Víctor, Carolina y Lucas le están ayudando a su mamá a hacer un cartel con una promoción de helados para el kiosco que tienen en la casa. La mamá quiere que el cartel no distorsione la imagen que encontró en un periódico, pero que sea de mayor tamaño para que se vea con claridad. La foto que recortó la mamá es la siguiente:
1
Viendo solo el reverso de los carteles hechos por los niños, marca el/los carteles que cumple/n con las condiciones dadas por la mamá.
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
  • f)
2
¿Por qué solo algunos de los carteles hechos por los niños cumplen con las condiciones dadas por la mamá? Explica tu respuesta.

El alto y el ancho de la foto recortada por la mamá están en la razón 5 : 7,5; sin embargo, solo dos niños conservaron esta razón al construir el cartel: los que hicieron el cartel 2 y 4. Mantener la razón entre el alto y ancho del cartel original asegura que la forma se conserve en todas las ilustraciones y textos del cartel.

Notemos que en el cartel 2 se duplicó la medida del alto y ancho del cartel original, por tanto la razón se mantuvo. En el cartel 4 estas medidas se triplicaron.

Cartel 2 →  
5/7,5
  =  
5 · 2/7,5 · 2
  =  
10/15
 
Cartel 4 →  
5/7,5
  =  
5 · 3/7,5 · 3
  =  
15/22,5
 

Luego, la razón 5 : 7,5 es igual a 10 : 15 y es igual a 15 : 22,5.

En el cartel 1 y 3 las imágenes obtenidas están distorsionadas con respecto a la foto recortada por la mamá. Es posible que se hayan construido sumando la misma cantidad a las medidas de alto y ancho, por lo que no están en la razón 5 : 7,5. Del mismo modo, las imágenes de los carteles 5 y 6 también están distorsionadas. Pudiera ser que se multiplicó por un factor distinto las medidas del alto y ancho del cartel, lo que tampoco permite mantener la razón 5 : 7,5.

Cuando dos razones son iguales decimos que forman una proporción. Por ejemplo, las razones 5 : 7,5 y 10 : 15 forman una proporción y escribimos:
5 : 7,5 = 10 : 15
En la foto del cartel el alto y ancho de las letras L y F miden 1 cm y 0,8 cm respectivamente.
3
¿Cuánto medirá el alto de estas letras si se construye un cartel que cuadruplica las dimensiones del original?
El alto medirá cm.
4
¿Cuánto medirá el ancho de estas letras si se construye un cartel que sextuplica las dimensiones del original?
El ancho medirá cm.

Las medidas de los elementos de la imagen están en la misma razón que el cartel. Por tanto, si para construir el nuevo cartel estas medidas se multiplican por una constante k, se deberá hacer lo mismo con las medidas de cualquier elemento de la imagen.

Así, al cuadruplicar las dimensiones del cartel, también se deben cuadruplicar las medidas de alto y ancho de las letras L y F. Del mismo modo, al sextuplicar las medidas de alto y ancho del cartel, también se deberán sextuplicar las medidas de alto y ancho de las letras L y F. Esto se puede justificar rigurosamente usando semejanza de figuras.

Por lo tanto, al cuadruplicar las dimensiones del cartel original, el alto de las letras L y F será 4 cm. Si se sextuplican las dimensiones del cartel original, el ancho de las letras L y F será 4,8 cm.

5
Si la mamá les pide a los niños que el alto del cartel que construyan mida 40 centímetros exactos y que no se distorsione la foto original. ¿Cuánto debe medir el ancho del cartel que construyan?
El ancho debe medir cm.

Llamemos x a la longitud del ancho del cartel que deben construir los niños.

Para que no se distorsione la foto original, la razón entre las medidas de la foto original y las medidas del cartel que construyan deben formar una proporción:

5 : 7,5 = 40 : x.

Si convenientemente multiplicamos ambas medidas de la foto original por 40 y ambas medidas del cartel por construir por 5, sabemos que las razones no cambian y por lo tanto la proporción se mantiene:

5 · 40 : 7,5 · 40 = 40 · 5 : x · 5

De esta manera se ve con claridad que, como 5 · 40 = 40 · 5, necesariamente:

7,5 · 40 = x · 5

Resolviendo la ecuación se obtiene:

x = 60

Luego, si el cartel que construyen tiene 40 cm de alto, el ancho debe medir 60 cm para que no quede distorsionado con respecto a la foto original.
Las proporciones cumplen con varias propiedades. Una de las más utilizadas se denomina propiedad fundamental de la proporciones . Esta señala que:
a : b = c : d corresponde a a · d = c · b
La correspondencia entre estas igualdades se puede justificar de la siguiente manera:
  • Se multiplica por d ambas cantidades de la primera razón:
    a : b = a · d : b · d, para d ≠ 0.
  • Se multiplica por b ambas cantidades de la segunda razón:
    c : d = c · b : d · b, para b ≠ 0.
  • Luego remplazando se tiene:
    a : b = c : d es equivalente a a · d : b · d = c · b : d · b.
Como el término d · b es igual en ambas razones, se puede concluir que:
a : b = c : d corresponde a a · d = c · b
Carolina hizo un nuevo cartel agrandando la foto elegida por la mamá. Al medir el alto y ancho de la letra L en el cartel resultante obtuvo 12 cm y 10 cm, respectivamente.
6
Considerando que en el cartel original el alto de la letra L mide 1 cm y el ancho 0,8 cm, ¿se cumplen las condiciones que pidió la mamá?
  • a)
  • b)

En el cartel original el alto y ancho de la letra L miden 1 y 0,8 cm, respectivamente. Como en el cartel de Carolina el alto mide 12 cm (1 · 12), para cumplir con las condiciones que pidió la mamá el ancho debería medir 9,6 cm (0,8 · 12). Sin embargo, en el cartel de Carolina la letra L tiene 10 cm de ancho.

También es posible responder la pregunta utilizando la propiedad fundamental de las proporciones. Notemos que las medidas entre el alto y el ancho de la letra L en el nuevo cartel se encuentran en la razón 1 : 0.8, y en el nuevo en 12 : 10. Luego, al aplicar la propiedad, 12 · 0.8 = 9.6, y 10 · 1 = 10 se obtienen resultados distintos, por lo que dichas razones no formarían una proporción.

En conclusión, dados ambos razonamientos, el cartel de Carolina no cumple con las condiciones que pidió la mamá.

Una es la igualdad entre dos razones. Las proporciones permiten resolver muchas situaciones de nuestra vida cotidiana en que se conoce la razón entre dos cantidades, y sabiendo el valor de una de ellas, se necesita averiguar el valor de la otra.
Las proporciones cumplen con varias propiedades. Una de las más utilizadas se denomina propiedad fundamental de la proporciones. Esta señala que:
a : b = c : d corresponde a a · = c · b
Un uso frecuente de la propiedad fundamental de las proporciones se da en situaciones en que se debe reconocer si un par de razones forman una proporción. Por ejemplo, cuando se pidió reconocer aquellos carteles que no distorsionaron la imagen de la foto de la mamá, se podría haber aplicado la propiedad para reconocer aquellas medidas que formaban una proporción.