Observa la siguiente animación y luego responde:
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Indica si las siguientes afirmaciones respecto a los polígonos ABCD y PQRS son verdaderas o falsas.
El polígono ABCD es congruente con PQRS.
El segmento CD tiene la misma longitud que el segmento RS.
En la correspondencia ABCD ↔ RSPQ el segmento AD tiene igual longitud que su correspondiente.
En la correspondencia ABCD ↔ PQRS los lados correspondientes tienen la misma longitud.
Si dos polígonos son congruentes, entonces existe una correspondencia entre ambos tal que los lados correspondientes tienen igual longitud.
Una pregunta interesante es determinar si una correspondencia entre polígonos cuyos lados correspondientes tienen igual longitud asegura que sean congruentes. En lo que sigue, buscaremos dar respuesta a esta pregunta.
Observa la siguiente animación y luego responde:
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¿Son congruentes los dos polígonos que definen la estructura inicial y la final?
  • a)
  • b)
  • c)
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¿Qué conclusión se puede sacar del ejemplo anterior?
Para que dos polígonos sean congruentes, suficiente que los lados correspondientes tengan longitud, ya que esto no asegura que tengan forma.
Considera los siguientes pentágonos con lados correspondientes de igual medida. Usa el recurso para explorar la respuesta a la pregunta siguiente.
Instrucciones: Mueve los puntos rojos para modificar el pentágono.
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¿Qué condición adicional a la igualdad de longitud de los lados correspondientes se debe cumplir para asegurar que los pentágonos del recurso son congruentes?
Notemos que los pentágonos del recurso tienen todos sus lados congruentes entre sí, sin embargo se observa que no son congruentes, ya que no tienen la misma forma. Luego para lograr que tengan la misma forma, es necesario igualar las medidas de todos sus ángulos, es decir, una condición adicional que se debe cumplir es que los ángulos de vértices correspondientes tengan igual medida.
Dos polígonos son congruentes si existe una correspondencia entre ellos tal que:
  • Los lados correspondientes tienen igual longitud.
  • Los ángulos de vértices correspondientes tienen igual medida.
Para denotar que dos polígonos son congruentes usaremos el símbolo ≅.
Por ejemplo, los polígonos ABCD y KMLN son congruentes, ya que ABCD ↔ MLKN define una correspondencia entre ellos que cumple con las condiciones anteriores. Para ser consistente con la correspondencia, anotaremos que ABCD ≅ MLKN
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Completa los campos considerando que los siguientes pares de polígonos son congruentes. Ten en cuenta que las figuras son solo referenciales.
Diremos que dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud, y a su vez, que dos ángulos son congruentes si tienen igual medida. Para denotar la congruencia de segmentos o ángulos usaremos el símbolo ≅.
Cuando una figura geométrica tiene segmentos o ángulos congruentes, es común utilizar guiones cruzados sobre ellos, o algún otro símbolo, para indicar que tienen la misma medida. Por ejemplo, en el cuadrilátero ABCD, se tiene que AB ≅ AD, BC ≅ CD y que ∢B ≅ ∢D, lo que se indica de la siguiente manera en la imagen:
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Indica en qué casos la información entregada es suficiente para asegurar que los polígonos son congruentes. Puedes usar tus conocimientos previos sobre estas figuras.
Polígonos
Suficiente
Insuficiente
En el caso de los triángulos, la información dada es suficiente para probar que son congruentes. Probemos que ABC ≅ PRQ. Notemos primero que la congruencia de los lados respectivos está dada, además de la de los ángulos de los vértices A y P. Para probar la congruencia de los otros ángulos, observemos que el triángulo PQR es isósceles, por lo que los ángulos de la base, en los vértices P y R, son congruentes entre sí. Luego el ángulo en R también es congruente con el ángulo en B. Finalmente, como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, la medida de los ángulos de los vértices C y Q es la misma.
Veamos ahora que la información dada en el caso de los cuadriláteros es insuficiente, por lo que el cuadrilátero DEFG no es necesariamente congruente con el cuadrilátero KLMN. Para ello, podemos notar que al fijar la posición de los vértices L, M y N, hay muchas posiciones posibles de K tal que el ángulo en ese vértice tenga la misma medida que el ángulo en M, como muestra la figura. Esto se debe a que, de acuerdo con la información disponible, no existe restricción con respecto a las longitudes de los lados KN y KL.
Esto nos muestra que existen varios cuadriláteros que cumplen con las condiciones dadas, y por tanto alguno de ellos no será congruente con el cuadrilátero DEFG.
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Si existe una correspondencia entre dos polígonos tal que solo sus ángulos en vértices correspondientes son congruentes, ¿necesariamente tienen la misma forma?
La definición de congruencia de polígonos requiere que tanto los lados como los ángulos correspondientes sean congruentes. Como ya vimos, si solamente los lados correspondientes de dos polígonos tienen igual longitud, su forma puede variar.
Algo similar ocurre cuando solo se tiene que los ángulos de vértices correspondientes tienen la misma medida. Por ejemplo, tanto rectángulos como cuadrados tienen todos sus ángulos de 90º, pero su forma puede ser muy variable.
Otra noción relacionada con la congruencia es la semejanza. Dos polígonos que tienen igual forma se dicen semejantes. Por ejemplo, dos cuadrados son semejantes, ya que siempre tienen la misma forma, aunque la longitud de sus lados sea distinta.
Una noción inicial de congruencia es que dos figuras del plano son congruentes si tienen forma y tamaño.
Esta noción funciona en niveles iniciales en los que los estudiantes pueden comparar superponiendo o recortando figuras. A medida que se avanza en la escolaridad, los conceptos geométricos permiten ir precisando esta definición y desarrollar otros procedimientos para establecer la congruencia entre figuras.
Ciertos movimientos en el plano la forma y tamaño de las figuras, es decir, generan figuras que son congruentes. Estos movimientos son trasladar, rotar o reflejar una figura:
Dos polígonos son congruentes si existe una correspondencia entre ellos tal que:
  • - Ángulos de vértices correspondientes tienen igual medida.
  • - Lados correspondientes tienen longitud.
Tanto la congruencia de correspondientes como la de ángulos de vértices correspondientes son necesarias para asegurar la congruencia de dos polígonos. Si solo una de ellas se cumple, ni siquiera se puede garantizar que tengan igual forma.