Al final, Josefina y su papá se decidieron a usar un tono de rosado distinto para pintar la pieza de su hermana menor. El nuevo rosado usa 3 L de pintura roja por cada 4 L de pintura blanca.
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Si quisiéramos preparar una mezcla que lleve 1 L de pintura blanca, ¿cuántos litros de pintura roja necesitaríamos?
Necesitaríamos  
  L de pintura roja.
Recordemos que el tono deseado se consigue mezclando 3 L de pintura roja y 4 L de pintura blanca. Lo que queremos saber es cuánta pintura roja hay que mezclar con 1 L de pintura blanca para conseguirlo. Para eso, tomamos cada litro de pintura roja y lo repartimos equitativamente a cada litro de pintura blanca, como se muestra en la siguiente animación:
Así, 1 L de pintura blanca se debe mezclar con  
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  L de pintura roja para obtener el tono deseado.
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¿A qué fracción de la cantidad de pintura blanca corresponde la pintura roja?
La pintura roja corresponde a  
  de la cantidad de pintura blanca.
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¿Y a qué fracción de la cantidad de pintura roja corresponde la pintura blanca?
La pintura blanca corresponde a  
  de la cantidad de pintura roja.
Consideremos la pintura blanca como una unidad que se divide en 4 partes iguales, cada una correspondiente a  
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  de la pintura blanca usada. Como la mezcla lleva 3 partes de pintura roja por cada 4 partes de pintura blanca, y cada parte es  
14
 , concluimos que la pintura roja requerida corresponde a  
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  de la pintura blanca:
Para responder a qué parte de la pintura roja corresponde la pintura blanca usada, deberíamos considerar la pintura roja como unidad. Con un razonamiento similar al anterior, podemos concluir que la pintura blanca requerida corresponde a  
43
  de la pintura roja:
Cuando una razón se puede expresar como p : q usando números naturales distintos de cero, es posible asociarle la fracción  
pq
 , que corresponde a la parte que representa p de la otra cantidad, q. Es decir, p es igual a  
pq
  de q. Este número se conoce como valor de la razón. Dada esta relación entre una razón y su valor, es común usar la notación  
pq
  para referirse a la razón p : q.
Para continuar reflexionando sobre las ideas desarrolladas en las preguntas anteriores, te invitamos a responder el siguiente par de preguntas. Recuerda que el tono de rosado deseado se consigue mezclando 3 partes de pintura roja por cada 4 partes de blanca.
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Supongamos que en casa de Josefina disponen de 8 L de pintura blanca, ¿con cuántos litros de pintura roja se deberían mezclar para lograr el tono de rosado deseado?
Los 8 L de pintura blanca deberían mezclarse con L de pintura roja.
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Y si ahora tuviéramos 2 L de pintura roja, ¿con cuántos litros de pintura blanca los deberíamos mezclar para lograr el tono de rosado deseado?
Los 2 L de pintura roja deberían mezclarse con  
  L de pintura blanca.
Para responder la pregunta 6, podemos usar el hecho de que la pintura roja corresponde a  
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  de la pintura blanca. Como se ocupan 8 L de pintura blanca, la pintura roja debe corresponder a  
34
  de 8, es decir, 6 L.
De manera similar, para responder la pregunta 7, usamos el hecho que la pintura blanca corresponde a  
43
  de la pintura roja. Así, la pintura blanca necesaria será  
43
  de 2, es decir,  
83
  L.
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Si quisiéramos preparar 1 L de mezcla total, ¿cuántos litros de cada color necesitaríamos?
Necesitaríamos  
  L de pintura roja y  
  L de pintura blanca.
Como sabemos que la razón entre la pintura roja y blanca es 3 : 4, significa que el total de mezcla está compuesta por un total de 7 partes: 3 de rojo y 4 de blanco. De esta forma, la cantidad de pintura roja es al total de pintura como 3 : 7, y la fracción que representa la cantidad de pintura roja respecto del total de pintura es  
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 .
Hay razones que no admiten una representación con números enteros positivos. Por ejemplo, consideremos un cuadrado cuyo lado mide 1 cm, como el de la figura:
Para calcular la longitud de la diagonal podemos usar el teorema de Pitágoras obteniendo d = √

2

cm. Esto se puede generalizar para cualquier cuadrado. Para un cuadrado de lado a , usando Pitágoras, la longitud de la diagonal es a √

2

.
Si planteamos la razón entre la longitud de la diagonal y la longitud del lado se tiene:
a √

2

: a = √

2

: 1
No hay manera de expresar esta razón utilizando solo números enteros positivos.
Cuando una razón a : b no se puede expresar con números enteros positivos, no se le puede asociar una fracción. En este caso, se le asocia el resultado de la división a dividido por b, que también llamaremos el valor de la razón. Como ambas cantidades no se pueden medir como valores naturales respecto a alguna unidad, se llaman inconmensurables.
En las razones se puede definir una relación de igualdad. Como vimos en el ejemplo del estante de pinturas, las razones 2 : 3, (2 · 2) : (2 · 3) y (3 · 2) : (3 · 3) son iguales. En términos generales, si k es un número natural distinto de 0, la razón p : q es a la razón (k · p) : (k · q).
p : q = (k · p) : (k · q)
Esta igualdad también la podemos leer de manera inversa, es decir, (k · p) : (k · q) es igual a p : q. Así, hemos dividido por k los términos de la primera razón obteniendo una razón igual. En general, si ambos términos de la razón tienen un factor en común, se pueden dividir por dicho factor y se obtiene una razón igual a la original.
Cuando una razón se puede expresar como p : q usando números enteros positivos, es posible asociarle la fracción  
pq
 , que corresponde a la parte que representa p de la otra cantidad, q. Es decir, p es igual a  
pq
  de q. Este número se conoce como . Dada esta relación entre una razón y su valor, es común usar la notación
p/q
para referirse a la razón p : q.
Si bien, como explicamos en el punto anterior, a toda razón entre números naturales p : q se le puede asociar la fracción
p/q
cuando se toma q como , existen otras fracciones que también son útiles cuando trabajamos con razones. Por ejemplo, al mezclar pintura es útil conocer qué fracción del total de mezcla representa cada color. Si la razón entre rojo y blanco de la mezcla fuera 3 : 4, entonces  
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  del total de la mezcla serían de pintura roja.
Cuando una razón a : b no se puede expresar con números enteros positivos, no se le puede asociar . En este caso, se le asocia el resultado de la división a dividido por b, que también llamaremos el valor de la razón.