CURSO:

Minerva y Euclides, como buenos maestros deciden demostrar el criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo. En lo que sigue, te pediremos que ayudes a Minerva y a Euclides a completar dicha demostración.

Supongamos que tenemos dos triángulos que solo tienen iguales dos ángulos y el lado común a ellos. Por ejemplo, consideremos los triángulos ABC y DEF:

Si los triángulos fueran congruentes, ¿qué lado del triángulo DEF debiera medir lo mismo que el lado AC?

a)
DE
b)
DF
c)
FE

Para probar el criterio ángulo-lado-ángulo, nos bastaría probar que los lados DF y AC tienen la misma medida, pero no lo sabemos a priori.

¿Por qué dices eso?

Porque como además sabemos que los lados AB y DE son congruentes y que los ángulos en A y en D también, podemos usar el criterio lado-ángulo-lado.

¡Tienes razón! Con eso concluiríamos que los triángulos ABC y DEF son congruentes.

Exactamente. Pero los lados AC y DF se ven iguales; no se me ocurre cómo justificarlo.

Cierto, entonces veamos qué pasaría si los lados DF y AC no tuvieran igual medida. Quizás llegaríamos a algo que no tiene sentido.

Si ocurriera eso que dices, entonces los lados tendrían que tener la misma medida.

Observa la siguiente animación que muestra cómo Minerva continúa con la demostración.

Minerva y Euclides dibujaron un nuevo triángulo ABG y para continuar la demostración quieren probar que los vértices G y C coinciden.

Mira. Los triángulos ABG y DEF son congruentes por el criterio .

Y como estos triángulos son congruentes, el ángulo ABG tiene igual medida que el ángulo .

Además, contábamos con el supuesto inicial de que los ángulos ABC y DEF tenían igual medida.

Y por tanto el ángulo ABG es congruente también con ABC.

¿Qué justifica la última afirmación de Minerva respecto a que los ángulos ABG y ABC tienen la misma medida?

a)
El hecho de que ambos ángulos tienen como vértice a B.
b)
El hecho de que ambos ángulos son congruentes al ángulo DEF.
c)
El hecho de que el lado AB es lado común a ambos ángulos.

Los profesores continúan con su razonamiento:

Como la medida de los ángulos ABC y ABG es la misma, entonces el ángulo GBC mide 0º.

¡Encontramos algo que no tiene sentido! No puede haber un triángulo con ángulo de 0°, como en el triángulo GCB.

Así es! Esto significa que nuestro supuesto de que AC y DF tenían distinta medida era , pues nos condujo a una contradicción.

Ahora podemos asegurar que el lado DF tiene igual medida que el lado AC. Y gracias al criterio , los triángulos ABC y DEF… ¡son congruentes!

Para demostrar el criterio ángulo-lado-ángulo, Minerva y Euclides usaron un tipo de razonamiento muy empleado en matemática que se conoce como demostración por contradicción o también como reducción al absurdo.

En una demostración por contradicción se asume que lo que se quiere probar no es cierto y, usando argumentos deductivos, se debe llegar a algo falso, o bien a una contradicción.

Por ejemplo, Euclides y Minerva asumieron que los lados AC y DF tenían distinta longitud, y luego llegaron a algo falso: la existencia de un triángulo con un ángulo de 0°.