego, se comparan los dígitos de las posiciones de mayor valor. Se observa que cada país tiene del orden de mil millones de habitantes. Enseguida, se compara el siguiente dígito y se establece que China tiene del orden de los 400 millones, en cambio, India tiene solo 300 millones. Así, se concluye que China es el país con la mayor cantidad de habitantes en el mundo. Además, se puede solicitar que hagan una tabla con los países ordenados de acuerdo con su población.
En la Pregunta 2 se solicita a los estudiantes averiguar si hay algún país cuya población supere los mil quinientos millones de habitantes. Se espera que al contestar la pregunta anterior, se hayan dado cuenta de que no hay ningún país que supere esa cifra.
En la Pregunta 3 se solicita que establezcan una relación entre la cantidad de habitantes de un país y su cantidad de superficie. Para ello se recomienda plantear algunas preguntas: entre España y Canadá, ¿cuál tiene mayor población? (España) ¿Cuál país tiene una cantidad de superficie mayor? (Canadá) ¿A mayor superficie, hay mayor cantidad de habitantes? (No, España es más pequeño que Canadá y tiene una mayor cantidad de habitantes).
Invite a los estudiantes a que busquen otras parejas de países para analizar la relación entre la cantidad de habitantes y su superficie.
En la Pregunta 4 se espera que los estudiantes indiquen que la afirmación de Juan es correcta, ya que si redondeamos la población de España, se obtiene 50 millones, y 3 veces esa cantidad es cercana a 150 millones, número muy cercano a la población de Rusia.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para que comuniquen sus impresiones acerca del aumento de la población en Chile y en el mundo. Pregunte: ¿cómo han notado el aumento de la población en Chile? ¿En qué medida les afecta en su diario vivir?

P. 168

Propósito
Que los estudiantes usen conocimientos matemáticos estudiados en la resolución de problemas no rutinarios en contextos interdisciplinarios.
Habilidad
Representar / Argumentar y comunicar.
Gestión
Presente la Actividad 2 invitando a un estudiante a que lea la información que señala la profesora en el texto. Genere una conversación para que los estudiantes comuniquen sus impresiones acerca de la amenaza de extinción de especies en Chile. Pregunte: ¿qué significa que una especie sea nativa? ¿Conocen alguna especie animal que esté amenazada en Chile? (En la introducción se presentan tres animales en peligro) ¿Qué otros factores creen que amenazan la extinción de especies?
Luego, dé un tiempo para que analicen la tabla y enseguida plantee algunas preguntas para asegurar que todos los estudiantes comprendan la información que contiene. Por ejemplo: ¿cómo se clasifican los animales? ¿Pueden dar un ejemplo de cada tipo de animal? ¿Cómo se clasifica el estado de conservación? ¿Cuál es la categoría más grave? ¿Hay alguna especie animal que se haya extinguido?, etc.
Posteriormente, pídales que respondan cada una de las preguntas planteadas en el texto.
En la Pregunta 1 se solicita identificar el tipo de animal que tiene el mayor número de especies amenazadas. Para ello, pueden sumar o estimar los números de especies amenazadas de los 6 primeros tipos de estado de conservación (Suman los números que están en las filas). Así concluyen que los reptiles es el tipo de animal más amenazado, ya que hay 60 especies que sufren algún grado de peligro. Al respecto, puede pedir a los estudiantes que investiguen los reptiles chilenos que están en “peligro crítico”.
En la Pregunta 2 se solicita identificar el tipo de estado de conservación que reúne más especies, es decir, se debe identificar la columna que tiene la mayor suma de especies. Para ello, a simple vista se fijan en las columnas con números más grandes e identifican que las categorías “en peligro” y “peligro crítico” poseen la mayor cantidad de especies. Comparando número a número ambas categorías, se concluye que el estado de conservación “en peligro” concentra la mayor cantidad de especies. De la misma forma, se puede solicitar a los niños que calculen el total de especies “en peligro”.
En la Pregunta 3 se invita a los estudiantes a reflexionar en relación con otros factores que podrían estar influyendo también en la amenaza de especies animales en Chile y en  el mundo.
Finalmente, invite a los estudiantes a que describan los conocimientos matemáticos que han usado en la realización de la actividad y modere una conversación para discutir acerca de la importancia de conservar y cuidar nuestra flora y fauna.
¿Qué podemos hacer para ayudar a cuidar nuestra naturaleza?

