CURSO: 7-8

Usando la idea de su papá, Margarita cree haber encontrado un patrón para el número de cactus que se pueden plantar partiendo de un número fijo de macetas llenas de tierra.

Ayuda a Margarita a completar la siguiente tabla:

Macetas llenas

Macetas plantadas con cactus

Tierra sobrante (respecto a una maceta)

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·
·
·

1/3

Margarita debe completar la tabla de manera que pueda ordenar su idea y finalmente encontrar el patrón que cree haber descubierto.

La tabla se completa de la siguiente manera:

Al completar la tabla, Margarita cree haber encontrado un patrón que le permitiría calcular los valores en la segunda y tercera columna. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a este supuesto patrón?

a)
No existe un patrón porque los números en la segunda y tercera columna no son múltiplos del que aparece en la primera.
b)
No existe un patrón porque en la segunda columna la diferencia entre dos valores consecutivos a veces es 1 y otras es 2.
c)
Existe un patrón, pero no es posible describirlo porque en la segunda columna los valores aumentan y en la tercera columna son dos valores alternantes.
d)
Existe un patrón, pero para describirlo hay que considerar dos casos: cuando los valores de la primera columna son pares y cuando son impares.

Para describir el patrón encontrado por Margarita se deben considerar dos casos: cuando el número de macetas llenas de tierra es par o cuando es impar.

Selecciona, en cada caso, las opciones que describen correctamente el patrón:

Si el número de macetas llenas de tierra es par…
… la cantidad de cactus que se puede plantar se obtiene de dividir este número por luego el resultado multiplicarlo por , sobrando de tierra.

Si el número de macetas llenas de tierra es impar…
… la cantidad de cactus que se puede plantar se obtiene de restar 1 a este número, dividir el resultado por , luego multiplicar esto por , y finalmente sumar 1 al resultado, sobrando de tierra.

¿Cuál de los siguientes razonamientos justifica el patrón encontrado por Margarita para un número impar de macetas llenas de tierra?

Recuerda que un número impar corresponde al doble de un número más uno. Para responder, considera el número impar 2 · n + 1.

a)
Como con 2 macetas llenas de tierra se pueden plantar 3 cactus y no sobra tierra, con 2 · n macetas se pueden plantar 3 · n cactus, y no sobra tierra. Con la última maceta se puede plantar otro cactus, y sobra
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de maceta de tierra.
b)
Como con 2 macetas llenas de tierra se pueden plantar 3 cactus y no sobra tierra, entonces con las
2 · n + 1 macetas se puede plantar un total de 3 · n + 1 cactus, y no sobra nada de tierra.
c)
Como con 2 macetas llenas de tierra se pueden plantar 3 cactus y no sobra tierra, entonces con las
2 · n + 1 macetas se pueden plantar un total de 3 · n + 3 cactus, y sobra
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de maceta de tierra.

Como observó Alfonso, con 2 macetas llenas de tierra se pueden plantar 3 cactus y no sobra nada de tierra. Entonces, si se tiene un número par de macetas, o sea, de la forma 2 · n , para algún número natural n , se obtienen n pares, cada uno de los cuales permite plantar 3 cactus. De esta forma, se pueden plantar 3 · n cactus, y no sobra nada de tierra.

Ahora, si el número de macetas llenas de tierra es impar, o sea, de la forma 2 · n + 1, podemos separar los macetas en n pares más una última maceta. Con los n pares se pueden plantar 3 · n cactus, y con la última se puede plantar un cactus adicional, y sobra

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de maceta de tierra.

Así la alternativa correcta es la a.

Alfonso es jardinero y quiere plantar cactus de tal forma que cada maceta tenga una única planta. Cada vez, él sigue el mismo método: llena con tierra una maceta hasta el tope, luego le saca un tercio de la tierra y finalmente coloca un cactus. La tierra sobrante la recolecta y la usa para llenar sus otras macetas.

Él dispone de muchos cactus y macetas del mismo tamaño, pero la cantidad de tierra con la que cuenta es la contenida exactamente en 27 macetas llenas.

Junto con su hija Margarita desean determinar cuántos cactus se pueden plantar con este método.