Los niños de una escuela rural, quieren construir un huerto. Para ello, disponen de un terreno rectangular.
Decidieron dividir el huerto en 2 sectores. El primer sector corresponde a  
3/7
  del huerto y en  
1/4
  de este sector se plantarán lechugas.
Observa la siguiente animación que nos ayudará a visualizar la fracción del huerto destinada a plantar lechugas.
1
¿A qué fracción del huerto corresponde el sector donde se plantarán lechugas?
El sector donde se plantarán lechugas corresponde a  
 del huerto.
En este caso buscamos una fracción que corresponda a  
1/4
  de  
3/7
  del huerto. Observamos en la animación que el terreno quedó dividido en 4 · 7 = 28 partes iguales, de las cuales 3 corresponden al área donde se plantarán lechugas. Así,  
1/4
  de  
3/7
  del huerto es igual a  
3/4 · 7
  =  
3/28
  del terreno total. Esto lo podemos visualizar en el siguiente diagrama:
Al igual que en la multiplicación de una fracción por un número natural, entenderemos  
1/4
  de  
3/7
  como
" 
1/4
  veces  
3/7
 " y lo escribiremos  
1/4
  ·  
3/7
 . De esta manera:
 
1/4
  ·  
3/7
  =  
3/4 · 7
  =  
3/28
 
Al multiplicar una fracción unitaria por otra fracción, se conserva el numerador de la segunda fracción y se multiplican los denominadores. Esto es:
 
1/p
  ·  
a/b
  =  
a/p · b
 
Uno de los niños propone que, además de la lechuga, en  
2/7
  del primer sector se planten acelgas y en  
4/9
  espinacas.Una de sus compañeras propone que en  
1/3
  del segundo sector se siembren zanahorias, en  
2/9
  tomates y en  
4/11
  papas.
Para llevar la cuenta de esto, los niños y niñas hacen dos tablas, una para cada sector. Usa la siguiente herramienta interactiva que te permite generar una representación del área que cada hortaliza y verdura ocupa en sus respectivos sectores, para ayudarlos a completar las tablas.
Ingresa las fracciones que corresponden al área que representa cada hortaliza y verdura en el primer y segundo sector del huerto, respectivamente. Puedes representar solo una verdura u hortaliza a la vez.
de
de
2
Completa cada tabla con la fracción que corresponde al área que ocupará cada verdura y hortaliza en sus respectivos sectores.

Primer Sector

Hortalizas
Fracción del primer sector
Fracción del huerto
Lechugas
 
1/4
 
 
3/28
 
Acelgas
 
2/7
 
 
 
Espinaca
 
4/9
 
 
 

Segundo Sector

Verduras
Fracción del segundo sector
Fracción del huerto
Zanahorias
 
1/3
 
 
 
Tomates
 
2/9
 
 
 
Papas
 
4/11
 
 
 
Para calcular la fracción del huerto donde se plantarán acelgas, debemos averiguar cuánto es  
2/7
  de  
3/7
. Como se observa en el siguiente diagrama, esto corresponde a 2 · 3 rectángulos de un total de 7 · 7 partes iguales, es decir, a  
2 · 3/7 · 7
  =  
6/49
 
Otro razonamiento posible para determinar
2/7
de
3/7
es el siguiente: nuestro conocimiento de fracciones indica que esto es dos veces
1/7
de
3/7
, es decir, dos veces
1/7
·
3/7
. Como sabemos
1/7
·
3/7
=
3/7
· 7, así obtenemos que 2 · (
1/7
·
3/7
) = 2 ·
3/49
=
6/49
. Como en casos anteriores, entenderemos
2/7
de
3/7
como “
2/7
veces
3/7
” y lo escribiremos
2/7
·
3/7
. Tenemos entonces:
2/7
·
3/7
= 2 ·
3/7
· 7
Al representar expresiones de la forma " 
a/b
  de  
c/d
 ", es decir,  
a/b
  ·  
c/d
 , observamos que el entero quedó subdividido en un total de b · d partes iguales, de las que consideramos a · c partes. De esta manera, concluimos la conocida expresión para multiplicar fracciones:
 
a/b
  ·  
c/d
  =  
a · c/b · d
 
A partir de este resultado se puede mostrar la validez de las siguientes propiedades de la multiplicación de fracciones:
- La multiplicación de fracciones es conmutativa.
La propiedad conmutativa de la multiplicación en los números naturales nos permite justificar esta propiedad para la multiplicación de fracciones:
 
a/b
  ·  
c/d
  = a ·  
c/b
  · d = c ·  
a/d
  · b =  
c/d
  ·  
a/b
 
es decir,  
a/b
  ·  
c/d
  =  
c/d
  ·  
a/b
 
- Inverso multiplicativo..
Notemos que la propiedad conmutativa de los números naturales también nos permite concluir que para a y b distintos de 0 se cumple:
 
a/b
  ·  
b/a
  =  
a · b/b · a
  =  
a · b/a · b
  = 1
es decir,  
a/b
  ·  
b/a
  = 1
Esto nos muestra que  
a/b
  y  
b/a
  son cada uno inverso multiplicativo del otro. En este resultado también hemos usado que el neutro multiplicativo para las fracciones, al igual que para la multiplicación de números naturales, es 1. Esto último será estudiado en más detalle en una próxima actividad.