Cuaderno de Actividades
y sus respuestas

Cuaderno de  actividades y sus respuestas

100 000

450 700

1 000 000

10 000 000

Trescientos veinte cuatro mil

setecientos treinta y seis

Novecientos noventa

y nueve mil

Seis millones cuarenta y

ocho mil quinientos veinte y uno

Siete millones

Cincuenta y seís millones

cuatrocientos cuatro mil novecientos

cinco

ochocientos setenta y seis mil

trescientos doce.

200 051

530 330

30 970 000

64 080 000

3 743 000

8 900 003

130 009 070

23 591 000

88 750 945

Cuarenta y nueve mil  setecientos cincuenta y tres

Treinta y siete mil seiscientos  cuarenta y dos

Diez mil novecientos  ochenta y nueve

Once mil ocho

5 | 4 | 7 | 5 | 0
2 | 0 | 4 | 0 | 9
9 | 3 | 0 | 6 | 0
6 | 1 | 0 | 0 | 0
9 | 0 | 0 | 0 | 9

65 342

86 459

20 552

99 200

320 mil

9 millones 100 mil

90 millones

<

>

14 000

140 000

3 500 000

1 000 000 000

mil millones

153

47 560 000

13 600 000

1 000

300 000

5 000

800 000

5 000 000

40 000 000

70 000 000 + 6 000 000 + 100 000 + 70 000 + 6 000

4 • 10 000 000 + 5 • 1 000 000 + 8 • 100 000 + 7 • 10 000 + 9 • 1000

26 730 000

58 360 000

3 568

35 680

632 500

8 710 000

159 000 000

6 073 000 000

5 000 500 000

1 000 100 000

96 000 000 000

4 000 040 000

9 000 030 000

9 876 543 210

Nueve mil ochocientos setenta y seis millones

quinientos cuarenta y tres mil doscientos diez

300 000 000

30 000 000

10 veces

500 000 000

900 000 000

Cuatrocientos diez millones

doscientos mil

Setecientos noventa y tres

millones

Seis mil ciento ciencuenta y

nueve millones

Doce mil ochocientos

cuarenta y ocho millones trescientos mil

Diecinueve mil cuatro

millones setecientos cincuenta mil

44 000 000 000

9 000 000 900

7 millones

600 mil

5 mil

1000 millones

centena de millón

centena

2 300 000 000

5 900 000 000

6 800 000

800 000 000

6 000 000 000

400 000 000

Cuatro mil ochocientos millones.

3 900 000

Dos mil ciento treinta y cinco millones.

Doscientos desciséis millones cuatrocientos mil.

Veintitrés millones novecientos mil

8 000 000

70 000 000 000

90  millones

30  millones

12  millones

3  millones

900  millones

200  millones

100 mil  millones

30 mil millones

600 mil  millones

200 mil millones

1 600

1 800

1 400

4 200

2 000

2 700

4 000

4 800

3 200

140

240

360

160

210

450

300

490

250

640

14 000 millones

300 millones

1  023  456  789

9  876  543  210

2  013  456  789

4  123  567  890

507 000 000

9 802 000 000

504 000 000

8 300 000 000

= 270 y 300

= 400 y 600

= 2 400 y 2 500

= 500 y 800

= 1 600 y 2 100

38 • 12

40 • 10

Aproximadamente realizará 400 abdominales.

