CURSO:

Minerva propone una variación del desafío que habían planificado con Euclides.

Propongo modificar el problema. Supongamos ahora que los niños se encuentran en el mismo lado del río que el punto P. El desafío sería que determinen la distancia entre dos puntos que están al otro lado del río: Q y R.

De esta manera, los/as niños/as solo podrán medir el ángulo que se forma en P. Por tanto, deberíamos entregarles más información.

Tienes razón. Como ya tienen el ángulo en P, podríamos darles el ángulo en R y la distancia PQ.

Como el lado PQ no es el común a los dos ángulos, no se puede aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo.

Me parece que no podrán replicar el triángulo de manera única.

Euclides se queda pensando en la afirmación de Minerva y se le ocurre una manera de justificarla. Para ello dibuja 2 triángulos que tienen un lado y dos ángulos de igual medida.

Utiliza el siguiente recurso para identificar cuál es el lado congruente en los dos triángulos que dibujó Euclides. Considera que los ángulos de igual medida se pintaron del mismo color.

Sobrepón el triángulo GHI sobre el DEF.

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≃

Tal como se observa en la imagen, los triángulos dibujados por Euclides tienen dos ángulos de igual medida y los siguientes lados congruentes:

Notemos que en el triángulo DEF el lado DF solo es adyacente al ángulo pintado en amarillo, pero en el triángulo GHI el lado congruente HI es adyacente solo al ángulo pintado en verde

¿Qué se puede concluir a partir de los triángulos que dibujó Euclides?

Si dos triángulos tienen dos ángulos de igual medida y un lado congruente que no es aquel que es adyacente a ambos ángulos, entonces asegurar la congruencia de dichos triángulos.

Euclides y Minerva se dan cuenta de que conocidas las medidas de dos ángulos de un triángulo es posible obtener la del tercero. Pretenden usar esta idea para continuar planificando el desafío.

Si bien, a priori, los niños conocen la medida de dos ángulos, ellos pueden calcular la medida del tercero.

Entonces, ellos sabrían la medida del lado y la de los ángulos en P y en Q. Esto les permitiría aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo para replicar el triángulo.

Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes de igual medida y además un lado congruente que no está comprendido entre ellos, entonces no es posible aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo de inmediato. Esto ocurre por ejemplo cuando se tiene que ∢B ~ ∢F, ∢C ~ ∢D y AB ~ EF.

Por ejemplo, si en los siguientes triángulos se cumple que ∢B ~ ∢F, ∢C ~ ∢D y AB ~ EF, entonces, a priori, no podemos establecer que los triángulos son congruentes.

Sin embargo, dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, se tiene que los ángulos en los vértices A y E también son congruentes. Luego es posible aplicar el criterio ángulo-lado-ángulo, ya que ∢A ~ ∢E, AB ~ EF y ∢B ~ ∢F.

En los siguientes pares de triángulos se marcan con igual color los ángulos y lado congruentes. Seleccione las alternativas donde se puede asegurar que los dos triángulos son congruentes.

En la alternativa a se muestran dos triángulos con un lado de igual medida, BC=EF. Además, ambos lados tienen como ángulo adyacente al amarillo. Luego se concluye que los triángulos ABC y DEF son congruentes. De manera análoga, en la alternativa d se concluye que los triángulos ABC y EDF son congruentes. Luego ambas alternativas son correctas.

En la alternativa b, los lados de igual medida son AB y EF; sin embargo, EF se encuentra en los ángulos amarillo y verde, en cambio el lado AB solo es adyacente al ángulo amarillo, entonces no se puede asegurar que los triángulos son congruentes. Algo similar ocurre en la alternativa c, ya que en ese caso AB tiene solo como adyacente al ángulo amarillo y EF solo al verde, por lo que tampoco se podría asegurar que son congruentes.

Euclides y Minerva acuerdan que el problema del río es una prueba ideal para que ejerciten el criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo, y será el desafío final que decidirá a los ganadores.