Para la caminata también se llevarán cantimploras, las cuales tienen una capacidad de  
3/5
  L.
5
¿Cuántas de estas cantimploras se pueden llenar con un botellón de 3 L?
Se pueden llenar cantimploras.
Par resolver el problema debemos averiguar cuántas veces cabe  
3/5
 en 3, o sea, resolver 3 :  
3/5
 . Para calcular esto consideremos el siguiente diagrama:
Al particionar en quintos las 3 unidades obtenemos:
Contando, observamos que  
3/5
  cabe 5 veces en 3.
Notemos que el diagrama que hemos hecho nos sugiere el siguiente razonamiento:  
3/5
  es igual a 3 veces  
1/5
  y 3 es igual a  
15/5
 , o sea, 15 veces  
1/5
; además, 3 quintos cabe 5 veces en 15 quintos, ya que 15 : 3 = 5. Esto lo podemos expresar como:
3 :  
3/5
  =  
15/5
  :  
3/5
  =  
15/3
  = 5
Aún faltaba llenar algunas cantimploras, pero ahora solo disponían de botellas de 2 L agua. Cada una de ellas, como bien observaron los amigos, les permitía llenar completamente cierto número de cantimploras y una fracción de otra.
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Completa con los números que corresponden:

- ¿Cuántas cantimploras se llenan completamente con una botella de 2 L?

Se pueden llenar cantimploras.

- De la cantimplora que no se llena completamente, ¿qué fracción de ella tiene agua?

De la cantimplora que no se llena completamente,  
  tiene agua.

- ¿Cuántos litros de agua hay en la cantimplora que no se alcanza a llenar?

La cantimplora que no se alcanza a llenar tiene  
 L de agua.
Esta situación se puede ilustrar con el siguiente diagrama:
Vemos que se llenan cantimploras, y que el agua restante alcanza para llenar  
1/3
  de la cuarta cantimplora. O sea, se llenan 3 
1/3
  cantimploras.
Podemos interpretar que  
3/5
  cabe 3 
1/3
  veces en 2, es decir, 2 :  
3/5
  = 3  
1/3
 . Además, dado que 2 =  
10/5
, podemos calcular directamente:
2 :  
3/5
  =  
10/5
  :  
3/5
  = 10 : 3 =  
10/3
  = 3 
1/3
 .
Como se llenó  
1/3
  de la cuarta cantimplora, y esta tiene una capacidad de  
3/5
  L, entonces el agua en su interior es  
1/3
  ·  
3/5
  =  
1/5
 L.
En muchos problemas donde se obtiene como resultado un número mixto se busca interpretar correctamente la parte fraccionaria de este. Es importante tener en cuenta que pueden surgir varias interpretaciones dependiendo de la pregunta que se está planteando.
Por ejemplo, al resolver el problema de las cantimploras se obtuvo 2 :  
3/5
  = 3  
1/3
  que corresponden a 3 cantimploras llenas y una cuarta llenada parcialmente. La cantidad de agua en la cuarta cantimplora puede interpretarse de dos formas:
  • - Si usamos la capacidad de una cantimplora como unidad de medida, nos damos cuenta de que el agua alcanza para  
    1/3
      de la cuarta cantimplora.
  • - Si usamos un litro como unidad de medida, nos damos cuenta de que el agua en la cuarta cantimplora es  
    1/5
     L ya que la capacidad de la cantimplora es  
    3/5
     L.
Observemos que la parte fraccionaria del resultado de la división tiene como unidad de medida la capacidad de una cantimplora, que corresponde con el divisor de la división.
Una estrategia para calcular la división de un número natural por una fracción se basa en expresar el número natural como una fracción de igual denominador que el divisor, y luego realizar una división de naturales entre los numeradores de ambas fracciones.
Por ejemplo, calcular 3 :  
3/5
  =  
15/5
  :  
2/5
  es lo mismo que calcular cuántas veces cabe 2 quintos en 15 quintos, es decir, 15 : 2, que es igual a  
15/2
 .
Esto corresponde también a multiplicar dividendo y divisor por el denominador del divisor, de tal forma de obtener una división entre números naturales. Por ejemplo,
3 :  
2/5
  = (5 · 3) : (5 ·  
2/5
) = 15 : 2 =  
15/2
 