50

90

60

45

46

8 000

59

590

400

80

1200

690

600

2 310

420

370

2 300

930

9 540

29 610

48 720

33 135

8 547

3 567

5 070

4 408

7 221

16 665

672

288

7 208

3 888

35 560

212

220

92

126

410

4 176

4 672

1  892

2 760

2 784

Deberá pagar $ 2 340

4 032

675

1127

2 240

372

882

832

938

7 488

702

30 • 78

31 668

18 300

4 218

3 870

5 292

5 487

230

290

Hay 2 365 papeles de colores.

120

3 500

43 • 55

180

350

330

1500

4 608

3 600

3 304

7 291

3 220

4 250

Debo pagar en total $ 6 660

36 • 185

Para la decoración B

20 : 3

A cada persona le corresponden 6 galletas. Sobran 2 galletas.

65 : 8

Se necesitan 9 cajas.

40 : 6

Cada bolsa tendrá 6 jugos.

40 : 7

Se necesitan 5 bolsas.

38 : 6

Se necesitan 6 cajas y sobran 2 manzanas.

Habrán 3 cajas con 6 manzanas y 4 cajas con 5 manzanas.

34 : 5

Se ocupan 6 mesas completas y habrá 4 personas en la mesa que no se completa.

13 • 3

Usa 4 bolsas. Queda una manzana suelta.

Alcanza para 6 personas y sobran 4 caramelos.

87 : 9

Se obtienen 9 trozos y sobran 6 cm.

60 : 7

Se pueden hacer 8 pulseras y sobran 4 mostacillas.

9 · 2 + 1 = 19

= 9

7 · 3 + 2 = 23

= 7

5 · 5 + 1 = 26

= 5

8 · 4 + 3 = 35

= 8

59 : 7 = 8, resto 3

78 : 9 = 8, resto 6

61 : 8 = 7, resto 5

24

= 19

= 17

= 16

42 : 3

A cada persona le corresponden14 dulces.

91 : 7

Antes del concierto practica 13 veces.

42 : 6

El divisor es el doble y el

cociente es la mitad.

600 : 3

Agregando los ceros

correspondientes.

200 papeles cada una.

= 10

= 30

= 100

= 400

60 : 3

6 : 3

Cada persona recibe 20 papeles.

= 20

= 90

9 • 7 + 5 = 68

= 6

6 • 3 + 2 = 20

38 : 7 = 5, resto 3

54 : 8 = 6, resto 6

25 : 5 = 5

29 : 7

se llenan 4 bidones y sobra 1 litro de agua.

45 : 6

a cada uno le corresponden 7 caramelos y sobran 3 caramelos.

7 • 4 + 3 = 31

= 3

3 • 6 + 4 = 22

= 4

4 • 7 + 5 = 33

3 • 8 + 6 = 30

8 • 6 + 4 = 52

5 • 9 + 8 = 53

7 • 6 + 5 = 47

6 • 4 + 3 = 27

,

17

propia

números mixtos

impropia

18 : 3

6 veces la cinta azul.

3 veces.

7 veces.

18

La longitud es 12 cm.

La longitud es 21 cm.

32 : 4

El anuario puede contener 8 veces a la pecera.

2 • 5

El termo contiene 10 dL de agua.

;

63

49

21

48

.

40

Solo se simplifica por 3 y se puede seguir simplificando por 11.

222
333

6622
9933

La fracción se amplificó por 2, y había que simplificarla; pero no se puede ya que la fracción es irreductible. La correción es:

36

= 2

= 1

750

Fracción impropia

Número mixto

Fracción propia

La señora Clara compró 2 kilos de queso.

María puede formar 10 paquetes.

1000

0,001

0,01

0,1

71,45

0,28

493,5

0,17

0,025

2,39

8,536

3,482

0,507

0,064

50,005

0,033

0,026

0,015

0,44

0,37

0,26

décima

centésima

2,06

0,206

51,52

5,152

Cada parte mide 4,5 m

19,07

1,907

Se obtienen 100 trozos

1,346

0,1346

El número es 7,45.

El número es 107.

