Euclides interrumpe la discusión de sus estudiantes:
¿Los triángulos que dibujaron son congruentes?
Sí, porque todos tienen un lado de 5 cm, uno de 6 cm y otro de 8 cm.
¿Quieres decir que si dos triángulos tienen lados de igual medida, entonces son congruentes?
¡Por supuesto! Todas las figuras con lados correspondientes de igual medida son congruentes.
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¿Cuál/es de los siguientes pares de figuras sirve/n para justificar que la afirmación de Andrés es falsa?
Primero, recordemos la afirmación de Andrés:
Todas las figuras con lados correspondientes de igual medida son congruentes.
Una posibilidad para indicar que dicha afirmación es falsa es buscar contraejemplos, es decir, encontrar figuras tales que sus lados correspondientes sean de igual medida y que no sean congruentes. Esto último pasa cuando hay un ángulo de una de las figuras que no es congruente con ninguno de la otra figura, como observamos en la imagen:
Por lo tanto, las alternativas a y d son correctas.
Los triángulos de la alternativa b son congruentes, por lo que no pueden usarse como contraejemplo para la afirmación de Andrés.
Por otro lado, en la alternativa c las figuras no tienen lados correspondientes congruentes. Luego, como la hipótesis no se cumple, tampoco resultan útiles para ejemplificar lo pedido.
En ocasiones hacemos afirmaciones que admitimos como ciertas sin darnos cuenta de que estas requieren ser justificadas. En tales casos, puede resultar conveniente estudiar ejemplos en los que la afirmación pudiera no ser verdadera, de tal forma de convencerse de la necesidad de una justificación.
Tras comparar los diseños, los niños/as construyeron los circuitos en el terreno con la seguridad de que todos los circuitos eran iguales. Así, el desafío de los circuitos fue todo un éxito.
Euclides comenta con la profesora Minerva, su colega, sobre lo contento que quedó con los resultados.
Minerva considera que si bien las actividades tienen que ser lo suficientemente entretenidas, también tienen que fortalecer los contenidos de la escuela.
Según lo que entiendo, los alumnos visualizaron que los triángulos con lados correspondientes iguales eran congruentes, pero no lo justificaron. ¿Quedaron convencidos?
Sí. Como trabajaron solamente con triángulos, nunca dudaron de que estos no fuesen congruentes.
Quizás hubiera sido buena idea incluir circuitos con más lados, ¿no lo crees?
Explora la sugerencia de Minerva en el siguiente recurso interactivo que permite construir cuadriláteros y triángulos con los segmentos dados.
Mueve los puntos rojos para formar cuadriláteros y los azules para formar triángulos. Recuerda que para ello debes cerrar los circuitos.
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A partir del recurso anterior, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
Dados 4 segmentos, es posible armar varios cuadriláteros que no son congruentes entre sí.
Dados 3 segmentos, es posible armar varios triángulos que no son congruentes entre sí.
Dado un cuadrilátero ya formado, es posible modificar su forma moviendo los vértices.
Dado un triángulo ya formado, es posible modificar su forma moviendo los vértices.
Minerva continúa conversando con su colega:
Como el circuito tenía solo tres lados, todos los triángulos que construyeron eran congruentes.
Eso sucede si queremos construir circuitos con cuatro lados. En ese caso se pueden construir varios cuadriláteros de distinta forma.
Entonces, para el próximo año deberíamos incluir también circuitos de 4 lados.
Criterio “tres lados”
Si los lados correspondientes de dos triángulos miden lo mismo, entonces los triángulos son congruentes.
Por ejemplo, los dos triángulos que se muestran a continuación son congruentes:
Este criterio también se conoce como lado-lado-lado o, abreviadamente, LLL.
Notemos que este criterio nos permite concluir que dos triángulos son congruentes sin necesidad de medir sus ángulos.
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Marca los dos triángulos que con seguridad son congruentes entre sí.
Dado un triángulo, el criterio lado-lado-lado nos asegura que su forma es única, es decir, que cualquier otro triángulo que tenga las mismas medidas de sus lados es congruente con él. Esto conlleva que una estructura triangular construida con tres segmentos dados no puede deformarse. Esta “rigidez” de los triángulos hace que estos sean muy utilizados para construir estructuras como puentes y techos:
Notemos que esta rigidez no se observa en otros polígonos, por lo se pueden usar para construir estructuras que requieren flexibilidad o que sean plegables: