Roberto y 7 amigos salen de excursión. Cada uno ellos tiene una cantimplora de capacidad  
3/5
  litro. Al pasar por un río, llenan sus cantimploras para llevar agua a la zona de camping. Roberto pregunta a Daniel:
Recordemos que la multiplicación de números naturales es una forma de abreviar una suma iterada. Por ejemplo, 5 · 3 corresponde al resultado de sumar 5 veces el número 3, esto es 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Decimos que el número 5 opera sobre el número 3. Esta noción se extiende a fracciones.
Es así que 8 veces  
3/5
  lo escribimos como 8 ·  
3/5
 . Tenemos entonces que:
8 ·  
3/5
  =  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
  +  
3/5
 
=  
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3/5
 
=  
8 · 3/5
 
=  
24/5
 
En este caso, podemos decir que el número 8 opera sobre el número  
3/5
 . Si tuviéramos 23 cantimploras de  
3/5
  L de agua cada una, en total juntaríamos  
69/5
  L de agua, ya que:
23 ·  
3/5
  =  
23 · 3/5
  =  
69/5
 
Luego de usar el agua reunida en las cantimploras para cocinar, se produce el siguiente diálogo:
Recordemos que  
3/5
  de “algo” corresponde a dividir ese “algo” en 5 partes iguales, y luego tomar 3 de estas partes. Si 8 L de agua lo dividimos en 5 partes iguales, cada una de esas partes corresponde a  
8/5
  L, y 3 de esas partes corresponden a  
24/5
  L. Por lo tanto,  
3/5
  de 8 L es igual a  
24/5
  L.
Diremos también que  
3/5
  veces 8 es igual a  
24/5
, y lo escribimos como  
3/5
  · 8 =  
24/5
, extendiendo de esta forma el concepto de multiplicación al caso donde el primer factor es una fracción y el segundo es un número natural. Tenemos entonces que:
 
3/5
  · 8 = 3 ·  
8/5
  =  
8/5
  +  
8/5
  +  
8/5
  =  
3 · 8/5
  =  
24/5
 
En casos como este, podemos decir que el número  
3/5
  opera sobre el número 8.
1
Los 8 amigos deciden usar el agua del bidón para volver a llenar sus cantimploras. ¿Cuál de las siguientes situaciones es la correcta?
  • a)
  • b)
  • c)

Observamos que la respuesta correcta es la alternativa b, pues el agua que contiene el bidón es  

24/5
  L, lo que corresponde a la capacidad conjunta de las 8 cantimploras, como fue calculado anteriormente.

Hemos demostrado, entonces, que en el caso de la multiplicación de un número natural por una fracción también se satisface la propiedad conmutativa de la multiplicación. Coloquialmente nos referimos a esta propiedad diciendo que “ el orden de los factores no altera el producto ”.
Las preguntas anteriores nos permitieron visualizar y justificar la propiedad conmutativa de la multiplicación en un caso particular. Sin embargo, el argumento empleado puede también aplicarse cuando la cantidad total de agua en el bidón y las cantimploras es diferente a la utilizada en esta situación.
A menudo la validez de una propiedad se puede justificar a través de un caso particular, en el que hay un argumento subyacente que puede ser aplicado en general. En estos casos hablaremos de un ejemplo genérico.
En esta actividad exploramos la entre una fracción y un número natural. Al igual que lo que ocurre con números naturales, esta operación se puede interpretar según el orden de los factores involucrados:
  • - n ·  
    a/b
      corresponde a sumar n veces la fracción  
    a/b
     .
  • -
    a/b
      · n corresponde a calcular la fracción  
    a/b
      de un número n.
Las expresiones correspondientes a estas distintas interpretaciones producen resultado:
n ·  
a/b
  =  
n · a/b
  =  
a · n/b
  =  
a/b
  · n

En otras palabras, la propiedad conmutativa de la multiplicación es válida también para el caso en que uno de los factores es una fracción.