0,659

0,0659

0,04

0,004

Los 10 clips, pesan 12,4 g

Los 100 clips, pesan 124 g

27,8

278

710,5

7   105

111

1 110

Recorrerás 20,58 km

Recorrerás 205,8 km

Hay 10 décimos

Hay 100 centésimos

6,39

63,9

90,74

907,4

10,08

100,8

Carlos mide más.

Víctor compró menos jugo.

0,5

0,6

0,80

0,75

0,06

0,2

2,3

0,8

0,9

75

3 – 0,5

En la bolsa hay 2,5 kg de manzanas.

2,45 + 0,32

Hay 2,77 L de agua en la tetera.

2 – 1,225

Le quedaron 0,775 L de limonada.

1,2 + 0,740

Hay 1, 94 kg de mandarinas en total.

2,75 + 0,90

Quedarán 1,85 m después del corte.

1,999

3,28

1,033

5,268

1,11

5,688

6,518

8,136

4,35

0,557

3,019

9,058

5,282

83,825

1,751

25,336

5,286

3,256

15,688

8,756

16,111

6,627

33,692

6,371

4,25 – 3,86

El fundo de Juan tiene mayor superficie, 0,39 hectáreas más.

4,25 + 3,86

Entre ambas fundos es 8,11 hectáreas más.

10 • 0,25

Compró 2,5 kg de caramelo.

0,733

3,258

1,673

0,968

4,377

11,081

1,736

2,493

5,183

6,99

3,388

4,697

158

64,9

0,7894

0,063

0,4

0,25

5,027

0,003 – 0,03 – 0,3 – 3

3,51

50,07

6,934

0,002

80 cm

2,45 m

0,68 m

2 400 cm

375 cm

1,56

225

3,6

5,42

4,95

1,85 m = 185 cm

2,15 m = 215 cm

2,5 m = 250 cm

259 cm

186 cm

1,95 m = 195 cm

1,965 m = 196,5 cm

2,001 m = 2001 cm

117

10,8 cm ó 108 cm

54

234

51

279

2,7

135

13,5

64

6,4

139

13,9

Pasa por el hospital.

Recorre 3,2 km

1 040 más largo

Se encuentra a 475 m

1,08 km es la distancia

entre la casa Muriel y la escuela.

La longitud es 1 430 m

La diferencia es 350 m

La longitud es 1,47 km

La diferencia es 40 m

35,8

29,46

53,7

99,9

14 cm; 140 mm

7,2 cm; 140 mm

10,1 cm; 101 mm

8,8 cm; 88 mm

50 cm – 2500 mm – 150 m – 0,5 km

2 000 000 mm – 20 000 m – 200 000 m

1,783 km

1 800,8 m

Es mayor la segunda suma.

mm

km

cm

La ciudad de Concepción está más lejos.

184,4 km más

309,51 km menos

3,528 km más

Le faltan 7,212 km

5 420

20 metros

0,359

54 070

2 005

La torre mide 0,3 km

0,71 km

22

|

||

|||

||||

Es el rasguño en el gimnasio.

La lesión que ocurre más en el gimnasio es el rasguño.

Que solo hay una fractura y un dedo torcido.

58

72

34

19

52 cientos

Cuentos

A= 34. B= 72, C= 58, D= 39, E= 51, F = 22

El total de libros prestados entre los meses de abril, mayo y junio.

Lugares de las lesiones

Gimnasio

Patio

Sala de clases

Pasillos

Escaleras

Número de estudiantes

La barra azul representa las lesiones en el pasillo.

En el patio ocurrieron 6 lesiones.

Ocurrieron 4 más en el gimnasio.

Mejorar la seguridad.

Colocar afiches de precaución.

Presentar tabla a compañeros de colegio.

Cuídate de las lesiones, se provocan en todos lados y depende de tí no lesionarte.

33

37

41

134

47

Se vendieron 47 poleras en total.

Se vendieron 23 prendas de color rojo en total.

Se vendieron 3 gorros negros.

Se vendieron más shorts de color azul que gorros.

