En lo que sigue pondremos en práctica el uso de criterios de congruencia de triángulos para resolver distintos problemas.
Puedes hacer clic sobre la pestaña “Ver criterios” para consultar los criterios de congruencia cuando lo requieras.
9
Considera el cuadrilátero ABCD, donde los lados marcados y ángulos coloreados son congruentes. ¿Es posible afirmar que los triángulos ABC y CDA son congruentes? ¿Por qué?
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
Notemos que los triángulos comparten el lado AC, y que además son congruentes los lados AD y BC, y los ángulos ADC y ABC. Luego hay solo dos lados y un ángulo que sabemos que son congruentes, por lo que podemos descartar las alternativas b y c.
Sin embargo, dado que el ángulo que es congruente no es aquel que se encuentra entre los lados congruentes, no se puede aplicar el criterio lado-ángulo-lado, es decir, la alternativa a es incorrecta.
Recordemos que cuando se tienen dos lados y un ángulo congruentes, pero el ángulo no es aquel que se forma entre los lados dados, no queda determinado un único triángulo. En consecuencia, no se puede afirmar que los triángulos son congruentes, y por tanto la alternativa correcta es d.
10
Analiza los siguientes triángulos y luego decide si las afirmaciones son verdaderas o falsas.
EFD ≅ UTS por criterio ángulo-lado-ángulo.
ABC ≅ ZYX por criterio lado-ángulo-lado.
RQP ≅ STU por una consecuencia del criterio ángulo-lado-ángulo.
UTS ≅ XZY dado que ambos son congruentes con el triángulo ABC.
Todos los triángulos son congruentes entre sí.
Analicemos cada una de las afirmaciones:
  • La primera afirmación es claramente verdadera.
  • La segunda afirmación es falsa, ya que no es posible aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo para los triángulos ABC y XYZ. Sin embargo, notemos que efectivamente ABC ≅ ZYX por el criterio lado-lado-lado.
  • La tercera afirmación es verdadera. Notemos que la medida de los ángulos en R y S es la misma, por lo que podemos aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo para los lados RQ y ST y sus ángulos adyacentes.
  • Notemos que UTS ≅ CAB por criterio lado-ángulo-lado. Además, XZY ≅ CAB por el criterio lado-lado-lado. Entonces los triángulos UTS y XZY son congruentes, ya que ambos lo son con el triángulo ABC, y por tanto la cuarta afirmación es verdadera.
  • Para ver que la última afirmación también es verdadera, notemos que por la cuarta afirmación los triángulos ABC, STU y XYZ son congruentes entre sí. Y como además el triángulo STU es congruente con el triángulo DEF (primera afirmación) y también con el triángulo PQR (tercera afirmación), entonces todos los triángulos son congruentes entre sí.
Recordemos que un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. En lo que sigue vamos a demostrar el siguiente teorema, que entrega otra caracterización de los paralelogramos.
Teorema. Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si tiene sus lados opuestos de igual medida.
Observemos que para probar el teorema recién enunciado, nos basta probar las siguientes dos afirmaciones:
- Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces tiene sus lados opuestos de igual medida.
- Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos de igual medida, entonces es un paralelogramo.
Para la demostración, daremos por conocida la siguiente equivalencia:
11
Completa la demostración de la siguiente afirmación:

“Un paralelogramo tiene sus lados opuestos de igual medida”.

  • - Considera el paralelogramo ABCD en el que se ha trazado la diagonal .
  • - El ángulo BAD es congruente al ángulo por la proposición, ya que el lado AB es paralelo al lado CD y son ángulos alternos internos.
  • - El ángulo ADB es congruente al ángulo por la proposición, ya que el lado AC es paralelo a BD y son ángulos alternos internos.
  • - Luego los triángulos ABD y DCA son congruentes por el criterio .
  • - Finalmente, como el triángulo ABD es congruente con el triángulo DCA, entonces el lado AB es congruente con el lado CD y el lado AC es congruente con el lado BD.
Las dos preguntas que siguen nos permitirán probar el resultado recíproco al anterior, es decir:
“Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos de igual medida, entonces es un paralelogramo”.
12
Considera el cuadrilátero PQRS cuyos lados opuestos tienen igual medida y en el que se ha trazado la diagonal PR. ¿Qué criterio asegura que los triángulos PQR y RSP son congruentes?
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
13
Completa la demostración de la afirmación.

Como los triángulos PQR y RSP son congruentes, se tiene que:

  • - Los ángulos alternos internos QPR y son congruentes, y por la proposición, el lado PQ es paralelo al lado RS.
  • - Los ángulos alternos internos QRP y son congruentes, y por la proposición, el lado PS es paralelo al lado .
  • - Con esto concluye la demostración de la afirmación, y también del teorema.
14
¿Se puede afirmar que los paralelogramos ABCD y PQRS son congruentes? Justifica. Puedes usar la proposición y el teorema de más arriba.
Los paralelogramos ABCD y PQRS son congruentes. Para justificarlo, notemos primero que por el teorema, los lados opuestos en cada uno de ellos tienen igual medida. De esta forma, tenemos lo siguiente:
Ahora tracemos la diagonal BD para formar los triángulos ABD y CDB y la diagonal PR para formar los triángulos PQR y PRS.
Como estas diagonales son comunes a los respectivos triángulos, el criterio lado-lado-lado nos asegura que ABD ≅ CDB y que PQR ≅ RSP. Además, ABD ≅ QRP por el criterio lado-ángulo-lado, y por tanto los cuatro triángulos son congruentes entre sí:
De esto podemos concluir que los ángulos en los vértices A, C, Q y S son congruentes, y que a su vez, los ángulos en los vértices B, D, P y R también lo son. Luego ABCD ≅ QPSR.
Observemos que la demostración de más arriba aplica para cualquier paralelogramo, es decir, los ángulos opuestos de un paralelogramo siempre tienen igual medida.
Ver criterios
Dos triángulos son congruentes si la medida de dos de sus ángulos y el lado entre ellos son iguales. Este es un criterio de congruencia que se denomina
La demostración del criterio ángulo-lado-ángulo se dedujo a partir del criterio , el que se había justificado anteriormente.
El hecho de que no podamos verificar que se cumplan las condiciones para aplicar alguno de los criterios de congruencia para dos triángulos, garantiza que ellos no son congruentes.
En muchas demostraciones se requiere aplicar una serie de propiedades o resultados ya demostrados. Por ejemplo, para establecer la congruencia entre dos figuras puede ser necesario usar más de un criterio de congruencia de triángulos, además de otros resultados conocidos.