El procedimiento anterior se basa en una propiedad de la división denominada amplificación, la que podemos visualizar en el siguiente diagrama:
Más tarde, Aldo, Mauricio y Alejandro deben repartir 8 kg de frutos secos en bolsas de 1 kilo y medio cada una, y se preguntan cuántas bolsas svan a obtener.
7
¿Cuál/es de las siguientes estrategias pueden usar los amigos para determinar la cantidad de bolsas que lograrán llenar con frutos secos?
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
Aldo dibujó el siguiente diagrama y así determinó que podían completar 5 bolsas de 1 
1/2
  kg de frutos secos, pero que le sobraban algunos para una sexta bolsa.
En base al diagrama, Mauricio y Alejandro discuten sobre cómo interpretar la cantidad de frutos secos que sobraron para la sexta bolsa.
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¿Quién tiene la razón?
  • a)
  • b)
  • c)
Cada una de las partes en el diagrama de Aldo corresponde a 1 kg de frutos secos, y en su estrategia él usó que 3 kg corresponden a 2 bolsas de estos. Así, agrupando de a 3 se pueden formar 4 bolsas, y con las 2 partes restantes se puede armar otra bolsa, sobrando media parte.
Como bien notó Alejandro, cada bolsa corresponde a 1 
1/2
  kg, por lo que la  
1/2
  media parte que sobró, que corresponde a  
1/2
  kg, equivale a  
1/3
  de una bolsa adicional. Así la respuesta correcta es la b.
9
Si los amigos ahora quisieran repartir 20 kg de frutos secos en bolsas de capacidad 1 
3/4
  kg.
- ¿Cuál es el resultado de la división 20 : 1 
3/4
 ?

El resultado es  
  cantimploras.

- ¿Cuántas de estas bolsas se alcanzan a completar?

Se alcanzan a completar de estas bolsas.

- ¿A qué fracción de una bolsa corresponden los frutos secos que sobran?

Corresponden a  
  de bolsa.

¿A cuántos kilos de frutos secos corresponde lo que sobra?

Corresponden a  
  kilos de frutos secos.

En todas las situaciones que hemos abordado hasta ahora se conoce una cantidad total t y una medida m, y lo que se pregunta es:

¿Cuántas veces cabe la medida m en el total t?

Si llamamos p al resultado de esto, t corresponde a p veces m , o sea, podemos escribir t = p · m. Así, el número buscado es el entre t y m , es decir, p = t : m.


Esta interpretación de la división se conoce como división como agrupación en base a una medida o simplemente como división como medida.

En el contexto de números naturales, esta interpretación de la se asocia a la pregunta ¿Cuántos grupos de tamaño m hay en t objetos? Pero al trabajar con fracciones es posible que el dividendo es menor que el divisor, y en tales casos se recomienda asociar esta interpretación a la pregunta ¿Qué fracción de la medida m es el total t?
Existen muchas estrategias para dividir un número natural por una fracción:
  • Se expresa el número natural como una fracción de igual que el divisor, y el resultado es igual a la división entre los numeradores de ambas fracciones.
    Ejemplo: 5 :  
    2/3
      =  
    15/3
      :  
    2/3
      = 15 : 2 =  
    15/2
     .
  • Se el dividendo y divisor por el denominador del divisor de tal forma de obtener una división entre números naturales
    Ejemplo: 5 :  
    2/3
      = 3 · 5 : 3 ·  
    2/3
      = 15 : 2 =  
    15/2
     .
Una estrategia para dividir en el caso que el divisor es un número mixto consiste en expresarlo como fracción impropia. De esta forma, se puede usar cualquiera de las estrategias descritas para dividir por una fracción.
En un diagrama de barra las cantidades involucradas en el problema se representan a través de partes y las longitudes de estas. Así, en este tipo de representación se encuentra implícita la noción de número como El uso de estas representaciones ayuda a visualizar la información con la que se cuenta, identificar qué se debe hacer para resolver el problema, escubrir estrategias para resolverlo e interpretar los resultados según el contexto.