Registro de actividades

En Santiago entre abril y mayo.

Se puede observar más rápido la diferencia entre las temperaturas.

En Santiago en enero y febrero con 30º y en Arica en febrero con 27º.

Entre Arica la diferencia entre un mes y otro es menor que en Santiago.

Patricio

Patricio?

Los agrupó en intervalos de 10 minutos.

7 compañeros se demoran más que Patricio.

3 meses de vida subió más de 2 kg, y entre 15 y 18 meses sube solo1 kg.

¿Cuánto pesó José a los 2 años de vida?

José pesó 8 kg a los 6 meses.

Hay 2 kg de diferencia

En el primer año de vida.

Elección de estudiantes a talleres

Taller

Bordado

Poesía

Teatro

Vóleiball

En vertical, analizó los datos de mejor manera.

Cantidad de estudiantes en cada taller.

“Taller” en el eje horizontal y “Estudiantes” en el eje vertical.

El taller donde hay más inscritos en el 5º A es teatro.

Hay 14 inscritos en Voleiball.

Hay 19 inscritos del 5º B.

El taller menos requerido por los estudiantes es el de bordado.

¿Cuántos estudiantes se inscribieron en talleres?

Tuvieron la misma cantidad de asistentes.

La mayor cantidad de asistentes tienen entre 10 y 20 años.

Si, porque las películas de terror tienen un número de edad para ingresar al cine.

El tallo representa la decena de las edades de los asistentes y las hojas a la unidad de las edades de los asistentes.

En superhéroes se repite 8, 12 y 20 años y animadas 3D se repite 6, 9, 10, 15 y 23 años.

En superhéroes los menores de 30 años son 15 asistentes y y animadas 3D son 16 asistentes.

¿Cuántos asistentes en total fueron al cine?
¿Cuántos asistentes de diferencia hay entre ambas películas?

En la semana 3.

En la semana 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5 son la misma diferencia y la que tiene más diferencia.

En la semana 3 y 7 la temperatura superó los 34º.

Entre 28º y 29º, considerando la tendencia en las últimas semanas.

Sí

No

Las líneas perpendiculares son M y N.

F

V

110º

90º

70º

El segmento que tiene la misma longitud que AE es CH.

Nunca se intersecan, siguen siendo paralelas.

La medida del lado BC es 5 cm.

La medida del lado D es 60º.

La suma es de 180º.

Trapecio

Paralelógramo

Rombo o cuadrado

Siempre es 2 más la cantidad de aristas de la base de la figura.

Siempre es 3 más la cantidad de aristas de la base de la figura.

5 cm

3 cm

Es un rectángulo.

Es un rombo de lado 3cm.

4 cm

60º

120º

ancho

arista

Los paralelos de AB son DC, HG y EF.

Las perpendiculares de AB son AE, BF y AD y BC.

la cara paralela es BCGF.

cuatro aristas paralelas.

cuatro aristas perpendiculares.

Prisma octagonal

Las caras son 10, vértices 16 y aristas 24.

cuadrada

Tiene todos sus medidas iguales

tienen forma de triángulo.

se llama base de la figura.

tiene forma de rectángulo.

tienen cuatro caras laterales.

El dado se llamaría cubo y la de la caja se llama prisma rectangular.

a =90º

trapecio = A y B. Rombo = C y D

paralelogramo = A y B.  Cuadrado = A, B y C = C y D

paralelogramo = A, B y C.  Rombo = C y D

suman 180º

el lado BC

se forma un cuadrado.

La nueva figura es un cuadrado.

6 cm

rombo

cuadrado

rectángulo

paralelos

γ y ε

la suma es de 180º

El tráfico, se demora el bus en pasar.

No.

Sí, ya que no sabemos a la hora que llegará al trabajo.

Sí.

Sí, llegará antes de las 9:00 horas.

No, porque siempre gana Pedro.

No, porque ya se sabe el resultado final.

