Durante el campamento, Elisa creó un juego en el que cada jugador debe contar con un trozo de cuerda del mismo largo. Como tiene mucha más cuerda roja que azul, y hay más niños que niñas, ella decidió repartir la cuerda azul en 3 partes iguales, una por cada niña del grupo. Ella quiere saber el largo de la cuerda de color rojo para repartir entre los 5 niños que van a jugar.
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¿Qué relación existe entre los largos de las cuerdas azul y roja que debe repartir entre los niños?
  • - El largo de la cuerda azul debe ser igual a  
      del largo de la cuerda roja.
  • - El largo de la cuerda roja debe ser igual a  
      del largo de la cuerda azul.
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Responde las siguientes preguntas:
  • a)
  • b)
  • c)
  • c)
Como ya se observó, el largo de la cuerda roja debe ser igual a  
53
  del largo de la cuerda azul, por lo que la alternativa a es correcta. La alternativa b es incorrecta, pues se debe dividir por  
35
  en lugar de hacerlo por  
53
 .
Por otro lado, la alternativa c también es correcta, ya que ella podría primero encontrar el largo del trozo de cuerda de cada jugadora, dividiendo el 3 partes la cuerda azul, y luego tomar una cuerda roja igual a 5 veces el largo de ese trozo:
Por último, como 3 veces  
53
  es igual a 5, 3 veces el largo de la cuerda roja debe ser igual a 5 veces el largo de la cuerda azul. Así, Elisa podría haber optado por la estrategia d, es decir, tomar una cuerda roja de 5 veces el largo de la cuerda azul, y luego dividirla en 3 partes iguales.
Elisa usó una huincha de medir y determinó que la cuerda azul mide 2 
12
 m. Ella quiere convencerse que el largo de la cuerda roja es efectivamente el cociente de la división 2 
12
  :  
35
 , por lo que reflexiona:
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Completa la reflexión de Elisa con las fracciones correctas.
Por otro lado, Elisa sabe que determinar el largo de la cuerda roja equivale a encontrar el número que multiplicado por  
35
  dé como resultado 2 
12
 , ya que:
 
35
  · (largo de la cuerda roja) = 2 
12
 m
Ella cree que el número que busca es  
53
  · 2 
12
 , pero no está segura.
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¿Cómo podría Elisa verificar que ese es el número que busca usando la relación de más arriba?
Explica en detalle los pasos que se requieren, mencionando las propiedades de la multiplicación que se usan en cada paso.
Para verificar que  
53
  · 2 
12
  es el número buscado, se debe comprobar que al multiplicarlo por  
23
  se obtiene 2 
12
 , o sea, que  
35
  · ( 
53
  · 2 
12
 ) = 2 
12
 .
Notemos primero que por la asociatividad de la multiplicación:
 
35
  · (  
53
  · 2 
12
  ) = (  
35
  ·  
53
  ) · 2 
12
 
Además,  
35
  ·  
53
  = 1, ya que las fracciones  
35
  y  
53
  son inversos multiplicativos una de la otra:
(  
35
  ·  
53
  ) · 2 
12
  = 1 · 2 
12
 
Y como 1 es el neutro de la multiplicación, se tiene que:
1 · 2 
12
  = 2 
12
 
Luego, al juntar las tres igualdades anteriores obtenemos que:
 
35
  · (  
53
  · 2 
12
  ) = (  
35
  ·  
53
  ) · 2 
12
  = 1 · 2 
12
  = 2 
12
 
Dividir un número x por una fracción  
ab
  distinta de cero corresponde a encontrar un número y que multiplicado por  
ab
  da por resultado x.
Una forma usual de encontrar y es multiplicar x por  
ba
 , que es el inverso multiplicativo de  
ab
 . Esto corresponde a dividir el número x en a partes iguales, cada una igual a  
1a · x
 , y tomar b de ellas.
Por ejemplo, al dividir x por  
35
  buscamos un número y tal que multiplicado por  
35
  nos de x. Para encontrarlo, dividimos x en 3 partes iguales, cada una igual a  
13
  · x, de tal forma que y corresponde a 5 de estas partes. Esto se puede representar en la recta numérica de la siguiente forma:
Resolver la división  
ab
  :  
cd
  corresponde a encontrar la fracción  
pq
  tal que por el divisor  
cd
  da como resultado el dividendo  
ab
 . En otras palabras,
 
ab
  :  
cd
  =  
pq
  es equivalente a  
pq
  ·  
cd
  =  
ab
 
Esta propiedad define la división como la operación matemática inversa de la multiplicación.
Una estrategia usual para resolver la división  
ab
  :  
cd
  consiste en el dividendo  
ab
  por el inverso multiplicativo  
dc
  del divisor. Esto entrega otra relación de la división con la multiplicación, la que corresponde a la conocida fórmula para calcular el cociente:
 
ab
  :  
cd
  =  
pq
  es equivalente a  
ab
  ·  
dc
  =  
pq