Vanessa y Brian están resolviendo una lista de multiplicaciones con fracciones.
Ayudemos a Brian a aclarar su confusión resolviendo algunas multiplicaciones. Busquemos fracciones que al multiplicarlas por
3/2
den un resultado menor que
3/2
.
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¿Cuál/es de las siguientes fracciones
p/q
es/son tal/es que
p/q
·
3/2
<
3/2
?
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
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Podemos notar que para que
p/q
·
3/2
<
3/2
basta con que:
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)

Solo la alternativa c es correcta.

Si vemos a una fracción  
p/q
  como operador, podemos interpretar la multiplicación  
p/q
  ·  
a/b
 , como la acción de dividir " 
a/b
 " en q partes iguales, y considerar p de esas partes. Si p < q, es decir si  
p/q
  < 1, se consideran menos partes que el total, y por lo tanto  
p/q
  ·  
a/b
  <  
a/b
 . Por otra parte, si p > q, es decir si  
p/q
 > 1, se consideran más partes que el total, y por lo tanto  
p/q
  ·  
a/b
  >  
a/b
 . Finalmente, si p = q, es decir si  
p/q
  = 1, entonces consideramos todas las partes de la fracción  
a/b
 , por lo que 1 ·  
a/b
  =  
a/b
 .
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Si se sabe que
p/q
·
3/2
>
3/2
, entonces podemos afirmar que:
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
La condición propuesta en b es la correcta pues si  
p/q
  > 1 entonces  
p/q
  ·  
3/2
  >  
3/2
 .
La condición propuesta en a es incorrecta pues si  
p/q
  < 1 entonces  
p/q
  ·  
3/2
  <  
3/2
 .
En c la propuesta es incorrecta, pues, por ejemplo, si  
p/q
  =
1/4
  < 2 se tiene que  
p/q
  ·  
3/2
  <  
3/2
 .
Por otra parte, la alternativa d también es incorrecta, ya que podría pasar que  
p/q
  ·  
3/2
  >  
3/2
 , pero 1 <  
p/q
  < 2, por ejemplo, si  
p/q
  =  
5/3
 .
La multiplicación de una fracción
a/b
por 1 siempre da como resultado
a/b
. El número 1 es el único con esta propiedad, por lo que decimos que es el neutro multiplicativo.
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¿Cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son correcta/s?
  • a)
  • b)
  • c)
  • d)
  • e)
Todas las alternativas son correctas:
En a el producto de fracciones mayores que uno da un resultado mayor que cada una de las fracciones multiplicadas, por lo tanto, el resultado es mayor que 1.
La afirmación propuesta en b establece que al multiplicar fracciones menores que 1, obtenemos un resultado menor que ambas fracciones, luego, este es menor que 1.
La afirmación en c es más delicada de analizar. Digamos que multiplicamos fracciones
p/q
·
r/s
, donde
p/q
> 1 y
r/s
< 1, entonces estamos multiplicando p/q por una fracción menor que 1, por lo que el resultado es menor que p/q. Asimismo, estamos multiplicando r/s por una fracción mayor que 1, por lo que el resultado es mayor que
r/s
.
La afirmación planteada en d es equivalente a la hecha en la alternativa c si uno usa la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Finalmente, la afirmación en e corresponde al hecho de que 1 es el elemento neutro para la multiplicación.
Es importante notar que en la multiplicación de fracciones no siempre se obtiene un resultado mayor. De hecho:
· Cuando multiplicamos un número por una fracción menor que 1, el resultado es siempre menor que el número.
· Cuando multiplicamos un número por una fracción mayor que 1, el resultado es siempre mayor que el número.
· Cuando multiplicamos un número por una fracción igual a 1, el resultado es siempre el número.
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Marca en cada caso aquellas propiedades de la multiplicación presentes en la igualdad que se plantea.
a)
Igualdad Conmutativa Asociativa Distributiva Elemento neutro
 
3/5
  · (  
2/3
  ·  
1/7
  ) =  
6/15
  ·  
1/7
 
b)
Igualdad Conmutativa Asociativa Distributiva Elemento neutro
 
3/5
  · (  
2/3
  ·  
1/7
  ) =  
3/5
  · (  
1/7
  ·  
2/3
  )
c)
Igualdad Conmutativa Asociativa Distributiva Elemento neutro
(  
3/5
  +  
2/3
  ) ·  
1/7
  =  
1/7
  · (  
3/5
  +  
2/3
  )
d)
Igualdad Conmutativa Asociativa Distributiva Elemento neutro
 
1/7
  · (  
3/5
  +  
2/3
  ) =  
1/7
  ·  
3/5
  +  
1/7
  ·  
2/3
 
e)
Igualdad Conmutativa Asociativa Distributiva Elemento neutro
 
3/5
  · (  
2/3
  ·  
1/7
  ) =  
2/3
  · (  
3/5
  ·  
1/7
  )
En esta actividad hemos visto algunas propiedades que satisface la multiplicación de fracciones.
Vimos que en la multiplicación de tres fracciones podemos agrupar los factores según nos convenga, y se obtiene resultado. En general, tenemos que:
a/b
· (
c/d
·
e/f
) = (
a/b
·
c/d
) ·
e/f
.

Esta propiedad se llama propiedad asociativa de la multiplicación.
Vimos también, a través de la representación gráfica, que la expresión
m/n
·
a/b
+
m/n
·
c/d
genera la misma área que la expresión
m/n
· (
a/b
+
c/d
), por lo que son iguales. Esto corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma , y lo expresamos de la siguiente manera:
m/n
·
a/b
+
m/n
·
c/d
=
m/n
· (
a/b
+
c/d
)
Notamos que como la multiplicación es también se tiene:
m/n
· (
a/b
+
c/d
) =
m/n
·
a/b
+
m/n
·
c/d
Concluimos que la multiplicación de una fracción a/b por 1 siempre da como resultado a/b. El número 1 es el único con esta propiedad, por lo que decimos que es el neutro A partir del cual pudimos definir que toda fracción
a/b
(con a y b distintos de cero) posee un inverso multiplicativo dado por la fracción
b/a
, esto es,
a/b
·
b/a
= 1.