No, porque soltar una piedra y que se caiga es seguro y que llueva un día en enero es poco posible.

que después de la primavera venga el verano.

que una persona mida más de 4 m

que llueva en verano.

que llueva en invierno.

Primo

Si me meto al mar, me mojo.

Que en enero salga el sol.

Que en febrero llueva.

Que una persona viva 200 años.

Posible.

bastante posible.

La b) es más posible.

Bastante posible.

AM

N

AN

R

Sacar la pelota amarilla.

Sacar una pelota anaranjada o verde y obtener una pelota que no sea anaranjada ni verde.

Sacar una pelota de un color que no sea rojo.

Bastante posible, tiene 5 posibilidades de 6 totales.

Que salga un número mayor o igual a 4.

En que tiene 3 posibilidades de 6 totales, está justo al centro de la escala.

Obtener un 5.

Poco posible.

Obtener un número mayor a 3.

Bastante  posible

No sale 3 gris

Sale menor que 4

Sale gris

Sale 5

Sale 2 blanco

Un 3.

Que Boris es el ganador.

2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8

Obtener un número entre 2 y 4

Obtener un número entre 4 y 8

Obtener fichas iguales

Obtener un 1

Se ubica en poco posible.

Que la primera ficha sea un 3 o un 4.

Seguro.

Ser deportista experto en salto.

Tener 2 años de vida.

Que tenga 30 años y mida sobre los 180 cm de altura.

No se puede anticipar.

Anexos

Anexo 1
Evaluaciones

Esta Guía Didáctica del Docente (GDD) incluye 4 evaluaciones que esperan complementar y apoyar sus decisiones en el proceso evaluativo.
• Evaluación 1: evaluación inicial, dirigida a identificar los aprendizajes previos requeridos para abordar los temas del tomo 1.
• Evaluación 2: evaluación intermedia, considera los contenidos estudiados en la Unidad 1.
• Evaluación 3: evaluación final, considera los contenidos abordados en la Unidad 2.
• Evaluación adicional: evaluación extra, aborda todos los contenidos vistos en el tomo 1.
Cada evaluación está acompañada de una tabla de especificaciones que indica el capítulo, el Objetivo de Aprendizaje y el tipo de ítem relacionado a cada pregunta. Además, cada instrumento cuenta con una rúbrica para su revisión.

Evaluación 1

Tabla de especificaciones Evaluación 1

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA1 | Capítulo 1: Números grandes | Respuesta breve | 2 | 1
OA1 | Capítulo 1: Números grandes | Comparación | 2 | 2
OA 3 | Capítulo 2: Multiplicación | Ejercicios | 3 | 3
OA 3 | Capítulo 2: Multiplicación | Respuesta extensa | 1 | 4
OA 4 | Capítulo 3: División | Ejercicios | 3 | 5
OA 4 | Capítulo 3: División | Respuesta extensa | 1 | 6
OA 7 | Capítulo 4: Fracciones | Selección única | 1 | 7
OA 7 | Capítulo 4: Fracciones | Ejercicios | 2 | 8

Rúbrica Evaluación 1

1. 	a) 9 343	b) 8 023
2. 	a)  >	b) >
3.  	a)  95	b) 927	c)  2 436
4.
5.  	a)  8	b) 24	c) 24
6.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (8 y 45) y los multiplica adecuadamente aplicando el algoritmo u otra estrategia multiplicativa. Escribe como respuesta que los niños del grupo reunieron 360 hojas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (8 y 45) y los multiplica aplicando el algoritmo u otra estrategia multiplicativa, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos (8 y 45), pero no identifica que debe multiplicar. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (42 y 6) y realiza adecuadamente la división, empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia. Escribe como respuesta que cada grupo tiene 7 naranjas (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (42 y 6) y realiza una división empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos (42 y 6), pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

7.  	Alternativa b).
8.  	a)  	b)  o

Matemática    Tomo 1

Evaluación 2

Tabla de especificaciones Evaluación 2

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA1 | Capítulo 1: Números grandes | Respuesta breve | 2 | 1
OA1 | Capítulo 1: Números grandes | Respuesta breve | 3 | 2
OA 3 | Capítulo 2: Multiplicación | Selección única | 1 | 3
OA 3 | Capítulo 2: Multiplicación | Ejercicios | 3 | 4
OA 4 | Capítulo 3: División | Ejercicios | 4 | 5
OA 4 | Capítulo 3: División | Respuesta extensa | 1 | 6
OA 7 | Capítulo 4: Fracciones | Respuesta breve | 3 | 7
OA 7 | Capítulo 4: Fracciones | Respuesta extensa | 1 | 8

Rúbrica Evaluación 2

Número | 13 509 200
Descomposición estándar | 10 000 000 + 3 000 000 + 500 000 + 9 000 + 200
Descomposición expandida | 1 • 10 000 000 + 3 • 1 000 000 + 5 • 100 000 + 9 • 1 000 + 2 • 100

2.  	5 millones, 11 millones y 19 millones.
3.  	Alternativa b).
4.  	a) 	b) 	c)
45 • 17
315
+ 45
765
27 • 19
243
+ 27
513
94 • 22
188
+ 188
2 068
5.  	a) 22         	b) 19, resto 1         	c)  8	d) 9, resto 3
6.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (42 y 4) y divide empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia. Escribe como respuesta que cada estudiante recibirá 10 lápices y sobrarán 2 (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos (42 y 2) y divide empleando el algoritmo, la resta iterada u otra estrategia, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o no identifica el resto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos (42 y 2), pero no identifica que debe dividir. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

7.  	Hay muchas respuestas correctas, por ejemplo, , , , , y en general cualquier fracción de la forma  	, donde n es un número natural.
3 • n
4 • n
8.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos ( y ) y los compara empleando el método de buscar fracciones equivalentes con igual denominador, (por ejemplo,   y  ), o realizando una representación pictórica adecuada. Escribe como respuesta que Paula compró más kilogramos de almendras (o alguna expresión equivalente).
Medianamente logrado | Identifica los datos ( y )  y los compara empleando el método de buscar fracciones equivalentes con igual denominador o realizando una representación pictórica, pero comete errores de cálculo o no realiza una representación adecuada, o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica un método para comparar las fracciones. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni un método de comparación de fracciones.

Tabla de especificaciones    Evaluación 2

Evaluación 3

Tabla de especificaciones Evaluación 3

OA | Contenido | Tipo de ítem | Cantidad | Nº del ítem
OA11 | Capítulo 5: Números decimales | N | 3 | 1
OA12 | Capítulo 5: Números decimales | Respuesta extensa | 1 | 2
OA19 | Capítulo 6: Medición de longitud | Asociación | 4 | 3
OA20 | Capítulo 6: Medición de longitud | Respuesta breve | 2 | 4
OA26 | Capítulo 7: Datos | Respuesta breve | 3 | 5
OA17 | Capítulo 8: Paralelismo y perpendicularidad en figuras 2D y 3D | Identificación | 2 | 6
OA 25 | Capítulo 9: Probabilidades | Ordenamiento | 4 | 7

Rúbrica Evaluación 3

1. 	1,231; 1,26 y 1,279
2.

Nivel de logro | Descripción
Logrado | Identifica los datos (2,5 kg y 1,125) e identifica que debe sumarlos. Suma los datos aplicando el algoritmo, respetando el valor posicional. Escribe como respuesta que la señora Ana compró 3,625 kg de fruta.
Medianamente logrado | Identifica los datos (2,5 kg y 1,125) e identifica que debe sumarlos. Suma los datos aplicando el algoritmo, pero comete errores de cálculo y el resultado es incorrecto o el resultado es correcto, pero no escribe la respuesta al problema.
Incipiente | Identifica los datos, pero no identifica que debe sumar. La respuesta es incorrecta.
No logrado | No identifica los datos ni la operación.

3.  	a)  mm
b) cm
c) km
d) m
4.  	a)  180 cm
b) 1 800 mm
5.  	a)  2019
b)  46
c)  2018
6.  	En el prisma rectangular pueden pintarse las caras superior e inferior, o las dos caras laterales que se enfrentan. En el 		prisma triangular deben pintarse la cara superior e inferior.
7.  	D, C, B, A.

Anexo 2
Tickets de salida
y sus respuestas

Ticket de salida

Solucionario Tickets de salida

Respuestas variadas. Cuando no es posible repartir todo lo que se tiene de manera equitativa sin que sobre.

165 400

27 587  Veintisiete mil quinientos ochenta y siete.

Cincuenta y un millones doscientos ocho mil.

30 000 000 + 7 000 000 + 200 000 + 80 000 + 8 000

3 . 10 000 000 + 7 . 1 000 000 + 2 . 100 000 + ...

8 . 10 000 + 8 . 1 000

7 000 000;  29 000 000

55

Aumenta en el mismo factor.

62

67

4       8       3
3       7       2

Hay 1     L =      L

1      =

5
3

1   4   0	  0 0 0 5 2 3 0 0 0

7	 8 2 0	 0 0 0 0 0

7	 8 2 0 0 	0 0 0 0 0

7   8   2 0 0 0 0 0 0 0 0

a) 7 987 210 < 21 987 000
b) 213 500 000 > 213 005 000
c) 89 952 232 < 5 765 999 000

1 500

31

1 300

Respuestas variadas. Aproximadamente 2 500.

292; total= 3 285

1 564

15 660

1 700

42

Cada uno recibirá 6 barras y sobrarán 3.

8 y sobran 4.

180 : 6 = 30 . 3  = 90 ->180 : 2

a) 10      b) 180

100 hojas

53

50 lápices

.7

.3

6
9

69

73

a) son iguales      b)

5
7

a)              b)

74

a)  1           b)

81

En cifras: 1,159. En palabras: Un entero, ciento cincuenta y nueve milésimos.

0,012

menor

0,12

5,1

mayor

84

85

1000 | 100 | 10 | 1
5 | 6 | 7 | 3
|  |  | 5 | 6 | 7 | 3

1
1000

a) 0,945      b) 10      c) 23,4

86

a) 0,5      b) 0,3      c) 0,03      d) 0,4

a)            b)            c)

9
100

89

0,01      0,09       0,18

91

a) 2,731            b) 1

a) 4,114            b) 0,75

95

4,5 m; 450 cm

1,51 m

38

105

1,01

107

800 m;  0, 8 km

108

112

Retiros Tipos | Abril | Mayo | Total
Cuentos | 8 | 7 | 15
Novelas | 12 | 9 | 21
Comics | 9 | 11 | 20
Total | 29 | 27 | 56

115

14 tienen conejo; el 5° B tiene 30 mascotas.

Fútbol   Tenis   Vóleibol   Básquetbol

121

Entre Enero-Febrero y Abril-Mayo.

Deportes

Aumento significativo

123

Entre las 12 y 14 horas.

Leve disminución

Disminuye y luego aumenta.

6 niños y 10 adultos.

28 años

128

El gráfico de barras. Sus barras representan categorías no numéricas.

Paralelismo y perpendicularidad

en figuras 2D y 3D

132

P y L; M y Q.

136

L y N; M y R.

138

142

144

Paralelogramo    Rombo    Trapecio

146

X

149

155

2. Lanzar una moneda al aire y registrar si sale cara o sello.

157

Es posible. Depende de las características del lanzador.

159

La pelota.

Poco posible: Ganar un libro.
Seguro: Ganar algún premio.

161

Los resultados están invertidos según el grado de posibilidad que se les asignó en la escala.

163

Bolsa A.

Bolsa C.

Anexo 3
Material didáctico recortable

Bibliografía

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Webgrafía

• www.curriculumenlinea.cl
• www.smconecta.cl/refip/